高中数学第三章数系的扩充与复数的引入单元检测选修1-2讲义
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入单元
检测 苏教版选修1-2
(时间90分钟,满分100分)
一、选择题（每题3分，共36分）
1．复数z1=3＋i,z2=1－i,则z=z1·z2在复平面内的对应点位于（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2．（1＋i）20－(1－i)20的值为（ ）
A.0
B.1 024
C.－1 024
D.－1 024i
3．已知复数z满足|z|=2，则复数z（ ）
A.是实数
B.是虚数
C.是纯虚数
D.对应的点在一个半径为2的圆上
4．已知复数z满足z=－|z|，则z的实部（ ）
A.不小于0
B.不大于0
C.大于0
D.小于0
5．复平面上平行四边形ABCD的四个顶点中，A、B、C所对应的复数分别为2＋3i,3＋2i,－2－3i，则D点对应的复数是（ ）
A.－2＋3i
B.－3－2i
C.2－3i
D.3－2i
6．设z=(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i(t∈R),则以下结论正确的是
（ ）
A.z对应的点在第一象限
B.z一定不为纯虚数
C.对应的点在实轴的下方
D.z一定为实数
7．在复数集C内分解因式2x2－4x＋5等于（ ）
A.（x－1＋）(x－1－)
B.()( )
C.2(x－1＋i)(x－1－i)
D.2(x＋1＋i)(x＋1－i)
8．()2 005等于（ ）
A.i
B.－I
C.22 005
D.－22 005
9．设复数ω=－,则1＋ω等于（ ）
A.－ω
B.ω2
C.－
D.
10．设复数z满足=i,则|1＋z|等于（ ）
A.－2
B.－
C.
D.2
11．两个复数z1=a1＋b1i,z2=a2＋b2i(a1、a2、b1、b2都是实数
且z1≠0，z2≠0)对应的向量和在同一条直线上的充要条件是（O为坐标原点）（ ）
A.=－1
B.a1a2＋b1b2=0
C.
D.a1b2=a2b1
12．已知复数z=＋(a2－3a－10)i(a∈R)满足z i＞0或z i＜0，则a的值为（ ）
A.3
B.－3
C.2或－3
D.2
二、填空题(每题4分，共16分)
13．i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3=___________(n为正整数).
14．已知=a＋3i，则a=___________.
15．若关于x的方程x2＋(1＋2i)x－(3m－1)i=0有实根，则纯虚数
m=___________.
16．已知z为复数，则z＋＞2的一个充要条件是z满足___________.
三、解答题(每小题8分，共48分)
17．设|z1|=13,z2=12＋5i,z1·z2是纯虚数，求z1.
18．已知z=1＋i,求的模.
19．已知复数z满足z·＋2i=3＋a i（其中a∈R）,
(1)求复数z（写成关于a的表达式）；
（2）当a为何值时，满足条件的复数z存在？
20．设O为坐标原点，已知向量分别对应复数z1、z2，且z1=＋（10－a2）i，z2=＋(2a－5)i(a∈R),若＋z2可以与任意实数比较大小，求的值.
21．关于t的二次方程t2＋(2＋i)t＋2xy＋(x－y)i=0(x、y∈R)有实根，求点P（x,y）的轨迹方程.
22．设z≠－1,求证是虚数的充要条件是|z|=1.
参考答案
1答案：D
2解析：（1＋i）20－(1－i)20=(2i)10－(－2i)10=0.
答案：A
3答案：D
4解析：设z=x＋y i,
∴x＋y i=－|z|.∴x=－|z|≤0.
答案：B
5解析：∵A、B、C对应的复数分别为2＋3i、3＋2i、－2－3i，∴A（2，3），B（3，2），C（－2，－3）.
设D（x,y）,则,
,
∴.
∴D点的坐标为（－3，－2）
∴D点对应的复数为－3－2i.
答案：B
6解析：2t2＋5t－3=(t＋3)(2t－1),
t2＋2t＋2=(t＋1)2＋1＞0,
又=(2t2＋5t－3)－(t2＋2t＋2)i,
∴对应的点在实轴的下方.
答案：C
7答案：C
8解析：（）2 005=()2 005=i2 004＋1=i.
答案：A
9解析：1＋ω=i=－.
答案：C
10解析：由=i,得z==－i.
∴|1＋z|=|1－i|=.
答案：C
11解析：由题意知=(a1,b1),=(a2,b2),
∴∥.
∴a1b2－a2b1=0.
答案：D
12解析：由z i＞0或z i＜0知z i为实数.
∴=0且a2－3a－10≠0.∴a=2.
答案：D
13解析：i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3=1＋i－1－i=0.答案：0
14解析：∵=－2,
∴a＋3i=－2.∴a=－2－3i.
答案：－2－3i
15解析：设m=ki(k≠0),
则x2＋x＋2x i＋3k＋i=0.
∴
∴
∴m=i.
