2018版数学新导学同步人教A版选修2-3作业及测试：课时作业 7二项式定理 Word版含解析
高中数学人教A版选修2-3同步训练：1.3 二项式定理
1.3 二项式定理1、5221(2)1x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是( )A.-3B.-2C.2D.3 2、二项式()()1nx n N ++∈的展开式中2x 的系数为15,则n = ()A.4B.5C.6D.73、设m 为正整数, 2()m x y +展开式的二项式系数的最大值为a ,21()m x y ++展开式的二项式系数的最大值为b ,若137a b =,则m = ( ) A.5 B.6C.7D.84、若1()n x x+展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ） A.10 B.20 C.30 D.1205、在5212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中,x 的系数为( )A.10B.10-C.40D.40- 6、已知5(1)(1)ax x ++的展开式中2x 的系数为5,则a =( ) A.-4B.-3C.-2D.-17、84()(1)1x y ＋＋的展开式中22x y 的系数是( ) A ．56 B ．84 C ．112 D ．1688、设6x ⎛ ⎝的展开式中的3x 系数为A ,二项式系数为B ,则A B =( ) A. 4 B. 4- C. 62 D. 62-9、在101()2x x-的展开式中, 4x 的系数为( ) A.-120 B.120 C.-15 D.1510、若()3nx y +的展开式中各项的系数之和等于()107a b +的展开式中各二项式的系数之和，则n 的值为( ).A.5B.8C.10D.1511、已知31nx x ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭的展开式的二项式系数之和比()2na b +的展开式的系数之和小240,则31nx x ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭的展开式系数中最大的项是__________ 12、已知()()*1,n mx m R n N +∈∈的展开式的二项式系数之和为32,且展开式中含3x 项的系数为80,则()()611n mx x +-的展开式中含2x 项的系数为__________ 13、如图所示,在杨辉三角中,斜线AB 上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列:1,2,3,6,4,10, ⋅⋅⋅,记这个数列的前n 项和为n S 则16S =__________14、计算()0123521mn n n n C C C n C +++⋯++=__________(*)n N ∈.15、已知在332nx x 的展开式中,第6项为常数项. 1.求n ;2.求含2x 的项的系数 3.求展开式中所有的有理项.答案以及解析1答案及解析： 答案：D解析：5211x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中21x 的系数为445(1)5C -=,常数项的系数为5(1)(1)-=-,所以5221(2)1x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式的常数项是523-=,故选D.2答案及解析： 答案：C解析：本题主要考查二项式定理.11k n k k k n k k n n T C x C x --+==,由已知, 2n k -=时, 15k n C =,即2215n n n C C -==,故6n =,故本题选C.3答案及解析： 答案：B 解析：()2mx y +展开式中二项式系数的最大值为2mm C ,即2m m a C =,同理, 21m m b C +=,∴221137m mm m C C +=,即()()()132!721!!!!1!m m m m m m ⋅⋅+=+,∴()721131m m +=+,解得6m =.4答案及解析： 答案：B解析：因为1()n x x+展开式的二项式系数之和为64，即为264,6nn ==,那么展开式中常数项就是x 的幂指数为0的项，即为20.5答案及解析： 答案：D解析：5121(2)()rr r r T C x x-+=-51035(1)2r r r r C x --=-，∴1031r -=，∴3r =，∴35335(1)240C --=-6答案及解析： 答案：D 解析：7答案及解析： 答案：D 解析：8答案及解析： 答案：A解析：166k kk k T C x +-⎛= ⎝()36262k k k C x -=-,令3632k -=，即2k =，所以()223336260T C x x =-=，所以3x 的系数为60A =，二项式系数为2615B C ==，所以60415A B ==9答案及解析： 答案：C 解析：在101()2x x-的展开式中, 4x 的系数33101()152C -=-,选C10答案及解析： 答案：A解析：()107a b +的展开式中各二项式的系数之和为102,对于()3nx y +,令1,1x y ==,则由题意，知1042n =,解得5n =11答案及解析： 答案：463x解析：由题意,得222240n n-=,可得216,n =所以4n =,因此431x ⎛⎫+ ⎝的展开式中系数最大的项是第3项,为222431463C x x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭12答案及解析： 答案：-5解析：由题意,得n 232=,所以5n =,又()51mx +的展开式的通项为15r r rr T C m x +=,令3r =,得33580C m =,所以2m =,所以()()()()65611121n mx x x x +-=+-,其展开式中含2x 项的系数为0211205656562411525641015C C C C C C -+=⨯-⨯⨯+⨯⨯=-13答案及解析：答案：由杨辉三角的性质,得()1212122121162233992339S C C C C C C C C C C =++++⋅⋅⋅++=+++⋅⋅⋅+()32223339101011164C C C C C +++⋅⋅⋅+-=+-=解析：14答案及解析： 答案：()12nn +⋅解析：设()0123521nn n n n n S C C C n C =+++⋯++,则()()01121213n nn n n n nS n C n C C C -=++-+⋯++,所以()()()01221212nn n n n n S n C C C n =+++=+⋅⋯+,所以()12nn S n =+⋅.15答案及解析：答案：1.n的展开式的通项为 33112rn rrrr n T C xx --+⎛⎫=- ⎪⎝⎭2312rn r r n C x--⎛⎫=- ⎪⎝⎭,因为第6项为常数项, 所以5r =时,有203n r-=,解得10n =. 2.令223n r -=,得()()116106222r n =-=⨯-=,所以含2x 的项的系数为221014524C ⎛⎫-=⎪⎝⎭. 3.根据通项公式与题意得102,3010,.rZ r r Z -∈≤≤∈⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩令()1023rk k Z -=∈,则1023r k -=,即352r k =-.r Z ∈,k ∴应为偶数.又010r ≤≤,k ∴可取2,0,2-,即r 可取2,5,8.所以第3项,第6项与第9项为有理项,它们分别为2221012C x ⎛⎫- ⎪⎝⎭,551012C ⎛⎫- ⎪⎝⎭,8821012C x -⎛⎫- ⎪⎝⎭,即2454x ,638-,245256x . 解析：由Ruize收集整理。
人教新课标版数学高二-A版选修2-3 二项式定理 课时作业
