主成分分析法概念及例题.doc
主成分分析法(1)【可编辑全文】
Fp
Cov(xi , Fj ) Cov(ui1F1 ui2F2 L uipFp , Fj ) uijj
(
xi
,
Fj
)
uij j i
j
uij j i
可见，xi 和 Fj 的相关的密切程度取决于对 应线性组合系数的大小。
五、原始变量被主成分的提取率
前面我们讨论了主成分的贡献率和累计贡献率，他度 量 了 F1 ， F2 ， …… ， Fm 分 别 从 原 始 变 量 X1 ， X2，……XP中提取了多少信息。那么X1，X2，……XP 各有多少信息分别F1，F2，……，Fm被提取了。应该用 什 么 指 标 来 度 量 ？ 我 们 考 虑 到 当 讨 论 F1 分 别 与 X1 ， X2 ， ……XP 的 关 系 时 ， 可 以 讨 论 F1 分 别 与 X1 ， X2，……XP的相关系数，但是由于相关系数有正有负， 所以只有考虑相关系数的平方。
F1
F2
F3
i
i
t
F1
1
F2
0
1
F3
0
0
1
i 0.995 -0.041 0.057
l
Δi -0.056 0.948 -0.124 -0.102 l
t -0.369 -0.282 -0.836 -0.414 -0.112 1
主成分分析是把各变量之间互相关联的复杂 关系进行简化分析的方法。
在社会经济的研究中，为了全面系统的分析 和研究问题，必须考虑许多经济指标，这些指标 能从不同的侧面反映我们所研究的对象的特征， 但在某种程度上存在信息的重叠，具有一定的相 关性。
i
m
j
u2 ij
/
2 i
m
(完整word版)主成分分析练习题
主成分分析填空题1．主成分分析是通过适当的变量替换，使新变量成为原变量的___________，并寻求_________的一种方法。
2．主成分分析的基本思想是______________。
3．主成分的协方差矩阵为_________矩阵。
4．主成分表达式的系数向量是_______________的特征向量。
5．原始变量协方差矩阵的特征根的统计含义是________________。
6．原始数据经过标准化处理，转化为均值为____ ，方差为____ 的标准值，且其________矩阵与相关系数矩阵相等。
7．因子载荷量的统计含义是_____________________________。
8．样本主成分的总方差等于_____________。
9．在经济指标综合评价中，应用主成分分析法，则评价函数中的权数为________________。
10．SPSS 中主成分分析采用______________命令过程。
计算题1．设三个变量(x 1,x 2,x 3)的样本协方差矩阵为：2121002222222<<-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡r s rs r s s r s r s s试求主成分及每个主成分的方差贡献率。
解特征方程：=∑-I λ02．在一项对杨树的性状的研究中，测定了20株杨树树叶，每个叶片测定了四个变量：叶长(x 1),2/3处宽(x 2)，1/3处宽(x 3)，1/2处宽(x 4)。
这四个变量的相关系数矩阵的特征根和标准正交特征向量分别为：)7930.0,5513.0,2519.0,0612.0(007.0)1624.0,5589.0,7733.0,2516.0(049.0)0824.0,2695.0,0984.0,9544.0(024.1)5814.0,5577.0,5735.0,1485.0(920.244332211--='=--='=-='=---='=U U U U λλλλ(1) 写出四个主成分，计算它们的贡献率。
(完整版)主成分分析法的步骤和原理.doc
