图形的相似复习课PPT课件
２、利用三角形相似，求线段的长等 3、利用三角形相似，可以解决一些不
能直接测量的物体的长度。如求河的 宽度、求建筑物的高度等。
.
做一做
3、如图，王华在晚上由路灯A走向路灯B，当他走到点 P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯A的底部， 当他向前再行12m到达点Q时，发现身前他影子的顶部 刚好接触到路灯B的底部。已知王华的身高是1.6m，两 个路灯的高度都是9.6m，且AP=QB= x m。
.
定义
定义
影子
相
AA
相 似
似 三
SAS 判定 SSS
应 用
画 法
坐 标
图 形
角
定义 平面镜
形 性质 相似比
位
基平
本移
性质
似
变旋
对应角相等 对应边成比例
中位线 重心
图
换转 在轴
形
坐对 标称
的相
反似
.
映等
生活中我们会碰到许多这样形状相同的． 大小不一定相同的图形， 在数学上，我们把具有相同形状的图形称为：
.
知识要点：
1、了解比例的基本性质，黄金分割 2、通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形
的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边 成比例，面积的比等于对应边比的平方 3、了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形 相似的条件 4、了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放 大或缩小 5、通过典型实例观察和认识现实生活中物体的相 似，利用图形的相似解决一些实际问题 6、从微观的角度去研究相似，用坐标来说明这种 基本变换
（1）求两个路灯之间的距离； （2）当王华走到路灯B时，他在路灯A下的影长是多少？
解：（1）由题得：
x 2x+12
=
1.6 9.6
解得：x = 3 m
Ax
∴两个路灯之间的距离是18. m
1.6 P 12
9.6 Qx B
做一做
（2）当王华走到路灯B时，他在路灯A下的影长是多少？
9.6
A
C
于E，交AB于D，连AM.
M
求证：① △ MAD ∽ △ MEA
② AM2=MD · ME
.
定义：连接三角形两边中点的线段 叫做
三角形的中位线
A
三角形的中位线平
D
E
行于第三边，并且等
于它的一半。
B
C
重心：三角形三条边上的中线交于一点，这个点就
是三角形的重心，重心与一边中点的连线的长 是对应中线长的三分之一
D. AB2=BD·BC
B
6. D、E分别为△ABC 的AB、AC上
DC
A
的点，且DE∥BC，∠DCB= ∠ A，
D
E
把每两个相似的三角形称为一组，那
么图中共有相似三角形___._4___组。
B
C
7.下列命题正确的是（ D ）
A.有一角相等且有两边对应成比例的两个三角 形相似。
B. △ABC的三边长为3，4，5. △A’B’C’的 三边为 a+3,a+4,a+5.则△ABC∽ △A’B’C’ 。
；
3
如x果 yz；则 yz
457 x
4 若 x:4=y:5=z:6, 且 3x+2y+z=56, 则 x 为
（）
A 8 B 10 C 1.2 D 16
相似三角形的判定
（1）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么 这两个三角形相似。
（2）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且 相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
相似形
.
对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线 段的长度的比与另两条线段的长度的比相，
即 a= c ，那么这四条线段叫做成比例线
段，b简称d比例线段（proportional segments）
(1)比例基本性质
a b
=
c d
ab cd
ad=bc
ab b=c
b2=ac
.
A.
.P .B
点B把线段AC分成两部分,如果
C.若两个三角形相似，且有一对边相等，则它 们的相似比为1.
D.都有一内角为100°的两个等腰三角形相似。
.
二、证明题：
C
1. D为△ABC中AB边上一点，
∠ACD= ∠ ABC. A
B
求证：AC2=AD·AB.
D
E
2. △ABC中,∠ BAC是直角，
A
过斜边中点M而垂直于斜边 D
BC的直线交CA的延长线 B
.
梯形的中位线：梯形
两腰中点连线叫做梯
形的中位线
A
B
EF1ABCD
2
E
F
D
C S梯A 形BCD 中位 高 线
求梯形的比例问题时，可以利用化归思想，把梯形化归到三角形问题去解决
.
1、已知:三角形的各边分别为
6cm,8cm, 10cm，则连结各边
中面点积6所为成——三cm角2形,为的原周三1长角2为形—面—c积14m,
A
1、如图，DE∥BC, AD:DB=2:3,
D
则△ AED和△ ABC
的相似比为＿2＿:5＿.
B
2、 已知三角形甲各边的比为3:4:6， 和它相似的
三角形乙的最大边为10cm，则三角形乙的最短边
为__5____cm.
3、等腰三角形ABC的腰长为18cm，底边长为 6cm,在腰AC上取点D, 使△ABC∽ △BDC, 则
2的、—已—。知:△ABC三边长分别为
a,b,c,它的三条中位线组成
38Leabharlann 10546
A
△DEF,△DEF的三条中位线又组 D H E
成 ——△14—H—aP—Nb,为,则c△ △ABHCP周N长的的周— 长—等14, 面于积— B 为△ABC面积的—1—61 , .
PN
FC
相似三角形的应用：
１、利用三角形相似，可证明角相等 ；线段成比例（或等积式）；
DC=____2_c_m.
