抛物线基础练习题基础有梯度
高三复习抛物线知识点总结及基础测试
第八节抛物线基础测试题1、抛物线定义2、抛物线的标准方程与几何性质1、抛物线28y x =-的准线方程是（） A. 116x =B. 116y =C. 132y =D. 132x = 2、已知抛物线的焦点坐标是(0,3)-，则抛物线的标准方程是（） A. 212x y =- B. 212x y = C. 212y x =- D. 212y x =3、抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为（）A. 2B. 3C. 4D. 5 4、在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线关于x 轴对称，顶点在原点O ，且过点(2,4)P ，则该抛物线的方程是_________.5、设抛物线28y x =，过焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，过AB 中点M 作x 轴平行线交y 轴于N ，若2MN =，则AB =_________. 1、已知抛物线22y x =的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点(3,2)A .（1）求PA PF +最小值，并求出取最小值时P 点的坐标； （2）求点P 到点1(,1)2B -的距离与点P 到直线12x =-的距离之和的最小值.2、已知抛物线22=的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点y x+的最小值及A，抛物线的准线是l，点P到l的距离为d，求PA d(3,3)此时P点的坐标.3、已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点(3,)-M m 到焦点的距离为5，求抛物线的方程和m的值.4设抛物线2(0)=≠的准线与直线1y mx mx=的距离为3，求抛物线的方程.5、已知抛物线2=>过点(1,2)C y px p:2(0)A-.（1）求抛物线C的方程，并求其准线方程；（2）是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l l的方程；若不存在，说明理由.6、已知动圆过定点(1,0)，且与直线1x=-相切.（1）求动圆的圆心轨迹C的方程；（2）是否存在直线l，使l过点(1,0)并与轨迹C交于,P Q两点，且满足OP OQ⋅=若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.1、抛物线28=的焦点到准线的距离是（）y xA. 1B. 2C. 4D. 82、已知抛物线22(0)=>，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线y px p于,A B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（）A ．1x = B. 1x =- C. 2x = D. 2x =- 3、已知过抛物线24y x =的焦点F 的直线交该抛物线于,AB 两点，2AF =,则BF =_________.4、以椭圆221139x y +=的左焦点为焦点的抛物线的标准方程是（）A.2y = B. 2y =- C. 28y x = D. 28y x =-5、已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点11,12233(),(,),(,)P x y P x y P x y 在抛物线上，且2132x x x =+，则有（）A. 123FP FP FP +=B. 222123FP FP FP += C. 2132FP FP FP =+ D. 2213FP FP FP =⋅ 6、已知点P 是抛物线2y x =的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）92。
抛物线基础训练
抛物线基础练习一、选择题1．抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 52．抛物线y=42x 上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是 ( A )1716 ( B ) 1516 ( C ) 78( D ) 0 3．抛物线以原点为顶点，以坐标轴为对称轴，且焦点在直线240x y --=上，则抛物线的方程为（A ）216y x = （B ）28x y = （C ）28x y =-或216y x =（D ）28x y =或216y x = 4．过抛物线24y x =的焦点作直线交抛物线于点()()1122,,,P x y Q x y 两点，若126x x +=，则PQ 中点M 到抛物线准线的距离为（A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）25．