函数的奇偶性、周期性与对称性专题训练
专题05 函数的奇偶性(对称性)与周期性问题(原卷版)
专题05 函数的奇偶性(对称性)与周期性问题【高考真题】1．(2022·全国乙文)若()1ln 1f x a b x=++-是奇函数，则=a _____，b =______． 2．(2022·新高考Ⅱ)已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==，则221()k f k ==∑()A ．3-B ．2-C ．0D ．13．(2022·全国乙理)已知函数f (x )，g (x )的定义域均为R ，且f (x )＋g (2－x )＝5，g (x )－f (x －4)＝7．若y ＝g (x )的图像关于直线x ＝2对称，g (2)＝4．则221()k f k ==∑( )A ．－21B ．－22C ．－23D ．－244．(2022·新高考Ⅰ)已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=，若322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x + 均为偶函数，则( )A ．(0)0f =B ．102g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ C ．(1)(4)f f -= D ．(1)(2)g g -= 【常用结论】1．函数奇偶性常用结论结论1：如果函数f (x )是奇函数且在x ＝0处有意义，那么f (0)＝0．结论2：如果函数f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (－x )＝f (|x |)．结论3：若函数y ＝f (x ＋b )是定义在R 上的奇函数，则函数y ＝f (x )关于点(b ，0)中心对称．结论4：若函数y ＝f (x ＋a )是定义在R 上的偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称． 结论5：已知函数f (x )是定义在区间D 上的奇函数，则对任意的x ∈D ，都有f (x )＋f (－x )＝0．特别地，若奇函数f (x )在D 上有最值，则f (x )max ＋f (x )min ＝0．推论1：若函数f (x )是奇函数，且g (x )＝f (x )＋c ，则必有g (－x )＋g (x )＝2c ．推论2：若函数f (x )是奇函数，且g (x )＝f (x )＋c ，则必有g (x )max ＋g (x )min ＝2c ．结论6：在公共定义域内有：奇±奇＝奇；偶±偶＝偶；奇±偶＝非奇非偶；奇()⨯÷奇＝偶，偶()⨯÷偶＝偶，奇()⨯÷偶＝奇．结论7：奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性；偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性．结论8：偶函数在其定义域内关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在其定义域内关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．结论9：函数f (x )＝a x ＋a －x (a >0且a ≠1)是偶函数；函数f (x )＝a x －a －x (a >0且a ≠1)是奇函数；函数f (x )＝a x ＋1a x －1(a >0且a ≠1)是奇函数； 结论10：函数f (x )＝log a x －bx ＋b (a >0且a ≠1)是奇函数；函数f (x )＝log a (1＋m 2x 2±mx )(a >0且a ≠1)是奇函数．结论11：函数y ＝f (x )是可导的奇函数，则导函数y ＝f ′(x )是偶函数；函数y ＝f (x )是可导的偶函数，则导函数y ＝f ′(x )是奇函数；结论12：导函数y ＝f ′(x )是连续的奇函数，则所有的原函数y ＝f (x )都是偶函数；导函数y ＝f ′(x )是连续的偶函数，则原函数y ＝f (x )中只有一个是奇函数；2．函数的对称性(奇偶性的推广)(1)函数的轴对称定理1：如果函数y ＝f (x )满足f (x ＋a )＝f (b －x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b 2对称．推论1：如果函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．推论2：如果函数y ＝f (x )满足f (x )＝f (－x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝0（y 轴）对称，就是偶函数的定义，它是上述定理1的简化．(2)函数的点对称定理2：如果函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＋f (a －x )＝2b ，则函数y ＝f (x )的图象关于点(a ，b )对称．推论1：如果函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＋f (a －x )＝0，则函数y ＝f (x )的图象关于点(a ，0)对称．推论2：如果函数y ＝f (x )满足f (x )＋f (－x )＝0，则函数y ＝f (x )的图象关于原点(0，0)对称，就是奇函数的定义，它是上述定理2的简化．(3)两个等价关系若函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 轴对称，则以下三式成立且等价：f (a ＋x )＝f (a －x )⇔f (2a －x )＝f (x )⇔f (2a ＋x )＝f (－x )若函数y ＝f (x )关于点(a ，0)中心对称，则以下三式成立且等价：f (a ＋x )＝－f (a －x )⇔f (2a －x )＝－f (x )⇔f (2a ＋x )＝－f (－x )(4)原函数与导函数的对称性的关系定理1：可导函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称的充要条件是导函数y ＝f ′(x )的图象关于点(a ，0)中心对称．