（一）主成分分析法的基本思想主成分分析（ Principal Component Analysis ）是利用降 的思想，将多个 量 化 少数几个 合 量（即主成分） ，其中每个主成分都是原始 量的 性 合，各主成分之 互不相关， 从而 些主成分能 反映始 量的 大部分信息，且所含的信息互不重叠。
[2]采用 种方法可以克服 一的 指 不能真 反映公司的 情况的缺点，引 多方面的 指 ， 但又将复 因素 几个主成分， 使得复 得以 化，同 得到更 科学、准确的 信息。
（二）主成分分析法代数模型假 用 p 个 量来描述研究 象，分 用 X 1， X 2⋯X p 来表示， p 个 量构成的 p 随机向量 X=(X 1，X 2⋯X p )t 。
随机向量 X 的均 μ， 方差矩 Σ。
X 行 性 化，考 原始 量的 性 合：Z 1=μ11 X 1+μ12 X 2+⋯μ 1p X p Z 2=μ21 X 1+μ22 X 2+⋯μ 2p X p ⋯⋯ ⋯⋯ ⋯⋯Z p =μp1 X 1+μp2 X 2+⋯μ pp X p主成分是不相关的 性 合 Z 1，Z 2⋯⋯ Z p ，并且 Z 1 是 X 1，X 2 ⋯X p 的 性 合中方差最大者， Z 2 是与 Z 1 不相关的 性 合中方差最大者，⋯， Z p 是与 Z 1， Z 2 ⋯⋯ Z p-1 都不相关的 性 合中方差最大者。
（三）主成分分析法基本步第一步： 估 本数 n ， 取的 指 数 p ， 由估 本的原始数据可得矩 X=(x ij ) m ×p ，其中 x ij 表示第 i 家上市公司的第 j 指 数据。
第二步： 了消除各 指 之 在量 化和数量 上的差 ， 指 数据 行 准化，得到 准化矩 （系 自 生成） 。
第三步：根据 准化数据矩 建立 方差矩 R ，是反映 准化后的数据之 相关关系密切程度的 指 ， 越大， 明有必要 数据 行主成分分析。
主成分分析例题
主成分分析例题主成分分析（PrincipalComponentAnalysis，简称PCA）是一种常用的数据分析方法，它可以有效分析数据中的多元特征，将多维特征空间映射到低维空间，使得数据的特征可以更加清晰和深入地分析。
主成分分析方法经常用于多元数据的特征提取、因素分析以及因子结构研究，是多元数据分析中常用的统计分析方法之一。
下面介绍一个典型的主成分分析例题，其中涉及因子分析、因子结构分析以及多元统计分析方法等：一个某大学的护士教学实践中心，设有4个实验室，每实验室有自己的实验内容和服务对象，实验室类型主要有医学实验室、护理实验室、外科实验室以及诊断室。
某护士教学实践中心向500名护士学生收集了有关这4类实验室实验内容和服务对象的信息，以下为收集到的具体信息：（1）医学实验室：主要是负责护士学生的临床实习和医学教育，针对的对象为护理学生。
（2）护理实验室：主要的护理实验内容有护理实践、护理研究和护理技能培训，服务对象是护理学生、护理人员和护理专业的其他相关人群。
（3）外科实验室：主要的外科实验内容包括外科实践、外科技能培训及新型外科手术训练，服务对象是护理学生、护理人员和护理专业的其他相关人群。
（4）诊断实验室：主要是负责护士学生的护理诊断和护理诊断教学，服务对象是护理学生。
为了更加清楚地分析护士教学实践中心的护士学生对这4类实验室的实验内容和服务对象的看法，因此将采用主成分分析方法对这500名护士学生收集到的信息进行分析。
首先，通过SPSS对500名护士学生收集到的信息，进行因子分析，提取4个实验室相关的因子，并得出以下结果：表1.子质量统计|子 |差贡献率 |积方差贡献率 ||-----|-----------|--------------|| 1 | 0.717 | 0.717 || 2 | 0.122 | 0.839 || 3 | 0.056 | 0.895 || 4 | 0.004 | 0.899 |从表1中可以看出，前3个因子共计可以解释89.5%的方差，因此可以将前3个因子作为主成分进行处理。
