第四章共面力系的平衡
工程力学-力系平衡基本公理
分别画出这一对大小相等、方向相
反的作用力与反作用力，分别用
FA
和 FA 表示。
9
常见的约束和相应约束力 1.柔性体（柔绳）约束
柔软、不可伸长的约束物体（不计重量，如绳 索，链条，胶带），只限制被约束物沿柔性体被 拉伸方向的运动，单侧约束。
10
2.光滑面约束
两物体接触表面光滑无摩擦（接触面可为平面 或曲面），限制被约束物沿接触面公法线指向约 束物的运动，单侧约束。
工程力学（A）
力系平衡基本公理
§ 5.3 力系平衡基本公理
公理：经验的总结，又经实践检验正确的普遍规律， 但无法推导证明之。
公理一 （二力平衡公理）： 作用于同一刚体上的 两个力，使刚体平衡的充要条件是这二力等值、 反向、共线，这样的 刚体称为二力体（杆）。若 对变形体，则只是必要条件。
公理二（加减平衡力系公理）： 在刚体上加上或 减去一个平衡力系，不改变刚体原来力系的作用 效果。 推论：力的可传性——作用于刚体上的力可沿 其作用线滑移而不改变其作用效果（滑移矢量）。 注意：不可用于变形体！
例题
例题5
§5 静力学基本概念
P F1
C
如图所示的三铰拱 桥，由左右两拱桥铰接
而成。设各拱桥的自重
A
F2
B
不计 ，在拱上作用有载 荷 F1 和 F2 ,试分别画出
左拱和右拱的受力图。
31
例题
例题5
P F1
C
F2
A
§5 静力学基本概念
解： 1. 右拱 BC 的受力图。
若不带铰C，右拱为 一个二力体。
26
2. 取分离体、画受力图的注意事项 （1） 根据所选研究对象取分离体，分离体上的每 个力都要有出处。
平面力系的平衡
1、研究OA杆
2、研究AB杆
A
B O
（A）
A
B O
（B）
空间任意力系简化:
FR 0, MO 0
平衡
FR ( Fx )2 ( Fy )2
MO ( MOx )2 ( MOy )2
❖ 由此得平面任意力系的平衡方程
Fx Fy
0 ,
0
M 0
平面任意力系平衡的解析条件：力系中各力 在两个任选的直角坐标轴上的投影的代数和 为零，以及各力对任一点之矩的代数和为零。
q
A
B
（3）建立坐标系
（4）列平衡方程
AB杆受平面任意力系作用
Fx 0
Fy 0
MA 0
l
FAy q dx 0
0 l
M A xq dx 0
0
FAx 0
FAy ql
M
A
1 2
ql 2
机械设计基础
Fx 0 FAx FB sin(45o ) 0
FAx FB sin(45o ) 2W
Fy 0 FAy FB cos(45o ) W 0
FAy W FB cos(45o ) W
2、几种特殊平面力系的平衡方程
（1）平面汇交力系平衡的充分必要条件：
Fx Fy0 , 0解析条件：力系中各分力在直角坐标 轴上投影的代数和分别为0.
