2017-2018学年高中数学人教B版必修一课时作业：3-1指数与指数函数-2 第2课时 含解析 精品
2017-2018学年高中数学人教B版必修一课时作业：3-2对
第三章 3.2 3.2.3一、选择题1．函数y ＝⎝⎛⎭⎫23x的反函数为导学号 65164972( C ) A ．y ＝⎝⎛⎭⎫32x B ．y ＝log 32xC ．y ＝log 23xD ．y ＝log 13x[解析] 函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)与函数y ＝a x (a >0，a ≠1)互为反函数， ∴函数y ＝⎝⎛⎭⎫23x 的反函数是y ＝log 23x ，故选C ．2．若f (10x )＝x ，则f (5)＝导学号 65164973( B ) A ．log 510 B ．lg5 C ．105D ．510[解析] 解法一：令u ＝10x ，则x ＝lg u ，∴f (u )＝lg u ， ∴f (5)＝lg5.解法二：令10x ＝5，∴x ＝lg5，∴f (5)＝lg5.3．若函数y ＝ax 1＋x 的图象关于直线y ＝x 对称，则a 的值为导学号 65164974( B )A ．1B ．－1C ．±1D ．任意实数[解析] 因为函数图象本身关于直线y ＝x 对称，故可知原函数与反函数是同一函数，所以先求反函数，再与原函数作比较即可得出答案；或利用反函数的性质求解，依题意，知点(1，a 2)与(a2，1)均在原函数图象上，故可得a ＝－1.4．已知函数y ＝f (x )与y ＝e x 互为反函数，函数y ＝g (x )的图象与y ＝f (x )的图象关于x 轴对称，若g (a )＝1，则实数a 的值为导学号 65164975( C )A ．－eB ．－1eC ．1eD ．e[解析] ∵函数y ＝f (x )与y ＝e x 互为反函数， ∴f (x )＝ln x ，又∵函数y ＝g (x )的图象与y ＝f (x )的图象关于x 轴对称，∴g (x )＝－ln x ，∴g (a )＝－ln a ＝1，∴ln a ＝－1，∴a ＝1e .5．函数y ＝10x2－1(0<x ≤1)的反函数是导学号 65164976( D )A ．y ＝－1＋lg x (x >110)B ．y ＝1＋lg x (x >110) C ．y ＝－1＋lg x (110<x ≤1)D ．y ＝1＋lg x (110<x ≤1)[解析] 由y ＝10x 2－1(0<x ≤1)，得x 2－1＝lg y ，即x ＝lg y ＋1.又∵0<x ≤1，即－1<x 2－1≤0，∴110<10x 2－1≤1，即原函数的值域为(110，1]． ∴原函数的反函数为y ＝lg x ＋1(110<x ≤1)．6．已知函数f (x )＝log a (x －k )的图象过点(4,0)，而且其反函数f －1(x )的图象过点(1,7)，则f (x )是导学号 65164977( A )A ．增函数B ．减函数C ．奇函数D ．偶函数[解析] ∵函数f (x )＝log a (x －k )的图象过点(4,0)， ∴log a (4－k )＝0，∴k ＝3. ∴f (x )＝log a (x －3)，又反函数f －1(x )的图象过点(1,7)，∴f (x )过点(7,1)．∴log a 4＝1，∴a ＝4，∴f (x )为增函数．7．若点(1,2)既在y ＝ax ＋b 的图象上，又在其反函数的图象上，则a ＝__－3__，b ＝__7__.导学号 65164978[解析] 由题意可知点(1,2)和点(2,1)都在y ＝ax ＋b 的图象上，∴⎩⎨⎧2＝a ＋b 1＝2a ＋b，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ＝7.8．已知函数f (x )的反函数g (x )＝1＋2lg x (x >0)，则f (1)＋g (1)＝__2__.导学号 65164979 [解析] 令g (x )＝1，则2lg x ＝0，∴x ＝1.∵f (x )与g (x )互为反函数， ∴f (1)＝1，g (1)＝1＋2lg1＝1， ∴f (1)＋g (1)＝2. 三、解答题9．已知y ＝12x ＋a 与y ＝3－bx 互为反函数，求a 、b 的值.导学号 65164980[解析] 由y ＝12x ＋a ，得x ＝2y －2a ，∴y ＝2x －2a .即函数y ＝12x ＋a 的反函数为y ＝2x －2a ，由已知得函数y ＝2x －2a 与函数 y ＝3－bx 为同一函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧－b ＝2－2a ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32b ＝－2.10．已知函数f (x )＝log a (2－x )(a >1).导学号 65164981 (1)求函数f (x )的定义域、值域； (2)求函数f (x )的反函数f －1(x )；(3)判断f －1(x )的单调性．[解析] (1)要使函数f (x )有意义，需满足2－x >0，即x <2， 故原函数的定义域为(－∞，2)，值域为R . (2)由y ＝log a (2－x )得，2－x ＝a y ，即x ＝2－a y . ∴f －1(x )＝2－a x (x ∈R )．(3)f －1(x )在R 上是减函数．证明如下：任取x 1，x 2∈R 且x 1<x 2， ∵f －1(x 2)－f －1(x 1)＝2－a x 2－2＋a x 1＝a x 1－a x 2，∵a >1，x 1<x 2，∴a x 1<a x 2即a x 1－a x 2<0， ∴f －1(x 2)<f －1(x 1)，∴y ＝f －1(x )在R 上是减函数．。
2017-2018学年高一数学必修1全册同步课时作业含解析【人教A版】
2017-2018学年高一数学必修1 全册同步课时作业目录1.1.1-1集合与函数概念1.1.1-2集合的含义与表示1.1.1-3集合的含义与表示1.1.2集合间的包含关系1.1.3-1集合的基本运算（第1课时）1.1.3-2集合的基本运算（第2课时）1.1习题课1.2.1函数及其表示1.2.2-1函数的表示法（第1课时）1.2.2-2函数的表示法（第2课时）1.2.2-3函数的表示法（第3课时）1.2习题课1.3.1-1单调性与最大（小）值（第1课时）1.3.1-2单调性与最大（小）值（第2课时）1.3.1-3单调性与最大（小）值（第3课时）1.3.1-4单调性与最大（小）值（第4课时）1.3.2-1函数的奇偶性（第1课时）1.3.2-2函数的奇偶性（第2课时）函数的值域专题研究第一章单元检测试卷A第一章单元检测试卷B 2.1.1-1基本初等函数（Ⅰ）2.1.1-2指数与指数幂的运算（第2课时）2.1.2-1指数函数及其性质（第1课时）2.1.2-2指数函数及其性质（第2课时）2.1.2-3对数与对数运算（第3课时）2.2.1-1对数与对数运算（第1课时）2.2.1-2对数与对数运算（第2课时）2.2.1-3对数与对数运算（第3课时）2.2.2-1对数函数及其性质（第1课时）2.2.2-2对数函数的图像与性质（第2课时）2.2.2-3对数函数的图像与性质2.3 幂函数图像变换专题研究第二章单元检测试卷A第二章单元检测试卷B3.1.1函数的应用3.1.2用二分法求方程的近似解3.2.1函数模型及其应用3.2.2函数模型的应用实例第三章单元检测试卷A第三章单元检测试卷B全册综合检测试题模块A全册综合检测试题模块B1.1.1-1集合与函数概念课时作业1.下列说法中正确的是()A.联合国所有常任理事国组成一个集合B.衡水中学年龄较小的学生组成一个集合C.{1，2，3}与{2，1，3}是不同的集合D.由1，0，5，1，2，5组成的集合有六个元素答案 A解析根据集合中元素的性质判断.2.若a 是R 中的元素，但不是Q 中的元素，则a 可以是( ) A.3.14 B.－2 C.78 D.7答案 D解析 由题意知a 应为无理数，故a 可以为7. 3.设集合M ＝{(1，2)}，则下列关系式成立的是( ) A.1∈M B.2∈M C.(1，2)∈M D.(2，1)∈M 答案 C4.若以方程x 2－5x ＋6＝0和方程x 2－x －2＝0的解为元素的集合为M ，则M 中元素的个数为( )A.1B.2C.3D.4 答案 C解析 M ＝{－1，2，3}.5.若2∈{1，x 2＋x}，则x 的值为( ) A.－2 B.1 C.1或－2 D.－1或2 答案 C解析 由题意知x 2＋x ＝2，即x 2＋x －2＝0.解得x ＝－2或x ＝1.6.已知集合M ＝{a ，b ，c}中的三个元素可构成某一三角形的三边长，那么此三角形一定不是( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 答案 D解析 因集合中的元素全不相同，故三角形的三边各不相同.所以△ABC 不可能是等腰三角形.7.设a ，b ∈R ，集合{1，a}＝{0，a ＋b}，则b －a ＝( ) A.1 B.－1 C.2 D.－2 答案 A解析 ∵{1，a}＝{0，a ＋b}，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，a ＋b ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1.∴b －a ＝1，故选A. 8.下列关系中①－43∈R ；②3∉Q ；③|－20|∉N *；④|－2|∈Q ；⑤－5∉Z ；⑥0∈N .其正确的是________. 答案 ①②⑥ 9.下列说法中①集合N 与集合N *是同一个集合；②集合N 中的元素都是集合Z 中的元素；③集合Q 中的元素都是集合N 中的元素；④集合Q 中的元素都是集合R 中的元素. 其中正确的个数是________. 答案 2解析 由数集性质知①③错误，②④正确.10.集合{1，2}与集合{2，1}是否表示同一集合？________；集合{(1，2)}与集合{(2，1)}是否表示同一集合？______.(填“是”或“不是”) 答案 是，不是11.若{a ，0，1}＝{c ，1b ，－1}，则a ＝______，b ＝______，c ＝________.答案 －1 1 0解析 ∵－1∈{a ，0，1}，∴a ＝－1. 又0∈{c ，1b ，－1}且1b ≠0，∴c ＝0，从而可知1b＝1，∴b ＝1.12.已知集合A 中含有两个元素1和a 2，则a 的取值范围是________. 答案 a ∈R 且a ≠±1解析 由集合元素的互异性，可知a 2≠1，∴a ≠±1，即a ∈R 且a ≠±1. 13.对于集合A ＝{2，4，6}，若a ∈A ，则6－a ∈A ，那么a 的值是________. 答案 2或414.设A 表示集合{2，3，a 2＋2a －3}，B 表示集合{a ＋3，2}，若已知5∈A ，且5∉B ，求实数a 的值. 答案 －4解析 ∵5∈A ，且5∉B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋2a －3＝5，a ＋3≠5， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4或a ＝2，a ≠2.∴a ＝－4. ►重点班·选做题15.若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为“可倒数集”. (1)判断集合A ＝{－1，1，2}是否为可倒数集； (2)试写出一个含3个元素的可倒数集.解析 (1)由于2的倒数为12不在集合A 中，故集合A 不是可倒数集.(2)若a ∈A ，则必有1a ∈A ，现已知集合A 中含有3个元素，故必有一个元素有a ＝1a ，即a＝±1，故可以取集合A ＝{1，2，12}或{－1，2，12}或{1，3，13}等.下面有五个命题：①集合N (自然数集)中最小的数是1；②{1，2，3}是不大于3的自然数组成的集合；③a ∈N ，b ∈N ，则a ＋b ≥2；④a ∈N ，b ∈N ，则a·b ∈N ；⑤集合{0}中没有元素. 其中正确命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3答案 B解析 因为0是自然数，所以0∈N .由此可知①②③是错误的，⑤亦错，只有④正确.故选B.1.1.1-2集合的含义与表示含解析课时作业1.用列举法表示集合{x|x 2－2x ＋1＝0}为( ) A.{1，1} B.{1}C.{x ＝1}D.{x 2－2x ＋1＝0}答案 B2.集合{1，3，5，7，9}用描述法表示应是( ) A.{x|x 是不大于9的非负奇数} B.{x|x ≤9，x ∈N } C.{x|1≤x ≤9，x ∈N } D.{x|0≤x ≤9，x ∈Z }答案 A3.由大于－3且小于11的偶数组成的集合是( ) A.{x|－3<x<11，x ∈Q } B.{x|－3<x<11}C.{x|－3<x<11，x ＝2k ，x ∈Q }D.{x|－3<x<11，x ＝2k ，x ∈Z }答案 D4.集合{x ∈N *|x<5}的另一种表示法是( ) A.{0，1，2，3，4} B.{1，2，3，4} C.{0，1，2，3，4，5} D.{1，2，3，4，5}答案 B5.设集合M ＝{x|x ∈R 且x ≤23}，a ＝26，则( ) A.a ∉M B.a ∈MC.a ＝MD.{a|a ＝26}＝M答案 A解析 首先元素与集合关系只能用符号“∈”与“∉”表示.集合中元素意义不同的不能用“＝”连接，再有a ＝24>23，a 不是集合M 的元素，故a ∉M.另外{a|a ＝26}中只有一个元素26与集合M 中元素不相同.故D 错误.6.将集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫（x ，y ）⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5，2x －y ＝1表示成列举法，正确的是( ) A.{2，3} B.{(2，3)} C.{x ＝2，y ＝3} D.(2，3)答案 B7.下列集合中，不同于另外三个集合的是( ) A.{x|x ＝1} B.{x ＝1} C.{1}D.{y|(y －1)2＝0}答案 B解析A，C，D都是数集.8.下列集合表示同一集合的是()A.M＝{(3，2)}，N＝{(2，3)}B.M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}C.M＝{4，5}，N＝{5，4}D.M＝{1，2}，N＝{(1，2)}答案 C解析A中M是点集，N是点集，是两个不同的点；B中M是点集，N是数集；D中M是数集，N是点集，故选C.9.设集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为()A.3B.4C.5D.6答案 B解析由集合中元素的互异性，可知集合M＝{5，6，7，8}，所以集合M中共有4个元素.10.坐标轴上的点的集合可表示为()A.{(x，y)|x＝0，y≠0或x≠0，y＝0}B.{(x，y)|x2＋y2＝0}C.{(x，y)|xy＝0}D.{(x，y)|x2＋y2≠0}答案 C解析坐标轴上的点的横、纵坐标至少有一个为0，故选C.11.将集合“奇数的全体”用描述法表示为①{x|x＝2n－1，n∈N*}; ②{x|x＝2n＋1，n∈Z}；③{x|x＝2n－1，n∈Z};④{x|x＝2n＋1，n∈R}；⑤{x|x＝2n＋5，n∈Z}.其中正确的是________.答案②③⑤12.已知命题：(1){偶数}＝{x|x＝2k，k∈Z}；(2){x||x|≤2，x∈Z}＝{－2，－1，0，1，2}；(3){(x，y)|x＋y＝3且x－y＝1}＝{1，2}.其中正确的是________.答案(1)(2)13.已知集合A＝{1，0，－1，3}，B＝{y|y＝|x|，x∈A}，则B＝________.答案{0，1，3}解析 ∵y ＝|x|，x ∈A ，∴y ＝1，0，3，∴B ＝{0，1，3}. 14.用∈或∉填空：(1)若A ＝{x|x 2＝x}，则－1________A ； (2)若B ＝{x|x 2＋x －6＝0}，则3________B ； (3)若C ＝{x ∈N |1≤x ≤10}，则8________C ； (4)若D ＝{x ∈Z |－2<x<3}，则1.5________D. 答案 (1)∉ (2)∉ (3)∈ (4)∉ ►重点班·选做题15.用另一种方法表示下列集合. (1){x||x|≤2，x ∈Z }；(2){能被3整除，且小于10的正数}； (3)坐标平面内在第四象限的点组成的集合. (4){(x ，y)|x ＋y ＝6，x ，y 均为正整数}； (5){－3，－1，1，3，5}. (6)被3除余2的正整数集合.答案 (1){－2，－1，0，1，2} (2){3，6，9}(3)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫（x ，y ）⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧x>0，y<0 (4){(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)} (5){x|x ＝2k －1，－1≤k ≤3，k ∈Z } (6){x|x ＝3n ＋2，n ∈N }16.已知集合{x|x 2＋ax ＋b ＝0}＝{2，3}，求a ，b 的值. 答案 －5 6解析 ∵{x|x 2＋ax ＋b ＝0}＝{2，3}， ∴方程x 2＋ax ＋b ＝0有两实根x 1＝2，x 2＝3. 由根与系数的关系得a ＝－(2＋3)＝－5，b ＝2×3＝6.1.下列集合是有限集的是( ) A.{x|x 是被3整除的数}B.{x ∈R |0＜x ＜2}C.{(x ，y)|2x ＋y ＝5，x ∈N ，y ∈N }D.{x|x 是面积为1的菱形}答案 C解析 C 中集合可化为：{(0，5)，(1，3)，(2，1)}.2.已知集合A ＝{x|x 2－2x ＋a>0}，且1∉A ，则实数a 的取值范围是( ) A.{a|a ≤1}B.{a|a ≥1}C.{a|a≥0}D.