答案：i
16解析：设z=a＋bi(a、b∈R).
由z＋=2a＞2得a＞1.
反之，由a＞1得z＋=2a＞2.
答案：z的实部大于1
17解：设z1=a＋bi,
则z1·z2=(a＋bi)(12＋5i)
=(12a－5b)＋(5a＋12b)i.
由题意，得
∴
∴z1=5＋12i或－5－12i.
18解：
=
==1－i,
∴的模为.
19解：（1）设z=x＋y i(x、y∈R),
则=x－y i,代入题设z·＋2i=3＋ai(a∈R),
得(x＋y i)(x－y i)＋2i(x－y i)=3＋ai.
∴x2＋y2＋2y＋2x i=3＋ai.
∴
∴y2＋2y＋－3=0.
∴y=
∴z=i.
(2)∵y∈R,∴Δ=4－4(－3)≥0.
∴－4≤a≤4.
20解：依题意得＋z2为实数，
由=－(10－a2)i,
∴＋z2=＋［(a2－10)＋(2a－5)］i的虚部为0.
∴a2＋2a－15=0,解得a=－5或a=3.又分母不为零，∴a=3.此时z1=＋i,z2=－1＋i,
即=（，1），=（－1，1），
∴·=×(－1)＋1×1=.
21解：设实根为t,
则t2＋(2＋i)t＋2xy＋(x－y)i=0，
即(t2＋2t＋2xy)＋(t＋x－y)i=0.
根据复数相等
由②得t=y－x代入①得
（y－x）2＋2(y－x)＋2xy=0，
即（x－1）2＋(y＋1)2=2，③
∴所求点的轨迹方程为(x－1)2＋(y＋1)2=2,轨迹是以（1，－1）为圆心，2为半径的圆.
22证明：设z=x＋y i(x,y∈R)则
=
若|z|=1，则x2＋y2=1,又z≠－1,
∴x≠－1且y≠0,
∴是纯虚数.充分性证完.
若是纯虚数，则x2＋y2－1=0,且y≠0,
∴|z|=1.
∴必要性证完.
∴命题成立.。
高中数学选修1-2(人教B版)第三章数系的扩充与复数的导入3.1知识点总结含同步练习题及答案
描述：高中数学选修1-2(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充和复数的引入一、学习任务了解数系的扩充过程；理解复数的基本概念、代数表示法以及复数相等的充要条件．了解复数的几何意义．二、知识清单复数的概念 复数的几何意义三、知识讲解1.复数的概念复数的概念为了把数的范围进一步扩充，人们引入了一个新的数，叫虚数单位，且规定：①；②可与实数进行四则运算，且原有的加、乘运算律仍成立．我们把集合中的数，即形如（，）的数叫做复数（complex number），其中 叫做虚数单位（imaginary unit）．全体复数所成的集合叫做复数集（set of complex numbers）．复数通常用字母表示，即（，），这一表示形式叫做复数的代数形式（algebraic form of complex number）．对于复数，都有 ，，其中的与分别叫做复数的实部（real part）与虚部（imaginary part）．对于复数，当且仅当时，它是实数；当且仅当时，它是实数；当时，叫做虚数；当且时，叫做纯虚数．复数相等的充要条件在复数集中任取两个数，（，，，），与相等的充要条件是且．复数的分类复数 （，）可以分类如下： i =−1i 2 i C ={a +b i | a ,b ∈R } a +b i a b ∈R i C z z =a +b i a b ∈R z =a +b i a b ∈R a b z a +b i b =0 a =b =0 0 b ≠0 a =0 b ≠0 C ={a +b i | a ,b ∈R } a +b i c +d i a b c d ∈R a +b i c +d i a=c b =d z =a +b i a b ∈R 复数a +b i(a ,b ∈R )⎧⎩⎨⎪⎪实数(b =0)虚数(b ≠0){纯虚数(a =0)非纯虚数(a ≠0)例题：描述：2.复数的几何意义根据复数相等的定义，任何一个复数，都可以由一个有序实数对唯一确定．因为有序实数对与平面直角坐标系中的点一一对应，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应．点的横坐标是，纵坐标是，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴．显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．设复平面内的点 表示复数，连结，显然向量 由点唯一确定；反过下列命题中，正确的个数是（ ）①若 ，则 的充要条件是 ；②若 ，则 ；③若 ，则 ，．A． B． C． D．解：A①由于 ，所以 不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，故①不正确；②由于两个虚数不能比较大小，所以②不正确；③当 ， 时， 成立，所以③不正确．x ,y ∈C x +y i =1+i x =y =1a ,b ∈R a +i >b +i +=0x 2y 2x =0y =00123x ,y ∈C x +y i x =1y =i +=0x 2y 2已知 ，，若 ，则______．解：根据复数相等的充要条件，得 整理得 ，所以 ，将其代入，得 ，所以 ，所以 ．=−3−4i z 1=(−3m −1)+(−m −6)i (m ,n ∈R )z 2n 2n 2=z 1z 2=n m 4{−3m −1=−3,n 2−m −6=−4,n 22m =4m =2−3m −1=−3n 2=4n 2n =±2=(±2=4n m )2实数 为何值时，复数 分别是 （1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）零．