W
D
方法二
解:（1）研究AC杆
（2）绘AC杆的受力图 （3）建立坐标系
（4）列平衡方程
AC杆受平面任意力系作用
A
B
C
W
平面任意系平衡方程:
Fx 0 Fy 0 Mo (F ) 0
M A(F) 0
W 2a FB cos(45o ) a FB sin(45o )0 0
建筑力学（第二版）第1章至第13章知识点节选
建筑⼒学（第⼆版）第1章⾄第13章知识点节选绪论部分荷载：直接施加在结构上的⼒，在⼯程上统称荷载。
结构：在建筑物中承受和传递荷载⽽起⾻架作⽤的部分。
构件：组成结构的每⼀个部分。
平衡状态：建筑的结构及组成结构的各构件，都相对于地⾯保持着静⽌状态，这种状态在⼯程上称为平衡状态。
要保证构件的正常⼯作，必须同时满⾜三个要求：1）在荷载作⽤下构件不发⽣破坏，即应具有⾜够的强度2）在荷载作⽤下构件所产⽣的变形在⼯程的允许范围内，即应具有⾜够的刚度3）承受荷载作⽤时，构件在其原有形状下应保持稳定，即应具有⾜够的稳定性※构件的强度、刚度和稳定性统称为构件的承载能⼒建筑⼒学的任务是：研究和分析作⽤在结构（或构件）上⼒与平衡的关系，结构（或构件）的内⼒、应⼒、变形的计算⽅法以及构件的强度、刚度与稳定条件，为保证结构（或构件）既安全可靠⼜经济合理提供计算理论依据。
杆系结构：由杆件组成的结构。
建筑⼒学：是由研究建筑结构的⼒学计算理论和⽅法的⼀门科学。
第⼀章静⼒学的基本概念⼒的定义：⼒是物体间的相互机械运动。
⽤⼀个带有箭头的有向线段来表⽰⼀个⼒（注意作⽤点的位置）物体在受到⼒的作⽤后，产⽣的效应可以分成两种：外效应，也称为运动效应，使物体的运动状态发⽣改变。
内效应，也称为变形效应，使物体的形状发⽣变化。
⼒的三要素：⼤⼩、⽅向、作⽤点⼒的⼤⼩反应物体之间的相互机械作⽤的强弱程度⼒的⽅向包含⼒的作⽤线在空间的⽅位和指向⼒的作⽤点是指⼒在物体的作⽤位置当接触⾯⾯积很⼩时，则可以将微⼩⾯积抽象为⼀个点，这个点称为⼒的作⽤点。
该作⽤⼒称为集中⼒；反之，如果接触⾯积较⼤⽽不能忽略时，则⼒在整个接触⾯上分布作⽤，此时的作⽤⼒称为分布⼒。
分布⼒的⼤⼩⽤单位⾯积上的⼒的⼤⼩来度量，称为荷载集度。
⼒是⽮量，记作F刚体：在外⼒的作⽤下，不发⽣形变的物体。
平衡：在外⼒作⽤下，物体相对于地球保持静⽌或匀速直线运动状态，我们就称物体在外⼒作⽤下保持平衡。
第四章：空间力系
第四章空间力系一、要求1、能熟练地计算力在空间直角坐标轴上的投影和力对轴之矩。
2、对空间力偶的性质及其作用效应要有清晰的理解。
3、了解空间力系向一点简化的方法和结果。
4、能应用平衡条件求解空间汇交力系、空间任意力系、空间平行力系的平衡问题。
5、能正确地画出各种常见空间约束的约束反力。
二、重点、难点1、本章重点：力在空间直角坐标轴上的投影和力对轴之矩。
空间汇交力系、空间任意力系、空间平行力系的平衡方程的应用。
各种常见的空间约束及约束反力。
2、本章难点：空间矢量的运算，空间结构的几何关系与立体图。
三、学习指导1、空间力系的基本问题及其研究方法空间力系研究的基本问题仍然是静力学的三个基本问题，即：物体的受力分析、力系的等效替换和力系的平衡条件。
空间力系是力系中最普遍的情形，其它各种力系都是它的特殊情形。
按由浅入深、由特殊到一般的认识规律研究空间力系，是从理论上对静力学作一个系统而完整的总结。
与平面力系的研究方法相似，这里也采用力向一点平移的方法将空间任意力系分解为空间汇交力系和空间力偶系，再应用这两个力系的合成方法来简化原力系，然后根据简化结果推导出平衡条件。
由于空间力系各力作用线分布在空间，因而使问题复杂化。
出现了力在坐标轴上的二次投影法、力对轴的矩以及用向量表示力对点的矩和力偶矩等新问题，简化的结果和平衡方程也复杂了。
2、各类力系的平衡方程各类力系的独立的平衡方程的数目不变。
但是平衡方程的形式可以改变。
上表列出的是一般用形式。
解题指导1、对于解力在直角坐标轴上投影或力沿直角坐标轴分解这类问题，重要的是确定力在空间的位置。
一般解题的思路如下：（1）认清题意，仔细查看结构（或机构）的立体图，它由哪些部件组成，各部件在空间的位置，以及它们和坐标轴的关系。
（2）认清力的作用线在结构（或机构）的哪个平面内，寻找它与坐标面的交角，然后找力与坐标平面的夹角及力与坐标轴的夹角。
（3）考虑用一次投影或二次投影的方法求解。
力的平移定理
