等腰三角形和等边三角形的综合题
等腰三角形的性质和判定的综合题目
轴对称性
等腰三角形是轴对称图形，其 对称轴为底边的垂直平分线。
等腰三角形的两腰相等，且与 底边形成两个相等的角。
题目：等腰三角形ABC中，AB=AC，D为BC上一点，BD=CD，AD=DE=EB，过 点E作EM平行于AB交BC于点M，求BM:ME的值。
图形变化的题目
题目：等腰三 角形ABC中， AB=AC，D是 BC上一点，且 AD=BD=CD， 则∠BAC的度
数为多少。
题目：在等腰 三角形ABC中， AB=AC，D是 BC上一点，且 AD=BD=CD， 则∠BAC的度
等腰三角形在建筑、工程和艺术等领域也有广泛应用，如建筑设计、桥梁构造和图案设 计等。
解决实际问题
利用等腰三角形 的性质解决生活 中的实际问题， 如建筑、工程、 设计等领域。
等腰三角形在物 理学中的应用， 如力的平衡、杠 杆等。
等腰三角形在数 学中的实际应用 ，如代数、几何 、三角函数等。
等腰三角形在实 际问题中的应用 ，如航海、地理 、天文等。
题目：等腰三角形ABC中，AB=AC，D为BC上一点，BD=CD， AD=DE=EB，AE交BD于点M，过点D作DF平行于AB交AE于点F，求 BM:MF的值。 题目：等腰三角形ABC中，AB=AC，D为BC上一点，BD=CD， AD=DE=EB，AE交BC于点N，过点D作DM平行于AE交BC于点M，求 BM:MN的值。
解题思路：利用 等腰三角形的性 质和判定的综合 应用，通过题目 给出的条件逐步 推导出各角的度 数。
等腰三角形和等边三角形的综合题
等腰三角形和等边三角形的综合题哎呀，说到等腰三角形和等边三角形的综合题，那可真是让不少同学头疼，但别怕，咱们一起来好好琢磨琢磨。
我记得有一次，在课堂上我给同学们出了一道关于等腰三角形和等边三角形的综合题。
题目是这样的：一个等腰三角形，其中一个角是60 度，让大家求其他角的度数。
我就看着同学们有的抓耳挠腮，有的眉头紧皱，还有的在草稿纸上不停地写写画画。
咱们先来说说等腰三角形，它可是有两条边长度相等的哟。
如果已知顶角，那底角的度数就可以通过用（180 顶角）÷ 2 来算。
要是已知一个底角，那顶角就是 180 底角× 2 啦。
再看看等边三角形，这可就更有趣了，它的三条边都相等，三个角也都相等，每个角都是 60 度。
比如说有这样一道题：一个等腰三角形的周长是 20 厘米，其中一条腰长 8 厘米，求底边的长度。
这时候咱们就得先知道等腰三角形两腰相等，所以另一条腰也是 8 厘米，那底边就是 20 8× 2 ＝ 4 厘米。
还有这样的题：一个等边三角形的边长是 10 厘米，它的周长是多少？这就太简单啦，因为等边三角形三边相等，所以周长就是 10× 3 ＝30 厘米。
我再给大家出一道有点难度的综合题：已知一个三角形是等腰三角形，其中一个角是 50 度，求其他两个角的度数。
这时候就得分情况讨论啦，如果这个 50 度的角是顶角，那底角就是（180 50）÷ 2 ＝ 65 度；要是 50 度的角是底角，那另一个底角也是 50 度，顶角就是 180 50× 2 ＝ 80 度。
在做这些综合题的时候，大家一定要认真分析题目给出的条件，千万不能马虎。
就像上次，有个同学做题的时候，明明题目说的是等腰三角形，他愣是给当成等边三角形来做，结果答案全错啦，那叫一个可惜哟！所以呀，同学们，对于等腰三角形和等边三角形的综合题，只要咱们掌握了它们的特点和性质，多做几道练习题，就一定能轻松应对。
等腰三角形三线合一典型题型
等腰三角形三线合一专题训练姓名例1：如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。
求证：BC=AB+DC。
变1：如图，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝2，BC＝3，CD＝1，E是AD边中点。
求证：CE⊥BE。
变2：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，E是CD上一点，且AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC.（1）求证：AE⊥BE；（2）求证：E是CD的中点；（3）求证：AD+BC=AB.变3：△ABC 是等腰直角三角形 ，∠BAC=90°,AB=AC.⑴若D 为BC 的中点，过D 作DM ⊥DN 分别交AB 、AC 于M 、N ，求证：（1）DM ＝DN 。
⑵若DM ⊥DN 分别和BA 、AC 延长线交于M 、N 。
问DM 和DN 有何数量关系。
(1) 已知：如图，AB=AC ，E 为AB 上一点，F 是AC 延长线上一点，且BE=CF ，EF 交BC 于点D ． 求证：DE=DF ．M N D C BAM ND CB ADBCF AE(2)已知：如图，AB=AC ，E 为AB 上一点，F 是AC 延长线上一点，且，EF 交BC 于点D ，且D 为EF 的中点． 求证：BE=CF ．DBCF AE利用面积法证明线段之间的和差关系1、如图，在△ABC 中，AB=AC ，P 为底边BC 上的一点，PD ⊥AB 于D ，PE ⊥AC 于E ，•CF ⊥AB 于F ，那么PD+PE 与CF 相等吗？变1：若P点在直线BC上运动，其他条件不变，则PD 、PE与CF的关系又怎样，请你作图，证明。
ＦＦ1、已知等腰三角形的两边长分别为4、9，则它的周长为（ ）A 17B 22C 17或22D 13根据等腰三角形的性质寻求规律 例1．在△ABC 中，AB=AC ，∠1=12∠ABC ，∠2=12∠ACB ，BD 与CE 相交于点O ，如图，∠BOC 的大小与∠A 的大小有什么关系？ 若∠1=13∠ABC ，∠2=13∠ACB ，则∠BOC 与∠A 大小关系如何？ 若∠1=1n ∠ABC ，∠2=1n∠ACB ，则∠BOC 与∠A 大小关系如何？会用等腰三角形的判定和性质计算与证明例2．如图，等腰三角形ABC 中，AB=AC ，一腰上的中线BD•将这个等腰三角形周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长．利用等腰三角形的性质证线段相等例3．如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，连结PA 、PB 、PC ，•以BP 为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP ，连结CQ ．（1）观察并猜想AP 与CQ 之间的大小关系，并证明你的结论．（2）若PA ：PB ：PC=3：4：5，连结PQ ，试判断△PQC 的形状，并说明理由．例1、等腰三角形底边长为5cm ，腰上的中线把三角形周长分为差是3cm 的两部分，则腰长为（ ） A 、2cm B 、8cm C 、2cm 或8cm D 、不能确定例2、已知AD 为△ABC 的高，AB=AC ，△ABC 周长为20cm ，△ADC 的周长为14cm ，求AD 的长。
等腰三角形与等边三角形的综合练习题
等腰三角形与等边三角形的综合练习题在几何学中，等腰三角形和等边三角形是两个基本的三角形类型。
虽然它们具有一些共同点，但也有一些不同之处。
本文将为您提供一些相关的综合练习题，以帮助您更好地理解和应用这两种三角形。
练习题1：等边三角形的性质和相关计算题目：已知一个等边三角形ABC，边长为a。
请计算以下内容：1. 三角形ABC的内角和是多少？2. 计算三角形ABC的高和面积。
3. 求三角形ABC的外接圆半径。
4. 若等边三角形ABC的周长为15cm，求边长a的值。
解答：1. 由于等边三角形的三个内角相等，所以三角形ABC的内角和为180°。
2. 等边三角形ABC的高等于边长，因此三角形ABC的高为a。
根据三角形面积公式，三角形ABC的面积S = 1/2 * a * a * sin60°= a² * √3 / 4。
3. 由于等边三角形的外接圆半径等于边长的一半，所以三角形ABC 的外接圆半径为a / 2。
4. 根据等边三角形的性质，边长a乘以3即为等边三角形的周长。
所以3a = 15，解得a = 5。
练习题2：等腰三角形的性质和相关计算题目：已知一个等腰三角形DEF，底边DE = 8cm，等腰边DF = EF = 6cm。
请计算以下内容：1. 三角形DEF的内角和是多少？2. 求三角形DEF的高和面积。
3. 已知等腰三角形DEF的底边DE = 8cm，求EF的值，使得三角形DEF的面积为12平方厘米。
解答：1. 由于等腰三角形的两个底角相等，所以三角形DEF的内角和为180°。
2. 等腰三角形DEF的高可以通过勾股定理计算，即高h = √(DF² - (DE/2)²) = √(6² - (8/2)²) = √16 = 4。
根据三角形面积公式，三角形DEF的面积S = 1/2 * DE * h = 1/2 * 8 * 4 = 16 平方厘米。
等腰三角形与等边三角形