E C
.
4. 如图，△ADE∽ △ACB,
则DE:BC=__1_:_3_ 。
5. 如图，D是△ABC一边BC
A
2 D
3
7
E
3
上一点，连接AD,使 △ABC ∽B △DBA的条件是 C
（ D ）.
A. AC:BC=AD:BD
A
B. AC:BC=AB:AD
C. AB2=CD·BC
PB AP
=
AP AB
那么称线段AC被点B 黄金分割,
点P为线段AB 的 黄金分割点,
AP与AB的比值约为0.618,这个比值称 为 黄金比.
思考:如何应用二次方程的知识求出黄金比的数值?
.
1．若 a:3=b:7, 则(a+3b):2b= ；
2．若a=2，b=6，c=4，且a，b，c，d成比
例，则d=
（3）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两 个角对应相等，那么这两个三角形相似。
相似三角形的性质
（1）对应边成比例，对应角相等
（2）相似三角形的周长比等于相似比
（3）相似三角形的面积比等于相似比的平方
（4）相似三角形的对应边上的高、中线、角 平分线的比等于相似比
.
一.填空、选择题:
能直接测量的物体的长度。如求河的 宽度、求建筑物的高度等。
.
做一做
3、如图，王华在晚上由路灯A走向路灯B，当他走到点 P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯A的底部， 当他向前再行12m到达点Q时，发现身前他影子的顶部 刚好接触到路灯B的底部。已知王华的身高是1.6m，两 个路灯的高度都是9.6m，且AP=QB= x m。
.
定义
定义
影子
相
AA
相 似
似 三
SAS 判定 SSS
应 用
画 法
坐 标
图 形
角
定义 平面镜
形 性质 相似比
位
基平
本移
性质
似
变旋
对应角相等 对应边成比例
中位线 重心
图
换转 在轴
形
坐对 标称
的相
反似
.
映等
生活中我们会碰到许多这样形状相同的． 大小不一定相同的图形， 在数学上，我们把具有相同形状的图形称为：
.
知识要点：
1、了解比例的基本性质，黄金分割 2、通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形
的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边 成比例，面积的比等于对应边比的平方 3、了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形 相似的条件 4、了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放 大或缩小 5、通过典型实例观察和认识现实生活中物体的相 似，利用图形的相似解决一些实际问题 6、从微观的角度去研究相似，用坐标来说明这种 基本变换
（1）求两个路灯之间的距离； （2）当王华走到路灯B时，他在路灯A下的影长是多少？
解：（1）由题得：
x 2x+12
=
1.6 9.6
解得：x = 3 m
Ax
∴两个路灯之间的距离是18. m
1.6 P 12
9.6 Qx B
做一做
（2）当王华走到路灯B时，他在路灯A下的影长是多少？
9.6
A
C
于E，交AB于D，连AM.
M
求证：① △ MAD ∽ △ MEA
② AM2=MD · ME
.
定义：连接三角形两边中点的线段 叫做
三角形的中位线
A
三角形的中位线平
D
E
行于第三边，并且等
于它的一半。
B
C
重心：三角形三条边上的中线交于一点，这个点就
是三角形的重心，重心与一边中点的连线的长 是对应中线长的三分之一
D. AB2=BD·BC
B
6. D、E分别为△ABC 的AB、AC上
DC
A
的点，且DE∥BC，∠DCB= ∠ A，
D
E
把每两个相似的三角形称为一组，那
么图中共有相似三角形___._4___组。
B
C
7.下列命题正确的是（ D ）
A.有一角相等且有两边对应成比例的两个三角 形相似。
B. △ABC的三边长为3，4，5. △A’B’C’的 三边为 a+3,a+4,a+5.则△ABC∽ △A’B’C’ 。
；
3
如x果 yz；则 yz
457 x
4 若 x:4=y:5=z:6, 且 3x+2y+z=56, 则 x 为
（）
A 8 B 10 C 1.2 D 16
相似三角形的判定
（1）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么 这两个三角形相似。
（2）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且 相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
相似形
.
对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线 段的长度的比与另两条线段的长度的比相，
即 a= c ，那么这四条线段叫做成比例线
段，b简称d比例线段（proportional segments）
(1)比例基本性质
a b
=
c d
ab cd
ad=bc
ab b=c
b2=ac
.
A.
.P .B
点B把线段AC分成两部分,如果
C.若两个三角形相似，且有一对边相等，则它 们的相似比为1.
D.都有一内角为100°的两个等腰三角形相似。
.
二、证明题：
C
1. D为△ABC中AB边上一点，
∠ACD= ∠ ABC. A
B
求证：AC2=AD·AB.
D
E
2. △ABC中,∠ BAC是直角，
A
过斜边中点M而垂直于斜边 D
BC的直线交CA的延长线 B
.
梯形的中位线：梯形
两腰中点连线叫做梯
形的中位线
A
B
EF1ABCD
2
E
F
D
C S梯A 形BCD 中位 高 线
求梯形的比例问题时，可以利用化归思想，把梯形化归到三角形问题去解决
.