课时作业(七)一、选择题1．化简(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4(x－1)＋1得()A．x4B．(x－1)4C．(x＋1)4D．x5解析：原式＝(x－1＋1)4＝x4.故选A.答案：A2．(x＋2)n的展开式共有12项，则n等于()A．9 B．10C．11 D．8解析：∵(a＋b)n的展开式共有n＋1项，而(x＋2)n的展开式共有12项，∴n ＝11.故选C.答案：C3．(1－i)10(i为虚数单位)的二项展开式中第七项为()A．－210 B．210C．－120i D．－210i解析：由通项公式得T7＝C610·(－i)6＝－C610＝－210.答案：A4．若C1n x＋C2n x2＋…＋C n n x n能被7整除，则x，n的值可能为()A．x＝5，n＝5 B．x＝5，n＝4C．x＝4，n＝4 D．x＝4，n＝3解析：C1n x＋C2n x2＋…＋C n n x n＝(1＋x)n－1，检验得B正确．答案：B5．在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为()A．30 B．20C．15 D．10解析：只需求(1＋x )6的展开式中含x 2项的系数即可，而含x 2项的系数为C 26＝15，故选C.答案：C6．若(1＋2)5＝a ＋b 2(a ，b 为有理数)，则a ＋b 等于( )A ．45B ．55C ．70D ．80解析：由二项式定理得(1＋2)5＝1＋C 15·2＋C 25·(2)2＋C 35·(2)3＋C 45·(2)4＋C 55·(2)5 ＝1＋52＋20＋202＋20＋42＝41＋292，即a ＝41，b ＝29，所以a ＋b ＝70.答案：C二、填空题7．若x >0，设⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 5的展开式中的第三项为M ，第四项为N ，则M ＋N 的最小值为________．解析：T 3＝C 25·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 23⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＝54x ， T 4＝C 35·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3＝52x， 故M ＋N ＝5x 4＋52x ≥2258＝522. 答案：5228．已知2×1010＋a (0≤a <11)能被11整除，则实数a 的值为________． 解析：根据题意，由于2×1010＋a ＝2×(11－1)10＋a ，由于2×1010＋a (0≤a <11)能被11整除，根据二项式定理展开式可知，2×(11－1)10被11除的余数为2，从而可知2＋a 能被11整除，可知a ＝9.答案：99．(x ＋a )10的展开式中，x 7的系数为15，则a ＝________.(用数字填写答案) 解析：二项展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 10x10－r a r ，当10－r ＝7时，r ＝3，T 4＝C 310a 3x 7，则C 310a 3＝15，故a ＝12. 答案：12三、解答题 10．在⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x 2－13x 8的展开式中，求： (1)第5项的二项式系数及第5项的系数；(2)倒数第3项．解：方法一：利用二项式的展开式解决．(1)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x 2－13x 8＝(2x 2)8－C 18(2x 2)7·13x＋C 28(2x 2)6·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 2－C 38(2x 2)5·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 3＋C 48(2x 2)4·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 4－C 58(2x 2)3·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 5＋C 68(2x 2)2·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 6－C 78(2x 2)·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 7＋C 88⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 8， 则第5项的二项式系数为C 48＝70，第5项的系数为C 48·24＝1 120. (2)由(1)中⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x 2－13x 8的展开式可知倒数第3项为C 68·(2x 2)2·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 6＝112x 2. 方法二：利用二项展开式的通项公式．(1)T 5＝C 48·(2x 2)8－4·⎝⎛⎭⎪⎪⎫－13x 4＝C 48·24·x ， 则第5项的二项式系数是C 48＝70，第5项的系数是C 48·24＝1 120. (2)展开式中的倒数第3项即为第7项，T 7＝C 68·(2x 2)8－6·⎝⎛⎭⎪⎪⎫－13x 6＝112x 2. 11．求证：1＋2＋22＋…＋25n －1(n ∈N *)能被31整除．证明：∵1＋2＋22＋…＋25n －1＝25n －12－1＝25n －1＝32n －1 ＝(31＋1)n －1＝C 0n ·31n ＋C 1n ·31n －1＋…＋C n －1n ·31＋C n n－1 ＝31(C 0n ·31n －1＋C 1n ·31n －2＋…＋C n －1n )，显然C 0n ·31n －1＋C 1n ·31n －2＋…＋C n －1n为整数，∴原式能被31整除．12．若⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋124x n 展开式中前三项系数成等差数列，求： (1)展开式中含x 的一次幂的项；(2)展开式中的所有有理项．解：(1)由已知可得C 0n ＋C 2n ·122＝2C 1n ·12， 解得n ＝8或n ＝1(舍去)．T k ＋1＝C k 8(x )8－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫124x k ＝C k 8·2－k ·x 4－34k ， 令4－34k ＝1，得k ＝4.所以x 的一次项为T 5＝C 482－4x ＝358x . (2)令4－34k ∈Z ，且0≤k ≤8，则k ＝0,4,8，所以含x 的有理项分别为T 1＝x 4，T 5＝358x ，T 9＝1256x 2.。
人教A版高中数学选修2-3全册同步练习及单元检测含答案
⼈教A版⾼中数学选修2-3全册同步练习及单元检测含答案⼈教版⾼中数学选修2～3 全册章节同步检测试题⽬录第1章《计数原理》同步练习 1.1测试1第1章《计数原理》同步练习 1.1测试2第1章《计数原理》同步练习 1.1测试3第1章《计数原理》同步练习 1.2排列与组合第1章《计数原理》同步练习 1.3⼆项式定理第1章《计数原理》测试（1）第1章《计数原理》测试（2）第2章同步练习 2.1离散型随机变量及其分布列第2章同步练习 2.2⼆项分布及其应⽤第2章测试（1）第2章测试（2）第2章测试（3）第3章练习 3.1回归分析的基本思想及其初步应⽤第3章练习 3.2独⽴性检验的基本思想及其初步应⽤第3章《统计案例》测试（1）第3章《统计案例》测试（2）第3章《统计案例》测试（3）1. 1分类加法计数原理与分步乘法计数原理测试题⼀、选择题1．⼀件⼯作可以⽤2种⽅法完成，有3⼈会⽤第1种⽅法完成，另外5⼈会⽤第2种⽅法完成，从中选出1⼈来完成这件⼯作，不同选法的种数是（）Ａ．8 Ｂ．15Ｃ．16 Ｄ．30答案：Ａ2．从甲地去⼄地有3班⽕车，从⼄地去丙地有2班轮船，则从甲地去丙地可选择的旅⾏⽅式有（）Ａ．5种Ｂ．6种Ｃ．7种Ｄ．8种答案：Ｂ3．如图所⽰为⼀电路图，从A 到B 共有（）条不同的线路可通电（）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4答案：Ｄ4．由数字0，1，2，3，4可组成⽆重复数字的两位数的个数是（）Ａ．25 Ｂ．20 Ｃ．16 Ｄ．12答案：Ｃ5．李芳有4件不同颜⾊的衬⾐，3件不同花样的裙⼦，另有两套不同样式的连⾐裙．