平新乔《微观经济学十八讲》课后习题详解(第11讲 广延型博弈与反向归纳策略)

平新乔《微观经济学十八讲》第11讲广延型博弈与反向归纳策略

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1．考虑图11-1所示的房地产开发博弈的广延型表述：

（1）写出这个博弈的策略式表述。

（2）求出纯策略纳什均衡。

（3）求出子博弈完美纳什均衡。

图11-1 房地产开发商之间的博弈

解：（1）开发商A的策略为：①开发，②不开发。

开发商B的策略为：

①无论A怎样选择，B都会选择开发；用（开发，开发）表示。

②当A选择开发时，B选择开发；当A选择不开发时，B选择不开发；用（开发，不开发）表示。

③当A选择开发时，B选择不开发；当A选择不开发时，B选择开发；用（不开发，开发）表示。

④无论A怎样选择，B都会选择不开发；用（不开发，不开发）表示。

房地产开发博弈的策略式表述如表11-1所示：

表11-1 房地产开发商之间的博弈

（2）对于任意的参与人，给定对手的策略，在他的最优策略对应的支付下面画一条横线。对均衡的策略组合而言，相应的数字栏中有两条下划线，所以本题共有三个纯策略纳什均衡（如表11-1所示），它们分别为：

①｛不开发，（开发，开发）｝；②｛开发，（不开发，开发）｝；③｛开发，（不开发，不开发）｝。

（3）利用反向归纳法可知，子博弈完美的纳什均衡为｛开发，（不开发，开发）｝。

2．你是一个相同产品的双寡头厂商之一，你和你的竞争者生产的边际成本都是零。而市场的需求函数是：

30p Q =-

（1）假设你们只有一次博弈，而且必须同时宣布产量，你会选择生产多少？你期望的利润为多少？为什么？

（2）若你必须先宣布你的产量，你会生产多少？你认为你的竞争者会生产多少？你预计你的利润是多少？先宣布是一种优势还是劣势？为了得到先宣布或后宣布的选择权，你愿意付出多少？

（3）现在假设你正和同一个对手进行十次系列博弈中的第一次，每次都同时宣布产量。你想要十次利润的总和（不考虑贴现）最大化，在第一次你将生产多少？你期望第十次生产多少？第九次呢？为什么？

解：（1）由于只有一次博弈，所以这里的产量为古诺解。由已知可得厂商1的利润函数为：

()()21111121213030pQ C Q Q Q Q Q Q π=-=--=-+- 利润最大化的一阶条件为1121

2300Q Q Q π?=-+-=?，可得厂商1的反应函数为： 12150.5Q Q =- ①

同理得到厂商2的反应函数为：

21150.5Q Q =- ②

联立①、②两式，解得110Q =，210Q =。

从而市场价格和厂商各自的利润为：10p =；1100π=，2100π=。

（2）这是一个斯塔克博格模型。在这个模型中，市场的领导者会根据竞争对手的反应函数（由第﹙1﹚问可知）来确定自己的最优产量，此时厂商1的利润函数为：

211111130300.5152Q Q Q Q Q π-??=--=-+ ???

利润最大化的一阶条件为：111

150Q Q π?=-=?，解得115Q =。 从而可得：27.5Q =；7.5p =；1112.5π=；256.25π=。

由以上的计算可知，先宣布产量是一种优势，为了得到先宣布产量的选择权，领导者愿意付出的代价应不大于两种情况下的利润差，即112.510012.5-=。

（3）当两企业进行有限次的博弈时，按照古诺模型确定的产量是各自的最优选择，所以在每次博弈中，两个企业的产量都为10。这是因为两企业为了实现利润最大的最优选择原本应是按照联合定价的卡特尔模型行事，但在第十次生产时，双方都知道这是最后一次博弈，为实现自身的利润最大，都会选择背叛，即实行先宣布产量的战略，从而使得市场的最后均衡为古诺均衡，而第九次博弈时，既然双方都知道在第十次博弈时，对方一定会背叛自己，那就没有理由在第九次博弈中合作，而市场的最终结果还是古诺均衡。依次类推，可知古诺产量是每一次博弈的均衡解。