解：由题复数 可整理为 ．（1）当 时，，即 或 ．（2）当 时， 是虚数，即 且 ．（3）当 时， 是纯虚数，解得 ．（4）当 时，，解得 ．k (1+i)−(3+5i)k −2(2+3i)k 2z z =(−3k −4)+(−5k −6)i k 2k 2−5k −6=0k 2z ∈R k =6k =−1−5k −6≠0k 2z k ≠6k ≠−1{−3k −4=0,k 2−5k −6≠0,k 2z k =4{−3k −4=0,k 2−5k −6=0,k 2z =0k =−1 z =a +b i (a ,b ) (a ,b ) Z a b z =a +b i Z (a ,b ) x y Z z =a +b i OZ OZ −→− Z −→−OZ说成向量 ，并且规定，相等的向量表示同一个复数．四、课后作业 （查看更多本章节同步练习题，请到快乐学）高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。
人教版数学 选修1-2 1 数系的扩充和复数的概念(共14张ppt)教育课件
: 其实兴趣真的那么重要吗？很多事情我 们提不 起兴趣 可能就 是运维 我们没 有做好 。想想 看，如 果一件 事情你 能做好 ，至少 做到比 大多数 人好， 你可能 没有办 法岁那 件事情 没有兴 趣。再 想想看 ，一个 刚来到 人世的 小孩， 白纸一 张，开 始什么 都不会 ，当然 对事情 开始的 时候也 没有 兴趣这 一说了 ，随着 年龄的 增长， 慢慢的 开始做 一些事 情，也 逐渐开 始对一 些事情 有兴趣 。通过 观察小 孩的兴 趣，我 们可以 发现一 个规律 ，往往 不是有 了兴趣 才能做 好，而 是做好 了才有 了兴趣 。人们 总是搞 错顺序 ，并对 错误豪 布知晓 。尽管 并不绝 对是这 样，但 大多数 事情都 需要熟 能生巧 。做得 多了， 自然就 擅长了 ；擅长 了，就 自然比 别人做 得好； 做得比 别人好 ，兴趣 就大起 来，而 后就更 喜欢做 ，更擅 长，更 。。更 良性循 环。教 育小孩 也是如 此，并 不是说 买来一 架钢琴 ，或者 买本书 给孩子 就可以 。事实 上，要 花更多 的时间 根据孩 子的情 况，选 出孩子 最可能 比别人 做得好 的事情 ，然后 挤破脑 袋想出 来怎样 能让孩 子学会 并做到 很好， 比一般 人更好 ，做到 比谁都 好，然 后兴趣 就自然 出现了 。
有些人经常做一些计划，有的计划几乎 不去做 或者做 了坚持 不了多 久。其 实成功 的关键 是做很 坚持。 上帝没 有在我 们出生 的时候 给我们 什么额 外的装 备，也 许你对 未来充 满迷惑 ，也许 你觉得 是在雾 里看花 ，但是 只要我 们不停 的去做 ，去实 践，总 是可以 走到一 个鲜花 盛开的 地方， 也许在 那个时 候，你 就能感 受到什 么叫柳 暗花明 。走向 成功的 过程就 好像你 的起点 是南极 ，而成 功路径 的重点 在北极 。那么 无论你 往哪个 方向走 ，只要 中途的 方向不 变，最 终都会 到达北 极，那 就在于 坚持。
高中数学选修2-2第三章数系的扩充和复数的引入3.1.1数系的扩充和复数的概念讲义
3.1.1 数系的扩充和复数的概念1．虚数单位i在实数集R 中添加新数i ，规定：(1)i 2＝□01－1，其中i 叫做虚数单位；(2)i 可与实数进行□02四则运算，且原有的加、乘运算律仍然成立． 2．复数的相关概念集合C ＝{a ＋b i|a ∈R ，b ∈R }中的数，即形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做□03复数，其中i 叫做□04虚数单位．全体复数的集合C 叫做□05复数集． 复数通用字母z 表示，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，这一表示形式叫做□06复数的代数形式．其中的a 与b 分别叫做复数z 的□07实部与虚部． 3．复数的分类对于复数z ＝a ＋b i ，当且仅当□08b ＝0时，它是实数；当且仅当□09a ＝b ＝0时，它是实数10b≠0时，叫做虚数；当□11a＝0，且b≠0时，叫做纯虚数．0；当且仅当□4．复数相等的充要条件在复数集C＝{a＋b i|a，b∈R}中任取两个数a＋b i，c＋d i(a，b，c，d∈R)，规定：a ＋b i与c＋d i的充要条件是□12a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．复数相等的充要条件(1)两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a，b，c，d∈R，若忽略这一条件，则不能成立．因此解决复数相等问题时，一定要把复数的实部与虚部分离出来，再利用相等条件．(2)复数相等的条件是把复数问题转化为实数问题是重要依据，是复数问题实数化这一重要数学思想方法的体现．利用这一结论，可以把“复数相等”这一条件转化为两个实数等式，为应用方程思想提供了条件，这一思想在解决复数问题中非常重要．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a，b为实数，则z＝a＋b i为虚数．( )(2)若z＝m＋n i(m，n∈C)，则当且仅当m＝0，n≠0时，z为纯虚数．