力的平移定理(总17页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除第四章 平面一般力系第一节 力的平移定理上面两章已经研究了平面汇交力系与平面力偶系的合成与平衡。
为了将平面一般力系简化为这两种力系，首先必须解决力的作用线如何平行移动的问题。
设刚体的A 点作用着一个力F （图4－3（a ）），在此刚体上任取一点O 。
现在来讨论怎样才能把力F 平移到O 点，而不改变其原来的作用效应？为此，可在O 点加上两个大小相等、方向相反，与F 平行的力F ′和F 〞，且F ′=F 〞=F （图4－3（b ）） 根据加减平衡力系公理，F 、F ′和F 〞与图4－3（a ）的F 对刚体的作用效应相同。
显然F 〞和F 组成一个力偶，其力偶矩为)(O F M Fd m ==这三个力可转换为作用在O 点的一个力和一个力偶（图4－3（c ））。
由此可得力的平移定理：作用在刚体上的力F ，可以平移到同一刚体上的任一点O ，但必须附加一个力偶，其力偶矩等于力F 对新作用点O 之矩。
顺便指出，根据上述力的平移的逆过程，共面的一个力和一个力偶总可以合成为一个力，该力的大小和方向与原力相同，作用线间的垂直距离为：F m d '=力的平移定理是一般力系向一点简化的理论依据，也是分析力对物体作用效应的一个重要方法。
例如，图4－4a 所示的厂房柱子受到吊车梁传来的荷载F 的作用，为分析F 的作用效应，可将力F 平移到柱的轴线上的O 点上，根据力的平移定理得一个力F ′，同时还必须附加一个力偶（图4－４（b ））。
力F 经平移后，它对柱子的变形效果就可以很明显的看出，力F ′使柱子轴向受压，力偶使柱弯曲。
第二节 平面一般力系向作用面内任一点简化一、简化方法和结果设在物体上作用有平面一般力系F 1，F 2，…，F n，如图4－5（a ）所示。
为将这力系简化，首先在该力系的作用面内任选一点O 作为简化中心，根据力的平移定理，将各力全部平移到O 点（图4－5（b ）），得到一个平面汇交力系F 1′，F 2′，…，F n ′和一个附加的平面力偶系n 21,,,m m m 。
平面力系的平衡方程及应用
各力的作用线都在同一平面内且 汇交于一点的力系。
正文
力在直角坐标轴上的投影
1
Fx=F·cosa ; Fy=F·sina = F ·cosb
说明： （1）力在坐标轴上的投影为代数量； （2）力的指向与坐标轴的正向一致时，力的投影为正值，否则为负。
正文
合力投影定理
推论1：力偶对刚体的作用与力偶在其作用面内的位置无关；
推论2：只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变，可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶对刚体的作用。
M
M
M
力偶表示方法
正文
思考：
力偶与力的异同
共同点：单位统一，符号规定统一。 差异点：1.力矩随矩心位置不同而变化；力 偶矩对物体作用效果与矩心选取无关。 2.力偶矩可以完全描述一个力偶；力对点之矩不能完全描述一个力。
′
F
M
单 手 攻 丝
正文
平面任意力系的简化
1
平面一般力系向平面内一点简化
F3
F1
F2
O
O
O
F
R′
MO
F
1′
M1
F1 =F1
′ M1=MO(F1)
F
2′
M2
F
3′
M3
F2 =F2
′ M2=MO(F2)
F3 =F3
′ M3=MO(F3)
简化中心
O
FR=F1+F2+F3= F1+F2+F3 MO=M1+M2+M3=MO(F1)+ MO(F2) + MO(F3)
正文
平面力偶系的合成与平衡
建筑架子工(普通脚手架)考试模拟题及参考答案
建筑架子工（普通脚手架）考试模拟题及参考答案一、单选题（共32题，每题1分，共32分）1.在物理学中，把某种物质单位（）的质量叫做这种物质的密度。
A、重量B、物质C、体积D、质量正确答案：C2.直接从事带电作业时，必须（），防止发生触电。
A、有人监护B、戴绝缘手套C、穿绝缘鞋和戴绝缘手套D、穿橡胶鞋正确答案：C3.制定安全标识的目的是为了（）。
A、装饰好看B、引起人们注意，预防事故发生C、上级要求正确答案：B4.应用胸外心脏挤压法进行触电急救时，对成人应以每分钟挤压（）次为宜。
A、50B、70C、60D、80正确答案：C5.脚手架上各构配件拆除时（）。