1、已知:三角形的各边分别为
6cm,8cm, 10cm，则连结各边
中面点积6所为成——三cm角2形,为的原周三1长角2为形—面—c积14m,
A
1、如图，DE∥BC, AD:DB=2:3,
D
则△ AED和△ ABC
的相似比为＿2＿:5＿.
B
2、 已知三角形甲各边的比为3:4:6， 和它相似的
三角形乙的最大边为10cm，则三角形乙的最短边
为__5____cm.
3、等腰三角形ABC的腰长为18cm，底边长为 6cm,在腰AC上取点D, 使△ABC∽ △BDC, 则
2的、—已—。知:△ABC三边长分别为
a,b,c,它的三条中位线组成
38Leabharlann 10546
A
△DEF,△DEF的三条中位线又组 D H E
成 ——△14—H—aP—Nb,为,则c△ △ABHCP周N长的的周— 长—等14, 面于积— B 为△ABC面积的—1—61 , .
PN
FC
相似三角形的应用：
１、利用三角形相似，可证明角相等 ；线段成比例（或等积式）；
DC=____2_c_m.
E C
.
4. 如图，△ADE∽ △ACB,
则DE:BC=__1_:_3_ 。
5. 如图，D是△ABC一边BC
A
2 D
3
7
E
3
上一点，连接AD,使 △ABC ∽B △DBA的条件是 C
（ D ）.
A. AC:BC=AD:BD
A
B. AC:BC=AB:AD
C. AB2=CD·BC
PB AP
=
AP AB
那么称线段AC被点B 黄金分割,
点P为线段AB 的 黄金分割点,
AP与AB的比值约为0.618,这个比值称 为 黄金比.
思考:如何应用二次方程的知识求出黄金比的数值?
.
1．若 a:3=b:7, 则(a+3b):2b= ；
2．若a=2，b=6，c=4，且a，b，c，d成比
例，则d=
（3）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两 个角对应相等，那么这两个三角形相似。
相似三角形的性质
（1）对应边成比例，对应角相等
（2）相似三角形的周长比等于相似比
（3）相似三角形的面积比等于相似比的平方
（4）相似三角形的对应边上的高、中线、角 平分线的比等于相似比
.
一.填空、选择题:
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北师大版九年级上册数学《图形的位似》图形的相似研讨说课复习课件
3. 位似多边形上任意一对对应点到位似中心的距离之 比都等于相似比．位似多边形对应角相等，对应边成比例， 周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．
4. 作位似多边形的方法：(1)根据“对应点到位似中心的 距离之比等于相似比”作出各顶点关于位似中心的对应点；(2) 用线段顺次连接各对应点．
第四章 图形的相似
解：如图所示：
【归纳总结】画位似图形的一般步骤为：①确定位似中 心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③ 根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点，顺次连 接上述各点，得到放大或缩小的图形．
知识点 2 位似图形的应用 例2 已知矩形 ABCD 与矩形 AB′C′D′是位似图形，A 为 位似中心．已知矩形 ABCD 的周长为 24，BB′＝4，DD′＝2， 求 AB 与 AD 的长．
例1 如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长
为 1 个单位长度的正方形，已知△ AOB 与△ A1OB1 位似，位
似中心为原点 O，且相似比为 3∶2，点 A，B 都在格点上，
则点 B1 的坐标为
－2，－23
．
【思路点拨】把点 B 的横、纵坐标分别乘－23得到点 B1 的坐标．
知识点 2 在直角坐标系中画位似图形 例2 (教材 P117 例 2)在平面直角坐标系中，四边形 OABC 的顶点坐标分别是 O(0，0)，A(6，0)，B(3，6)，C(－ 3，3)．以原点 O 为位似中心画一个四边形，使它与四边形 OABC 位似，且相似比是 2∶3.
画法二：将四边形 OABC 各顶点的坐标都乘－23，得 O(0， 0)，A″(－4，0)，B″(－2，－4)，C″(2，－2)；在平面直角坐 标系中描出点 A″，B″，C″，用线段顺次连接点 O，A″，B″， C″，O，则四边形 OA″B″C″也是符合要求的四边形．
第12讲相似三角形的判定复习课件(共46张PPT)
全效优等生
大师导航 归类探究 自主招生交流平台 思维训练
4．如图4－12－5，AB是半圆O的直径， D，E是半圆上任意两点，连结AD，DE，AE 与BD相交于点C，要使△ADC与△ABD类似， 可以添加一个条件．下列添加的条件其中错误
的是 A．∠ACD＝∠DAB B．AD＝DE C．AD2＝BD·CD D．AD·AB＝AC·BD
大师导航 归类探究 自主招生交流平台 思维训练
第四章 类似三角形
第12讲 类似三角形的判定
全效优等生
全效优等生
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部分数学符号的来历 数学运算中经常使用符号，如＋，－，×，÷，＝，＞， ＜，∽，≌，()， 等，你知道它们都是谁首先使用，何时 被人们公认的吗？ 加减号“＋”“－”：1489 年德国数学家魏德曼在他的著 作中首先使用了这两个符号，但正式为大家公认是从 1514 年荷 兰数学家荷伊克开始．乘号“×”：英国数学家奥屈特于 1631 年提出用“×”表示相乘；另一乘号“·”是数学家赫锐奥特首 创的．除号“÷”：最初这个符号是作为减号在欧洲大陆流行， 奥屈特用“∶”表示除或比，也有人用分数线表示比，后来有 人把二者结合起来就变成了“÷”．瑞士的数学家拉哈的著作中 正式把“÷”作为除号．等号“＝”：最初是 1540 年由英国牛
D.147
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【解析】 ∵∠C＝∠E，∠ADC＝∠BDE， ∴△ADC∽△BDE，∴DDEC＝ABDD， 又∵AD∶DE＝3∶5，AE＝8， ∴AD＝3，DE＝5， ∵BD＝4，∴D5C＝34，∴DC＝145.
∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，
又∵BE是∠ABC的平分线， ∴FG＝FC，
例2答图
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4．如图4－12－5，AB是半圆O的直径， D，E是半圆上任意两点，连结AD，DE，AE 与BD相交于点C，要使△ADC与△ABD类似， 可以添加一个条件．下列添加的条件其中错误
的是 A．∠ACD＝∠DAB B．AD＝DE C．AD2＝BD·CD D．AD·AB＝AC·BD
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第四章 类似三角形
第12讲 类似三角形的判定
全效优等生
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部分数学符号的来历 数学运算中经常使用符号，如＋，－，×，÷，＝，＞， ＜，∽，≌，()， 等，你知道它们都是谁首先使用，何时 被人们公认的吗？ 加减号“＋”“－”：1489 年德国数学家魏德曼在他的著 作中首先使用了这两个符号，但正式为大家公认是从 1514 年荷 兰数学家荷伊克开始．乘号“×”：英国数学家奥屈特于 1631 年提出用“×”表示相乘；另一乘号“·”是数学家赫锐奥特首 创的．除号“÷”：最初这个符号是作为减号在欧洲大陆流行， 奥屈特用“∶”表示除或比，也有人用分数线表示比，后来有 人把二者结合起来就变成了“÷”．瑞士的数学家拉哈的著作中 正式把“÷”作为除号．等号“＝”：最初是 1540 年由英国牛
D.147
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【解析】 ∵∠C＝∠E，∠ADC＝∠BDE， ∴△ADC∽△BDE，∴DDEC＝ABDD， 又∵AD∶DE＝3∶5，AE＝8， ∴AD＝3，DE＝5， ∵BD＝4，∴D5C＝34，∴DC＝145.
∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，
又∵BE是∠ABC的平分线， ∴FG＝FC，
例2答图
相似三角形复习课件
面积比等于相似比的平方
相似三角形的面积比等于其相似比的平方，即S1:S2=(a1:a2)^2。
相似三角形的判定条件
定义法
根据相似三角形的定义，如果两个三 角形的对应角相等，对应边成比例， 则这两个三角形相似。
SAS判定
如果两个三角形有两个角相等，且这 两个角所对的边成比例，则这两个三 角形相似。
平行线法
在数学竞赛的最优化问题中，可以 利用相似三角形来找到最优解。
04
相似三角形的变式与拓展
相似三角形的特殊情况
等腰三角形
等腰三角形两腰之间的角相等，可以 利用这一性质来证明两个三角形相似 。
直角三角形
等边三角形
等边三角形的三个角都相等，因此任 意两个等边三角形都是相似的。
直角三角形中，如果一个锐角相等， 则两个三角形相似。
详细描述
如果一个三角形的两个对应角和一个对应边与另一个三角形的对应角和对应边 相等，则这两个三角形相似。
边角判定
总结词
通过比较一个三角形的对应边和一个角的度数与另一个三角 形的对应边和角的度数是否相等来判断三角形是否相似。
详细描述
如果一个三角形的三组对应边和一个对应角与另一个三角形 的三组对应边和对应角相等，则这两个三角形相似。
如果两个三角形分别位于两条平行线 之间，且一个三角形的顶点与另一个 三角形的对应顶点连线与平行线垂直 ，则这两个三角形相似。
ASA判定
如果两个三角形有两个角相等，且其 中一个角的对边成比例，则这两个三 角形相似。
02
相似三角形的判定方法
角角判定
总结词
通过比较两个三角形的对应角是 否相等来判断三角形是否相似。
03
相似三角形的应用
在几何图形中的应用
相似三角形的面积比等于其相似比的平方，即S1:S2=(a1:a2)^2。
相似三角形的判定条件
定义法
根据相似三角形的定义，如果两个三 角形的对应角相等，对应边成比例， 则这两个三角形相似。
SAS判定
如果两个三角形有两个角相等，且这 两个角所对的边成比例，则这两个三 角形相似。
平行线法
在数学竞赛的最优化问题中，可以 利用相似三角形来找到最优解。
04
相似三角形的变式与拓展
相似三角形的特殊情况
等腰三角形
等腰三角形两腰之间的角相等，可以 利用这一性质来证明两个三角形相似 。
直角三角形
等边三角形
等边三角形的三个角都相等，因此任 意两个等边三角形都是相似的。
直角三角形中，如果一个锐角相等， 则两个三角形相似。
详细描述
如果一个三角形的两个对应角和一个对应边与另一个三角形的对应角和对应边 相等，则这两个三角形相似。
边角判定
总结词
通过比较一个三角形的对应边和一个角的度数与另一个三角 形的对应边和角的度数是否相等来判断三角形是否相似。
详细描述
如果一个三角形的三组对应边和一个对应角与另一个三角形 的三组对应边和对应角相等，则这两个三角形相似。
如果两个三角形分别位于两条平行线 之间，且一个三角形的顶点与另一个 三角形的对应顶点连线与平行线垂直 ，则这两个三角形相似。
ASA判定
如果两个三角形有两个角相等，且其 中一个角的对边成比例，则这两个三 角形相似。
02
相似三角形的判定方法
角角判定
总结词
通过比较两个三角形的对应角是 否相等来判断三角形是否相似。
03
相似三角形的应用
在几何图形中的应用
九年级数学《图形的相似》总复习课件-PPT
6或2/3或1.5
6
2.比例中项：
当两个比例内项相等时，即
a b=
cb(，或 a：b=b：c)，
那么线段 b 叫做a 和 c 的比例中项.