精心整理等腰三角形与等边三角形 学习目标 掌握等腰三角形、等边三角形的性质和判定本课重点 1．理解等腰三角形的性质和判定．2．理解等边三角形的性质和判定．3．灵活运用性质和判定定理解决实际问题本课难点 综合应用等腰三角形的性质和判定解决实际问题，理解性质和判定的区别．1．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，这个等腰三角形顶角的度数为．2．已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为（ ）A ．11B ．16C ．17D ．16或173．下列说法，正确的个数是（）①等腰三角形的底角一定是锐角；②等腰三角形的角平分线、中线、高线是同一条线段；③等腰三角形两腰上的高一定相等；④等腰三角形两腰上的中线一定相等A ．0B ．1C ．2D ．34．如图，∠B =∠C =36°，∠ADE =∠AED =72°，则图中的等腰三角形的个数为（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个知识点一、等腰三角形三线合一 【例1】如图，在△ABC 中AB =AC ，点F 在AC 上，在BA 延长线上截取AE =AF 求证：EF ⊥BC名校精析名校导读名校互动【变式1】求证：一边上的中线与这边所对的角的角平分线互相重合的三角形是等腰三角形．知识点二、等腰三角形边关系【例2】已知：如图，点D 是∠ABC 的角平分线与∠ACB 的外角平分线的交点，DE ∥BC ，DE 交AB 于点E ，交AC 于点F ．求证：EF ＝BE －CF ．【变式2】等腰三角形ABC 中，AB AC =，90A ∠=，BD 平分ABC ∠，DE BC ⊥，且10BC =，求DCE ∆的周长．知识点三、等腰三角形角的关系【例3【变式3】在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=，AD AC =，BE BC =，求DCE ∠的度数．知识点四、等边三角形与直角三角形含30°角的性质【例4】将ABC ∆绕顶点A 顺时针旋转60，得到AB C ''∆，且C '为BC 的中点．则求:C D '：DB '的值．【变式4】如图所示，在△ABC 中，∠A =30°，∠ACB =90°，M 是AB 上一点，CM =21AB ，D 是BM 的中点，求证：CD ⊥AB ．【例5】，作∠求证：【变式5】已知ABC ∆为等边三角形，D 是BC 上一点，再延长BA 到E ，使AE BD =．求证：CE DE =知识点六、等腰直角三角形【例6】如图，在Rt △ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，点O 是BC 的中点，连结OA ，（1）OA =OB =OC 成立吗？请说明理由．（2）若点M ，N 分别在线段AB ，AC 上移动，在移动中始终保持AN =BM ，请判断△OMN 的形状，并说明理由．（3）若点O 分别在线段BA 、AC 的延长线上移动，在移动中始终保持AN =BM ，请判断△OMN 的形状，并说明理由．【变式6PF 分别交AB ，=AP ⑤S 四边形AEPF 证明．A 夯实基础1．若等腰三角形有一个角的度数是70°，则这个三角形的顶角是___________．2．等腰三角形的底边长为3，周长为15，则一腰长为．3．如图，已知△ABC 是等边三角形，点B ，C ，D ，E 在同一直线上，且CG=CD ，DF =DE ，则∠E = ．4．已知：如图，B 、D 分别在AC 、CE 上，AD 是∠CAE 的平分线，BD ∥AE ，AB ＝BC ．求证：AC ＝AE ．5．长方形球桌ABCD 上，一球从AB 边上某处P 点击出，分别撞击球桌的边BC 、CD 、DA 各一次后，又回到出发点P 处，每次球撞击桌边时，撞击前后的路线与桌边所成德角相等（如图中αβ∠=∠）．已知3AB =，4BC =，求此球所走路线的长度．名校拓展B能力提高6．如图，已知，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F．求证：BF=2CF．7．△ABC为等边三角形，点M是BC上任意一点，点N是CA上任意一点，且BM=CN，BN与AM相交于Q点，则∠AQN等于多少度？C综合创新，连接DE．则BD与DE有什么关系？8．在等边三角形ABC中，BD⊥AC，延长BC到E，使CE CD名校小结。
八年级上册等腰三角形和等边三角形选择填空专项练习80题(有答案)
1、一个等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为_____________。
2、已知等腰三角形的两边长分别为8cm 和10cm ，求周长。
3、已知等腰三角形的一个角是另一个角的4倍，求各个内角的度数。
4、已知等腰三角形的一个外角等于150°，求它的各个内角。
5、已知等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角是25°，求各个内角的度数。
6、在三角形ABC 中，AB=AC ，AB 边上的垂直平分线与AC 边所在的直线想交所得的锐角是40°，求底角B 的度数。
7、等腰三角形的底边长为5cm ，一腰上的中线把它的周长分为两部分的差为3cm ，求它的腰长。
8、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为70°，其底角为________．9、在△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为________．10、已知点A 的坐标为（1，1），点B 是x 轴上一点，且△OAB 为等腰三角形，求点B 的坐标11、坐标平面内一点A （2，﹣1），O 为原点，P 是x 轴上的一个动点，如果以点P 、O 、A 为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P 的个数为（ ）A ． 2 B ．3 C ．4 D ．512、在平面直角坐标系xOy 中，已知A(2，－2)，在y 轴确定点P ，使△AOP 为等腰三角形，则符合条件的点有 ( )A ．2个 D ．3个 C ．4个 D ．5个13、△ABC 中，AB=AC ，AB 边的中垂线与直线AC 所成的角为50°，则∠B 等于（ ）A ．70°B ．20°或70°C ．40°或70°D ．40°或20°14、如图,把一张对边平行的纸条如图折叠，重合部分是( )A. 等边三角形 B ．等腰三角形 C. 直角三角形 D ．无法确定ED CA B HF G15、如图，C 、E 和B 、D 、F 分别在∠GAH 的两边上，且AB=BC=CD=DE=EF ，若∠A=18°，则∠GEF 的度数是（ ） A ．80° B ．90° C ．100° D ．108°16、在等腰△ABC 中，AB=AC ，中线BD 将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的腰长是( ) A. 11 B. 4或5 C. 7或11 D. 8或1017、如图，在△ACB 的边BC 所在直线上找一点P ，使得△ACP 为等腰三角形，则满足条件的点P 共有( )A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个18、等腰三角形一腰上的高与一边的夹角为50°，则该等腰三角形的底角度数（ ）A. 50°B. 40°或20°或70°C. 70°或20°D. 40°或70°19、已知△ABC 的三条边长分别为3，4，6，在△ABC 所在平面内画一条直线，将△ABC 分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ）A ．6条B ．7条C ．8条D ．9条20、已知：如图，下列三角形中，AB=AC ，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（ ） A ． ①③④ B ． ①②③④ C ． ①②④ D ． ①③1．已知，如图，△ABC 中，AB=AC ，DE 是AB 的中垂线，点D 在AB 上，点E 在AC 上，若△ABC 的周长为25cm ，△EBC 的周长为16cm ，则AC 的长度为（ ）A ． 16cmB ． 9cmC ． 8cmD ． 7cm（1图） （2图） （3图）2．如图，在△ABC 中，∠B=∠C ，点F 为AC 上一点，FD ⊥BC 于D ，过D 点作DE ⊥AB 于E ．若∠AFD=158°，则∠EDF 的度数为（ ）A ． 90°B ． 80°C ． 68°D ．60° 3．如图所示，在△ABC 中，点D 是BC 上一点，∠BAD=80°，AB=AD=DC ，则∠C 的大小为（ ） A ． 50° B ． 40° C ． 20° D ．25°4．下列说法正确的是（ ）A .等腰三角形的两条高相等B ．等腰三角形一定是锐角三角形C ．有一个角是60°的锐角三角形是等边三角形D ．三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等 5．已知等腰三角形ABC ，∠A 是顶角，且∠A 等于∠C 的一半，BD 是△ABC 的角平分线，则该图中共有等腰三角形的个数是（ ）A ． 4个B ． 3个C ． 2个D ．1个6．边长为2的等边三角形的面积是（ ）A ．B ．C ． 3D ． 6 7．如图，在等边△ABC 中，∠BAD=20°，AE=AD ，则∠CDE 的度数是（ ）（7图） （8图） （9图）A ． 10°B ． 12.5°C ． 15°D ．20°8．如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠ABC=15°，点D 、E 分别在BC 、AB 上，且DE 垂直平分AB ，BD=3，则DC 等于（ ）A ．B ．C ． 3D ． 9．如图，等边△ABC 的边长为4，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 边上的动点，E 是AC 边上一点，若AE=2，当EF+CF 取得最小值时，则∠ECF 的度数为（ ）A 15°B 22.5°C 30°D 45°． ． ． ．