定理2：可导函数y ＝f (x )的图象关于点(a ，f (a ))中心对称的充要条件是导函数y ＝f ′(x )的图象关于直线x ＝a 对称．3．函数周期性常用的结论结论1：若f (x ＋a )＝f (x －a )，则f (x )的一个周期为2a ；结论2：若f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )的一个周期为2a ；结论3：若f (x ＋a )＋f (x )＝c (a ≠0)，则f (x )的一个周期为2a ；结论4：若f (x )＝f (x ＋a )＋f (x －a )(a ≠0)，则f (x )的一个周期为6a ；结论5：若f (x ＋a )＝1f (x )，则f (x )的一个周期为2a ； 结论6：若f (x ＋a )＝－1f (x )，则f (x )的一个周期为2a ； 结论7：若函数f (x )关于直线x ＝a 与x ＝b 对称，则f (x )的一个周期为2|b －a |．结论8：若函数f (x )关于点(a ，0)对称，又关于点(b ，0)对称，则f (x )的一个周期为2|b －a |．结论9：若函数f (x )关于直线x ＝a 对称，又关于点(b ，0)对称，则f (x )的一个周期为4|b －a |．结论10：若函数f (x )可导，并且是周期为T 的周期函数，则f ′(x )也是的周期为T 的周期函数；若函数f (x )可导，其导函数f ′(x )是周期为T 的周期函数，且f (0)＝f (T )，则f (x )也是的周期为T 的周期函数结论7—结论9的记忆：两次对称成周期，两轴两心二倍差，一轴一心四倍差．总规律：在函数的奇偶性、对称性、周期性中，知二断一．即这三条性质中，只要已知两条，则第三条一定成立．【同类问题】题型一 函数的奇偶性与周期性1．已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，f (x )＝4x ，则f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (1)＝( )A ．－2B ．0C ．2D ．12．(2021·全国甲)设函数f (x )的定义域为R ，f (x ＋1)为奇函数，f (x ＋2)为偶函数，当x ∈[1，2]时，f (x )＝ax 2＋b ．若f (0)＋f (3)＝6，则f ⎝⎛⎭⎫92等于( )A ．－94B ．－32C ．74D ．523．已知函数f (x )为定义在R 上的奇函数，f (x ＋2)是偶函数，且当x ∈(0，2]时，f (x )＝x ，则f (－2 022)＋f (2023)＝( )A ．－3B ．－2C ．1D ．04．(多选)(2022·威海模拟)函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)与f (x －1)都是偶函数，则( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是奇函数C ．f (x ＋3)是偶函数D ．f (x )＝f (x ＋4)5．(多选)已知f (x )为奇函数，且f (x ＋1)为偶函数，若f (1)＝0，则( )A ．f (3)＝0B ．f (3)＝f (5)C ．f (x ＋3)＝f (x －1)D ．f (x ＋2)＋f (x ＋1)＝16．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，f (x ＋1)是偶函数，当x ∈(2，4)时，f (x )＝|x －3|，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (2 022)＝________．7．(多选)定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，且在[－2，0]上单调递减，下面关于f (x )的判断正确的是( )A ．f (0)是函数的最小值B ．f (x )的图象关于点(1，0)对称C ．f (x )在[2，4]上单调递增D ．f (x )的图象关于直线x ＝2对称8．写出一个同时满足以下三个条件①定义域不是R ，值域是R ；②奇函数；③周期函数的函数解析式____________．9．函数y ＝f (x )对任意x ∈R 都有f (x ＋2)＝f (－x )成立，且函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1，0)对称，f (1)＝4，则f (2 020)＋f (2 021)＋f (2 022)的值为________．题型二 函数的奇偶性与对称性10．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，则以下函数中图象一定关于点(－1，0)成中心对称的是( )A ．y ＝(x －1)f (x －1)B ．y ＝(x ＋1)f (x ＋1)C ．y ＝xf (x )＋1D ．y ＝xf (x )－111．已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x )的周期为2，在[－1，0]上单调递增，那么f (x )在[1，3]上( )A ．单调递增B ．单调递减C ．先增后减D ．先减后增12．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，且在区间[1，2]上单调递减，令a ＝ln 2，b ＝⎝⎛⎭⎫14－12，c ＝log 122，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系是( ) A ．f (b )<f (c )<f (a )B ．f (a )<f (c )<f (b )C ．f (c )<f (b )<f (a )D ．f (c )<f (a )<f (b ) 13．定义在R 上的奇函数f (x )，其图象关于点(－2，0)对称，且f (x )在[0，2)上单调递增，则( )A ．f (11)<f (12)<f (21)B ．f (21)<f (12)<f (11)C ．f (11)<f (21)<f (12)D ．f (21)<f (11)<f (12)14．写出一个满足f (x )＝f (2－x )的偶函数f (x )＝________．题型三 函数的周期性与对称性15．