{a|a≤－1}答案 A解析因为1∉A，所以当x＝1时，1－2＋a≤0，所以a≤1，即a的取值范围是{a|a≤1}.1.1.1-3集合的含义与表示课时作业(三)1.设x ∈N ，且1x ∈N ，则x 的值可能是( )A.0B.1C.－1D.0或1答案 B解析 首先x ≠0，排除A ，D ；又x ∈N ，排除C ，故选B.2.下面四个关系式：π∈{x|x 是正实数}，0.3∈Q ，0∈{0}，0∈N ，其中正确的个数是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 答案 A解析 本题考查元素与集合之间的关系，由数集的分类可知四个关系式均正确. 3.集合{x ∈N |－1<x<112}的另一种表示方法是( )A.{0，1，2，3，4}B.{1，2，3，4}C.{0，1，2，3，4，5}D.{1，2，3，4，5} 答案 C解析 ∵x ∈N ，且－1<x<112，∴集合中含有元素0，1，2，3，4，5，故选C.4.已知集合A ＝{x ∈N *|－5≤x ≤5}，则必有( ) A.－1∈A B.0∈A C.3∈A D.1∈A 答案 D解析 ∵x ∈N *，－5≤x ≤5，∴x ＝1，2，即A ＝{1，2}，∴1∈A. 5.集合M ＝{(x ，y)|xy<0，x ∈R ，y ∈R }是( ) A.第一象限内的点集 B.第三象限内的点集 C.第四象限内的点集 D.第二、四象限内的点集 答案 D解析 根据描述法表示集合的特点，可知集合表示的是横、纵坐标异号的点的集合，这些点在第二、四象限内.6.若a ，b ，c ，d 为集合A 的四个元素，则以a ，b ，c ，d 为边长构成的四边形可能是( ) A.矩形 B.平行四边形 C.菱形D.梯形答案 D解析 由于集合中的元素具有“互异性”，故a ，b ，c ，d 四个元素互不相同，即组成四边形的四条边互不相等.7.集合A ＝{x|x ∈N ，且42－x ∈Z }，用列举法可表示为A ＝________.答案 {0，1，3，4，6}解析 注意到42－x ∈Z ，因此，2－x ＝±2，±4，±1，解得x ＝－2，0，1，3，4，6，又∵x ∈N ，∴x ＝0，1，3，4，6.8.一边长为6，一边长为3的等腰三角形所组成的集合中有________个元素. 答案 1解析 这样的三角形只有1个，是两腰长为6，底边长为3的等腰三角形. 9.点P(1，3)和集合A ＝{(x ，y)|y ＝x ＋2}之间的关系是________. 答案 P ∈A解析 在y ＝x ＋2中，当x ＝1时，y ＝3，因此点P 是集合A 的元素，故P ∈A. 10.用列举法表示集合A ＝{(x ，y)|x ＋y ＝3，x ∈N ，y ∈N *}为________. 答案 {(0，3)，(1，2)，(2，1)}解析 集合A 是由方程x ＋y ＝3的部分整数解组成的集合，由条件可知，当x ＝0时，y ＝3；当x ＝1时，y ＝2；当x ＝2时，y ＝1.故A ＝{(0，3)，(1，2)，(2，1)}.11.若A ＝{－2，2，3，4}，B ＝{x|x ＝t 2，t ∈A}，用列举法表示集合B ＝________. 答案 {4，9，16}解析 由题意可知集合B 是由集合A 中元素的平方构成，故B ＝{4，9，16}.12.下列集合中：A ＝{x ＝2，y ＝1}，B ＝{2，1}，C ＝{(x ，y)|⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，x －y ＝1}，D ＝{(x ，y)|x ＝2且y ＝1}，与集合{(2，1)}相等的共有________个. 答案 2解析 因为集合{(2，1)}的元素表示的是有序实数对，由已知集合的代表元素知，元素为有序实数对的是C ，D ，而A 表示含有两个元素x ＝2，y ＝1的集合，B 表示含有2个元素的集合.13.设A 是满足x<6的所有自然数组成的集合，若a ∈A ，且3a ∈A ，求a 的值. 解析 ∵a ∈A 且3a ∈A ，∴a<6且3a<6，∴a<2. 又∵a 是自然数，∴a ＝0或1.14.已知集合A 含有两个元素a 和a 2，若1∈A ，求实数a 的值.解析 本题中已知集合A 中有两个元素且1∈A ，据集合中元素的特点需分a ＝1和a 2＝1两种情况，另外还要注意集合中元素的互异性.若1∈A ，则a ＝1或a 2＝1，即a ＝±1. 当a ＝1时，集合A 有重复元素，∴a ≠1；当a ＝－1时，集合A 含有两个元素1，－1，符合互异性. ∴a ＝－1. ►重点班·选做题15.已知集合A ＝{0，2，5，10}，集合B 中的元素x 满足x ＝ab ，a ∈A ，b ∈A 且a ≠b ，写出集合B.解析 当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ≠0或⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，b ＝0时，x ＝0； 当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝2时，x ＝10； 当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝10或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝10，b ＝2时，x ＝20； 当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝10或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝10，b ＝5时，x ＝50. 所以B ＝{0，10，20，50}.1.已知A ＝{x|3－3x>0}，则有( ) A.3∈A B.1∈A C.0∈A D.－1∉A答案 C解析 因为A ＝{x|3－3x>0}＝{x|x<1}，所以0∈A.2.“今有三女，长女五日一归，中女四日一归，小女三日一归，问三女何时相会”.(选自《孙子算经》)，请将三女前三次相会的天数用集合表示出来.解析 三女相会的日数，即为5，4，3的公倍数，它们的最小公倍数为60，因此三女前三次相会的天数用集合表示为{60，120，180}.3.数集M 满足条件：若a ∈M ，则1＋a 1－a ∈M(a ≠±1且a ≠0)，已知3∈M ，试把由此确定的集合M 的元素全部求出来.解析 ∵a ＝3∈M ，∴1＋a 1－a ＝1＋31－3＝－2∈M ，∴1－21＋2＝－13∈M.∴1－131＋13＝12∈M ，∴1＋121－12＝3∈M.即M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫3，－2，－13，12.4.设集合A ＝{x ，y}，B ＝{0，x 2}，若集合A ，B 相等，求实数x ，y 的值. 解析 因为A ，B 相等，则x ＝0或y ＝0.(1)当x ＝0时，x 2＝0，则B ＝{0，0}，不满足集合中元素的互异性，故舍去. (2)当y ＝0时，x ＝x 2，解得x ＝0或x ＝1.由(1)知x ＝0应舍去. 综上知：x ＝1，y ＝0.5.集合A ＝{x|⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝x 2}可化简为________. 以下是两位同学的答案，你认为哪一个正确？试说明理由.学生甲：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝x 2，得x ＝0或x ＝1，故A ＝{0，1}； 学生乙：问题转化为求直线y ＝x 与抛物线y ＝x 2的交点，得到A ＝{(0，0)，(1，1)}. 解析 同学甲正确，同学乙错误.由于集合A 的代表元素为x ，因此满足条件的元素只能为x ＝0，1；而不是实数对⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.故同学甲正确.1.1.2集合间的包含关系课时作业(四)1.数0与集合∅的关系是()A.0∈∅B.0＝∅C.{0}＝∅D.0∉∅答案 D2.集合{1，2，3}的子集的个数是()A.7B.4C.6D.8答案 D3.下列集合中表示空集的是()A.{x∈R|x＋5＝5}B.{x∈R|x＋5>5}C.{x∈R|x2＝0}D.{x∈R|x2＋x＋1＝0}答案 D解析∵A，B，C中分别表示的集合为{0}，{x|x>0}，{0}，∴不是空集；又∵x2＋x＋1＝0无解，∴{x∈R|x2＋x＋1＝0}表示空集.4.已知集合P＝{1，2，3，4}，Q＝{y|y＝x＋1，x∈P}，那么集合M＝{3，4，5}与Q的关系是()A.M QB.M QC.Q MD.Q＝M答案 A5.下列六个关系式中正确的个数为()①{a，b}＝{b，a}；②{a，b}⊆{b，a}；③∅＝{∅}；④{0}＝∅；⑤∅ {0}；⑥0∈{0}.A.6B.5C.4D.3个及3个以下答案 C解析其中①②⑤⑥是正确的，对于③应为∅ {∅}或∅∈{∅}；对于④应为{0} ∅.6.若集合A＝{－1，2}，B＝{x|x2＋ax＋b＝0}，且A＝B，则有()A.a＝1，b＝－2B.a＝2，b＝2C.a＝－1，b＝－2D.a＝－1，b＝2答案 C解析由A＝B知－1与2是方程x2＋ax＋b＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2＝－a ，（－1）×2＝b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2. 7.集合P ＝{x|y ＝x 2}，Q ＝{y|y ＝x 2}，则下列关系中正确的是( ) A.P Q B.P ＝Q C.P ⊆Q D.P Q答案 D解析 P ，Q 均为数集，P ＝{x|y ＝x 2}＝R ，Q ＝{y|y ＝x 2}＝{y|y ≥0}，∴Q P ，故选D. 8.已知集合A {1，2，3}，且A 中至少含有一个奇数，则这样的集合A 的个数为( ) A.6 B.5 C.4 D.3答案 B解析 A ＝{1}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}共5个.9.若A ＝{(x ，y)|y ＝x}，B ＝{(x ，y)|yx ＝1}，则A ，B 关系为( )A.A BB.B AC.A ＝BD.A B答案 B10.已知集合A ＝{－1，3，m}，集合B ＝{3，4}，若B ⊆A ，则实数m ＝________. 答案 4解析 ∵B ⊆A ，A ＝{－1，3，m}，∴m ＝4.11.已知非空集合A 满足：①A ⊆{1，2，3，4}；②若x ∈A ，则5－x ∈A.符合上述要求的集合A 的个数是________. 答案 3解析 由“若x ∈A ，则5－x ∈A ”可知，1和4，2和3成对地出现在A 中，且A ≠∅.故集合A 的个数等于集合{1，2}的非空子集的个数，即3个.12.设集合A ＝{x ∈R |x 2＋x －1＝0}，B ＝{x ∈R |x 2－x ＋1＝0}，则集合A ，B 之间的关系是________. 答案 B A解析 ∵A ＝{－1－52，－1＋52}，B ＝∅，∴B A.13.已知M ＝{y|y ＝x 2－2x －1，x ∈R }，N ＝{x|－2≤x ≤4}，则集合M 与N 之间的关系是________. 答案 N M14.设A ＝{x ∈R |－1<x<3}，B ＝{x ∈R |x>a}，若A B ，求a 的取值范围. 答案 a ≤－1解析 数形结合，端点处单独验证.15.设集合A ＝{1，3，a}，B ＝{1，a 2－a ＋1}，B ⊆A ，求a 的值.解析 因为B ⊆A ，所以B 中元素1，a 2－a ＋1都是A 中的元素，故分两种情况. (1)a 2－a ＋1＝3，解得a ＝－1或2，经检验满足条件. (2)a 2－a ＋1＝a ，解得a ＝1，此时A 中元素重复，舍去. 综上所述，a ＝－1或a ＝2. ►重点班·选做题16.a ，b 是实数，集合A ＝{a ，ba ，1}，B ＝{a 2，a ＋b ，0}，若A ＝B ，求a 2 015＋b 2 016.答案 －1解析 ∵A ＝B ，∴b ＝0，A ＝{a ，0，1}，B ＝{a 2，a ，0}.∴a 2＝1，得a ＝±1.a ＝1时，A ＝{1，0，1}不满足互异性，舍去；a ＝－1时，满足题意.∴a 2015＋b 2 016＝－1.1.设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a}＝{0，ba ，b}，则b －a 等于( )A.1B.－1C.2D.－2答案 C解析 ∵a ≠0，∴a ＋b ＝0，∴ba ＝－1.∴b ＝1，a ＝－1，∴b －a ＝2，故选C.2.设集合A ＝{x|－3≤x ≤2}，B ＝{x|2k －1≤x ≤k ＋1}且B ⊆A ，求实数k 的取值范围. 解析 ∵B ⊆A ，∴B ＝∅或B ≠∅.①B ＝∅时，有2k －1>k ＋1，解得k>2. ②B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧2k －1≤k ＋1，2k －1≥－3，k ＋1≤2，解得－1≤k ≤1.综上，－1≤k ≤1或k>2.1.1.3-1集合的基本运算（第1课时）课时作业(五)1.(2014·广东)已知集合M ＝{－1，0，1}，N ＝{0，1，2}，则M ∪N ＝( ) A.{0，1} B.{－1，0，2} C.{－1，0，1，2} D.{－1，0，1}答案 C解析 M ∪N ＝{－1，0，1，2}.2.若集合A ＝{x|－2<x<1}，B ＝{x|0<x<2}，则集合A ∩B ＝( ) A.{x|－1<x<1} B.{x|－2<x<1} C.{x|－2<x<2} D.{x|0<x<1} 答案 D3.设A ＝{x|1≤x ≤3}，B ＝{x|x<0或x ≥2}，则A ∪B 等于( ) A.{x|x<0或x ≥1} B.{x|x<0或x ≥3} C.{x|x<0或x ≥2} D.{x|2≤x ≤3} 答案 A4.设集合A ＝{1，2}，则满足A ∪B ＝{1，2，3}的集合B 的个数是( ) A.1 B.3 C.4 D.8答案 C解析 ∵A ＝{1，2}，A ∪B ＝{1，2，3}，∴B ＝{3}或{1，3}或{2，3}或{1，2，3}，故选C.5.设集合M ＝{m ∈Z |－3<m<2}，N ＝{n ∈Z |－1≤n ≤3}，则M ∩N 等于( ) A.{0，1} B.{－1，0，1} C.{0，1，2} D.{－1，0，1，2} 答案 B解析 集合M ＝{－2，－1，0，1}，集合N ＝{－1，0，1，2，3}，M ∩N ＝{－1，0，1}. 6.若A ＝{x|x2∈Z }，B ＝{y|y ＋12∈Z }，则A ∪B 等于( )A.BB.AC.∅D.Z答案 D解析 A ＝{x|x ＝2n ，n ∈Z }为偶数集，B ＝{y|y ＝2n －1，n ∈Z }为奇数集，∴A ∪B ＝Z . 7.已知集合A ＝{－1，0，1}，B ＝{x|－1≤x<1}，则A ∩B ＝( )A.{0}B.{－1，0}C.{0，1}D.{－1，0，1}答案 B解析集合B含有整数－1，0，故A∩B＝{－1，0}.8.如果A＝{x|x＝2n＋1，n∈Z}，B＝{x|x＝k＋3，k∈Z}，那么A∩B＝()A.∅B.AC.BD.Z答案 B9.满足条件M∪{1}＝{1，2，3}的集合M的个数是________.答案 2解析M＝{1，2，3}或M＝{2，3}.10.下列四个推理：①a∈(A∪B)⇒a∈A；②a∈(A∩B)⇒a∈(A∪B)；③A⊆B⇒A∪B＝B；④A∪B＝A⇒A∩B＝B.其中正确的为________.答案②③④解析①是错误的，a∈(A∪B)时可推出a∈A或a∈B，不一定能推出a∈A.11.已知集合P，Q与全集U，下列命题：①P∩Q＝P，②P∪Q＝Q，③P∪Q＝U，其中与命题P⊆Q等价的命题有______个.答案 2解析①②都等价.12.已知A＝{x|x≤－1或x≥3}，B＝{x|a<x<4}，若A∪B＝R，则实数a的取值范围是________.答案a≤－113.若集合P满足P∩{4，6}＝{4}，P∩{8，10}＝{10}，且P⊆{4，6，8，10}，求集合P. 解析由条件知4∈P，6∉P，10∈P，8∉P，∴P＝{4，10}.14.已知集合A＝{x|x＋3≤0}，B＝{x|x－a<0}.(1)若A∪B＝B，求a的取值范围；(2)若A∩B＝B，求a的取值范围.解析(1)∵A∪B＝B，∴A⊆B，∴a＞－3.(2)∵A∩B＝B，∴B⊆A，∴a≤－3.►重点班·选做题15.已知A＝{x|2a<x≤a＋8}，B＝{x|x<－1或x>5}，若A∪B＝R，求a的取值范围.解析∵B＝{x|x<－1或x>5}，A∪B＝R，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a<－1，a ＋8≥5，解得－3≤a<－12.1.若A ＝{x|x 2－5x ＋6＝0}，B ＝{x|x 2－6x ＋8＝0}，则A ∪B ＝________，A ∩B ＝________. 答案 A ＝{2，3}，B ＝{2，4}， ∴A ∪B ＝{2，3，4}，A ∩B ＝{2}.2.设S ＝{x|2x ＋1>0}，T ＝{x|3x －5<0}，则S ∩T ＝( ) A.∅ B.{x|x<－12}C.{x|x>53}D.{x|－12<x<53}答案 D解析 S ＝{x|x>－12}，T ＝{x|x<53}，在数轴上表示出S 和T ，可知选D.3.设集合A ＝{x|－5≤x<1}，B ＝{x|x ≤2}，则A ∩B 等于( ) A.{x|－5≤x<1} B.{x|－5≤x ≤2} C.{x|x<1} D.{x|x ≤2} 答案 A4.设集合A ＝{－1，1，3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a ＝________. 答案 15.已知A ＝{|a ＋1|，3，5}，B ＝{2a ＋1，a 2＋2a ，a 2＋2a －1}，若A ∩B ＝{2，3}，则A ∪B ＝________.答案 {2，3，5，－5}解析 由|a ＋1|＝2，得a ＝1或－3，代入求出B ，注意B 中不能有5.6.已知M ＝{x|x ≤－1}，N ＝{x|x>a －2}，若M ∩N ≠∅，则a 的范围是________. 