几种常用的分布抽样分布

02 常用概率分布&抽样分布

Poisson分布的特点
• 形态：
– 离散分布 – 只取决于 λ，λ 很小时分布很偏，当 λ 增加时，逐渐趋于对称。 – 在 x=λ 和 x=λ-1 处达到峰值，且有
P( x = λ )oisson 分布的总体均数与总体方差相等，为 λ
Poisson分布的特点
λ = 500 × 0.0008 = 0.4
X ~ P (0.4)
0.4k −0.4 P = 1− ∑ e k =0 k !
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Poisson分布的正态近似
λ 越小分布越偏，随着 λ → ∞ ，Poisson 分布也渐近正态，X ~ N (λ , λ ) 。一般当 λ ≥ 20 时， Poisson 分布进行连续性校正后可按正态分布处理。
医学参考值范围
(Reference Value Range) 一、基本概念
通常指正常人的解剖、生理、生化、免疫及组织代谢产物的含量等各种数据的波动范围。主要目的：用于临床疾病诊断。最常用的是95%参考值范围。
确定95%参考值范围示意图
确定医学参考值范围
例3.9 估计某地健康成年女子的血红蛋白的95%医学参考值范围
二项分布的Poisson近似
• 设 xi ~ B (n, π ) ，当 n → ∞ ，nπ → c 常数时，此时 xi 的极限分布是以 c 为参数的 Poisson 分布。 π 越小，近似越好例：某地食管癌的发病率 π=8/10000，在当地随即抽查 500 人，患者至少为 6 人的概率。 P ( X ≥ 6) = 1 − P ( X < 6)
n • 由于上式是二项式 [π + (1 − π )] 展开式中相应地含
π 的项，因此称该分布为二项分布。 • 从阳性率为 π 的总体中随机抽取大小为 n 的样本，则出现阳性数为 x 的样本的分布为二项分布，记作 x~B（n, π）。

统计学抽样与抽样分布

查费用
3. 需要包含所有低阶段抽样单位的抽样框；同时由于
实行了再抽样，使调查单位在更广泛的范围内展开
4. 在大规模的抽样调查中，经常被采用的方法
概率抽样（小结）
非概率抽样
n也叫非随机抽样，是指从研究目的出发，根据调查者的经验或判断，从总体中有意识地抽取若干单位构成样本。
n重点调查、典型调查、配额抽样（是按照一定标准或一定条件分配样本单位数量，然后由调查者在规定的数额内主观地抽取样本）、方便抽样（指调查者按其方便任意选取样本。如商场柜台售货员拿着厂家的调查表对顾客的调查）等就属于非随机抽样。
样本分量：其中每一个Xi是一个随机变量，称为样本分量。
样本观察值：一次抽样中所观察到的样本数据x1、x2、 x3称为样本观察值。对于某一既定的总体，由于抽样的方式方法不同，样本容量也可大可小，因而，样本是不确定的、而是可5
一、几个概念
（二）样本总体与样本指标
样本指标（统计量）。在抽样估计中，用来反映样本总体数量特征的指标称为样本指标，也称为样本统计量或估计量，是根据样本资料计算的、用以估计或推断相应总体指标的综合指标。
3
总体和参数（续）
通常所要估计的总体指标有
X
NX
一、几个概念
（二）样本总体与样本指标
样本总体。简称样本（Sample），它是按照随机原则，从总体中抽取的部分总体单位的集合体。
样本容量：样本中所包含的个体的数量，一般用n表示。在实际工作中，人们通常把n≥30的样本称为大样本，而把n<30的样本称为小样本。
（二）抽样平均误差（抽样标准误）
抽样平均误差是反映抽样误差一般水平的指标（因为抽样误差是一个随机变量，它的数值随着可能抽取的样本不同而或大或小，为了总的衡量样本代表性的高低，就需要计算抽样误差的一般水平）。通常用样本估计量的标准差来反映所有可能样本估计值与其中心值的平均离散程度。

