01最优化与最优控制(20090217)
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最优控制
最优控制综述摘要：最优化方法是一种求极值的方法，即在一组约束为等式或不等式的条件下，使系统的目标函数达到极值，即最大值或最小值。
从经济意义上说，是在一定的人力、物力和财力资源条件下，使经济效果达到最大（如产值、利润），或者在完成规定的生产或经济任务下，使投入的人力、物力和财力等资源为最少。
而最优控制通常针对控制系统而言，目的在于使一个机组、一台设备或一个生产过程实现局部最优。
本文重点阐述了最优系统常用的变分法、极小值原理和动态规划三种方法的基本理论及其在典型系统设计中的应用。
关键词：变分法、极小值原理、动态规划1 引言最优控制是分析控制系统常用的方法，是现代控制理论的核心之一。
它尤其与航空航天的制导、导航和控制技术密不可分。
最优控制理论所研究的问题可以概括为：对一个受控的动力学系统或运动过程，从一类允许的控制方案中找出一个最优的控制方案，使系统的运动在由某个初始状态转移到指定的目标状态的同时，其性能指标最优。
这类问题广泛存在于技术领域或社会问题中。
例如，确定一个最优控制方式使空间飞行器由一个轨道转换到另一轨道过程中燃料消耗最少，选择一个温度的调节规律和相应的原料配比使化工反应过程的产量最多，制定一项最合理的人口政策使人口发展过程中的老化指数、抚养指数和劳动力指数为最优等，都是一些经典的最优控制问题。
最优控制问题是要在满足约束条件下寻求最优控制函数，使目标泛函取极值。
求解动态最优化问题的方法主要有古典变分法，极小值原理及动态规划法等。
2 研究最优控制的前提条件2.1状态方程对连续时间系统:x t=f x t,u t,t对离散时间系统：x(k+1)=f x k,u k,k k=0,1,……，（N-1）2.2作用域控制矢量u(t)往往不能任意取值，必须受到某些物理限制。
即u（t）要满足某些约束条件在R r中把所有满足上式的点u（t）的集合。
2.3 系统状态的初始条件以及终端条件始端和终端条件却给出了系统状态在系统控制开始和结束时刻的约束条件。
最优控制
四、最优控制在控制领域中的应用
模拟退火算法 1983年,Kirkpatrick与其合作者提出了模拟退火(SA)的方法,它是求解单目标 多变量最优化问题的一项Monte-Caula技术。该法是一种物理过程的人工模 拟,它基于液体结晶或金属的退火过程。液体和金属物体在加热至一定温度 后,它们所有的分子、原子在状态空间D中自由运动。随着温度的下降,这些 分子、原子逐渐停留在不同的状态。当温度降到相当低时,这些分子、原子 则重新以一定的结构排列,形成了一个全部由有序排列的原子构成的晶体结 构。模拟退火法已广泛应用于生产调度、神经网络训练、图像处理等方面。
三、最优控制的研究方法
古典变分法:古典变分法是研究泛函求极值的一种数字方法。古典变分法只能用在控制变量的取值范围不受限制的情况。在许多实际控制问题中,控制函数的取值常常 三、最优控制的研究方法
古典变分法:
古典变分法是研究泛函求极值的一种数字方法。古典变分法只能用在控制 变量的取值范围不受限制的情况。在许多实际控制问题中,控制函数的取 值常常受到封闭性的边界限制,如方向舵只能在2个极限值范围内转动,电动 机的力矩只能在正负的最大值范围内产生等。因此,古典变分法的应用范 围十分有限。
二、最优控制问题的一般性描述
实际上，终端约束规定了状态空间的一个时变或非时变的集合，此满足终 端约束的状态集合称为目标集M，并可表示为：
M {x(t f ) | x(t f ) Rn , N1[ x(t f ), t f ] 0, N2[ x(t f ), t f ] 0}
为简单起见，有时将上式称为目标集。
三、最优控制的研究方法
极小值原理:
