限时训练1集合与简易逻辑

限时训练(一) 集合与简易逻辑
一、选择题(每小题5分，共40分)
1． (2008年四川卷)设集合U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4}，则∁U (A ∩B )＝( )
A ．{2,3}
B ．{1,4,5}
C ．{4,5}
D ．{1,5} 答案：B
解析：此题重点考察集合的交集，补集的运算；画韦恩氏图，数形结合；
∵A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4}，∴A ∩B ＝{2,3}
又∵U ＝{1,2,3,4,5}，∴∁U (A ∩B )＝{1,4,5}
2． (2010福建龙岩质检)已知集合A ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}，B ＝{y |y ＝(12
)x ，x >1}，则A ∪B ＝( ) A ．{y |0<y <12
} B ．{y |y >0} C ．∅
D ．R 答案：B
解析：因为函数y ＝log 2x 是增函数，函数y ＝(12
)x 是减函数， 所以A ＝(0，＋∞)，B ＝(0，12
)，从而A ∪B ＝{y |y >0}． 3．设全集U ＝R ，A ＝{x ∈N ︱1≤x ≤10}，B ＝{x ∈R ︱x 2＋x －6＝0}，则右图中阴影表示的
集合( )
A ．{2}
B ．{3}
C ．{－3,2}
D ．{－2,3} 答案：A
4． (2010年梧州模拟)若集合A ＝{1，m 2}，集合B ＝{2,4}，则“m ＝2”是“A ∩B ＝{4}”的
( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
答案：A
解析：A ∩B ＝{4}当且仅当m 2＝4，即m ＝±2，而{2}⊆{－2,2}．
5． 定义A ⊗B ＝{z |z ＝xy ＋x y
，x ∈A ，y ∈B }，设A ＝{0,2}，B ＝{1,2}，则A ⊗B 中所有元素和为 ( )
A ．1
B ．3
C ．9
D ．18
答案：C
解析：考查本题对集合概念的理解及表示A ⊗B ＝{z |z ＝xy ＋x y
，x ∈A ，y ∈B }＝{0,4,5}． 6． (2010惠州市第三次调研)设条件p ：a >0；条件q ：a 2＋a ≥0，那么p 是q 的什么条件( )
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充分 且必要条件
D ．非充分非必要条件 答案：A 解析：条件q ：a ≤－1，或a ≥0，明显(0，＋∞)⊆(0，＋∞)∪(－∞，－1)
7． 若命题“p 或q ”是真命题，“p 且q ”是假命题，则 ( )
A ．命题p 和命题q 都是假命题
B ．命题p 和命题q 都是真命题
C ．命题p 和命题“非q ”的真值不同
D ．命题p 和命题q 的真值不同
答案：D
8． 设M ，P 是两个非空集合，定义M 与P 的差集为M －P ＝{x |x ∈M 且x ∉P }，则M －(M
－P )等于 ( )
A ．P
B ．M ∩P
C ．M ∪P
D ．M 答案：B
二、填空题(每小题5分，共30分)
9． 若集合A ＝{x | |x －1|>2}，U ＝R ，则∁U A ＝__________.
答案：{x |－1≤x ≤3}
10．(2010年济南市高三模拟)若全集U ＝R ，集合M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{x |x 2－3x ≤0}，
则M ∩(∁U N )＝________.
答案：{x |－2≤x <0}
解析：根据已知得M ∩∁U N ){x |－2≤x ≤2}∩{x |x <0或x >3}＝{x |－2≤x <0}．
11．(2010年苏、锡、常、镇四市调查)已知集合A ＝{x |x >5}，集合B ＝{x |x >a }，若命题“x
∈A ”是命题“x ∈B ”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．
答案：a <5
解析：命题“x ∈A ”是命题“x ∈B ”的充分不必要条件，∴A B ，∴a <5.