(多选)已知f (x )的定义域为R ，其函数图象关于直线x ＝－3对称且f (x ＋3)＝f (x －3)，当x ∈[0，3]时，f (x )＝2x ＋2x －11，则下列结论正确的是( )A ．f (x )为偶函数B ．f (x )在[－6，－3]上单调递减C ．f (x )的图象关于直线x ＝3对称D ．f (2 023)＝－716．已知定义在R 上的函数f (x )，对任意实数x 有f (x ＋4)＝－f (x )，若函数f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，f (－1)＝2，则f (2 025)＝________．17．已知偶函数f (x )满足f (x )＋f (2－x )＝0，下列说法正确的是( )A ．函数f (x )是以2为周期的周期函数B ．函数f (x )是以4为周期的周期函数C ．函数f (x ＋2)为偶函数D ．函数f (x －3)为偶函数18．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (1＋x )＝f (1－x )，当x ∈[－1，1]时，f (x )＝x 3－3x ，则f (2 023)等于( )A ．1B ．－2C ．－1D ．219．已知函数f (x )满足：f (x ＋2)的图象关于直线x ＝－2对称，且f (x ＋2)＝1f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝log 2⎝⎛⎭⎫x ＋112， 则f ⎝⎛⎭⎫2192的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．620．设函数f (x )为定义在R 上的函数，对∀x ∈R 都有：f (x )＝f (－x )，f (x )＝f (2－x )；且函数f (x )对∀x 1，x 2∈[0，1]，x 1≠x 2，有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫2 0232，b ＝f (log 43)，c ＝f ⎝⎛⎭⎫－14，则a ，b ，c 的大小关系为________．21．(多选)已知奇函数f (x )的定义域为R ，且满足f (2＋x )＝f (2－x )，以下关于函数f (x )的说法正确的为( )A ．f (x )满足f (8－x )＝f (x )B ．8为f (x )的一个周期C ．f (x )＝sin πx 4是满足条件的一个函数 D ．f (x )有无数个零点 22．(多选)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，f (2－x )＝f (x )，当x ∈[0，1]时，f (x )＝x 3，则下列结论错误的是( )A ．f (2 021)＝0B ．2是f (x )的一个周期C ．当x ∈(1，3)时，f (x )＝(1－x )3D ．f (x )＞0的解集为(4k ，4k ＋2)(k ∈Z ) 题型四 抽象函数23．设函数y ＝f (x )的定义域为(0，＋∞)，f (xy )＝f (x )＋f (y )，若f (8)＝3，则f (2)＝________．24．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (1)＝1，且f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋1，则f (4)＝________．25．(多选)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，当x ＜0时，f (x )＞0，则函数f (x )满足( )A ．f (0)＝0B ．y ＝f (x )是奇函数C ．f (x )在[1，2]上有最大值f (2)D ．f (x －1)＞0的解集为{x |x ＜1}26．已知f (x )是定义在区间(0，＋∞)上的增函数，且f ⎝⎛⎭⎫x y ＝f (x )－f (y )，f (2)＝1，如果x 满足f (x )－f ⎝⎛⎭⎫1x －3≤2， 则x 的取值范围为________．。
函数的奇偶性、周期性与对称性(重点)-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题(原卷版)
考向08 函数的奇偶性、周期性与对称性【2022年新高考全国Ⅰ卷】（多选题）已知函数()f x 及其导函数()'f x 的定义域均为R ，记()()g x f x '=，若322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，则（ ）A ．(0)0f =B ．102g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．(1)(4)f f -=D ．(1)(2)g g -=【2022年新高考全国II 卷】已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==，则221()k f k ==∑（ ）A ．3-B ．2-C ．0D ．11.奇偶性技巧(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称. (2)奇偶函数的图象特征.函数()f x 是偶函数⇔函数()f x 的图象关于y 轴对称； 函数()f x 是奇函数⇔函数()f x 的图象关于原点中心对称. (3)若奇函数()y f x =在0x =处有意义，则有(0)0f =； 偶函数()y f x =必满足()(||)f x f x =.(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同.(5)若函数()f x 的定义域关于原点对称，则函数()f x 能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记1()[()()]2g x f x f x =+-，1()[()()]2h x f x f x =--，则()()()f x g x h x =+.(6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如()(),()(),()(),()()f x g x f x g x f x g x f x g x +-⨯÷.