2023高考数学复习专项训练《等比数列》(含答案)
辽宁省2023届高考数学复习：近年真题模拟题专项(数列综合题)练习(附答案)
辽宁省2023届高考数学复习：近年真题模拟题专项(数列综合题)练习1．（2022•新高考Ⅱ）已知{}n a 是等差数列，{}n b 是公比为2的等比数列，且223344a b a b b a -=-=-． （1）证明：11a b =；（2）求集合1{|k m k b a a =+，1500}m 剟中元素的个数．2．（2021•新高考Ⅱ）记n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，若35a S =，244a a S =． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ； （Ⅱ）求使n n S a >成立的n 的最小值．3．（2022•沈阳一模）等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==，2414a a +=，246b b a =，且0n b >． （1）求数列{}n b 的通项公式；（2）已知：①1000n b <；②m N +∃∈，使m n a b =．设S 为数列{}n b 中同时满足条件①和②的所有的项的和，求S 的值．4．（2022•沈阳一模）已知等差数列{}n a 和正项等比数列{}n b 满足14a =，12b =，212n n n b b b ++=+，332a b =+． （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）对于集合B ，定义集合{A B x A -=∈且}x B ∈∉，设数列{}n a 和{}n b 中的所有项分别构成集合A ，B ，将集合A B -的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列{}n c ，求数列{}n c 的前30项和30S ．5．（2022•沈河区校级二模）已知等差数列{}n a 满足59a =，4822a a +=． （1）求{}n a 的通项公式；（2）等比数列{}n b 的前n 项和为n S ，且11b a =，再从下面①②③中选取两个作为条件，求满足2021n S <的n 的最大值．①312b a a =+； ②37S =； ③1n n b b +>．6．（2022•大连模拟）已知等差数列{}n a 的公差为正实数，满足14a =，且1a ，3a ，54a +成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，若11b =，且 ______，求数列{}n n a b +的前n 项和为n T ，以下有三个条件：①21n n S =-，*n N ∈； ②21n n S b =-，*n N ∈； ③121n n S S +=-，*n N ∈．从中选一个合适的条件，填入上面横线处，使得数列{}n b 为等比数列，并根据题意解决问题．7．（2022•辽宁一模）已知{}n a 是等差数列，36a =，612a =，且1,2,nn n a a n b n +⎧=⎨⎩为偶数为奇数． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求{}n b 的前2n 项和．8．（2022•辽宁模拟）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11a =，7210126S a a -=+． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列1{2}n a n a +⋅的前n 项和为n T ，求满足920409665n T n ->-的正整数n 的最小值．9．（2022•沙河口区校级模拟）已知单调递增的等比数列{}n a ，满足23428a a a ++=，且32a +是2a ，4a 的等差中项．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若n n b na =-，12n n S b b b =++⋯+，对任意正整数n ，总有1()0n n S n m a +++<成立，试求实数m 的取值范围．10．（2022•辽宁模拟）已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，13a =，114n n S a ++=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）从下面两个条件中选择一个，求数列{}n b 的前n 项和n T ． ①211(1)n n n n a b S a +++=+；②242221(1)(21013)2n n n n n n n b a a -+-⋅++⋅=⋅．11．（2022•大东区模拟）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ．从下面①②③中选择其中一个作为条件解答试题，若选择不同条件分别解答，则按第一个解答计分． ①数列{}n a 是等比数列，26S =，且24a ，32a ，4a 成等差数列； ②数列{}n a 是递增的等比数列，1432a a =，2312a a +=； ③22n n S a =-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）已知数列{}n b 的前n 项的和为n T ，且2212211(log )(log )n n n b a a -+=，证明：12n T <．12．（2022•辽宁模拟）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足：*21()nn S a n N n=+∈． （Ⅰ）求证：数列{}n a 为等差数列； （Ⅱ）若25a =，令1n nb a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若不等式22145()5n n T T m m +--…对任意*n N ∈恒成立，求实数m 的取值范围．13．（2022•辽宁一模）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，17a =-，26a =-，11(n n a ka n N ++=+∈，)k R ∈． （1）证明数列{}n a 为等差数列，并求通项公式n a ； （2）记123||||||||n n T a a a a =++++ ，求n T ．14．（2022•辽宁模拟）记正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，235a a S =． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）已知等比数列{}n b 满足11b a =，22b a =，若782m b a =，求数列{}n b 前m 项的和m T ．15．（2022•抚顺一模）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，又对任意的正整数n ，m ，都有2n ma a n m-=--，且530S =．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设||22na nb =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．16．（2022•丹东模拟）数列{}n a 中，2112,2(2)n n n a a a ++=-=-．