几种常见的概率分布复习过程
几种常见的概率分布律
的概率，其值为 ϕ4
=
⎛ ⎜⎝
1 2
⎞4 ⎟⎠
=1 16
。
ϕ 3 (1 − ϕ ) 表示有三个显性基因和一个隐性基因组合出现的概率。其中
显形基因有三个，隐性基因一个，该项的系数表示这样的组合共有四种。
它们是RRYy，RRyY，RrYY和rRYY。这四种组合的概率均为
•
ϕ
3
(1
−
ϕ
)
=
⎛ ⎜⎝
1 2
⎞3 ⎟⎠
上式正是二项式展开式的第x+1项，因此产生理论分布中“二项分布”这一名 称。故该式称为二项分布的概率函数。
• 二项展开式，
⎡⎣ϕ +(1−ϕ)⎤⎦n =Cn0ϕ0 (1−ϕ)n +Cn1ϕ1 (1−ϕ)n−1 +"+Cnxϕx (1−ϕ)n−x +"+Cnnϕn (1−ϕ)0 = p(0) + p(1) + p(2) +"+ p( x) +"+ p(n)
⎛ ⎜⎝
1 2
⎞10 ⎟⎠
=
2−10
=
0.0009766
( ) p(1)
=
10! ⎛
1!(10 −1)!⎜⎝
1 2
⎞1 ⎟⎠
⎛ ⎜⎝
1 2
⎞9 ⎟⎠
=
10
2−10
= 0.0097656
( ) p(2) =
10! ⎛ 1 ⎞2 ⎛ 1 ⎞8
2!(10 − 2)!⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 2 ⎟⎠
= 45
2−10
(1) 二项分布图形的形状取决于P 和 n 的大小； (2) 当P = 0.5时，无论 n 的大小， 均为对称分布； (3) 当P ≠ 0.5，n 较小时为偏态分 布，n 较大时逼近正态分布。
考研数学概率与统计备考掌握常见概率分布和统计方法
考研数学概率与统计备考掌握常见概率分布和统计方法概率与统计是考研数学中的一个重要内容，备考期间，掌握常见的概率分布和统计方法是非常关键的。
本文将介绍几种常见的概率分布和统计方法，以助于考生备考时的复习。
一、离散型随机变量及其概率分布离散型随机变量是指在一次试验中，可能取一些特定值的变量。
在概率论中，常见的离散型随机变量有二项分布、泊松分布和几何分布。
1. 二项分布二项分布是指在n次试验中，成功次数为X的概率分布。
它的概率质量函数为：P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，n为试验次数，k为成功次数，p为一次试验成功的概率，C(n, k)为组合数。
2. 泊松分布泊松分布是一种在独立时间段内总体事件发生次数的离散概率分布。
它的概率质量函数为：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!其中，X为事件发生的次数，λ为单位时间或空间内事件的平均发生率。
3. 几何分布几何分布是指在一系列独立重复的伯努利试验中，首次成功所需的试验次数的概率分布。
它的概率质量函数为：P(X=k) = p * (1-p)^(k-1)其中，X为首次成功所需的试验次数，p为一次试验成功的概率。
二、连续型随机变量及其概率分布连续型随机变量是指在某一区间内可能取任意值的变量。
在概率论中，常见的连续型随机变量有均匀分布、正态分布和指数分布。
1. 均匀分布均匀分布是指在一个区间内，随机变量取任意值的概率相等的分布。
它的概率密度函数为：f(x) = 1 / (b-a) (a <= x <= b)其中，a为区间下界，b为区间上界。
2. 正态分布正态分布也称为高斯分布，是自然界和社会现象中最常见的分布。
它的概率密度函数为：f(x) = 1 / (σ* √(2π)) * e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2))其中，μ为均值，σ为标准差。
3. 指数分布指数分布是一种用于描述事件发生时间间隔的分布。
生物统计学 几种常见的概率分布律
非此即彼
随机试验有两种互不相容不同结果。 重要条件： 1. 每次试验两个结果（互为对立事件），每一种结果在每次 试验中都有恒定的概率； 2. 试验之间应是独立的。
P(AB)=P(A)P(B)
2.14
二项分布的概率函数
服从二项分布的随机变量的特征数
方差 当以比率表示时
偏斜度
了解
峭度
做题时请先 写公式，代 数字，出结 果，描述结 果的意义。
正态分布表的单侧临界值
上侧临界值
下侧临界值
双侧临界值
§3.5 另外几种连续型概率分布
指数分布（exponential distribution）
了解
Γ分布（gamma distribution）
了解
了解
随着p的增加， Γ分布愈来愈 接近于正态分 布。
§3.6 中心极限定理 （Central Limit Theorem） 假设被研究的随机变量X可以表 示为许多相互独立的随机变量Xi 的和。如果Xi的数量很大，而且 每一个别的Xi对于X所起的作用 又很小，则X可以被认为服从或 近似地服从正态分布。
作业
P51
3.1, 3.2（算出各表现型概率即可）; 3.12, 3.18
正态分布的密度函数和分布函数 正态分布（normal distribution） 高斯分布（Gauss distribution） 正态曲线（normal curve） 连续型概率分布律 两头少，中间多，两侧对称
了解
标准正态分布
/fai/
标准正态分布的特性
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
正态分布表的使用方法
正态分布标准化
生物统计学
第三章 几种常见的概率 分布律
2010.9
第一章 概率统计基础知识(4)常用分布
(1) 标准正态分布函数
(1) 标准正态分布函数
表，用来计算形如“ ”的随机事件发生的概率，即标准正态分布函数。根据u的值可在标准正态分布函数表(附表1—2)上查得， .例如事件“u≤1.52“的概率可从附表1—2上查得p(u≤1.52)= (1.52)=0.9357它表示标准正态随机变量u取值不超过1.52 的概率，在数量上它恰好为1.52 左侧的一块阴影面积(见图1.2-13) 。
这个分布
这个分布称为二项分布，记为b(n,p)
是从n个不同元素中取出x个的组合数，它的计算公式为：
二项分布的均值、方差与标准差分别为：np, npq, .