设抛物线y 2=8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是（A ）[－12，12] （B ）[－2，2] （C ）[－1，1] （D ）[－4，4] 6．已知点(2,0)A -、(3,0)B ，动点2(,)P x y PA PB x ⋅=满足，则点P 的轨迹是 （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线7.若抛物线的顶点在原点,对称轴在坐标轴上,且焦点在直线x －y+1=0上,则此抛物线方程为(A)x 2=2y,y 2=－2x (B) x 2=－2y,y 2=2x (C) x 2=－4y,y 2=4x (D) x 2=4y,y 2=－4x8．如果方程y=kx+3表示倾斜角为钝角的直线,那么方程kx 2+3y 2=1表示的曲线是(A)圆; (B)抛物线; (C)椭圆; (D)双曲线.9．过抛物线y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，如果x 1+x 2=6，那么|AB|=(A)10; (B)8; (C)6; (D)4.10．定点P(0,2)到曲线y=|212x －1|上点的最短距离为 (A)5 (B)1 (C)2 (D)611．一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a,b,c ∈R ，且a≠0)的判别式是1，两根之积为－8，.则（b ，c ）的轨迹是(A)椭圆 (B)双曲线 (C)抛物线 (D)两个点12．过抛物线焦点F 的直线与抛物线相交于A 、B 两点，若A 、B 在抛物线的准线上的射影分别是A 1，B 1，则∠A 1FB 1等于(A)450; (B)600; (C)900; (D)1200.二.填空题13.抛物线28x y =的准线方程为 14．抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴且焦点在双曲线22194y x -=上，则抛物线的标准方程为 15．已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为y 轴，在抛物线上有一点M (,4)a -到焦点F 的距离为5，则抛物线的标准方程为 ，a 的值为16.抛物线y 2=－12x 的一条弦的中点为M （－2，－3），则此弦所在直线的方程是三、解答题：.17.已知抛物线顶点在原点，焦点在x 轴上，又知此抛物线上一点A （4，m ）到焦点的距离为6. （1）求此抛物线的方程； （2）若此抛物线方程与直线2-=kx y 相交于不同的两点A 、B ，且AB 中点横坐标为2，求k 的值.18正方形的一条边AB 在直线y=x+4上，顶点C 、D 在抛物线y 2=x 上，求正方形的边长.。
抛物线基础题(含答案)
抛物线（A)一.选择题：1． 准线为x ＝2的抛物线的标准方程是A ．24y x =- Ｂ．28y x =- C.24y x = D.28y x = (答：B) 2． 焦点是（-5，０)的抛物线的标准方程是A.25y x =B.210y x =-C.220y x =-D.220x y =- (答:C)3． 抛物线F 是焦点,则p 表示A. Ｆ到准线的距离B.F 到准线距离的14 B. C. F 到准线距离的18D. F 到ｙ轴距离的 (答:B) 4． 动点M （ｘ，ｙ)到点Ｆ(4，0)的距离比它到直线x+5＝0的距离小１，则点M 的轨迹方程是Ａ.40x += B.40x -= C.28y x = Ｄ.216y x = （答:D ） 5． 若抛物线2(1)y a x =+的准线方程是x=－3，那么抛物线的焦点坐标是Ａ.（3,0) B.(２,０) Ｃ.1，0) Ｄ.（-1,0） （答:C)6． 24x y =点于直线0x y -=对称的抛物线的焦点坐标为 A 10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭ B 10,16⎛⎫- ⎪⎝⎭ C 1,016⎛⎫ ⎪⎝⎭Ｄ1,016⎛⎫- ⎪⎝⎭ （答:A) 7． 动点P 到直线40x +=的距离减去它到()2,0M 的距离之差等于2,则点Ｐ的轨迹是A 直线B 椭圆 Ｃ双曲线 Ｄ抛物线 （答:D)8． 抛物线的顶点在原点,焦点在y 轴上,抛物线上一点(),3P m -到焦点的距离为5，则抛物线的准线方程是A 4y = Ｂ4y =- C 2y = D 2y =- （答：C ）9． 抛物线()20y ax a =<的焦点坐标和准线方程分别为 A 11,044x a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭B 11,044x a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭C 110,44y a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D 110,44y a a⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ (答:Ｃ) 10. 