对于运算函数有如下结论：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶；奇()⨯÷奇=偶；奇()⨯÷偶=奇；偶()⨯÷偶=偶.(7)复合函数[()]y f g x =的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇. (8)常见奇偶性函数模型奇函数：①函数1()()01x x a f x m x a +=≠-()或函数1()()1x x a f x m a -=+．②函数()()x x f x a a -=±-． ③函数2()log log (1)aa x m m f x x m x m +==+--或函数2()log log (1)a a x m m f x x m x m-==-++ ④函数2()log (1)a f x x x =+或函数2()log (1)a f x x x =+． 注意：关于①式，可以写成函数2()(0)1x m f x m x a =+≠-或函数2()()1xmf x m m R a =-∈+． 偶函数：①函数()()x x f x a a -=±+． ②函数()log (1)2mx a mxf x a =+-． ③函数(||)f x 类型的一切函数． ④常数函数 2.周期性技巧()()()()211();()2()()()()2()()4()()2()()()()()2()()()2()()()(x R f x T f x T f x T f x T f x T f x T T f x f x f x T f x T T f x T f x T T f a x f a x b a f b x f b x f a x f a x af x f a x f a x b a f b x f b x f a ∈+=+=-+=+=-+=-+=--+=-⎧-⎨+=-⎩+=-⎧⎨⎩+=--⎧-⎨+=--⎩函数式满足关系（）周期为偶函数)()2()()()4()()()()()4()()()4()x f a x a f x f a x f a x b a f b x f b x f a x f a x a f x f a x f a x af x +=--⎧⎨⎩+=-⎧-⎨+=--⎩+=-⎧⎨⎩+=--⎧⎨⎩为奇函数为奇函数为偶函数3.函数的的对称性与周期性的关系（1）若函数()y f x =有两条对称轴x a =，()x b a b =<，则函数()f x 是周期函数，且2()T b a =-；（2）若函数()y f x =的图象有两个对称中心(,),(,)()a c b c a b <，则函数()y f x =是周期函数，且2()T b a =-；（3）若函数()y f x =有一条对称轴x a =和一个对称中心(,0)()b a b <，则函数()y f x =是周期函数，且4()T b a =-.4.对称性技巧（1）若函数()y f x =关于直线x a =对称，则()()f a x f a x +=-． （2）若函数()y f x =关于点()a b ，对称，则()()2f a x f a x b ++-=．（3）函数()y f a x =+与()y f a x =-关于y 轴对称，函数()y f a x =+与()y f a x =--关于原点对称．1.(1)如果一个奇函数()f x 在原点处有定义，即(0)f 有意义，那么一定有(0)0f =. (2)如果函数()f x 是偶函数，那么()(||)f x f x =.2.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性3.函数周期性常用结论对()f x 定义域内任一自变量的值x : (1)若()()f x a f x +=-，则2(0)T a a =>. (2)若1()()f x a f x +=，则2(0)T a a =>. (3)若1()()f x a f x +=-，则2(0)T a a =>. 4.对称性的三个常用结论(1)若函数()y f x a =+是偶函数，则函数()y f x =的图象关于直线x a =对称.(2)若对于R 上的任意x 都有(2)()f a x f x -=或()(2)f x f a x -=+，则()y f x =的图象关于直线x a =对称.(3)若函数()y f x b =+是奇函数，则函数()y f x =的图象关于点(,0)b 中心对称. 5.两个奇偶函数四则运算的性质（1）两个奇函数的和仍为奇函数； （2）两个偶函数的和仍为偶函数； （3）两个奇函数的积是偶函数； （4）两个偶函数的积是偶函数；（5）一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数。
函数的奇偶性、周期性与对称性-高考数学复习
法二
− −1
因为 f （ x ）是偶函数，所以 f （1）－ f （－1）＝ － −
−1
−1
− −1
＝
＝0，所以 a －1＝1，所以 a ＝2.故选D.
−1
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高中总复习·数学
解题技法
利用函数的奇偶性求参数值的解题策略
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高中总复习·数学
考向3 利用奇偶性求解析式及函数值
【例3】 （1）已知偶函数 f （ x ），当 x ∈[0，2）时， f （ x ）＝2
π
sin x ，当 x ∈[2，＋∞）时， f （ x ）＝log2 x ，则 f （－ ）＋ f （4）
3
＝（
）
B. 1
D. 3
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解析：∵函数 f （ x ）是偶函数，当 x ∈[0，2）时， f （ x ）＝2 sin
所以 f （ x ）既是奇函数又是偶函数.
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高中总复习·数学
（3） f （ x ）＝
36− 2
｜+3|−3
解：由 f （ x ）＝
；
36− 2
｜+3|−3
，可得
36 − 2 ≥ 0，
−6 ≤ ≤ 6，
⇒ቊ
故函数 f （ x ）的定义域为
൝
｜ + 3| − 3 ≠ 0 ≠ 0且 ≠ −6，
1（符合题意）.故选A.