极小值原理是对分析力学中古典变分法的推广,能用于处理由于外力源的 限制而使系统的输入（即控制）作用有约束的问题。极小值原理的突出 优点是可用于控制变量受限制的情况,能给出问题中最优控制所必须满足 的条件。如高夯、汪更生、楼红卫等人论述了多种类型的抛物型方程和 退化拟线性、半线性椭圆方程的极小值原理。
最优控制全部PPT课件
J
（x(t f ),t f）
tf t0
F（x(t),u(t),t)dt
为最小。
这就是最优控制问题。
如果问题有解，记为u*(t), t∈ [t0,tf],则u*(t)叫做最优控制（极值控制），相应的轨 线X*(t)称为最优轨线（极值轨线），而性能指标J*=J（u*(·)）则称为最优性能指标。
第11页/共184页
目标质心的位置矢量和速度矢量为： xM xM
F(t)为拦截器的推力
x xL xM v xL xM
则拦截器与目标的相对运动方程为：
x v v a(t) F (t)
m(t)
m F (t) c
其中a(t)是除控制加速度外的固有相对加速度，是已知的。
初始条件为： x(t0 ) x0 v(t0 ) v0 m(t0 ) m0 终端条件为： x(t f ) 0 v(t f )任意 m(t f ) me
至于末态时刻，可以事先规定，也可以是未知的。 有时初态也没有完全给定，这时，初态集合可以类似地用初态约束来表示。
第9页/共184页
3：容许控制 在实际控制问题中，大多数控制量受客观条件的限制，只能在一定范围内取 值，这种限制通常可以用如下不等式约束来表示：
0 u(t) umax 或ui i 1,2p
给定一个线性系统，其平衡状态X(0)=0，设计的目的是保持系统处于平衡状态，即 这个系统应能从任何初始状态返回平衡状态。这种系统称为线性调节器。
线性调节器的性能指标为：
J
tf t0
n
xi 2 (t)dt
i 1
加权后的性能指标为：
J
tf t0
n
qi xi 2 (t)dt
i1
对u(t)有约束的性能指标为： J t f 1 [ X T (t)QX (t) uT (t)Ru(t)]dt
01最优控制第一章_绪论
J (u) m(t f )
（1-10）
为最大。
例1-3 生产计划问题。设 x(t ) 表示商品存货量， r (t ) 0 表示对商品的需求率，是已知函数，u(t ) 表示生产 x(t ) 率，它将由计划人员来选取，故是控制变量。 满足下面的微分方程
(t ) r (t ) u(t ) x
动机推力为 u(t ) ，月球表面的重力加速度为 g ，
设不带燃料的飞船质量为 M ，初始燃料的质量
为 F ，则飞船的运动方程可表示为（参见图1-1）
(t ) (t ) h
(t ) g u (t ) m(t )
（1-6）
(t ) ku(t ) m
式中 k 为比例系数，表 示了推力与燃料消耗率 的关系。
五、本课程主要内容
本课程将介绍求解最优控制问题的常用方法，主要 内容如下：
1、变分法
泛函的介绍，变分的推演，Euler方程，向量 情况，有约束的情况，端点可变的情况等。
2、连续系统最优控制 时间端点固定的情况，有终端函数约 束的情况，终时不指定的情况，考虑 其他几种约束。
3、线性连续系统的二次型调节器 有限时间状态调节器问题，有限时间输出 调节器问题，无限时间状态调节器问题， 无限时间输出调节器问题，使用LQR系统 的稳定裕量，伺服、跟踪与模型跟随。
六、小 结 1、什么叫最优控制
对一个受控的动力学系统或运动过程，从 一类允许的控制方案中找出一个最优的控 制方案，使系统的运动在由某个初始状态 转移到指定的目标状态的同时，其某种性 能指标值为最优。
2、从经典的反馈控制到最优控制
经典反馈控制： 上世纪40-50年代起的炮火控制；SISO，输入输 出描写；低阶传递函数；应无未建模动态；手算， 作图，凭经验；不计控制能耗；模拟器件实现； 军工及民用工业。 最优控制： 上世纪60年代起延伸至今的航空航天；MIMO， 内部描写；低阶状态方程；应无未建模动态；数 字计算机，优化算法；考虑控制能耗；数字器件 实现；航空航天工业。
最优控制
限制 条件 控制装置 初始 状态 控制 作用
