材料力学习题册答案-第13章-能量法
材料力学课后习题答案13章
= 7.44 × 10− 2 m = 74.4mm
而
2 × 0.050 Fd = (300 N ) 1 1 + + 2.22 × 10 − 2
= 1.004 × 10 3 N
M max = 1.004 ×10 3 N (1.00m ) = 1.004 ×10 3 N ⋅ m
设压杆微弯平衡时的挠曲轴方程为
πx w = f sin l
式中，f 为压杆中点的挠度即最大挠度。
题 13-8 图 解：由题设可知，
w = f sin
πx , l
6
w′ =
πf πx cos l l
据此可得
λ (x ) =
q cr 所作之功为
1 x 2 * 1 ( w′) dx = 2 0 2
∫
∫
x 0
(也可通过左侧题号书签直接查找题目与解)
13-2
比为 8:3。
图示圆截面简支梁，直径为 d，承受均布载荷 q 作用，弹性模量 E 与切变模量 G 之
（1）若同时考虑弯矩与剪力的作用，试计算梁的最大挠度与最大转角； （2）当 l/d =10 与 l/d =5 时，试计算剪切变形在总变形（最大挠度与最大转角）中所占百分比。
（2）被冲击面（弹簧顶面）的静位移为
∆st =
最大冲击载荷为
Pl P 500 + = 1.516 × 10 − 5 m + m = 2.52 × 10 − 3 m 3 EI k 200 × 10
2h + + Fd = P 1 1 ∆ st
于是，杆内横截面上最大的正应力为
Fl 3 ∆= 48EI
得刚度系数
0.030 4 48 × 200 × 10 × F 48 EI 12 N = 6.48 × 10 5 N k= = 3 = 3 ∆ m m l 1.00
材料力学第十三章 能 量 法
Vε Vε (D1 , D 2 ,, D i ,, D n )
假设位移 Di 有一微小增量 dDi 其它位移均保持不变 梁的应变能也有一增量 dVe
外力功的增量
d W Fi d D i
Ve d Ve d Di D i
d Ve d W
Ve Fi D i
卡氏第一定理
卡氏第一定理
Vε
l
0
F ( x) T ( x) dx dx 0 2GI 2 EA p
l
2 N
2
F ( x) M ( x) d x s dx 0 2 EI 0 2GA
l l
2
2 S
应变能恒为正 ，是内力或外力的二次函数。
非线性函数
一般情况：非线性弹性体
s s1 s e
外力作功：
de e 1
DAB 方向水平向外
§3-4 用能量法解超静定系统
解超静定问题要综合考虑三方面 几何方面 —— 建立变形几何相容条件 物理方面 —— 建立补充方程 静力学方面 —— 建立平衡方程
等直杆，发生基本变形，材料为线性弹性体 非等直杆或杆系结构，受较复杂荷载作用， 材料为非线性弹性体 易 难
能量法
例1：求图示超静定梁支座处的约束力。
③ 先加M，后加F
A
M AM
F
B
AF DCF
AM
Ml 3EI
D CF
Fl 48 EI
3
AF
Fl 16 EI
2
1 1 应变能： V M ε AM ( FD CF M AF ) 2 2 2 3 2 2 1 F l M l MFl ( ) EI 96 6 16
Ve Fi D i
材料力学习题册参考答案
材料力学习题册参考答案材料力学习题册参考答案（无计算题）第1章：轴向拉伸与压缩一：1（ABE ）2（ABD ）3（DE ）4（AEB ）5（C ）6（ＣＥ）７（ABD ）8（C ）9（BD ）10（ADE ）11（ACE ）12（D ）13（CE ）14（D ）15（ＡＢ）１６（BE ）17（D ）二：1对2错3错4错5对6对7错8错9错10错11错12错13对14错15错三：1：钢铸铁 2：比例极限p σ 弹性极限e σ 屈服极限s σ 强度极限b σ3.横截面 45度斜截面4. εσE =， EAFl l =5.强度，刚度，稳定性；6.轴向拉伸（或压缩）；7. llb b ?μ?=8. 1MPa=106 N/m 2 =1012 N/mm 2 9. 抵抗伸缩弹性变形，加载方式 10. 正正、剪 11.极限应力 12. >5% <5% 13. 破坏s σ b σ 14.强度校核截面设计荷载设计15. 线弹性变形弹性变形 16.拉应力 45度 17.无明显屈服阶段的塑性材料力学性能参考答案：1. A 2. C 3. C 4. C 5. C 6. 5d ; 10d 7. 弹塑8. s2s 9. 0.1 10. 压缩11. b 0.4σ 12. <；< 剪切挤压答案：一：1.（C ），2.（B ），3.（A ），二：1. 2bh db 2. b(d+a) bc 3. 4a δ a 2 4. F第2章：扭转一：1.（B ） 2.