主成分分析 Word 文档
为了有效的地进行这种评价，我们希望寻找尽量少得m个综合特征值，这m(m<p)个综合特征值应包含p个变量的有关信息，并以这m个综合特征值对此同进行综合评价。
显然，m越小，与之进行综合评价就越方便。
称这样的方法为主成分分析（Principal component Analysis,简称为PCA）。
8.3.1基本原理首先，我们以包含两个变量的教学系统___两门课程的学习成绩为例。
内容扩展设课程x1与x2时两门有一定相关性的课程，如：数学与物理。
N名学生的学习成绩为：（xi1，xi2）i=1～n （8—22）将这n组数据描在x1-x2平面上，则有图8.5(p=2的主成分)所示的图形。
由于x1,x2是两门相关性的课程，学习成绩在x1-x2平面上分布集中在椭圆形的范围内（图a）。
该椭圆是一种狭长形的椭圆，数据在长轴的方向上变化较大。
从图可知，为了评价学生的成绩，x1,x2都是必需的，不能偏废某一个。
由于x1,x2集中在一个狭长的范围内，我们可对这些数据作某种变化，将它变换到z1～z2平面上，则有图b。
从图b可知，在z1～z2坐标中，z1,z2的相关性较小,且数据在Z1轴上的分散较大，在Z2轴上的分散较小。
由于进行了这宗变幻，由Z1就能对学生的成绩进行综合评价，且Z1包含有X1，X2给出的信息。
这样，经过一定的变换后，我们将以两个变量X1，X2评价学生成绩的系统，变换为主要由一个变量Z1对学生的成绩进行评价。
此时，我们称Z1第一主成分。
显然，若X1，X2不是相关的，X1，X2在X1-X2 平面上的分布将是一种随机的均匀分布的图形（图c）。
这些数据经Z变换后，在Z平面上的分布仍是一种均匀的分布，不可能找到上述的主成分。
同样，对于P门课程的成绩，我们进行分析。
内容扩展可用P维空间中的矢量：xi =(xi1,xi2,xip) i=1—n (8-23)来表示。
式中，n为学生数，p为课程门数。
若p门课程具有一定的相关性，通过某种变换，我们可以找到一种新的m维综合变量空间，且有m<p。
主成分分析法
四、主成份分析法旳环节
1）数据归一化处理：数据原则化（Z） 2）Βιβλιοθήκη 算有关系数矩阵R： 3）计算特征值；
特征值越大阐明主要程度越大。
4）计算主成份贡献率及方差旳合计贡献率； 5）计算主成份载荷与特征向量：
主成份旳负荷值大小反应了主成份因子对可测变量旳影响程 度；载荷值越大阐明此变量对主成份旳解释越多，及贡献越大。
• 因子分析 优点：第一它不是对原有变量旳取舍，而是根据原始变 量旳信息进行重新组合，找出影响变量旳共同因子，化简 数据；第二，它经过旋转使得因子变量更具有可解释性， 命名清楚性高。 缺陷 ：在计算因子得分时，采用旳是最小二乘法，此法 有时可能会失效。
总之，主成份分析是因子分析旳一种特例。
谢 谢 观 看！
旋转后旳主成份因子载荷矩阵
景区满意度旋转前后成份矩阵图对比
5、碎石图分析
选用主成份旳个数，急转处是拟定主成份旳个数处。
景区满意度碎石图
八、与因子分析法旳区别
1、基本概念
➢ 主成份分析就是将多项指标转化为少数几项综合 指标,用综合指标来解释多变量旳方差- 协方差构 造。综合指标即为主成份。所得出旳少数几种主 成份，要尽量多地保存原始变量旳信息，且彼此 不有关。
注意：进行主成份旳变量之间必须要有有关性， 经过分析后变量之间独立。
二、主成份分析法基本原理
主成份分析就是设法将原来众多具有一定有关性 旳变量(如p个变量)，重新组合成一组新旳相互无 关旳综合变量来替代原来变量。怎么处理？
一般数学上旳处理就是将原来p个变量作线性组合 作为新旳综合变量。怎样选择？
假如将选用旳第一种线性组合即第一种综合变量 记为F1，自然希望F1尽量多旳反应原来变量旳信 息。怎样反应?