即： b2 ac
数2与8的比例中项是 ___4_ .线段2cm与8cm的
比例中项是 _4__c_m.
7
3.黄金分割： A
C
B
把一条线段（AB）分成两条线段，使其中较长线段（AC）是 原线段（AB）与较短线段（BC）的比例中项，就叫做把这条 线段黄金分割。
y
·P
O B· C·
x
·A
28
9、如图, 在△ABC中,AB=5,AC=4,E是AB上一点,AE=2,
在AC上取一点F,使以A、E、F为顶点的三角形与
△ABC相似,那么AF=___85_或___52_
A
.E
F1
F2
DC
B
C
A
B
10、 如图, 在直角梯形中, ∠BAD=∠D=∠ACB=90。，
CD= 4, AB= 9, 则 AC=__6____
P
A
C
D
B
33
15、 如图D,E分别AB,AC是上的点, ∠AED=72o， ∠A=58o，∠B=50o, 那么△ADE和△ABC相似吗？
若AE=2,AC=4,则BC是DE的
倍.
A
E D
C B
34
16、若△ ACP∽△ABC，AP=4，BP=5，则AC=___6____，△
ACP与△ABC的相似比是_____2__:，3周长之比是_______，
1
1. 成比例的数（线段）：
若 a c 或a : b c : d , 那么 a ,b, c , d 叫做四个数成比例。
图形的相似复习课件华师大版
第24章复习2 ┃ 知识归类
(3)比例的基本性质：①如果ba＝dc，那么 ad＝bc .②如果 ad＝
bc(a、b、c、d 都不等于 0)，那么 ba＝dc .③如果ba＝dc，那么
a±bb＝c±dd
.④如果ba＝dc＝…＝mn (b＋d＋…＋n≠0)，那么
ab＋＋cd＋＋……＋＋mn＝
a b
.
第2页/共24页
三角形的中位线 平行于 第三边并且等于第三边的 一半 .
第5页/共24页
数学·新课标（HS）
第24章复习2 ┃ 知识归类
(2)梯形的中位线：连结梯形 两腰 中点的线段叫做梯形的
中位线，梯形的中位线平行于 两底 ，并且等于
两底和的一半
.
8．三角形的重心
三角形三条边上的 中线 交于一点，这个点就是三角形
面积的比等于 相似比的平方
.
，相似三角形
5．相似多边形
(1)如果两个多边形的 边数 相同，并且一个多边形的
各角 分别与另一个多边形的各角 对应相等，各边 对应成比例，那
么这两个多边形叫做相似多边形．
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数学·新课标（HS）
第24章复习2 ┃ 知识归类
(2)相似多边形面积的比等于它们 对应边的比的平方 .
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数学·新课标（HS）
第24章复习2 ┃ 考点攻略
► 考点二 相似三角形的性质
例2 已知△ABC与△DEF相似且对应高的比为3∶4，则 △ABC与△DEF的面积比为___9∶__1_6 __．
[ 解 析 ] △ABC 与 △ DEF 对应高的 比为 3∶4 ， 说 明 △ ABC 与 △DEF的相似比为3∶4，相似三角形的面积之比等于相似比的平 方．
(3)比例的基本性质：①如果ba＝dc，那么 ad＝bc .②如果 ad＝
bc(a、b、c、d 都不等于 0)，那么 ba＝dc .③如果ba＝dc，那么
a±bb＝c±dd
.④如果ba＝dc＝…＝mn (b＋d＋…＋n≠0)，那么
ab＋＋cd＋＋……＋＋mn＝
a b
.
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三角形的中位线 平行于 第三边并且等于第三边的 一半 .
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数学·新课标（HS）
第24章复习2 ┃ 知识归类
(2)梯形的中位线：连结梯形 两腰 中点的线段叫做梯形的
中位线，梯形的中位线平行于 两底 ，并且等于
两底和的一半
.