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高中总复习·数学
2. （多选）下列函数中为非奇非偶函数的是（
）
A. y ＝ x ＋e x
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解析：
记 f （ x ）＝ x ＋e x ，则 f （－1）＝－1＋e－1， f （1）＝
第03讲函数的奇偶性、对称性与周期性(含新定义解答题) (分层精练)(解析)-25年高考数学一轮复习
分层精练）数周期性转化求值即可.【详解】因为()()110f x f x -++=，所以()()110f f -+=，且()()21log 111f =+=，则()11f -=-，又可得()()20f x f x ++=，()()240f x f x +++=，故()()4f x f x +=，所以函数()f x 是周期4T =的周期函数，()()()47412111f f f =⨯-=-=-．故选：D ．4．（2023·内蒙古赤峰·统考模拟预测）函数()y f x =是定义在R 上奇函数，且(4)()f x f x -=，(3)1f -=-，则(15)f =（）A ．0B ．1-C ．2D ．1【答案】B【分析】通过已知计算得出函数是周期为8的周期函数，则()()157f f =，根据已知得出(7)(3)1f f =-=-，即可得出答案.【详解】 函数()y f x =是定义在R 上奇函数，且(4)()f x f x -=，()()()4f x f x f x ∴+=-=-，()()()()4484f x f x f x f x ∴++=+=-+=，则函数()y f x =是周期为8的周期函数，则()()()151587f f f =-=，令3x =-，则(43)(3)1f f +=-=-，(15)1f ∴=-，故选：B.5．（2023上·山东烟台·高一校考期末）函数e x y =-与e x y -=的图象（）A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y x =对称【答案】C【分析】画出函数图像即可判断.【详解】根据如下图像即可判断出函数图像关于原点对称.故选：C10,10由上图知：增区间为[2,1),[0,1)--，减区间为零点为2,0,2x =-共3个；最大值为1，最小值为（2）由题设()7.5(80.5)(0.5)f f f =-=-=（3）令[]21,22[1,1]1n n x x n ∈⇒-∈--+且，且存在常数若()()20h x t h x t -⋅+=有8个不同的实数解，令则20n tn t -+=有两个不等的实数根2Δ400t t t ⎧=->⎪>⎪。
高考数学专题《函数的奇偶性、对称性、周期性》填选压轴题及答案
6．(多选题)函数f(x)的定义域为R，且f(x＋1)与f(x＋2)都为奇函数，则()
A.f(x)为奇函数B.f(x)为周期函数
C.f(x＋3)为奇函数D.f(x＋4)为偶函数
专题03函数的奇偶性、对称性、周期性
【方法点拨】
1.常见的与周期函数有关的结论如下：
(1)如果f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
(2)如果f(x＋a)＝ (a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
(3)如果f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
对于 ， 是函数 的一条对称轴，且函数 是周期为4的周期函数，则 是函数 的一条对称轴，
又由函数为奇函数，则直线 是函数 图象的一条对称轴， 正确；
对于 ，函数 在 ， 上有7个零点：分别为 ， ， ，0，2，4，6； 错误；
对于 ， 在区间 ， 上为增函数且其周期为4，函数 在 ， 上为增函数，
又由 为函数 图象的一条对称轴，则函数 在 ， 上为减函数， 正确；
2.函数奇偶性、对称性间关系：
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a＋x)＝f(a－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；一般的，若f(a＋x)＝f(b－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝ 对称．
(2)若函数y＝f(x＋a)是奇函数，即f(－x＋a)＋f(x＋a)＝0恒成立，则函数y＝f(x)关于点(a，0)中心对称；一般的，若对于R上的任意x都有f(a＋x)＋f(a－x)＝2b恒成立，则y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称.
函数的定义域值域,单调性,奇偶性,周期性,对称性,综合练习题
函数值域定义域问题： 1的值域求函数x x y-+-=53 2的值域求函数322122+-+-=x x x x y 分母”的方法，化成的值域，常可利用“去求形如fex dx c bx ax y ++++=22m(y)x 2+n(y)x+p(y)=0的形式，再利用x ∈R ，由Δ≥0求出y 的取值范围，注意（1）要分m(y)=0和m(y)≠0两种情况讨论，只有m(y)≠0时，才可利用判别式（2）在求出y 的取值范围后，要注意“=”能否取到） 3的值域求函数xx y cos 3sin 1++= 函数单调性问题：1. 若()x x x x f +-++=11lg 21,则不等式⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-21x x f ＜21的解集为 2.已知)2(log ax y a -=在]1,0[上是x 的减函数，则a 的取值范围是（ ）.A )10(， .B )2,1( .C )2,0( .D ),2[+∞3.已知函数，讨论函数的单调性；函数奇偶性问题：1判断下列函数奇偶性 <1>32()1x x f x x -=-; <2> 判断()(f x x =-2已知函数21()log 1x f x x x -=-++，求1()2005f -1()2004f +-1()2004f +1()2005f + 3已知定义域为R 的函数12()2x x b f x a+-+=+是奇函数。
（Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）任意t R ∈，22(2)(2)0f t t f t k -+-< 成立，求k 的取值范围； 函数的对称性问题1.已知函数y f x =+()1的图象过点（3，2），则函数f x ()的图象关于x 轴的对称图形一定过点（ ） A. （2，-2） B. （2，2） C. （-4，2）D. （4，-2） 2. x ∈R ，恒有)21()21(x f x f --=+成立，当1(0,)2x ∈时,()4x f x =,则3()4f =___________． 3. 若函数f(x)的图象与g(x)=2x-1的图象关于直线y=x+1对称，则函数f(x)的解析式为f(x)=_______________ 函数的周期性问题1 已知函数f （x ）的定义域为R ，则下列命题中：①若f （x －2）是偶函数，则函数f （x ）的图象关于直线x ＝2对称；②若f （x +2）＝－f （x －2），则函数f （x ）的图象关于原点对称；③函数y ＝f （2+x ）与函数y ＝f （2－x ）的图象关于直线x ＝2对称； 1ln )1()(2+++=ax x a x f )(x f④函数y ＝f （x －2）与函数y ＝f （2－x ）的图象关于直线x ＝2对称. 其中正确的命题序号是 ④ . 2若函数()()y f x x R =∈满足(2)()f x f x +=, 且(1,1]x ∈-时()||f x x =,则函数()y f x =的图象与函数lg ||y x =的图象的交点个数为___________ 3 设)(x f 是偶函数，且)1()1(x f x f -=+，当01≤≤-x 时，x x f 21)(-=，则=)6.8(f __。