性能 最好 受控对象 要求 状态
4.最优控制的性能指标 最优控制的性能指标 在状态空间中， 在状态空间中，要使系统的状态由初始状态 x(t 0 ) 转移到 可以用不同的控制规律来实现。 终端状态 x(t f ),可以用不同的控制规律来实现。为了衡量 可以用不同的控制规律来实现 控制系统在每一种控制规律作用下工作的优劣， 控制系统在每一种控制规律作用下工作的优劣，就需 要用一个性能指标来判断。性能指标的内容与形式， 要用一个性能指标来判断。性能指标的内容与形式， 主要取决于最优控制问题所要完成的任务。 主要取决于最优控制问题所要完成的任务。因此不同
最优控制问题的实质， 最优控制问题的实质，就是确定给定条件下给定系统的 控制规律。致使系统在规定的性能指标（目标函数） 控制规律。致使系统在规定的性能指标（目标函数）下具 有最优值。也就是说， 有最优值。也就是说，最优控制就是要寻找容许的控制作 用（规律）。使动态系统（受控对象）从初始状态转移到 规律）。使动态系统（受控对象） ）。使动态系统 某种要求的终端状态，且保证所规定的性能指标（ 某种要求的终端状态，且保证所规定的性能指标（目标函 数）达到最大（小）值。 达到最大（
静态最优化问题。（参数最优化），如果最优化问题的解 静态最优化问题。（参数最优化），如果最优化问题的解 。（参数最优化）， 随时间的变化而变化，即变量是时间的函数， 随时间的变化而变化，即变量是时间的函数，则称为动态 最优化（最优控制）问题。 最优化（最优控制）问题。解决静态最优化问题采用线性 规划和非线性规划方法。 规划和非线性规划方法。而解决动态最优化问题则采用动 态规划法或最大值原理。 态规划法或最大值原理。 例2：理想振荡器的最快停振问题 ： 组成。 理想振荡器的振荡电路由电感 L 和电容 C 组成。假设从 开始， 时刻 t 0 开始，在振荡电路上加上一个外加电势 e(t ) ，要求 该振荡器能最快停止振荡。 该振荡器能最快停止振荡。 解：根据基尔霍夫第二定律则有： 根据基尔霍夫第二定律则有：
最优控制介绍课件
01
状态方程可以表 示为微分方程或 差分方程的形式
03
02
04
状态方程通常包 括系统的状态变 量、输入变量和 输出变量
状态方程在最优 控制问题中用于 描述系统的动态 特性，为控制器 的设计提供依据
控制方程
状态方程： 描述系统 状态的变 化规律
控制方程： 描述控制 输入与系 统状态的 关系
性能指标 方程：描 述系统的 性能指标
02
状态转移方程： 描述状态之间的
递推关系
03
边界条件：定义 初始状态和终止
状态
04
求解过程：从初 始状态开始，逐 步求解子问题， 直至得到最优解
最优控制理论
01
最优控制理论是研究如何找到最优控制策
略，使得系统在特定条件下达到最优性能。
02
最优控制理论包括动态规划、极大值原
理、变分法等方法。
03
最优控制理论广泛应用于工程、经济、
04
间接法：通过求解最优控制问 题的辅助问题来获得最优控制 策略
06
数值解法优缺点：优点是计算 简单、易于实现；缺点是计算 精度较低、收敛速度较慢
机器人控制
1
机器人运动控 制：通过最优 控制算法，实 现机器人的精 确运动控制
2
机器人路径规 划：通过最优 控制算法，规 划机器人的最 优路径
3
机器人抓取控 制：通过最优 控制算法，实 现机器人的精 确抓取控制
交通控制
STEP1
STEP2
STEP3
STEP4
交通信号灯控制： 根据实时交通状况， 自动调整信号灯时 间，提高道路通行 效率
公共交通调度：根 据客流量、车辆位 置等信息，优化公 交线路和发车频率， 降低乘客等待时间
状态方程可以表 示为微分方程或 差分方程的形式
03
02
04
状态方程通常包 括系统的状态变 量、输入变量和 输出变量
状态方程在最优 控制问题中用于 描述系统的动态 特性，为控制器 的设计提供依据
控制方程
状态方程： 描述系统 状态的变 化规律
控制方程： 描述控制 输入与系 统状态的 关系
