叠加法绘制弯矩图
梁的剪力和弯矩剪力图和弯矩图
2、计算1-1 截面旳内力 FA
3、计算2-2 截面旳内力
M2
F=8kN
FS1
M1 FS1 FA F 7kN M1 FA 2 F (2 1.5) 26kN m
q=12kN/m
FS2
FB
FS2 q 1.5 FB 11kN
M2
FB
1.5 q 1.5 1.5 2
30kN m
2
1
例题
求下图所示简支梁1-1与2-2截面旳剪力和弯矩。
F=8kN
q=12kN/m
A 2m
FA 1.5m
1 1 1.5m
2
B
2
1.5m
3m
FB
解： 1、求支反力
3 M B 0 FA 6 F 4.5 q 3 2 0 FA 15kN
Fy 0 FA FB F q 3 0 FB 29kN
梁任意横截面上旳剪力，等于作用在该截面左边 （或右边）梁上全部横向外力旳代数和。截面左 边向上旳外力(右边向下旳外力)使截面产生正旳 剪力，反之相反。【左上右下为正，反之为负】 梁任意横截面上旳弯矩，等于作用在该截面左 边（或右边）全部外力（涉及外力偶）对该截面 形心之矩旳代数和。截面左边（或右边）向上旳 外力使截面产生正弯矩，反之相反。【左顺右逆 为正，反之为负】
一、梁平面弯曲旳概念
1、平面弯曲旳概念
弯曲变形：作用于杆件上旳外力垂直于杆件旳轴线，使 杆旳轴线由直线变为曲线。
平面弯曲：梁旳外载荷都作用在纵向对称面内时，则梁旳轴 线在纵向对称面内弯曲成一条平面曲线。
q F
Me 纵 向
对称面
B
A
x
y FAy
FBy
以弯曲变形为主旳直杆称为直梁，简称梁。 平面弯曲是弯曲变形旳一种特殊形式。
建筑力学中应用叠加法绘制弯矩图的新探讨
建筑力学中应用叠加法绘制弯矩图的新探讨作者：程晶晶来源：《科技资讯》2023年第16期关键词：建筑力学叠加法矩图探讨中图分类号： G64 文献标识码： A 文章编号： 1672-3791（2023）16-0150-04力学的概念起源于古人对自然现象的观察、在自然界生产活动过程中总结的经验。
16—17 世纪，力学开始发展成为一门相对独立、系统的自然科学门类。
建筑力学是建筑行业的基础课程，它旨在帮助学生们更好地理解建筑结构的客观特征，并掌握结构构件的受力特性，从而为建筑设计和施工提供坚实的基础。
通过应用叠加原理，我们可以使用一种全面的、多维度的分析和综合方法。
通过叠加原理，当结构构件处于弹性范围内，受到多种荷载的共同影响，其反应将会以线性方式发展，也就是说，每种荷载的影响都会相当于它们单独施加的力的总和。
在分析问题和解决问题上，是把复杂的研究问题，分解为若干个简单问题，在分析的基础上分别解决各个简单问题，然后将各个简单问题统一到复杂的研究问题上来，使复杂问题得到解决。
叠加法是一种将建筑物的力学和结构紧密联系起来的方法。
1 相关概念概述弯矩图描绘了杆件在不同截面上的弯曲变形情况。
曲线可以被广泛理解，从简单的直线到复杂的曲线，甚至可以被称为普遍的曲线。
弯矩图可以用来描述结构物的弯曲力，它们通常出现在受力部位，不需要标注正负值。
1.1 弯矩图的特征绘制弯矩图时，有两个关键步骤：首先，要准确描绘出曲线的形状，即确定弯矩图的特征；其次，要确定曲线的位置，即在已知曲线的形状和大小的基础上，确定平面曲线的位置，这就要求先确定曲线上任意两点的位置，这两点的位置就是指某两个截面处的弯矩值[1]。
可见，弯矩曲线的绘制过程主要是进行如下两个步骤：（1）确定图形特征和特征值；（2）可以得出某两个截面上的弯矩值。
1.2 绘制方式首先，根据单跨梁的特性和规律，绘制出附属部分的弯矩图，然后再将其延伸至基本部分，以获得更准确的结果。
区段叠加法作弯矩图
1、掌握叠加原理； 2、会用叠加法作弯矩图； 3、会用区段叠加法作弯矩图
重 点
1、叠加法绘制弯矩图 2、区段叠加法绘制弯矩图。
难 点
区段叠加法绘制弯矩图
叠加原理： 几个载荷共同作用的效果，等于各个载荷单独作用效果之和 “效果”——指载荷引起的反力、内力、应力或变形 “之和”——代数和 叠加原理成立的前提条件：小变形条件
+
1 Fl 8
+
1 Fl 4
6kN 6kN