（1）计算2a ，3a ，猜想{}n a 的通项公式并加以证明；（2）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，证明：数列{}n S 中任意连续三项按适当顺序排列后，可以组成等差数列．17．（2022•铁东区校级模拟）已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，0n a >，315S =，公差1d >，且从①21a -为11a -与31a +等比中项，②等比数列{}n b 的公比为3q =，11b a =，24b a =这两个条件中，选择一个补充在上面问题的横线上，使得符合条件的数列{}n a 存在并作答． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列11{}n n a a +的前n 项和为n T ，求证：16n T <．18．（2022•沈河区校级四模）已知数列{}n a 满足11a =，23a =，*2132()n n n a a a n N ++=-∈， （Ⅰ）证明：数列1{}n n a a +-是等比数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式．19．（2022•锦州模拟）已知等比数列{}n a 的公比1q >，且22a =，135a a +=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）在①11b =，n n S nb =，②231n n S b =-这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的k 存在，求k 的最小值；若k 不存在，说明理由．问题：设数列{}n b 的前n 项和为n S ，_____，数列{}n n a b -的前n 项和为n T ，是否存在正整数k ，使得100k T >？20．（2022•大连二模）已知数列{}n a 是首项11a =的正项等比数列，{}n b 是公差2d =的等差数列，且满足322b a =，341a b =+．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）若n c ＝____，求{}n c 的前n 项和n S ． 请在①3(1)n n n c a b =+-；②13n n nb c a -=．这两个条件中任选一个，补充在上面的横线中，并加以解答．21．（2022•辽宁模拟）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知22n n S a n =+． （1）证明：数列1{}n n a a ++为等差数列； （2）求{}n a 的通项公式．22．（2022•辽宁二模）已知数列{}n a 满足11a =，22a =，对于任意正整数n ，有2132n n n a a a ++=-．若12n n n b a a +=-．（1）判断数列{}n b 是等差数列还是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）设21log n n n c a a +=⋅，求数列{}n c 的前n 项和n S ．23．（2022•辽宁模拟）已知等比数列{}n b 和递增的等差数列{}n a 满足112a =，11b =，225a b =，332a b =． （1）求数列{}n a 和数列{}n b 的通项公式；（2）数列{}n a 和数列{}n b 中的所有项分别构成集合A 和B ，将A B 的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列{}n c ，求数列{}n c 前63项和63S ．24．（2022•鞍山模拟）在①231n n S n =--，②123n n a a +=+，12a =-，这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且____（只需填入序号）． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若(3)n n b n a =⋅+，求数列{}n b 的n 项和n T ．25．（2022•辽宁三模）已知数列{}n a 中，满足1a a =，2a b =，12()n n n a k a a ++=+对任意*n N ∈都成立，数列{}n a 的前n 项和为n S ．（1）若{}n a 是等差数列，求k 的值；（2）若1a b ==，且1{}n n a a ++是等比数列，求k 的值，并求n S ．26．（2022•沈阳模拟）已知公差大于1的等差数列{}n a 中，23a =，且11a +，31a -，63a -成等比数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设数列11{}n n a a +的前n 项和为n S ，求证：1132n S <…．27．（2022•辽宁模拟）已知数列{}n a 中，132a =且*1241()n n a a n n N +=+-∈． （1）求证：数列2n n a ⎧⎫+⎨⎩⎭为等比数列；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．28．（2022•辽阳二模）①{2}n n a 为等差数列，且358a =；②{}21n a n -为等比数列，且234a =．从①②两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答在数列{}n a 中，112a =，_______． （1）求{}n a 的通项公式；（2）已知{}n a 的前n 项和为n S ，试问是否存在正整数p ，q ，r ，使得n n r S p qa +=-？若存在p ，q ，r 的值；若不存在，说明理由．29．（2022•葫芦岛二模）已知数列{}n a 是等差数列，且101a -，122a +，1444a +分别是公比为2的等比数列{}n b 中的第3，4，6项．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 通项公式为sin()n n n c b a π=，求{}n c 的前100项和100S ．30．（2022•中山区校级一模）已知等差敉列{}n a 和等比数列{}n b 满足11a =，213a b ==． （1）求{}n a 的通项公式；（2）在①312b =；②211b a =；③22323a b a +=这三个条件中选择一个作为已知条件，使得{}n b 存在且唯一，并求数列{}n a b 的前n 项和n S ．31．（2022•沈阳模拟）设各项为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n S 的前n 项积为n T ，且21n n S T +=． （1）求证：数列1n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）求数列{}n a 的通项公式．32．（2022•辽宁模拟）已知公比为q 的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2128a a -=，384S =，*q N ∈． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若112222log log log log n nnn a a n a a b ++=+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．33．（2022•沙河口区校级一模）在下面①和②这两个条件中任选一个补充在下面横线中，并加以解答．已知数列{}n a 满足16a =，23a =-．____．①若*122()n n n a a a n N +++=∈．