（C D ） 3.（C D ） 4. （C ） 5. （A E ） 6. （A ）7. （D ）8. （B D ） 9.（C ） 10. （B ） 11.（D ） 12.（C ）13.（B ）14.（A ） 15.（A E ）二：1错 2对 3对 4错 5错 6 对三：1. 垂直 2. 扭矩剪应力 3.最外缘为零4. p ττ< 抗扭刚度材料抵抗扭转变形的能力5. 不变不变增大一倍6. 1.5879τ7.实心空心圆8. 3241)(α- 9. m ax m in αττ= 10. 长边的中点中心角点 11.形成回路（剪力流）第3章：平面图形的几何性质一：1.（C ），2.（A ），3.（C ），4.（C ），5.（A ），6.（C ），7.（C ），8.（A ），9.（D ）二：1）. 1；无穷多；2）4)4/5(a ； 3），84p R I π=p 4z y I 16R I I ===π4）12/312bh I I z z ==；5）)/(/H 6bh 6BH W 32z -= 6）12/)(2211h b bh I I I I z y z y +=+=+；7）各分部图形对同一轴静矩8）两轴交点的极惯性矩；9）距形心最近的；10）惯性主轴；11）图形对其惯性积为零三：1：64/πd 114； 2.（0 , 14.09cm ）(a 22，a 62)3： 4447.9cm 4， 4：0.00686d 4 ，5: 77500 mm 4 ;6: 64640039.110 23.410C C C C y y z z I I mm I I mm ==?==?第4章：弯曲内力一：1.（A B ）2.（D ）3.（B ）4.（A B E ）5.（A B D ）6.（ACE ） 7.（ABDE ） 8.（ABE ）9. （D ） 10. （D ） 11.（ACBE ） 12.（D ） 13.（ABCDE ）二：1错 2错 3错 4对 5错 6对 7对三：1. 以弯曲变形 2.集中力 3. KNm 2512M .max =4. m KN 2q = 向下 KN 9P = 向上5.中性轴6.荷载支撑力7. 小8. 悬臂简支外伸9. 零第5章：弯曲应力一：1（ＡＢＤ）２．（C ）3.（BE ）4.（A ）5.（C ）6.（C ）7.（B ）8.（C ）9.（BC ）二：1对 2错 3错 4 对 5 错 6错 7 对三：1.满足强度要求更经济、更省料2. 变成曲面，既不伸长也不缩短3.中性轴4.形心主轴5.最大正应力6.剪力方向7.相等8.平面弯曲发生在最大弯矩处9.平面弯曲第6章：弯曲变形一：1（B ），2（B ），3（A ），4（D ），5（C ），6（A ），7（C ），8（B ），9（A ）10（B ），11（A ）二：1对2错3错4错5错6对7错8错9错10对11错12对三：1.（转角小量:θθtan ≈）（未考虑高阶小量对曲率的影响）2. 挠曲线采用近似微分方程导致的。
刘鸿文《材料力学》(第5版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-能量方法(圣才出品)
=
EA( l )2 2l
线弹性范围内，纯剪切的应变能密度为：v ε
=
1 2
τγ
=
τ2 2G
杆件总的应变能为：Vε
=
v dV
Vε
（3）扭转
在扭矩 T 作用下，杆件总的应变能为：
（4）弯曲
线弹性范围内，全梁的应变能为：
2．普遍表达式
V ε
=
1Fδ 2
式中， δ 为 F 作用点沿 F 方向因 F 作用而引起的位移。
图 13-7 解：设左、右两支座为 A、B，则由静力平衡条件得 A、B 的支反力分别为：
合力为： 因此，轴的应变能：
，方向均向上。
13.5 (1)在外伸梁的自由端作用力偶矩 M e ，试用互等定理，并借助于教材表 6.1，求 跨度中点 C 的挠度△c。
(2)用互等定理求解题 13.6、13.7 和 13.8。
后引起的 C 点挠度的叠加。
查教材表
6.1
可知在
F
作用下，悬臂梁
C
点的挠度 1
=
Fa3 3EI
故
。
（2）用互等定理求题 13.7
①将均布载荷作用力看做是第一组力，其在 B 点产生的挠度为 ，在 B 点的角位移为
θB。
a．求 B 截面挠度
取第二组力，在 B 点作用一竖直向下的单位力 F，在 F 力作用下，梁的挠曲线方程为：
根据互等定理有：
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2．位移的互等定理
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F1 作用点沿 F1 方向因作用 F3 而引起的位移，等于 F3 作用点沿 F3 方向因作用 F1 而引起