“五⼀”节需选择⼀套服装参加歌舞演出，则李芳有（）种不同的选择⽅式（）Ａ．24 Ｂ．14 Ｃ．10 Ｄ．9答案：Ｂ 6．设A ，B 是两个⾮空集合，定义{}()A B a b a A b B *=∈∈，，|，若{}{}0121234P Q ==，，，，，，，则P *Q 中元素的个数是（）Ａ．4 Ｂ．7 Ｃ．12 Ｄ．16答案：Ｃ⼆、填空题7．商店⾥有15种上⾐，18种裤⼦，某⼈要买⼀件上⾐或⼀条裤⼦，共有种不同的选法；要买上⾐，裤⼦各⼀件，共有种不同的选法．答案：33，2708．⼗字路⼝来往的车辆，如果不允许回头，共有种⾏车路线．答案：129．已知{}{}0341278a b ∈∈，，，，，，，则⽅程22()()25x a y b -+-=表⽰不同的圆的个数是．答案：1210．多项式123124534()()()()a a a b b a a b b ++++++··展开后共有项．答案：1011．如图，从A →C ，有种不同⾛法．答案：612．将三封信投⼊4个邮箱，不同的投法有种．答案：34三、解答题 13．⼀个⼝袋内装有5个⼩球，另⼀个⼝袋内装有4个⼩球，所有这些⼩球的颜⾊互不相同．（1）从两个⼝袋内任取⼀个⼩球，有多少种不同的取法？（2）从两个⼝袋内各取⼀个⼩球，有多少种不同的取法？解：（1）549N =+=种；（2）5420N =?=种．14．某校学⽣会由⾼⼀年级5⼈，⾼⼆年级6⼈，⾼三年级4⼈组成．（1）选其中1⼈为学⽣会主席，有多少种不同的选法？（2）若每年级选1⼈为校学⽣会常委，有多少种不同的选法？（3）若要选出不同年级的两⼈参加市⾥组织的活动，有多少种不同的选法？解：（1）56415N =++=种；（2）564120N =??=种；（3）56644574N =?+?+?=种15．已知集合{}321012()M P a b =---，，，，，，，是平⾯上的点，a b M ∈，．（1）()P a b ，可表⽰平⾯上多少个不同的点？（2）()P a b ，可表⽰多少个坐标轴上的点？解：（1）完成这件事分为两个步骤：a 的取法有6种，b 的取法也有6种，∴P 点个数为N =6×6=36(个)；（2）根据分类加法计数原理，分为三类：①x 轴上（不含原点）有5个点；②y 轴上（不含原点）有5个点；③既在x 轴，⼜在y 轴上的点，即原点也适合，∴共有N =5+5+1=11（个）．1. 1分类加法计数原理与分步乘法计数原理测试题⼀、选择题 1．从集合{ 0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a ，b 组成复数a bi +，其中虚数有（） A ．30个 B ．42个 C ．36个 D ．35个答案：Ｃ2．把10个苹果分成三堆，要求每堆⾄少1个，⾄多5个，则不同的分法共有（） A ．4种 B ．5种 C ．6种 D ．7种答案：Ａ3．如图，⽤4种不同的颜⾊涂⼊图中的矩形A ，B ，C ，D 中，要求相邻的矩形涂⾊不同，则不同的涂法有（） A ．72种 B ．48种 C ．24种 D ．12种答案：Ａ4．教学⼤楼共有五层，每层均有两个楼梯，由⼀层到五层的⾛法有（） A ．10种 B ．52种Ｃ．25种Ｄ．42种答案：Ｄ5．已知集合{}{}023A B x x ab a b A ===∈，，，，，|，则B 的⼦集的个数是（）Ａ．4 Ｂ．8 Ｃ．16 Ｄ．15答案：Ｃ6．三边长均为正整数，且最⼤边长为11的三⾓形的个数为（）Ａ．25 Ｂ．26 Ｃ．36 Ｄ．37答案：Ｃ⼆、填空题7．平⾯内有7个点，其中有5个点在⼀条直线上，此外⽆三点共线，经过这7个点可连成不同直线的条数是．答案：128．圆周上有2n 个等分点（1n >），以其中三个点为顶点的直⾓三⾓形的个数为．答案：2(1)n n -9．电⼦计算机的输⼊纸带每排有8个穿孔位置，每个穿孔位置可穿孔或不穿孔，则每排可产⽣种不同的信息．答案：25610．椭圆221x y m n+=的焦点在y 轴上，且{}{}123451234567m n ∈∈，，，，，，，，，，，，则这样的椭圆的个数为．答案：20 11．已知集合{}123A ，，ü，且A 中⾄少有⼀个奇数，则满⾜条件的集合A 分别是．答案：{}{}{}{}{}13122313，，，，，，，12．整数630的正约数（包括1和630）共有个．答案：24三、解答题 13．⽤0，1，2，3，4，5六个数字组成⽆重复数字的四位数，⽐3410⼤的四位数有多少个？解：本题可以从⾼位到低位进⾏分类．（1）千位数字⽐3⼤．（2）千位数字为3：①百位数字⽐4⼤；②百位数字为4： 1°⼗位数字⽐1⼤；2°⼗位数字为1→个位数字⽐0⼤．所以⽐3410⼤的四位数共有2×5×4×3+4×3+2×3+2=140（个）．14．有红、黄、蓝三种颜⾊旗⼦各(3)n n >⾯，任取其中三⾯，升上旗杆组成纵列信号，可以有多少种不同的信号？若所升旗⼦中不允许有三⾯相同颜⾊的旗⼦，可以有多少种不同的信号？若所升旗⼦颜⾊各不相同，有多少种不同的信号？解： 1N =3×3×3=27种； 227324N =-=种； 33216N =??= 种．15．某出版社的7名⼯⼈中，有3⼈只会排版，2⼈只会印刷，还有2⼈既会排版⼜会印刷，现从7⼈中安排2⼈排版，2⼈印刷，有⼏种不同的安排⽅法．解：⾸先分类的标准要正确，可以选择“只会排版”、“只会印刷”、“既会排版⼜会印刷”中的⼀个作为分类的标准．下⾯选择“既会排版⼜会印刷”作为分类的标准，按照被选出的⼈数，可将问题分为三类：第⼀类：2⼈全不被选出，即从只会排版的3⼈中选2⼈，有3种选法；只会印刷的2⼈全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有3×1=3种选法．第⼆类：2⼈中被选出⼀⼈，有2种选法．若此⼈去排版，则再从会排版的3⼈中选1⼈，有3种选法，只会印刷的2⼈全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有2×3×1=6种选法；若此⼈去印刷，则再从会印刷的2⼈中选1⼈，有2种选法，从会排版的3⼈中选2⼈，有3种选法，由分步计数原理知共有2×3×2=12种选法；再由分类计数原理知共有6+12=18种选法．第三类：2⼈全被选出，同理共有16种选法．所以共有3+18+16=37种选法．1． 1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理综合卷⼀．选择题：1．⼀个三层书架，分别放置语⽂书12本，数学书14本，英语书11本，从中取出⼀本，则不同的取法共有（）（A ） 37种（B ） 1848种（C ） 3种（D ） 6种2．⼀个三层书架，分别放置语⽂书12本，数学书14本，英语书11本，从中取出语⽂、数学、英语各⼀本，则不同的取法共有（）（A ） 37种（B ） 1848种（C ） 3种（D ） 6种3．某商业⼤厦有东南西3个⼤门，楼内东西两侧各有2个楼梯，从楼外到⼆楼的不同⾛法种数是（）（A ） 5 （B ）7 （C ）10 （D ）124．⽤1、2、3、4四个数字可以排成不含重复数字的四位数有（）（A ）265个（B ）232个（C ）128个（D ）24个5．⽤1、2、3、4四个数字可排成必须含有重复数字的四位数有（）（A ）265个（B ）232个（C ）128个（D ）24个6．3科⽼师都布置了作业，在同⼀时刻4名学⽣都做作业的可能情况有（）（A ）43种（B ）34种（C ）4×3×2种（D ） 1×2×3种7．把4张同样的参观券分给5个代表，每⼈最多分⼀张，参观券全部分完，则不同的分法共有（）（A ）120种（B ）1024种（C ）625种（D ）5种8．已知集合M={l ，－2，3}，N={－4，5，6，7}，从两个集合中各取⼀个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直⾓坐标系中可表⽰第⼀、⼆象限内不同的点的个数是（）（A ）18 （B ）17 （C ）16 （D ）109．三边长均为整数，且最⼤边为11的三⾓形的个数为（）（A ）25 （B ）36 （C ）26 （D ）3710．如图，某城市中，M 、N 两地有整齐的道路⽹，若规定只能向东或向北两个⽅向沿途中路线前进，则从M 到N 不同的⾛法共有（）（A ）25 （B ）15 （C）13 （D ）10 ⼆．填空题：11．某书店有不同年级的语⽂、数学、英语练习册各10本，买其中⼀种有种⽅法；买其中两种有种⽅法．12．⼤⼩不等的两个正⽅形玩具，分别在各⾯上标有数字1，2，3，4，5，6，则向上的⾯标着的两个数字之积不少于20的情形有种．