性能指标 方程：描 述系统的 性能指标
02
状态转移方程： 描述状态之间的
递推关系
03
边界条件：定义 初始状态和终止
状态
04
求解过程：从初 始状态开始，逐 步求解子问题， 直至得到最优解
最优控制理论
01
最优控制理论是研究如何找到最优控制策
略，使得系统在特定条件下达到最优性能。
02
最优控制理论包括动态规划、极大值原
理、变分法等方法。
03
最优控制理论广泛应用于工程、经济、
04
间接法：通过求解最优控制问 题的辅助问题来获得最优控制 策略
06
数值解法优缺点：优点是计算 简单、易于实现；缺点是计算 精度较低、收敛速度较慢
机器人控制
1
机器人运动控 制：通过最优 控制算法，实 现机器人的精 确运动控制
2
机器人路径规 划：通过最优 控制算法，规 划机器人的最 优路径
3
机器人抓取控 制：通过最优 控制算法，实 现机器人的精 确抓取控制
交通控制
STEP1
STEP2
STEP3
STEP4
交通信号灯控制： 根据实时交通状况， 自动调整信号灯时 间，提高道路通行 效率
公共交通调度：根 据客流量、车辆位 置等信息，优化公 交线路和发车频率， 降低乘客等待时间
最优控制ppt课件
称 J (X ) 在 XX*处有极值(极大值或极小值)。
精品课件
定理(变分预备定理)：设 ( t )
是时间区间
[t0, t1]上连续的n维向量( t函) 数，
的连续n维向量函数(t，0)且(t1)0
有
t1
T
(t)(t)dt
，若
0
t0
是任意
则必有
(t)0,t[t0,t1]
精品课件
4.1.2 欧拉方程
LX,XrX,X
这里，LX,X 是X 的线性泛函，rX,X 是关于 X
的 高阶无穷小，则
JLX,X
称为泛函J[x]的变分。 可知泛函变分就是泛函增量 的线性主部。
精品课件
当一个泛函具有变分时，也称该泛函可微。和函 数的微分一样，泛函的变分可以利用求导的方 法来确定。
定理 设J[x]是线性赋范空间Rn上的连续泛函
返回主目录
精品课件
在动态系统最优控制问题中，性能指标是 一个泛函，性能指标最优即泛函达到极值。解决泛 函极值问题的有力工具是变分法。所以下面就来列 出变分法中的一些主要结果，大部分不加证明，但 读者可对照微分学中的结果来理解。
精品课件
4.1.1 泛函与变分
先来给出下面的一些定义。
1、泛函： 如果对某一类函数X(t)中的每一个函
(1) (L1 L2 ) L1 L2
(2) ( L1L2 ) L2 L1 L1 L2
b
b
(3) a L[ x, x, t]dt a L[ x, x, t]dt
(4) dx d x
dt dt 精品课件
举例：
可见，计算泛函的变分如同计算函数的微分一样。
精品课件
6、泛函的极值：若存在 0 ，对满足的 X X* 一切X，J(X)J(X*)具有同一符号，则
精品课件
定理(变分预备定理)：设 ( t )
是时间区间
[t0, t1]上连续的n维向量( t函) 数，
的连续n维向量函数(t，0)且(t1)0
有
t1
T
(t)(t)dt
，若
0
t0
是任意
则必有
(t)0,t[t0,t1]
精品课件
4.1.2 欧拉方程
LX,XrX,X
这里，LX,X 是X 的线性泛函，rX,X 是关于 X
的 高阶无穷小，则
JLX,X
称为泛函J[x]的变分。 可知泛函变分就是泛函增量 的线性主部。
精品课件
当一个泛函具有变分时，也称该泛函可微。和函 数的微分一样，泛函的变分可以利用求导的方 法来确定。
定理 设J[x]是线性赋范空间Rn上的连续泛函
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精品课件
在动态系统最优控制问题中，性能指标是 一个泛函，性能指标最优即泛函达到极值。解决泛 函极值问题的有力工具是变分法。所以下面就来列 出变分法中的一些主要结果，大部分不加证明，但 读者可对照微分学中的结果来理解。
精品课件
4.1.1 泛函与变分
