第六章 多目标最优化方法

对于最小值的目标函数（如前一中所述问 题中的目标函数4和5）可采用乘以-1的办法 化为且最大值的目标函数。
①最优解定义：若x0∈R,对任一个x∈R， 总有F(x)≤F(x0),称此x0为此多目标问题的最优 解。 ②非劣解定义：若x0∈R,且不存在x∈R， 使得F(x) ≥F(x0)，则称x0为此目标问题的非劣 解。 由此可见，所谓非劣解是个允许解（可 行解但却找不到另一个可行解，它至少在一 个目标值上大于它，而在其它目标值上欲等 于它，所谓求解多目标问题往往归结为如何 从非劣解中求一个最优解）
…,gm(x)]T （约束条件）
g(x)=[ g1(x), g2(x),


F(x)=[ f1(x), f2(x), …,fk(x)]T
求多目标最优化问题可记为
（目标函数）
V max F ( x)
பைடு நூலகம்
xR
即在满足约束条件的集合R中找出x，使所 有的目标fi(x)达到最大。这里 R＝{x∣g(x) ≥0}
并把第j个方案xj的劣序数记为
H j aij
iN
jN
（4）根据Ki的 其
大小优选决策次序
Hi Ki m(n 1) i N表明一个方案
的优序数Ki与劣序数Hi成反比，决策方
法是按Ki的大小将所有的方案排序，可 选择一个方案xe使得 K max K
e iN i
6.4.1 其中ui(x)表示第i个指标，它可以是定量的，
也可以是定性的，M＝{1,2,…,m}，
N＝{1,2,…,n}而且要求m≥2，n≥2，为将指标
转化为比较序数aijl （相当于等效系数），则 令
i j i j 1 若ul ( x ) ul ( x )或ul ( x ) ul ( x ) (1) aijl 0.5 若ul ( xi )＝ul ( x j )或ul ( xi ) ul ( x j ) 0 若ul ( xi ) ul ( x j )或ul ( xi ) ul ( x j )
可利用下式找出最大的Eio*综合评价值
（3）
E max{E }
* io
这时得出的Eio*后，与其对应的方案Aio为最优
i S
* i
（4）
方案，也可按照Ei*的大小排序，所有方案Ai 按优先顺序排序列，供决策者选用。
6.4

方案优选及多目标决策
设目标函数为V的 U ( x) (u1 ( x), u2 ( x),..., um ( x)) V－minU(x) x∈X
并把xe排在最前面的第一位，随后，若
第e'个方案xe'满足
Ke ' max Ki

iN \{e}
Ke " max Ki
iN \{e}{e '}
则把xe'排在第2位，以此类推，于是可 把各个方案排成一个优选决策次序，供 决策机构参考，则把xe''排在第3位。
6.4.2
多目标决策的加权优序数法

6.2
多目标最优化的求解方法－多目标决策
经济工作中的多目标决策方法
6.2.1
1.主要目标法 2.目的规划法 3.线性加权求和法 4.费用效果分析法 5.序列最优化方法 同等满意度法
6.2.2
6.3

多目标决策中目标转化的等效系数法
所谓等效系数法，是一种将计量单位或 量纲不统一的目标（指标）值转化为无量纲 的标准形式，使得所有目标值都介于小于等 于1和大于等于-1之间,即[-1,1]之间的实数， 称这些实数为等效系数。其方法如下;在表1 中有n个方案和m个目标，于是可产生n×m个 目标（指标）值Dij，这些Dij必须是大于等于0 的实数。在目标是m个时可采用如下方法求 得n个方案的等效系数Dij'。
Dii*值都比方案 Ai 的
值要小；
* ii
Ai Ai
D D
* ii
（3）Ai等价（相当）于 Ai
，表示第Ai个方案
D D
* ii * ii
中所有的Dii*值都相等； A A i i
（4）Ai和
Ai 的优劣关系不定，表示两个方 案中的Dii*值不能按优劣关系全排列，它们之 间是半序关系，即Ai方案中的某些Dii比方案
针对各目标重要性不同，（上述优 序数法是把所有的目标按同等重要性考 虑的）事实上各目标函数中各目标的重 要性是不相同的，故对指标赋予不同的 权重，令UL(x)有权重位WL, L∈M 要 求： W 0 L M W 1
L LM