10．如图，钢架中∠A=16°，焊上等长的钢条P 1P 2，P 2P 3，P 3P 4…来加固钢架，若AP 1=P 1P 2，则这样的钢条至多需要（ ）根．（10图） （11图） （13图） A ． 4 B ． 5 C ． 6 D ． 711．如图，已知等边△ABC 的周长为6，BD 是AC 边的中线，E 为BC 延长线上一点，CD=CE ，那么△BDE 的周长是（ ）A ． 5+2B ． 5+C ． 3+2D ．3+12．以下关于等边三角形的判定：①三条边相等的三角形是等边三角形；②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；③有两个角为60°的三角形是等边三角形④三个角相等的三角形是等边三角形 其中正确的是（ ）A ． 只有①②③B ． 只有①②④C ． 只有①③④D ．①②③④13．如图，△ABC 为边长是5的等边三角形，点E 在AC 边上，点F 在AB 边上，ED ⊥BC ，且ED=AE ，DF=AF ，则CE 的长是（ ）A ．B ．C ． 20+10D ．20﹣10 14．已知△ABC 是等腰三角形，BC 边上的高恰好等于BC 的一半，则∠BAC 的度数是（ ）A ． 75°B ． 90°或75°或25°C ． 75°或15°D ． 90°或75°或15°15．如图，已知∠AOB=40°，点P 关于OA 、OB 的对称点分别为C 、D ，CD 交OA 、OB 于M 、N 两点，则∠MPN 的度数是（ ）（15图） （17图） （19图）A ． 70°B ． 80°C ． 90°D ．100° 16．在△ABC 中，∠A 和∠B 的度数如下，能判定△ABC 是等腰三角形的是（ ）A ． ∠A=50°，∠B=70°B ． ∠A=70°，∠B=40°C ． ∠A=30°，∠B=90°D ． ∠A=80°，∠B=60°17．如图∠AOP=∠BOP=15°，PC ∥OA ，PD ⊥OA ，若PC=10，则PD 等于（ ）A ． 10B ．C ． 5D ． 2.5 18．等腰三角形的一边长为4，另一边长为9，则它的周长为（ ）19．如图所示，共有等腰三角形（ ）A ． 4个B ． 5个C ． 3个D ．2个20．如图，AD ⊥BC ，D 为BC 的中点，以下结论正确的有几个？（ ）①△ABD ≌△ACD ；②AB=AC ；③∠B=∠C ；④AD 是△ABC 的角平分线．A ． 1B ． 2C ． 3D ． 421．如图，已知△ABC 是等边三角形，点O 是BC 上任意一点，OE ，OF 分别于两边垂直，等边三角形的高为2，则OE+OF 的值为（ ）（21图） （22图） （23图）A ． 1B ． 3C ． 2D ． 422．如图，在Rt △ABC 中，已知，∠ACB=90°，∠B=15°，AB 边的垂直平分线交AB 于E ，交BC 于D ，且BD=13cm ，则AC 的长是（ ）A ． 13cmB ． 6.5cmC ． 30cmD ．6cm23．如图所示，AB=AD ，∠ABC=∠ADC=90°，则①AC 平分∠BAD ；②CA 平分∠BCD ；③AC 垂直平分BD ；④BD 平分∠ABC ，其中正确的结论有（ ）A ． ①②B ． ①②③C ． ①②③④D ．②③ 24．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边，且a 2+b 2+c 2=ab+ac+bc ，则△ABC 是（ ）A ． 等腰三角形B ． 直角三角形C ． 等边三角形D ． 等腰直角三形25．如图，△ABC 中，AB=BC=AD ，D 在BC 的延长线上，则角α和β的关系是（ ）（25图） （26图） （28图）A ． α+β=180°B ． 3α+2β=180°C ． 3α+β=180°D ．2β=α26．如图，等边三角形ABC 内有一点P ，过点P 向三边作垂线，垂足分别为S 、Q 、R ，且PQ=6，PR=8，PS=10，则△ABC 的面积等于（ ）27．在边长为1的等边三角形内任意放一些点，要使得至少存在2个点之间的距离不超过，那么至少应该放几个点（）A ．n2+1 B．2n+1 C．2n D．n+128．如图所示，△ABC为正三角形，P是BC上的一点，PM⊥AB，PN⊥AC，设四边形AMPN，△ABC的周长分别为m、n，则有（）A ．B．C．D．29．如图，D，E，F为等边三角形ABC三边中点，AE、BF、CD交于O，DE，EF，FD为三条中位线，则图中能数出不同的直角三角形的个数是（）A ．36 B．32 C．30 D．2830．等腰△ABC中，∠B=50°，那么另外两个角的度数分别是_________．31．如图，已知：AB=AC=AD，∠BAC=50°，∠DAC=30°，则∠BDC=_________．32．如图，在△ABC中，∠BAC=135°，AD⊥BC于D，且AB+BD=DC，那么∠C=_________°．33．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BD=2CD，AD是∠BAC的角平分线，则∠B=_________度．34．若一腰上的中线把一个等腰三角形的周长分为12cm和21cm两部分，则其底边长为_________cm．36．如果一个三角形三边长为a、b、c，且满足（a+b+c）（a﹣c）=0，则该三角形的形状是_________．37．边长为a的等边三角形的面积为_________．38．如图，△ABC中，AB=AC，点P、Q分别在AC、AB上，且AP=PQ=QC=BC，则∠A的大小是_________．39．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线交AB于E，交BC于D，BD=8，则AC=_________．41．如图，在△ABC中，∠ACD=90°，CA=CB，AD是△ABC的角平分线，点E在AB上，如果DE=2CD，那么∠ADE=_________度．42．等腰三角形的周长为24，腰长为x，则x的取值范围是_________．43．如图，点C、E和点B、D、F分别在∠GAH的两边上，且AB=BC=CD=DE=EF，若∠A=12°，则∠GEF=_________度．44．如图，AB=AC，∠BAC=120°，点D在BC上，DB=DA=4，那么BC=_________．45．如图，D是等边△ABC的AC边上的中点，点E在BC的延长线上，DE=DB，△ABC的周长是9，则∠E=_________°，CE=_________．46．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD=4，点E、F是中线AD上的两点，则图中阴影部分的面积是_________．47．如果一个三角形一边上的中线和这边上的高重合，那么这个三角形是_________三角形．48．△ABC是等腰三角形，AB=AC，分别以两腰为边向外作等边△ADB和等边△ACE，若∠DAE=∠DBC，则∠BAC 的度数为_________．49．如图，等边△RST的顶点R、S、T分别在等腰△ABC的边AB、BC、CA上，设∠ART=x度，∠RSB=y度，∠STC=z度，用含y、z的代数式表示x是：_________．50．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，腰长为2，则其底边的高为_________．51．如图所示，△ABC是等边三角形，点是AC的中点，过D点作DM⊥BE，垂足是MD；延长BC到E，使CE=CD，求证：BM=EM．52．如图，△ABC中，AB=AC，DE是AB的垂直平分线，D为垂足，交AC于E．若AD=5cm，△ABC的周长为27cm，求△BCE的周长．53．小明在找等边三角形ABC一边的三等分点时，他是这样做的，先做∠ABC、∠ACB的角平分线并且相交于点O，然后做线段BO、CO的垂直平分线，分别交BC于E、F，他说：“E、F就是BC边的三等分点．”你同意他的说法吗？请说明你的理由．54．如图，已知：等边三角形ABC，点D是AB的中点，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点F作FE⊥BC，垂足为E，若三角形ABC的边长为4．求：（1）线段AF的长度；（2）线段BE的长度．55．如图AF是△ABC的角平分线，BD⊥AF，交AF的延长线于D，DE∥AC交AB于E，求证：AE=BE．56．已知如图，△ABC中，AB=AC，D是AB的中点，DE⊥AB交AC于E，（1）若BE平分∠ABC，求∠A的度数．（2）若△ABC的周长为10，△BCE的周长为6，求BC的长度．57．如图，在△ABC中，∠B=45°，AD是∠BAC的角平分线，EF垂直平分AD，交BC的延长线于点F．求∠FAC 的大小．58．如图，在△ABC中，AB=AC，CD平分∠ACB交加于D点，AE∥DC交BC的延长线于点E，已知∠E=36°，求∠B的度数．59．已知：如图，∠ACB=90°，D、E是AB上的两点，且AE=AC，BD=BC，EF⊥CD于F，求证：CF=EF．60．已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，边AC的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于E，连接DC．求证：DA=DC=DB．61．如图，点B，D在射线AM上，点C，E在射线AN上，且AB=BC=CD=DE，已知∠EDM=84°，求∠A的度数．62．等腰三角形中，一边与另一边之比为3：2，该三角形周长为56，求腰长是多少？63．如图：△ABC中，∠B=2∠C，AD是BC边上的高．