特例：n=1的二项分布称为二点分布。它的概率函数为：
或列表如下：
它的均值、方差与标准差分别为p,p(1-p), 。
[例1.2-10]
[例1.2-10]在—个制造过程中，不合格品率为o.1，如今从成品中随机取出6个，记x为6个成品中的不合格品数，则x服从二项分布，简记为b(6,0.1)。现研究如下几个问题：
由于概率0.95 恰好介于0.9495 与0.9505 中间，故。
0.5 分位数，即50% 分位数，也称为中位数，在标准正态分布n(o，1)场合，
u0.5=0 。当α<o．5时，比如α=0.25，由对称性可知u0.25=-u0.75。u0.75=0.675，对它加上负号即得u0.25=-0.675，类似地有u0.1=-u0.9=-1.282(见图1.2—20) 。（p30）
1.2 起重大事故，这表明：x服从 =1.2 的泊松分布，现考察如下事件的概率：
(1) 在一个月内发生1起重大事故的概率为：
类似地也可计算x取其他值的概率，现罗列于如下分布列中：
第三章第二次课 几种常见的理论分布
第三章第二次课： 回顾概率基础知识，通过离散型和连续型随机变量的概率分布引出本次讲授内容。
第二节几种常见的理论分布重点：掌握正态分布、二项分布、泊松分布的定义、特点和概率计算。
难点：二项分布的概率函数特征，正态分布的特征。
一、二 项 分 布一）、贝努利试验及其概率公式将某随机试验重复进行n 次，若各次试验结果互不影响， 即每次试验结果出现的概率都不依赖于其它各次试验的结果，则称这n 次试验是独立的。
对于n 次独立的试验，如果每次试验结果出现且只出现对立事件A 与A 之一，在每次试验中出现A 的概率是常数p (0<p <1),因而出现对立事件A 的概率是1-p=q ，则称这一串重复的独立试验为n 重贝努利试验，简称贝努利试验(Bernoulli trials )。
在生物学研究中，我们经常碰到的一类离散型随机变量，如入孵n 枚种蛋的出雏数、n 头病畜治疗后的治愈数、n 尾鱼苗的成活数等，可用贝努利试验来概括。
在n 重贝努利试验中，事件A 可能发生0，1，2，…，n 次，现在我们来求事件A 恰好发生k (0≤k ≤n )次的概率P n (k)。
先取n =4，k =2来讨论。
在4次试验中，事件A 发生2次的方式有以下24C 种： 21A A 43A A 4321A A A A 4321A A A A 4321A A A A 4321A A A A 4321A A A A其中A k (k =1,2,3,4)表示事件A 在第k 次试验发生；k A (k =1,2,3,4)表示事件A 在第k 次试验不发生。
由于试验是独立的，按概率的乘法法则，于是有 P (21A A 43A A )=P (4321A A A A )=…= P (4321A A A A )= P (1A )·P (2A )·P (3A )·P (4A )=242-qp又由于以上各种方式中，任何二种方式都是互不相容的，按概率的加法法则，在4 次试验中，事件A 恰好发生2次的概率为)2(4P = P (21A A 43A A )+P (4321A A A A )+…+ P (4321A A A A )=24C 242-qp一般，在n 重贝努利试验中，事件A 恰好发生k (0≤k ≤n)次的概率为)(k P n =kn C kn k qp - k =0,1,2…，n (3-14)若把(4-14)式与二项展开式∑=-=+nk kn k k n nqp C p q 0)(相比较就可以发现，在n 重贝努利试验中，事件A 发生k 次的概率恰好等于np q )(+ 展开式中的第k +1项，所以也把(4-14)式称作二项概率公式。
4 第三章 几种常见的概率分布律
φ-事件A发生的概率（每次试验都是恒定的）
1-φ- 事件 A 发生的概率 p(y)-y的概率函数=P(Y=y)
F(y)= P(Y≤y)=
p( yi )
yi y
5
例3.1 从雌雄各半的100只动物中，每次抽一只， 做放回式抽样，若抽样试验共进行10次，问其中 包括0，1，2，3只雄性动物的概率是多少？包括 3只及3只以下的概率是多少？
1
e dz y
(
y )2 2 2
2
24
F(y) 1
1 2
y
25
正态分布的特性