A
2kN m
B
2kN m
D
C
2m
2m
4
2m
2m
2m
2m
+
+
4
6
4
-
MA A
q
MB B
l A
q
B A
MA
MB B
l
l
+
MA 1/8qL2
+
MB 1/8qL2 MA
+
MB
区段叠加法——用叠加法作某一段梁弯矩图的方法 原理
任意段梁都可以当作简支梁,并可以利用叠加法来作该段梁 的弯矩图
M x M1 x M 2 x
qx2 M x Fx 2
q
B
A F
X
l
叠加法——用叠加原理绘制弯矩图的方法
叠加时，易先画直线形的弯矩图，再叠加曲线形或折线形 的弯矩图 由于剪力图比较好画，重点介绍用叠加法画弯矩图
步骤：
1. 荷载分解 2. 作分解荷载的弯矩图
3. 叠加作荷载共同作用下 的弯矩图
注意：
弯矩图的叠加， 不是两个图形的简单叠加， 而是对应点处纵坐标的相加。
结构力学 叠加法
2．6叠加法作弯矩图当梁在荷载作用下变形微小，因而在求梁的支反力、剪力、弯矩时可直接代入梁的原始尺寸进行计算，且所得结果与梁上荷载成正比。
在这种情况下，当梁上有几项荷载作用时，由每一项荷载所引起的梁的支反力或内力，将不受其他荷载的影响。
所以在计算梁的某截面上的弯矩时，只需先分别算出各项荷载单独作用时在该截面上引起的弯矩，然后求它们的代数和即得到该截面上的总弯矩。
这种由几个外力共同作用引起的某一参数(内力、位移等)等于每一外力单独作用时引起的该参数值的代数和的方法，称为叠加法。
叠加法的应用很广，它的应用条件是：需要计算的物理量(如支反力、内力以及以后要讨论的应力和变形等)必须是荷载的线性齐次式。
也就是说，该物理量的荷载表达式中既不包含荷载的一次方以上的项，也不包含荷载的零次项。
例题2-9试按叠加原理做例题2-9图(a)所示简支梁的弯矩图。
求梁的极值弯矩和最大弯矩。
解：先将梁上每一项荷载分开(见图(b)、图(c))，分别做出力偶和均布荷载单独作用的弯矩图(见图(d)、图(e))两图的纵坐标具有不同的正负号，在叠加时可把它们画在x 轴同一侧(见图f)。
于是两图共有部分，其正、负纵坐标值互相抵消。
剩下的纵距(见图(f)中阴影线部分)即代表叠加后的弯矩值。
叠加后的弯矩图仍为抛物线。
如将它改画为以水平直线为基线的图，即得通常形式的弯矩图(见图(曲)。
求极值弯矩时，先要确定剪力为零的截面位置。
由平衡方程0Bm =∑可求得支反,剪力方程为Q 即可求出极值弯矩所在截面的位置。
令()0x极值弯矩为由例题2-9图（g)可见，全梁最大弯矩为本例中的极值弯矩并不大于梁的最大值弯矩。
当梁上的荷载较复杂时，也可将梁按荷载情况分段，求出每一段梁两端截面的内力。
这时该段梁的受载情况等效于一受相同荷载的简支梁 (见图2-12(a)、(b))。
因为每一段梁在平面弯曲时的内力，不外是轴力N、剪力Q和弯矩M。
由于轴力N不产生弯矩，故在作弯矩图时可将它略去，剩下的梁端剪力1Q，2Q和梁端弯矩1M、2M，及荷载对梁段的作用，可用图2-12(b)所示的简支梁上相应的荷载来代替(梁段端截面上的剪力可由梁的支反力提供，故图中未画出)。
材料力学结构力学弯矩图
qL
(47)
B、A处无水平支反力，直接 作M图
q=20kN/m
25kN.m
25kN.m q
65kN.m 50kN 50kN
L
25kN.m 25kN.m
0.5m
0.5m
2m
(48)
B、A处无水平支反力，AC、 DB无弯曲变形，EC、ED也 无弯曲变形
P
E
L
C N=P/2
D
L
1.5L
4m
2qL2
2qL2
注：P力通过点弯矩为0
第8页/共72页
aa
用“局部悬臂梁法”直接作M图：
P
P
P
Pa
P
2Pa
A Pa
a Ba
a
a
(23)
注：AB段弯矩(2为3)常数。
(33)
2L 2L
LL
用“局部悬臂梁法”直接作M图：
P P
PL PL
3PL
L
L
L
L
((2344))
(24)
2PL 2PL
P P
qa
qa
第9页/共72页
L
L
L
q
2qL2
2qL2
A
L
(50)
(60)
P
利用反对称性，直接作M图
105