求证：AB+BD=DC．64．如图，在△ABC中，AB=BC=AC，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD．（1）已知CD=3，求BE的长；（2）求证：BD=ED；（3）若点F是BE边的中点，试判断DF与BE的位置关系并简要说明理由．65．如图所示，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E，过点D 作DF⊥AB于点F，说明：BC=DE+EF成立的理由．66．如图，△ABC为等边三角形，D为BC上一点，∠ADE=60°，DE交∠ACB外角平分线于E．（1）AB与CE平行吗？请说明理由．（2）请说明∠BAD=∠EDC的理由．67．如图，在等腰△ABC中，∠A=80°，∠B和∠C的平分线相交于点O（1）连接OA，求∠OAC的度数；（2）求：∠BOC．68．如图，AD是△ABC的角平分线，过点D作直线DF∥BA，交△ABC的外角平分线AF于点F，DF与AC交于点E．求证：DE=EF．69．如图，在△ABC中，AB=AC=10，点D为BC上一点，过点D分别作DE∥AB交AC于点E，DE∥AC交AB 于点F．求四边形AFDE的周长．70．如图，AD是△ABC的角平分线，且∠B=∠ADB，过点C作AD的延长线的垂线，垂足为M．（1）若∠DCM=α，试用α表示∠BAD；（2）求证：AB+AC=2AM．72．已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，点D、E、F分别是边BC、AB、AC上的点，BE=CD，连接DE、DF，有∠EDF=∠C，那么DE和DF相等吗？试说明理由．73．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，点D在BC上，且AD=AE．（1）若∠BAC=90°，∠BAD=30°，求∠EDC的度数？（2）若∠BAC=a（a＞30°），∠BAD=30°，求∠EDC的度数？（3）猜想∠EDC与∠BAD的数量关系？（不必证明）74．已知一个等腰三角形的周长为18cm．（1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？（2）如果一腰上的中线将该等腰三角形的周长分为1：2两部分，那么各边的长为多少？75．△ABC中，∠B=40°，过点A的直线将这个三角形分成2个等腰三角形，试确定∠C的度数．76．已知一个等腰三角形的两个内角分别为（2x﹣2）°和（3x﹣5）°，求这个等腰三角形各内角的度数．77．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC．（1）求∠ECD的度数；（2）若CE=5，求BC长．78．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，∠B=30°，∠DAB=45°．（1）求∠DAC的度数；（2）求证：DC=AB．79．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高．（1）DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明；（2）若D在底边的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由．80．如图，已知在△ABC中，AB=AC，D是AB上一点，DE⊥BC，E是垂足，ED的延长线交CA的延长线于点F，求证：AD=AF．参考答案：1．∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∵△ABC的周长为25cm，△EBC的周长为16cm，AC=AB，∴2AC+BC=25cm，BE+CE+BC=AE+EC+BC=AC+BC=16cm，即，解得：AC=9cm，故选B．2．∵AB=AC∴∠B=∠C∵FD⊥BC于D，DE⊥AB于E∴∠BED=∠FDC=90°∵∠AFD=158°∴∠EDB=∠CFD=180°﹣158°=22°∴∠EDF=90°﹣∠EDB=90°﹣22°=68°．故选C3．∵AB=AD，∴∠B=∠ADB，由∠BAD=80°得∠B==50°=∠ADB，∵AD=DC，∴∠C=∠ACD，∴∠C=∠ADB=25°故选D．4．A、等腰三角形两腰上的高相等，故错误；B、等腰三角形不一定是锐角三角形，故错误；C、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故错误；D、三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等，故正确，故选D5．∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，∵∠A是顶角，且∠A等于∠C的一半，∴∠A+∠C+∠ABC=∠A+2∠A+2∠A=180°，∴∠A=36°，∠C=∠ABC=72°，BD平分∠ABC交AC于D，∴∠ABD=∠DBC=36°，∵∠A=∠ABD=36°，∴△ABD是等腰三角形．∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°=∠C，∴△BDC是等腰三角形．∴共有3个等腰三角形．故选B．6．AB=2，∵等边三角形高线即中点，∴BD=CD=1，在Rt△ABD中，AB=2，BD=1，∴AD==，∴等边△ABC 的面积为BC•AD=×2×=，故选：B．7．∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠BAC=60°，∵∠BAD=20°，∴∠DAE=∠BAC﹣∠BAD=40°，∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED，∵∠ADE+∠AED+∠DAE=180°，∴∠ADE=∠AED=×（180°﹣40°）=70°，∵∠ADC=∠B+∠BAD=60°+20°=80°，∴∠CDE=∠CDA﹣∠ADE=80°﹣70°=10°．故选A8．连接AD．∵DE垂直平分AB，BD=3，∴BD=AD=3；∴∠B=∠BAD（等边对等角）；又∵∠ABC=15°，∴∠BAC=15°；∴∠ADC=2∠BAC=30°（外角定理），∴=cos∠ADC，∴DC=AD•cos30°=．故选A．9．过E作EM∥BC，交AD于N，∵AC=4，AE=2，∴EC=2=AE，∴AM=BM=2，∴AM=AE，∵AD是BC边上的中线，△ABC是等边三角形，∴AD⊥BC，∵EM∥BC，∴AD⊥EM，∵AM=AE，∴E和M关于AD对称，连接CM交AD于F，连接EF，则此时EF+CF的值最小，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，AC=BC，∵AM=BM，∴∠ECF=∠ACB=30°，故选C．10．∵∠A=∠P1P2A=16°∴∠P2P1P3=32°，∠P1P3P2=32°∴∠P1P2P3=116°∴∠P3P2P4=48°∴∠P3P2P4=48°∴∠P2P3P4=96°∴∠P4P3P5=52°∴∠P3P5P4=52°∴∠P3P4P5=52°∴∠P5P4P6=76°∴∠P4P6P5=76°∴∠P4P5P6=28°∴∠P6P5P7=86°，此时就不能在往上焊接了，综上所述总共可焊上5条．故选B．11．△ABC的周长为6，∴AB=BC=AC=2，DC=CE=1，又∵∠ACB=∠CDE+∠CED∴∠CED=30°，△BDE为等腰三角形，DE=BD=∴BD+DE+BE=2+2+1=3+2．故选C12．①三条边相等的三角形是等边三角形符合等边三角形的定义，故正确；②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，正确；③有两个角为60°的三角形是等边三角形，正确；④三个角相等的三角形是等边三角形，正确．故选D13．∵ED⊥BC，∠C=60°，∴∠CED=30°，设DE=x，则AE=x，且CE=x，又∵AE+CE=5，∴x+x=5，解得x=10﹣15，∴CE=5﹣（10﹣15）=20﹣10．故选D14．①BC边为底边时，AD=BC=BD=CD，所以△ABD和△ADC为等腰直角三角形，∠BAC=∠BAD+∠CAD=90°．②BC 边为腰时可分为和两种情况，垂足在三角形内部时，AD==AC，所以∠C=30°，又因为AC=BC，所以∠BAC=∠ABC=（180°﹣∠C）=75°．垂足落在三角形外时，由图知AD=AB，所以∠ABD=30°，所以∠BAC=∠C=∠ABD=15°．故答案为D15．∵P关于OA、OB的对称∴OA垂直平分PC，OB垂直平分PD∴CM=PM，PN=DN∴∠PMN=2∠C，∠PNM=2∠D，∵∠PRM=∠PTN=90°，∴在四边形OTPR中，∴∠CPD+∠O=180°，∴∠CPD=180°﹣40°=140°∴∠C+∠D=40°∴∠MPN=180°﹣40°×2=100°故选D16．当顶角为∠A=50°时，∠B=65°，当顶角为∠B=70°时，∠A=55°所以A选项错误．当顶角为∠B=40°时，∠A=70°，所以B选项正确．当顶角为∠A=30°时，∠B=75°，当顶角为∠B=90°时，∠A=45°所以C选项错误．当顶角为∠A=80°时，∠B=50°，当顶角为∠B=60°时，∠A=60°所以D选项错误．故选B17．∵PC∥OA，∴∠CPO=∠POA，∵∠AOP=∠BOP=15°，∴∠AOP=∠BOP=∠CPO=15°，过点P作∠OPE=∠CPO交于AO于点E，则△OCP≌△OEP，∴PE=PC=10，∵∠PEA=∠OPE+∠POE=30°，∴PD=10×=5．