函数的概念(区间的概念)
北师大版高一数学函数的概念2--区间
一、温故迎新
1．什 么是函数呢？
初中定义：在一个变化过程中,有两个变量x和y，如 果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我 们称y是x的函数。其中x叫自变量，y叫因变量.
A
2 3 5
乘2
B
4 6 10
A
平方 B
A 1
求倒数
B 1 1 2
6
12
1 -1 2 -2 3 -3
【例2】.试判断以下各组函数是否是相等函数：
(1)f(x)＝x，g(x)＝ x2 x2－9 (2)f(x)＝ ，g(x)＝x＋3 x－3 (3)f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2 (4)f(x)＝(x－1)0，g(x)＝1
【解析】 (1)定义域相同，都是R，但是g(x)＝|x|，即它们的解析式不同， 也就是对应关系不同，故不相等. (2)f(x)＝x＋3(x≠3)，它与g(x)＝x＋3的定义域不同，故不是相等函数. (3)定义域相同，都是R，但是它们的解析式不同，也就是对应关系不同，
（1） 对应法则—— f
2、函数的三要素
（2） 定 义 域 ——A （3） 值 域——｛f(x)|x∈A｝
求函数的定义域。
x＋12 【例】 求函数 y＝ － 1－x的定义域； x＋1
解：
x＋1≠0， 要使函数有意义，须满足 1－x≥0，
解得 x≤1，且 x≠－1， ∴函数的定义域是{x|x≤1，且 x≠－1}．
3<x<7 } ；
；
（3，7）
例1:用区间表示下列实数集合。
① {x|-18≤x＜6 }; ② {x|x＞6} ； ③ {x|3＜x≤8}；
[-18,6)ຫໍສະໝຸດ （6, +∞ ）(3,8]
高中一年级《函数的概念及表示》
(1)y＝ 2x＋3＋x－1 1；(2)y＝(x＋2－1)x0
【思路点拨】 分析所给函数解析式 ―→ 列不等式组 ―→ 求x范围，得定义域 【解析】 (1)要使函数有意义，需满足2x－ x＋13≠≥00， ，
x (x≥1) 【思路点拨】 初中阶段我们已经知道，一次函数的图象是直线，二次函 数图象是拋物线，反比例函数图象是双曲线.现在我们只要结合定义域，找 到一些关键点，便可画出函数的大致图象.
必修一第二章第二节
【解析】 (1)当x＝1时，y＝1，所画函数图象如图1； (2)y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1， 且x＝1,3时，y＝0； 当x＝2时，y＝－1， 所画函数图象如图2.
图
能形象直观地表示出函数的变化 只能近似地求出自变量的值所对 象
情况
应的函数值，而且有时误差较大
法
必修一第二章第二节
2.关于分段函数 (1)分段函数虽由几部分构成，但代表的是一个函数.只不过在定义域内的不 同部分取值时，函数对应关系不同.其值域也是各段上的函数值集合的并集. (2)求分段函数的有关函数值的关键是“分段归类”，即自变量的取值属于 哪一段，就用哪一段的解析式. (3)作分段函数的图象时，则应分段分别作出其图象，在作每一段图象时， 先不管定义域的限制，用虚线作出其图象，再用实线保留定义域内的一段图象 即可.
必修一第二章第二节
x＋4 3.若 f(x)＝x2－2x
－x＋2 (1)求 f(f(f(5)))的值； (2)若 f(a)＝－1，求 a 的值.