( )(3)b i是纯虚数．( )(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．( )答案(1)×(2)×(3)×(4)√2．做一做(1)若a＋b i＝0，则实数a＝________，实数b＝________.(2)(1＋3)i的实部与虚部分别是________．(3)若复数(a＋1)＋(a2－1)i(a∈R)是实数，则a＝________.答案(1)0 0 (2)0,1＋ 3 (3)±1探究1复数的有关概念例1 给出下列四个命题：①两个复数不能比较大小；②若x，y∈C，则x＋y i＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；③若实数a与a i对应，则实数集与纯虚数集一一对应；④纯虚数集相对复数集的补集是虚数集．其中真命题的个数是________．[解析]①中当这两个复数都是实数时，可以比较大小；②由于x，y都是复数，故x＋y i不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件；③若a＝0，则a i不是纯虚数；④由纯虚数集、虚数集、复数集之间的关系知，所求补集应是非纯虚数集与实数集的并集．[答案]0拓展提升数集从实数集扩充到复数集后，某些结论不再成立．如：两数大小的比较，某数的平方是非负数等．但i 与实数的运算及运算律仍成立． 【跟踪训练1】 下列命题中： ①若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数； ②若a ，b ∈R 且a >b ，则a ＋i>b ＋i ；③若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±1； ④两个虚数不能比较大小． 其中，正确命题的序号是( ) A ．① B ．② C ．③ D ．④ 答案 D解析 对于复数a ＋b i(a ，b ∈R )，当a ＝0且b ≠0时为纯虚数． 在①中，若a ＝－1，则(a ＋1)i 不是纯虚数，故①错误； 在②中，两个虚数不能比较大小，故②错误；在③中，若x ＝－1，x 2＋3x ＋2≠0不成立，故③错误； ④正确．探究2 复数的分类例2 当实数m 为何值时，复数z ＝m 2＋m －6m＋(m 2－2m )i 为：(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？[解] (1)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m ≠0，即m ＝2时，复数z 是实数；(2)当m 2－2m ≠0，即m ≠0且m ≠2时，复数z 是虚数；(3)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －6m ＝0，m 2－2m ≠0，即m ＝－3时，复数z 是纯虚数．[条件探究] 是否存在实数m ，使z ＝(m 2－2m )＋m 2＋m －6mi 是纯虚数？[解] 由z ＝(m 2－2m )＋m 2＋m －6mi 是纯虚数，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m 2＋m －6m≠0，解得m ∈∅.即不存在实数m ，使z ＝(m 2－2m )＋m 2＋m －6mi 是纯虚数．拓展提升利用复数的分类求参数的值或取值范围的一般步骤(1)判定复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，实部与虚部分别为哪些； (2)依据复数的有关概念将复数问题转化为实数问题； (3)解相应的方程(组)或不等式(组)； (4)求出参数的值或取值范围． 【跟踪训练2】 已知m ∈R ，复数z ＝m m ＋2m －1＋(m 2＋2m －3)i ，当m 为何值时，(1)z 为实数？ (2)z 为虚数？ (3)z 为纯虚数？解 (1)要使z 为实数，需满足m 2＋2m －3＝0，且m m ＋2m －1有意义，即m －1≠0，解得m＝－3.(2)要使z 为虚数，需满足m 2＋2m －3≠0，且m m ＋2m －1有意义，即m －1≠0，解得m ≠1且m ≠－3.(3)要使z 为纯虚数，需满足m m ＋2m －1＝0，且m 2＋2m －3≠0，解得m ＝0或m ＝－2.探究3 复数相等例3 已知M ＝{1，(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i}，P ＝{－1,1,4i}，若M ∪P ＝P ，求实数m 的值．[解] ∵M ∪P ＝P ，∴M ⊆P ，即(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1或(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i. 由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m ＝－1，m 2＋m －2＝0，解得m ＝1.由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i ，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m 2＋m －2＝4，解得m ＝2.∴实数m 的值为1或2.拓展提升复数相等的充要条件是实部相等且虚部相等．