故选C．18．4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、9，∵4+4=8＜9，∴不能组成三角形，4是底边时，三角形的三边分别为4、9、9，能组成三角形，周长=4+9+9=22，综上所述，该等腰三角形的周长为22．故选D 19．根据三角形的内角和定理，得：∠ABO=∠DCO=36°，根据三角形的外角的性质，得∠AOB=∠COD=72°．再根据等角对等边，得等腰三角形有△AOB，△COD，△ABC，△CBD和△BOC．故选B20．∵AD⊥BC，D为BC的中点，∴∠ADB=∠ADC=90°，BD=BC，AD为公共边，∴△ABD≌△ACD，∴AB=AC，∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，即AD是△ABC的角平分线．故选D21．∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°又∵OE⊥AB，OF⊥AC，∠B=∠C=60°，∴OE=OB•sin60°=OB，同理OF=OC．∴OE+OF=（OB+OC）=BC．在等边△ABC中，高h=AB=BC．∴OE+OF=h．又∵等边三角形的高为2，∴OE+OF=2，故选C22．∵AB边的垂直平分线交AB于E，交BC于D（已知）∴AD=BD（线段垂直平分线的性质）∴∠DAE=∠B=15°且AD=BD=13cm（等腰三角形的性质）∴∠ADC=30°（外角性质）∴AC=AD=6.5cm．故选B23．在Rt△ABC和Rt△ADC中，AB=AD，AC=AC，所以Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）．所以∠ACB=∠ACD，∠BAC=∠DAC，即AC平分∠BAD，CA平分∠BCD．故①②正确；在△ABD中，AB=AD，∠BAO=∠DAO，所以BO=DO，AO⊥BD，即AC垂直平分BD．故③正确；不能推出∠ABO=∠CBO，故④不正确．故选B24．原式可化为2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc，即a2+b2+c2+a2+b2+c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc=0；根据完全平方公式，得：（a﹣b）2+（c﹣a）2+（b﹣c）2=0；由非负数的性质，可知：a﹣b=0，c﹣a=0，b﹣c=0；即：a=b=c．所以△ABC是等边三角形．故选C．25．∵AB=AD，∴∠B=∠D=α，∵AB=BC∴∠BAC=∠BCA，∵∠ACB=α+β∴在等腰三角形ABC中，2（α+β）+α=180°∴3α+2β=180°，故选B26．连接AP、BP、CP，过点A作AD⊥BC于D，等边三角形面积S=BC•（PQ+PR+PS）=BC•AD故PQ+PR+PS=AD，∴AD=6+8+10=24，∵∠ABC=60°∴AB=24×=16，∴△ABC的面积S=BC•AD=×24×16=192，故选B．27．把三角形每条边分成n份，相应点之间连线，可以把三角形分成n2个边长为的小三角形，至少n2+1个点可以保证至少有两个点落在同一个小三角形内，所以那两个点的距离是不超过的．故选A28．设BM=x，CN=y则BP=2x，PC=2y，PM=x，PN=yAM+AN=2BC﹣（BM+CN）=3（x+y），故==≈0.7887．故选D．29．①∵DE，EF，FD为等边△ABC三条中位线，∴AB=AC=BC，∴EF AB，ED AC，∴四边形CEDF是菱形，∴EF⊥CD，∴在菱形CEDF中有6个不同的直角三角形：Rt△CEG、Rt△CFG、Rt△DGE、Rt△DFG、Rt△EOG、Rt△FOG；同理，在菱形ADEF、菱形BEFD中各有6个不同的直角三角形；②∵D为等边三角形ABC三边中点，∴CD⊥AB，∴△ADC、△BDC、AOD、△BOD是直角三角形；同理，以BF、AE为直角边的三角形各有4个；综上所述，图中能数出的直角三角形由6×3+4×3=30（个）；故选C30. 当∠B=50°为顶角时，此时∠A=∠C==65°；当∠B=50°为底角时，此时另一底角为50°，顶角为80°，故答案为：50°，80°或65°，65°31．根据题意，可以以点A为圆心，以AB为半径作圆，即可得出点B、C、D均在圆周上，故有∠BAC=2∠BDC=50°，即∠BDC=25°．故答案为：25°32．在DC上截取DE=BD，连接AE，∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADE=90°，∵AD=AD，∴△ADB≌△ADE，∴∠B=∠AED，AE=AB，∵AB+BD=DC，DE+EC=DC，∴AE=AB=EC，∴∠AEB=2∠EAC=2∠C，∴∠B=2∠C，∵∠BAC=135°，∠B+∠C+∠BAC=180°，∴3∠C=45°，∴∠C=15°．故答案为：1533．过D作DE⊥AB于E，∵AD是∠BAC的角平分线，∠C=90°，DE⊥AB，∴CD=DE，∵BD=2CD，∴BD=2DE，∵∠BED=90°，∴∠B=30°．故答案为：3034．设等腰三角形的腰长是xcm，底边是ycm．根据题意，得：或，解得或．再根据三角形的三边关系，知：8，8，17不能组成三角形，应舍去．所以它的底边是5cm．故答案为：535．如图：△ABC中，AB=AC，BD是边AC上的高．∵∠A=80°，且AB=AC，∴∠ABC=∠C=（180°﹣80°）÷2=50°；在Rt△BDC中，∠BDC=90°，∠C=50°；∴∠DBC=90°﹣50°=40°．故答案为：40°36．∵（a+b+c）（a﹣c）=0，∴a+b+c=0或a﹣c=0，∵a、b、c，为三角形三边，∴a+b+c=0（舍去），∴a=c∴该三角形为等腰三角形，故答案为：等腰三角形37．如图作AD⊥BC于点D．∵△ABC为等边三角形，∴∠B=60°，∴AD=AB×sin∠B=a，∴边长为a 的等边三角形的面积为×a ×a=a2，故答案为：a238．∵AB=AC，AP=PQ，QP=QC，QC=BC，∴∠ABC=∠ACB，∠A=∠AQP，∠QPC=∠QCP，∠BQC=∠B（等边对等角），设∠A=x°，则∠AQP=x°，∵在△AQP中，∠QPB是外角，∴∠QPC=∠A+∠AQP=2x°（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），∵在△BCQ中，∠BQC是外角，∴∠BQC=∠ACQ+∠A（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），∴∠BQC=3x°，∴∠B=3x°，∴∠ABC=3x°，∵在△ABC中，∠A+∠ACB+∠B=180°，∴x°+3x°+3x°=180°（三角形三个内角的和等于180°），解得x=（）°，∴∠A=（）°．39．∵△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，∴∠BAC=180°﹣∠C﹣∠B=180°﹣90°﹣15°=75°．连接AD．∵ED是AB的垂直平分线，∴AD=BD=8，∠B=∠1=15°，∴∠2=∠BAC﹣∠1=75°﹣15°=60°．在Rt△ACD中，∠2=60°，∠C=90°，∴∠3=180°﹣∠C﹣∠2=180°﹣90°﹣60°=30°．∴AC=AD=BD=×8=4．40．∵OC为等边三角形的高，且等边三角形的边长为1，∴NC=，∵△OCD为等边三角形，∴∠OCD=60°，∴OE⊥CD，∴OE==（）2，以此类推，当ON与OA重合时，一共旋转了10次，∴ON 的长为（）10，故答案为（）1041．作DF⊥AB于点F∵△ABC中，∠ACD=90°，CA=CB，∴∠CAB=∠B=45°，∵AD是△ABC的角平分线，∴DF=DC，∠DAB=22.5°，∵DE=2CD，∴DE=2DF，∴∠DEB=30°，∴∠ADE=∠DEB=﹣∠DAB=30°﹣22.5°=7.5°，故答案为7.5°．42．底边是24﹣2x，根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．得：0＜24﹣2x＜2x．解得6＜x＜12．故填6＜x＜1243．∵∠A=12°，AB=BC，∴∠A=∠ACB=12°，∠CBD=∠A+∠ACB=12°+12°=24°；∵BC=CD，∴∠CBD=∠CDB=24°，∴∠ECD=∠A+∠CDA=36°（外角定理）；∵CD=DE，∴∠DCE=∠DEC=36°，∴∠EDF=∠A+∠AED=48°；又∵DE=EF，∴∠EDF=∠EFD=48°，∴∠GEF=∠A+∠EFD=12°+48°=60°．故答案是：6044．∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B═∠C=（180°﹣∠A）=30°，∵DB=DA=4，∴∠B=∠BAD=30°，∴∠ADC=∠B+∠BAD=60°，∴∠DAC=180°﹣∠C﹣∠ADC=90°，∵∠C=30°，∴DC=2AD=2×4=8，∴BC=BD+DC=4+8=12，故答案为：1245．∵△ABC为等边三角形，D为AC边上的中点，∴BD为∠ABC的平分线，且∠ABC=60°，即∠DBE=30°，又DE=DB，∴∠E=∠DBE=30°，∵等边△ABC的周长为9，∴AC=3，且∠ACB=60°，∴∠CDE=∠ACB﹣∠E=30°，即∠CDE=∠E，∴CD=CE=AC=．故答案为：30；46．