在28y x =上有一点Ｐ，它到焦点的距离是20，则P 点的坐标是A ()8,12 Ｂ()18,12- C ()18,12或()18,12- D ()12,18或()12,18-（答:Ｃ）11． 物线210y x =的焦点到准线的距离是 A.10 B.5 C.20 D.52 (答:B) 12． 抛物线28x y =-的焦点坐标是Ａ.()4,0- B ．()0,4- Ｃ.()2,0- Ｄ.()0,2- (答：Ｄ)二.填空题：1． 2(0)y ax a =≠的焦点坐标是 答：(,0)4a2． 24y x =的焦点坐标是准线方程是 (答：（0,116),116y =- 3． 顶点在原点,焦点为(0,－2）的抛物线的方程为 (答：28x y =-）4． 抛物线22(0)y px p =>上一点Ｍ到焦点的距离是()2p a a >，则点M 到准线的距离是点Ｍ的横坐标是 (答：,2p a a -） 5． 一条隧道的顶部是抛物拱形，拱高１.1米,跨度是2．2米,则拱形的抛物线方程是（答：21.1x y =-)6． 抛物线22(0)y px p =>点()23-，到其焦点的距离是5,则p ＝_______(答：4） 7． 抛物线()()12,1812,18-24x y =上一点A 的纵坐标为4,则点Ａ与抛物线的焦点为___＿＿__（答：5)三．解答题:1． 根据下列条件写出抛物线的标准方程（1） 焦点是F(３,0) (答：212y x =）（2） 准线方程是14x =- (答:2y x =） （3） 焦点到准线距离是２ (答：2x y =±24y x =±)2． 求顶点在原点，对称轴为坐标轴,过点(2，-8)的抛物线方程,并指出焦点和准线。
抛物线基础练习题(基础有梯度)
抛物线基础练习题一. 选择题1．抛物线212y x =的准线方程是A.3x =B. 3x =-C. 3y =D. 3y =- 2． 若直线10ax y -+=经过抛物线24y x =的焦点，则实数a = A.1 B.2 C. 1- D. 2- 3．抛物线22y x =-和22y x =-的焦点坐标分别是A.1,08⎛⎫- ⎪⎝⎭和10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 10,8⎛⎫- ⎪⎝⎭ 和1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭和10,8⎛⎫- ⎪⎝⎭D. 10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭和1,08⎛⎫- ⎪⎝⎭4．若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为 A ．2- B ．2 C ．4- D ．45．若双曲线2221613x y p-=的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p 的值为A ．2B ．3C ．4D ．6．设椭圆22221(00)x y m n m n +=>>，的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为A ．2211216x y +=B ．2211612x y += C ．2214864x y += D ．2216448x y += 7．若点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为A ．2B ．3CD ．928． 已知直线1:4360l x y -+=和2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到1l 和2l 的距离之和的最小值是 A ．115B ．3C ．2D ．37169．已知点P 在24y x =上，那么点P 到点(21)Q -，的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为A ．114⎛⎫- ⎪⎝⎭，B ．114⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．(12)，D ．(12)-，10．已知22y px =的焦点为F ，点111222()()P x y P x y ，，，，333()P x y ，在抛物线上，且2132x x x =+，则 Ａ.123FP FP FP += Ｂ.222123FP FP FP +=Ｃ.2132FP FP FP =+ Ｄ.2213FPFP FP =⋅ 11．连结抛物线24x y =的焦点F 与点(1,0)M 所得线段与抛物线交于点A ，设点O 为坐标原点，则三角形OAM 的面积为A ．1-B ．32- C ．1+D ．3212．已知直线(2)(0)y k x k =+>与抛物线2:8C y x =相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点，若2FA FB =，则k =A ．