昆明理工大学材料力学A80学时练习册1-13章答案
第一章 绪论一、是非判断题1.1 ( × )；1.2 ( × )；1.3 ( × )；1.4 ( ∨ )；1.5 ( ∨ )；1.6 ( ∨ ) 1.7 ( ∨ )；1.8 ( × )；1.9 ( × )；1.10 ( ∨ )；1.11 ( ∨ )1.12 ( ∨ )；1.13 ( × )；1.14 ( ∨ )；1.15 ( ∨ ) ；1.16 ( × )二、填空题1.1 杆件 变形 ， 应力，应变 。
1.2 外力的合力作用线通过杆轴线 ， 沿杆轴线伸长或缩短 。
1.3 受一对等值，反向，作沿剪切面发生相对错动 ， 沿剪切面发生相对错动 。
1.4 外力偶作用面垂直杆轴线 。
任意二横截面发生绕杆轴线的相对转动 。
1.5 外力作用线垂直杆轴线，外力偶作用面通过杆轴线 ， 梁轴线由直线变为曲线 。
1.6 包含两种或两种以上基本变形的组合 。
1.7 强度 ， 刚度 ， 稳定性 。
1.8 强度 ， 刚度 ， 稳定性 。
1.9 连续性 ， 均匀性 ， 各向同性 。
1.10 连续性假设 。
应力 、 应变 变形等 。
1.11 拉伸 ， 压缩 ， 弯曲 。
1.12 2α ； α-β ； 0 。
三、选择题1.1 1 。
1.2 C 。
1.3 C 。
四、计算题1.10=A X ∑=0X FF S =⇒∑=0Y 0=-F Y A F Y A =⇒∑=0A M 0=--FL M FL M -=⇒y x解：1. 求A 端的反力： 2. 求1-1截面的内力： ∑=0Y 0=F F S-∑=01C M 02=--/FL M 2/FL M -=⇒X A M1.2第二章 拉伸、压缩与剪切一、是非判断题2.1 ( × )；2.2 ( ×)；2.3 ( × )；2.4. ( ×)；2.5 ( × )；2.6 ( × ) 2.7 ( × )；2.9 ( × )；2.10 ( × )；2.11（ × ）；2.12（ ∨ ）二、填空题2.1 2.22.3 最大工作应力σmax 不超过许用应力[σ] ， 强度校核 ； 截面设计 ； 确定许可载荷 。
第十三章北航 材料力学 全部课件 习题答案
第十三章 能量法13-2 图示变宽度平板，承受轴向载荷F 作用。
已知板件厚度为δ，长度为l ，左、右端的截面宽度分别为b 1与b 2，材料的弹性模量为E ，试用能量法计算板件的轴向变形。
题13-2图解：对于变截面拉压板件，应变能的表达式为x x b E F x x EA F V lld )(2d )(202N02N⎰⎰==δε(a)由图可知，截面x 的宽度为x lb b b x b 121)(-+= 代入式（a ）,并考虑到F F =N ,于是得121221212 0 ln )(2d 21b b b b E δlF x x l b b b δF E V lε-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎰设板的轴向变形为∆l ，则根据能量守恒定律可知，12122ln )(22Δb b b b E δlF l F -= 由此得1212ln )(Δb b b b E δFll -=13-4图示结构，承受铅垂载荷F 作用。
已知杆BC 与DG 为刚性杆，杆1与2为弹性杆，且各横截面的拉压刚度均为EA ，试用能量法计算节点D 的铅垂位移。
题13-4图解： 1. 轴力计算未知支反力四个，未知轴力两个，即未知力共六个，而独立或有效平衡方程也为六个，故为一静定问题。
设杆1与杆2均受拉，则刚性杆BC 与DG 的受力如图b 所示。
由平衡方程 02 ,0N2N1=⋅+⋅=∑a F a F M B 022 ,0N2N1=⋅-⋅-⋅=∑a F a F a F M G得34N1F F =， 32N2FF -= 2. 铅垂位移计算 结构的应变能为EA l F EA l F EA l F EA l F V ε9103234222222222N 21N =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+= 设节点D 的铅垂位移∆Dy 与载荷F 同向，因此，载荷F 所作的功为2DyF ΔW =根据能量守恒定律，于是有EAlF F ΔDy 91022=由此得节点D 的铅垂位移为()↓=920EAFlΔDy 13-5 图a 所示圆柱形大螺距弹簧，承受轴向拉力F 作用。
材料力学第十三章 能量法2013
§13-7 计算莫尔积分的图乘法 ★重点
(Energy methods)
§13-1 概述（Introduction)
能量方法 (Energy methods )
利用功能原理 U = W 来求解可变形固体的位移、变形和内 力等的方法.