复数问题实数化多用来求参数，其步骤是：分别确定两个复数的实部和虚部，利用实部与实部、虚部与虚部分别相等，列方程组．【跟踪训练3】 已知A ＝{1,2，a 2－3a －1＋(a 2－5a －6)i}，B ＝{－1,3}，A ∩B ＝{3}，求实数a 的值．解 由题意知，a 2－3a －1＋(a 2－5a －6)i ＝3(a ∈R )，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a －1＝3，a 2－5a －6＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4或a ＝－1，a ＝6或a ＝－1，∴a ＝－1.故实数a 的值为－1.1.在复数a ＋b i 中，a ，b 必须是实数，否则不是复数的代数形式.2.复数的虚部是实数而不是虚数，即为“b ”，不是“b i”，更不是“i”.3.当且仅当b ≠0且a ＝0时，复数a ＋b i 才是纯虚数，解题时不能只注意a ＝0而忽视了b ≠0的限制.4.复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的重要依据，是复数问题实数化这一重要数学思想的体现.1．“a ＝0”是“复数a ＋b i(a ，b ∈R )是纯虚数”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 因为复数a ＋b i(a ，b ∈R )是纯虚数⇔a ＝0且b ≠0，所以“a ＝0”是“复数a ＋b i(a ，b ∈R )是纯虚数”的必要不充分条件．2．以3i －2的虚部为实部，以3i 2＋2i 的实部为虚部的复数是( ) A ．3－3i B ．3＋i C ．－2＋2i D.2＋2i答案 A解析 3i －2的虚部为3,3i 2＋2i 的实部为－3，所以所求复数为3－3i.3．已知复数z ＝a 2－(2－b )i 的实部和虚部分别是2和3，则实数a ，b 的值分别是________． 答案 ±2，5解析 由题意得：a 2＝2，－(2－b )＝3，所以a ＝±2，b ＝5. 4．设复数z ＝1m ＋5＋(m 2＋2m －15)i 为实数，则实数m 的值是________． 答案 3解析 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －15＝0，m ＋5≠0，解得m ＝3.5．如果log 12(m ＋n )－(m 2－3m )i≥－1，求自然数m ，n 的值．解 ∵log 12 (m ＋n )－(m 2－3m )i≥－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧log 12 m ＋n ≥－1，－m 2－3m ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧0<m ＋n ≤2，m ＝0或m ＝3.∵m ，n ∈N ，∴m ＝0，n ＝1或n ＝2.。
2018学年高中数学选修1-2课件：第3章 数系的扩充与复数的引入3.1.2 精品
复数的模
复数 z＝a＋bi(a，b∈R)对应的向量为O→Z，则O→Z的模 r 叫作复数 z＝a＋bi 的模，记作|z|或|a＋bi|，且|z|＝|a＋bi|＝r＝
a2＋b2(r≥0，且 r∈R)．
3．对复数模的理解 (1)从几何意义上理解，复数的模表示点 Z 到原点的距离； (2)模的计算公式：|a＋bi|＝ a2＋b2，求复数的模，关键 是明确复数的实部与虚部，将复数化为标准代数形式，然后 根据公式求解．
(2)当实数 x 满足xx22＋ －x2－x－6＞ 150＜，0， 即 2＜x＜5 时，点 Z 在第四象限．
(3)当实数 x 满足 x2＋x－6－(x2－2x－15)－3＝0，即 x＝ －2 时，点 Z 在直线 x－y－3＝0 上.
合作探究•课堂互动
复数的几何意义
求当实数m为何值时，复数z＝(m2－8m＋15)＋(m2＋ 3m－28)i在复平面内的对应点：
2．如果复数 z 满足条件 z＋|z|＝2＋i，那么 z 等于( )
A．－34＋i
B．34－i
C．－34－i
D.34＋i
解析： 设 z＝a＋bi(a，b∈R)， 则 z＋|z|＝a＋bi＋ a2＋b2＝a＋ a2＋b2＋bi， 因为 z＋|z|＝2＋i，
所以ba＝＋1，a2＋b2＝2，
解得a＝34， b＝1，
1．对复平面的理解 (1)虚轴： ①单位是i； ②虚轴上的点表示所有的纯虚数和0； ③原点在虚轴上，表示实数0. (2)实轴： ①单位是1； ②表示所有的实数； ③原点在实轴上．
复数的几何意义
2．复数模的几何意义 根据复数与平面向量O→Z一一对应知，复数模的几何意义 是复数 z＝a＋bi 所对应的点 Z(a，b)到原点(0,0)的距离．
高中数学人教a版选修1-2第三章数系的扩充与复数的引入3.1.1数系的扩充和复数的概念【练习】(学生版).docx