主成分分析法案例
主成分分析法案例主成分分析法（Principal Component Analysis, PCA）是一种常用的多变量统计分析方法，它可以帮助我们发现数据中的主要特征和结构，从而简化数据集并减少信息丢失。
在本文中，我们将通过一个实际案例来介绍主成分分析法的应用。
案例背景。
假设我们有一个包含多个变量的数据集，我们希望通过主成分分析法来找出其中的主要特征，并将数据进行降维，以便更好地理解和解释数据。
数据准备。
首先，我们需要对数据进行预处理，包括数据清洗、缺失值处理、标准化等操作。
在这个案例中，我们假设数据已经经过了预处理，并且符合主成分分析的基本要求。
主成分分析。
接下来，我们将利用主成分分析法来分析数据。
主成分分析的基本思想是通过线性变换将原始变量转化为一组线性无关的新变量，这些新变量被称为主成分，它们能够最大程度地保留原始数据的信息。
在进行主成分分析之前，我们需要计算数据的协方差矩阵，并对其进行特征值分解。
通过特征值分解，我们可以得到数据的主成分和对应的特征值，从而找出数据中的主要特征。
案例分析。
假设我们得到了数据的前三个主成分，我们可以通过观察主成分的载荷（loadings）来理解数据中的结构。
载荷可以帮助我们理解每个主成分与原始变量之间的关系，从而解释数据的特点和规律。
通过主成分分析，我们可以发现数据中的主要特征和结构，从而更好地理解数据。
同时，我们还可以利用主成分分析的结果进行数据的降维，从而简化数据集并减少信息丢失。
结论。
通过以上案例分析，我们可以看到主成分分析法在多变量数据分析中的重要作用。
通过主成分分析，我们可以发现数据中的主要特征和结构，从而简化数据集并减少信息丢失。
同时，主成分分析还可以帮助我们更好地理解和解释数据，为后续的分析和应用提供有力支持。
总结。
在本文中，我们通过一个实际案例介绍了主成分分析法的基本原理和应用。
主成分分析是一种常用的多变量统计分析方法，它可以帮助我们发现数据中的主要特征和结构，从而简化数据集并减少信息丢失。
主成分分析法例子
x7 0.79 0.009 -0.93 -0.046 0.672 0.658 1 -0.03 0.89
x8 0.156 -0.078 -0.109 -0.031 0.098 0.222 -0.03 1
0.29
x9 0.744 0.094 -0.924 0.073 0.747 0.707 0.89 0.29
▲贡献率:
i
p
k
k 1
(i 1,2,, p)
▲合计贡献率:
i
k
k 1
p
k
k 1
(i 1,2,, p)
一般取合计贡献率达85—95%旳特征值 1, 2 ,, m
所相应旳第一、第二、…、第m（m≤p）个主成份。
④各主成份旳得分
l11 l12 l1p x1
Z
l21
l22
l2
p
x2
二主成份z2代表了人均资源量。
③第三主成份z3，与x8呈显出旳正有关程度 最高，其次是x6，而与x7呈负有关，所以能 够以为第三主成份在一定程度上代表了农业 经济构造。
显然，用三个主成份z1、z2、z3替代原来9个变量（x1， x2，…，x9），描述农业生态经济系统，能够使问题更进
一步简化、明了。
x4
0.0042
0.868
0.0037
75.346
x5
0.813
0.444
-0.0011
85.811
x6
0.819
0.179
0.125
71.843
x7
0.933
-0.133
-0.251
95.118
x8
0.197
-0.1
0.97
98.971
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o6.1案例一：主成分分析法在啤酒风味评价分析中的应用[1]
6.1.1 1材料与方法
6.1.2 2主成分分析法的基本原理
6.1.3 3主成分分析法在啤酒质量一致性评价中的应用
6.1.4 4结论
7参考文献
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什么是主成分分析法
主成分分析也称主分量分析，旨在利用降维的思想，把多指标转化为少数几个综合指标。
[编辑]
主成分分析的主要作用
概括起来说，主成分分析主要由以下几个方面的作用。
1．主成分分析能降低所研究的数据空间的维数。即用研究m维的Y空间代替p维的X空间(m＜p)，而低维的Y空间代替高维的x空间所损失的信息很少。即：使只有一个主成分Yl(即m＝1)时，这个Yl仍是使用全部X变量(p个)得到的。例如要计算Yl的均值也得使用全部x的均值。在所选的前m个主成分中，如果某个Xi的系数全部近似于零的话，就可以把这个Xi删除，这也是一种删除多余变量的方法。