答案 a<1课时作业(六)1.1.3-2集合的基本运算（第2课时）1.已知U＝{1，3}，A＝{1，3}，则∁U A＝()A.{1，3}B.{1}C.{3}D.∅答案 D2.设全集U＝{x∈N*|x<6}，集合A＝{1，3}，B＝{3，5}，则∁U(A∪B)＝()A.{1，4}B.{1，5}C.{2，4}D.{2，5}答案 C3.设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，2，3}，集合B＝{3，4，5}，则(∁U A)∪(∁U B)＝()A.{1，2，3，4，5}B.{3}C.{1，2，4，5}D.{1，5}答案 C解析∵∁U A＝{4，5}，∁U B＝{1，2}，故选C.4.若集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}，则A∩(∁R B)＝()A.{x|x>1}B.{x|x≥1}C.{x|1<x≤2}D.{x|1≤x≤2}答案 D5.设P＝{x︱x<4}，Q＝{x︱x2<4}，则()A.P⊆QB.Q⊆PC.P⊆∁R QD.Q⊆∁R P答案 B6.已知全集U＝Z，集合A＝{x|x＝k3，k∈Z}，B＝{x|x＝k6，k∈Z}，则()A.∁U A ∁U BB.A BC.A＝BD.A与B中无公共元素答案 A解析∵A＝{x|x＝26k，k∈Z}，∴∁U A ∁U B，A B.7.设全集U＝{2，3，5}，A＝{2，|a－5|}，∁U A＝{5}，则a的值为()A.2B.8C.2或8D.－2或8答案 C解析∁U A＝{5}包含两层意义，①5∉A；②U中除5以外的元素都在A中.∴|a－5|＝3，解得a＝2或8.8.设全集U＝Z，A＝{x∈Z|x＜5}，B＝{x∈Z|x≤2}，则∁U A与∁U B的关系是()A.∁U A ∁U BB.∁U A ∁U BC.∁U A＝∁U BD.∁U A ∁U B答案 A解析∵∁U A＝{x∈Z|x≥5}，∁U B＝{x∈Z|x>2}.故选A.9.设A＝{x||x|＜2}，B＝{x|x＞a}，全集U＝R，若A⊆∁R B，则有()A.a＝0B.a≤2C.a≥2D.a＜2答案 C解析A＝{x|－2<x<2}，∁R B＝{x|x≤a}，在数轴上把A，B表示出来.10.已知全集U＝{1，2，3，4，5}，S U，T U，若S∩T＝{2}，(∁U S)∩T＝{4}，(∁U S)∩(∁U T)＝{1，5}，则有()A.3∈S∩TB.3∉S但3∈TC.3∈S∩(∁U T)D.3∈(∁U S)∩(∁U T)答案 C11.设全集U＝Z，M＝{x|x＝2k，k∈Z}，P＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，则下列关系式中正确的有________.①M⊆P；②∁U M＝∁U P；③∁U M＝P；④∁U P＝M.答案③④12.设全集U＝R，集合A＝{x|x≥0}，B＝{y|y≥1}，则∁U A与∁U B的包含关系是________. 答案∁U A ∁U B解析∵∁U A＝{x|x<0}，∁U B＝{y|y<1}，∴∁U A ∁U B.13.已知全集U，集合A＝{1，3，5，7，9}，∁U A＝{2，4，6，8}，∁U B＝{1，4，6，8，9}，求集合B.解析 借助韦恩图，如右图所示， ∴U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}. ∵∁U B ＝{1，4，6，8，9}， ∴B ＝{2，3，5，7}.14.设集合U ＝{1，2，3，4}，且A ＝{x ∈U|x 2－5x ＋m ＝0}，若∁U A ＝{2，3}，求m 的值. 解析 ∵∁U A ＝{2，3}，U ＝{1，2，3，4}， ∴A ＝{1，4}，即1，4是方程x 2－5x ＋m ＝0的两根. ∴m ＝1×4＝4.15.已知全集U ＝{2，0，3－a 2}，P ＝{2，a 2－a －2}且∁U P ＝{－1}，求实数a. 解析 ∵U ＝{2，0，3－a 2}，P ＝{2，a 2－a －2}，∁U P ＝{－1}，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－a 2＝－1，a 2－a －2＝0，解得a ＝2.1.如果S ＝{1，2，3，4，5}，A ＝{1，3，4}，B ＝{2，4，5}，那么(∁S A)∩(∁S B)等于( ) A.∅ B.{1，3} C.{4} D.{2，5}答案 A解析 ∵∁S A ＝{2，5}，∁S B ＝{1，3}， ∴(∁S A)∩(∁S B)＝∅.2.设全集U ＝{1，2，3，4，5，6，7}，P ＝{1，2，3，4，5}，Q ＝{3，4，5，6，7}，则P ∩(∁U Q)等于()A.{1，2}B.{3，4，5}C.{1，2，6，7}D.{1，2，3，4，5}答案 A解析 ∵∁U Q ＝{1，2}，∴P ∩(∁U Q)＝{1，2}.3.设全集U ＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A ＝{1，3，5，7}，B ＝{3，5}，则正确的是( ) A.U ＝A ∪B B.U ＝(∁U A)∪B C.U ＝A ∪(∁U B) D.U ＝(∁U A)∪(∁U B)答案 C解析 ∵∁U B ＝{1，2，4，6，7}， ∴A ∪(∁U B)＝{1，2，3，4，5，6，7}＝U.4.已知A ＝{x|x<3}，B ＝{x|x<a}.若A ⊆B ，问∁R B ⊆∁R A 是否成立？ 答案 成立5.某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________.答案126.如果S＝{x∈N|x<6}，A＝{1，2，3}，B＝{2，4，5}，那么(∁S A)∪(∁S B)＝________.答案{0，1，3，4，5}解析∵S＝{x∈N|x<6}＝{0，1，2，3，4，5}，∴∁S A＝{0，4，5}，∁S B＝{0，1，3}.∴(∁S A)∪(∁S B)＝{0，1，3，4，5}.课时作业(七)1.1习题课含解析(第一次作业)1.(2015·广东，理)若集合M＝{x|(x＋4)(x＋1)＝0}，N＝{x|(x－4)(x－1)＝0}，则M∩N＝() A.{1，4} B.{－1，－4}C.{0}D.∅答案 D2.设集合A＝{4，5，7，9}，B＝{3，4，7，8，9}，全集U＝A∪B，则集合∁U(A∩B)中的元素的个数为()A.3B.4C.5D.6答案 A3.集合M＝{x|x＝1＋a2，a∈N*}，P＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈N*}，则下列关系中正确的是() A.M P B.P MC.M＝PD.M P且P M答案 A解析P＝{x|x＝1＋(a－2)2，a∈N*}，当a＝2时，x＝1而M中无元素1，P比M多一个元素.4.设U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，则A∩(∁U B)＝()A.{x|0≤x≤1}B.{x|0<x≤1}C.{x|x<0}D.{x|x>1}答案 B5.已知集合A＝{1，3，5，7，9}，B＝{0，3，6，9，12}，则A∩(∁N B)＝()A.{1，5，7}B.{3，5，7}C.{1，3，9}D.{1，2，3}答案 A6.已知方程x2－px＋15＝0与x2－5x＋q＝0的解集分别为S与M，且S∩M＝{3}，则p＋q 的值是()A.2B.7C.11D.14答案 D解析 由交集定义可知，3既是集合S 中的元素，也是集合M 中的元素.亦即是方程x 2－px ＋15＝0与x 2－5x ＋q ＝0的公共解，把3代入两方程，可知p ＝8，q ＝6，则p ＋q 的值为14.7.已知全集R ，集合A ＝{x|(x －1)(x ＋2)(x －2)＝0}，B ＝{y|y ≥0}，则A ∩(∁R B)为( ) A.{1，2，－2} B.{1，2} C.{－2} D.{－1，－2}答案 C解析 A ＝{1，2，－2}，而B 的补集是{y|y<0}，故两集合的交集是{－2}，选C. 8.集合P ＝{1，4，9，16，…}，若a ∈P ，b ∈P ，则a ⊕b ∈P ，则运算⊕可能是( ) A.除法 B.加法 C.乘法 D.减法答案 C解析 当⊕为除法时，14∉P ，∴排除A ；当⊕为加法时，1＋4＝5∉P ，∴排除B ；当⊕为乘法时，m 2·n 2＝(mn)2∈P ，故选C ； 当⊕为减法时，1－4∉P ，∴排除D.9.设全集U ＝Z ，集合P ＝{x|x ＝2n ，n ∈Z }，Q ＝{x|x ＝4m ，m ∈Z }，则U 等于( ) A.P ∪Q B.(∁U P)∪Q C.P ∪(∁U Q) D.(∁U P)∪(∁U Q)答案 C10.设S ，P 为两个非空集合，且S P ，P S ，令M ＝S ∩P ，给出下列4个集合：①S ；②P ；③∅；④S ∪P.其中与S ∪M 能够相等的集合的序号是( ) A.① B.①② C.②③ D.④答案 A11.设集合I ＝{1，2，3}，A 是I 的子集，若把满足M ∪A ＝I 的集合M 叫做集合A 的“配集”，则当A ＝{1，2}时，A 的配集的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4答案 D解析 A 的配集有{3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}共4个. 12.已知集合A ，B 与集合A@B 的对应关系如下表：________.答案 {2 012，2 013}13.已知A ＝{2，3}，B ＝{－4，2}，且A ∩M ≠∅，B ∩M ＝∅，则2________M ，3________M. 答案 ∉ ∈解析 ∵B ∩M ＝∅，∴－4∉M ，2∉M. 又A ∩M ≠∅且2∉M ，∴3∈M.14.若集合A ＝{1，3，x}，B ＝{1，x 2}，且A ∪B ＝{1，3，x}，则x ＝________. 答案 ±3或0解析 由A ∪B ＝{1，3，x}，B A ， ∴x 2∈A.∴x 2＝3或x 2＝x. ∴x ＝±3或x ＝0，x ＝1(舍).15.已知S ＝{a ，b}，A ⊆S ，则A 与∁S A 的所有有序组对共有________组. 答案 4解析 S 有4个子集，分别为∅，{a}，{b}，{a ，b}注意有序性.⎩⎪⎨⎪⎧A ＝{a}，∁S A ＝{b}和⎩⎪⎨⎪⎧A ＝{b}，∁S A ＝{a}是不同的.16.已知A ⊆M ＝{x|x 2－px ＋15＝0，x ∈R }，B ⊆N ＝{x|x 2－ax －b ＝0，x ∈R }，又A ∪B ＝{2，3，5}，A ∩B ＝{3}，求p ，a 和b 的值.解析 由A ∩B ＝{3}，知3∈M ，得p ＝8.由此得M ＝{3，5}，从而N ＝{3，2}，由此得a ＝5，b ＝－6.(第二次作业)1.(2014·北京，理)已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝()A.{0}B.{0，1}C.{0，2}D.{0，1，2}答案 C解析解x2－2x＝0，得x＝0或x＝2，故A＝{0，2}，所以A∩B＝{0，2}，故选C.2.(高考真题·全国Ⅰ)已知集合M＝{0，1，2，3，4}，N＝{1，3，5}，P＝M∩N，则P的子集共有()A.2个B.4个C.6个D.8个答案 B解析由题意得P＝M∩N＝{1，3}，∴P的子集为∅，{1}，{3}，{1，3}，共4个，故选B.3.设集合A＝{x∈Z|0≤x≤5}，B＝{x|x＝k2，k∈A}，则集合A∩B＝()A.{0，1，2}B.{0，1，2，3}C.{0，1，3}D.B答案 A4.设M＝{1，2，m2－3m－1}，P＝{1，3}，且M∩P＝{1，3}，则m的值为()A.4B.－1C.－4或1D.－1或4答案 D5.已知集合M＝{x|y＝x2－1}，N＝{y|y＝x2－1}，那么M∩N等于()A.∅B.NC.MD.R答案 B解析∵M＝R，N＝{y|y≥－1}，∴M∩N＝N.6.若A∪B＝∅，则()A.A＝∅，B≠∅B.A≠∅，B＝∅C.A＝∅，B＝∅D.A≠∅，B≠∅答案 C7.设集合A＝{x|x∈Z且－15≤x≤－2}，B＝{x|x∈Z且|x|<5}，则A∪B中的元素个数是() A.10 B.11C.20D.21答案 C解析 ∵A ∪B ＝{x|x ∈Z 且－15≤x<5}＝{－15，－14，－13，…，1，2，3，4}，∴A ∪B 中共20个元素.8.已知全集U ＝{0，1，2}且∁U A ＝{2}，则集合A 的真子集的个数为( ) A.3 B.4 C.5 D.6答案 A解析 ∵A ＝{0，1}，∴真子集的个数为22－1＝3.9.如果U ＝{x|x 是小于9的正整数}，A ＝{1，2，3，4}，B ＝{3，4，5，6}，那么(∁U A)∩(∁U B)等于()A.{1，2}B.{3，4}C.{5，6}D.{7，8}答案 D解析 ∵∁U A ＝{5，6，7，8}，∁U B ＝{1，2，7，8}，∴(∁U A)∩(∁U B)＝{7，8}. 10.已知集合P ＝{x|－1≤x ≤1}，M ＝{－a ，a}，若P ∪M ＝P ，则a 的取值范围是( ) A.{a|－1≤a ≤1} B.{a|－1<a<1}C.{a|－1<a<1，且a ≠0}D.{a|－1≤a ≤1，且a ≠0}答案 D解析 由P ∪M ＝P ，得M ⊆P.所以⎩⎪⎨⎪⎧－1≤a ≤1，－1≤－a ≤1，即－1≤a ≤1.又由集合元素的互异性知－a ≠a ，即a ≠0， 所以a 的取值范围是{a|－1≤a ≤1，且a ≠0}.11.若A ，B ，C 为三个集合，且A ∪B ＝B ∩C ，则一定有( ) A.A ⊆C B.C ⊆A C.A ≠C D.A ＝∅答案 A12.已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{2，m ，4}，A ∩B ＝{2，3}，则m ＝________. 答案 313.集合A 含有10个元素，集合B 含有8个元素，集合A ∩B 含有3个元素，则集合A ∪B 有________个元素. 答案 15解析 由A ∩B 含有3个元素知，仅有3个元素相同，根据集合元素的互异性，集合的元素个数为10＋8－3＝15，或直接利用韦恩图得出结果.14.已知集合A＝{－1，2}，B＝{x|mx＋1>0}，若A∪B＝B，求实数m的取值范围.思路首先根据题意判断出A与B的关系，再对m分类讨论化简集合B，根据A，B的关系求出m的范围.解析∵A∪B＝B，∴A⊆B.①当m>0时，由mx＋1>0，得x>－1m，此时B＝{x|x>－1m}，由题意知－1m<－1，∴0<m<1.②当m＝0时，B＝R，此时A⊆B.③当m<0时，得B＝{x|x<－1m}，由题意知－1m>2，∴－12<m<0.综上：－12<m<1.点评在解有关集合交、并集运算时，常会遇到A∩B＝A，A∪B＝B等这类问题.解答时应充分利用交集、并集的有关性质，准确转化条件，有时也借助数轴分析处理，另外还要注意“空集”这一隐含条件.已知全集U＝{a，1，3，b，x2－2＝0}，集合A＝{a，b}，则∁U A＝________.答案{1，3，x2－2＝0}解析在全集U中除去A中的元素后所组成的集合即为∁U A，故∁U A＝{1，3，x2－2＝0}.1.(2015·新课标全国Ⅰ，文)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为()A.5B.4C.3D.2答案 D2.(2015·天津，理)已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{2，3，5，6}，集合B＝{1，3，4，6，7}，则集合A∩(∁U B)＝()A.{2，5}B.{3，6}C.{2，5，6}D.{2，3，5，6，8}答案 A3.(2016·天津)已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{y|y＝3x－2，x∈A}，则A∩B＝()A.{1}B.{4}C.{1，3}D.{1，4}答案 D解析由题意得，B＝{1，4，7，10}，所以A∩B＝{1，4}.4.(2014·辽宁)已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝()A.{x|x≥0}B.{x|x≤1}C.{x|0≤x≤1}D.{x|0<x<1}答案 D解析∵A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，∴∁U(A∪B)＝{x|0<x<1}，故选D.5.(2013·山东，文)已知集合A，B均为全集U＝{1，2，3，4}的子集，且∁U(A∪B)＝{4}，B ＝{1，2}，则A∩(∁U B)＝()A.{3}B.{4}C.{3，4}D.∅答案 A解析由题意知A∪B＝{1，2，3}，又B＝{1，2}，所以A中必有元素3，没有元素4，∁U B ＝{3，4}，故A∩(∁U B)＝{3}.6.(2013·课标全国)已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x|x＝n2，n∈A}，A∩B＝()A.{1，4}B.{2，3}C.{9，16}D.{1，2}答案 A7.(2013·山东)已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是() A.1 B.3C.5D.9答案 C解析逐个列举可得.x＝0，y＝0，1，2时，x－y＝0，－1，－2；x＝1，y＝0，1，2时，x －y＝1，0，－1；x＝2，y＝0，1，2时，x－y＝2，1，0.根据集合中元素的互异性可知集合B的元素为－2，－1，0，1，2.共5个.8.(2013·天津)已知集合A＝{x∈R||x|≤2}，B＝{x∈R|x≤1}，则A∩B＝()A.(－∞，2]B.[1，2]C.[－2，2]D.[－2，1]答案 D解析解不等式|x|≤2，得－2≤x≤2，所以A＝[－2，2]，所以A∩B＝[－2，1].9.(2012·福建)已知集合M＝{1，2，3，4}，N＝{－2，2}，下列结论成立的是()A.N⊆MB.M∪N＝MC.M∩N＝ND.M∩N＝{2}答案 D解析A项，M＝{1，2，3，4}，N＝{－2，2}，M与N显然无包含关系，故A错.B项同A项，故B项错.C项，M∩N＝{2}，故C错，D对.10.