105
N=P/2
无弯矩 105 105
L
L
P (51)
P
2
2
(61)
第22页/共72页
a
先计算A或B处支反力，再作M图
B
Pa 2 P Pa 2
A
2a
((6522))
a
(土建施工)教学设计8-5-2区段叠加法绘制梁的弯矩图
8-5-2 区段叠加法绘制梁的弯矩图
一、教学目标
知识目标：
1.掌握分区段叠加法的适用情况及原理；
2.掌握分区段叠加法绘制梁的弯矩图的步骤。
能力目标：
会熟练运用分区段叠加法绘制梁的内力图。
二、教学重难点
重点：分区段叠加法绘制梁的弯矩图的步骤。
难点：分区段叠加法绘制多个荷载作用下的弯矩图。
三、教学方法
采纳线上线下混合式教学法、小组讨论法、案例分析等方法。
四、教学实施
课前：教师利用云课堂APP安排任务，学生在课前复习分荷载叠加法绘制弯矩图的步骤及思路。
课中：首先，创设情境，提出问题：“分荷载叠加法绘制两个以上荷载作用下的弯矩图是否方便？〞，引入新课。
接着，启发式讲授分区段叠加法的原理及适用情况，即梁上某段作用有均布荷载和集中力。
然后，通过例题掌握分区段叠加法绘制梁的弯矩图的步骤和方法。
最后小组合作，通过练习稳固分区段叠加法。
课后：教师通过云课堂APP安排本节课作业，并公布下节课的预习任务，教师对作业进行批改，并及时进行反应。
五、教学小结
学生通过云课堂APP进行本次课程学习效果的评价；教师总结课程内容，并进行下次课程任务安排。
叠加法绘制弯矩图-PPT
AX l
B
F
叠加法——用叠加原理绘制弯矩图的方法
叠加时，易先画直线形的弯矩图，再叠加曲线形或折线形 的弯矩图
由于剪力图比较好画，重点介绍用叠加法画弯矩图
步骤： 注意：
1. 荷载分解 2. 作分解荷载的弯矩图
3. 叠加作荷载共同作用下 的弯矩图
弯矩图的叠加， 不是两个图形的简单叠加， 而是对应点处纵坐标的相加。
叠加法绘制弯矩图
重点
1、叠加法绘制弯矩图 2、区段叠加法绘制弯矩图。
难点
区段叠加法绘制弯矩图
叠加原理：
几个载荷共同作用的效果，等于各个载荷单独作用效果之和
“效果”——指载荷引起的反力、内力、应力或变形
“之和”——代数和
叠加原理成立的前提条件：小变形条件
q
MxFxqx2
2
M x M 1 x M 2 x
kN
190 160
kNm
210 280
340
4
-
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
MA A
MA
q
MB
B
lபைடு நூலகம்
q
A
l
+
+
MB
1/8qL2
1/8qL2
MA BA
l
+
MA
MB B
MB
区段叠加法——用叠加法作某一段梁弯矩图的方法 原理
任意段梁都可以当作简支梁,并可以利用叠加法来作该段梁 的弯矩图
梁分一段： A端截面弯矩：M=MA B端截面弯矩：M=MB
各控制面弯矩分别为：
MA=-12KN MD=8KN MB=-4KN
6KN q=2KN/m
叠加法在绘制弯矩图中的应用
叠加法在绘制弯矩图中的应用作者：詹景元石煜威朱芳振来源：《建材发展导向》2015年第03期摘要：弯矩图是结构力学最为重要和基础的知识点，是后续变形和位移计算的关键内容。
但是现在的大部分教材对于弯矩图的绘制技巧和一些特殊情况的处理方法的介绍并不是很多，只是通过几道例题去将弯矩图的画法展现出来，让学生自己去理解，这便使得不少学生对于弯矩图的绘制感到无从下手。
文章通过对书本上例题的理解分析，总结出叠加法运用在绘制弯矩图中的一些简单的基本理念和分析方法。
关键词：弯矩图；叠加法；静定结构1 叠加法的介绍1.1 叠加法的前提条件材料力学讨论的杆件均满足几个基本假设，其中，小变形假设是指构件在承受荷载作用时，所产生的变形和构件的原始尺寸相比非常微小。
由于变形量微小，我们在研究杆件的支反力、内力、应力、变形等问题时都可以用构件的原始尺寸和形状进行计算，不必考虑构件受荷变形后尺寸变化给计算带来的影响。
同时，采用构件的原始尺寸进行计算所得的支反力、内力、应力、变形均与梁上的荷载保持线性关系。