13．从1，2，3，4，7，9中任取不相同的两个数，分别作为对数的底数和真数，可得到个不同的对数值．14．在连结正⼋边形的三个顶点组成的三⾓形中，与正⼋边形有公共边的有个．15．某班宣传⼩组要出⼀期向英雄学习的专刊，现有红、黄、⽩、绿、蓝五种颜⾊的粉笔供选⽤，要求在⿊板中A 、B 、C 、D 每⼀部分只写⼀种颜⾊，如图所⽰，相邻两块颜⾊不同，则不同颜⾊的书写⽅法共有种．三．解答题：16．现由某校⾼⼀年级四个班学⽣34⼈，其中⼀、⼆、三、四班分别为7⼈、8⼈、9⼈、10⼈，他们⾃愿组成数学课外⼩组．（1）选其中⼀⼈为负责⼈，有多少种不同的选法？（2）每班选⼀名组长，有多少种不同的选法？（3）推选⼆⼈做中⼼发⾔，这⼆⼈需来⾃不同的班级，有多少种不同的选法？17．4名同学分别报名参加⾜球队，蓝球队、乒乓球队，每⼈限报其中⼀个运动队，不同的报名⽅法有⼏种？［探究与提⾼］1．甲、⼄两个正整数的最⼤公约数为60，求甲、⼄两数的公约数共有多个？2．从{－3，－2，－1，0，l，2，3}中，任取3个不同的数作为抛物线⽅程y=ax2＋bx＋c（a≠0）的系数，如果抛物线过原点，且顶点在第⼀象限，这样的抛物线共有多少条？3．电视台在“欢乐今宵”节⽬中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的群众来信，甲信箱中有30封，⼄信箱中有20封．现由主持⼈抽奖确定幸运观众，若先确定⼀名幸运之星，再从两信箱中各确定⼀名幸运伙伴，有多少种不同的结果？综合卷1．A 2．B 3．D 4．D 5．B 6．B 7．D 8．B 9．B 10．B11．30；300 12．513．17 14．40 15．1801． 2排列与组合1、排列综合卷1．90×9l ×92×……×100=（）（A ）10100A （B ）11100A （C ）12100A （D ）11101A 2．下列各式中与排列数mn A 相等的是（）（A ）!(1)!-+n n m （B ）n(n －1)(n －2)……(n －m) （C ）11m n nA n m --+ （D ）111m n n A A --3．若 n ∈N 且 n<20，则(27－n )(28－n)……(34－n)等于（）（A ）827n A - （B ）2734nn A -- （C ）734n A - （D ）834n A -4．若S=123100123100A A A A ++++，则S 的个位数字是（）（A ）0 （B ）3 （C ）5 （D ）85．⽤1，2，3，4，5这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）（A ）24个（B ）30个（C ）40个（D ）60个6．从0，l ，3，5，7，9中任取两个数做除法，可得到不同的商共有（）（A ）20个（B ）19个（C ）25个（D ）30个7．甲、⼄、丙、丁四种不同的种⼦，在三块不同⼟地上试种，其中种⼦甲必须试种，那么不同的试种⽅法共有（）（A ）12种（B ）18种（C ）24种（D ）96种8．某天上午要排语⽂、数学、体育、计算机四节课，其中体育不排在第⼀节，那么这天上午课程表的不同排法共有（）（A ）6种（B ）9种（C ）18种（D ）24种9．有四位司机、四个售票员组成四个⼩组，每组有⼀位司机和⼀位售票员，则不同的分组⽅案共有（）（A ）88A 种（B ）48A 种（C ）44A ·44A 种（D ）44A 种10．有4位学⽣和3位⽼师站在⼀排拍照，任何两位⽼师不站在⼀起的不同排法共有（）（A ）(4!)2种（B ）4!·3!种（C ）34A ·4!种（D ）3 5A ·4!种11．把5件不同的商品在货架上排成⼀排，其中a ，b 两种必须排在⼀起，⽽c ，d 两种不能排在⼀起，则不同排法共有（）（A ）12种（B ）20种（C ）24种（D ）48种⼆．填空题:：12．6个⼈站⼀排，甲不在排头，共有种不同排法．13．6个⼈站⼀排，甲不在排头，⼄不在排尾，共有种不同排法．14．五男⼆⼥排成⼀排，若男⽣甲必须排在排头或排尾，⼆⼥必须排在⼀起，不同的排法共有种．15．将红、黄、蓝、⽩、⿊5种颜⾊的⼩球，分别放⼊红、黄、蓝、⽩、⿊5种颜⾊的⼝袋中，但红⼝袋不能装⼊红球，则有种不同的放法．16．（1）有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每⼈各⼀本，共有种不同的送法；（2）有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每⼈各⼀本，共有种不同的送法．三、解答题：17．⼀场晚会有5个唱歌节⽬和3个舞蹈节⽬，要求排出⼀个节⽬单（1）前4个节⽬中要有舞蹈，有多少种排法？（2）3个舞蹈节⽬要排在⼀起，有多少种排法？（3）3个舞蹈节⽬彼此要隔开，有多少种排法？18．三个⼥⽣和五个男⽣排成⼀排．（1）如果⼥⽣必须全排在⼀起，有多少种不同的排法？（2）如果⼥⽣必须全分开，有多少种不同的排法？（3）如果两端都不能排⼥⽣，有多少种不同的排法？（4）如果两端不能都排⼥⽣，有多少种不同的排法？（5）如果三个⼥⽣站在前排，五个男⽣站在后排，有多少种不同的排法？综合卷1．B 2．D 3．D 4．C 5．A 6．B 7．B 8．C 9．D 10．D 11．C12．600 13．504 14．480 15．9616．(1) 60；(2) 12517．(1) 37440；(2) 4320；(3) 1440018．(1) 4320；(2) 14400；(3) 14400；(4) 36000；(5) 7202、组合综合卷⼀、选择题：1．下列等式不正确的是（）（A ）!!()!mn n C m n m =- （B ）11mm n n m C C n m++=- （C ）1111m m n n m C C n +++=+ （D ）11m m n n C C ++= 2．下列等式不正确的是（）（A ）m n m n n C C -= （B ）11m m mm m m C C C -++=（C ）123455555552C C C C C ++++= （D ）11 111m m m m n n n n C C C C --+--=++3．⽅程2551616x x x C C --=的解共有（）（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个4．若372345n n n C A ---=，则n 的值是（）（A ）11 （B ）12 （C ）13 （D ）145．已知7781n n n C C C +-=，那么n 的值是（）（A ）12 （B ）13 （C ）14 （D ）15 6．从5名男⽣中挑选3⼈，4名⼥⽣中挑选2⼈，组成⼀个⼩组，不同的挑选⽅法共有（）（A ）3254C C 种（B ） 3254C C 55A 种（C ） 3254A A 种（D ） 3254A A 55A 种7．从4个男⽣，3个⼥⽣中挑选4⼈参加智⼒竞赛，要求⾄少有⼀个⼥⽣参加的选法共有（）（A ）12种（B ）34种（C ）35种（D ）340种8．平⾯上有7个点，除某三点在⼀直线上外，再⽆其它三点共线，若过其中两点作⼀直线，则可作成不同的直线（）（A ）18条（B ）19条（C ）20条（D ）21条9．在9件产品中，有⼀级品4件，⼆级品3件，三级品2件，现抽取4个检查，⾄少有两件⼀级品的抽法共有（）（A ）60种（B ）81种（C ）100种（D ）126种10．某电⼦元件电路有⼀个由三节电阻串联组成的回路，共有6个焊点，若其中某⼀焊点脱落，电路就不通．现今回路不通，焊点脱落情况的可能有（）（A ）5种（B ）6种（C ）63种（D ）64种⼆．填空题：11．若11m m n n C xC --=，则x= ．12．三名教师教六个班的课，每⼈教两个班，分配⽅案共有种。
2018版数学新导学同步人教A版选修2-3作业及测试：课时作业 7二项式定理
(1)求展开式的第四项．
(2)求展开式的常数项．
解析：Tr＋1＝C ( )n－r r
＝ rC x .
由前三项系数的绝对值成等差数列，
得C ＋ 2C ＝2× C ，
解得n＝8或n＝1(舍去)．
(1)展开式的第四项为：
T4＝ 3C x ＝－7 .
常数项为C (－1)8＝C ＝45，选D.
答案：D
4. 5(x∈R)展开式中x3的系数为10，则实数a等于()
A．－1 B.
C．1 D．2
解析：由二项式定理，得Tr＋1＝C x5－r· r＝C ·x5－2r·ar，∴5－2r＝3，∴r＝1，∴C ·a＝10，∴a＝2.
