实验单缝衍射的光强分布和细丝直径测

实验41 单缝衍射的光强分布和细丝直径测量

光具有波动性，衍射是光波动性的一种表现。光的衍射现象是在17世纪由格里马第发现的。19世纪初，菲涅耳和夫琅和费分别研究了一系列有关光衍射的重要实验，为光的波动理论奠定了基础。菲涅耳提出了次波相干迭加的观点，用统一的原理（惠更斯一菲涅耳原理）分析解释光的衍射现象；利用单缝衍射原理可以对细丝直径进行非接触的精确测量。 ［学习重点］

1．通过对夫琅和费单缝衍射的相对光强分布曲线的绘制，加深对光的波动理论和惠更斯——菲涅耳原理的理解。

2．掌握使用硅光电池测量相对光强分布的方法。 3．掌握利用衍射原理对细丝进行非接触测量的方法。 ［实验原理］

1． 单缝衍射

粗略地讲，当波遇到障碍物时，它将偏离直线传播，这种现象叫做波的衍射。衍射系统由光源、衍射屏和接收屏幕组成。通常按它们相互间距离的大小，将衍射分为两类：一类是光源和接收屏幕（或两者之一）距离衍射屏有限远，这类衍射叫做菲涅耳衍射；另一类是光源和接收屏幕都距衍射屏无穷远，这类衍射叫做夫琅和费衍射。本实验研究单缝夫琅和费衍射的情形。

如图41-1（a ），将单色线 光源S 置于透镜L 1的前焦面 上，则由S 发出的光通过L 1 后形成平行光束垂直照射到 单缝AB 上。根据惠更斯一菲 涅耳原理，单缝上每一点都可 以看成是向各个方向发射球面 子波的新波源，子波在透镜L 2 的后焦面（接收屏）上叠加形 成一组平行于单缝的明暗相间

的条纹。如图41-1（b ）所示。和单缝平面垂直的衍射光束会聚于屏上的P 0处，是中央亮纹的中心，其光强为I 0；与光 轴SP 0成θ 角的衍射光束会聚于P θ 处，θ 为衍射角，由惠更斯一菲涅耳原理可得其光强分布为

（41-1） 其中，b 为单缝的宽度，λ为入射单色光波长。 由41-1式可以得到：

1．当θ = 0时，u = 0 ，P θ 处的光强度 I θ =I 0 是衍射图像中光强的最大值，叫主最大。主最大的强度不仅决定于光源的强度，还和缝宽b 的平方成正比；

图41-1

（a ）单缝衍射

（b ）衍射图样

λθπsin ,sin 2

2

b u u u I I =

=θ

2．当sin θ =k λ /b （ k = ± 1，± 2，± 3 …..）时，u = k π ，则有I θ = 0，即出现暗条纹的位置。由于θ 值实际上很小，因此暗条纹出现在θ ≈ k λ /b 处。由此可见，主最大两侧暗纹之间夹角为∆θ =2λ / b ，而其它相邻暗纹之间夹角为∆θ =λ / b ，即暗条纹以P 0为中心，等间距地、左右对称地分布。当入射光波长一定时θ 与b 成反比，缝宽变大，衍射角变小，各级条纹向中央收缩。当b 足够大时（b ≫λ），衍射现象不明显。

3．除了主最大以外，两相邻暗纹之间都有一个次最大。由数学计算得出，这些次最大的位置出现在 u = ±1.43 π , ±2.46 π , ±3.47 π ,…..处。这些次最大的相对光强度依次为：

（41-2） 以上是夫琅和费单缝衍射的主要结果，其光强分布曲线如图41-2所示。

2． 细丝直径测量

一般的细丝直径常用电感测微仪或千分尺进行接触法测量，这种方法受测量力的影响很大，即使在测量力较小的情况下，其相对测量误差也是较大的，而且容易引起细丝的弯曲变形。此外，如测力过小，也由于测量不稳定而无法保证测量精度。夫琅和费衍射原理，为测量细丝直径提供了新的测量原理和方法。

由前面可知，夫琅和费衍射要求光源和衍射场位于无穷远处，但实际上只要这些距离足够大便可认为符合夫琅和费衍射的条件了，为此，如图41-3所示，设被测细丝为φd ，相当于狭缝b ，由于我们采用激光作为光源，因此其发散角很小，可认为是平行光，所以可免除

,008.0,017.0,047.00

=I I

θ图41-2

图41-3

l

φd

S

S k

θ

平行激光束

待测细丝

图41-2

-2.46π -2π -1.43π -π 0 π 1.43π 2π 2.46π

I/I 0

透镜L 1；并将衍射屏幕放置在离细丝较远处（譬如l ≥ 500mm ），这样又可免除透镜L 2。于衍射场P 处仍然可获得一组明暗相间的衍射条纹，只要测得衍射条纹距屏幕中心的距离S k ，便可求得细丝直径φd 。

由于l ≫b （即φd ），此时θ 角很小，故可取： sin θ = tan θ =S k / l 由于衍射暗条纹的条件是：

sin θ ＝ k λ/ b 故 sin θ ＝S k / l = k λ/ b 于是可得

（41-3）

或者由于S k ＝k ·S ，可得 （41-4）

式中：λ—激光波长；S —条纹间距；k —衍射条纹级次。

式（41-3），（41-4）为用激光单缝衍射法测量细丝的基本公式，由公式可知：为了测量细丝直径d ，可以直接从屏幕上由测出S k 或S 来实现。 3．测量不确定度

对式（41-3）进行微分，可得：

（41-5）

式（41-5）中的β 值，相当于此种方法的放大比。由式可知：当d 一定时，β 主要与l 成正比。如d ＝0.lmm ，k ＝4，l =500mm 时；β＝127；而在同样条件下l 增至1000mm 时，β＝253。但另一方面β值又与d 2成反比，因而当d 增大时，其β值迅速下降。例如在上述情况下，当d=0.5 mm 时，β＝10。这说明这种测量方法，当被测细丝直径愈小时，其灵敏度也越高。因此是测量细丝的好方法。

根据误差与不确定度传递公式，这种方法的测量不确定度为： (41-6)

式中：∆d ——细丝直径的测量不确定度； ∆λ——波长λ的检定不确定度； ∆ l ——屏物间距的测量不确定度；

∆S k 一k 个衍射条纹总间距的测量不确定度。

由上式可见：∆λ，∆l ，∆S k 三项不确定度对∆d 都有影响。一般，∆λ由于其检定精度较高，故∆λ可忽略。因此主要的是∆l 和∆S k 的影响。对于误差∆ l 项，当l ＝1000mm 时，∆l 很容易保证小于0.1％。而对误差∆S k ,如用一般的测量装置（刻度值为0.01～0.02mm ）来测量，也可保证其相对误差小于0.1％。但是除了∆l 和∆S k 外，还有相应系数的影响应予以注意，如∆S k 项中系数的影响要比∆l 项要大，尤其当l 较大时，其影响更大，此时应适当地控制∆S k 的影

d S l

k b k

=⋅⋅=λd

S

l

b =⋅=λd d d l k S k ∆⋅-=∆⋅⋅-

=∆βλ2

2222222)

()()(k k k k S S l k l S k S kl d ∆⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛+∆⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+∆⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=∆λλλ