13B ．3C ．23D ．313．过点(1,0)-作抛物线21y x x =++的切线，则其中一条切线方程是A ．220x y ++=B ．330x y -+=C ．10x y ++=D ．10x y -+=14．设P 为曲线2:23C y x x =++上一点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的范围是[0,]4π，则点P 横坐标的取值范围是A ．1[1,]2--B ．[1,0]-C ．[0,1]D ．1[,1]215． 抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值为 A ．43B ．75 C ．85D ．316．设抛物线24x y =的焦点为F ，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若0FA FB FC ++=，则FA +FB +FC =A ．9B ．6C ．4D ．317．设O 是坐标原点,F 是22(0)y px p =>的焦点,A 是抛物线上的点,FA 与x 轴正向的夹角为60,则OA =A ．214pB ．C pD ．1336p18．已知抛物线的准线方程为20x y +-=，焦点是(5,5)F ，则抛物线的顶点坐标是.(3,5)A B ．(5,3)C ．(2,2)D ．(3,3)二. 填空题19．若抛物线顶点是坐标原点,焦点坐标是()2,0F -,则抛物线方程是 20． 若抛物线顶点是坐标原点,准线方程是()0y m m =≠,则抛物线方程是 21．若点P 到直线1x =-的距离比它到点(20)，的距离小1，则点P 的轨迹方程为22． 已知动圆过定点,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，且与直线2p x =-相切，其中0p >.则动圆圆心C 的轨迹的方程是23． 与圆0422=-+x y x 外切且与y 轴相切的动圆的圆心的轨迹方程是 24．抛物线2y ax =的准线方程是2y =,则a =25．在抛物线22y px =上,横坐标为4的点到焦点的距离为5,则p =26． 已知抛物线21y ax =-的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为27． 已知F 是抛物线24C y x =：的焦点，A B ，是C 上的两个点，线段AB 的中点为(22)M ，，则ABF =△S ．28．已知圆C 的圆心与抛物线24y x =的焦点关于直线y x =对称，直线4320x y --=与圆C 相交于A B ，两点，若6AB =，则圆C 的方程为三. 解答题29. 在ABC ∆中，角C B A ,,所对边分别为c b a ,,，已知,2,32==c a bc B A 2cot tan 1=⋅+，求ABC ∆的面积S.30．为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类。
抛物线基础习题训练
抛物线基础训练（解析版）1.抛物线218y x ＝－的焦点是________，准线方程是__________． 【答案】（0，-2）； 2y =， 【解析】218y x ＝－可化为2=8x y －， 所以其焦点坐标为（0，-2），准线为2y =．2．已知抛物线过点(1，1)，则该抛物线的标准方程是______．（ ）A. x 2＝yB. y 2＝xC. y 2＝4xD. y 2＝x 或x 2＝y【答案】D ；【解析】设抛物线为y 2＝2px (p >0)或x 2＝2My (M >0)，把(1，1)代入得1＝2p 或1＝2M ，∴p ＝12或M ＝12， ∴抛物线方程为y 2＝x 或x 2＝y .3．抛物线22y px =过点(2,4)A ，F 是其焦点，又定点(8,8)B -，那么||:||AF BF =（ ）A.1:4B.1:2C.2:5 D .3:8【答案】C ；【解析】将点(2,4)A 的坐标代入22y px =，得4p =,∴抛物线方程为28y x =, 焦点(2,0)F ，已知(8,8)B -, ∴2222)08()28()04()22(||||--+--+-=BF AF =52104=. 4. 抛物线21(0)y x m m =<的焦点坐标是( ) A.(0,)4m B. (0,)4m - C. 1(0,)4m D. 1(0,)4m- 【答案】 A ；【解析】∵x 2＝My (M <0)，∴2p ＝－M ，p ＝2m -，焦点坐标为(0,)2p -，即(0,)4m . 5. 已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为( ) A.12 B ．1 C ．2 D ．4【答案】 C ；【解析】本题考查抛物线的准线方程，直线与圆的位置关系．抛物线y 2＝2px (p >0)的准线方程是x ＝2p -，由题意知，3＋2p ＝4，p ＝2. 6.