(2012·湖北)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为()A.1B.2C.3D.4答案 D解析A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4}，A⊆C⊆B，则集合C的个数为24－2＝22＝4，即C＝{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}.故选D.11.(2012·山东)已知集合U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4}，则(∁U A)∪B 为()A.{1，2，4}B.{2，3，4}C.{0，2，4}D.{0，2，3，4}答案 C解析由题意知∁U A＝{0}，又B＝{2，4}，∴(∁U A)∪B＝{0，2，4}，故选C.12.(2014·重庆，理)设全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1，2，3，5，8}，B＝{1，3，5，7，∁U A∩B＝________.9}，则()答案{7，9}解析由题意，得U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，故∁U A＝{4，6，7，9，10}，(∁U A)∩B ＝{7，9}.1.(2014·大纲全国理改编)设集合M＝{x|x2－3x－4<0}，N＝{x|0≤x≤5}，则M∩(∁R N)＝() A.(0，4] B.[0，4)C.[－1，0)D.(－1，0)答案 D解析∵M＝{x|x2－3x－4<0}＝{x|－1<x<4}，N＝{x|0≤x≤5}，∴∁R N＝{x|x<0或x>5}.∴M∩(∁R N)＝{x|－1<x<0}.2.(2014·江西，文)设全集为R，集合A＝{x|x2－9<0}，B＝{x|－1<x≤5}，则A∩(∁R B)＝() A.(－3，0) B.(－3，－1)C.(－3，－1]D.(－3，3)答案 C解析由题意知，A＝{x|x2－9<0}＝{x|－3<x<3}，∵B＝{x|－1<x≤5}，∴∁R B＝{x|x≤－1或x>5}.∴A ∩(∁R B)＝{x|－3<x<3}∩{x|x ≤－1或x>5}＝{x|－3<x ≤－1}.3.(2010·北京)集合P ＝{x ∈Z |0≤x<3}，M ＝{x ∈R |x 2≤9}，则P ∩M ＝( ) A.{1，2} B.{0，1，2} C.{x|0≤x<3} D.{x|0≤x ≤3}答案 B4.(2016·浙江)已知集合P ＝{x ∈R |1≤x ≤3}，Q ＝{x ∈R |x 2≥4}，则P ∪(∁R Q)＝( ) A.[2，3] B.(－2，3]C.[1，2)D.(－∞，－2]∪[1，＋∞) 答案 B解析 由于Q ＝{x|x ≤－2或x ≥2}，∁R Q ＝{x|－2<x<2}，故得P ∪(∁R Q)＝{x|－2<x ≤3}.选B.5.(2014·四川，文)已知集合A ＝{x|(x ＋1)(x －2)≤0}，集合B 为整数集，则A ∩B ＝( ) A.{－1，0} B.{0，1}C.{－2，－1，0，1}D.{－1，0，1，2} 答案 D解析 由二次函数y ＝(x ＋1)(x －2)的图像可以得到不等式(x ＋1)(x －2)≤0的解集A ＝[－1，2]，属于A 的整数只有－1，0，1，2，所以A ∩B ＝{－1，0，1，2}，故选D.6.(2012·北京)已知集合A ＝{x ∈R |3x ＋2>0}，B ＝{x ∈R |(x ＋1)(x －3)>0}，则A ∩B ＝( ) A.(－∞，－1) B.(－1，－23)C.(－23，3)D.(3，＋∞)答案 D解析 A ＝{x|x>－23}，B ＝{x|x>3或x<－1}，则A ∩B ＝{x|x>3}，故选D.课时作业(八) 1.2.1函数及其表示含解析1.下列集合A 到集合B 的对应f 是函数的是( ) A.A ＝{－1，0，1}，B ＝{0，1}，f ：A 中的数平方 B.A ＝{0，1}，B ＝{－1，0，1}，f ：A 中的数开方 C.A ＝Z ，B ＝Q ，f ：A 中的数取倒数D.A ＝R ，B ＝{正实数}，f ：A 中的数取绝对值 答案 A2.设集合M ＝{x|0≤x ≤2}，N ＝{y|0≤y ≤2}，下图所示4个图形中能表示集合M 到集合N 的函数关系的个数是( )A.0B.1C.2D.3答案 B3.函数f(x)＝1＋x ＋x1－x的定义域( ) A.[－1，＋∞) B.(－∞，－1] C.R D.[－1，1)∪(1，＋∞)答案 D解析 由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ≥0，1－x ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，x ≠1.故定义域为[－1，1)∪(1，＋∞)，故选D. 4.设函数f(x)＝3x 2－1，则f(a)－f(－a)的值是( ) A.0 B.3a 2－1 C.6a 2－2 D.6a 2答案 A解析 f(a)－f(－a)＝3a 2－1－[3(－a)2－1]＝0.5.四个函数：①y＝x＋1；②y＝x3；③y＝x2－1；④y＝1x.其中定义域相同的函数有()A.①②和③B.①和②C.②和③D.②③和④答案 A6.函数f(x)＝11＋x2(x∈R)的值域是()A.[0，1]B.[0，1)C.(0，1]D.(0，1) 答案 C7.已知f(x)＝π(x∈R)，则f(π2)等于()A.π2B.πC.πD.不确定答案 B解析因为π2∈R，所以f(π2)＝π.8.函数y＝21－1－x的定义域为()A.(－∞，1)B.(－∞，0)∪(0，1]C.(－∞，0)∪(0，1)D.[1，＋∞)答案 B9.将下列集合用区间表示出来.(1){x|x≥1}＝________；(2){x|2≤x≤8}＝________；(3){y|y＝1x}＝________.答案(1)[1，＋∞)(2)[2，8] (3)(－∞，0)∪(0，＋∞)10.若f(x)＝5xx2＋1，且f(a)＝2，则a＝________.答案12或211.已知f(x)＝x2＋x－1，x∈{0，1，2，3}，则f(x)的值域为________.答案{－1，1，5，11}12.设函数f(n)＝k(n∈N*)，k是π的小数点后的第n位数字，π＝3.141 592 653 5…，则f(3)＝________.答案 113.若函数y ＝1x －2的定义域为A ，函数y ＝2x ＋6的值域是B ，则A ∩B ＝________. 答案 [0，2)∪(2，＋∞)解析 由题意知A ＝{x|x ≠2}，B ＝{y|y ≥0}，则A ∩B ＝[0，2)∪(2，＋∞). 14.已知函数f(x)＝x ＋3＋1x ＋2.(1)求函数的定义域； (2)求f(－3)，f(23)的值；(3)当a>0时，求f(a)，f(a －1)的值.解析 (1)使根式x ＋3有意义的实数x 的集合是{x|x ≥－3}，使分式1x ＋2有意义的实数x 的集合是{x|x ≠－2}，所以这个函数的定义域是{x|x ≥－3}∩{x|x ≠－2}＝{x|x ≥－3，且x ≠－2}. (2)f(－3)＝－3＋3＋1－3＋2＝－1； f(23)＝23＋3＋123＋2＝113＋38＝38＋333. (3)因为a>0，故f(a)，f(a －1)有意义. f(a)＝a ＋3＋1a ＋2；f(a －1)＝a －1＋3＋1（a －1）＋2＝a ＋2＋1a ＋1.15.已知f(x)＝13－x 的定义域为A ，g(x)＝1a －x的定义域是B. (1)若B A ，求a 的取值范围； (2)若A B ，求a 的取值范围. 解析 A ＝{x|x<3}，B ＝{x|x<a}.(1)若B A ，则a<3，∴a 的取值范围是{a|a<3}； (2)若A B ，则a>3，∴a 的取值范围是{a|a>3}.1.下列函数f(x)和g(x)中，表示同一函数的是( ) A.y ＝f(x)与y ＝f(x ＋1) B.y ＝f(x)，x ∈R 与y ＝f(t)，t ∈R C.f(x)＝x 2，g(x)＝x 3xD.f(x)＝2x ＋1与g(x)＝4x 2＋4x ＋1答案 B2.下列式子中不能表示函数y ＝f(x)的是( ) A.x ＝2yB.3x ＋2y ＝1C.x ＝2y 2＋1D.x ＝y答案 C3.已知函数f(x)＝2x －1，则f(x ＋1)等于( ) A.2x －1 B.x ＋1 C.2x ＋1 D.1答案 C4.若f(x)＝x 2－1x ，则f(x)的定义域为________.答案 {x|x ≤－1或x ≥1}5.下列每对函数是否表示相同函数？ (1)f(x)＝(x －1)0，g(x)＝1； (2)f(x)＝x ，g(x)＝x 2； (3)f(t)＝t 2t ，g(x)＝|x|x .答案 (1)不是 (2)不是 (3)是6.已知A ＝B ＝R ，x ∈A ，y ∈B 对任意x ∈A ，x →y ＝ax ＋b 是从A 到B 的函数，若输出值1和8分别对应的输入值为3和10，求输入值5对应的输出值.解析 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝1，10a ＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，所以对应关系f ：x →y ＝x －2，故输入值5对应的输出值为3.7.已知f(x)＝11＋x ，求[f(2)＋f(3)＋…＋f(2 016)]＋[f(12)＋f(13)＋…＋f(12 016)].答案 2 015解析 f(x)＋f(1x )＝11＋x＋11＋1x＝11＋x ＋x1＋x ＝1，则原式＝⎣⎡⎦⎤f （2）＋f （12）＋⎣⎡⎦⎤f （3）＋f （13）＋…＋⎣⎡⎦⎤f （2 016）＋f （12 016）＝2 015.8.已知函数g(x)＝x ＋2x －6，(1)点(3，14)在函数的图像上吗？ (2)当x ＝4时，求g(x)的值； (3)当g(x)＝2时，求x 的值.答案(1)不在(2)－3(3)14课时作业(九)1.2.2-1函数的表示法（第1课时）1.下列结论正确的是( )A.任意一个函数都可以用解析式表示B.函数y ＝x ，x ∈{1，2，3，4}的图像是一条直线C.表格可以表示y 是x 的函数D.图像可表示函数y ＝f(x)的图像答案 C2.某同学在一学期的5次大型考试中的数学成绩(总分120分)如下表所示：A.成绩y 不是考试次数x 的函数B.成绩y 是考试次数x 的函数C.考试次数x 是成绩y 的函数D.成绩y 不一定是考试次数x 的函数答案 B3.函数f(x)＝x ＋|x|x的图像是下图中的( )答案 C4.从甲城市到乙城市t min 的电话费由函数g(t)＝1.06×(0.75[t]＋1)给出，其中t>0，[t]为t 的整数部分，则从甲城市到乙城市5.5 min 的电话费为( ) A.5.04元 B.5.56元 C.5.84元 D.5.38元答案 A解析 g(5.5)＝1.06(0.75×5＋1)＝5.035≈5.04.。
新教材数学人教B版必修第一册课时作业：3-1-1 第1课时 函数的概念
课时作业19 函数的概念时间：45分钟 分值：100分一、选择题(每小题6分，共计36分)1．下列各组函数中，表示同一函数的是( C ) A ．y ＝x 2－9x －3与y ＝x ＋3B ．y ＝x 2－1与y ＝x －1C ．y ＝x 0(x ≠0)与y ＝1(x ≠0)D ．y ＝2x ＋1，x ∈Z 与y ＝2x －1，x ∈Z解析：A 中两函数定义域不同；B 、D 中两函数对应法则不同；C 中定义域与对应法则都相同，故选C.2．给定的下列四个式子中，能确定y 是x 的函数的是( C ) ①x 2－y 2＝1; ②|x －1|＋y 2－1＝0； ③x －1－y －1＝1; ④y ＝x －2＋1－x .A ．①B ．②C ．③D ．④ 3．下列函数中，与函数y ＝1x有相同定义域的是( A ) A ．f (x )＝1x＋x ＋1 B ．f (x )＝1x C ．f (x )＝|x | D ．f (x )＝x ＋－x解析：函数y ＝1x的定义域为{x |x >0}．对于A ，要使函数有意义，需满足⎩⎨⎧x >0x ＋1≥0，即x >0，因此定义域为{x |x >0}；B 中函数的定义域为{x |x ≠0，x ∈R }；C 中函数的定义域为R ；对于D ，要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，－x ≥0，即x ＝0，因此定义域为{x |x ＝0}．4．函数y ＝x 2－2x 的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为( A ) A ．{－1,0,3} B ．{0,1,2,3} C ．{y |－1≤y ≤3}D ．{y |0≤y ≤3}解析：当x 取0,1,2,3时，y 的值分别为0，－1,0,3，则其值域为{－1,0,3}，故选A.5．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＝2x ＋3，且f (m )＝6，则m 等于( A ) A ．－14 B.14 C.32D ．－32解析：由2x ＋3＝6，得x ＝32，∴m ＝12×32－1＝－14，故选A. 6．已知g (x )＝1－2x ，f (g (x ))＝1－x 2x 2(x ≠0)，那么f (12)等于( C ) A ．1 B ．3 C ．15D ．30解析：令g (x )＝12，解得x ＝14，∴f (12)＝1－(14)2(14)2＝15，故选C. 二、填空题(每小题8分，共计24分)7．函数f (x )＝x ＋1x 的定义域是[－1,0)∪(0，＋∞)．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，x ≠0，得x ≥－1且x ≠0.∴函数f (x )＝x ＋1x 的定义域为[－1,0)∪(0，＋∞)．8．若函数f (x )＝ax 2－1，a 为一个正常数，且f [f (－1)]＝－1，那么a 的值是1.解析：f (－1)＝a ·(－1)2－1＝a －1，f [f (－1)]＝a ·(a －1)2－1＝a 3－2a 2＋a －1＝－1. ∴a 3－2a 2＋a ＝0，∴a ＝1或a ＝0(舍去)．9．若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域是[0,1)．解析：∵y ＝f (x )的定义域是[0,2]，∴要使g (x )＝f (2x )x －1有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤2，x －1≠0，解得0≤x <1. ∴函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域为[0,1)．三、解答题(共计40分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤10．(10分)已知f (x )＝1x ＋2(x ≠－2，且x ∈R )，g (x )＝x 2＋1(x ∈R )．(1)求f (2)，g (1)的值； (2)求f (g (2))的值； (3)求f (x )，g (x )的值域． 解：(1)∵f (x )＝1x ＋2，∴f (2)＝12＋2＝14； 又g (x )＝x 2＋1，∴g (1)＝12＋1＝2. (2)f (g (2))＝f (22＋1)＝f (5)＝15＋2＝17.(3)f (x )＝1x ＋2的定义域为{x |x ≠－2}，∴值域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． g (x )＝x 2＋1的定义域是R ，最小值为1， ∴值域是[1，＋∞)．11．(15分)已知函数f (x )＝13－x 的定义域为A ，g (x )＝1a －x 的定义域为B .(1)若B ⊆A ，求实数a 的取值范围； (2)若A ⊆B ，求实数a 的取值范围．解：(1)由题意，知A ＝{x |x <3}，B ＝{x |x <a }．若B ⊆A ，则a ≤3，∴实数a 的取值范围是{a |a ≤3}． (2)若A ⊆B ，则a ≥3，∴实数a 的取值范围是{a |a ≥3}．12．(15分)(1)已知f (x ＋1)＝x －2x ，求f (x )； (2)已知f (3x ＋1)＝3x 2－x ＋1，求f (x )． 解：(1)凑配法：∵f (x ＋1)＝x －2x ＝(x ＋1)2－4(x ＋1)＋3， ∴f (x )＝x 2－4x ＋3.又∵x ＋1≥1，∴f (x )＝x 2－4x ＋3(x ≥1)． (2)换元法：∵f (3x ＋1)＝3x 2－x ＋1， 令3x ＋1＝t ，∴x ＝t －13.∴f (t )＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫t －132－t －13＋1＝t 2－3t ＋53＝13t 2－t ＋53. ∴f (x )＝13x 2－x ＋53.由Ruize收集整理。
2018版必修一课后作业：第三章 指数函数、对数函数和
