线性定常系统非齐次状态方程的解
现代控制理论知识点汇总
现代控制理论知识点汇总Revised at 2 pm on December 25, 2020.第一章 控制系统的状态空间表达式１． 状态空间表达式 n 阶DuCx y Bu Ax x+=+= 1:⨯r u 1:⨯m y n n A ⨯: r n B ⨯: n m C ⨯:r m D ⨯:A 称为系统矩阵，描述系统内部状态之间的联系；Ｂ为输入（或控制）矩阵，表示输入对每个状态变量的作用情况；C 输出矩阵，表示输出与每个状态变量间的组成关系，Ｄ直接传递矩阵，表示输入对输出的直接传递关系。
２． 状态空间描述的特点①考虑了“输入－状态－输出”这一过程，它揭示了问题的本质，即输入引起了状态的变化，而状态决定了输出。
②状态方程和输出方程都是运动方程。
③状态变量个数等于系统包含的独立贮能元件的个数，n 阶系统有n 个状态变量可以选择。
④状态变量的选择不唯一。
⑤从便于控制系统的构成来说，把状态变量选为可测量或可观察的量更为合适。
⑥建立状态空间描述的步骤：a 选择状态变量；b 列写微分方程并化为状态变量的一阶微分方程组；c 将一阶微分方程组化为向量矩阵形式，即为状态空间描述。
⑦状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法，特别适合于用计算机计算。
３． 模拟结构图（积分器 加法器 比例器）已知状态空间描述，绘制模拟结构图的步骤：积分器的数目应等于状态变量数，将他们画在适当的位置，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量，然后根据状态空间表达式画出相应的加法器和比例器，最后用箭头将这些元件连接起来。
４． 状态空间表达式的建立① 由系统框图建立状态空间表达式：a 将各个环节（放大、积分、惯性等）变成相应的模拟结构图；b 每个积分器的输出选作i x ，输入则为i x；c 由模拟图写出状态方程和输出方程。
② 由系统的机理出发建立状态空间表达式：如电路系统。
通常选电容上的电压和电感上的电流作为状态变量。
利用KVL 和KCL 列微分方程，整理。
现代控制理论-状态方程的解
3、复频域上
非齐次状态方程的解
2、说明
e At 状态转移矩阵
一般用 t 表示，即 t e At
考虑初始条件拉氏变换
sX ( s ) X (0 ) AX ( s ) BU ( s ) 有 ( sI A) 1 X ( s ) X ( 0 ) BU ( s ) 即 1 X ( s ) ( sI A) X (0) ( sI A) 1 BU ( s ) 则
e
d At e Ae At e At A dt
At 1
e At
[5]、对于 n n的方阵 A、 B 当且仅当 AB BA时 有 e At e Bt e( A B)t , 而当AB BA, e At e Bt e( A B)t。
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几个特殊的矩阵指数eAt
设单变量系统的差分方程为：
y(k n) an1 y(k n 1) a0 y(k ) bnu(k n) bn1u(k n 1) b0u(k )
相应的系统脉冲传递函数为
bn z n bn 1 z n 1 b1 z b0 G( z ) n z an 1 z n 1 a1 z a0
有
d At At AX ] e X e [X dt e At Bu(t )
考虑初始条件 拉氏变换得 sX ( s ) X ( 0 ) AX ( s )
将上式积分有 t t X (t ) 1 ( sI A) 1 X (0) A d A e Bu( ) d d e X ( ) 0 0 d 1 显然 e At 1 t ( sI A) At A X ( 0 ) e X ( t ) e 可得 At Bu( )d
《自动控制原理》线性定常连续系统状态方程的解
2
k!
= P −1IP + P −1 APt + 1 P −1 A2 Pt 2 + + 1 P −1 Ak Pt k +
2
k!
= P −1 (I + At + 1 A2t 2 + + 1 Ak t k + )P = P −1e At P
2
k!