抛物线y 2＝x 上一点P 到焦点的距离是2，则P 点坐标为【答案】 7(,42± 【解析】 设P (x 0，y 0)，则|PF |＝x 0＋2p ＝x 0＋14＝2，∴x 0＝74，∴y 0＝. 7．以双曲线221169x y -=的中心为顶点，左焦点为焦点的抛物线方程是__________． 【答案】y 2＝－20x【解析】 ∵双曲线的左焦点为(－5,0)，故设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)，又p ＝10，∴y 2＝－20x .8．抛物线y 2＝16x 上到顶点和焦点距离相等的点的坐标是________．【答案】(2，±【解析】 设抛物线y 2＝16x 上的点P (x ，y )由题意，得(x ＋4)2＝x 2＋y 2＝x 2＋16x ，∴x ＝2，∴y ＝±9.分别求适合下列条件的抛物线方程.（1）顶点在原点，以坐标轴为对称轴，且过点A （2，3）；（2）顶点在原点，以坐标轴为对称轴，焦点到准线的距离为52. 【答案】（1）292y x =或243x y =； （2）25y x =或25y x =-或25x y =-或25x y =-；10.已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点M (-3，M )到焦点的距离等于5，求抛物线的方程与M 的值.【解析】设抛物线的方程为y 2=-2p x ，p |MF |35p 42=+=∴=Q ，， 所以抛物线的方程为y 2=-8x ，2m 24,∴=m =±11.点M 到直线y +5=0的距离比它到点N (0，4)距离大1，求点M 的轨迹方程.13. 【解析】 法一：设M (x ，y )为所求轨迹上任一点，则y 51,y 4+=∴+=，2x 16y ∴=即为所求.法二：由题知M 到直线y =-4的距离等于它到N 的距离，所以M的轨迹是抛物线，焦点为N(0，4)，准线为y=-4，∴x2=16y12.若点M到定点F（4，0）的距离比它到直线l：x+6=0的距离小2，求点M的轨迹方程．【答案】216y x=13.已知抛物线关于y轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M-，求它的标准方程．【答案】2x y=．14.抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点(－5，2)到焦点的距离是6，则抛物线的方程为()A．y2＝－2x B．y2＝－4xC．y2＝2x D．y2＝－4x或y2＝－36x【答案】B15.若抛物线y2＝2px(p>0)上一点M到准线及对称轴的距离分别为10和6，求M点的横坐标及抛物线方程．【解析】∵点M到对称轴的距离为6，∴设点M的坐标为(x,6)．∵点M到准线的距离为10，∴262102pxpx⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得92xp=⎧⎨=⎩，或118xp=⎧⎨=⎩，故当点M的横坐标为9时，抛物线方程为y2＝4x.当点M的横坐标为1时，抛物线方程为y2＝36x.16.已知抛物线的方程为x2＝8y，F是其焦点．点A(－2，4)在抛物线的内部，在此抛物线上求一点P，使|PF|＋|P A|的值最小．【思路点拨】如图所示，根据抛物线的定义把PF转化为PQ，使折线段P A，PQ的两端点A，Q分别落在抛物线的两侧，再通过“数形结合”可知当A，P，Q三点共线时距离达到最小．【答案】122 P⎛⎫ ⎪⎝⎭－，【解析】∵点A(－2，4)在抛物线x2＝8y内部，如上图所示，设抛物线的准线为l，过P作PQ⊥l于Q，过A作AB⊥l于B.由抛物线的定义可知|PF|＋|P A|＝|PQ|＋|P A|≥|AQ|≥|AB|.当且仅当A，P，Q三点共线时，|PF|＋|P A|的值最小，此时点P的坐标为(－2，y0)，代入x2＝8y，得y0＝12，故当点P的坐标为122⎛⎫⎪⎝⎭－，)时，|PF|＋|P A|的值最小．17.若点A的坐标为(3，2)，F为抛物线y2＝2x的焦点，点P在该抛物线上移动，为使得|P A|＋|PF|取得最小值，则P点坐标为()A．(0，0)B．(1，1) C．(2，2) D.11 2⎛⎫ ⎪⎝⎭，【答案】C【解析】由抛物线定义，|PF|等于点P到抛物线准线的距离|PP′|，如图所示，因此，当且仅当点P、A、P′在同一条直线上时，有|PF|＋|P A|＝|PP′|＋|P A|最小，此时点P的纵坐标等于A点纵坐标，即y＝2，故此时P点坐标为(2，2)．故选C.。
(完整版)抛物线进阶练习题
(完整版)抛物线进阶练习题本文档提供了一系列的进阶级抛物线练题，旨在帮助您巩固抛物线的相关知识和技巧。
以下是题目详解：题目一：抛物线的焦点和准线已知抛物线的顶点坐标为$(h,k)$，准线与$x$轴的交点为$(p,0)$，根据已知条件回答以下问题：1. 要求导出抛物线焦点的坐标。
2. 计算准线的方程。
题目二：求解抛物线与直线的交点已知一条直线的方程$y=ax+b$和抛物线的方程$y=cx^2+dx+e$，根据已知条件回答以下问题：1. 求出抛物线与直线的交点坐标。