3．2.1对数第1课时对数的概念学习目标 1.了解对数的概念.2.会进行对数式与指数式的互化.3.会求简单的对数值．知识点一对数的概念思考解指数方程：3x＝ 3.可化为3x＝123，所以x＝12.那么你会解3x＝2吗？答案不会，因为2难以化为以3为底的指数式，因而需要引入对数概念．梳理对数的概念一般地，如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，即a b＝N，那么就称b是以a为底N的对数，记作log a N＝b，其中，a叫做对数的底数，N叫做真数．通常将以10为底的对数称为常用对数，以e为底的对数称为自然对数．log10N可简记为lg_N，log e N简记为ln_N.知识点二对数与指数的关系思考log a1(a>0，且a≠1)等于？答案设log a1＝t，化为指数式a t＝1，则不难求得t＝0，即log a1＝0.梳理(1)对数与指数的关系若a>0，且a≠1，则a x＝N⇔log a N＝x.对数恒等式：log a Na＝N；log a a x＝x(a>0，且a≠1)．(2)对数的性质①1的对数为零；②底的对数为1；③零和负数没有对数．类型一 对数的概念例1 在N ＝log (5－b )(b －2)中，实数b 的取值范围是________． 答案 2<b <5且b ≠4 解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧b －2>0，5－b >0，5－b ≠1，∴2<b <5且b ≠4.反思与感悟 由于对数式中的底数a 就是指数式中的底数a ，所以a 的取值范围为a >0，且a ≠1；由于在指数式中a x ＝N ，而a x >0，所以N >0. 跟踪训练1 求f (x )＝log x 1－x1＋x 的定义域．解 要使函数式有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x ≠1，1－x 1＋x >0，解得0<x <1.∴f (x )＝log x 1－x1＋x 的定义域为(0,1)．类型二 应用对数的基本性质求值 例2 求下列各式中x 的值． (1)log 2(log 5x )＝0；(2)log 3(lg x )＝1. 解 (1)∵log 2(log 5x )＝0， ∴log 5x ＝20＝1，∴x ＝51＝5.(2)∵log 3(lg x )＝1，∴lg x ＝31＝3，∴x ＝103＝1000.反思与感悟 本题利用对数的基本性质从整体入手，由外到内逐层深入来解决问题．log a N ＝0⇒N ＝1；log a N ＝1⇒N ＝a 使用频繁，应在理解的基础上牢记．跟踪训练2 若log 2(log 3x )＝log 3(log 4y )＝log 4(log 2z )＝0，则x ＋y ＋z 的值为________． 答案 9解析 ∵log 2(log 3x )＝0，∴log 3x ＝1. ∴x ＝3.同理y ＝4，z ＝2.∴x ＋y ＋z ＝9. 类型三 对数式与指数式的互化 命题角度1 指数式化为对数式 例3 将下列指数式写成对数式．(1)54＝625；(2)2－6＝164；(3)3a ＝27；(4)⎝⎛⎭⎫13m ＝5.73. 解 (1)log 5625＝4.(2)log 2164＝－6.(3)log 327＝a .(4)13log 5.73＝m .反思与感悟 指数式化为对数式，关键是弄清指数式各部位的去向：跟踪训练3 (1)将3－2＝19，⎝⎛⎭⎫126＝164化为对数式．(2)解方程：⎝⎛⎭⎫13m＝5.解 (1)3－2＝19可化为log 319＝－2；⎝⎛⎭⎫126＝164可化为12log 164＝6.(2)m ＝13log 5.命题角度2 对数式化为指数式 例4 求下列各式中x 的值．(1)log 64x ＝－23；(2)log x 8＝6；(3)lg100＝x ；(4)－lne 2＝x ；(5)1)log 13＋22＝x .解 (1)x ＝2364-＝233(4)-＝4－2＝116.(2)因为x 6＝8，所以x ＝166()x ＝168＝136(2)＝122＝ 2. (3)因为10x ＝100＝102，所以x ＝2. (4)由－lne 2＝x ，得－x ＝lne 2，即e －x ＝e 2.所以x ＝－2. (5)因为1)log )13＋22＝x ，所以(2－1)x ＝13＋22＝1(2＋1)2＝12＋1＝2－1， 所以x ＝1.反思与感悟 要求对数的值，设对数为某一未知数，将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求解．跟踪训练4 计算：(1)log 927；(2)；(3).解 (1)设x ＝log 927，则9x ＝27,32x ＝33，∴x ＝32.(2)设x＝，则⎝⎛⎭⎫43x ＝81,43x＝34，∴x ＝16.(3)令x ＝，则⎝⎛⎭⎫354x＝625,435x ＝54，∴x ＝3.命题角度3 对数恒等式log a Na＝N 的应用例5 (1)求＝2中x 的值； (2)求的值(a，b ，c ∈(0，＋∞)且不等于1，N ＞0)． 解 (1)∵＝33·＝27x ＝2，∴x ＝227. (2)＝＝＝N . 反思与感悟 应用对数恒等式时应注意 (1)底数相同．(2)当N >0时才成立，例如y ＝x 与y ＝log a xa 并非相等的函数．跟踪训练5 设5log (21)25x -＝9，则x ＝________.答案 2 解析 ∵5log (21)25x -＝()5log (21)25x -＝5log (21)2(5)x -＝(2x －1)2＝9.∴2x －1＝±3，又∵2x －1>0，∴2x －1＝3. ∴x ＝2.1．log b N ＝a (b >0，b ≠1，N >0)对应的指数式是________． 答案 b a ＝N2．若log a x ＝1，则x ＝________. 答案 a3．下列指数式与对数式互化不正确的一组的序号是________． ①e 0＝1与ln1＝0； ②138-＝12与log 812＝－13； ③log 39＝2与129＝3； ④log 77＝1与71＝7. 答案 ③33log 3x+log log log a b c b c Na ⋅⋅33log 3x +3log 3x log loglog a b c b c N a ⋅⋅log log log ()a b c b c Na⋅log c Nc4．已知log x 16＝2，则x ＝________. 答案 45．设10lg x ＝100，则x 的值等于________． 答案 1001．对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即a b ＝N ⇔log a N ＝b (a >0，且a ≠1，N >0)，据此可得两个常用恒等式：(1)log a a b ＝b ；(2)log a Na＝N .2．在关系式a x ＝N 中，已知a 和x 求N 的运算称为求幂运算；而如果已知a 和N 求x 的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算．课时作业一、填空题 1．有下列说法： ①零和负数没有对数；②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以10为底的对数叫做常用对数； ④以e 为底的对数叫做自然对数． 其中正确命题的序号为________． 答案 ①③④解析 ①、③、④正确，②不正确，只有a >0，且a ≠1时，a x ＝N 才能化为对数式． 2．已知log 2(1－2x )＝1的解x ＝________. 答案 －12解析 ∵log 2(1－2x )＝1， ∴2＝1－2x ， ∴x ＝－12.3．＝________.答案 8 解析 设＝t ，则(3)t＝81,32t＝34，t 2＝4，t ＝8. 4．下列四个等式：①lg(lg10)＝0；②lg(lne)＝0；③若lg x ＝10，则x ＝10；④若ln x ＝e ，则x ＝e 2. 其中正确等式的序号是________．答案 ①②解析 ①lg(lg10)＝lg1＝0；②lg(lne)＝lg1＝0； ③若lg x ＝10，则x ＝1010；④若ln x ＝e ，则x ＝e e . 5．(12)－1＋log 0.54的值为________．答案 0解析 (12)－1＋log 0.54＝(12)－1＋log 124＝2－2＝0.6．若log a 3＝m ，log a 5＝n ，则a 2m ＋n的值是________．答案 45解析 由log a 3＝m ，得a m ＝3，由log a 5＝n ，得a n ＝5， ∴a 2m ＋n ＝(a m )2·a n ＝32×5＝45.7．已知f (log 2x )＝x ，则f (12)＝________.答案2解析 令log 2x ＝12，则x ＝212＝2，即f (12)＝f (log 22)＝ 2.8．方程3log 2x＝14的解是________． 答案 x ＝19解析 ∵3log 2x＝2－2，∴log 3x ＝－2，∴x ＝3－2＝19.9．已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么x 12-＝________.答案24解析 ∵log 7[log 3(log 2x )]＝0，∴log 3(log 2x )＝1， ∴log 2x ＝3，∴23＝x . ∴x12-＝(23)12-＝18＝122＝24. 10．设a ＝log 310，b ＝log 37，则3a －b ＝________. 答案107解析 ∵a ＝log 310，b ＝log 37，∴3a ＝10,3b ＝7，∴3a －b＝3a 3b ＝107. 11．22log 32+＋32log 93-＝________.答案 13解析22log 32+＋32log 33-＝22×2log 32＋32log 933＝4×3＋99＝12＋1＝13. 二、解答题12．(1)先将下列式子改写成指数式，再求各式中x 的值． ①log 2x ＝－25；②log x 3＝－13.(2)已知6a ＝8，试用a 表示下列各式． ①log 68；②log 62；③log 26.解 (1)①因为log 2x ＝－25，所以x ＝225-＝582.②因为log x 3＝－13，所以x 13-＝3，所以x ＝3－3＝127.(2)①log 68＝a .②由6a＝8，得6a＝23，即63a ＝2，所以log 62＝a3.③由63a ＝2，得23a＝6，所以log 26＝3a.13．设M ＝{0,1}，N ＝{lg a,2a ，a,11－a }，是否存在a 的值，使M ∩N ＝{1}? 解 不存在a 的值，使M ∩N ＝{1}成立．若lg a ＝1，则a ＝10，此时11－a ＝1，从而11－a ＝lg a ＝1，与集合元素的互异性矛盾； 若2a ＝1，则a ＝0，此时lg a 无意义； 若a ＝1，此时lg a ＝0，从而M ∩N ＝{0,1}，与条件不符；若11－a ＝1，则a ＝10，从而lg a ＝1，与集合元素的互异性矛盾． 所以不存在a ，使M ∩N ＝{1}． 三、探究与拓展14．log(n＋1－n)(n＋1＋n)＝________.答案－1解析由题意，知log(n＋1－n)(n＋1＋n)＝log(n＋1－n)(n＋1－n)－1＝－1.15．若集合{x，xy，lg(xy)}＝{0，|x|，y}，求log2(x2＋y2)的值．解根据集合中元素的互异性可知，在第一个集合中，x≠0，第二个集合中，y≠0，∴第一个集合中的元素xy≠0，只有lg(xy)＝0，可得xy＝1.①然后，还有两种可能：x＝y，②或xy＝y.③由①②联立，解得x＝y＝1或x＝y＝－1，若x＝y＝1，则xy＝1，违背集合中元素的互异性；若x＝y＝－1，则xy＝|x|＝1，从而两集合中的元素相同．∴x＝－1，y＝－1，符合集合相等的条件．因此，log2(x2＋y2)＝log22＝1.。
高中数学人教B版必修一学案：第三单元 3.1.2 指数函数(一) Word版含答案
3．1.2指数函数(一)学习目标 1.理解指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性.2.掌握指数函数图象的性质.3.会应用指数函数的性质求指数型函数的定义域、值域．知识点一指数函数思考细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4个分裂成8个，如此下去，如果第x次分裂得到y个细胞，那么细胞个数y与次数x的函数关系式是什么？这个函数式与y＝x2有什么不同？梳理一般地，________________叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是____．特别提醒：(1)规定y＝a x中a>0，且a≠1的理由：①当a≤0时，a x可能无意义；②当a>0时，x可以取任何实数；③当a＝1时，a x＝1 (x∈R)，无研究价值．因此规定y＝a x中a>0，且a≠1.(2)要注意指数函数的解析式：①底数是大于0且不等于1的常数．②指数函数的自变量必须位于指数的位置上．③a x的系数必须为1.④指数函数等号右边不会是多项式，如y＝2x＋1不是指数函数．知识点二指数函数的图象和性质思考函数的性质包括哪些？如何探索指数函数的性质？梳理指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的图象和性质类型一求指数函数的解析式例1已知指数函数f(x)的图象过点(3，π)，求函数f(x)的解析式．反思与感悟根据指数函数的定义，a是一个常数，a x的系数为1，且a>0，a≠1.指数位置是x，其系数也为1，凡是不符合这些要求的都不是指数函数．要求指数函数f(x)＝a x(a>0，且a≠1)的解析式，只需要求出a的值，要求a的值，只需一个已知条件即可．跟踪训练1已知指数函数y＝(2b－3)a x经过点(1,2)，求a，b的值．类型二 指数型函数的定义域、值域问题 命题角度1 y ＝f (a x )型例2 求下列函数的定义域、值域． (1)y ＝3x 1＋3x ；(2)y ＝4x －2x＋1.反思与感悟 解此类题的要点是设a x ＝t ，利用指数函数的性质求出t 的范围．从而把问题转化为y ＝f (t )的问题．跟踪训练2 求下列函数的定义域与值域． (1)y ＝1－(12)x ；(2)y ＝a x －1a x ＋1(a >0，且a ≠1)．命题角度2 y ＝a f (x )型 例3 求函数y ＝ 32x －1－19的定义域、值域．反思与感悟 y ＝a f (x )的定义域即f (x )的定义域，求y ＝a f (x )的值域可先求f (x )的值域，再利用y ＝a t 的单调性结合t ＝f (x )的范围求y ＝a t 的范围． 跟踪训练3 求下列函数的定义域、值域：(1)y ＝0.311x +；(2)y ＝类型三 指数函数图象的应用 命题角度1 指数函数整体图象例4 在如图所示的图象中，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与函数y ＝⎝⎛⎭⎫b a x的图象可能是( )反思与感悟 函数y ＝a x 的图象主要取决于0<a <1还是a >1.但前提是a >0且a ≠1. 跟踪训练4 已知函数f (x )＝4＋a x ＋1的图象经过定点P ，则点P 的坐标是( ) A ．(－1,5) B ．(－1,4) C ．(0,4)D ．(4,0)命题角度2 指数函数图象局部例5 若直线y ＝2a 与函数y ＝|2x －1|图象有两个公共点，求实数a 的取值范围．反思与感悟 指数函数是一种基本函数，与其他函数一道可以衍生出很多函数，本例就体现了指数函数图象的“原料”作用．跟踪训练5 函数y ＝a |x |(a >1)的图象是( )1．下列各函数中，是指数函数的是( ) A ．y ＝(－3)x B ．y ＝－3x C ．y ＝3x －1D ．y ＝(13)x2．若函数y ＝(2a －1)x (x 是自变量)是指数函数，则a 的取值范围是( ) A ．a >0，且a ≠1 B ．a ≥0，且a ≠1 C ．a >12，且a ≠1D ．a ≥123．函数y ＝32x －的值域是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0]C ．(0,1]D ．[－1,0)4.函数f (x )＝a x－b的图象如图所示，其中a ，b 均为常数，则下列结论正确的是( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <0 5．函数f (x )＝1－2x ＋1x ＋3的定义域为( )A．(－3,0] B．(－3,1]C．(－∞，－3)∪(－3,0] D．(－∞，－3)∪(－3,1]1．判断一个函数是不是指数函数，关键是看解析式是否符合y＝a x(a＞0，且a≠1)这一结构形式，即a x的系数是1，指数是x且系数为1.2．指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)的性质分底数a＞1,0＜a＜1两种情况，但不论哪种情况，指数函数都是单调的．3．求函数y＝a f(x)(a＞0，且a≠1)的值域的方法如下：(1)换元，令t＝f(x)，并求出函数t＝f(x)的定义域；(2)求t＝f(x)的值域t∈M；(3)利用y＝a t的单调性求y＝a t在t∈M上的值域．答案精析问题导学 知识点一思考 y ＝2x .它的底为常数，自变量为指数，而y ＝x 2恰好反过来． 梳理函数y ＝a x (a >0，且a ≠1) R 知识点二思考 函数性质通常包括定义域、值域、特殊点、单调性、最值、奇偶性．可以通过描点作图，先研究具体的指数函数性质，再推广至一般． 梳理(0,1) 0 1 y >1 0<y <1 0<y <1 y >1 增函数 减函数 题型探究例1 解 设f (x )＝a x ，将点(3，π)代入，得到f (3)＝π， 即a 3＝π，解得a ＝13π，于是f (x )＝3πx . 跟踪训练1 a ＝b ＝2.例2 解 (1)函数的定义域为R (∵对一切x ∈R,3x ≠－1)． ∵y ＝(1＋3x )－11＋3x ＝1－11＋3x， 又∵3x >0,1＋3x >1， ∴0<11＋3x<1，∴－1<－11＋3x <0，∴0<1－11＋3x <1，∴值域为(0,1)．(2)定义域为R ，y ＝(2x )2－2x ＋1 ＝(2x －12)2＋34，∵2x >0，∴2x ＝12，即x ＝－1时，y 取最小值34，同时y 可以取一切大于34的实数，∴值域为[34，＋∞)．跟踪训练2 解 (1)∵1－⎝⎛⎭⎫12x ≥0，∴⎝⎛⎭⎫12x ≤1，解得x ≥0， ∴原函数的定义域为[0，＋∞)． 令t ＝1－⎝⎛⎭⎫12x(x ≥0)，则0≤t <1， ∴0≤ t <1，∴原函数的值域为[0,1)． (2)原函数的定义域为R . 由y ＝a x －1a x ＋1(a >0，且a ≠1)，得a x ＝－y ＋1y －1.∵a x >0，∴－y ＋1y －1>0，∴－1<y <1.∴原函数的值域是(－1,1)． 例3 解 要使函数有意义，则x 应满足32x －1－19≥0，即32x －1≥3－2.∵y ＝3x 在R 上是增函数， ∴2x －1≥－2，解得x ≥－12.故所求函数的定义域为⎣⎡⎭⎫－12，＋∞. 当x ∈⎣⎡⎭⎫－12，＋∞时， 32x －1∈⎣⎡⎭⎫19，＋∞. ∴32x －1－19∈[0，＋∞)．∴原函数的值域为[0，＋∞)．跟踪训练3 解 (1)由x －1≠0得x ≠1， 所以函数定义域为{x |x ≠1}． 由1x －1≠0得y ≠1，所以函数值域为{y |y >0且y ≠1}． (2)由5x －1≥0得x ≥15，所以函数定义域为{x |x ≥15}．由5x －1≥0得y ≥1，所以函数值域为{y |y ≥1}．例4 A 跟踪训练4 A例5 解 y ＝|2x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ，x <0，2x －1，x ≥0，图象如下：由图可知，要使直线y ＝2a 与函数y ＝|2x －1|图象有两个公共点， 需0<2a <1，即0<a <12.跟踪训练5 B 当堂训练1．D 2.C 3.C 4.D 5.A。