答案：D
5．在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为()
(2)当 － r＝0，即r＝4时，常数项为 4C ＝ .
|
11．二项式 n展开式中含有x项，则n可能的取值是()
A．10 B．9
C．8D．7
解析：因为二项式 n展开式的通项公式为Tr＋1＝C · n－1·(－ )r
＝(－1)r·C ·x ，
令－2n＋ ＝1，得5r＝4n＋2，
即r＝ ，
即4n＋2是5的倍数，
解：(1)证明：依题意，前三项系数的绝对值分别是1，C · 1，C · 2，
且2C · ＝1＋C · 2，
即n2－9n＋8＝0，
所以n＝8(n＝1舍去)，
所以 8的展开式的通项为
Tr＋1＝C ·( )8－r r
＝ r·C ·x ·x
＝(－1)r· ·x .
若Tr＋1为常数项，当且仅当 ＝0，
即3r＝16，
|
一、选择题(每小题5分，共25分)
2018版数学新导学同步人教A版选修2-3检测及作业：课时作业 6组合的综合应用(习题课) Word版含解析
＋C55＝31种．答案：318．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有________种(用数字作答)．解析：有C13·C24·A22＝36种满足题意的分配方案．其中C13表示从3个乡镇中任选定1个乡镇，且其中某2名大学生去的方法数；C24表示从4名大学生中任选2名到上一步选定的乡镇的方法数；A22表示将剩下的2名大学生分配到另两个乡镇去的方法数．答案：36三、解答题(每小题10分，共20分)9．从5名女同学和4名男同学中选出4人参加四场不同的演讲，分别按下列要求，各有多少种不同选法？(用数字作答)(1)男、女同学各2名．(2)男、女同学分别至少有1名．(3)在(2)的前提下，男同学甲与女同学乙不能同时选出．解析：(1)(C25C24)A44＝1 440，所以男、女同学各2名共有1 440种选法．(2)(C15C34＋C25C24＋C35C14)A44＝2 880，所以男、女同学分别至少有1名共有2 880种选法，(3)[120－(C23＋C14C13＋C24)]A44＝2 376，所以在(2)的前提下，男同学甲与女同学乙不能同时选出共有2 376种选法．10．有五张卡片，它们的正、反面分别写0与1,2与3,4与5,6与7,8与9.将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？解析：方法一：(直接法)从0与1两个特殊值着眼，可分三类：(1)取0不取1，可先从另四张卡片中选一张作百位，有C14种方法；0可在后两位，有C12种方法；最后需从剩下的三张中任取一张，有C13种方法；又除含0的那张外，其他两张都有正面或反面两种可能，故此时可得不同的三位数有C14C12C13·22个．(2)取1不取0，同上分析可得不同的三位数有C24·22·A33个．(3)0和1都不取，有不同的三位数C34·23·A33个．综上所述，共有不同的三位数：C14·C12·C13·22＋C24·22·A33＋C34·23·A33＝432(个)．方法二：(间接法)任取三张卡片可以组成不同的三位数C35·23·A33个，其中0在百位的有C24·22·A22个，这是不合题意的，故共有不同的三位数：C35·23·A33－C24·22·A22＝432(个)．|能力提升|(20分钟，40分)11．由两个1，两个2，两个3组成的6位数的个数为()A．45 B．90C．120 D．360解析：问题等价于从6个位置中各选出2个位置填上相同的1,2,3，所以由分步计数原理有C26C24C22＝90(个)不同的六位数，故选B.答案：B12.如图所示的四棱锥中，顶点为P，从其他的顶点和各棱中点中取3个，使它们和点P在同一平面内，不同的取法种数为________．解析：满足要求的点的取法可分为三类：第一类，在四棱锥的每个侧面上除点P外任取3点，有4C35种取法；第二类，在两条相对侧棱上除点P外任取3点，有2C34种取法；第三类，过点P的侧棱中，每一条上的三点和与这条棱异面的两条棱的中点也共面，有4C12种取法．所以，满足题意的不同取法共有4C35＋2C34＋4C12＝56(种)．答案：5613．课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女各指定一名队长，现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？(1)只有一名女生；(2)两队长当选；(3)至少有一名队长当选；(4)至多有两名女生当选；(5)既要有队长，又要有女生当选．解析：(1)一名女生，四名男生，故共有C15·C48＝350(种)选法．(2)将两队长作为一类，其他11人作为一类，故共有C22·C311＝165(种)选法．(3)至少有一名队长当选含有两类：有一名队长当选和两名队长都当选．故共有C12·C411＋C22·C311＝825(种)选法．或采用间接法：C513－C511＝825(种)．(4)至多有两名女生含有三类：有两名女生，只有一名女生，没有女生．故共有C25·C38＋C15·C48＋C58＝966(种)选法．(5)分两类：第一类，女队长当选，有C412种选法；第二类，女队长不当选，有C14·C37＋C24·C27＋C34·C17＋C44(种)选法，故选法共有C412＋C14·C37＋C24·C27＋C34·C17＋C44＝790(种)．14．已知平面α∥平面β，在α内有4个点，在β内有6个点，(1)过这10个点中的3点作一平面，最多可作多少个不同平面？(2)以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？(3)上述三棱锥中最多可以有多少个不同体积的三棱锥？解析：(1)所作出的平面有三类：①α内1点，β内2点确定的平面，有C14·C26个．②α内2点，β内1点确定的平面，有C24·C16个．③α，β本身．故所作的平面最多有C14·C26＋C24·C16＋2＝98(个)．(2)所作的三棱锥有三类：①α内1点，β内3点确定的三棱锥，有C14·C36个．②α内2点，β内2点确定的三棱锥，有C24·C26个．③α内3点，β内1点确定的三棱锥，有C34·C16个．∴最多可作出的三棱锥有：C14·C36＋C24·C26＋C34·C16＝194(个)．(3)∵当等底面积，等高的情况下三棱锥体积才能相等，∴体积不相同的三棱锥最多有C36＋C34＋C26·C24＝114(个)．。
2018版数学新导学同步人教A版选修2-3检测及作业：课时作业 8“杨辉三角”与二项式系数的性质 Word版含解析
＋1 k k 2 ≥Ck 2k＋1， C8· 8 · 则 k k －1 C8· 2 ≥Ck 2k－1， 8 ·
8－k≥k＋1， 即 2 1 ≥ k 9－k.
Hale Waihona Puke 12 k≥5， 整理得 k≤6.
于是 k＝5 或 6. 故系数的绝对值最大的项是第 6 项和第 7 项． |能力提升|(20 分钟，40 分) 1 11．若2x3＋x2n(n∈N*)的展开式中存在常数项，则 n 的最小值
＋(－1)nan＝34＝81. 答案：A a x＋ n 5．已知关于 x 的二项式 3 展开式的二项式系数之和为 x 32，常数项为 80，则 a 的值为( ) A．2 B．± 1 C．1 D．± 2 解析：∵二项式系数和为 2n＝32， ∴n＝5， a r r 5 －r ∴通项公式为 Tr＋1＝C5· ( x) · 3 x ＝Cr ar· x 6 . 5· ∵常数项为 80. ∴r＝3 时，C3 a3＝80， 5· ∴a＝2，故选 A. 答案：A 二、填空题(每小题 5 分，共 15 分) 6．(1＋ x)n 展开式中的各项系数的和大于 8 而小于 32，则系数 最大的项是________． 1 n 解析：因为 8<C0 n＋Cn＋„＋Cn<32， 即 8<2n<32，且 n∈N*， 所以 n＝4. 2 所以展开式共有 5 项，系数最大的项为 T3＝C2 4( x) ＝6x. 答案：6x 7．(a＋x)(1＋x)4 的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32， 则 a＝________. 解析：设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5. 令 x＝1，得(a＋1)×24＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5.① 令 x＝－1，得 0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.② ①－②，得 16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)＝2×32， ∴a＝3. 答案：3 8．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第________行 中从左到右第 14 与第 15 个数的比为 23.