2. 根据交点坐标，判断抛物线与直线是否相交。
题目三：抛物线的平移和缩放已知标准抛物线的方程$y=x^2$，根据已知条件回答以下问题：1. 若将抛物线平移至点$(a,b)$，求出平移后抛物线的方程。
2. 若将抛物线沿着$x$轴缩放$k$倍，求出缩放后抛物线的方程。
题目四：抛物线的最值已知抛物线的方程$y=ax^2+bx+c$，根据已知条件回答以下问题：1. 求抛物线的顶点坐标。
2. 根据顶点坐标，判断抛物线的开口方向和最值。
题目五：抛物线的面积和弧长已知抛物线的方程$y=ax^2+bx+c$，根据已知条件回答以下问题：1. 计算抛物线在区间$[x_1,x_2]$上的面积。
2. 计算抛物线在区间$[x_1,x_2]$上的弧长。
题目六：实际应用根据实际问题回答以下问题：1. 小球从离地面为$h$的地方以初速度$v$沿着与地面垂直方向抛出，求解小球的抛物线轨迹方程。
2. 根据抛物线轨迹方程，计算小球在某个时刻$t$的高度。
以上是关于抛物线进阶练题的完整题目。
希望这些练题能够帮助您巩固和拓展抛物线的知识与技巧。
祝您练愉快，取得好成绩！> 注意：本文档所给题目仅为举例，实际练习中可根据需要进行调整和扩展。
抛物线知识点及基础训练题
抛物线1．抛物线定义：平面内到一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线． 2．抛物线四种标准方程的几何性质：图形参数p 几何意义 参数p 表示焦点到准线的距离，p 越大，开口越阔. 开口方向右左上下标 准方 程 22(0)y px p => 22(0)y px p =-> 22(0)x py p => 22(0)x py p =->焦 点位 置 X 正X 负Y 正Y 负焦 点坐 标 (,0)2p(,0)2p- (0,)2p (0,)2p -准 线方 程2p x =-2p x =2p y =-2p y =范 围0,x y R ≥∈ 0,x y R ≤∈ 0,y x R ≥∈ 0,y x R ≤∈对 称轴X 轴 X 轴 Y 轴 Y 轴顶 点坐 标（0,0）离心率1e = 通 径2p焦半径11(,)A x y 12p AF x =+12p AF x =-+12p AF y =+12p AF y =-+焦点弦长AB 12()x x p ++ 12()x x p -++ 12()y y p ++ 12()y y p -++焦点弦长AB 的补充11(,)A x y 22(,)B x y以AB 为直径的圆必与准线l 相切若AB 的倾斜角为α，22sin p ABα= 若AB 的倾斜角为α，则22cos p AB α= 2124p x x = 212y y p =-112AF BF AB AF BF AF BF AF BF p++===∙∙ 3．抛物线)0(22>=p px y 的几何性质：(1)范围 因为p>0，由方程可知x ≥0，所以抛物线在y 轴的右侧，当x 的值增大时，|y |也增大，说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． (2)对称性：对称轴要看一次项，符号决定开口方向． (3)顶点（0，0），离心率：1=e ，焦点(,0)2p F ，准线2px -=，焦准距p ． (4) 焦点弦：抛物线)0(22>=p px y 的焦点弦AB ，),(11y x A ,),(22y x B ,则p x x AB ++=21||．弦长|AB |=x 1+x 2+p ,当x 1=x 2时，通径最短为2p 。
抛物线知识点及基础训练题
1图形几何意义参数p 表示焦点到准线的距离，p 越大，开口越阔. 开口方向标准方程焦 点准线方程范 围对 称轴 离心率 通 径焦半径12p AF x =+12p AF x =-+12p AF y =+12p AF y =-+方程及性质1、顶点是原点,对称轴是x 轴,抛物线过点(5-,25),抛物线的标准方程是2、22(0)y px p =>焦点为F ，(0,2)A .FA 中点B 在抛物线上，B 到准线的距离为3、F 为x y 42=的焦点，A 是上一点，4-=⋅AF OA ，点A 的坐标4、过y 2=4x 的焦点作直线，交抛物线于A(x 1, y 1) ，B(x 2, y 2)，x 1+ x 2=6，|AB|= 抛物线曲线几何意义4、动点P 到点(2,0)F 的距离与它到直线20x +=的距离相等,则P 的轨迹方程为5、22(0)y px p =>的准线与圆22670x y x +--=相切,则p 的值为6、点M 与点()0,4F 的距离比它到直线05=+x 的距离小1,求点M 的轨迹方程7、28y x =上点M 与定点(6,0)A 为端点的线段MA 的中点为P ，P 点的轨迹方程．8.到点(1，1)和直线x +2y =3距离相等的点的轨迹是9.x,y=则(),P x y 的轨迹焦半径10、从x y 42=上一点P 引准线垂线,垂足M,|PM|=5,焦点F,△MPF 面积为 11、A,B,C 为22(0)y px p =>上的三点,F 为焦点,0FA FB FC ++=,求||||||FA FB FC ++=12、顶点在原点,焦点在x 轴的正半轴上,F 为焦点,,,A B C 为抛物线上的三点.