《概率与数理统计》第06章 - 样本及抽样分布

(3)g( x1, x2 ,L xn )是统计量g(X1, X2 ,L Xn )的观察值
几个常见统计量
样本平均值
X
1 n
n i 1
Xi
它反映了总体均值的信息
样本方差
S 2
1 n1
n i 1
(Xi
X )2
它反映了总体方差的信息
n
1
1
n
X
2 i
i 1
nX
2
样本标准差
S
1 n
n
1
(
i 1
X
i
是来自总体的一个样本，则
(1) E( X ) E( X ) ,
(2) D( X ) D( X ) 2 n ,
n
(3) E(S 2 ) D( X ) 2
矩估计法的理论根据
若总体X的k阶矩E( X k ) k存在，则
(4) Ak
1 n
n i 1
Xik
p k
k 1, 2,L .
(3)证明：E(S2 )
定义设X1 , X2 ,L , Xn是来自总体X的一个样本， g( X1 , X 2 ,L , X n )是X1 , X 2 ,L , X n的函数，若g 中不含未知参数，则g( X1 , X 2 ,L , X n )称是一个统计量.
请注意 :
(1)X1, X2 ,L
X
是样本，也是随机变量
n
(2)统计量是随机变量的函数，故也是随机变量
1
e
(
xi 2
2
)2
2
n
( xi )2
1
e i1 2 2
n
2
第二节
抽样分布

3-理论分布与抽样分布

68-95-99.7规则
➢ 正态分布有其特定的数据分布规则： ▪ 平均值为, 标准差为σ的正态分布 ▪ 68%的观察资料落在的1σ之内 ▪ 95%的观察资料落在的2σ之内 ▪ 99.7%的观察资料落在的3σ之内
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20
三、68-95-99.7规则
68.26% 的资料 95.45% 的资料 99.73% 的资料 -3 -2 -1 0 1 2 3 -3s -2s -s +s +2s +3s
体称为样本平均数的抽样总体。其平均数和标准差分
别记为和。x
s x
是样s x本平均数抽样总体的标准差，简称标准误 (standard error)，它表示平均数抽样误差的大小。统计学上已证明x总体的两个参数与x 总体的两个参数有如下关系：
u=(x-μ)／σ
x～N(0,1)
上一张下一张主页退12出
3.3.3 正态分布的概率计算 1. 标准正态分布的概率计算
设u服从标准正态分布，则u在[u1，u2 ）内取值的概率为：
＝Φ(u2)－Φ(u1)
(3-16)
Φ(u1)与Φ(u2)可由附表1查得。
上一张下一张主页退13出
例如，u=1.75时，由附表1可以查出 Φ(1.75)=0.95994
图3-6 μ相同而σ不同的3个正态分布比较大 8
（6）分布密度曲线与横轴所围成的区间面积为1，即：
（7）正态分布的次数多数集中在平均数μ的附近，离均数越远，其相应次数越少，在3σ以外的极少，这就是食品工业控制中的3σ 原理的基础。
上一张下一张主页退 9出
3.3.2 标准正态分布
上一张下一张主页退16出
(1) P(u＜-1.64)=0.05050 (2) P (u≥2.58)=Φ(-2.58)=0.024940 (3) P (｜u｜≥2.56)

几种常见的分布

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十、负二项分布(Negative binomial distribution)
定义：已知一个事件在伯努利试验中每次的出现概率是p，在一连串伯努利试验中，一件事件刚好在第r + k次试验出现第r次的概率。
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取r = 1，负二项分布等于几何分布。其概率质量函数为
几种常见的分布
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分类
连续型随机分布
◆ 正态分布、均匀分布、指数分布、对数正态分布、柯西分布、 Gamma分布、瑞利分布、韦伯分布
离散型随机分布
◆ 二项分布、几何分布、超几何分布、泊松分布
三大抽样分布
◆ 卡方分布、F分布、t分布
分布之间的关系大数定理、中心极限定理
应用：在自然情况下，均匀分布极为罕见。在实际问题中，当我们无法区分在区间内取值的随机变量取不同值的可能性有何不同时，我们就可以假定随机变量服从区间上的均匀分布。
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三、指数分布(Exponential distribution)
应用：主要用于描述独立事件发生的时间间隔。自然界中有很多种“寿命”可以用指数分布来描述，如电子元件的寿命、动物的寿命、电话的通话时间、服务系统的服务时间等。
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四、对数正态分布
定义：如果一个随机变量的对数服从正态分布，那么该随机变量服从对数正态分布。
应用：金融保险业、投资收益计算等。
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五、柯西分布(Cauchy distribution)
应用：主要应用于物理学中，它是描述受迫共振的微分方程的解。在光谱学中，它用来描述被共振或者其他机制加宽的谱线形状。