(x≤0) (0＜x≤4) ， (x＞4)
高一数学函数的概念2
的实数的x集合叫做半开半闭区间，表示为[a,b)；
（4）满足不等式 a x b 的实数
的x集合叫做也叫半开半闭区间，表示为(a,b]；
说明：
① 对于[a,b]，(a,b)，[a,b)，(a,b]都称数a和 数b为区间的端点，其中a为左端点，b为右 端点，称b-a为区间长度； ② 引入区间概念后，以实数为元素的集合就 有四种表示方法： 不等式表示法：3<x<7（一般不用）； 集合表示法：{x|3<x<7}； 区间表示法：(3,7)；Venn图
2．关于求定义域:
例1、（1）若函数 y
ax2 ax 1
a
的定义域是R，求实数a 的取值范围。
(2) 若函数 y f (x)的定义域为[1，1]，
求函数 y f (x 1) f (x 1)的定义域。
4
4
0
( x 0)
例2 、 已知
f
(
x)
x 1
的定义域应由不等式 a g(x) b 解出。
3．关于求值域：
例3、求下列函数的值域① y=3x+2(-1≤x≤1)
②f (x) 2 4 x
③y x
④y x2 4x 1, x [0,5]
x 1
；
⑤y 2x 4 1 x
例4、①已知函数f(x)= - x2+2ax+1-a在0≤x≤1 时有最大值2，求a的值。
( x 0) ( x 0)
求f (1)、f (1)、f (0)、f { f [ f (1)]}
2．关于求定义域: （1）分母不等于零；偶次根式不小于零； 每个部分有意义的实数的集合的交集；符 合实际意义的实数集合
高中数学必修一函数的概念知识点总结
必修一第一章 集合与函数概念二、函数知识点8：函数的概念以及区间 1》函数概念设A 、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y =()f x 注意：①x A ∈．其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域②与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域.2》区间和无穷大①设a 、b 是两个实数，且a<b ，则：{x|a ≤x ≤b}＝[a,b] 叫闭区间； ②{x|a<x<b}＝(a,b) 叫开区间；③{x|a ≤x<b}＝[,)a b ， {x|a<x ≤b}＝(,]a b ，都叫半开半闭区间.④符号：“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”. 则{|}(,)x x a a >=+∞，{|}[,)x x a a ≥=+∞，{|}(,)x x b b <=-∞，{|}(,]x x b b ≤=-∞，(,)R =-∞+∞.3》决定函数的三个要素是定义域、值域和对应法则. 当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时，函数才是同一函数.典例分析题型1：函数定义的考察 例1：集合A=}{40≤≤x x ，B=}{20≤≤y y ，下列不表示从A 到B 的函数是（ ）A 、x y x f 21)(=→ B 、x y x f 31)(=→ C 、x y x f 32)(=→ D 、x y x f =→)(例2：下列对应关系是否是从A 到B 的函数：①}{;:,0,x x f x x B R A →>== ②,:,,B A f N B Z A →==求平方；③B A f Z B Z A →==:,,，求算术平方根； ④B A f Z B N A →==:,,，求平方； ⑤A=[-2,2],B=[-3,3],B A f →:,求立方。
高一数学：1.2.1《区间的概念》课件
课题: 区间的概念
问题提出
1．什么叫函数？用什么符号表示函数？ 2. 什么是函数的定义域？值域？
3.函数 f (x) = 1− | x |的定义域、值域如何？
分别怎样表示？ 4. 上述集合还有更简单的表示方法吗？
知识探究（一）
思考1：设a，b是两个实数，且a<b，介于这两个 数之间的实数x用不等式表示有哪几种可能情况？
的实数x的集合也可以看成区间，那么这些集合 如何用区间符号表示？
[a，+∞)，(a，+∞)， (-∞，a]，(-∞，a).
思考3：将实数集R看成一个大区间，怎样用区间 表示实数集R？
（-∞，+∞）
理论迁移
例1 将下列集合用区间表示出来：
(1){x | 2x −1 0}; (2){x | x −4,或 −1 x 2}
思考4：一次函数y＝kx＋b(k≠0)，二次函数
y＝ax２＋bx＋c(a≠0)，反比例函数 y = k (k 0) x
的定义域、值域分别是什么？怎样用区间表示?