人教B版高中数学必修一教案-3.1 指数与指数函数
2.1.2 指数函数及其性质（1）三维目标一、知识与技能1.掌握指数函数的概念、图象和性质..能借助计算机或计算器画指数函数的图象. 3.能由指数函数图象探索并理解指数函数的性质. 二、过程与方法1.在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法，如具体到一般的过程，数形结合的方法等.2.通过探讨指数函数的底数a ＞0，且a ≠1的理由，明确数学概念的严谨性和科学性，做一个具备严谨科学态度的人.三、情感态度与价值观1.通过实例引入指数函数，激发学生学习指数函数的兴趣，体会指数函数是一类重要的函数模型，并且有广泛的用途，逐步培养学生的应用意识.2.在教学过程中，通过现代信息技术的合理应用，让学生体会到现代信息技术是认识世界的有效手段. 教学重点指数函数的概念和性质. 教学难点用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质. 教具准备多媒体、学案. 教学过程（一）新课导学探究一：指数函数的概念问题1：细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个（即 12），第2次由2个分裂成4个（即 ），第3次由4个分裂成8个（即 ），如此下去，如果第x 次分裂得到 个细胞，那么细胞个数y 与次数x 的关系式是问题2：《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。
”请你写出截取x 次后，木棰剩余量y 关于x 的关系式是【讨论】：（1）这两个关系式是否构成函数？我们发现：在两个关系式中，每给一个自变量都有唯一的一个函数值和它对应，因此关系式2x y= 和 1()2xy = 都是函数关系式。
（2）这是我们学过的哪个函数？如果不是，你能否根据该函数的特征给它起个恰当的名字？我们发现： 函数2x y= 和 1()2xy =在在形式上是是相同的，解析式的右边都是指数式，且自变量都在指数位置上。
底数是常数，指数是自变量。
结论：函数2x y= 和 1()2x y =都是函数y =a x 的具体形式.函数y =a x是一类重要的函数模型，并且有广泛的用途，它可以解决好多生活中的实际问题，这就是我们下面所要研究的一类重要函数模型——指数函数. （引入新课，书写课题）（二）概念讲解指数函数的概念：一般地，函数y =a x （a ＞0，a ≠1）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R . 思考：1、指数函数解析式的结构特征： ①xa 前面的系数为：1 ②a 的取值范围：a ＞0，a ≠1③指数只含x2：为什么规定10≠>a a 且呢？否则会出现什么情况呢？①当0=a ，ⅰ若0>x ，则00=xⅱ若0≤x ，则x0无意义，如：21-=x ，则010102121===-y 无意义。
2017-2018学年高中数学人教B版必修一课时作业：3-2对数与对数函数-1 第1课时 含解析 精品
第三章 3.2 3.2.1 第1课时A 级 基础巩固一、选择题1．下列语句正确的是导学号 65164815( B )①对数式log a N ＝b 与指数式a b ＝N (a ＞0，且a ≠1)是同一关系式的两种不同表示方法； ②若a b ＝N (a ＞0，且a ≠1)，则a log a N ＝N 一定成立； ③对数的底数为任意正实数；④log a a b ＝b ，对于一切a ＞0且a ≠1恒成立． A ．①②③④ B ．①②④ C ．①③④D ．②③④[解析] ③错，对数的底数不能为1，排除A 、C 、D ，故选B ． 2．2－3＝18化为对数式为导学号 65164816( C )A ．log 182＝－3B ．log 18(－3)＝2C ．log 218＝－3D ．log 2(－3)＝18[解析] ∵2－3＝18，∴－3＝log 218 ，故选C ．3．已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么x －12等于导学号 65164817( C )A ．13B ．123C ．122D ．133[解析] ∵log 7[log 3(log 2x )]＝0，∴log 3(log 2x )＝1，∴log 2x ＝3，∴x ＝8， ∴x－12＝8－12＝122.4．如果点P (lg a ，lg b )关于x 轴的对称点为(0，－1)，则导学号 65164818( A ) A ．a ＝1，b ＝10B ．a ＝1，b ＝110C ．a ＝10，b ＝1D ．a ＝110，b ＝1[解析] 点P (lg a ，lg b )关于x 轴的对称点为(lg a ，－lg b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ lg a ＝0－lg b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝10. 二、填空题5.⎝⎛⎭⎫132log 132的值为__4__.导学号 65164819[解析] ⎝⎛⎭⎫132log 132＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(13)log 13 22＝4. 6．设a ＝log 310，b ＝log 37，则3a －2b＝1049.导学号 65164820 [解析] 3a －2b＝3a 32b ＝3a (3b )2＝3log 310(3log 37)2＝1049. 三、解答题7．将下列对数式与指数式进行互化.导学号 65164821 (1)2－4＝116； (2)53＝125；(3)lg a ＝2; (4)log 232＝5. [解析] (1)log 2116＝－4.(2)log 5125＝3. (3)102＝a . (4)25＝32. 8．计算：23＋log 23＋35－log 39的值.导学号 65164822[解析] 23＋log 23＋35－log 39＝23·2log 23＋35·3－log 39＝8×3＋35×132＝24＋27＝51.B 级 素养提升一、选择题1．若f (10x )＝x ，则f (3)的值为导学号 65164823( B ) A ．log 310 B ．lg3 C ．103D ．310[解析] ∵f (10x )＝x ，令10x ＝t ，∴x ＝lg t ， ∴f (t )＝lg t ，∴f (3)＝lg3.2．21＋12log 25的值为导学号 65164824( B )A ．2＋ 5B ．2 5C ．2＋52D ．1＋52[解析] 21＋12log 25＝2·212 log 25＝2·(2log 25)12＝2×512＝2 5.二、填空题3．若log (1－x )(1＋x )2＝1，则x ＝__－3__.导学号 65164825 [解析] 由对数的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞01－x ≠1(1＋x )2≠0(1＋x )2＝1－x，解得x ＝－3.4．若log x (2＋3)＝－1，则x ＝ 2－3 .导学号 65164826 [解析] ∵log x (2＋3)＝－1，∴x －1＝2＋3，∴1x ＝2＋3，∴x ＝12＋3＝2－ 3. 三、解答题5．设M ＝{0,1}，N ＝{11－a ，lg a,2a ，a }，是否存在实数a ，使得M ∩N ＝{1}？导学号 65164827[解析] 若lg a ＝1，则a ＝10，此时11－a ＝1，从而11－a ＝lg a ＝1，此时与集合元素的互异性矛盾； 若2a ＝1，则a ＝0，此时lg a 无意义；若a ＝1，此时lg a ＝0，从而M ∩N ＝{0,1}，与条件不符；若11－a ＝1，则a ＝10，从而lg a ＝1，与集合元素的互异性相矛盾． 所以，不存在实数a 使M ∩N ＝{1}成立．C 级 能力拔高1．求下列各式中的x 值：导学号 65164828 (1)log 2(x 2－2)＝0； (2)log (2x 2－1)(3x 2＋2x －1)＝1.[解析] (1)∵log 2(x 2－2)＝0，∴x 2－2＝1，∴x 2＝3， ∴x ＝±3.(2)∵log (2x 2－1)(3x 2＋2x －1)＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋2x －1＞02x 2－1＞02x 2－1≠13x 2＋2x －1＝2x 2－1，解得x ＝－2.2．解方程3lg x －2－3lg x ＋4＝0.导学号 65164829 [解析] 设3lg x －2＝a ≥0，则3lg x ＝a 2＋2， ∴原方程化为a －a 2＋2＝0， 解得a ＝－1或a ＝2.∵a ≥0，∴a ＝2.∴3lg x －2＝2， ∴3lg x －2＝4，∴lg x ＝2，x ＝100. 经检验知，x ＝100是原方程的根．。
2018版必修一课后作业：第三章 指数函数、对数函数和
3．1.1分数指数幂第1课时根式学习目标 1.理解n次实数方根、n次根式的概念.2.正确运用根式运算性质化简、求值.3.体会分类讨论思想、符号化思想的作用．知识点一n次实数方根，n次根式思考若x2＝3，这样的x有几个？x叫做3的什么？怎么表示？答案这样的x有2个，它们都称为3的平方根，记作±3.梳理(1)n次实数方根的概念(2)根式的概念式子na 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数． 知识点二 根式的性质思考 我们已经知道，若x 2＝3，则x ＝±3，那么(3)2等于什么？32呢？(－3)2呢？ 答案 把x ＝3代入方程x 2＝3，有(3)2＝3； 32＝9，9代表9的正的平方根即3. (－3)2＝9＝3. 梳理 根式的性质(1)n0＝0(n ∈N *，且n >1)； (2)(na )n ＝a (n ∈N *，且n >1)； (3)na n ＝a (n 为大于1的奇数)； (4)na n＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥0)－a (a <0)(n 为大于1的偶数)．类型一 根式的意义例1 求使等式(a －3)(a 2－9)＝(3－a )a ＋3成立的实数a 的取值范围． 解(a －3)(a 2－9)＝(a －3)2(a ＋3)＝|a －3|a ＋3，要使|a －3|a ＋3＝(3－a )a ＋3成立，需⎩⎪⎨⎪⎧a －3≤0，a ＋3≥0，解得a ∈[－3,3]． 反思与感悟 对于na ，当n 为偶数时，要注意两点 (1)只有a ≥0才有意义．(2)只要n a 有意义，na 必不为负．跟踪训练1 若a 2－2a ＋1＝a －1，求a 的取值范围． 解 ∵a 2－2a ＋1＝|a －1|＝a －1， ∴a －1≥0，∴a ≥1.类型二 利用根式的性质化简或求值 例2 化简： (1)4(3－π)4； (2)(a －b )2(a >b )；(3)(a －1)2＋(1－a )2＋3(1－a )3. 解 (1)4(3－π)4＝|3－π|＝π－3. (2)(a －b )2＝|a －b |＝a －b .(3)由题意知a －1≥0，即a ≥1.原式＝a －1＋|1－a |＋1－a ＝a －1＋a －1＋1－a ＝a －1. 反思与感悟 n 为奇数时⎝⎛⎭⎫n a n ＝n a n ＝a ，a 为任意实数均可；n 为偶数且a ≥0时，⎝⎛⎭⎫n a n 才有意义，且⎝⎛⎭⎫n a n ＝a ；而a 为任意实数n a n 均有意义，且n a n ＝|a |. 跟踪训练2 求下列各式的值． (1)7(－2)7； (2)4(3a －3)4(a ≤1)； (3)3a 3＋4(1－a )4. 解 (1)7(－2)7＝－2.(2)4(3a －3)4＝|3a －3|＝3|a －1|＝3－3a . (3)3a 3＋4(1－a )4＝a ＋|1－a |＝⎩⎪⎨⎪⎧1，a ≤1，2a －1，a >1.类型三 有限制条件的根式的化简例3 设－3<x <3，求x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9的值． 解 原式＝(x －1)2－(x ＋3)2＝|x －1|－|x ＋3|， ∵－3<x <3， ∴当－3<x <1时，原式＝－(x －1)－(x ＋3)＝－2x －2； 当1≤x <3时，原式＝(x －1)－(x ＋3)＝－4.∴原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2，－3<x <1，－4，1≤x <3.引申探究例3中，若将“－3<x <3”变为“x ≤－3”，结果又是什么？ 解 原式＝(x －1)2－(x ＋3)2＝|x －1|－|x ＋3|. ∵x ≤－3，∴x －1<0，x ＋3≤0， ∴原式＝－(x －1)＋(x ＋3)＝4.反思与感悟 当n 为偶数时，na n 先化为|a |，再根据a 的正负去绝对值符号． 跟踪训练3 已知x ∈[1,2]，化简(4x －1)4＋6(x 2－4x ＋4)3＝________. 答案 1解析 ∵x ∈[1,2]，∴x －1≥0，x －2≤0， ∴(4x －1)4＋6(x 2－4x ＋4)3 ＝x －1＋6(x －2)6 ＝x －1－(x －2) ＝1.1．已知x 5＝6，则x 等于________． 答案562．m 是实数，则下列式子中可能没有意义的是________． ①4m 2；②3m ；③6m ；④5－m . 答案 ③3．(42)4运算的结果是________． 答案 24.3－8的值是________． 答案 －25．化简(1－2x )2(2x >1)的结果是________． 答案 2x －11．根式的概念：如果x n ＝a ，那么x 叫做a 的n 次实数方根，其中n >1，且n ∈N *.n 为奇数时，x ＝n a ，n 为偶数时，x ＝±na (a >0)；负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0.2．掌握两个公式：(1)(na )n＝a ；(2)n 为奇数，n a n ＝a ，n 为偶数，n a n＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ， a ≥0，－a ，a <0.3．一个数到底有没有n 次实数方根，我们一定要先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清n 为奇数还是偶数这两种情况．课时作业一、填空题1．已知m 10＝2，则m ＝________. 答案 ±102解析 ∵m 10＝2，∴m 是2的10次方根．又∵10是偶数，∴2的10次方根有两个，且互为相反数． ∴m ＝±102. 2．给出下列各式：①na n＝a ；②a a ＝34a (a >0)；③3－3＝6(－3)2. 其中正确的为________． 答案 ② 解析 ①na n＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n 为奇数，|a |，n 为偶数，∴①错；②a a ＝(a a )12＝(aa 12)12＝(a 32)12＝a 34，∴②正确；③3－3＝－33，6(－3)2＝632＝33，∴③错． 3．化简3－8125的值是________． 答案 －25解析3－8125＝3(－25)3＝－25. 4．化简(e －1＋e )2－4等于________． 答案 e －e －1解析(e －1＋e )2－4＝e －2＋2e －1e ＋e 2－4＝e －2－2＋e 2＝(e －1－e )2 ＝|e －1－e|＝e －e －1.5．若2<a <3，化简(2－a )2＋4(3－a )4的结果是________．答案 1解析 ∵2<a <3，∴a －2>0，a －3<0，∴(2－a )2＋4(3－a )4＝|2－a |＋|3－a |＝a －2＋3－a ＝1. 6．5－26的平方根是________． 答案 ±(3－2)解析 ±5－26＝±3－26＋2＝±(3－2)2 ＝±(3－2)．7．化简(π－4)2＋3(π－4)3的结果为________． 答案 0解析 原式＝|π－4|＋π－4＝4－π＋π－4＝0. 8．若x <0，则|x |－x 2＋x 2|x |＝________.答案 1解析 ∵x <0，∴原式＝－x －(－x )＋－x－x＝－x ＋x ＋1＝1. 9.3－223＋22＝________.答案 3－2 2 解析 方法一3－223＋22＝(2－1)2(2＋1)2＝2－12＋1＝(2－1)2(2＋1)(2－1)＝3－2 2. 方法二 3－223＋22＝(3－22)2(3＋22)(3－22)＝3－2 2.10．把a－1a根号外的a 移到根号内等于________． 答案 －－a 解析 要使－1a有意义，需a <0. ∴a －1a＝－|a |－1a＝－|a |2·(－1a)＝－－a .二、解答题11．求3(－6)3＋4(5－4)4＋3(5－4)3的值． 解 ∵3(－6)3＝－6， 4(5－4)4＝|5－4|＝4－5， 3(5－4)3＝5－4，∴原式＝－6＋4－5＋5－4＝－6.12．设f (x )＝x 2－4，若0<a ≤1，求f (a ＋1a )．解 f (a ＋1a )＝(a ＋1a)2－4＝a 2＋1a2－2＝(a －1a )2＝|a －1a|，因为0<a ≤1，所以a ≤1a ，故f (a ＋1a )＝1a－a .13．化简x 2－2xy ＋y 2＋7(y －x )7. 解 原式＝(x －y )2＋y －x ＝|x －y |＋y －x . 当x ≥y 时，原式＝x －y ＋y －x ＝0； 当x ＜y 时，原式＝y －x ＋y －x ＝2(y －x )．∴原式＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≥y ，2(y －x )，x ＜y .三、探究与拓展 14．化简(1－a )·41(a －1)3＝________. 答案 －4a －1解析 要使函数有意义需a －1>0. (1－a )41(a －1)3＝(1－a )(a －1)－34 ＝－(a －1)(a －1)－34＝－4a －1.15．计算： (1)614－3338＋30.125；(2)3(－8)3＋4(3－2)4－3(2－3)3. 解 (1)原式＝254－3278＋318＝52－32＋12＝32. (2)原式＝－8＋|3－2|－(2－3) ＝－8＋2－3－2＋ 3 ＝－8.。