满足0FA FB FC ++=,FA +FB +6FC =,抛物线的方程为13、y 2=4x ,过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，则y 12+y 22的最小值是14、2:8C y x =焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且AK =，则AFK ∆的面积为过焦点弦15.过抛物线x y =2焦点作一条直线与抛物线交于A 、B 两点，它们横坐标之和等于3，直线有 条16.点),4,3(A F1.过抛物线x y 42=的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于)(422R a a a ∈++，则这样的直线最值问题17.,42x y =焦点为F,)2,2(A ,P 为抛物线上的点,则PF PA +的最小值为 18、点P 在24y x =上，点P 到点(21)Q -，的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P=19在24y x =上求一点，使该点到直线45y x =-的距离为最短，求该点的坐标 20.P 是抛物线上的一个动点1）求点P 到点A （-1，1）的距离与点P 到直线的距离之和的最小值2）若B （3，2），求的最小值21.P 为抛物线px y 22=上任一点，F 为焦点，则以PF 为直径的圆与y 轴 22.过抛物线()022>=p px y 的焦点F 作直线交抛物线于()()1122,,,A x y B x y 两点，求证： 1）12AB x x p =++ 2）pBF AF 211=+ 三、定点与定值23.一动圆的圆心在抛物线x y 82=上，且动圆恒与直线02=+x 相切，则此动圆必过定点24.设抛物线22y px =过焦点的弦两端分别为()()1122,,,A x y B x y ，那么：212y y p =- 25.求证:以抛物线过焦点的弦为直径的圆，必与此抛物线准线相切26.抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点111222()()P x y P x y ，，，，333()P x y ，在抛物线上，且||1F P 、||2F P 、||3F P 成等差数列，则有2312x x x =+．27.抛物线D ：y 2=4x 的焦点与椭圆Q ：)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点F 1重合，且点)26,2(P 在椭圆Q 上. （Ⅰ）求椭圆Q 的方程及其离心率； （Ⅱ）若倾斜角为45°的直线l 过椭圆Q 的左焦点F 2，且与椭圆相交于A ，B两点，求△ABF1的面积.。
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抛物线基础练习题
一. 选择题
1．抛物线212y x =的准线方程是
A.3x =
B. 3x =-
C. 3y =
D. 3y =- 2． 若直线10ax y -+=经过抛物线24y x =的焦点，则实数a = A.1 B.2 C. 1- D. 2- 3．抛物线22y x =-和22y x =-的焦点坐标分别是
A.1,08⎛⎫- ⎪⎝⎭ 和10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭
B. 10,8⎛
⎫- ⎪⎝
⎭ 和1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭ C. 1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭和10,8⎛
⎫- ⎪⎝⎭ D. 10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭和1,08⎛⎫
- ⎪⎝⎭
4．若抛物线2
2y px =的焦点与椭圆22
162
x y +
=的右焦点重合，则p 的值为 A ．2- B ．2 C ．4- D ．4
5．若双曲线22
21613x y p
-=的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p 的值为
A ．2
B ．3
C ．4
D ．6．设椭圆22221(00)x y m n m n +=>>，的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同，离心率为1
2
，则此椭圆
的方程为
A ．22
11216
x y +
=
B ．22
11612x y +
= C ．22
14864x y +
= D ．22
16448
x y +
= 7．若点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为
A B ．3 C D ．92