专题05 函数周期性,对称性,奇偶性问题(解析版)
【详解】因为 f (x 1) 为偶函数，所以 f (x 1) f (x 1) ，所以 f (x 2) f (x) ， 因为 f (x 2) 为奇函数，所以 f (x 2) f (x 2) ，
所以 f (x 2) f (x) ，所以 f (x 4) f (x 2) f (x) ，
专题 05 函数周期性，对称性，奇偶性问题
一、结论（同号周期，异号对称.）
1、周期性：
已知定义在 R 上的函数 f (x) ,若对任意 x R ,总存在非零常数T ,使得 f (x T ) f (x) ,则称 f (x)
是周期函数, T 为其一个周期.除周期函数的定义外,还有一些常见的与周期函数有关的结论如下: (1)如果 f (x a) f (x) ( a 0 ),那么 f (x) 是周期函数,其中的一个周期 T 2a
所以 f x 关于 3,0 对称，所以 f x f 6 x 0 ，
因为 f x f 2 x ， f x f 6 x 0 ，
所以 f 6 x f 2 x ，故 f x f x 4 f x 8 ，故 f x 的周期为 8，
因为 f x 关于 x 1 对称，关于 3,0 对称，所以 f x 关于 x 5 对称，
所以 f (x 2) f (x) ，从而 f (x 4) f (x 2) f (x) ， f (x) 是周期函数，且周期为 4，所以 f (2k 1) 0, k Z ， 因为 f (x) 的图象关于直线 x 2 对称，也关于点 (1, 0) 对称， 所以 f (x) 的图象关于点 (3, 0) 对称，所以 f (2) f (4) 0 ， 所以 f (2) f (3) f (4) f (5) 0 ，
所以 f (x) 是以 4 为周期的周期函数， 由 f (x 2) f (x 2) ，令 x 0 ，得 f (2) f (2) ，则 f (2) 0 ， 又 f (1) f (2) 2 ，得 f (1) 2 ， 由 f (x 2) f (x 2) ，令 x 1 ，得 f (1) f (3) ，则 f (3) 2 ， 由 f (x 2) f (x) ，令 x 2 ，得 f (4) f (2) 0 ， 则 f (1) f (2) f (3) f (4) 0 ，
函数的对称性、奇偶性与周期性习题
函数的对称性、奇偶性与周期性习题一．求函数值：1.函数)(x f 对于任意实数x 满足条件)(1)2(x f x f =+，若,5)1(-=f 则____))5((=f f2.设定义在R 上的函数)(x f 满足13)2()(=+x f x f ，若2)1(=f ，则=)99(f （ ）A.13 B .2 C.213 D.132 3.已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足)()2(x f x f -=+，则___)6(=f4.已知函数()f x 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有(1)(1)()xf x x f x +=+，则5(())2f f 的值是（ ） A.0 B.12 C.1 D.525、已知)(x f 是R 上的偶函数，对R x ∈都有f(x ＋6)=f(x)＋f(3)成立，若f(1)=2，则f(2011)=6、函数)(x f 在R 上有定义，且满足)(x f 是偶函数，且()02005f =，()()1g x f x =-是奇函数，则()2005f 的值为7.已知函数()f x 为奇函数，且)2()2(x f x f -=+，当02≤≤-x 时，x x f 2)(= 则____)3log 2(2=+f8.(2009山东卷理)定义在R 上的函数f(x )满足f(x)= ⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),1(log 2x x f x f x x ，则f （2009）的值为( C )A.-1B. 0C.1D. 29.在数列12211(*)n n n n x x x x x x n N ++===-∈｛｝中，已知，，则100x =10. 设)(x f 是R 上的奇函数，)()2(x f x f -=+当10≤≤x 时，x x f =)(，则=)5.7(f （ ） A. 5.0 B. 5.0- C. 5.1 D. 5.1-二．比较函数值大小：1.已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,则( D ).A.(25)(11)(80)f f f -<<B. (80)(11)(25)f f f <<-C. (11)(80)(25)f f f <<-D. (25)(80)(11)f f f -<<2. 已知定义为R 的函数()x f 满足()()4x f x f +-=-，且函数()x f 在区间()∞+,2上单调递增.如果21x 2x <<，且4x x 21<+，则()()21x f x f +的值（ ）A. 恒小于0B.恒大于0 C ．可能为0 D ．可正可负三．确定函数图象与x 轴交点的个数及与x 轴交点横坐标和的问题1.设函数)(x f 对任意实数x 满足)2()2(x f x f -=+，=+)7(x f,0)0()7(=-f x f 且判断函数)(x f 图象在区间[]30,30-上与x 轴至少有___个交点.2.定义在 R 上的函数)(x f 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期，若方程0)(=x f 在闭区间[]T T ,-上的根的个数记为n ，则n 可能是( )A 0B 1C 3D 53.已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足)()4(x f x f -=-，且在区间[]2,0上是增函数，若方程()0)(>=m m x f 在区间[]8,8-上有四个不同的根432,1,,x x x x ，则____432=+++x x x x4、已知函数)(x f y =对一切实数x 满足)4()2(x f x f +=-，且方程0)(=x f 有5个实根，则这5个实根之和为（ ）A 、5B 、10C 、15D 、18三、求函数解析式1.设)(x f 是定义在R 上的函数，R x ∈∀均有0)2()(=++x f x f ，当11≤<-x 时，12)(-=x x f ，求当31≤<x 时，)(x f 的解析式_______2.设)(x f 是定义在),(+∞-∞上以2为周期的周期函数，且)(x f 是偶函数，在区间[]3,2上，.4)3(2)(2+--=x x f 求[]2,1∈x 时，)(x f 的解析式________3.已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，f(x)= f(4-x)，且当[]0,2-∈x 时，12)(+-=x x f ，则当[]6,4∈x 时求)(x f 的解析式________四．判断函数奇偶性、对称性及周期性1、设函数)(x f y =的定义域为R ，且满足)1()1(x f x f -=-，则)(x f y =的图象关于______对称。