人教版数学高二数学 1.3《二项式定理》同步测试(新人教A版选修2-3)
． 二项式定理一、选择题：本大题共 个小题，每小题 分，共 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ．在()103x -的展开式中，6x 的系数为✌．610C 27-．410C 27．610C 9-．410C 9． 已知a 4b ,0b a =>+， ()n b a +的展开式按♋的降幂排列，其中第⏹ 项与第⏹项相等，那么正整数⏹等于✌．．． ． ．已知（n a a )132+的展开式的第三项与第二项的系数的比为∶ ，则⏹是 （ ） ✌． ． ． ． ． 被 除的余数是✌．．．．． ☎✆ 的计算结果精确到 的近似值是✌． ． ． ． ．二项式n4x 1x 2⎪⎭⎫ ⎝⎛+ ☎⏹∈☠✆的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则此展开式有理项的项数是✌． ．．．．设☎⌧31⌧21✆n 展开式的各项系数之和为♦，其二项式系数之和为♒，若♦♒，则展开式的⌧2项的系数是✌．21．．．．在62)1(x x -+的展开式中5x 的系数为✌． ． ． ．．n xx )(5131+展开式中所有奇数项系数之和等于 ，则所有项的系数中最大的值是✌． ． ． ． ．54)1()1(-+x x 的展开式中，4x 的系数为✌．－ ．． ． ．二项式☎♦♓⏹⌧✆⏹的展开式中，末尾两项的系数之和为 ，且系数最大的一项的值为25，则⌧在☯， π 内的值为✌．6π或3π ．6π或65π ．3π或32π．3π或65π．在☎⌧✆ ☎⌧✆ ☎⌧✆ 的展开式中 含⌧ 项的系数是等差数列 ♋⏹ ⏹－ 的 （ ） ✌．第 项 ．第 项 ．第 项．第 项二、填空题：本大题满分 分，每小题 分，各题只要求直接写出结果 ．92)21(xx -展开式中9x 的系数是．若()44104x a x a a 3x 2+⋅⋅⋅++=+，则()()2312420a a a a a +-++的值为♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉．若 32()n x x -+的展开式中只有第 项的系数最大，则展开式中的常数项是∙∙∙∙∙∙ ∙ ．对于二项式☎⌧✆1999，有下列四个命题： ①展开式中❆1000 － 19991000⌧999； ②展开式中非常数项的系数和是 ；③展开式中系数最大的项是第 项和第 项； ④当⌧时，☎⌧✆1999除以 的余数是 ． 其中正确命题的序号是♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉．（把你认为正确的命题序号都填上）三、解答题：本大题满分 分．（ 分）若n x x )1(66+展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列． （１）求⏹的值；（２）此展开式中是否有常数项，为什么？．（ 分）已知☎124x +✆⏹的展开式中前三项的二项式系数的和等于 ，求展式中二项式系数最大的项的系数．．（ 分）是否存在等差数列{}n a ，使nn n1n 2n 31n 20n 12n C a C a C a C a ⋅=+⋅⋅⋅++++对任意*N n ∈都成立？若存在，求出数列{}n a 的通项公式；若不存在，请说明理由．．（ 分）某地现有耕地 亩，规划 年后粮食单产比现在增加 ，人均粮食占有量比现在提高 。
高中数学第一章计数原理课时作业7二项式定理新人教A版选修2-3(2021年整理)
2018版高中数学第一章计数原理课时作业7 二项式定理新人教A版选修2-3编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018版高中数学第一章计数原理课时作业7 二项式定理新人教A版选修2-3）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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课时作业 7 二项式定理方法二：利用二项展开式的通项求解．T r＋1＝C错误!x6－r错误!r＝(－2）r C错误!x6－2r,令6－2r＝0,得r＝3。
所以常数项为T4＝（－2）3C错误!＝－160。
答案：－1607．二项式错误!6的展开式的第5项的系数为错误!，则实数a的值为________．解析：因为展开式的第5项为T5＝C错误!·(2x3）2·错误!4＝错误!x2＝错误!x2,所以第5项的系数为错误!。
由已知，得错误!＝错误!。
所以a4＝81，即a＝3或－3.答案:3或－38．若错误!n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中错误!的系数为________．解析：利用二项展开式的通项公式求解．由题意知，C错误!＝C错误!，∴n＝8.∴T r＋1＝C错误!·x8－r·错误!r＝C错误!·x8－2r，当8－2r＝－2时,r＝5,∴错误!的系数为C错误!＝C错误!＝56.答案：56三、解答题（每小题10分，共20分)9．求（错误!－错误!）9展开式中的有理项．解析：∵T k＋1＝＝（－1)k·C k，9·x 276k。
[学习资料]2018-2019学年高中数学人教A版选修2-3：课时跟踪检测(七)二项式定理-含解析
课时跟踪检测（七） 二项式定理层级一 学业水平达标1．(x ＋2)n 的展开式共有12项，则n 等于( )A ．9B ．10C ．11D ．8解析：选C ∵(a ＋b )n 的展开式共有n ＋1项，而(x ＋2)n 的展开式共有12项，∴n ＝11．故选C ．2．(1－i)10(i 为虚数单位)的二项展开式中第七项为( )A ．－210B ．210C ．－120iD ．－210i解析：选A 由通项公式得T 7＝C 610·(－i)6＝－C 610＝－210．3．已知⎝⎛⎭⎫x －1x 7的展开式的第4项等于5，则x 等于( ) A ．17B ．－17C ．7D ．－7解析：选B T 4＝C 37x 4⎝⎛⎭⎫－1x 3＝5，∴x ＝－17． 4．若二项式⎝⎛⎭⎫x －2x n 的展开式中第5项是常数项，则自然数n 的值可能为( ) A ．6B ．10C ．12D ．15解析：选C ∵T 5＝C 4n (x )n －4·⎝⎛⎭⎫－2x 4＝24·C 4n x n －122是常数项，∴n －122＝0，∴n ＝12． 5．(湖南高考)⎝⎛⎭⎫12x －2y 5的展开式中x 2y 3的系数是( ) A ．－20B ．－5C ．5D ．20解析：选A 由二项展开式的通项可得，第四项T 4＝C 35⎝⎛⎭⎫12x 2(－2y )3＝－20x 2y 3，故x 2y 3的系数为－20，选A ．6．(全国卷Ⅰ)(2x ＋x )5的展开式中，x 3的系数是______．(用数字填写答案) 解析：(2x ＋x )5展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(2x )5－r (x )r ＝25－r ·C r 5·x 5－r 2． 令5－r 2＝3，得r ＝4． 故x 3的系数为25－4·C 45＝2C 45＝10． 答案：107．若(1＋2x )6的展开式中的第2项大于它的相邻两项，则x 的取值范围是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ T 2＞T 1，T 2＞T 3，得⎩⎪⎨⎪⎧C 162x ＞1，C 162x ＞C 26(2x )2.解得112＜x ＜15． 答案：⎝⎛⎭⎫112，158．若(x ＋a )10的展开式中，x 7的系数为15，则a ＝______．(用数字填写答案)解析：二项展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 10x 10－r a r ，当10－r ＝7时，r ＝3，T 4＝C 310a 3x 7，则C 310a 3＝15，故a ＝12． 答案：129．若二项式⎝⎛⎭⎫x －a x 6(a ＞0)的展开式中x 3的系数为A ，常数项为B ，且B ＝4A ，求a 的值．解：∵T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝⎛⎭⎫－a x r ＝(－a )r C r 6x 6－3r 2， 令6－3r 2＝3，则r ＝2，得A ＝C 26·a 2＝15a 2； 令6－3r 2＝0，则r ＝4，得B ＝C 46·a 4＝15a 4． 由B ＝4A 可得a 2＝4，又a ＞0，所以a ＝2．10．已知m ，n ∈N *，f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋x )n 展开式中x 的系数为19，求x 2的系数的最小值及此时展开式中x 7的系数．解：由题设m ＋n ＝19，∵m ，n ∈N *．∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1 ，n ＝18，⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2，n ＝17，…，⎩⎪⎨⎪⎧m ＝18，n ＝1. x 2的系数C 2m ＋C 2n ＝12(m 2－m )＋12(n 2－n )＝m 2－19m ＋171＝⎝⎛⎭⎫m －1922＋3234． ∴当m ＝9或10时，x 2的系数取最小值81，此时x 7的系数为C 79＋C 710＝156．层级二 应试能力达标1．在(1－x 3)(1＋x )10的展开式中x 5的系数是( )A ．－297B ．－252C ．297D ．207解析：选D x 5应是(1＋x )10中含x 5项与含x 2项．∴其系数为C 510＋C 210(－1)＝207．2．使⎝⎛⎭⎫3x ＋1x x n (n ∈N *)的展开式中含有常数项的最小的n 为( ) A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选B 由二项式定理得，T r ＋1＝C r n (3x )n －r ⎝⎛⎭⎫1x x r ＝C r n 3n －r xn －52r ，令n －52r ＝0，当r ＝2时，n ＝5，此时n 最小．3．(1＋3x )n (其中n ∈N 且n ≥6)的展开式中，若x 5与x 6的系数相等，则n ＝( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选B 二项式(1＋3x )n 的展开式的通项是T r ＋1＝C r n 1n －r ·(3x )r ＝C r n ·3r ·x r ．