1.2 叠加法的使用条件叠加法的理论依据就是叠加原理，它不仅可以用来梁的位移，也可用来计算梁的支反力、内力和应力；它不仅可用于梁，也可用于拉（压）杆和其他结构。
一般来说，当构件或结构上同时作用几个荷载时，如果各荷载产生的效果（应力、反力、内力和位移等）互不影响（或影响甚小可忽略不计），则它们所产生的总效果即等于各荷载单独作用时所产生的效果总和（或为代数和，或为矢量和，由所求的物理量的性质而定）。
在土木工程实践中，一般的梁工作时变形很小，由梁上荷载产生的剪力和弯矩与荷载呈线性关系，并且其跨长的改变可以略去不计。
因此当梁上同时受到几个载荷作用时，由每一个载荷所引起的梁的内力将不受其他载荷的影响，满足叠加原理的条件，即可用叠加法来计算梁的内力（包括剪力、弯矩等）。
1.3 叠加法的使用准备梁的内力采用叠加法来求解时，必须要对简单梁承受单个基本荷载时的内力分布比较熟悉，这样叠加计算才会比较简单便捷。
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L
3
30
ql2 40 16 80 KN m
8
8
130
40kN m
40kN
BF
310kN
4m
2m
120
40
kN
190 160
kNm
210 280
340
C
B
FA 10kN
1m 2m
2m
7
3
x 1.56 2
3
2
2.44 2
E FB 2kN 1m
kN
kNm
20kN
20kN
qP
2m
2m
2m
q=50kN/m P=100kN
275kN
125kN
80kN m 160kN
C A
DE 130kN
1m 1m 2m
130
Fab 1601 2 107
1
4
支座反力RA=15KN RB=11KN
梁分CA、AD、DB BF段。
各控制面弯矩分别为：
MA=-12KN MD=8KN MB=-4KN
6KN q=2KN/m
C 2m
A 4m
RA
12
8KN q=2KN/m
D
E
2m 2m
BF 2m
RB
4
8
10
作图示梁的内力图
3kN 4.5kN m
2kN m
D
A
叠加法作弯矩图
教学目的：
1、掌握叠加原理； 2、会用叠加法作弯矩图； 3、会用区段叠加法作弯矩图
重点
1、叠加法绘制弯矩图 2、区段叠加法绘制弯矩图。
难点
区段叠加法绘制弯矩图
叠加原理：
几个载荷共同作用的效果，等于各个载荷单独作用效果之和
“效果”——指载荷引起的反力、内力、应力或变形
“之和”——代数和
叠加原理成立的前提条件：小变形条件
q
M x Fx qx2
2
Mx M1x M2x
AX l
B
F
叠加法——用叠加原理绘制弯矩图的方法
叠加时，易先画直线形的弯矩图，再叠加曲线形或折线形 的弯矩图
由于剪力图比较好画，重点介绍用叠加法画弯矩图
步骤： 注意：
1. 荷载分解 2. 作分解荷载的弯矩图
3. 叠加作荷载共同作用下 的弯矩图
弯矩图的叠加， 不是两个图形的简单叠加， 而是对应点处纵坐标的相加。
叠加法作弯矩图
F
q
F
q
A
BA
＋
B
A
B
l
l
l
1/2qL2+FL
1/2qL2
FL
F A
m 1 Fl
4A
F
C
B
B
l2 l2
1 Fl 4
-
+ 1 Fl 8
l2 l2
+
1 Fl 4
A C
m 1 Fl 4 C
梁分一段： A端截面弯矩：M=MA B端截面弯矩：M=MB
MA A
A
MA
q
MB
B
l
B
MB
1/8qL2
梁分两段：AB段和BD段。 AB段A端弯矩MAB=0， B端弯矩MBA=-4KN•m BD段B端弯矩MBD=-4KN•m D端弯矩MDB=0
6kN 2kN mACBD2m 2m 2m
4 B 2
A
D
l
1 Fl
-4
6kN
6kN 2kN m
AC
B
D
2m 2m 2m
4
+
-
6
+
4
2kN m
2m 2m 2m
4
-
MA A
MA
q
MB
B
l
q
A
l
+
+
MB
1/8qL2
1/8qL2
MA BA
l
+
MA
MB B
MB
区段叠加法——用叠加法作某一段梁弯矩图的方法 原理
任意段梁都可以当作简支梁,并可以利用叠加法来作该段梁 的弯矩图