当y=μ时，f(y)有最大值，正态分布曲线是以平均数 为中心的分布。
当y不论向哪个方向远离μ时， f(y)的值都减小，但永 远不会等于0，正态分布以y轴为渐近线， y的取值区 间（-∞，+∞）。
36
标准正态分布的概率计算
如：设y服从标准正态分布，求概率 P(y>0.3) 。 解：标准正态分布关于y=0对称，所以
P(y>0.3)=P(y<-0.3)= (0.30) 0.3821
37
标准正态分布的概率计算
例：设y服从标准正态分布，求概率P(-1.83 <y <0.3) 。
解：即求标准正态分布曲线下在（-1.83，-0.30）范围 内的面积
k,
k
1,
k
2,
...
20
第四节 正态分布
第四节 正态分布
正态分布：两头少，中间多，两侧对称。 一、正态分布的密度函数和累积分布函数
正态分布密度函数
f (y)
1
e
(
y )2 2 2
几种常见的概率分布率分解课件
均匀分布的定 义
均匀分布是一种概率分布，其特点是随机变量在一定区间内取值的可能性是等可 能的。
在数学表达上，如果一个随机变量X服从某个区间[a, b]上的均匀分布，则其概率 密度函数f(x)可以表示为f(x)=1b−a，当x∈[a,b]时，f(x)=0，当x∉[a,b]时。
均匀分布的特点
均匀分布的期望值E(X)和方差Var(X) 分别为(a+b)/2和(b-a)^2/12。
泊松分布在生活中的应用
02
01
03
在物理学中，泊松分布用于描述放射性衰变过程中粒 子发射的次数。
在统计学中，泊松分布常用于二项分布的近似，当试 验次数很大而事件发生的概率很小时。
在计算机科学中，泊松分布在处理网络流量和计算机 系统中的任务调度等问题时非常有用。
04
二项分布
二项分布的定义
总结词
二项分布是一种离散概率分布，描述了在n次独立重复的伯努利试 验中成功的次数。
指数分布的期望值和方差是有限的，分别为1/λ和1/λ^2，其中λ是概率密度函数的 参数。
指数分布在生活中的应用
指数分布在可靠性工程中广泛应 用，用于描述产品寿命、故障间
隔时间等。
在排队论中，指数分布用于描述 顾客到达和服务时间等随机变量。
在保险精算中，指数分布用于计 算保费和准备金。
06
均匀分布
几种常见的概率分布率分解课 件
CONTENCT
录
• 概率分布率概述 • 正态分布 • 泊松分布 • 二项分布 • 指数分布 • 均匀分布
01
概率分布率概述
概率分布率的定 义
概率分布率
表示随机变量取值的概率规律。
定义方式
对于离散随机变量，概率分布律为P(X=xi)=pi，i=1,2,3...；对于连续随机变量， 概率分布函数为P(a≤X≤b)=∫[a,b]f(x)dx，其中f(x)为概率密度函数。
4. 第三章 几种常见的概率分布律
3.4 正态分布
两头少，中间多，两侧对称
正态分布曲线
μ
22
正态分布的密度函数和分布函数
对于平均数是μ ，标准差是σ的正态分布，其密 度函数为
1 f x e 2
x 2
2 2
, x , 0
以符号N（μ ，σ2）表示平均数为μ ，标准差为 σ的正态分布
20
结果如下：
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
有x颗杂草的概率 p(x) = 10x/x!e10
有小于等 于x颗杂草 的概率 （累加）
有多于于等于x 颗杂草的概率 （1-上一个数 值的累计）
p(x) 0.0005 0.0023 0.0076 0.0189 0.0378 0.0631 0.0901 0.1126 0.1251 0.1251 0.1137 0.0948 0.0729 0.0521 0.0347
n p x 1 1 x 0
8
n
将x＝0，1，2，3代入二项分布概率函数，可得出出 现0，1，2，3只雄性动物的概率。
P（0）＝ 0.0009766
P（1）＝ 0.0097656
P（2）＝ 0.0439453Biblioteka P（3）＝ 0.1171876
抽到3只和3只以下雄性动物的概率为：
15
于是：
15 n C (1 ) ( ) 0.01 16 n（lg15－lg16）＝ lg0.01 -0.02803n ＝－2.00000 n ＝71.4
n n n 0 n
即需要72代
0 n 0 n