∵AB=AC，BC=6，AD是△ABC的中线，∴BD=DC=BC=3，AD⊥BC，∴△ABC关于直线AD对称，∴B、C关于直线AD对称，∴△CEF和△BEF关于直线AD对称，∴S△BEF=S△CEF，∵△ABC 的面积是：×BC×AD=×6×4=12，∴图中阴影部分的面积是S△ABC=6．故答案为：647．∵BD=CD，AD⊥BC，∴AB=AC，即三角形是等腰三角形．故填等腰．48．∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，故2∠ABC+∠BAC=180°，∵等边三角形各内角为60°，∠DAE=∠DBC，∴120°+∠BAC=60°+∠ABC，又∵2∠ABC+∠BAC=180°，∴∠BAC=20°．故答案为：20°49．∵∠BRS+y=∠TSC+z，∴∠BRS﹣∠TSC=z﹣y，又∠BRS+x=y+∠TSC=120°，∴∠BRS﹣∠TSC=y﹣x，∴z﹣y=y﹣x，∴x=2y﹣z．故答案为：x=2y﹣z．50．①如图1，已知AB=AC=2，BD为腰AC上的高，可知∠ABD=30°，可得∠A=60°，即证△ABC为正三角形，即可得出底边AC 上的高等于腰上的高等于．②如图2，AB=AC=2，CD⊥BA交BA是延长线于点D，且∠CAD=30°，可得AD=1，CD=，可得BC=2，即BE=，在Rt△ABE中，AB=2，BE=，即AE=1．故答案为：1或．51．∵△ABC是等边三角形，D是AC的中点，∴BD平分∠ABC（三线合一），∴∠ABC=2∠DBE；∵CE=CD，∴∠CED=∠CDE．又∵∠ACB=∠CED+∠CDE，∴∠ACB=2∠E；又∵∠ABC=∠ACB，∴2∠DBC=2∠E，∴∠DBC=∠E，∴BD=DE．又∵DM⊥BE，∴BM=EM．52．∵DE是AB的垂直平分线．∴AB=2AD，EA=EB．∵AD=5cm，∴AB=10cm．∵△ABC的周长为27cm，∴AC+BC+AB=2cm7，AC+BC=17cm即AE+EC+BC=17cm．∴EB+EC+BC=17．即△BCE的周长为17cm53．E，F是BC的三等分点．理由：连接OE，OF，∵DE垂直平分OB∴BE=OE（线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等），同理OF=CF，∴∠EBO=∠BOE，∠FCO=∠FOC，∵等边三角形ABC中，∴∠ABC=∠ACB=60°（等边三角形各角相等且为60°）∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB∴∠EBO=∠ABC=30°，∠FCO=∠ACB=30°∴∠BOE=∠EBO=30°，∠FOC=∠FCO=30°∴∠OEF=∠BOE+∠EBO=60°，∠OFE=∠FOC+∠FCO=60°，∴△OEF是等边三角形（有两个内角60°的三角形是等边三角形）∴OE=OF=EF（等边三角形各边相等）∴BE=EF=FC，即E，F是BC的三等分点54．（1）∵D是AB的中点，∴AD==2，∵等边三角形ABC中∠A=∠C=60°，且DF⊥AC，∴∠ADF=180°﹣90°﹣60°=30°，在Rt△ADF中，AF==1；（2）FC=AC﹣AF=4﹣1=3，同理，在Rt△FEC中，EC==1.5，∴BE=BC﹣EC=4﹣1.5=2.5．故答案为：AF=1，BE=2.555．∵AF平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵DE∥AC，∴∠EDA=∠CAD=∠BAD，∴AE=ED，∵∠EDB+∠ADE=90°，∴∠BDE+∠BAD=90°，∵∠EBD+∠BAD=90°，∴∠BDE=∠EBD，∴BE=ED，∴AE=BE．56．（1）∵D是AB的中点，DE⊥AB交AC于E，∴EB=EA，∴∠A=∠ABE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∵AB=AC，∴∠C=∠ABC=2∠ABE=2∠A，∵∠A+∠ABC+∠C=180°，即：5∠A=180°∴∠A=36°；（2）∵△ABC的周长为10，∴AB+AC+BC=10，∵△BCE的周长为6，∴BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC=6，∴AB=AC=4．∴BC=257．∵EF垂直平分AD，∴FA=FD，∴∠ADF=∠DAF，又∵∠ADF=∠B+∠BAD，∠DAF=∠FAC+∠DAC，∵∠BAD=∠DAC，∴∠FAC=∠B=45°．58．∵AE∥DC，∴∠BCD=∠E=36°，又∵CD平分∠ACB，∴∠ACB=2∠BCD=72°，∵AB=AC，∴∠B=∠ACD=72°．答：∠B的度数为72°．59．连接CE．∵AE=AC，∴∠1+∠2=∠AEC=∠3+∠B．①同理，∠2+∠3=∠1+∠A．②①+②得2∠2=∠A+∠B．∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°．∴∠2=45°．∵EF⊥CD，∴∠CFE=90°．∴∠CEF=45°=∠2，∴EF=CF．60．∵AC的垂直平分线DE，∴AD=DC，∴∠A=∠ACD，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∠ACD+∠BCD=90°，∴∠B=∠BCD，∴DC=BD，∴DA=DC=DB61．∵AB=BC=CD=DE，∴∠A=∠BCA，∠CBD=∠BDC，∠ECD=∠CED，根据三角形的外角性质，∠A+∠BCA=∠CBD，∠A+∠CDB=∠ECD，∠A+∠CED=∠EDM，又∵∠EDM=84°，∴∠A+3∠A=84°，解得：∠A=21°62．∵等腰三角形中，一边与另一边之比为3：2，∴设两边分别为3x，2x，根据题意得：3x+3x+2x=56或3x+2x+2x=56解得：x=7，此时腰长3x=21，或x=8，此时腰长2x=16，所以腰长为21或1663．在线段DC上取一点E，使DE=DB，连接AE，∵AD⊥BC，∴AD垂直平分BE，∴AB=AE，∴∠AEB=∠B，∵∠B=2∠C，∴∠AEB=2∠C，∴∠EAC=∠AEB﹣∠C=2∠C﹣∠C=∠C，∴AE=CE，∴CE=AE=AB，∴DC=DE+CE=AB+BD，∴AB+BD=DC．64．（1）∵AB=BC=AC，BD是中线，∴BC=AC=2CD∵CD=3，∴BC=2CD=6，CE=CD=3∴BE=BC+CE=6+3=9（2）∵△ABC是等边三角形，BD是中线，∴∠ABC=∠ACB=60°．∠DBC=30°（等腰三角形三线合一）．又∵CE=CD，∴∠CDE=∠CED．又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，∴∠CDE=∠CED=∠BCD=30°．∴∠DBC=∠DEC．∴DB=DE（等角对等边）．（3）∵点F是BE边的中点，∴DF是BE边的中线，∵BD=ED∴DF⊥BE65．∵BD平分∠ABC，DF⊥AB，∠C是直角，∴CD=DF，∠DBC=∠DBE，∠DFB=∠C，∴△BCD≌△BFD，∴BC=BF，∵DE∥BC，∴∠DBC=∠EDB，即∠DBC=∠DBE，∴△BDE是等腰三角形，∴BE=DE，∴BF=BC=DE+EF66．（1）∵等边三角形各内角为60°∴∠ACF=180°﹣60°=120°，CE为∠ACF的角平分线，∴∠ECF=60°，∵∠ABC=60°∴EC∥AB．（2）∵∠EDC+∠ADE+∠ADB=180°，∴∠EDC+∠ADB=120°，∵∠ABD+∠BAD+∠ADB=180°，∴∠BAD+∠ADB=120°，∴∠BAD=∠EDC．67．（1）连接AO，∵在等腰△ABC中，∠B和∠C的平分线相交于点O，∴等腰△ABC关于线段AO所在的直线对称，∵∠A=80°，∴∠OAC=40°（2）∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（180°﹣∠A）=90°+∠A．∴当∠A=80°时，=130°．68．证明：∵AD是△ABC的角平分线，AF平分△ABC 的外角，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵DF∥BA，∴∠4=∠ADE，∠1=∠F∴∠3=∠ADE，∠2=∠F∴DE=EA EF=EA∴DE=EF69．∵AB=AC=10，∴∠B=∠C，由DF∥AC，得∠FDB=∠C=∠B，∴FD=FB，同理，得DE=EC．∴四边形AFDE的周长=AF+AE+FD+DE=AF+FB+AE+EC=AB+AC=10+10=20．∴四边形AFDE的周长为2070．（1）∵CM⊥AM，∠DCM=α，∴∠CDM=∠ADB=∠B=90°﹣α，∴∠BAD=180°﹣2∠ABD=180°﹣2（90°﹣α）=2α；（2）延长AM到F使MF=AM，则有AC=CF∵AD平分∠CAB∴∠CAF=∠BAF=∠F∴CF∥AB∴∠FCD=∠ABD=∠ADB=∠CDF∴CF=DF∵AD+DF=2MA∴AB+AC=2MA71．∵王宏和张新他们两家和学校正好构成一个等腰三角形，而且王宏家距学校2千米，张新家距学校4千米，∴此等腰三角形的底边长为2，两腰均为4，∴王宏与张新两家的距离是4千米；当王宏家与学校相距2千米，而张新家与学校相距3千米时，王宏与张新两家相距可能是2千米也可能是3千米72．DE=DF．证明：∵∠CDF+∠EDF+∠BDE=180°，∠CDF+∠C+∠CFD=180°∴∠BDE=∠CFD在△EBD和△DCF中∠BDE=∠CFDBE=CD∠B=∠C∴△EBD≌△DCF∴DE=DF73．