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函数的奇偶性、周期性与对称性专题训练A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．已知f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋m ，则f (－2)＝( )A ．－3B ．－54C ．54 D ．32．函数y ＝log 21＋x1－x的图象( ) A ．关于原点对称 B ．关于直线y ＝－x 对称 C ．关于y 轴对称 D ．关于直线y ＝x 对称3．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋2)＝f (x )对x ∈R 恒成立，当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－92＝( )A ．12B ． 2C ．22 D ．14．已知函数f (x )是奇函数，在(0，＋∞)上是减函数，且在区间[a ，b ](a ＜b ＜0)上的值域为[－3,4]，则在区间[－b ，－a ]上( )A ．有最大值4B ．有最小值－4C ．有最大值－3D ．有最小值－35．已知f (x )是偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，若f (lg x )＞f (2)，则x 的取值范围是( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1100，1 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1100∪(1，＋∞) C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1100，100 D ．(0,1)∪(100，＋∞)二、填空题6．已知函数f (x )＝x 3＋sin x ＋m －3是定义在[n ，n ＋6]上的奇函数，则m ＋n ＝________.7.已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，当x ∈[0,2)时，f (x )＝x 2，若对于任8．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围是________．三、解答题9．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意实数x 有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x 成立．(1)证明y ＝f (x )是周期函数，并指出其周期； (2)若f (1)＝2，求f (2)＋f (3)的值．10．设f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f (x )是奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 1－3x.(1)求当x ＜0时，f (x )的解析式； (2)解不等式f (x )＜－x8.B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)11．已知f (x )＝a sin x ＋b 3x ＋4，若f (lg 3)＝3，则f ⎝⎛⎭⎪⎫lg 13＝( ) A ．13 B ．－13 C ．5 D ．812．已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)＜1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围为( )A ．(－1,4)B ．(－2,0)C ．(－1,0)D ．(－1,2)13．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且f (x )－g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，则f (1)，g (0)，g (－1)之间的大小关系是________.14．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋2x ，x ＞0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x ＜0是奇函数，(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．函数的奇偶性、周期性与对称性专题训练答案A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．已知f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋m ，则f (－2)＝( )A ．－3B ．－54C ．54D ．3A [因为f (x )为R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即f (0)＝20＋m ＝0，解得m ＝－1，则f (－2)＝－f (2)＝－(22－1)＝－3.] 2．函数y ＝log 21＋x1－x的图象( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝－x 对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线y ＝x 对称A [由1＋x 1－x ＞0得－1＜x ＜1，即函数定义域为(－1,1)， 又f (－x )＝log 21－x 1＋x ＝－log 21＋x1－x＝－f (x )， 所以函数y ＝log 21＋x1－x为奇函数，故选A.]3．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋2)＝f (x )对x ∈R 恒成立，当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－92＝( )A ．12B ． 2C ．22 D ．1B [由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－92＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝212＝2，故选B.]4．已知函数f (x )是奇函数，在(0，＋∞)上是减函数，且在区间[a ，b ](a ＜b ＜0)上的值域为[－3,4]，则在区间[－b ，－a ]上( )A ．有最大值4B ．有最小值－4C ．有最大值－3D ．有最小值－3B [法一：根据题意作出y ＝f (x )的简图，由图知，选B. 法二：当x ∈[－b ，－a ]时，－x ∈[a ，b ]，由题意得f (b )≤f (－x )≤f (a )，即－3≤－f (x )≤4， ∴－4≤f (x )≤3，即在区间[－b ，－a ]上f (x )min ＝－4，f (x )max ＝3，故选B.]5．已知f (x )是偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，若f (lg x )＞f (2)，则x的取值范围是( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1100，1 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1100∪(1，＋∞) C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1100，100 D ．