先来给出下面的一些定义。
1、泛函： 如果对某一类函数X(t)中的每一个函
(1) (L1 L2 ) L1 L2
(2) ( L1L2 ) L2 L1 L1 L2
b
b
(3) a L[ x, x, t]dt a L[ x, x, t]dt
(4) dx d x
dt dt 精品课件
举例：
可见，计算泛函的变分如同计算函数的微分一样。
精品课件
6、泛函的极值：若存在 0 ，对满足的 X X* 一切X，J(X)J(X*)具有同一符号，则
最优控制与最优理论课件1
x
—可以详细的做线性搜索，但是这将非常耗时。 该过程通常需要快速，精确并且简单。 ◊ 尤其是你对所选择的
pk 值不确定
1-11
线性搜索
• 考虑一个简单的问题： F ( x1, x2 ) x1
2 2 x1x2 x2
1 x0 1
0 1 p0 x1 x0 p0 2 1 2
则称点 x* 是函数 F ( x* )的强最小点。 —弱：目标函数在一些方向上保持相同，并且只在其他方向上局部增加。 如果 x 不是一个强最小点，且标量 0 ，存在类似 F ( x* ) F ( x* x) ，对所有的 x * 有 0 x ，则称点 x 是函数 F ( x) 的弱最小点。
̶ 从 x [1.9 2] 处开始，已知全局最小值是 x [1 1] • 拟牛顿法做得很好-在迭代了26次后得到了最优解（调用35次），但是梯度搜索（最速下 降）却做得不好（尽管很接近），调用函数2000次，迭代了550次
1-22
图1.5 算法是如何工作的
1-23
1-24
1-25
Rosenblock with BFGS
* *
，这样才能
充分确保 F ( x* x) F ( x* ) 。 —对于任意的 x
0 ，充分条件是 G( x* ) 0 （PD）。
• 对于强最小值的二阶必要条件是 G( x* ) 0 （PSD），因为在这种情况下展开式中的更高 阶项很重要。例如：
xT G( x* )x 0
在合理的时间内能否保证可以找到一个好的答案--答案是可以，但不是一直能 保证的。
1-27
图1.7：初始环境下函数的一个点的收敛性是如何变化的
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运输问题
• 根据目标的类型，问题分为：线性问题或非线性问题； 单目标或多目标问题。 • 根据约束的类型，问题可分为：二维或三维问题；平 衡问题或非平衡问题。 • 基本的运输问题是线性单目标二维平衡问题。 • 线性运输问题：从不同的供给起点和来源向不同的终 点运送同一种物品，每个端点需要特定数量的物品。 问题是如何分配在每个起点的供给，以便在满足每个 终点需求的条件下，优化某个目标。 • 常用的目标函数是最小全部运输费用、最小全部加权 距离和最大全部利润等。
作业车间调度问题描述
• 例如：单机排序问题——4个工作，P1=8， P2=18，P3=5，P4=15，求总流水时间最小 的顺序。 • 原则：最短时间优先。 • F=4•5+3•8+2•15+18=92=F*
机器调度问题
• • • • 应用领域：机械制造、逻辑、计算机结构等 主要方面：机械配置、工件特征、目标函数 单机和多机调度问题 工件特征包括：工件之间的先后关系、工件下 达时间、工件交货期和工件的优先权等。 • 目标函数包括单目标问题和多目标问题。目标 函数还进一步分为规则度量和非规则度量。例 如非规则性能度量可以随着工件完成时间的减 少而增加。
• • • • 优化理论与方法 优化控制 基础——介绍 提高——讨论
背包问题
• 从多种物品（一般称为项目）中选择几 件物品，装满背包。 • 不同的项目有不同的重量和价值，背包 有最大承重量。 • 背包问题就是要在不超过背包承重量的 前提下，使装入背包的价值最大。 • 阿里巴巴的故事
பைடு நூலகம்
旅行商问题
• 一个商人要找一条通过n个城市的最短巡 回。 • 邮递员的路线
可靠性优化问题