3．考虑下列三个广延型博弈（如图11-2），哪一个博弈有多重反向归纳策略？

图11-2 广延型博弈的树形图

答：（1）有多重反向归纳策略。分析如下：这个动态博弈的子博弈完美的纳什均衡为：①(){},,L L L "'；②(){},,R R R "'；③(){},,L R R "'（相应的均衡路径如图11-3中①L ；②

R R R -'-"；③L 所示）

。

图11-3 博弈的均衡路径

（2）只有单重的反向归纳策略。分析如下：当1选择L 后，2有两种选择：（L '，R '），对应的支付为()(){}0,4,5,1。此时2肯定会选择L '使自己得到数量为4的支付，从而1只能得到数量为零的支付。这对于1来说是不合意的，不如选择T 得到的支付多。同理，如果1选择R ，2也有两种选择：（L '，R '），对应的支付为()(){}1,2,3,1。2肯定会选择L '，使得自己得到数量为2的支付，此时1只能得到数量为1的支付，这还是比1选择T 的支付少。所以均衡的结果为1选择T ，然后博弈就此结束。如图11-4所示：

图11-4 利用反向归纳法得到均衡的结果

（3）有多重的反向归纳策略。分析如下：如果2选择L ，那么1肯定会选择L '，因为这样可以使他比选择R '获得更多的支付，此时2得到数量为1的支付；同样的原因，当2选择R 时，1肯定会选择R '，这样，2得到的支付仍然为1；可见2选择L 和R 对他是没有

区别的，并且得到的支付都比他选择T 所得到的支付（2选择T 只能得到数量为0的支付）多，所以均衡的结果是2选择L 或R 。如图11-5所示。

图11-5 利用反向归纳法得到均衡的结果

4．请将图11-6所示的广延型博弈转化为策略型博弈，并求纳什均衡。

图11-6 广延型博弈

解：策略型博弈的支付矩阵如表11-2所示。

表11-2 策略型博弈的支付矩阵

（1）纯策略纳什均衡为：（L ，l ）和（R ，r ）。

（2）混合策略就是一个概率分布，表明参与人实行每个纯策略的概率。比如在本题中，设参与人1实行L 和R 的概率分别为p 和1p -，那么此人的混合策略就是()1,1p p σ-，类似的参与人2的混合策略就是()2,1q q σ-。下面求解混合策略均衡，设游戏者1、2选L 、l 的概率分别为p 、q ，则均衡时，游戏者1选择L 和R 可以获得相同的期望收益，即：

()31q q =- 解得34q =。同理可得14p =。所以()12,σσ为此博弈的混合策略纳什均衡，其中11344σ??= ???，，23144σ??

= ???

，。

5．两家电视台竞争周末黄金时段晚8点到10点的收视率，可选择把较好的节目放在

前面还是后面。它们决策的不同组合导致收视率如表11-3所示（每个数字栏中，前一个数字表示电视台2的收益，后一个数字表示电视台1的收益）。

表11-3 电视台竞争收视率的博弈

（1）如果两家是同时决策，有纳什均衡吗？

（2）如果双方采用规避风险的策略，均衡的结果是什么？

（3）如果电视台1先选择，结果有什么？若电视台2先选择呢？

（4）如果两家谈判合作，电视台1许诺将好节目放在前面，这许诺可信吗？结果可能是什么？

解：（1）如果两家同时决策，存在纳什均衡，均衡策略组合为：电视台1选择在后面播放，电视台2选择在前面播放，即（后面，前面）。

（2）风险回避的策略也就是最大最小策略。

当电视台2选择前面时，它获得的最小收益为()min 18,2318=。

当电视台2选择后面时，它获得的最小收益为()min 4,164=。

那么电视台2的最大最小策略就是()(){}max min 18,23,min 4,1618=，即电视台2会选择前面；同理可以知道电视台1也会选择前面。所以均衡策略为：（前面，前面），其收益为（18，