A、待下班后，工地上没有人时，再将构配件抛掷到地面B、应在高处将构配件捆绑在一起，一次抛掷到地面C、严禁抛掷地面D、可将配件一个个地抛掷到地面正确答案：C6.挑架子中的斜杆与墙面的夹角应不大于（）度A、60B、75C、30D、45正确答案：C7.扣件式钢管脚手架的基本构造形式有（）种？A、三种B、两种C、四种D、一种正确答案：B8.一级高处作业的坠落半径为（）m。
A、5B、3C、6D、4正确答案：B9.关于安全电压的正确说法是（）。
A、有电流就有触电事故B、36V不会触电C、220V不是安全电压D、没有死亡的触电是安全的正确答案：C10.建筑模板支架施工中，以（）结构最为广泛。
A、门式钢管B、扣件式钢管C、木式D、碗扣式钢管正确答案：B11.我国火警电话号码为：（）A、119B、110C、114D、120正确答案：A12.扣件、底座钢管都应做（）处理。
A、防火B、防水C、排水D、防腐正确答案：D13.《全国人民代表大会常务委员会关于修改的决定》已由第十二届人大常委会第十次会议于2014年8月31日通过，自（）起实施。
A、41883B、41974C、41609D、41913正确答案：B14.《建筑法》是我国第一部规范建筑活动的部门法，由（）开始施行。
静力学4 力系的平衡
• 静力学研究的主要问题之一是建立力系的平衡条件，并应用它 来确定被约束物体所受的未知约束力 平衡位置 未知约束力或平衡位置 未知约束力 平衡位置。 • 静力学解题的步骤 ▫ 确定研究对象 ▫ 确定问题性质：平面，抑或空间 ▫ 建立坐标系：结合具体结构或机构，让力的投影简单 ▫ 画对象受力图 ▫ 未知数与方程个数的分析 ▫ 列出合适的平衡方程（尽可能一个方程一个未知数） ▫ 求解方程 ▫ 校核结果
空间力系的简化结果
r 主矢） F （主矢）
=0 ≠0 =0 ≠0
r 主矩） M（主矩）
=0 =0 ≠0
力系简化结果 平衡 合力 力偶
≠0
r r F ⋅M = 0 r r F ⋅M ≠ 0
合力 力螺旋
静力学
力系的平衡
• 4.1 • 4.2 • 4.3 • 4.4 力系的平衡方程 静定和超静定 刚体系的平衡问题 考虑摩擦的平衡问题
平衡方程： 平衡方程：
∑F
x
= 0： − F1 − F2 +FAx = 0,
FAx = 300 N
∑F ∑F
y
= 0：
FAy = 0
z
= 0： W1 − W2 − W + FAz = 0, − FAz = 500 N
= 0：
∑M
x
M Ax = 0
∑M
∑M
z
y
= 0： − 0.15W2 − 0.3W − 0.24 F1 − 0.08 F2 + M Ay = 0,
一般不将销钉单独列出画受力图将其与任意刚体结合根据二力平衡原理三力平衡原理确定约束力的作用线和方向简化计算过程刚体系平衡问题的解法图示构件滑轮系统由杆件acbcde及滑轮组成跨过滑轮挂有重物wdeabce2be各部分自重及摩擦不计求ab处的约束力及de杆内力
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相反，且在同一線上。故僅有外力存留，令Fi = F，上 述方程式可以寫成 F = 0
若Байду номын сангаас慮作用於 i 質點之力對任意點 O 的力矩，圖(b)應用點
平衡方程式以及向量積適用分配律得
ri (Fi + fi) = ri Fi + ri fi = 0
可以對其它的質點得同樣的方程式，並以向量相加
x、y、z 軸為靜止或等速度運動。剛體中第 i 個質點的自由體圖，如 圖(b)，有兩種型態的力量作用於此質點，其一為內力，可表示為
(a)
(b)
即其他質點作用於此i質點而得合力 fi，圖(b)中僅顯示一個質點，但卻
對整個物體中的 n 個質點作總和，在總和的過中 i = j 是無意義的，因 質點無法對本身施力。
Procedure for Drawing FBD
To construct a free-body diagram, the following steps are
necessary :
– Draw Outline Shape
• Imagine that the particle is cut free from its surroundings or isolated by drawing the outline shape of the particle only.