因而式（9-39）成立。
性质10: 两种常见的状态转移矩阵。设 A = diag[1, 2 ,,n ]，
2. 拉普拉斯变换法。将式（9-22）取拉氏变换有
sX (s) = AX (s) + x(0)
则
(sI − A) X (s) = x(0)
X (s) = (sI − A)−1 x(0)
（9-27）
进行拉氏反变换有
x(t) = −1[(sI − A)−1]x(0)
（9-28）
与（9-25）相比有
e At = −1[(sI − A)−1 ]
进行拉氏反变换有 x(t) = −1(sI − A)−1 x(0) + −1[(sI − A)−1 BU (s)]
由拉氏变换卷积定理
−1[F1(s)F2 (s)] =
t
0 f1 (t − ) f2 ( )d
=
t
0 f1 ( ) f2 (t − )d
在此将(sI − A)−1 视为F1 (s)，将BU (s) 视为 F2 (s) ，则有
x(t) = eA(t) x(0) + t eA(t− )Bu( )d 0 t = (t)x(0) + 0 (t − )Bu( )d
结果与式（9－43）相同。上式又可表示为
2-1 线性定常系统的解及转移矩阵
A(t t0 )
x(t0 )
（8）
将（8）式代入（1）式验证
x (t )
和
d x (t ) A e A(t t0 ) x (t0 ) Ax (t ) dt x (t ) t t e A(t0 t0 ) x (t0 ) x (t0 )
0
矩阵指数函数
e
A ( t t 0 )
即
(t ) A (t ) (t ) A
e A0 I
即
(0) I
3）可逆性 即 4）传递性
e
(t )
e
1
At 1
e At
1 (t ) (t )
A( t 2 t1 ) A( t1 t0 )
即
5）当且仅当
(t2 t1 ) (t1 t0 ) (t2 t0 )
根据凯莱-哈密顿定理
Δ( A) An an1 An1 a2 A2 a1 A a0 I 0 An an1 An1 a2 A2 a1 A - a0 I
例 解
3 9 用凯莱-哈密顿定理计算 2 6 λ 3 9 Δ( λ) det λ2 9λ 0 2 λ 6
1）A 的特征值互异 应用凯-哈定理， λi 和 A 都满足 A 的特征方程。因此， λi 也可以 满足（13）式。
e λit a0 (t ) a1 (t ) λi a2 (t ) λi2 an1 (t ) λin1
（其中，i 1,2,, n ） 写成矩阵形式 e λ1t 1 λ1 λ2t e 1 λ2 λnt e 1 λn 于是
2
100
线性定常连续系统状态方程的解
...
eAtI
AtA2t2
...Aktk
...
2!
k!
其中eAt称为时间t的矩阵指数函数，并有
L1[(sIA)1]L1Is
A s2
A2 s3
.
..
Ak1 sk
.
..
I AtA2t2 ...Aktk ...
2!
k!
eAt
❖ 因此,基于上述(sI-A)-1的拉氏反变换,该齐次方程的解为
x(t)=L-1[(sI-A)-1]x0 = eAt x0
sI A s2 3s 2 (s 1)(s 2)
(sI
A)1
adj(sI A) sI A
(s
1 1)(s
ห้องสมุดไป่ตู้
2)
s 3
2
1 s
2 s 1
1 s2
s
2
1
s
2
2
1 s 1
1 s2
s
1 1
s
2
2
(2) 计算矩阵指数函数eAt。
e At L1[( sI A)1]
L1
s
证明 由指数矩阵函数的展开式,有
eAetAsIA t A 2!2t2... A k!ktk...IAsA 2!2s2... A k!ksk...
IA(ts)A2(t22tss2)... Ak(ts)k...
2!
k!
eA(ts)
3) [Φ(t2-t1)]-1=Φ(t1-t2)
e A ( t 2 t 1 ) 1 e A ( t 2 t 1 ) e A ( t 1 t 2 )
2. 矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质
❖ 由矩阵指数函数的展开式和状态转移矩阵的定义,可证明矩 阵指数函数和状态转移矩阵具有如下性质(Φ(t)为方阵A的状 态转移矩阵) 1) Φ(0)=eA0=I
离散化的状态方程
T ∫0
I ⋅ B ⋅ dt = BT
结论：上式为近似计算方法 例2.6 已知时变系统
0 5(1 − e −5t ) 5 5e −5t u ɺ x= x + −5t −5t 0 5(e − 1) 0 5(1 − e )
试将它离散化，并求出输入和初始条件分别为
0, x(0) = 0时，方程在采样时刻的近似解 u (t ) = 0 1
1 (3)H(T) = ∫ 0 0
T T 1/ 2(1−e )0 1 dt= ∫0 −2t e 1 0 −2t −2t
x 1 [( k + 1)T] x 1 (kT ) (4) = [G (T)] x (kT ) + [H (kT) U (kT)] x 2 [( k + 1)T] 2