18）。

（3）如果电视台1先选择，那么利用反向归纳法，可知电视台1和2的选择分别为：（后面，前面）。如图11-7所示。

图11-7 电视台1先决策的动态博弈

如果电视台2先选择，结果同1先选择的情况，如图11-8所示。

图11-8 电视台2先决策的动态博弈

（4）电视台1将好节目放在前面的许诺不可信。这是因为对电视台2而言，“前”是其占优策略，所以在电视台1确定电视台2会选择“前面”时，电视台1只会选择“后面”来最大化它的收益。

6．两个厂商（A与B）考虑健康雪茄的竞争品牌。厂商报酬如表11-4所示（A的利润首先给定）。

表11-4 生产雪茄的厂商之间的博弈

（1）这个对策有纳什均衡吗？

（2）这个对策对于厂商A或者厂商B有先动优势吗？

（3）厂商B发现欺骗厂商A，能把它赶出市场吗？

答：（1）该博弈存在纳什均衡，均衡的策略组合为：（生产，不生产），（不生产，生产）。当厂商B选择生产时，厂商A的最优策略为不生产，当厂商B选择不生产时，厂商A的最优策略是选择生产；当厂商A选择生产时，厂商B的最优策略为不生产，当厂商A选择不生产时，厂商B的最优策略为生产，因此最终存在两个纳什均衡（生产，不生产），（不生产，生产），对应的支付为（5，4），（4，5）。

（2）如果厂商A先行动（如图11-9所示），根据反向归纳法，这个动态博弈的均衡为（生产，不生产）；如果厂商B先行动（如图11-10所示），根据反向归纳法，这个动态博弈的均衡为（不生产，生产）。可见每个厂商选择先行动都比选择后行动可以获得更高的收益，所以厂商A和厂商B都有先动优势。

图11-9 厂商A先行动的博弈的反向归纳

图11-10 厂商B先行动的博弈的反向归纳

（3）厂商B不能把厂商A赶出市场，这是因为无论厂商B实行什么策略，厂商A总是可以获得正的利润。

7．WET公司垄断了震动充水床垫的生产。这种床垫的生产是相对缺乏弹性的——当价

格为每床1000美元时，销售25000床；当价格为每床600美元，销售30000床。生产充水床垫的惟一成本是最初的建厂成本。WET公司已经投资建设生产能力达到25000床的工厂，滞留成本与定价决策无关。