• 可靠性是系统性能的度量。 • 随着系统复杂程度的增加，系统的非可靠性以 费用、费力程度和寿命等方面的问题来表示。 • 系统的可靠性可以定义为：系统在给定的时间 区段和状态下正常工作的概率。 • 研究的领域：可靠性分析、失效建模、可靠性 优化、可靠性增长与建模、可靠性测试、可靠 性数据分析、加速测试及生命周期费用等。 • 优化主要集中于冗余元件的最优分配和比较设 计的最优选择以满足系统的需求。
最优化与最优控制
安徽工业大学电气信息学院 张捍东 2009年2月
主要内容
• • • • • • 工程优化问题 不同优化方法 决策方法与过程 对于问题的求解 进一步的思考 课程内容安排
工程优化问题
• • • • • • • 公开、公平、公正 满意——办人民满意的大学 和谐——和谐社会 榜样——英雄人物、劳动模范 示范——示范工程、示范中心 基地——实验基地 没有最好，只有更好；不怕不识货，就怕货比 货；货比三家不吃亏；便宜没好货，好货不便 宜
作业车间调度问题
• 机器调度问题来源于不同的领域：柔性 制造系统、生产计划、计算机设计、后 勤及通信等。 • 这些问题的共同特性是：没有一个有效 的算法能在多项式时间内求出其最优解。 • 古典的作业车间调度问题是最著名的机 器调度问题之一。
作业车间调度问题描述
• 给定一个工件的集合和一个机器的集合， 每个工件包括多道工序，每道工序需要 在一台给定的机器上非间断地加工某一 段时间；每台机器最多只能加工一道工 序；调度就是把工序分配给机器上的某 个时间段。 • 问题的目标是找到最小时间长度。
工程优化问题
• 选择投资方法（股票、基金、储蓄）、资金额、 组合方式（不要把鸡蛋放在同一个栏子里）等 • 企业转型：关、停、并、转； • 合作方式：独资、合资、承包、租赁 • 新产品的投入计划与策略，产品的生命周期 • 技术改造：引进、吸收、消化、集成、创新
工程优化问题
• 公用事业合作实例：中北巴士、港华燃气、首 创水务 • 马钢一钢厂改造：平改电→平改转 • 马钢的内部结构调整：一钢轧、… • 马钢新区建设 • 马鞍山的东向发展 • 宝钢对于梅山钢铁公司的合并
工程优化问题
• • • • • 研究生招生：综合优化 选拔领导，招收公务员，人才市场 超市的布点、流通的方式、货物摆放 房地产开发 优先发展公共交通事业
若干问题举例
• 组合优化问题：具有有限个可行解的优化问题。 例如如何有效地利用不充足的资源以提高生产 效率。包括车辆路径问题、作业车间调度问题、 网络设计、设备分配与布置等 • 背包问题 • 二次指派问题 • 旅行商问题 • 影片递送问题 • 应用：基本问题求解，复杂问题推广。算法检 验效果。
工程优化问题
• • • • • 问题——发现问题 理解——理解含义 解决——求解方法 解释——合理解释 发现问题、解决问题的能力
工程优化问题
• • • • • • 对于问题的描述（刻画） 目标函数 约束条件 可选方案 系统状态 存在优化的状态、寻找状态、恰当判断、 合理决策
工程优化问题
• • • • • • • • • 选择方案 选择人员 选择技术 选择场地 选择设备 选择时间 选择顺序 协议、契约、合同、承诺、诚信 考虑性能价格比
当前值得关心的问题
• • • • • • • • 金融危机 次贷危机 房地产 市场与政府的作用 救市救什么 医疗改革 优化资源配置——激励、风险、联盟 节能降耗
当前值得关心的问题
• • • • • 公平与效率 就业与升学 继承与创新 学生适应社会 教育改革——结构、规模、质量、效益
课程内容安排
设备布局设计问题
• 在制造等环境中，布局设计是指在确定 的区域内最适宜地安排物理设备，如车 间或者机器。 • 通常设计准则是最小化储运费用等。
优化与控制问题
• • • • • • • • • 优化的方法——经典、现代、智能 检测、通讯与控制的手段、工具、方法 控制理论 控制方法 控制器 执行机构 控制对象 测量的变化：例如传感器的不同 通讯的变化：例如网络连接方式