（1）解：∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠C=（180°﹣∠BAC）=45°，∴∠ADC=∠B+∠BAD=45°+30°=75°，∵∠DAC=∠BAC﹣∠BAD=90°﹣30°=60°，∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED=（180°﹣∠DAC）=60°，∴∠EDC=∠ADC﹣∠ADE=75°﹣60°=15°，答：∠EDC的度数是15°．（2）解：与（1）类似：∠B=∠C=（180°﹣∠BAC）=90°﹣α，∴∠ADC=∠B+∠BAD=90°﹣α+30°=120°﹣α，∵∠DAC=∠BAC﹣∠BAD=α﹣30°，∴∠ADE=∠AED=（180°﹣∠DAC）=105°﹣α，∴∠EDC=∠ADC﹣∠ADE=（120°﹣α）﹣（105°﹣α）=15°，答：∠EDC的度数是15°．（3）∠EDC与∠BAD的数量关系是∠EDC=∠BAD．74.（1）解：设底边BC=acm，则AC=AB=2acm，∵三角形的周长是18cm，∴2a+2a+a=18，∴a=，2a=，答：等腰三角形的三边长是cm ，cm ，cm．（2）解：设BC=acm，AB=AC=2bcm，∵中线BD将△ABC的周长分为1：2两部分，18×=12，18×=6，∴2b+b=6，b+a=12或2b+b=12，b+a=6，解得：a=10，b=2或b=4，a=2，∴①三角形三边长是10cm，4cm，4cm，因为4+4＜10，不符合三角形三边关系定理，∴此种情况舍去，②三角形的三边长是2cm，8cm，8cm，符合三角形的三边关系定理，综合上述：符合条件的三角形三边长是8cm，8cm，2cm，答：等腰三角形的边长是8cm，8cm，2cm．75．分成两类进行研究：（1）∠B为△ABD的底角，如果∠BAD=40°，那么∠ADC=80°；如果∠ADC为△ACD的底角，那么∠C=80°或20°；如果∠ADC为△ACD的顶角，那么∠C=50°；如果∠ADB=70°，那么∠ADC=140°，所以∠C=20°（2）∠B为△ABD的顶角，这时∠ADB=70°，∠ADC=110°，所以∠C=35°；综上所述，∠C的值为20°或35°或50°或80°76．①当（2x﹣2）°和（3x﹣5）°是两个底角时，2x﹣2=3x﹣5，x=3°，∴三个内角分别是4°，4°，172°；②当2x﹣2是顶角时，2x﹣2+2（3x﹣5）=180°，解得x=24°，∴三个内角分别是46°，67°，67°；③当3x﹣5是顶角时，3x﹣5+2（2x﹣2）=180°，解得x=27°，∴三个内角分别是76°52°，52°77．（1）∵DE垂直平分AC，∴CE=AE，∴∠ECD=∠A=36°；（2）∵AB=AC，∠A=36°，∴∠B=∠ACB=72°，∴∠BEC=∠A+∠ECD=72°，∴∠BEC=∠B，∴BC=EC=5．答：（1）∠ECD的度数是36°；（2）BC长是578．1）解：∵AB=AC，∴∠B=∠C=30°，∵∠C+∠BAC+∠B=180°，∴∠BAC=180°﹣30°﹣30°=120°，∵∠DAB=45°，∴∠DAC=∠BAC﹣∠DAB=120°﹣45°=75°；（2）证明：∵∠DAB=45°，∴∠ADC=∠B+∠DAB=75°，∴∠DAC=∠ADC，∴DC=AC，∴DC=AB79．（1）DE+DF=CG．证明：连接AD，则S△ABC=S△ABD+S△ACD ，即AB•CG=AB•DE+AC•DF，∵AB=AC，∴CG=DE+DF．（2）当点D在BC延长线上时，（1）中的结论不成立，但有DE﹣DF=CG．理由：连接AD，则S△ABD=S△ABC+S△ACD，即AB•DE=AB•CG+AC•DF∵AB=AC，∴DE=CG+DF，即DE﹣DF=CG．同理当D点在CB的延长线上时，则有DE﹣DF=CG，说明方法同上．80．证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵DE⊥BC，∴∠C+∠F=90°，∠B+∠BDE=90°，∵∠ADF=∠BDE，∴∠F=∠ADF，∴AD=AF。
备考2023年中考数学一轮复习-图形的性质_三角形_等腰三角形的性质-综合题专训及答案
备考2023年中考数学一轮复习-图形的性质_三角形_等腰三角形的性质-综合题专训及答案等腰三角形的性质综合题专训1、(2016北京.中考真卷) 在等边△ABC中，（1）如图1，P，Q是BC边上的两点，AP=AQ，∠BAP=20°，求∠AQB的度数；（2）点P，Q是BC边上的两个动点（不与点B，C重合），点P在点Q的左侧，且AP=AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM．①依题意将图2补全；②小茹通过观察、实验提出猜想：在点P，Q运动的过程中，始终有PA=PM，小茹把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：要证明PA=PM，只需证△APM是等边三角形；想法2：在BA上取一点N，使得BN=BP，要证明PA=PM，只需证△ANP≌△PCM；想法3：将线段BP绕点B顺时针旋转60°，得到线段BK，要证PA=PM，只需证PA=CK，PM=CK…请你参考上面的想法，帮助小茹证明PA=PM（一种方法即可）．2、(2015葫芦岛.中考真卷) 在△ABC中，AB=AC，点F是BC延长线上一点，以CF 为边，作菱形CDEF，使菱形CDEF与点A在BC的同侧，连接BE，点G是BE的中点，连接AG、DG．（1）如图①，当∠BAC=∠DCF=90°时，直接写出AG与DG的位置和数量关系；（2）如图②，当∠BAC=∠DCF=60°时，试探究AG与DG的位置和数量关系，（3）当∠BAC=∠DCF=α时，直接写出AG与DG的数量关系．3、(2017杭州.中考模拟) 如图1，O为线段AB上一点，AB=6，OC为射线，且∠BOC=60°，动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发，沿射线OC做匀速运动，设运动时间为t秒．（1）若AO=4，=；①当t=1秒时，OP=，S△ABP②当△ABP是直角三角形时，求t的值；（2）如图2，若点O为AB中点，当AP=AB时，过点A作AQ∥BP，并使得∠QOP=∠B，求AQ•BP的值．4、(2016巢湖.中考模拟) 如图，有一块分别均匀的等腰三角形蛋糕（AB=AC且AB≠BC），在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力，小明和小华决定只切一刀将这块蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样）．这条分割直线既平分了三角形的面积，又平分了三角形的周长，我们称这条直线为三角形的“等分积周线”．（1）小明很快就想到了一条经过点A分割直线，请你用尺规作图在图1中画出这条“等分积周线（不写画法）．（2）小华觉得小明的方法很好，所以自己模仿着在图2中过点C画了一条直线CD交AB于点D．你觉得小华会成功吗？请说明理由．（3）若AB=BC=5，BC=6，请你通过计算，在图3中找出△ABC不经过顶点的一条“等分积周线”．5、(2018南宁.中考模拟) 如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E是BC边的中点，点P在线段AD上，过P作PF⊥AE于F，设PA=x．（1）求证：△PFA∽△ABE；（2）当点P在线段AD上运动时，设PA=x，是否存在实数x，使得以点P，F，E为顶点的三角形也与△ABE相似？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由；（3）探究：当以D为圆心，DP为半径的⊙D与线段AE只有一个公共点时，请直接写出x满足的条件：．6、(2017洛阳.中考模拟) 如图，在△ABD中，AB=AD，以AB为直径的⊙F交BD于点C，交AD于点E，CG⊥AD于点G，连接FE，FC．（1）求证：GC是⊙F的切线；（2）填空：①若∠BAD=45°，AB=2 ，则△CDG的面积为．②当∠GCD的度数为时，四边形EFCD是菱形．7、(2017衡阳.中考模拟) 如图△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=12厘米，D是BC的中点，点P从B出发，以a厘米/秒（a＞0）的速度沿BA匀速向点A运动，点Q 同时以1厘米/秒的速度从D出发，沿DB匀速向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设它们运动的时间为t秒．（1）若a=2，△BPQ∽△BDA，求t的值；（2）设点M在AC上，四边形PQCM为平行四边形．①若a= ，求PQ的长；②是否存在实数a，使得点P在∠ACB的平分线上？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．8、(2018永州.中考真卷) 如图1．在△ABC中，矩形EFGH的一边EF在AB上，顶点G、H分别在BC、AC上，CD是边AB上的高，CD交GH于点I．若CI＝4，HI＝3，AD ．矩形DFGI恰好为正方形．（1）求正方形DFGI的边长；（2）如图2，延长AB至P．使得AC＝CP，将矩形EFGH沿BP的方向向右平移，当点G刚好落在CP上时，试判断移动后的矩形与△CBP重叠部分的形状是三角形还是四边形，为什么？（3）如图3，连接DG，将正方形DFGI绕点D顺时针旋转一定的角度得到正方形DF′G′I′，正方形DF′G′I′分别与线段DG、DB相交于点M、N，求△MNG′的周长．9、(2019广东.