(0,1)∪(100，＋∞)C [法一：不等式可化为：⎩⎨⎧lg x ≥0，lg x ＜2或⎩⎨⎧lg x ＜0，－lg x ＜2，解得1≤x ＜100或1100＜x ＜1，所以x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫1100，100. 法二：由偶函数的定义可知，f (x )＝f (－x )＝f (|x |)，故不等式f (lg x )＞f (2)可化为|lg x |＜2，即－2＜lg x ＜2，解得1100＜x ＜100，故选C.] 二、填空题6．已知函数f (x )＝x 3＋sin x ＋m －3是定义在[n ，n ＋6]上的奇函数，则m ＋n ＝________.0 [因为奇函数的定义域关于原点对称，所以n ＋n ＋6＝0，所以n ＝－3， 又f (0)＝m －3＝0.所以m ＝3，则m ＋n ＝0.]7．已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，当x ∈[0,2)时，f (x )＝x 2，若对于任意x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )，则f (2)－f (3)的值为________. 1 [由题意得f (2)＝f (－2＋4)＝f (－2)＝－f (2)， ∴f (2)＝0.∵f (3)＝f (－1＋4)＝f (－1)＝－f (1)＝－1， ∴f (2)－f (3)＝1.]8．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23 [∵f (x )是偶函数，∴f (x )＝f (|x |)， ∴f (|2x －1|)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，再根据f (x )的单调性，得|2x －1|＜13，解得13＜x ＜23.]三、解答题9．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意实数x 有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x 成立．(1)证明y ＝f (x )是周期函数，并指出其周期； (2)若f (1)＝2，求f (2)＋f (3)的值． [解] (1)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x ，且f (－x )＝－f (x )，知f (3＋x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f (－x )＝f (x )，所以y ＝f (x )是以3为周期的周期函数．(2)因为f (x )为定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，且f (－1)＝－f (1)＝－2，又3是y ＝f (x )的一个周期，所以f (2)＋f (3)＝f (－1)＋f (0)＝－2＋0＝－2.10．设f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f (x )是奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 1－3x.(1)求当x ＜0时，f (x )的解析式； (2)解不等式f (x )＜－x8.[解] (1)f (x )是奇函数，当x ＜0时，－x ＞0，此时f (x )＝－f (－x )＝－－x1－3－x＝x1－3－x. (2)f (x )＜－x 8，当x ＞0时，x 1－3x ＜－x8，所以11－3x ＜－18，所以13x －1＞18，所以3x －1＜8，解得x ＜2，所以x ∈(0,2)；当x ＜0时，x 1－3－x ＜－x 8，所以11－3－x＞－18，所以3－x ＞32，所以x ＜－2，所以原不等式的解集是(－∞，－2)∪(0,2)．B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)11．已知f (x )＝a sin x ＋b 3x ＋4，若f (lg 3)＝3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 13＝( )A ．13B ．－13C ．5D ．8C [因为f (x )＋f (－x )＝8，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 13＝f (－lg 3)，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 13＝8－f (lg 3)＝5，故选C.]12．已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)＜1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围为( )A ．(－1,4)B ．(－2,0)C ．(－1,0)D ．(－1,2) A [∵f (x )是定义在R 上的周期为3的偶函数， ∴f (5)＝f (5－6)＝f (－1)＝f (1)， ∵f (1)＜1，f (5)＝2a －3a ＋1，∴2a －3a ＋1＜1，即a －4a ＋1＜0， 解得－1＜a ＜4.]13．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且f (x )－g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，则f (1)，g (0)，g (－1)之间的大小关系是________. f (1)＞g (0)＞g (－1) [在f (x )－g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x中， 用－x 替换x ，得f (－x )－g (－x )＝2x ，由于f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数， 所以f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )， 因此得－f (x )－g (x )＝2x . 联立方程组解得f (x )＝2－x －2x2，g (x )＝－2－x ＋2x2，于是f (1)＝－34，g (0)＝－1，g (－1)＝－54，故f (1)＞g (0)＞g (－1)．]14．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋2x ，x ＞0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x ＜0是奇函数，(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． [解] (1)设x ＜0，则－x ＞0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数， 所以f (－x )＝－f (x )，于是x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2. (2)由(1)知f (x )在[－1,1]上是增函数， 要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增． 结合f (x )的图象知⎩⎨⎧a －2＞－1，a －2≤1，所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．。