数学新同步课堂人教B全国通用版必修一学案：第3章 3.1 3.1.2 指数函数 Word版含答案
3.1.2指数函数学习目标：1.理解指数函数的概念与意义，掌握指数函数的定义域、值域的求法．(重点、难点)2.能画出具体指数函数的图象，并能根据指数函数的图象说明指数函数的性质．(重点)[自主预习·探新知]1．指数函数的定义一般地，函数y＝a x(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.思考：指数函数中为什么规定a>0，且a≠1?[提示](1)如果a＝0，当x>0时，a x恒等于0，没有研究的必要；当x≤0时，a x无意义；(2)如果a<0，例如f(x)＝(－4)x，这时对于x＝12，14，…，该函数无意义；(3)如果a＝1，则y＝1x是一个常量，没有研究的价值．为了避免上述各种情况，所以规定a>0，且a≠1. 2．指数函数的图象和性质3．比较幂大小的方法(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断．(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用指数函数的图象的变化规律来判断．(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断．[基础自测]1．思考辨析(1)函数y＝－2x是指数函数．()(2)函数y＝2x＋1是指数函数．()(3)函数y＝(－2)x是指数函数．()(4)指数函数的图象一定在x轴上方．()[解析](1)×.因为指数幂2x的系数为－1，所以函数y＝－2x不是指数函数．(2)×.因为指数不是x，所以函数y＝2x＋1不是指数函数．(3)×.因为底数小于0，所以函数y＝(－2)x不是指数函数．(4)√.因为指数函数的值域是(0，＋∞)，所以指数函数的图象一定在x轴的上方．[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．指数函数y＝a x与y＝b x的图象如图3-1-1所示，则()图3-1-1A．a<0，b<0B．a<0，b>0C．0<a<1，b>1D．0<a<1,0<b<1C[函数y＝a x的图象是下降的，所以0<a<1；函数y＝b x的图象是上升的，所以b >1.故选C.]3．函数f (x )＝1－2x 的定义域是( )A ．(－∞，0]B ．[0，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(－∞，＋∞)A [由1－2x ≥0得2x ≤1，根据y ＝2x 的图象可得x ≤0，选A.]4．已知a >0，且a ≠1，若函数f (x )＝2a x －4在区间[－1,2]上的最大值为10，则a ＝__________.7或17 [(1)若a >1，则函数y ＝a x 在区间[－1,2]上是递增的，当x ＝2时，f (x )取得最大值f (2)＝2a 2－4＝10，即a 2＝7，又a >1，∴a ＝7.(2)若0<a <1，则函数y ＝a x 在区间[－1,2]上是递减的，当x ＝－1时，f (x )取得最大值f (－1)＝2a －1－4＝10，所以a ＝17.综上所述，a 的值为7或17.][合 作 探 究·攻 重 难](1)A ．y ＝a xB ．y ＝x a (a >0且a ≠1)C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x D ．y ＝(a －2)a x(2)函数y ＝(a －2)2a x 是指数函数，则( )A ．a ＝1或a ＝3B ．a ＝1C ．a ＝3D ．a >0且a ≠1 [思路探究] 根据指数函数的定义判断、求解．[解析] (1)A 中a 的范围没有限制，故不一定是指数函数；B 中y ＝x a (a >0且a ≠1)中变量是底数，故也不是指数函数；C 中y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 显然是指数函数；D 中只有a －2＝1，即a ＝3时为指数函数．(2)由指数函数定义知⎩⎪⎨⎪⎧(a －2)2＝1，a >0，且a ≠1， 所以解得a ＝3.[答案] (1)C (2)C[规律方法] 1.判断一个函数是指数函数的方法指数函数具有形式上的严格性，在指数函数定义的表达式中，要牢牢抓住四点：(1)底数是大于0且不等于1的常数；(2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上；(3)a x 的系数必须为1；(4)指数函数不会是多项式，如y ＝a x ＋1(a >0且a ≠1)不是指数函数．2．已知某函数是指数函数求参数值的方法(1)令底数大于0且不等于1，系数等于1列出不等式与方程．(2)解不等式与方程求出参数的值．提醒：要特别注意底数大于0且不等于1这一隐含条件．[跟踪训练]1．(1)若函数f (x )是指数函数，且f (2)＝9，则f (x )＝________.(2)已知函数f (x )＝(2a －1)x 是指数函数，则实数a 的取值范围是________．(1)3x (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(1，＋∞) [(1)由题意设f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，则f (2)＝a 2＝9，又因为a >0，所以a ＝3，所以f (x )＝3x .(2)由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧2a －1>0，2a －1≠1，解得a >12且a ≠1，所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(1，＋∞)．]①y ＝1－3x ；②y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－|x |；③y ＝4x ＋2x ＋1＋2.(2)求函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －x 2的值域与单调区间． [思路探究] (1)函数式有意义―→原函数的定义域――――→指数函数的值域原函数的值域(2)指数函数的图象与性质及复合函数的单调性与值域⇒用换元法将其化为指数函数．[解] (1)①要使函数式有意义，则1－3x ≥0，即3x ≤1＝30，因为函数y ＝3x 在R 上是增函数，所以x ≤0，故函数y ＝1－3x 的定义域为(－∞，0]． 因为x ≤0，所以0<3x ≤1，所以0≤1－3x <1.所以1－3x ∈[0,1)，即函数y ＝1－3x 的值域为[0,1)．②要使函数式有意义，则－|x |≥0，解得x ＝0，所以函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－|x |的定义域为{x |x ＝0}．因为x ＝0，所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－|x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫230＝1，即函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－|x |的值域为{y |y ＝1}．③因为对于任意的x ∈R ，函数y ＝4x ＋2x ＋1＋2都有意义，所以函数y ＝4x ＋2x ＋1＋2的定义域为R .因为2x >0，所以4x ＋2x ＋1＋2＝(2x )2＋2×2x ＋2＝(2x ＋1)2＋1>1＋1＝2，即函数y ＝4x ＋2x ＋1＋2的值域为(2，＋∞)．(2)令t ＝2x －x 2，则y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ，而t ＝－(x －1)2＋1≤1，所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ≥12，故所求函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ，由于二次函数t ＝2x －x 2的对称轴为x ＝1，可得函数t 在(－∞，1]上是增函数，函数y 在(－∞，1]上是减函数，故函数y 的减区间是(－∞，1]．函数t 在(1，＋∞)上是减函数，函数y 在(1，＋∞)上是减函数，故函数y 的增区间是(1，＋∞)．[规律方法] 1.函数y ＝a f (x )的定义域、值域的求法(1)函数y ＝a f (x )的定义域即y ＝f (x )的定义域．(2)函数y ＝a f (x )的值域的求法如下：①换元，令t ＝f (x )；②求t ＝f (x )的定义域x ∈D ；③求t ＝f (x )的值域t ∈M ；④利用y ＝a t 的单调性求y ＝a t ，t ∈M 的值域．2．复合函数的单调性与指数函数有关的单调性问题，求出内函数的单调区间结合外函数的单调性，结合复合函数的单调性确定其单调性．提醒：利用指数函数的单调性时要注意对底数的讨论．[跟踪训练]2．已知函数y ＝f (x )＝1－2a x －a 2x (a >1)．(1)求函数f (x )的值域；(2)若x ∈[－2,1]时，函数f (x )的最小值为－7，求a 的值和函数f (x )的最大值.[解] 设a x ＝t >0，所以y ＝－t 2－2t ＋1＝－(t ＋1)2＋2.(1)因为t ＝－1∉(0，＋∞)，所以y ＝－t 2－2t ＋1在(0，＋∞)上是减函数，所以y <1，所以值域为(－∞，1)．(2)因为x ∈[－2,1]，a >1，所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a 2，a ， 由t ＝－1∉⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a 2，a ， 所以y ＝－t 2－2t ＋1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a 2，a 上是减函数，－a 2－2a ＋1＝－7， 所以a ＝2或a ＝－4(不合题意，舍去)，当t ＝1a 2＝14时y 有最大值，即y max ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫142－2×14＋1＝716.[探究问题]1．指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的图象过哪一定点？函数f (x )＝a x －1＋2(a >0且a ≠1)的图象又过哪一定点呢？提示：法一：(平移法)∵y ＝a x 过定点(0,1)，∴将函数y ＝a x 向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到y＝a x－1＋2，此时函数y＝a x图象过定点(1,3)．法二：(解方程法)指数函数y＝a x(a>0且a≠1)的图象过定点(0,1)；在f(x)＝a x－1＋2中令x－1＝0，即x＝1，则f(x)＝3，所以函数f(x)＝a x－1＋2(a>0且a≠1)的图象过定点(1,3)．2．指数函数y＝a x(a>0且a≠1)的图象可能在第三或第四象限吗？为什么？提示：不可能．因为指数函数y＝a x(a>0且a≠1)的定义域是(－∞，＋∞)，值域是(0，＋∞)，这就决定了其图象只能在第一象限和第二象限．3．从左向右，指数函数y＝a x(a>0且a≠1)的图象呈上升趋势还是下降趋势？其图象是上凸还是下凸？提示：当0<a<1时，指数函数y＝a x(a>0且a≠1)的图象从左向右呈下降趋势；当a>1时，指数函数y＝a x(a>0且a≠1)的图象从左向右呈上升趋势．指数函数的图象下凸．(1)在同一坐标系中画出函数y＝a x，y＝x＋a的图象，可能正确的是()(2)函数y＝a－|x|(0＜a＜1)的图象是()[思路探究] (1)分a ＞1和0＜a ＜1两种情况分类讨论，结合排除法解题；(2)根据函数的奇偶性，单调性和函数的最值，以及函数的凹凸性即可判断．[解析] (1)∵a 为直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距，对应函数y ＝x ＋a 单调递增， 又∵当a ＞1时，函数y ＝a x 单调递增，当0＜a ＜1时，函数y ＝a x 单调递减， A 中，从图象上看，y ＝a x 的a 满足a ＞1，而直线y ＝x ＋a 的截距a ＜1，不符合以上两条；B 中，从图象上看，y ＝a x 的a 满足0＜a ＜1，而直线y ＝x ＋a 的截距a ＞1，不符合以上两条；C 中，从图象上看，y ＝a x 的a 满足a ＞1，而函数y ＝x ＋a 单调递减，不符合以上两条，∴只有选项D 的图象符合以上两条，故选D.(2)y ＝a －|x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a |x |，易知函数为偶函数，∵0＜a ＜1，∴1a ＞1，故当x ＞0时，函数为增函数，当x ＜0时，函数为减函数，当x ＝0时，函数有最小值，最小值为1，且指数函数为凹函数，故选A.[答案] (1)D (2)A[规律方法] 1.可用指数函数的图象过定点(0,1)，结合指数函数的性质如单调性、值域等处理指数函数的图象问题．2．要求指数型函数图象所过的定点时，只需令指数为0，求出对应的y 的值，即可得函数图象所过的定点．3．指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系．(1)在y 轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小．(2)在y 轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小．(3)无论在y 轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．这一性质可通过x 取1时函数值的大小关系去理解，如图3-1-2所示的指数函数的底数的大小关系为0＜d ＜c ＜1＜b ＜a .图3-1-2[跟踪训练]3．若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是__________.[－1,1] [∵2x >0，所以2x ＋1>1，即|y |>1，又因为曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，所以－1≤b ≤1.][当 堂 达 标·固 双 基]1．若函数f (x )是指数函数，且f (2)＝2，则f (x )＝( )A ．(2)xB ．2xC ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD ．⎝ ⎛⎭⎪⎫22x A [由题意，设f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，则由f (2)＝a 2＝2，得a ＝2，所以f (x )＝(2)x .]2．当x ∈[－2,2)时，y ＝3－x －1的值域是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－89，8 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－89，8 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫19，9 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤19，9 A [y ＝3－x －1，x ∈[－2,2)是减函数，∴3－2－1<y ≤32－1，即－89<y ≤8.]3．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫25a >⎝ ⎛⎭⎪⎫52－b ，则a ，b 的大小关系为__________． a <b [因为⎝ ⎛⎭⎪⎫25a >⎝ ⎛⎭⎪⎫52－b ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫25a >⎝ ⎛⎭⎪⎫25b ，而函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x 是R 上的减函数． 故a <b .]4．已知函数f (x )＝a 2x －4＋n (a >0且a ≠1)的图象恒过定点P (m,2)，则m ＋n ＝________.3 [令2x －4＝0，即x ＝2，f (x )＝1＋n .∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2，1＋n ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1，∴m ＋n ＝3.] 5．已知f (x )＝9x －2×3x ＋4，x ∈[－1,2].(1)设t ＝3x ，x ∈[－1,2]，求t 的最大值与最小值；(2)求f (x )的最大值与最小值．[解] (1)设t ＝3x ，∵x ∈[－1,2]，函数t ＝3x 在[－1,2]上是增函数，故有13≤t ≤9，故t 的最大值为9，t 的最小值为13.(2)由f (x )＝9x －2×3x ＋4＝t 2－2t ＋4＝(t －1)2＋3，可得此二次函数的对称轴为t ＝1，且13≤t≤9，故当t＝1时，函数f(x)有最小值为3，当t＝9时，函数f(x)有最大值为67.。