8．三角形的重心
三角形三条边上的 中线 交于一点，这个点就是三角形
面积的比等于 相似比的平方
.
，相似三角形
5．相似多边形
(1)如果两个多边形的 边数 相同，并且一个多边形的
各角 分别与另一个多边形的各角 对应相等，各边 对应成比例，那
么这两个多边形叫做相似多边形．
第4页/共24页
数学·新课标（HS）
第24章复习2 ┃ 知识归类
(2)相似多边形面积的比等于它们 对应边的比的平方 .
第10页/共24页
数学·新课标（HS）
第24章复习2 ┃ 考点攻略
► 考点二 相似三角形的性质
例2 已知△ABC与△DEF相似且对应高的比为3∶4，则 △ABC与△DEF的面积比为___9∶__1_6 __．
[ 解 析 ] △ABC 与 △ DEF 对应高的 比为 3∶4 ， 说 明 △ ABC 与 △DEF的相似比为3∶4，相似三角形的面积之比等于相似比的平 方．
苏教版九年级数学下册第6章图形的相似课件
1.2m 2.7m
13、皮皮欲测楼房高度，他借助一长5m的标竿，当 楼房顶部、标竿顶端与他的眼睛在一条直线上时， 其他人测出AB=4cm，AC=12m。已知皮皮眼睛离地面 1.6m。请你帮他算出楼房的高度。
F
E D
A
B
C
谢谢
AD CE
∴△ADE∽△ECF
∴∠1+ ∠3=90 ° ∴∠2+ ∠3=90°
∴∠1=∠2
∴ AE⊥EF
画一画
10、在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点 为顶点的三角形叫做格点三角形。在如图4×4的格纸 中，△ABC是一个格点三角形。
(1)在右图中，请你画一个格点三 角形，使它与△ABC类似（类似比 不为1）。
S ADE AE2 25
∴ S EFC = AC2 = 121
∵ S△ADE=25 ∴S △ABC=121
25 E
36
C
7、在平行四边形ABCD中，AE:BE=1:2。
若S△AEF=6cm2 则S△CDF = 54 cm2
S △ADF=_1_8__cm2
D
C
F
A
E
B
8、如图（6）， △ABC中，DE⁄⁄FG⁄⁄BC，AD＝DF＝ FB，则Ｓ△ＡＤＥ:Ｓ四边形ＤＦＧＥ:Ｓ四边形ＦＢＣＧ =_________。
4 位似变换中对应点的坐标变化规律:
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点 为位似中心，类似比为k，那么位似图形对应点 的坐标的比等于k或－k。
复习题
1、如图点P是△ABC的AB边上的一点，要使△APC∽△ACB，
则需补上哪一个条件？
A
P 2
1
B
C
∠ACP=∠B 或∠APC=∠ACB 或AP:AC=AC:AB
13、皮皮欲测楼房高度，他借助一长5m的标竿，当 楼房顶部、标竿顶端与他的眼睛在一条直线上时， 其他人测出AB=4cm，AC=12m。已知皮皮眼睛离地面 1.6m。请你帮他算出楼房的高度。
F
E D
A
B
C
谢谢
AD CE
∴△ADE∽△ECF
∴∠1+ ∠3=90 ° ∴∠2+ ∠3=90°
∴∠1=∠2
∴ AE⊥EF
画一画
10、在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点 为顶点的三角形叫做格点三角形。在如图4×4的格纸 中，△ABC是一个格点三角形。
(1)在右图中，请你画一个格点三 角形，使它与△ABC类似（类似比 不为1）。
S ADE AE2 25
∴ S EFC = AC2 = 121
∵ S△ADE=25 ∴S △ABC=121
25 E
36
C
7、在平行四边形ABCD中，AE:BE=1:2。
若S△AEF=6cm2 则S△CDF = 54 cm2
S △ADF=_1_8__cm2
D
C
F
A
E
B
8、如图（6）， △ABC中，DE⁄⁄FG⁄⁄BC，AD＝DF＝ FB，则Ｓ△ＡＤＥ:Ｓ四边形ＤＦＧＥ:Ｓ四边形ＦＢＣＧ =_________。
4 位似变换中对应点的坐标变化规律:
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点 为位似中心，类似比为k，那么位似图形对应点 的坐标的比等于k或－k。
复习题
1、如图点P是△ABC的AB边上的一点，要使△APC∽△ACB，
则需补上哪一个条件？
A
P 2
1
B
C
∠ACP=∠B 或∠APC=∠ACB 或AP:AC=AC:AB
图形的相似章节复习课件
等，则这两个三角形相似。
边角边（SAS）判定
如果两个三角形有两条对应边相 等，且这两条对应边所对的角相
等，则这两个三角形相似。
相似三角形的性质
对应角相等
相似三角形中，对应角相等。
对应边成比例
相似三角形中，对应边长度的比值相等。
面积比等于相似比的平方
相似三角形的面积比等于其对应边长度的比值的平方。
相似三角形的应用
对应边成比例
平行四边形判定定理