中考模拟) 如图M2-11，Rt△ABC中，∠C=90°，BD为△ABC的角平分线，以AD为直径的⊙O交AB于点E，BD的延长线交⊙O于点F，连接AF，EF，ED．（1）求证：∠BDC=∠BDE；（2）求证：FA=FE；（3）若BC=4，CD=3，求AF的长．10、(2019柳州.中考模拟) 如图，已知直线与双曲线交于A，B两点点A在点B的上方.（1）求点A与点B的坐标；（2）点C在x轴上，若AC是等腰的腰，求符合条件的所有点C坐标.11、(2017遵义.中考真卷) 边长为2 的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（点P与A、C不重合），连接BP，将BP绕点B顺时针旋转90°到BQ，连接QP，QP与BC交于点E，QP延长线与AD（或AD延长线）交于点F．（1）连接CQ，证明：CQ=AP；（2）设AP=x，CE=y，试写出y关于x的函数关系式，并求当x为何值时，CE= BC；（3）猜想PF与EQ的数量关系，并证明你的结论．12、(2017云南.中考真卷) 如图，△ABC是以BC为底的等腰三角形，AD是边BC上的高，点E，F分别是AB，AC的中点．（1）求证：四边形AEDF是菱形；（2）如果四边形AEDF的周长为12，两条对角线的和等于7，求四边形AEDF的面积S．13、(2020衡阳.中考真卷) 如图1，平面直角坐标系中，等腰的底边在x轴上，，顶点A在y的正半轴上，，一动点从出发，以每秒1个单位的速度沿向左运动，到达的中点停止．另一动点F从点C出发，以相同的速度沿向左运动，到达点O停止．已知点E、F同时出发，以为边作正方形，使正方形和在的同侧．设运动的时间为秒（）．（1）当点H落在边上时，求t的值；（2）设正方形与重叠面积为S，请问是存在t值，使得？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，取的中点D，连结，当点E、F开始运动时，点N从点O出发，以每秒个单位的速度沿运动，到达点O停止运动．请问在点E的整个运动过程中，点M可能在正方形内（含边界）吗？如果可能，求出点M在正方形内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由．14、(2020温州.中考模拟) 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB在x轴上，AB、BC的长分别是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个根（BC＞AB），OA＝2OB，边CD交y轴于点E，动点P以每秒1个单位长度的速度，从点E出发沿折线段ED﹣DA向点A运动，运动的时间为t（0≤t＜6）秒，设△BOP与矩形AOED 重叠部分的面积为S.（1）求点D的坐标；（2）求S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）在点P的运动过程中，是否存在点P，使△BEP为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.15、(2020路北.中考模拟) 如图，在中，，点从点出发沿向点运动，点从点出发沿向点运动，点和点同时出发，速度相同，到达点或点后运动停止．（1）求证：；（2）若，求的度数；（3）若的外心在其内部时，直接写出的取值范围．等腰三角形的性质综合题答案1.答案：2.答案：3.答案：4.答案：5.答案：6.答案：7.答案：8.答案：9.答案：10.答案：11.答案：12.答案：13.答案：14.答案：15.答案：。
初中数学综合复习等腰三角形(含等边三角形)部分4
初中数学综合复习等腰三角形（含等边三角形）部分4一、选择题1. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE∥AB，DE=DC，∠C=80°．则∠A等于（）A．80°B．90°C．100°D．110°【答案】C2.如图，在△ABC中，∠A=50°，∠ABC=70°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是A、85°B、80°C、75°D、70°【答案】A3.如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以A n为顶点的内角度数是( )A．(12)n·75°B．(12)n－1·65°C．(12)n－1·75°D．(12)n·85°【答案】C4.如图，坐标平面上，△ABC与△DEF全等，其中A、B、C的对应顶点分别为D、E、F，且AB＝BC＝5．若A点的坐标为(﹣3，1)，B、C两点在方程式y＝﹣3的图形上，D、E两点在y轴上，则F点到y轴的距离为何？()A1A2A3A4CBDEF…第11题图第10题图AB CDEA ．2B ．3C ．4D ．5分析：如图，作AH 、CK 、FP 分别垂直BC 、AB 、DE 于H 、K 、P ．由AB ＝BC ，△ABC ≌△DEF ，就可以得出△AKC ≌△CHA ≌△DPF ，就可以得出结论．解：如图，作AH 、CK 、FP 分别垂直BC 、AB 、DE 于H 、K 、P ． ∴∠DPF ＝∠AKC ＝∠CHA ＝90°． ∵AB ＝BC ， ∴∠BAC ＝∠BCA ． 在△AKC 和△CHA 中。
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等腰三角形的性质应用及判定
【例1】（扬州中考）如图，△ABC 中，D 、E 分别是AC 、AB 上的点，BD 与CE 交于点
O.给出下列三个条件：①∠EBO=∠DCO;②∠BEO=∠CDO;③BE=CD.
上述三个条件中，哪两个条件可判定△ABC 是等腰三角形（用序号写出所有情形）
【例2】如图，△ABC 为等边三角形，延长BC 到D,又延长BA 到E ，使AE=BD,连接CE,DE,
求证：△CDE 为等腰三角形
【例4】如图，△ABC 是边长为1的正三角形，△BDC 是顶角为120°的等腰三角形，以D 为顶点作一个60°的∠MDN ，点M,N 分别在AB,AC 上，则△AMN 的周长是
【例5】（重庆中考）已知一个等腰三角形两内角的度数比为1:4，则这个等腰三角形顶角的
度数为（ ）
A.20
° B.120° C.20°或120° D.36°
【例6】（双柏中考）等腰三角形两边长分别为4和9，则第三边长为：
【例7】如图，点O 事等边△ABC 内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，将△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得△ADC,连接OD,则△COD 是等边三角形；(1)当α为多少度时，△AOD 是等腰三角形？(2)求证：△COD 是等边三角形（3）当α=150°时，试判断△AOD 的形状，并说明理由
A E
B C O D E A B C D E
A B C D F
A
M N
D B C A M N
D
B C
P Q B
D
B
E
【例8】（乐山中考）如图，在等边△ABC 中，点D,E 分别在边BC,AB 上，BD=AE,AD 与CE 交于点F.(1)求证：AD=CE;(2)求∠
DFC 的度数。
【例9】（黄冈中考）如图，分别以Rt △ABC 的直角边AC,BC 为
边，在Rt △ABC 外作两个等边三角形△ACE 和△BCF ，
连接BE,AF 。
求证：BE=AF 【例10】（天津中考）如图，△DAC 和△EBC 均是等边三角形，AE 、BD 分别与
CD 、CE 交于点M 、N,有如下结论：①△ACD ≌△DCB; ②CM=CN; ③AC=DN.其中正确结论的个数是
A.3个
B.2个
C.1个
D.0个
【例11】（常州中考）如图，已知△ABC 为等边三角形，D 、E 、F 分别在边BC 、AC 、AB 上，且△DEF 也是等边三角形。
除已知
相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并证明你的猜想是
正确的。
【例15】如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，∠ACB=60°，D 是BC 延长线上一点，且AC=CD,则BC:CD=
【例16】已知，如图，AB 是等腰直角三角形ABC 的斜边，AD 是 ∠A 的平分线，求证：AC+CD=AB
【例17】（枣庄中考）两个全等的含30°，60°的三角板ADE 和三角板ABC ，如图所示放置，E,A,C 三点在一条直线上，连接BD,取BD 的中点M,连接ME,MC,试判断△EMC 的形状，并说明理由
B
D
A
A
B
D D
练习：
1、下列两个命题：①如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；②如果一个等腰三角形有一个内角是60°，那么这个等腰三角形一定是等边三角形，则以下结论正确的是（）A.只有命题①正确 B.只有命题②正确
C.命题①、②都正确
D.命题①、②都不正确
2、(四川中考)若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为25°，则该三角形的一个底角为（）
A.32.5°
B.57.5°
C.65°或57.5°
D.32.5°或57.5°
3、如图，在△ABC中，AD⊥BC于D,请你再添加一个条件，就可以确定△ABC 是等腰三角形。
你添加的条件是：
4、已知：等边△ABC中，如图，E为AB上任意一点，以CE为斜边
作等边△CDE,连结AD,则有AD∥BC,上述结论还成立吗？
A。