L
故可对上述方法作如下修正
令
a aijlWl
' ijl ' aij a 'ijl

i, j N
lM
（ 指标编号）(见表401)
（2）求比较优序数aij
aij aijl
lM
i, j N , i j, aii aij 0
并称aij为方案xi对方案xj在整体目标上 的优序数，aji为劣序数，我们将aij排成矩 阵形式如下 : (见表2 和表402)
（3）求总优序数Ki
表1
fj Dij Pj Ai A1 A2 : Ai : An P1 D11 D21 : Di1 : Dn1 P2 D12 D22 : Di2 : Dn2 P3 D13 D23 : Di3 : Dn3 …Pj… …D1j… …D2j… : …Dij… : …Dnj… Pm-2 D1m-2 D2m-2 : Dim-2 : Dnm-2 Pm-1 D1m-1 D2m-1 : Dim-1 : Dnm-1 Pm D1m D2m : Dim : Dnm f1 f2 f3 …fj… fm-2 fm-1 fm
在方案选择中，出现前三种情况，可很 快找到最优方案，淘汰所有的劣方案，虽然 关系不定的第四种情况很难比较，它的非劣 方案和非劣解不止一个，可将非劣方案的集 合记为 {S}相继作出一个综合比较的目标Ei*
Ai 中的 Dii 值优，有些却劣。
* Ei* Pj Dii j 1
m
i S i方案编号，j指标编号
在获得Dii*基础上进行多目标比较与方案 比较，对任意两种方案Ai和 Ai 必然会出现如 下四种关系：

（1）Ai优于 Ai
，表示第Ai个方案中所有的 * Dii*值都比方案 Ai 的 Dii 值要大；
Ai Ai
* * Dii Dii
（2）Ai劣于
Ai ，表示第Ai个方案中所有的
* Dii

（1）若目标函数fj要求越大越好时，可先 找出该目标中最大的Dij值，即（固定j，变i， 在相应的Dij中找出最大值做DiLj，在fj目标中， 求出最佳方案Ai的值为DiLj。如f3对A2方案为 最佳，某值D23即是DiLj。脚标Lj表示最佳方案 的目标序号。）
DiLj=max{Dii} 1≤i≤n
i N, j N,l M a 'ii a ' jj 0 H ' j a 'ij
iN
K 'i a 'ij
jN
lM
其实这里的K'i和原来aijl存在如下关系：
K ' a 'ij a 'ijl Wl aijl
jN jN lM jN lM
找出该目标中最大的Dii值


DiLj=max{Dii}
1≤i≤n
Dii Dii * , i 1, 2,..., n DiL j
而后按式（2）可求出相应的等效系数Dii*值
(2)
式（2）与式（1）相同，区别仅在于式（2）
中有负号。从式（2）中可见，所有的Dii*是 小于等于0，大于等于-1的实数，即[-1,0]。
(5)
(6)

劳力及机械设备用量最少。
显然目标间存在矛盾，彼长此短，无一 方案全面最优，只能整体最优。 多目标决策的一般数学表达式
6.1.3

设有m个约束条件，k个目标函数， gi(x)≥0, (i=1,2,….m)表示第i个约束条件，用 fj(x)表示第j个目标函数(j=1,2,….k)，并令

第i方案xi的总优序数记为
Ki aij i N
jN
表2
xj xi x1 x2 x3 : : xn Hj
多 目 标 优 序 数 矩 阵
x1 0 a21 a31 : : an1 H1 x2 a12 0 a32 : : an2 H2 x3 a13 a23 0 : : an3 H3 … … … … … … … … xn-1 a1n-1 a2n-1 a3n-1 : : ann-1 Hn-1 xn a1n a2n a3n : an-1n 0 Hn Ki K1 K2 K3 : : Kn T
Wl aijl
lM jN
利用K'i代替方法1中的Ki便可排出对各方
案的优选决策顺序。

用赋权后的优序数总和代替未赋权 的优序数总和指标比较。
三峡施工场外交通的目标（指标） (万
6.4.3
1.交通系统比较工程总投资：U1(x)
元)

表示各单位设计概算投资和完善方 案增补投资的总和。
第六章 多目标最优化方法
6.1 概述 不少经济问题、工程方案、比较问题由 于不可能追求其单一指标的优越而作定论， 往往需要对其优缺点综合评价，将问题归结 为在某些约束条件下求若干目标函数达到整 体最优。
6.1.1
国名经济综合平衡规划模型
1.约束条件为
(1)
产品的生产与分配（销售）平衡方程； 生产能力的限制方程；