统计学第六章抽样和抽样分布

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统计学第六章抽样和抽样分布
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一、总体与样本
▪ 把握两个问题： ▪ 1、总体和总体参数； ▪ 2、样本和样本统计量。
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统计学第六章抽样和抽样分布
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1、总体与总体参数
（1）总体：指根据研究目的确定的所要研究的同类事物的全体，是所要说明其数量特征的研究对象。按所研究标志性质不同，分为变量总体和属性总体，分别研究总体的数量特征和品质特征。构成总体的个别事物（基本单元）就是总体单位，也称个体。总体单位的总数称为总体容量，记作N。
缺点：受主观影响易产生倾向性误差；不能计算、控制误差，无法说明调查结果的可靠程度。
抽样一般都是指概率抽样。
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统计学第六章抽样和抽样分布
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2、重复抽样和非重复抽样
（1）重复抽样：又称重置抽样，是指从总体中抽出一个样本单位，记录其标志值后，又将其放回总体中继续参加下一轮单位的抽取。特点是：第一，n个单位的样本是由n次试验的结果构成的。第二，每次试验是独立的，即其试验的结果与前次、后次的结果无关。第三，每次试验是在相同条件下进行的，每个单位在多次试验中选中的机会(概率)是相同的。在重复试验中，样本可能的个数是 N n ，N为总体单位数，n为样本容量。
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统计学第六章抽样和抽样分布
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2、重复抽样和非重复抽样
（2）非重复抽样：又称为不重置抽样，即每次从
总体抽取一个单位，登记后不放回原总体，不参加下
一轮抽样。下一次继续从总体中余下的单位抽取样本
。特点是：第一，n个单位的样本由 n 次试验结果构成
统计学第六章抽样和抽样分布
第六章抽样与抽样分布

几种常用抽样方案

几种常用抽样方案
常用抽样方案有很多种，以下是几种常见的抽样方案及其特点：
1.简单随机抽样：简单随机抽样是指从总体中随机地选择样本，每个个体有相等的概率被选中。

这种抽样方案适用于总体的分布和特征都是已知的情况，且总体规模不大的情况。

2.系统抽样：系统抽样是指按照一定的规则，从总体中按照一定的间隔选择样本。

例如，从一串编号的个体中每隔一定的距离选择一个个体作为样本。

系统抽样适用于总体规模较大，难以进行简单随机抽样的情况。

3.分层抽样：分层抽样是将总体分为若干层，然后从每一层中进行简单随机抽样。

这种抽样方案适用于总体具有明显的层次结构的情况，可以提高抽样的效率和精度。

4.整群抽样：整群抽样是将总体划分为若干个群体，然后随机选择几个群体作为样本进行调查。

这种抽样方案适用于总体划分明确，群体内的个体相似性较高的情况，能够提高抽样的效率。

5.分阶段抽样：分阶段抽样是将抽样过程划分为多个阶段，在每个阶段中进行不同的抽样方式。

例如，先进行简单随机抽样，然后在选定的样本中再进行分层抽样。

分阶段抽样适用于复杂的抽样情况，能够提高抽样的效率和灵活性。

6.整体抽样：整体抽样是指直接从总体中抽取全部个体作为样本。

这种抽样方案适用于总体规模较小，抽取全部个体的成本较低的情况。

以上是几种常用的抽样方案，不同的抽样方案适用于不同的调查情况。

在选择抽样方案时，需要考虑总体的特点、抽样目的以及可行性等因素，
以确保抽样结果的准确性和可靠性。

第3节常用统计分布(三个常用分布)

例2
设X
~
N
(
,
2
),
Y
2
~
2 (n),且X ,Y相互独立,
试求 T X 的概率分布.
Yn
解因为X ~ N(, 2),所以 X ~ N(0,1)
又Y
2
~
2 (n),且X ,Y独立,则
X
与Y
2
独立,
由定理得
T (X ) / X ~ t(n) (Y / 2) / n Y n
n
事实上，它们受到一个条件的约束：
Xi nX
i 1
n
i 1
Xi
X
1
n
(
i 1
Xi
nX )
1
0
0.
例1
设X1 ,
X 2 ,
,
X
为
6
来
自
正
态
总
体N
(0,1)的
一
组
样
本,
求C1
,
C
使
2
得
Y C1( X1 X 2 )2 C2( X 3 X4 X5 X6 )2
服从 2分布.
解
X1
2
4
则C1 1 2 ,C2 1 4 .
3. t 分布定义设 X ~ N (0, 1), Y ~ 2 (n), 且 X , Y
独立,则称随机变量 T X 服从自由度为 n Y /n
的 t 分布, 记为T ~ t(n).
t 分布又称学生氏(Student)分布. t(n) 分布的概率密度函数为
2. 2分布（卡方分布）
定义、设 X1, X 2 ,L , X n 相互独立，同服从 N (0, 1)