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几种常见的概率分布
一、 离散型概率分布
1. 二项分布
n 次独立的贝努利实验，其实验结果的分布（一种结果出现x 次的概率是多少的分布）即为二项分布
应用二项分布的重要条件是：每一种实验结果在每次实验中都有恒定的概率，各实验之间是重复独立的
平均数： (Y)np X E μ==
方差与标准差：2(1)X np P σ=-
;X σ=特例：（0-1）分布
若随机变量X 的分布律为
1(x k)p (1p)k k p -==- k=0,1；0<p<1,
则称X 服从参数p 的（0-1）分布
2. 泊松分布
泊松分布是一种用来描述一定的空间和时间里稀有事件发生次数的概率分布
泊松分布变量x 只取零和正整数：0、1、2…..其概率函数为：
(x)!x p e x μμ-=
泊松分布的平均数：(x)E μμ==
泊松分布的方差和标准差：2σμ=
、σ=
3. 超几何分布 P(X=k)=k n k M N M n N C C C -- 记X~（N ，M ，n ） P=M N
期望：E(X)=np
方差：D(X)=np(1-p)1
N n N -- 适用范围：多次完全相同并且相互独立的重复试验，如果在有限总体中不重
复抽样，抽样成功的次数X 的概率分布服从超几何分布，如福利彩票
二、 连续型概率分布
1. 均匀分布
若随机变量X 具有概率密度函数
(x)f =
则称X 在区间（a ，b ）上服从均匀分布，记为X ~ U(a ，b)
在区间（a ，b ）上服从均匀分布的随机变量X 的分布函数为
0F(x),1
x a x a a x b b a b x ⎧<⎪-⎪=≤<⎨-⎪≤⎪⎩
2指数分布
若随机变量X 具有概率密度函数,0(x)0,0
x e x f x λλ-⎧≥=⎨<⎩ 其中0λ> 是常数，
则称X 服从以λ 为参数的指数分布，记作~()X E λ ，X 的分布函数为
1,0(x)0,0
x e x F x λ-⎧-≥=⎨<⎩
3.正态分布
正态随机变量X 的概率密度函数的形式如下：
22(x )2(x),f x μδ--=-∞<<∞
式中，μ 为随机变量X 的均值；2δ 为随机变量X 的方差。
通常对具有均值μ，方差为2δ的正态概率分布，记为N （μ，2δ）。
于是有正态随机变量X~N （μ，2δ）。
1,;0,a x b b a ⎧<<⎪-⎨⎪⎩其他
4.2χ 分布
如果从标准正态分布N （0，1）的总体中得到n 个随机变量分别为12n ,....,X X X ，
时，则由2i X ∑ 得到的分布叫做自由度为n 的2χ 分布，记为2~n X χ（）
2~n X χ（） 。
2χ分布的数学期望和方差分别为：
E （X ）= n ，D （X ）=2n
关于2χ分布的加法定理。
设12,....k X X X ，
，是相互独立的随机变量，且2~(n ),i 1,2,....,i i X k χ=则
2121~(n n ...n )k i
k i X χ=++∑
2χ分布与N （0，1）分布有如下关系：
设12n ,....X X X ，是相互独立的随机变量，并且i X ~（0，1），i=1，2，…n ，则 221~(n)n
i
i X χ=∑ 5.t 分布
设X~N （0,1），2~(n)Y χ ，X 与Y 相互独立，则随机变量
t =
遵从n 个自由度的t
分布，记为~(n)t t =。
t 分布的数学期望和方差如下：
当n>2时，E(t)=0,D(t)=2
n n - t 分布的图形是对称的。
当n<30时，t 分布的分散程度比标准正态分布大，密度函数曲线比较平缓，随着n 的增大，t 分布逐渐逼近标准正态分布。
当n →∞ 时，t 分布渐近标准正态分布。
6.F 分布
设随机变量21~(n )X χ ，22Y ~(n )χ，且X 与Y 相互独立，则称随机变量
12
//X n F Y n 遵从自由度为12(n ,n ) 的F 分布，记作F~F 12(n ,n )
F 分布的形状为正偏态分布状，但随着12n ,n 的增大，其概率密度曲线的偏斜度虽有所缓减却仍保持偏态分布，并不以正态分布为其极限分布形式。
如果~(n)t t ，则2~(1,n)t F 如果12211~F(n ,n ),~F F
F 则（n ,n ） 。