（1）假设进入这个行业能够保证得到一半市场，但是要投资10000000美元建厂。构造WET公司（1000

p=）和潜在进入者（进入或者不进入）博弈的支付矩阵。

p=或者600

这个对策有纳什均衡吗？

（2）假设WET公司投资5000000美元将现有工厂的生产能力扩大到生产40000床充水床垫。阻止竞争对手的进入是有利可图的策略吗？

解：（1）由于WET公司是在位者，所以在本题的博弈中WET公司是先行者，当它把产品价格定为1000美元时：

如果此时WET垄断市场，那么10002500025000000

π=?=（美元）。

WET

如果竞争对手进入市场，那么可得：

π=?=（美元）

10001250012500000

WET

π=?-=（美元）

100012500100000002500000

ENTREANT

当WET公司把产品价格定为600美元时：

π=?=（美元）。

如果此时WET垄断市场，那么6002500015000000

WET

如果竞争对手进入市场，那么可得：

π=?=（美元）

600150009000000

WET

π=?-=-（美元）

60015000100000001000000

ENTREANT

博弈的扩展型表述如图11-11所示（支付的单位是百万）。

图11-11 博弈的扩展型表述

博弈的策略表达式如表11-5所示（支付的单位是百万）。

表11-5 动态博弈的策略式表述（单位：百万）

纳什均衡为｛1000，（进入，进入）｝、｛600，（进入，不进入）｝，子博弈完美的纳什均衡为{600，（进入，不进入）}。

（2）WET投资新建厂的策略是无利可图的。理由如下：WET公司扩大产能以后，当它把产品价格定为1000美元时：

π=?-=（美元）。

如果此时WET公司垄断市场，那么可得100025000500000020000000

WET

如果竞争对手进入市场，那么可得：

π=?-=（美元）

10001250050000007500000

WET

π=?-=（美元）

100012500100000002500000

ENTREANT

当WET公司把产品价格定为600美元时：

如果此时WET公司垄断市场，那么60030000500000013000000

π=?-=（美元）。

WET

如果竞争对手进入市场，那么：

π=?-=（美元）

6001500050000004000000

WET

π=?-=-（美元）

60015000100000001000000

ENTREANT

博弈的扩展型表述如图11-12所示（支付的单位是百万）：

子博弈完美的纳什均衡为{600，（进入，不进入）}，此时WET公司的利润为13000000，比扩大产能之前低。

图11-12 博弈的扩展型表述

8．解图11-13的广延型博弈。

图11-13 广延型博弈

解：利用反向归纳法，可知博弈的均衡策略为：参与人1第一步选择L，第三步选择L"；参与人2选择L'，如图11-14所示。

图11-14 利用反向归纳法解广延型博弈

在图11-13的广延型博弈中，由于第一步和最后一步都是参与者1先行动，因此可从最后一步即第三步开始考虑，在第三步，对于参与者1来说L"是最优策略，此时支付组合为（3，0），由于参与者2知道在第三步中参与者1会选择L"，此时自己得到的支付为0，因此在第二步时，参与者2会选择L'结束博弈，此时参与者2得到支付1，参与者1只得到支付1。参与者1如果知道参与者2在第二步选择L'，则为了使自己支付最大化，参与者1会在第一步直接选择L结束博弈，此时参与者1得到支付2，参与者2得到0。

所以，这个广延型博弈的均衡为（2，0），即由参与者1选择L来直接结束博弈过程。

9．讨论本讲中的“蜈蚣博弈”（见图11-15），若三方都采取“向前看”的态度，有没有“妥协”并使三方都获利的可能？这对讨论中国的“债转股”问题有什么启发？

图11-15 蜈蚣型广延博弈

答：（1）在理论上有一种可能，如图11-16所示：

图11-16 三方都采取“向前看”的态度时的均衡

若在图11-16中的蜈蚣型广延博弈中，若A、B、C三人都向前看且具有妥协性，则A 先妥协选择策略z，然后C妥协选择w，然后A再次妥协选择x'，B将选择X'，最后C再次妥协选择u'，此时可以使三方都获利，支付组合为（5，5，5）。因此存在这种可能。

（2）在中国的债转股市场上，主要处理的是四大国有银行对大型国有企业的贷款问题。如果四大国银行逼国有企业还款，则国有企业由于无法还清银行的贷款而可能被诉诸法庭并且其财产可能会被法庭强制变卖以偿还银行贷款，最终会导致企业和银行双方都遭殃。但是，如果银行能够同意将贷款转换为国有企业的股份，则可以使国有企业摆脱困境并且重新走上盈利之路。因此，蜈蚣博弈对于债转股还是有很大启发的。

10．考虑下列广延型博弈（如图11-17所示）：

图11-17 广延型博弈

（1）写出该博弈的策略型博弈形式。

（2）该策略型博弈中有纳什均衡吗？

解：（1）参与人1的策略：①选左；②选右。

参与人2的策略：

①无论参与人1的选择是什么，参与人2都选择左；

②如果参与人1选择左，参与人2也选择左；如果参与人1选择右，那么参与人2也选择右。

③如果参与人1选择左，那么参与人2就选择右；如果参与人1选择右，那么参与人2就选择左。

④无论参与人1的选择是什么，参与人2都选择右；

博弈的策略型表述如表11-6所示。

表11-6 博弈的策略型表述

（2）该博弈的纯策略均衡为{左，（右，右）}和{右，（右，左）}，因而有纳什均衡。

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