高中数学第三章基本初等函数(Ⅰ)3.1指数与指数函数3.1.1实数指数幂及其运算教案新人教B版必修1
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1 实数指数幂及其运算错误!教学分析在初中,学生已了解了整数指数幂的概念和运算性质．从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上，类比出正数的n次方根的定义,从而把整数指数推广到分数指数,进而推广到有理数指数幂,再推广到无理指数幂,并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂．本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如推广的思想(指数幂运算律的推广)、类比的思想、逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)等，同时，充分关注与实际问题的结合,体现数学的应用价值．根据本节内容的特点，教学中要注意发挥信息技术的力量，尽量利用计算器和计算机创设教学情境,为学生的数学探究与数学思维提供支持．三维目标1．通过与初中所学的知识进行类比，理解分数指数幂的概念,进而学习指数幂的性质．2．掌握分数指数幂和根式之间的互化,掌握分数指数幂的运算性质．培养学生观察分析、抽象类比的能力．3．掌握根式与分数指数幂的互化,渗透“转化"的数学思想．通过运算训练，养成学生严谨治学、一丝不苟的学习习惯，让学生了解数学来自生活,数学又服务于生活的哲理．4．能熟练地运用实数指数幂运算性质进行化简、求值，培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力．重点难点教学重点：(1)分数指数幂和根式概念的理解．(2）掌握并运用分数指数幂的运算性质．(3）运用实数指数幂性质进行化简、求值．教学难点:(1）分数指数幂及根式概念的理解．（2)实数指数幂性质的灵活应用．课时安排2课时错误!第1课时导入新课思路1.碳14测年法．原来宇宙射线在大气层中能够产生放射性碳14,并与氧结合成二氧化碳后进入所有活组织,先为植物吸收,再为动物吸收，只要植物和动物生存着，它们就会不断地吸收碳14在机体内保持一定的水平．而当有机体死亡后，即会停止吸收碳14，其组织内的碳14便以约5 730年的半衰期开始衰变并消失．对于任何含碳物质只要测定剩下的放射性碳14的含量，便可推断其年代（半衰期：经过一定的时间，变为原来的一半)．引出本节课题．思路 2.同学们，我们在初中学习了整数指数幂及其运算性质，那么整数指数幂是否可以推广呢？答案是肯定的．这就是本节的主讲内容,教师板书本节课题．推进新课错误!提出问题错误!讨论结果:（1）整数指数幂的运算性质:a n＝a·a·a·…·a，a0＝1（a≠0)；00无意义;a－n＝错误!(a≠0）；a m·a n＝a m＋n；（a m）n＝a mn;(a n）m＝a mn；（ab）n＝a n b n.其中n、m∈N＋.(2)①a2是a10的5次方根;②a4是a8的2次方根；③a3是a12的4次方根;④a5是a10的2次方根．实质上①错误!＝a错误!，②错误!＝a错误!,③错误!＝a错误!，④错误!＝a错误!结果的a的指数是2，4,3,5分别写成了错误!，错误!,错误!，错误!,形式上变了，本质没变．根据4个式子的最后结果可以总结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以写成分数作为指数的形式（分数指数幂形式）．(3)利用（2）的规律,错误!＝5错误!，错误!＝7错误!,错误!＝a错误!,错误!＝x错误!。
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第三章 3.1 3.1.2 第2课时A 级 基础巩固一、选择题1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ·2x ，(x ≥0)2－x ，(x <0)(a ∈R )，若f [f (－1)]＝1，则a ＝导学号 65164783( A )A ．14B ．12C ．1D ．2[解析] f (－1)＝2，∴f [f (－1)]＝f (2)＝4a ＝1， ∴a ＝14.2．函数y ＝a |x |(a >1)的图象是下图中的导学号 65164784( B )[解析] ∵y ＝a |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧a x (x ≥0)a －x (x <0)，又∵a >1，∴当x ≥0时，取函数y ＝a x (a >1)的图象的y 轴右侧部分，再作关于y 轴对称的图象，得y ＝a －x (x <0)的图象，故选B ．3．函数y ＝(12)1－x 的单调增区间是导学号 65164785( A )A ．(－∞，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(0,1)[解析] 令u ＝1－x ，则y ＝(12)u .∵u ＝1－x 在(－∞，＋∞)上是减函数， 又∵y ＝(12)u 在(－∞，＋∞)上是减函数，∴函数y ＝(12)1－x 在(－∞，＋∞)上是增函数，故选A ．4．已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2(a >0，且a ≠1)．若g (2)＝a ，则f (2)等于导学号 65164786( B )A ．2B ．154C ．174D ．a 2[解析] ∵f (x )是奇函数，g (x )是偶函数， ∴由f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2，①得－f (x )＋g (x )＝a －x －a x ＋2，②①＋②，得g (x )＝2， ①－②，得f (x )＝a x －a －x .又g (2)＝a ，∴a ＝2，∴f (x )＝2x －2－x ，∴f (2)＝22－2－2＝154.二、填空题 5．函数y ＝⎝⎛⎭⎫12－x 2＋x ＋2定义域是__[－1,2]__，值域为 ⎣⎦⎤4，1 .导学号 65164787[解析] 由－x 2＋x ＋2≥0得－1≤x ≤2， 此时－x 2＋x ＋2∈⎣⎡⎦⎤0，94， ∴u ＝－x 2＋x ＋2∈⎣⎡⎦⎤0，32， ∴y ＝⎝⎛⎭⎫12u ∈⎣⎡⎦⎤24，1.6．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝2x －3，则当x <0时，f (x )＝__3－2－x __.导学号 65164788[解析] 设x <0，则－x >0，∴f (－x )＝2－x －3，又∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴－f (x )＝2－x －3，∴f (x )＝3－2－x .∴当x <0时，f (x )＝3－2－x .三、解答题7．设f (x )＝4x4x ＋2，若0<a <1，试求：导学号 65164789(1)f (a )＋f (1－a )的值；(2)f ⎝⎛⎭⎫11 001＋f ⎝⎛⎭⎫21 001＋f ⎝⎛⎭⎫31 001＋…＋f ⎝⎛⎭⎫1 0001 001的值． [解析] (1)f (a )＋f (1－a )＝4a4a ＋2＋41－a41－a ＋2＝4a4a ＋2＋44a44a ＋2＝4a 4a ＋2＋44＋2·4a＝4a 4a ＋2＋22＋4a ＝4a ＋24a ＋2＝1. (2)f ⎝⎛⎭⎫11 001＋f ⎝⎛⎭⎫21 001＋f ⎝⎛⎭⎫31 001＋…＋f ⎝⎛⎭⎫1 0001 001 ＝⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫11 001＋f ⎝⎛⎭⎫1 0001 001＋⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫21 001＋f ⎝⎛⎭⎫9991 001＋…＋⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫5001 001＋f ⎝⎛⎭⎫5011 001＝500×1＝500.8．设函数f (x )＝ka x －a －x (a >0且a ≠1)是奇函数．(1)求常数k 的值；导学号 65164790(2)若a >1，试判断函数f (x )的单调性，并加以证明． [解析] (1)函数f (x )的定义域为R . 又∵f (x )为奇函数，∴f (0)＝0， 即k －1＝0，∴k ＝1.(2)当a >1时，函数f (x )是R 上的增函数． 由(1)知f (x )＝a x －a －x .设任意实数x 1<x 2， f (x 2)－f (x 1)＝a x 2－a－x 2－a x 1＋a－x 1＝a x 2－a x 1＋1a x 1－1a x 2＝a x 2－a x 1＋a x 2－a x 1ax 1x 2＝(a x 2－a x 1)⎝⎛⎭⎫1＋1a x 1＋x 2∵x 1<x 2，a >1，∴a x 1<a x 2，∴a x 2－a x 1>0.又1＋1ax 1＋x 2>0，∴f (x 2)－f (x 1)>0，即f (x 2)>f (x 1)．故当a >1时，函数f (x )在R 上是增函数．B 级 素养提升一、选择题1．已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a >b )的图象如右图所示，则函数g (x )＝a x ＋b 的图象是导学号 65164791( A )[解析] 由f (x )的图象，知0<a <1，b <－1，所以g (x )的图象可以看作是由函数y ＝a x (0<a <1)的图象向下平移|b |个单位得到的，所以选A ．2．定义运算：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b b ，a >b ，则函数f (x )＝1]12x 的图象为导学号 65164792( D )[解析] 由题意，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (x ≤0)(12)x (x >0).∵x ≤0时，f (x )＝1，排除A 、C ，又∵x >0时，f (x )＝(12)x ，∴f (1)＝12<1，排除B ，故选D ．二、填空题3．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了__19__天.导学号 65164793[解析] 假设第一天荷叶覆盖水面面积为1，则荷叶覆盖水面面积y 与生长时间的函数关系为y ＝2x －1，当x ＝20时，长满水面，所以生长19天时，荷叶布满水面一半．4．(2017·全国卷Ⅲ文，16)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1(x ≤0)2x (x >0)，则满足f (x )＋f (x －12)>1的x 的取值范围是 (－14，＋∞) .导学号 65164794[解析] 当x ≤0时，x －12<0，∴f (x )＝x ＋1，f (x －12)＝x －12＋1＝x ＋12，∴f (x )＋f (x －12)＝x ＋1＋x ＋12＝2x ＋32，由f (x )＋f (x －12)>1，得2x ＋32>1，∴x >－14.又∵x ≤0，∴－14<x ≤0.当0<x ≤12时，x －12≤0，∴f (x )＝2x ，f (x －12)＝x －12＋1＝x ＋12，∴f (x )＋f (x －12)＝2x ＋x ＋12>1恒成立，∴0<x ≤12满足题意．当x >12时，x －12>0，∴f (x )＋f (x －12)＝2x ＋2x －12>1恒成立，∴x >12满足题意．综上可知，x 的取值范围是(－14，＋∞)．三、解答题5．已知函数f (x )＝a x －1a x ＋1(a >0且a ≠1)．(1)求f (x )的定义域和值域； (2)讨论f (x )的奇偶性；(3)讨论f (x )的单调性.导学号 65164795 [解析] (1)易得f (x )的定义域为{x |x ∈R }． 解法一：设y ＝a x －1a x ＋1，解得a x ＝－y ＋1y －1 ①∵a x >0，当且仅当－y ＋1y －1>0，即－1<y <1时，∴f (x )的值域为{y |－1<y <1}． 解法二： f (x )＝a x ＋1－2a x ＋1＝1－2a x ＋1，∵a x ＋1>1，∴0<2a x＋1<2，∴－1<1－2a x ＋1<1，∴f (x )的值域为{y |－1<y <1}．(2)∵f (－x )＝a －x －1a x ＋1＝1－a x1＋a x＝－f (x )且定义域为R ，∴f (x )是奇函数．(3)解法一： f (x )＝(a x ＋1)－2a x＋1＝1－2a x ＋1.(注：此处用到分离常数法) ①当a >1时，∵y ＝a x ＋1为增函数，且a x ＋1>0， ∴y ＝2a x ＋1为减函数，从而f (x )＝1－2a x ＋1＝a x －1a x ＋1为增函数．②当0<a <1时，∵y ＝a x ＋1为减函数，且a x ＋1>0，∴y ＝2a x ＋1为增函数，从而f (x )＝1－2a x ＋1＝a x －1a x ＋1为减函数．解法二：设x 1、x 2∈R 且x 1<x 2， Δx ＝x 2－x 1>0，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝a x 2－1a x 2＋1－a x 1－1a x 1＋1＝(a x 2－1)(a x 1＋1)－(a x 1－1)(a x 2＋1)(a x 2＋1)(a x 1＋1).＝2a x 2－2a x 1(a x 2＋1)(a x 1＋1)当a >1时，y ＝a x 为增函数，又x 2>x 1， ∴a x 2>a x 1，∴2a x 2－2a x 1>0， 又a x 2＋1>0，a x 1＋1>0，∴Δy >0， ∴当a >1时， f (x )＝a x －1a x ＋1是增函数．同理，当0<a <1时， f (x )＝a x －1a x ＋1为减函数．C 级 能力拔高1．已知函数f (x )＝1－23x ＋1.导学号 65164796(1)求函数f (x )的定义域，判断并证明f (x )的奇偶性； (2)用单调性定义证明函数f (x )在其定义域上是增函数； (3)解不等式f (3m ＋1)＋f (2m －3)<0. [解析] (1)∵3x >0，∴3x ＋1≠0，函数f (x )的定义域为R .f (x )＝1－23x ＋1＝3x ＋1－23x ＋1＝3x －13x ＋1，∴f (－x )＝3－x －13－x ＋1＝1－3x3x 1＋3x 3x ＝1－3x1＋3x＝－f (x )，∴f (x )是定义在R 上的奇函数． (2)任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝1－23x 1＋1－(1－23x 2＋1)＝23x 2＋1－23x 1＋1＝2(3x 1＋1)－2(3x 2＋1)(3x 1＋1)(3x 2＋1)＝2(3x 1－3x 2)(3x 1＋1)(3x 2＋1)，∵x 1<x 2，∴3x 1<3x 2，∴3x 1－3x 2<0， 又3x 1＋1>0,3x 2＋1>0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， ∴函数f (x )在其定义域内是增函数． (3)由f (3m ＋1)＋f (2m －3)<0得 f (3m ＋1)<－f (2m －3)， ∵函数f (x )为奇函数，∴－f (2m －3)＝f (3－2m )，∴f (3m ＋1)<f (3－2m )． 由(2)已证得函数f (x )在R 上是增函数， ∴f (3m ＋1)<f (3－2m )⇔3m ＋1<3－2m ，∴m <25.不等式f (3m ＋1)＋f (2m －3)<0的解集为{m |m <25}．2．已知定义域为R 的函数f (x )＝b －2x2x ＋a 是奇函数．(1)求a 、b 的值；导学号 65164797(2)用定义证明f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数；(3)若对于任意t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的范围． [解析] (1)∵f (x )为R 上的奇函数， ∴f (0)＝0，b ＝1.又f (－1)＝－f (1)，得a ＝1. (2)任取x 1、x 2∈R ，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝1－2x 12x 1＋1－1－2x 22x 2＋1＝(1－2x 1)(2x 2＋1)－(1－2x 2)(2x 1＋1)(2x 1＋1)(2x 2＋1)＝2(2x 2－2x 1)(2x 1＋1)(2x 2＋1)， ∵x 1<x 2，∴2x 2－2x 1>0，又(2x 1＋1)(2x 2＋1)>0，f (x 1)－f (x 2)>0. ∴f (x )为R 上的减函数．(3)∵t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立， ∴f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )．∵f (x )是奇函数，∴f (t 2－2t )<f (k －2t 2)， 由于f (x )为减函数，∴t 2－2t >k －2t 2. 即k <3t 2－2t 恒成立，而3t 2－2t ＝3(t －13)2－13≥－13，∴k <－13.。