归纳：将连续状态方程离散化步骤
1、求Φ(t )＝e = L [ SI − A] 2、G(T ) = Φ(T ) = Φ(t ) t = T T At 3、求H (T ) = ∫0 e Bdt 4、求x[(k + 1)T ] = G(T ) x(kT ) + H (T )u (kT )
At
−1
−1
例2.5已知控制对象满足 1 x + 0u，求其离散化方程 ɺ = 0 x 0 1 −2
系统离散状态方程（T＝0.1） 可见T较小时， x1[(k + 1)T ] 0.9 0.1 x1(kT ) 0 = + r (kT ) 两种方法得 x2[(k + 1)T ] − 0.1 0.9 x2 (kT ) 0.1 状态空间表 x1(kT ) 达式近似相 输出y(kT ) = [1 0] 等。 x2 (kT ) 离散方程求解可按2.3递推法或Z变换求解
现代控制工程简答题
现代控制工程简答题1、控制系统的基本构成及特点。
2、现代控制理论的主要内容。
3、控制系统的状态空间描述及意义。
4、线性定常非齐次连续系统状态（方程解）的动态特性。
参考答案：1、控制系统主要由具有动态特性的被控对象系统、实现控制作用的控制机构、完成数据收集的检测机构，以及实现性能指标评价和信息处理的计算机构等部分构成。
控制系统的主要特点为：以动态系统为控制对象，通过施加必要的操作，实现对象系统状态按照指定的规律进行变化，达到某一特定功能；强调动态过程和动态行为的目的性、稳定性、能观测性、可控性、最优性以及时实性等；控制系统的数学模型主要用微分方程描述，设计方法为动态优化方法。
，2、主要包括五个方面：①线性系统理论（状态空间描述、能控性、能观测性和稳定性分析，状态反馈、状态观测器及补偿理论和设计方法），②建摸和系统辩识（模型结构及参数辩识方法论、参数估计理论），③最优滤波理论（卡尔曼滤波理论），④最优控制理论（经典变分法、最大值原理法、动态规划法），⑤自适应控制理论（模型参考自适应控制方法论、自校正控制方法论、鲁棒稳定自适应理论等）。
3、控制系统的状态空间描述：由状态方程和输出方程组成的状态空间表达式。
状态方程是一个一阶微分方程组，描述系统输入与系统状态的变化关系，即系统的内部描述；输出方程是一个代数方程，主要描述系统状态与系统输出的关系，即系统的外部描述。
意义：状态空间描述反映了控制系统的全部信息，是对系统特性的全部描述，是实现现代控制系统分析、设计的重要手段。
4、线性定常非齐次连续系统状态（方程解）的一般形式为：动态特性：系统状态的动态运动（随时间变化过程）受两部分作用，第一部分为系统初始状态的转移作用，即系统的自由运动项；第二部分为控制输入信号激励下的受控作用，即系统的强迫运动项。
适当选择控制输入，可使系统状态在状态空间中获得满足要求的最佳轨线。
1、控制工程理论（控制科学）的基本任务及广义定义。
线性系统的运动分析
A 有二种标准形式： 对角线矩阵、约当矩阵
（1）当A的特征值 1, 2,, n 为两两相异时：对角线标准型
e1t
0
e At Te AtT1 T
T 1
0
ent
其中： T为使A化为对角线标准型的非奇异变换矩阵。
求状态转移矩阵的步骤：
1） 先求得A阵的特征值 i 。
2） 求对应于 i 的特征向量 pi ，并得到T阵及T的逆阵。
j0
其中： a0(t), a1(t),, an1(t) 为t的标量函数，可按A的特 征值确定。
1） A的特征值 1, 2 ,, n 两两相异时，
注意求逆
a0(t)
1 1
12
n1 1
1
e 1t
a1 ( t )
1
1
22
n1 2
e
2t
an1 ( t )
1
1
2n
n1 n
e
nt
三、几个特殊的矩阵指数函数
（1）设 A diag 1 n ，即A为对角阵且具有互异元素时，
有
e1t
Φt
e2t
0
0
ent
（2）若A能通过非奇异变换为对角阵时，即
T -1AT Λ
e1t
ΦΦ(t)t
T
e2t
0
0
T
-1
(2-9)
ent
1
0
（3）设A为 (n n) 约当阵，即 A
a0
a1
(t (t
) )
1 1
1
1
e
1t
2
e
2t
在第3种方法中已经求得特征根，所以得：
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(t 0)(0 ( )) (t ( )) (t )
（3）可逆性： Φ1(t) Φ(t)
由（1），(t t) I, 由（2），(t)(t) I.
可依此计算0时刻的状态值
x(t) Φ(t)x(0) x(0) Φ1(t)x(t) Φ(t)x(t)
x(t2) (t2 0)x(0)
(t2 ) (t2 t1)(t1 0)
2.2.2、状态转移矩阵的性质
（1）状态转移矩阵初始条件：
Φ(0) I
也即： (t t) I
意为状态向量从时刻 t 转移到t ，显然保持不变。
（2）组合性： (t)( )=(t )
dt
2!
k!
=A(I+At L 1 Akt k +L ) k!
x(t) eAtx0,t 0.