依题意得 C 5n ·35＝C 6n ·36，即n (n －1)(n －2)(n －3)(n －4)5！＝3×n (n －1)(n －2)(n －3)(n －4)(n －5)6！(n ≥6)，得n ＝7． 4．在⎝⎛⎭⎫x 2－1x n 的展开式中，常数项为15，则n 的一个值可以是( ) A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选D 通项T r ＋1＝C r n (x 2)n －r ⎝⎛⎭⎫－1x r ＝(－1)r C r n x 2n －3r ，常数项是15，则2n ＝3r ，且C r n ＝15，验证n ＝6时，r ＝4合题意，故选D ．5．x ⎝⎛⎭⎫x －2x 7的展开式中，x 4的系数是________．(用数字作答) 解析：x 4的系数，即⎝⎛⎭⎫x －2x 7展开式中x 3的系数， T r ＋1＝C r 7·x 7－r ·⎝⎛⎭⎫－2x r ＝(－2)r ·C r 7·x 7－2r ， 令7－2r ＝3得，r ＝2，∴所求系数为(－2)2C 27＝84．答案：846．在⎝ ⎛⎭⎪⎫32x －1220的展开式中，系数是有理数的项数为________． 解析：T r ＋1＝C r 20(32x )20－r ⎝⎛⎭⎫－12r ＝⎝⎛⎭⎫－22r ·(32)20－r C r 20·x 20－r ．∵系数为有理数，∴(2)r 与220－r 3均为有理数， ∴r 能被2整除，且20－k 能被3整除．故r 为偶数，20－r 是3的倍数，0≤r ≤20,∴r ＝2,8,14,20．答案：47．记⎝⎛⎭⎫2x ＋1x n 的展开式中第m 项的系数为b m ． (1)求b m 的表达式；(2)若n ＝6，求展开式中的常数项；(3)若b 3＝2b 4，求n ．解：(1)⎝⎛⎭⎫2x ＋1x n 的展开式中第m 项为 C m －1n ·(2x )n －m ＋1·⎝⎛⎭⎫1x m －1＝2n ＋1－m ·C m －1n ·x n ＋2－2m ，所以b m ＝2n ＋1－m ·C m －1n ． (2)当n ＝6时，⎝⎛⎭⎫2x ＋1x n 的展开式的通项为 T r ＋1＝C r 6·(2x )6－r ·⎝⎛⎭⎫1x r ＝26－r ·C r 6·x 6－2r ． 依题意，6－2r ＝0，得r ＝3，故展开式中的常数项为T 4＝23·C 36＝160．(3)由(1)及已知b 3＝2b 4，得2n －2·C 2n ＝2·2n －3·C 3n ， 从而C 2n ＝C 3n ，即n ＝5．8．求证：1＋2＋22＋…＋25n －1(n ∈N *)能被31整除． 证明：∵1＋2＋22＋…＋25n －1＝25n －12－1＝25n －1＝32n －1＝(31＋1)n －1＝C 0n ·31n ＋C 1n ·31n －1＋…＋C n －1n ·31＋C n n －1 ＝31(C 0n ·31n －1＋C 1n ·31n －2＋…＋C n －1n )，显然C 0n ·31n －1＋C 1n ·31n －2＋…＋C n －1n 为整数，∴原式能被31整除．。
人教A版选修2-3 第一章1.3-1.3.1二项式定理 课时作业
人教A 版选修2-3 第一章1.3-1.1.1二项式定理 课时作业1.若⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －123x n 的展开式中第四项为常数项，则n ＝( ) A ．4B ．5C ．6D ．7解析：由二项展开式可得T r ＋1＝C r n (x )n －r ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－123x r ＝(－1)r 2－r C r n x n －r 2·x －r 3，从而T 4＝T 3＋1＝(－1)32－3C 3n x n －52，由题意可知n －52＝0，n ＝3.答案：B2.在(1－x 3)(1＋x )10的展开式中，x 5的系数是( )A ．－297B ．－252C ．297D ．207解析：(1－x 3)(1＋x )10＝(1＋x )10－x 3(x ＋1)10展开式中含x 5的项的系数为：C 510－C 210＝205.答案：D3.若C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n 能被7整除，则x ，n 的值可能为( ) A ．x ＝5，n ＝5B ．x ＝5，n ＝4C ．x ＝4，n ＝4D ．x ＝4，n ＝3解析：C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n ＝(1＋x )n －1，检验得B 正确．答案：B二、填空题4.(2015·福建卷)(x ＋2)5的展开式中，x 2的系数等于________(用数字作答)．解析：(x ＋2)5的展开式中x 2项为C 2523x 2＝80，所以x 2的系数等于80.答案：805.⎝⎛⎭⎪⎪⎫2－13x 6的展开式中的第四项是________．解析：T 4＝C 3623⎝⎛⎭⎪⎪⎫－13x 3＝－160x . 答案：－160x6.如果⎝⎛⎭⎪⎫3x 2＋1x n 的展开式中，x 2项为第三项，则自然数n ＝________．解析：T r ＋1＝C r n (3x 2)n －r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r n x 2n －5r 3，由题意知r ＝2时，2n －5r 3＝2，所以n ＝6.答案：8三、解答题7.在⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 6的展开式中，求： (1)第3项的二项式系数及系数；(2)含x 2的项及项数．解：(1)第3项的二项式系数为C 26＝15，又T 3＝C 26(2x )4⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2＝24C 26x ， 所以第3项的系数为24C 26＝240.(2)T k ＋1＝C k n (2x )6－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x k＝(－1)k 26－k C r 6x 3－k ，令3－k ＝2，得k ＝1.所以含x 2的项为第2项，且T 2＝－192x 2.8.已知m ，n ∈N *，f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋x )n 的展开式中x 的系数为19，求x 2的系数的最小值及此时展开式中x 7的系数．解：由题设知m ＋n ＝19，又m ，n ∈N *，所以1≤m ≤16.x 2的系数为C 2m ＋C 2n ＝12(m 2－m )＋12(n 2－n )＝m 2－19m ＋171. 所以当m ＝9或10时，x 2的系数的最小值为81，此时x 7的系数为C 79＋C 710＝154.B 级 能力提升1．如果⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－2x 3n的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为( )A ．3B ．5C ．6D ．10 解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－2x 3n 展开式的通项表达式为C r n (3x 2)n －r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 3r ＝C r n 3n －r (－2)r x 2n －5r ，若C r n 3n －r (－2)r x 2n －5r 为非零常数项，必有2n －5r ＝0，得n ＝52r ，所以正整数n 的最小值为3. 答案：B2．设二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a x 6(a ＞0)的展开式中，x 3的系数为A ，常数项为B ，若B ＝4A ，则a 的值是________．解析：A ＝C 26(－a )2，B ＝C 46(－a )4，由B ＝4A 知，C 26(－a )2＝C 46(－a )4，解得a ＝2(舍去a ＝－2)．答案：21.已知⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －124x n 的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列．(1)证明展开式中没有常数项；(2)求展开式中所有有理项．解：依题意，前三项系数的绝对值分别是1，C 1n ·12，C 2n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫122， 依题意2C 1n ·12＝1＋C 2n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫122，即n 2－9n ＋8＝0，解之得n ＝8(舍去n ＝1)． 故T k ＋1＝C r 8(x )8－r ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－124x r＝⎝⎛⎭⎪⎫－12C r 8x 16－3r4.(1)证明：若T r ＋1为常数项，当且仅当16－3r4＝0，即3r ＝16，因为r ∈N *，所以3r ＝16不可能成立． 故展开式中没有常数项．(2)若T r ＋1为有理项，当且仅当16－3r4为整数，因为0≤r ≤8，r ∈N *，所以r ＝0或r ＝4或r ＝6. 此时展开式中的有理项共有三项，它们是T 1＝x 4，T 5＝358x ，T 9＝1256x 2.。
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|基础巩固|
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(x－2y)11展开式中共有( )
A．10项 B．11项
C．12项 D．9项
解析：根据二项式定理可知有11＋1＝12项．
答案：C
2．在 5的二项展开式中，x的系数为( )
A．10 －10
C．40 D．－40
解析：利用通项求解．
因为Tr＋1＝C (2x2)5－r r＝C 25－rx10－2r(－1)rx－r＝C 25－r(－1)rx10－3r，所以10－3r＝1，所以r＝3，所以x的系数为C 25－3(－1)3＝－40.