及所有外力對一點的力矩和為零。以上為平衡的必要條件， 亦為充分條件。為說明此充分性質，假設物體不平衡卻滿 足上式，必須加上 F才能使物體成平衡，則平衡方程式 為 F + F' = 0; MO + MO = 0
其中 MO 為 F 對 O 的力矩，由於F = 0 及 MO = 0，故
共面力系之平衡方程式
Coplanar Force System
Start with internal system of forces as shown below to get proper signs for V, N and M.
V
共面力系之平衡方程式
物體達成平衡必須滿足
F = 0；MO = 0
Answers: Tension in cable AB = 226lb Tension in cable BC = 245.56lb
重量與重心
當一物體處於重力場中，每一質點都其有一定的重量，可
由牛頓萬有引力 F = Gm1m2/r2，若假設物體的大小與地球 比較為極小，可將此重力表示為一平行力系分別作用於物 體上各質點。前一章節曾述及此力系可化簡此力系為一單 力，且作用於特定點，將此單力稱之為物體的重量 W，而 其作用點稱為重心。求取重心的方法將在後面章節予以介 紹。 物體的重量若是相當重要，將在敘述中指明其值。又若物 體為均質材料，物體的重心即為物體的形狀中心。若物體 為非均質材料或不規則幾何形狀，其重心將特別予以指明。
Rx Fx T 1 X T 2 X 0
A
20
C T1 B T2 30
Resolving T1 along x and y directions:
T 1 cos 20 T 2 cos30 T 1 * 0.9396 T 2 * 0.866 T 2 1.085T 1
彈簧 (springs)
若以一線性彈簧作為作支撐 (support)，則彈簧的變形量與
作用力成正比例的關係。彈簧的彈性由彈簧常數 k (spring constant) 所定義，若一彈簧的彈簧常數 k，其變形量為 s， 則作用力之大小為 F = ks
– 變形量 s 為彈簧受力後的全長l與原 長度 lo 的差值，即 s = l lo。若 s 為正值，則 F 為拉伸彈簧之力；若 s 為負值，則 F 為壓縮彈簧之力。 – 例如圖中，彈簧的原長 lo = 0.4m， 彈簧常數 k = 500 N/m，若伸長至 l = 0.6 m，則作用力為 F = ks = (500 N/m) (0.6m 0.4m) = 100 N。同理， 若彈簧壓縮至 l = 0.2m，則作用力 為 F = ks = (500N/m) (0.2m 0.4m) = 100N。
Free Body Diagram
C
BC
BA W
A
B
W
1. Two cables support the traffic light weighing 250 pounds. Determine the tension in the cables AB and BC.
A
20
30
B
Solution:
(1) 繩索-未知力數為1，作用力為張力，方向與繩索同向
(2) 重量可忽略之連桿-未知力數為1，力的作用方向與連桿同向 (3) 滾筒-未知力數為1，力的作用方向與接觸面成垂直 (4) 導軌中滾筒支撐- 未知力數為1，力的作用方向與準槽垂直 (5) 搖板-未知力數為1，力的作用方向與接觸平面垂直 (6) 與光滑面接觸-未知力數為1，力的作用方向與接觸平面垂直 (7) 光滑導桿中移動-未知力數為1，力的作用方向與導桿垂直 (8) 光滑銷連桿-未知力數為2，可為兩個分量，亦可為大小及角度。其
另一型態則為外力 Fi，如重力、電力、磁力或由鄰近物體
或質點所施予的接觸力。若質點處於平衡狀態，根據牛頓 第一定律，可得 Fi + fi = 0
當平衡方程式應用於物體中各質點，可得相同的方程式，
若將這些方程式以向量相加，可得 Fi + fi = 0
其中內力的總和為零，因各質點問的內力大小相等但方向
– Identify Each Force
• The forces that are known should be labeled complete with their magnitudes and directions. Letters are used to represent the magnitudes and directions of forces that are not known.