功能原理（Work-energy principle) 外力功等于变形能
2
Me ( x) U dx l 2 EI ( x )
2
(Energy （ Strain energy density for pure shearing state of stresses )
1 u ηγ 2
将 = G 代如上式得
G 2 2 u γ 2 2G
F1a
F2
M图
a B x A
F1a+F2l
特点：在刚节点处，弯矩值连续 ;
(Chapter Thirteen)
(Energy Method)
(Energy methods)
第十三章 能量法 (Energy Methods)
§13-1 概述（Introduction) §13-2 杆件变形能的计算及普遍表达式 §13-3 互等定理（Reciprocal theorems) §13-4 卡氏定理(Castigliano’s Theorem) §13-5 虚功原理（了解） §13-6 单位荷载法 莫尔定理 ★重点
2、利用功能原理计算变形 （Work-energy principle for calculating deflection)
2 FN ( x) T 2 ( x) M 2 ( x) U dx dx dx l 2 EA( x ) l 2GI ( x ) l 2 EI ( x ) p
材料力学 第十三章能量方法
杆件的应变能在数值上等于变形过程中外力所做的功。 在线弹性范围内，外力由零开始缓慢增加到某一值，将外 力做的功统一写成
V
W
1 2
F
式中 F——广义力；
δ——与广义力对应的位移，即为广义力作用 点且与广义力方向一致的位移。称为广义位移。
6
§13-1 杆件应变能的计算
例题13-1
求图示悬臂梁的应变能V 和自由端的挠度yA。已知梁的抗弯刚度为EI。
拉压
dV
FN2 x 2EAx
dx
V l 2FEN2Axxdx
扭转
T 2x dV 2GIP x dx
弯曲
M 2x dV 2EIx dx
T 2x
V l 2GIP xdx
M 2x
V l 2EIxdx
5
§13-1 杆件应变能的计算
10
应变能不能叠加:
简单说明
A：F1单独作用 B：F2单独作用
1 V1 2 F1l1
V 2
1 2
F2l2
F2
F1
F2
F1
E：同时加F1、 F2
C：先加F1，再加F2
常力F1在 Δl2上作功
V
1 2
F1l1
1 2
F2l2
F1l2
F1
F12l 2EA
F2 2l 2EA
15
F112 F2 21
上式表明第一组力F1在第二组力引起的位移δ12上所做的 功，等于第二组力F2在第一组力引起的位移δ21上所做的功。 这就是功的互等定理 在F1=F2的情况下，由功的互等定理可得
1 2
Fy
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材料力学习题册答案-第13章-能量法
第 十三 章 能 量 法
一、选择题
1．一圆轴在图1所示两种受扭情况下，其
（ A ）。
A 应变能相同，自由端扭转角不同；
B 应变能不同，自由端
扭转角相同；
C 应变能和自由端扭转角均相同；
D 应变能和自由端扭转角均不同。
（图1）
2．图2所示悬臂梁，当单独作用力F 时，截面
B 的转角为θ，若先加力偶M ，后加F ，则在加F 的过程中，力偶M （
C ）。
A 不做功；
B 做正功；
C 做负功，其值为θM ；
D 做负功，其值为θM 2
1 。
3．图2所示悬臂梁，加载次序有下述三种方式：
第一种为F 、M 同时按比例施加；第二种为先加F ，后加M ；第三种为先加M ，后加F 。
在线弹性范围内，它们的变形能应为（ D ）。
a 2M M
a M
A 第一种大；
B 第二种大；
C 第三种大；
D 一样大。