数系的扩充和复数的概念1．下列命题中：①若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数；②若a 、b ∈R 且a >b ，则a ＋i 3>b ＋i 2；③若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±1；④两个虚数不能比较大小．其中，正确命题的序号是( )A ．①B ．②C ．③D ．④2．复数z ＝(m 2＋m )＋m i(m ∈R ，i 为虚数单位)是纯虚数，则实数m 的值为( )A ．0或－1B ．0C ．1D ．－13．复数4－3a －a 2i 与复数a 2＋4a i 相等，则实数a 的值为( )A ．1B ．1或－4C ．－4D ．0或－44．已知复数z ＝cos α＋icos2α(0<α<2π)的实部与虚部互为相反数，则α的取值集合为() A ．{π，2π3，4π3} B ．{π3，5π3}C ．{π，π6，11π6}D ．{π3，π，5π3}5．若复数(a 2－a －2)＋(|a －1|－1)i(a ∈R )不是纯虚数，则( )A ．a ＝－1B ．a ≠－1且a ≠2C ．a ≠－1D ．a ≠26．复数z ＝a 2－b 2＋(a ＋|a |)i(a 、b ∈R )为实数的充要条件是( )A ．|a |＝|b |B ．a <0且a ＝－bC ．a >0且a ≠bD ．a ≤07．若复数z 1＝sin2θ＋icos θ，z 2＝cos θ＋i 3sin θ(θ∈R )，z 1＝z 2，则θ等于( )A ．k π(k ∈Z )B ．2k π＋π3(k ∈Z )C ．2k π±π6(k ∈Z ) D ．2k π＋π6(k ∈Z ) ∴θ＝π6＋2k π，k ∈Z ，故选D. 8．若(m 2－3m －4)＋(m 2－5m －6)i 是纯虚数，则实数m 的值为( )A ．－1B ．4C ．－1或4D ．不存在 9．已知关于x 的方程x 2＋(m ＋2i)x ＋2＋2i ＝0(m ∈R )有实数根n ，且z ＝m ＋n i ，则复数z 等于( )A ．3＋iB ．3－iC ．－3－iD ．－3＋i10．已知集合A ＝{x ||x |≤2，x ∈Z }，在集合A 中任取一个元素a ，则复数z ＝(a 2－1)＋(a 2－a －2)i为实数的概率为p 1，z 为虚数的概率为p 2，z ＝0的概率为p 3，z 为纯虚数的概率为p 4，则( )A ．p 3<p 1<p 4<p 2B ．p 4<p 2<p 3<p 1C ．p 3<p 4<p 1<p 2D ．p 3＝p 4<p 1<p 2。
高二数学选修1-2全册课件2、3章末
数系的扩充与复数的引入
章末归纳总结
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第三章
数系的扩充与复数的引入
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第三章
数系的扩充与复数的引入
本章在小学、初中和高中所学知识的基础上，介绍复 数的概念、复数的代数形式的运算和数系的扩充等内容．
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第三章
数系的扩充与复数的引入
本章共分两大节．第一大节是“数系的扩充与复数的
，所以 m＝0
所以 m＝0 时，z 为纯虚数
第三章
数系的扩充与复数的引入
m(m－1)＝2 (3)由题意可得 2 m ＋2m－3＝5 m＝2或m＝－1 解得 m＝－4或m＝2
，∴m＝2
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所以当 m＝2 时，复数 z 为 2＋5i.
第三章
数系的扩充与复数的引入
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第三章
数系的扩充与复数的引入
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概念”．第二大节是“复数的运算”．在第一大节中，首 先简要地展示了数系的扩充过程，回顾了数的发展，并指 出当数集扩充到实数集时，由于负数不能开平方，因而大 量代数方程无法求解，于是就产生了要开拓新数集的要求，
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从而自然地引入虚数i，复数由此而产生，接着，介绍了复
数的有关概念和复数的几何表示．主要涉及的概念有：复 数、虚数、纯虚数、共轭复数、实部、虚部、复数相等、 复数的模等．
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(2i) ＝－4.本题主要考查复数的基本知识， 利用复数代数形式 的运算法则解决此类问题.
第三章
数系的扩充与复数的引入
[例3]
在复平面内，点P，Q对应的复数分别为z1，z2，
高中数学 第3章 数系的扩充与复数的引入 3.2 复数的四则运算(一)课件 苏教版选修1-2
交换律 结合律 乘法对加法的分配律
z1z2＝_z2_z_1 (z1z2)z3＝_z_1(_z_2z_3_)_ z1(z2＋z3)＝_z_1_z_2＋__z_1_z_3 _
知识点三 共轭复数
思考
复数z1＝a＋bi与z2＝a－bi(a，b∈R)有什么关系？试求z1·z2的积. 答案 两复数实部相等，虚部互为相反数，z1·z2＝a2＋b2，积为 实数.
思考2
复数的加法满足交换律和结合律吗？ 答案 满足.
答案
梳理
(1)复数的加法、减法法则 ①条件：z1＝a＋bi，z2＝c＋di(其中a，b，c，d均为实数). ②加法法则：z1＋z2＝ (a＋c)＋(b＋d)i ， 减法法则：z1－z2＝ (a－c)＋(b－d)i . (2)运算律 ①交换律：z1＋z2＝ z2＋z1 . ②结合律：(z1＋z2)＋z3＝ z1＋(z2＋z3) .
3.理解共轭复数的性质
(1)z∈R⇔ z＝z.