令：
eAt Φ(t)
e
A
(
t
t
0
)
Φ(t t0 )
则有：
状态转移矩阵
x(t) Φ(t)x(0) x(t) Φ(t t0 )x(t0 )
注1：对于线性定常系统来说，状态转移矩阵就是矩阵指数函数。
注2：状态转移矩阵的物理意义：
x(0)
ax(0)(t
t0 )
1 a2 x(0)(t 2!
t0 )2
L
1 ak k!
x(0)(t
t0
)k
L
x(t) Ax(t)
向量
仿照标量 x(t) b0 b1(t t0 ) b2 (t t0 )2 L bk (t t0 )k L 微分方程：
从时间角度看，状态转移矩阵使状态向量随着时间的推移不断地
在状态空间中作转移，故称为状态转移矩阵
x2
x(0)
x(t1 )
0
t1
x(t2 )
t t2
x1
(t1 0)
(t2 t1 )
x(t1) (t1 0)x(0)
x(t2) (t2 t1)x(t1)
x(t2) (t2 t1)(t1 0)x(0)
代入微分方程： x&(t) Ax(t) A(b0 b1(t t0 ) b2 (t t0 )2 L bk (t t0 )k L ) 对 x(t )求导： x&(t) b1 2b2 (t t0 ) 3b3 (t t0 )2 L kbk (t t0 )k 1 L
其解即为自由解。
x(t) |t t0 x(0)
非齐次状态方程：
x Ax Bu, x(t) |tt0 x(t0 )
其解为自由运动和强迫运动之和。
2.1.2、齐次状态方程的解：
状态方程
x(t) Ax(t)
求 x(t) ?
启发：一阶标量微分方程 x&(t) ax(t), x(t0 ) x(0)
u0
x
( A, B)
x& Ax , x(t) |t t0 x(0)
2）强迫运动（零初态响应）：线性定常系统在只有输入作用而无初始状态作用
下的运动，称为强迫运动。 u
x
( A, B)
x& Ax Bu , x(t ) |tt0 x(t0 ) 0
齐次状态方程： x& Ax ,
（4） Φ&(t) AΦ(t) Φ(t)A Φ(0) A
eAt I At 1 A2t2 L 1 Aktk L
2!
k!
（5）
AB BA e(AB)t eAteBt eBteAt
d eAt A 2 A2t L k Akt k 1 L
L
1 k!
Ak
(t
t0
)k
L
)x(t0)
x(t) eA(tt0 )x(t0 )
eA(tt0 )
I
A(t
t0
)
1 2!
A2
(t
t0
)2
L
1 k!
A矩k (阵t 指t0数)k函L数
结论：考虑齐次状态方程 x(t) Ax(t)，
若初始状态为x(t0 ) x0, 其解为：x(t) eA(tt0)x0,t t0,
dx ax dx a dt ln x ln x(0) a(t t0 )
dt
x
x(t) ea(t t0 ) x(0)
指数函数：
ea(t t0 )
1 a(t t0 )
1 a2 2!
(t
t0
)2
L
1 ak (t k!
t0 )k
L
x(t)
若 t0 0, 其解为x(t) eAtx0,t 0.
矩阵指数 eAt 把系统的状态 x(0)转移到 x(t)，也把它称为 状态转移矩阵，记为 (t) 。 (t) 是一般的表示形式
2.2 状态转移矩阵
2.2.1、状态转移矩阵的含义
线性定常系统的齐次状态方程的解：
x(t) eA(tt0)x0,t t0,
b0
Ab0
(t
t0
)
1 2!
A2b0
(t
t0
)2
L
1 k!
Akb0
(t
t0
)k
L
(I
A(t
t0
)
1 2!
A2
(t
t0
)2
L
1 k!
Ak
(t
t0
)k
L
) b0
t t0 x(t0 ) b0
x(t) (I A(t
t0)
1 2!
A2
(t
t0
)2
第二章 控制系统状态空间表达式的解
本章主要内容：
• 线性定常齐次状态方程的解（自由解） • 矩阵指数函数——状态转移矩阵 • 线性定常系统非齐次状态方程的解
2.1 线性定常齐次状态方程的解
2.1.1 线性定常系统的运动
1）自由运动（零输入响应）：线性定常系统在没有控制作用，即u＝0时，
由初始状态引起的运动称自由运动。
比较以上两式系数有：
b1 Ab0
32bb32
Ab1 Ab2
kb k Abk 1
b1 Ab0
b
2
b 3
1312AA2131!bb!A21A23bb00
b k
1
k
Ab1k k!
A1
k
b0
x(t) b0 b1 (t t0 ) b2 (t t0 )2 L bk (t t0 )k L