知识探究（二）
思考1：变量x相对于常数a有哪几种大小关系？用 不等式怎样表示？
思考2：满足不等式 x a, x a, x a, x a
a x b, a x b, a x b, a x b
思考2：满足上述每个不等式的实数x的集合可看 成一个区间，为了区分，它们分别叫什么名称？
思考3：如果把满足不等式的实数x的集合用符号 [a，b）表示，那么满足其它三个不等式的实数x 的集合可分别用什么符号表示？
上述知识内容总结成下表：
定义
名称
符号
{x|a≤x≤b} 闭区间 [ a, b ]
函数的概念知识点
函数的概念1.函数：设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数．记作：y=f（x），x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.确定一个函数的两个要素：定义域，对应法则．2.区间：区间指一个集，包含在某两个特定实数之间的所有实数，亦可能同时包含该两个实数。
区间表示法是表示一个变量在某个区间内的方式。
通用的区间表示法中，圆括号表示“排除”，方括号表示“包括”。
例如，区间(10,20)表示所有在10和20之间的实数，但不包括10或20。
另一方面，[10,20]表示所有在10和20之间的实数，以及10和20。
设a，b是两个实数而且a<b，实数a与b都叫做相应区间的端点。
规定：（1）满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示[a，b]；（2）满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示﹙a，b﹚；（3）满足不等式a≤x<b，或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，表示[a，b﹚，﹙a，b]。
区间表示：｛x︱a＜x＜b｝=（a，b）； {x|a≤x≤b}=[a，b]；{x|a＜x≤b}=（a，b]； {x|a≤x＜b}=[a，b）； {x|x≤a}=（-∞，a]；{x|x≥a }=[a，+∞）； {x|x＞a }=（a，+∞）；实数集表示为（－∞，＋∞）3.构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)；②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关.。
《区间的概念》课件
02
区间的性质
闭区间和开区间的性质
总结词
闭区间和开区间的性质是区间理论中的 重要概念，它们具有不同的性质和特征 。
VS
详细描述
闭区间是包含其端点的区间，其性质包括 区间内任意两点可以确定一个闭区间，且 闭区间上任意两点之间的距离等于区间长 度。开区间是不包含其端点的区间，其性 质包括开区间内任意两点可以确定一个开 区间，但开区间上任意两点之间的距离不 一定等于区间长度。
闭（包含）的区间，例如$(a, b]$或$[a, b)$。
半开半闭区间具有一些特殊的性 质，例如在实数轴上表现为一段
直线，但不包括端点。
半开半闭区间在数学分析中常用 于研究函数的连续性和可导性等 概念，特别是在处理分段函数时
。
05
区间的实际应用举例
在物理学中的应用：波的传播范围
总结词
波的传播范围是区间概念在物理学中的一个典型应用，它描述了波在某一特定介质中能 够传播的最大和最小范围。
区间与数轴的关系
总结词
区间与数轴之间存在密切的联系，数轴是表示区间的工具， 而区间则是数轴上的一个子集。
详细描述
数轴是实数有序化的直观表现，它为研究区间提供了可视化 的平台。通过数轴，我们可以直观地表示区间的起点和终点 ，以及区间内的任意一点。同时，数轴上任意两个不同的区 间都可以用不同的颜色或标记加以区分。
详细描述
在物理学中，波的传播范围通常由波长和频率决定。例如，无线电波、红外线、可见光 、紫外线、X射线和伽马射线等都有各自的传播范围，这些范围可以用来描述不同类型
波的特性。
在经济学中的应用：价格变动区间
总结词
价格变动区间是区间概念在经济学中 的一个应用，它反映了商品或资产在 一定时间内的最高和最低价格变动范 围。
函数的概念 课件
即先求g2.
(3)f(x)＝x＋1 1的定义域为{x|x≠－1}， ∴值域是(－∞，0)∪(0，＋∞).9 分 g(x)＝x2＋2 的定义域为 R，最小值为 2.
∴值域是[2，＋∞).12 分
(5)A＝{a，b，c}，B＝{d，e，f}，对应关系如图所
示．
【解】 (1)A中的实数0在B中没有对应实数， 故不是函数； (2)对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关 系f：x→x2，在集合B中都有唯一确定的整数x2 和它对应，故(2)是集合A到集合B的函数； (3)A中负数没有平方根，故在B中没有整数和它 们对应，故此对应不是集合A到集合B的函数；
(1)y＝xx＋＋11
2
－
1－x；
(2)y＝
5－x |x|－3 .