(2)当a，b∈R时，有a2＋b2＝(a＋bi)(a－bi)，这是虚数问题实数化的一个 重要依据.
本课结束
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2021/11/22
知识点二 复数的乘法
思考
如何规定两个复数相乘？ 答案 类似于多项式的乘法，相当于把复数的代数形式看成关 于“i”的多项式，运算过程中要把i2换成－1，然后把实部与虚 部分别合并.
答案
梳理
(1)复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ (ac－bd)＋(ad＋bc)i . (2)乘法运算律 对于任意z1，z2，z3∈C，有
12345
解析 答案
3. 设 复 数 z1 ＝ x ＋ 2i ， z2 ＝ 3 － yi(x ， y∈R) ， 若 z1 ＋ z2 ＝ 5 － 6i ， 则 z1 － z2 ＝ __－__1_＋__1_0_i___.
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入单元测评(含解析)新人教A版选修1-2(2021年最新整理)
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单元测评(三)数系的扩充与复数的引入（时间:90分钟满分：120分)第Ⅰ卷(选择题，共50分）一、选择题:本大题共10小题，共50分．1．“a＝0”是“复数z＝a＋b i(a，b∈R)为纯虚数"的( ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：复数z＝a＋b i(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0。
答案：B2．复数错误!2＝a＋b i（a,b∈R，i是虚数单位）,则a2－b2的值为（）A．0 B．1C．2 D．－1解析:错误!2＝错误!＝－i＝a＋b i.所以a＝0,b＝－1,所以a2－b2＝0－1＝－1。
答案：D3．已知复数z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·错误!是实数,则实数t等于（）A。
错误! B.错误!C．－错误!D．－错误!解析：z1·错误!＝(3＋4i)（t－i）＝（3t＋4)＋（4t－3)i，因为z1·错误!是实数，所以4t－3＝0,所以t＝错误!。
答案：A4．如图在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是1＋2i，－2＋i,0，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为（）A．3＋i B．3－iC．1－3i D．－1＋3i解析：错误!＝错误!＋错误!＝1＋2i－2＋i＝－1＋3i，所以C点对应的复数为－1＋3i。
【创新设计-课堂讲义】高中数学(人教A版选修1-2)同步课件第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2.2
例2 计算：(1)(1＋2i)÷(3－4i)；
1＋2i 1＋2i3＋4i 解 (1＋2i)÷ (3－4i)＝ ＝ 3－4i 3－4i3＋4i －5＋10i 1 2 ＝ 25 ＝－5＋5i；
即 a2＋b2＝1.①
因为(3＋4i)z＝(3＋4i)(a＋bi)＝(3a－4b)＋(3b＋4a)i，而(3＋ 4i)z是纯虚数， 所以3a－4b＝0，且3b＋4a≠0.②
a＝4， 5 由①②联立，解得 3 b＝5，
a＝－4， 5 或 3 b＝－5.
[预习导引] 1.复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 则z1· z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ (ac－bd)＋(ad＋bc)i .
2.复数乘法的运算律
对任意复数z1、z2、z3∈C，有
交换律 结合律 z1 z1 · z2 ＝ z2 · ( z2 · z3 ) ( z1 · z2)· z3 ＝ z1 ·
要点一 复数乘除法的运算 例1 计算：(1)(2＋i)(2－i)； 解 (2＋i)(2－i)＝4－i2＝4－(－1)＝5； (2)(1＋2i)2. 解 (1＋2i)2＝1＋4i＋(2i)2＝1＋4i＋4i2＝－3＋4i.
规律方法
(1)复数的乘法可以按照多项式的乘法法则进
行，注意选用恰当的乘法公式进行简便运算，例如平方 差公式、完全平方公式等.
(2)像3＋4i和3－4i这样的两个复数叫做互为共轭复数，
其形态特征为a＋bi和a－bi，其数值特征为(a＋bi)(a－bi) ＝a2＋b2.