第四章共面力系的平衡 內容大綱
4.1 概論 4.2 平衡的定義 4.3 物體之自由體圖 4.4 共面力系之平衡方程式 4.5 列舉與求解平衡方程式 4.6 單一物體之平衡分析 4.7 含內力之自由體圖 4.8 組合體之平衡分析 4.9 二力及三力構件 4.10 桁架概述 4.11 接點法 4.12 截面法
在此將介紹水平梁三種常見的尾端支承形式，第一種形式
為一滾筒，如下圖(a)，其不允許在平面的垂直方向運動， 則在此點施有同方向的垂直力 F，如圖(b)。
梁上另有一種限制更多的支承形式，如銷在下圖(a)，其銷
不允許桿件在任何方向產生移動，故 F 其有兩個未知量， 一為其大小，另一為方向角 ，如圖(b)，為便於分析，通 常將其表示成 Fx 及 Fy 二分量，如圖(c)，若 Fx 及 Fy 已知， 則 F 及即可求得得。
限制最多的形式為一固定端，如下圖(a)。此種支承形式會
限制梁作平移及轉動，故在支點會有一力及一力偶矩作用， 如圖(b)，通常此方可表示成兩分量 Fx 及 Fy。
常見二維力系的接觸形式
如右 (圖中 均為已知角)， 請仔細研讀每一圖形所代 表接觸的形式，雖然表中 所示的各集中力與力偶矩， 事實上是接觸面間分佈力 的合成。然而在此情況下， 其作用力的分佈情形，因 接觸面積極小，故求取其 確切作用點並不重要。
200lb
1
Resolving T2 along x and y directions:
T1Y T2Y
Ry Fy T 1 y T 2 y 200 0 T 1 sin 20 T 2 sin 30 200 0.342T 1 0.5T 2 200
T1 T1X
概論
概述
介紹自由體圖 介紹單物件之平衡
介紹組合體之平衡
介紹桁架之平衡
平衡的定義
平衡之條件1
點的平衡必須處於靜止狀態，或以等速度運動。欲滿足上
述要求，則其充要條件為質點上受力的和必須為零。
(a)
(b)
平衡之條件2
應用上述原理，將推展出剛體平衡的條件。考慮下圖(a)中的剛體，對
繩索與滑輪 (cables and pulleys)
除特別說明外，所有的繩索或纜繩都假設為無重量，且不
具有伸縮性。繩索只能承受張力或拉力，且作用力方向必 定沿著繩索方向。一穿過無摩擦滑輪的連續繩索 (continuous cable)，將受到一張力 T，不論角度 為何值， T 值的大小都是一樣的。
二維平衡方程式
前一節曾提及物體平衡的充要條件為 F = 0, MO = 0。
T2 T2X T3=200lb
Substituting equation 1 in the above equation, we get
.342T1+.5425T2=200
.8845T1=200 T1=226lb
From equation 1 we get
T2=1.085*226 T2= 245.56lb
ri Fi + ri fi = 0
上式第二項，因兩質點間之內力相反，以及力的遞移性，
以致此內力之力矩和為零，可將MO = ri fi 表示成 MO = 0
即使一物體達成平衡必須滿足
F = 0; MO = 0
(a) (b)
欲使一物體成平衡必須作用於物體上所有外力和為零，以
中與不必相同 (9) 連桿固定於光滑導桿-未知力數為2，為力偶矩及與光滑桿垂直之力 (10) 固定端-未知力數為3，兩力及一力偶矩或一力偶矩及力的大小與 方向
外力與內力
由於剛體是由質點所構成，可承受內力與外力。然而作自
由體圖時，物體的內力並不須要繪出，如前一節中所述， 內力都是以大小相等卻是反向作用於一直線上，故對物體 的作用效果為零。