【解】 (1)要使函数有意义，自变量 x 的取值必须
满足
x＋1≠0 1－x≥0
，
解得 x≤1 且 x≠－1，
即函数定义域为{x|x≤1 且 x≠－1}．
(2)要使函数有意义，自变量 x 的取值必须满足
5－x≥0 |x|－3≠0
，
解得 x≤5，且 x≠±3，
(4)对于集合A中任意一个实数x，按照对应关 系f：x→y＝0，在集合B中都有唯一确定的数 0和它对应，故(4)是集合A到集合B的函数； (5)对于集合A中的元素b对应着集合B中的两 个元素，c在集合B中无对应元素，所以(5)中 的对应不是集合A到集合B的函数．
题型二 求函数的定义域
例2 求下列函数的定义域：
{x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a，b]
(2)无穷概念及无穷区间表示
定 义
R
{x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a}
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1.在初中我们学习了哪几种基本函数？ 其函数解析式分别是什么？ 2.初中对函数是怎样定义的？ 在一个变化过程中，如果有两个变量 x与y，并且对于x的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们 就说x是自变量，y是x的函数.
函数定义:设A，B是非空的数集，如 果按照某种确定的对应关系f，使对于集 合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯 一确定的数f(x)和它对应，那么就称 f：A→B为从集合A到集合B的一个函数， 记作 y=f(x)，x∈A. 函数y=f(x)，自变量x的取值范围A 叫函数的定义域，与x值相对应的y值叫 做函数值.函数值的集合 f ( x) x A叫函 数的值域。 思考：值域与集合B是何关系？
x
y y 0, y R
二次函数y＝ax２＋bx＋c(a≠0)的定义域、 值域分别是什么？ 2 2 4ac b 4 ac b R y y y y 4a 4a 2 4ac b , 怎样用区间表示? 4a
3.函数 f ( x) 1 | x | 的定义域、值域 是什么？分别怎样表示？
4. 上述集合还有更简单的表示方法吗？
知识探究（一）
思考1：设a，b是两个实数，且a<b，介 于这两个数之间的实数x用不等式表示有哪 几种可能情况？
a x b, a x b, a x b, a x b
满足上述每个不等式的实数x的集合可 看成一个区间.
思考2：如果满足不等式 a x b 的实 数x的集合用符号 [a，b]表示，那么满足其 它三个不等式的实数x的集合可分别用什么符 号表示？
上述知识内容总结成下表：
定义 名称 符号 [ a, b ]
( a, b ) a a a
数轴表示
a b
b
例3
求下列函数的值域：
2
(1) y x 4 x 6, (2) y 5 4x x ,
(2) y 5 4 x x 2 , x 1 x 1 (1) y x 2 4 x 6,
x [1, 5)
x [1,5)
2
(3) y 2 x 2 4 x , (4) f ( x)
{x|a≤x≤b} 闭区间
{x|a<x<b} 开区间
b
{x|a≤x<b} 半开半闭 [ a, b ) 区间
{x|a<x≤b} 半开半闭 ( a, b ] 区间
b
这里的实数a与b都叫做相应区间的端点.
知识探究（二）
思考1：变量x相对于常数a有哪几种大小关 系？用不等式怎样表示？
思考2：满足不等式 x a, x a, x a, x a 的实数x的集合也可以看成区间，那么这些集 合如何用区间符号表示？
作业：
课本P44.
6 、7
思考3：将实数集R看成一个大区间，怎样用 区间表示实数集R？
[a，+∞)，(a，+∞)， (-∞，a]，(-∞，a).
（-∞，+∞）
思考4：一次函数y＝kx＋b(k≠0)， R R k , 反比例函数 y (k 0)
,0 0,
x x 0, x R
例题：
练习
将下列集合用区间表示出来：
(1){x | 2 x 1 0}; (2){x | x 4, 或 1 x 2}
例1 求下列函数的定义域：
..
(1) y 2 (2) f ( x)
x 4x ,
2
Байду номын сангаасx 1 . x 1
例2 已知 f ( x 1) x 2 x ,求函数 f ( x) 的解 析式.