如果一个四边形的一组对边平行且相 等，或者两组对边分别平行且成比个多边形的对应边长之间的比 例相等，则它们是相似的。
相似多边形的性质
对应角相等
01
相似多边形的对应角相等。
对应边成比例
02
相似多边形的对应边长之间的比例相等。
面积比等于相似比的平方
相似与面积比
面积比的概念
面积比是指两个相似图形的面积 之间的比例关系，可以通过相似
三角形的边长比例计算。
面积比的证明
通过相似三角形的性质，可以证明 两个相似图形的面积之比等于它们 的边长之比的平方。
面积比的应用
面积比在几何证明中有着广泛的应 用，例如计算图形的面积、解决几 何问题等。
相似与投影
投影的概念
05
图形相似的综合应用
相似与几何证明
相似与等腰三角形
等腰三角形中的两个底角 相等，因此可以通过相似 三角形证明等腰三角形的 性质。
相似与直角三角形
直角三角形中的两个锐角 相等，因此可以通过相似 三角形证明直角三角形的 性质。
相似与平行四边形
平行四边形中的对角相等 ，因此可以通过相似三角 形证明平行四边形的性质 。
性质
1 3
相似图形对应角相等
边角边（SAS）判定
如果两个三角形有两条对应边相 等，且这两条对应边所对的角相
等，则这两个三角形相似。
相似三角形的性质
对应角相等
相似三角形中，对应角相等。
对应边成比例
相似三角形中，对应边长度的比值相等。
面积比等于相似比的平方
相似三角形的面积比等于其对应边长度的比值的平方。
相似三角形的应用
对应边成比例
平行四边形判定定理
如果一个四边形的一组对边平行且相 等，或者两组对边分别平行且成比个多边形的对应边长之间的比 例相等，则它们是相似的。
相似多边形的性质
对应角相等
01
相似多边形的对应角相等。
对应边成比例
02
相似多边形的对应边长之间的比例相等。
面积比等于相似比的平方
相似与面积比
面积比的概念
面积比是指两个相似图形的面积 之间的比例关系，可以通过相似
三角形的边长比例计算。
面积比的证明
通过相似三角形的性质，可以证明 两个相似图形的面积之比等于它们 的边长之比的平方。
面积比的应用
面积比在几何证明中有着广泛的应 用，例如计算图形的面积、解决几 何问题等。
相似与投影
投影的概念
05
图形相似的综合应用
相似与几何证明
相似与等腰三角形
等腰三角形中的两个底角 相等，因此可以通过相似 三角形证明等腰三角形的 性质。
相似与直角三角形
直角三角形中的两个锐角 相等，因此可以通过相似 三角形证明直角三角形的 性质。
相似与平行四边形
平行四边形中的对角相等 ，因此可以通过相似三角 形证明平行四边形的性质 。
性质
1 3
相似图形对应角相等
23章图形的相似复习(2)课件PPT
1．任取一点O； 2．以点O为端点作射线OA、OB、OC、…； 3．分别在射线OA、OB、OC、 …上取点A’、 B’、C’、 … ，使：
OA’:OA=OB’:OB=OC’:OC= …=1.5; 4．连接A’B’、B’C’、 …，得到所要画 的 A’ 利用位似的方法， 多边形A’B’C’D’E’. B’ 可以把一个多边形 A 放大或缩小．
1.6
∴他的影子长为 3.6 m
做一做
2、教学楼旁边有一颗树，学习了相似三角形后，数学兴趣小组的 同学们想利用树影测量树高。课外活动时在阳光下他们测得一根 长为1m的竹竿的影长是0.9m，但当他们马上测量树高时，发现树 的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的墙壁上（如图）， 经过一番争论，小组同学认为继续测量也可以求出树高。他们测 得落在地面的影长2.7m，落在墙壁上的影长1.2m，请你和他们一 起算一下，树高为多少？ 解：首先在图上标上字母， A 过点C作CE⊥AB，垂足为E 根据题意，可得： △AEC∽△FGH AE CE AE = 2.7 2.7m = E FG HG 1 0.9 C F 1.2m 1.2m 1m AE= 3 m D 2.7m B H 0.9 G ∴树高AB = 3 + 1.2 = 4.2 m
金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与
AB的比
AC BC (或BC与AC的比 )称为黄金比. AB AC
AC BC 黄金比 AB AC
5 1 0618. 2
3、图形的相似
1).形状相同的图形 ①表象：大小不等，形状相同.
②实质：各对应角相等、各对应边成比例.
2).相似多边形 各对应角相等、各对应边成比例的两个多边形
叫做相似多边形. 3).相似多边形性质： 相似多边形的对应角相等,对应边成比例. 4).多边形与三角形 ①三角形是边数最少的多边形. ②相似三角形可类比相似多边形来学习.
北师大版九年级上册数学《相似多边形》图形的相似教学说课复习课件
强化训练
1. 观察下面两组图形，图①中的两个图形相似吗？为什么？
10 正方形
12
菱形
10 12
图① 答：不相似.虽然它们的对应边是成比例
的，但它们的对应角不相等.