4．图3所示等截面直杆，受一对大小相等，方
向相反的力F 作用。
若已知杆的拉压刚度为EA ，材料的泊松比为μ，则由功的互等定理
可知，该杆的轴向变形为EA Fl
μ，l 为杆件长度。
（提示：在杆的轴向施加另一组拉力F 。
） A 0； B EA
Fb
；
C EA
Fb μ； D 无法确
定。
F M
A
B
C
b
F
F
（图2
）
（图3）
二、计算题
1．图示静定桁架，各杆的拉压刚度均为EA 相
等。
试求节点C 的水平位移。
a
a
P
C
B
A
D
解：解法1-功能原理，因为要求的水平位移与P 力方向一致，所以可以用这种方法。
由静力学知识可简单地求出各杆的内力，如下表所示。
(
)()EA
a
P EA
Pa EA Pa P C 22222212
2
2
2++=∆
可得出：(
)EA
Pa
C
122+=
∆
解法2-卡氏定理或莫尔积分，这两种方法一致了。
在C 点施加水平单位力，则各杆的内力如下表所示。
1
则C 点水平位移为：(
)EA
Pa
C
122+=
∆
2．图示刚架，已知各段的拉压刚度均为EA ，抗
弯刚度均为EI 。
试求A 截面的铅直位移。
C F
h
l
B
A C
B Fl
Fl
C
B l
l
解：采用图乘法，如果不计轴向拉压，在A 点施加单位力，则刚架内力图和单位力图如图所示。
h Fl Fl
l h Fl l l Fl EI A
2
3
3
1
3221+=⋅⋅+⋅⋅=∆ 如果考虑轴力影响，则各杆的内力如下表所示。
EA Fh
dx EA F dx EA N N dx EA N N h h BC BC l
AB AB AN
=--+=+=∆⎰⎰⎰20
2010)1)((0 故A 点总的铅直位移为：
EA
Fh EI h Fl Fl A +
+=∆3323
3．试求图示悬臂梁B 截面的挠度和转角（梁的EI 为已知常数）。
B
C q
l
a
B A
C 2
2
qa B C
l
B C 1
11
解：应用图乘法，在B 点分别加单位力和单位力偶。
它们的内力图如图所示。
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⋅=∆46423132a l qa a l qa a EI B
6
12313
2qa qa a EI B =
⋅⋅=θ
4．图示刚架，已知EI 及EA 。
试用莫尔积分法
或图乘法计算B 截面的垂直位移w B 和转角θB 。
A
a
a
C
A 2
2qa 2
2
qa A A
a
a
1
1
1
1
解：应用图乘法，如果不计轴向拉压，在B 点分别加单位力和单位力偶。
它们的内力图如图所示。
852432314
22qa a a qa a qa a EI B =
⋅⋅+⋅⋅=∆
3
21212313
22qa a qa qa a EI B =
⋅⋅+⋅⋅=θ
如果考虑轴向拉压，解法同第2题，略。
5．如图所示刚架受一对平衡力F 作用，已知各
段的EI 相同且等于常量，试用图乘法求两端A 、B 间的相对转角。
F
a a
B
A
F
Fa
B
A
B
A
Fa
Fa
1
1
1
1
解：应用图乘法，在A 、B 点加一对单位力偶。
它们的内力图如图所示。
2
21212
1
Fa a Fa a Fa EI AB
=⋅⋅+⋅⋅⋅=θ
6．图示刚架，已知各段的抗弯刚度均为EI 。
试
计算B 截面的水平位移和C 截面的转角。
A B
C D
l
l
l P M
A
Pl Pl-M
解：应用图乘法，在B 截面加一水平单位力，在
C 截面加一单位力偶，它们的内力图如图所示。
()2
3
3
1
232213221Ml Pl l l M Pl l l Pl l l Pl EI B
-=⋅⋅-+⋅⋅+⋅⋅=∆ ()()l M Pl l M Pl EI AB -=⋅⋅-=
3
13221
θ。