8． 已知直线1:4360l x y -+=和2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到1l 和2l 的距离之和的最小值是 A ．
115
B ．3
C ．2
D ．
3716
9．已知点P 在24y x =上，那么点P 到点(21)Q -，的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为
A ．114⎛⎫- ⎪⎝⎭，
B ．114⎛⎫
⎪⎝⎭
， C ．(12)， D ．(12)-，
10．已知22y px =的焦点为F ，点111222()()P x y P x y ，，，，333()P x y ，在抛物线上，且2132x x x =+，则 Ａ.123FP FP FP +=
Ｂ.222
123FP FP FP +=
Ｃ.2132FP FP FP =+ Ｄ.2
213FP
FP FP =⋅ 11．连结抛物线24x y =的焦点F 与点(1,0)M 所得线段与抛物线交于点A ，设点O 为坐标原点，则三角形OAM 的面积为
A ．1-
B ．
3
2
- C ．1
D ．3
2
12．已知直线(2)(0)y k x k =+>与抛物线2:8C y x =相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点，若2FA FB =，则k =
A ．13
B ．
C ．
23
D ．
13．过点(1,0)-作抛物线21y x x =++的切线，则其中一条切线方程是
A ．220x y ++=
B ．330x y -+=
C ．10x y ++=
D ．10x y -+=
14．设P 为曲线2:23C y x x =++上一点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的范围是[0,]4
π
，则点P 横坐
标的取值范围是
A ．1
[1,]2
--
B ．[1,0]-
C ．[0,1]
D ．1
[,1]2
15． 抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值为 A ．
43
B ．
75 C ．8
5
D ．3
16．设抛物线24x y =的焦点为F ，A 、B 、
C 为该抛物线上三点，若0FA FB FC ++=，则FA +FB +FC =
A ．9
B ．6
C ．4
D ．3
17．设O 是坐标原点,F 是22(0)y px p =>的焦点,A 是抛物线上的点,FA 与x 轴正向的夹角为60,则
OA =
A ．
214
p
B ．
2
C ．
6
p D ．
1336
p
18．已知抛物线的准线方程为20x y +-=，焦点是(5,5)F ，则抛物线的顶点坐标是
.(3,5)A B ．(5,3)
C ．(2,2)
D ．(3,3)
二. 填空题
19．若抛物线顶点是坐标原点,焦点坐标是()2,0F -,则抛物线方程是 20． 若抛物线顶点是坐标原点,准线方程是()0y m m =≠,则抛物线方程是 21．若点P 到直线1x =-的距离比它到点(20)，的距离小1，则点P 的轨迹方程为
22． 已知动圆过定点,02p ⎛⎫
⎪⎝⎭
，且与直线2p x =-相切，其中0p >.则动圆圆心C 的轨迹的方程是
23． 与圆0422=-+x y x 外切且与y 轴相切的动圆的圆心的轨迹方程是 24．抛物线2y ax =的准线方程是2y =,则a =
25．在抛物线22y px =上,横坐标为4的点到焦点的距离为5,则p =
26． 已知抛物线21y ax =-的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为
27． 已知F 是抛物线24C y x =：的焦点，A B ，是C 上的两个点，线段AB 的中点为(22)M ，，则
ABF =△S ．
28．已知圆C 的圆心与抛物线24y x =的焦点关于直线y x =对称，直线4320x y --=与圆C 相交于
A B ，两点，若6AB =，则圆C 的方程为
三. 解答题
29. 在ABC ∆中，角C B A ,,所对边分别为c b a ,,，已知,2,32==c a b
c B A 2cot tan 1=⋅+，
求ABC ∆的面积S.
30．为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程
三类。
这三类工程所含项目的个数分别占总数的12、13、1
6。
现有3名工人独立地从中任选一个项
目参与建设。
求：
（1）他们选择的项目所属类别互不相同的概率； （2）（文科）至少有一人选择的项目属于民生工程的概率。
（3）（理科）记ξ为3人中选择的项目中属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求ξ的分布列和数学期望。
31． 已知直线b x y +=与以椭圆22
134
x y +=的上焦点为焦点,顶点在坐标原点O 的抛物线交于A 、B
两点,
若△OAB是以角O为直角的三角形，求b的值。