强化训练
图②中的两个图形相似吗？为什么？
10 正方形
8
矩形
10
12
图②
答：不相似.虽然它们的对应角相等，
但它们的对应边不成比例.
强化训练
证 明 ： ∵∠GEA ＝ ∠EAF ＝ ∠GFA ＝ 90° ， ∴ 四 边 形 AFGE 为矩形．
∵四边形 ABCD 为正方形，∴AC 平分∠DAB. 又∵GE⊥AD，GF⊥AB，∴GE＝GF.∴四边形 AFGE 为正方形． ∴四边形 AFGE 与四边形 ABCD 相似．
巩固训练 1. 如图，有三个矩形，其中相似的是( B )
九年级数学北师版·上册
第四章 图形的相似
相似多边形
课件
新课引入
观察与思考： 下面几组图形有什么相同点和不同点?
（1）
（2）
（3）
（4）
知识讲解
1 相似多边形的概念及基本性质
如图，多边形ABCDEF是显示在电脑屏幕上的,而多边形
A1B1C1D1E1F1是投射到银幕上的.它们的形状相同吗？
A1
B1
A. 甲和乙 C. 乙和丙
B. 甲和丙 D. 没有相似的矩形
2. 两个相似多边形的相似比是 3∶7，其中一个多边形的 最长边是 21，则另一个多边形的最长边是 4499或99 ．
3. 一个矩形剪去一个以宽为边长的正方形后，剩下的矩
5－1
形与原矩形相似，则原矩形的宽与长的比是 2 ．
4. 如图，矩形 ABCD 中，AB＝4，点 E，F 分别在 AD， BC 边上，且 EF⊥BC，若矩形 ABFE∽矩形 DEFC，且相似 比为12，求 AD 的长．
北师大版九年级数学上册第四章《图形的相似》单元复习课件
ab cd bd
ab cd bd
ac bd
4.若线段MN=10，点K为MN的黄金分割点，则KM的长
为
.
5.如图，在△ABC中，已知DE//BC，AD=3BD，S△ABC=48，
求S△ADE.
解：∵ DE∥BC,
A
3 D 1 B
∴△ADE∽△ABC.
∴S△ABC : S△ADE =
E
∵AD : BD = 1：3,
解：过点D作DG⊥AB，分别交AB、EF于点G、H，
则EH＝AG＝CD＝1.2 m，
DH＝CE＝0.8 m，DG＝CA＝30 m．
因为EF和AB都垂直于地面，所以EF∥AB，
所以∠BGD=∠FHD=90°,∠GBD=∠HFD，
所以△BDG∽△FDH．
所以
FH BG
DH DG
.
由题意，知
FH＝EF－EH＝1.7－1.2＝0.5（m）． ∴ 0.5 0.8 , 解得BG＝18.75（m）．
DC = 31.5 千米，公路 AB 与 CD 平行吗？说出你
的理由.
解：公路 AB 与 CD 平行.
∴
AB BD
AD BC
=
BD DC
=
2， 3
A
28
∴ △ABD∽△BDC， ∴∠ABD=∠BDC，
14 B
D
31.5 21
42
C
∴AB∥DC.
课后练习
1. 如图，△ABC 的高 AD、BE 交于点 F． 求证：AF EF . BF FD
解：∵ DE∥BC，EF∥AB，∴ △ADE ∽△ABC，
∠ADE =∠EFC，∠A =∠CEF，
D
∴△ADE ∽△EFC.
ab cd bd
ac bd
4.若线段MN=10，点K为MN的黄金分割点，则KM的长
为
.
5.如图，在△ABC中，已知DE//BC，AD=3BD，S△ABC=48，
求S△ADE.
解：∵ DE∥BC,
A
3 D 1 B
∴△ADE∽△ABC.
∴S△ABC : S△ADE =
E
∵AD : BD = 1：3,
解：过点D作DG⊥AB，分别交AB、EF于点G、H，
则EH＝AG＝CD＝1.2 m，
DH＝CE＝0.8 m，DG＝CA＝30 m．
因为EF和AB都垂直于地面，所以EF∥AB，
所以∠BGD=∠FHD=90°,∠GBD=∠HFD，
所以△BDG∽△FDH．
所以
FH BG
DH DG
.
由题意，知
FH＝EF－EH＝1.7－1.2＝0.5（m）． ∴ 0.5 0.8 , 解得BG＝18.75（m）．
DC = 31.5 千米，公路 AB 与 CD 平行吗？说出你
的理由.
解：公路 AB 与 CD 平行.
∴
AB BD
AD BC
=
BD DC
=
2， 3
A
28
∴ △ABD∽△BDC， ∴∠ABD=∠BDC，
14 B
D
31.5 21
42
C
∴AB∥DC.
课后练习
1. 如图，△ABC 的高 AD、BE 交于点 F． 求证：AF EF . BF FD
解：∵ DE∥BC，EF∥AB，∴ △ADE ∽△ABC，
∠ADE =∠EFC，∠A =∠CEF，
D
∴△ADE ∽△EFC.