12．定义集合A *B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，若A ＝{1,3,5,7}，B ＝{2,3,5}，则A *B 的子集个数为
______．
答案：4
13．命题：若a ≥b ，则a 3≥b 3的逆命题是____________．
答案：若a 3≥b 3，则a ≥b
14．若集合M ＝{(x ，y )|y ＝16－x 2}，N ＝{(x ，y )|y ＝x ＋a }，若M ∩N ＝∅，则实数a 的取值
范围是________________．
答案：(－∞，－42)∪(42，＋∞)
三、解答题(4小题，共50分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15．(12分)若集合A ＝{x |log a (x 2－x －2)>2，a >0且a ≠1}．
(1)若a ＝2，求集合A ；
(2)若94
∈A ，求a 的取值范围． 解析：(1)若a ＝2，log 2(x 2－x －2)>2，则x 2－x －2>4，
x 2－x －6>0，(x －3)(x ＋2)>0，得x <－2或x >3
所以A ＝{x |x <－2或x >3}
(2)因为94∈A ，所以log a [(94)2－94
－2]>2 log a 1316>2，因为log a 1316
>2>0， 所以0<a <1且1316<a 2，134
<a <1 ∴a 的取值范围为(134
，1) 16．(12分)(2010年浙江嘉兴质检)已知集合A ＝{x |x >1}，集合B ＝{x |m ≤x ≤m ＋3}．
(1)当m ＝－1时，求A ∩B ，A ∪B ；
(2)若B ⊆A ，求m 的取值范围．
解析：(1)当m ＝－1时，B ＝{x |－1≤x ≤2}，
∴A ∩B ＝{x |1<x ≤2}，A ∪B ＝{x |x ≥－1}．
(2)若B ⊆A ，则m >1，即m 的取值范围为(1，＋∞)
17．(12分)已知集合A ＝{a 1，a 2，a 3，…，a k }(k ≥2)其中a i ∈Z (i ＝1,2，…，k )，由A 中的元
素构成两个相应的集合S ＝{(a ，b )|a ∈A ，b ∈A ，a ＋b ∈A }，T ＝{(a ，b )|a ∈A ，b ∈A ，a －b ∈A }，其中(a ，b )是有序实数对，集合S 和T 的元素个数分别为m ，n .若对于任意的a ∈A ，总有－a ∉A ，则称集合A 具有性质P .
(1)检验集合{0,1,2,3}与{－1,2,3}是否具有性质P ，并对其中具有性质P 的集合写出相应的集合S 和T ；
(2)对任何具有性质P 的集合A ，证明：n ≤k (k －1)2
； (3)判断m 和n 的大小关系，并证明你的结论．
(1)解析：集合{0,1,2,3}不具有性质P ，{－1,2,3}具有性质P ，其相应的集合S 和T 是S ＝{(－1,3)，(3，－1)}，T ＝{(2，－1)，(2,3)}；
(2)证明：首先由A 中的元素构成的有序实数对共有k 2个，因为0∈A ，(a i ，a i )∈T (i ＝1,2，…，k )，又因为当a ∈A 时，－a ∉A ，
所以当(a i ，a i )∈T 时，(a i ，a i )∉T (i ＝1,2，…，k )，于是集合T 中的元素的个数最多为n
＝12(k 2－k )＝12k (k －1)，即n ≤k (k －1)2
. (3)解析 ：m ＝n ，证明如下：
①对于(a ，b )∈S ，根据定义a ∈A ，b ∈A ，
则a ＋b ∈A ，从而(a ＋b ，b )∈T
如果(a ，b )与(c ，d )是S 中的不同元素，那么a ＝c 与b ＝d 中至少有一个不成立，于是a ＋b ＝c ＋d 与b ＝d 中至少有一个不成立，故(a ＋b ，b )与(c ＋d ，d )也是T 中的不同元素．可见S 中的元素个数不多于T 中的元素个数，即m ≤n ；
②对于(a ，b )∈T ，根据定义a ∈A ，b ∈A ，
则a －b ∈A ，从而(a －b ，b )∈S
如果(a ，b )与(c ，d )是T 中的不同元素，那么a ＝c 与b ＝d 中至少有一个不成立，于是a －b ＝c －d 与b ＝d 中至少有一个不成立，故(a －b ，b )与(c －d ，d )也是S 中的不同元素．可见T 中的元素个数不多于S 中的元素个数，即n ≤m .由①②可知m ＝n .
18．(14分)集合A ＝{x |x 2－ax ＋a 2－19＝0}，B ＝{x |log 2(x 2－5x ＋8)＝1}，
C ＝{x |x 2＋2x －8＝0}，求a 的值使A ∩B ∅，且A ∩C ＝∅同时成立．
解析：log 2(x 2－5x ＋8)＝1，由此得x 2－5x ＋8＝2，
∴B ＝{2,3}由x 2＋2x －8＝0得x ＝2或－4
∴C ＝{2，－4}，又A ∩C ＝∅，
∴2和－4都不是关于x 的方程x 2－ax ＋a 2－19＝0的解，
而A ∩B ∅，即A ∩B ≠∅，
∴3是关于x 的方程x 2－ax ＋a 2－19＝0的解，
∴可得a ＝5或a ＝－2
当a ＝5时，得A ＝{2,3}，∴A ∩C ＝{2}，
这与A ∩C ＝∅不符合，所以a ＝5舍去；
当a ＝－2时，可以求得A ＝{3，－5}，
符合A ∩C ＝∅，A ∩B ∅，∴a ＝－2。