同样，在科普效果评估的过程中也存在着这样的问题。科普效果是很难具体量化的。在实际评估工作中，我们常常会选用几个有代表性的综合指标，采用打分的方法来进行评估，故综合指标的选取是个重点和难点。如上所述，主成分分析法正是解决这一问题的理想工具。因为评估所涉及的众多变量之间既然有一定的相关性，就必然存在着起支配作用的因素。根据这一点，通过对原始变量相关矩阵内部结构的关系研究，找出影响科普效果某一要素的几个综合指标，使综合指标为原来变量的线性拟合。这样，综合指标不仅保留了原始变量的主要信息，且彼此间不相关，又比原始变量具有某些更优越的性质，就使我们在研究复杂的科普效果评估问题时，容易抓住主要矛盾。上述想法可进一步概述为：设某科普效果评估要素涉及个指标，这指标构成的维随机向量为。对作正交变换，令，其中为正交阵，的各分量是不相关的，使得的各分量在某个评估要素中的作用容易解释，这就使得我们有可能从主分量中选择主要成分，削除对这一要素影响微弱的部分，通过对主分量的重点分析，达到对原始变量进行分析的目的。的各分量是原始变量线性组合，不同的分量表示原始变量之间不同的影响关系。由于这些基本关系很可能与特定的作用过程相联系，主成分分析使我们能从错综复杂的科普评估要素的众多指标中，找出一些主要成分，以便有效地利用大量统计数据，进行科普效果评估分析，使我们在研究科普效果评估问题中，可能得到深层次的一些启发，把科普效果评估研究引向深入。
[编辑]
主成分分析法的计算步骤
1、原始指标数据的标准化采集p维随机向量x= (x1,X2,...,Xp)T)n个样品xi= (xi1,xi2,...,xip)T，i=1,2,…,n，
n＞p，构造样本阵，对样本阵元进行如下标准化变换：
其中 ，得标准化阵Z。
主成分分析法
出自MBA智库百科(/)
主成分分析（principal components analysis，PCA）又称：主分量分析，主成分回归分析法
[显示]
1什么是主成分分析法
2主成分分析的基本思想
3主成分分析法的基本原理
4主成分分析的主要作用
5主成分分析法的计算步骤
在统计学中，主成分分析（principal components analysis,PCA）是一种简化数据集的技术。它是一个线性变换。这个变换把数据变换到一个新的坐标系统中，使得任何数据投影的第一大方差在第一个坐标(称为第一主成分)上，第二大方差在第二个坐标(第二主成分)上，依次类推。主成分分析经常用减少数据集的维数，同时保持数据集的对方差贡献最大的特征。这是通过保留低阶主成分，忽略高阶主成分做到的。这样低阶成分往往能够保留住数据的最重要方面。但是，这也不是一定的，要视具体应用而定。
主成分分析法是一种降维的统计方法，它借助于一个正交变换，将其分量相关的原随机向量转化成其分量不相关的新随机向量，这在代数上表现为将原随机向量的协方差阵变换成对角形阵，在几何上表现为将原坐标系变换成新的正交坐标系，使之指向样本点散布最开的p个正交方向，然后对多维变量系统进行降维处理，使之能以一个较高的精度转换成低维变量系统，再通过构造适当的价值函数，进一步把低维系统转化成一维系统。
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主成分分析的基本思想
在实证问题研究中，为了全面、系统地分析问题，我们必须考虑众多影响因素。这些涉及的因素一般称为指标，在多元统计分析中也称为变量。因为每个变量都在不同程度上反映了所研究问题的某些信息，并且指标之间彼此有一定的相关性，因而所得的统计数据反映的信息在一定程度上有重叠。在用统计方法研究多变量问题时，变量太多会增加计算量和增加分析问题的复杂性，人们希望在进行定量分析的过程中，涉及的变量较少，得到的信息量较多。主成分分析正是适应这一要求产生的，是解决这类题的理想工具。
2．有时可通过因子负荷aij的结论，弄清X变量间的某些关系。
3．多维数据的一种图形表示方法。我们知道当维数大于3时便不能画出几何图形，多元统计研究的问题大都多于3个变量。要把研究的问题用图形表示出来是不可能的。然而，经过主成分分析后，我们可以选取前两个主成分或其中某两个主成分，根据主成分的得分，画出n个样品在二维平面上的分布况，由图形可直观地看出各样品在主分量中的地位，进而还可以对样本进行分类处理，可以由图形发现远离大多数样本点的离群点。
4．由主成分分析法构造回归模型。即把各主成分作为新自变量代替原来自变量x做回归分析。
5．用主成分分析筛选回归变量。回归变量的选择有着重的实际意义，为了使模型本身易于做结构分析、控制和预报，好从原始变量所构成的子集合中选择最佳变量，构成最佳变量集合。用主成分分析筛选变量，可以用较少的计算量来选择量，获得选择最佳变量子集合的效果。
例如，在对科普产品开发和利用这一要素的评估中，涉及科普创作人数百万人、科普作品发行量百万人、科普产业化（科普示范基地数百万人）等多项指标。经过主成分分析计算，最后确定个或个主成分作为综合评价科普产品利用和开发的综合指标，变量数减少，并达到一定的可信度，就容易进行科普效果的评估。
[ห้องสมุดไป่ตู้辑]
主成分分析法的基本原理