跟踪演练1 计算：(1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)；
(人教)高中数学选修1-2【精品课件】3-1-1数系的扩充和复数的概念
第三章数系的扩充与复数的引入31数系的扩充和复数的概念3.1.1数系的扩充和复数的概念预习引导学习目标重点难点1•复数的有关概念(1)复数与复数集形如:___________ 的数叫做复数，其中i叫做______ . _______ 所成的集合C叫做复数集.规定i i=-l.(2)复数的代数形式复数通常用字母z表示，即z= __________ ，这一表示形式叫做复数的代数形式•其中 ___ 分别叫做复数z的实部与虚部.T E・............. 预习交流1⑴复数d+勿的实部、虚部一定分别是以吗?(2)若复数z=3-2i,则该复数的实部是，虚部2 •复数相等的充要条件a+bi与c+〃i（°0，c0丘R）相等的充要条件是...... 预习交流2已知a.b R,€z+i=-l-/?i,则a= ,b=3 •复数的分类(1)对于复数a+bi(",Z?WR),当且仅当_____ 时，它为实数;当且仅当a=b=O时，它是实数0;当____ 时，叫做虚数，当________ 时，叫做纯虚数.(2)复数集内的包含关系虚数集复数集8＞实加...... 预习交流3⑴两个复数能比较大小吗?(2)形如bi(b eR)的复数一定是纯虚数吗？课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE 课堂合作探索KETANG HEZUO TANSUO⑶复数z=(m2-l)+(m-l)i(meR)是实数，则加二__________ •若是纯虚数，则m=问题导学当堂检测一、复数的有关概念0活动与探究1 •复数的相关概念有哪些?课前预习导学课堂合作探索KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANSUO课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE 问题导学2 •如何判定含有参变量的复数是实数，虚数，纯虚课堂合作探索KETANG HEZUOTANSUO当堂检测课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE 数?KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANSUO 问题导学当堂检测1 _____ 例1已知复数e必¥+(/・5/6)i@UR),试求实数u分别取什么值时,z分别为:⑴实数;(2)虚数;(3)纯虚数KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANSUOQ 工-1且Q 工6, a = 6.••不存在实数a 使z 为纯虚数.问题导学⑵当Z 为虚数时，则有•"±1 且 aH6，・••当 aW(-8，-i )u (丄l)U(l,6)U(6,+oo)时,Z 为虚数.-5s~6 工 0, a 2-7a+6 八^r = °，a 2-7a + 6a 2-l 有意义a -1 且a 丰6, a 壬 +1,(3)当z 为纯虚数时，则有当堂检测当堂检测问题导学归纳总结:要判断一个复数是何种类型的数关键是依据各类数的特点•若为实数只需b=0;若为虚数只需bHO;若为纯虚数只需a=0且bHO.问题导学当堂检测Es移与应用已知复数z=lg m+(/7t2-l)i,当m为何值时，(l)z为实数;(2)z为虚数;(3)z为纯虚数.课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE 课堂合作探索KETANG HEZUOTANSUO问题导学------------- 障--------------------解决复数的分类问题时,主要依据复数z=a+bi(a,b^R)是实数、虚数、纯虚数的充要条件进行求解，列出相应的等式或不等式组求出参数的范围，但若已知的复数z不是o+bi("WR)的形式，应先化为这种形式, 得到复数的实部、虚部再进行求解.当堂检测课前预习导学课堂合作探索KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANSUO 问题导学当堂检测二、复数相等的充要条件及应用0活动与探究代数形式下两复数相等的充要条件是什么?课前预习导学课堂合作探索KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANSUO 问题导学当堂检测〔____ k列2 已知集合M={@+3)+(/Al)i,8},集合N={3i,(/_1) +(b+2)i］同时满足，求整数KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANSUO问题导学⑵当8=(/-i)+(b+2)i 时，得害由⑴知;二不合题意，舍去，.需二.(3)当@+3)+(/Al)i=(/-i)+(b+2)i时，求得均不为整数，故舍去.综上,{当堂检测KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANSUO CL =~3，b = 2课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUEEs 移与应用1・若复数cos 0+isin 0和sin 0+icos 0相等，贝！J 0当堂检测课堂合作探索KETANG HEZUOTANSUO课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE 值为当堂检测2已知关于实数“的方程组h爲爲m九②有实数解,求实数的值.------------- 念師尊津 --------------复数相等的充要条件是化复数为实数的主要依据，多用来求解参 数•步骤是:分别分离出两个复数的实部和虚部,利用实部与实部相等，虚 部与虚部相等，列方程组求解.当堂检测课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE 问题导学当堂检测❻ 2 3 4 _51 •在V2,|i<|+2iA-2i-l这几个数中，虚数的个数为（）课堂合作探索KETANG HEZUOTANSUO课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE 问题导学当堂检测❻ 2 3 4 _5A.1B.2C.3D.4问题导学当堂检测 1 ❷ 3 4 52.以21岳的虚部为实部，以V5i+2i2的实部为虚部的新复数是（）问题导学当堂检测 2 ❸ 4 5A.2-2iB.2+iC.-V5 + V5iD.V5 + V5i3•若a.b£R,则不等式-2+a-(b-a)i>-5-b+(a+2b-6)i成立的条件是()问题导学当堂检测 2 ❸ 4 5A.d>-5 且b=2 3.a=b=2C.a=2且b>-5D.a>2 且b>-5问题导学当堂检测 1 24.(1)若a・2i=bi+l,则a2+b2=⑵若x-y+(y-l)i=2i,则兀=_课前预习导学课堂合作探索KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANSUO 5•（6Z0UR）__________ ・ g e R）课前预习导学课堂合作探索KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANSUO 问题导学当堂检测 2 3 4 05•已知M={1,2,m2-3m-l+(m2-5/7i-6)i}{丄3},MClN= {3},则实数加的值为。