答案：D
3．已知 n的展开式中第三项与第五项的系数之比为 ，则展开式中常数项是( )
A．－1 B．1
C．－45 D．45
方法二：∵(1－x)6(1＋x)4
＝[(1－x)(1＋x)]4(1－x)2
＝(1－x2)4(1－x)2
＝(1－C x2＋C x4－C x6＋C x8)(1－x)2，
∴x3的系数为－C ·(－2)＝8.
14．已知 n的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列．
(1)证明展开式中没有常数项；
(2)求展开式中所有有理项．
解析：利用二项展开式的通项公式求解．
由题意知，C ＝C ，∴n＝8.
∴Tr＋1＝C ·x8－r· r＝C ·x8－2r，
当8－2r＝－2时，r＝5，
∴ 的系数为C ＝C ＝56.
答案：56
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．求( － )9展开式中的有理项．
解析：∵Tk＋1＝
＝(－1)k·C ·x.
令 ∈Z，即4＋ ∈Z，且k＝0,1,2，…，9.
∴k＝3或k＝9.
当k＝3时， ＝4，T4＝(－1)3·C ·x4＝－84x4；
当k＝9时， ＝3，T10＝(－1)9·C ·x3＝－x3.
∴( － )9的展开式中的有理项是：第4项，－84x4；第10项，－x3.
10．在二项式 n的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列．
(1)求展开式的第四项．
(2)求展开式的常数项．
解析：Tr＋1＝C ( )n－r r
＝ rC x.
由前三项系数的绝对值成等差数列，
得C ＋ 2C ＝2× C ，
解得n＝8或n＝1(舍去)．
(1)展开式的第四项为：
T4＝ 3C x ＝－7 .
(2)当 － r＝0，即r＝4时，常数项为 4C ＝ .
|能力提升|
因为r∈N，所以这不可能，
所以展开式中没有常数项．
(2)若Tr＋1为有理项，当且仅当 为整数．
因为0≤r≤8，r∈N，所以r＝0,4,8，
即展开式中的有理项共有3项，
它们是T1＝x4，T5＝ x，T9＝ x－2.
所以常数项为T4＝(－2)3C ＝－160.
答案：－160
7．二项式 6的展开式的第5项的系数为 ，则实数a的值为________．
解析：因为展开式的第5项为T5＝C ·(2x3)2· 4＝ x2＝ x2，所以第5项的系数为 .由已知，得 ＝ .所以a4＝81，即a＝3或－3.
答案：3或－3
8．若 n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中 的系数为________．
解析：由题知第三项的系数为C (－1)2＝C ，第五项的系数为C (－1)4＝C ，则有 ＝ ，解之得n＝10，
由Tr＋1＝C x20－2r·x (－1)r，
当20－2r－ ＝0时，即当r＝8时，
常数项为C (－1)8＝C ＝45，选D.
答案：D
4. 5(x∈R)展开式中x3的系数为10，则实数a等于( )
12．(1＋x＋x2) 6的展开式中的常数项为________．
解析： 6的展开式中，Tr＋1＝C x6－r· r＝(－1)rC x6－2r，令6－2r＝0，得r＝3，T4＝C (－1)3＝－C ，令6－2r＝－1，得r＝ (舍去)，令6－2r＝－2，得r＝4，T5＝C (－1)4x－2，所以(1＋x＋x2) 6的展开式中的常数项为1×(－C )＋C ＝－20＋15＝－5.
解：(1)证明：依题意，前三项系数的绝对值分别是1，C · 1，C · 2，
且2C · ＝1＋C · 2，
即n2－9n＋8＝0，
所以n＝8(n＝1舍去)，
所以 8的展开式的通项为
Tr＋1＝C ·( )8－r r
＝ r·C ·x ·x
＝(－1)r· ·x .
若Tr＋1为常数项，当且仅当 ＝0，
即3r＝16，
11．二项式 n展开式中含有x项，则n可能的取值是( )
A．10 B．9
C．8 D．7
解析：因为二项式 n展开式的通项公式为Tr＋1＝C · n－1·(－ )r
＝(－1)r·C ·x ，
令－2n＋ ＝1，得5r＝4n＋2，
即r＝ ，
即4n＋2是5的倍数，
所以满足条件的数在答案中只有7.故选D.
答案：D
答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．在 6的二项展开式中，常数项等于________．
解析：方法一：利用计数原理及排列组合知识求解．
常数项为C x3 3＝20x3 ＝－160.
方法二：利用二项展开式的通项求解．
Tr＋1＝C x6－r r＝(－2)rC x6－2r，令6－2r＝0，得r＝3.
答案：－5
13．求(1－x)6(1＋x)4的展开式中x3的系数．
解析：方法一：∵(1－x)6的通项Tk＋1＝C (－x)k＝(－1)kC xk，k∈{0,1,2,3,4,5,6}，(1＋x)4的通项Tr＋1＝C ·xr，r∈{0,1,2,3,4}，
又k＋r＝3，
则 或 或 或
∴x3的系数为C －C C ＋C C －C ＝8.
A．－1 B.
C．1 D．2
解析：由二项式定理，得Tr＋1＝C x5－r· r＝C ·x5－2r·ar，∴5－2r＝3，∴r＝1，∴C ·a＝10，∴a＝2.
答案：D
5．在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为( )
A．30 B．20
C．15 D．10
解析：因为(1＋x)6的展开式的第(r＋1)项为Tr＋1＝C xr，x(1＋x)6的展开式中含x3的项为C x3＝15x3，所以系数为15.