设1n n n b a a +=-，求证：数列{}n b 是等比数列，若数列{}n a 的前n 项和n S 满足*()n S m n N ∈…，求实数m 的最小值；②若数列{}n a 的奇数项与偶数项分别成等差数列，且*1()n n a a n N +>∈，3433a a +=-，求数列{}n a 的通项公式．若数列{}n a 的前n 项和n S ，求||n S ．34．（2022•辽宁三模）已知{8}n a +是公比为2的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，且32S S =． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列{||}n a 的前n 项和n T ．35．（2022•沈河区校级模拟）已知等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的各项均为正数，公比是q ，且满足：13a =，11b =，2212b S +=，22S b q =． （Ⅰ）求n a 与n b ；（Ⅱ）设332n a n n b λ=- ð，()R λ∈，若数列{}n ð是递增数列，求λ的取值范围．36．（2022•和平区校级模拟）已知数列{}n a 满足12a =，112(*)n na n N a +=-∈． （1）设11n n b a =-，求证数列{}n b 为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）设21n n a c n =+，数列1{}n n c c +的前n 项和为n T ，是否存在正整数m ，使得213n m m T c c +<对任意的*n N ∈都成立？若存在，求出m 的最小值；若不存在，试说明理由．37．（2022•葫芦岛一模）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知1310a a +=，80S =． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求n S ，并求n S 的最大值．38．（2022•丹东模拟）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为2，1a ，2a ，5a 成等比数列． （1）证明：(1)n S n n >-； （2）证明：12311112nS S S S ++++<39．（2022•望花区校级模拟）已知数列{}n a 满足11a λ=-，且12(0)n n a a λλ+=+≠，且数列{1}n a +是等比数列．（1）求λ的值；（2）若(2)n n n b a a =+，求123n b b b b +++⋯+．参考答案1．（2022•新高考Ⅱ）已知{}n a 是等差数列，{}n b 是公比为2的等比数列，且223344a b a b b a -=-=-． （1）证明：11a b =；（2）求集合1{|k m k b a a =+，1500}m 剟中元素的个数． 【答案】（1）见解析；（2）9【过程详解】（1）证明：设等差数列{}n a 的公差为d ， 由2233a b a b -=-，得1111224a d b a d b +-=+-，则12d b =， 由2244a b b a -=-，得111128(3)a d b b a d +-=-+， 即11124(3)a d b d a d +-=-+， 11a b ∴=．（2）由（1）知，1122d b a ==，由1k m b a a =+知，11112(1)k b a m d a -⋅=+-+， ∴111112(1)2k b b m b b -⋅=+-⋅+，即122k m -=，又1500m 剟，故1221000k -剟，则210k 剟， 故集合1{|k m k b a a =+，1500}m 剟中元素个数为9个．2．（2021•新高考Ⅱ）记n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，若35a S =，244a a S =． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ； （Ⅱ）求使n n S a >成立的n 的最小值． 【答案】（Ⅰ）26n a n =-；（Ⅱ）7 【过程详解】（Ⅰ）数列n S 是公差d 不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，若35a S =，244a a S =． 根据等差数列的性质，3535a S a ==，故30a =，根据244a a S =可得333333()()(2)()()a d a d a d a d a a d -+=-+-+++， 整理得22d d -=-，可得2(0d d ==不合题意）， 故3(3)26n a a n d n =+-=-． （Ⅱ）26n a n =-，14a =-， 2(1)4252n n n S n n n -=-+⨯=-， n n S a >，即2526n n n ->-，整理可得2760n n -+>， 当6n >或1n <时，n n S a >成立， 由于n 为正整数， 故n 的最小正值为7．3．（2022•沈阳一模）等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==，2414a a +=，246b b a =，且0n b >． （1）求数列{}n b 的通项公式；（2）已知：①1000n b <；②m N +∃∈，使m n a b =．设S 为数列{}n b 中同时满足条件①和②的所有的项的和，求S 的值．【答案】（1）12n n b -=；（2）见解析【过程详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d 和等比数列{}n b 的公比为q ，0q >， 由111a b ==，2414a a +=，246b b a =，可得11314d d +++=，315q q d ⋅=+， 解得3d =，2q =，则13(1)32n a n n =+-=-，12n n b -=；（2）①1000n b <，即121000n -<，解得1n =，2，3，...，10； ②m N +∃∈，使m n a b =，即1322n m --=，可得1m =，1n =；2m =，3n =；6m =，5n =；22m =，7n =；86m =，9n =． 所以141664256341S =++++=．4．（2022•沈阳一模）已知等差数列{}n a 和正项等比数列{}n b 满足14a =，12b =，212n n n b b b ++=+，332a b =+． （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）对于集合B ，定义集合{A B x A -=∈且}x B ∈∉，设数列{}n a 和{}n b 中的所有项分别构成集合A ，B ，将集合A B -的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列{}n c ，求数列{}n c 的前30项和30S ． 【答案】（1）31n a n =+，2n n b =；（2）1632【过程详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，设正项等比数列{}n b 的公比为q ， 由于满足14a =，12b =，212n n n b b b ++=+，332a b =+， 所以22q q =+，解得2q =或1-（负值舍去）， 故2n n b =，所以332a b =+，所以31331a a d -==-， 整理得31n a n =+；（2）由于3091a =，6764121128b b =<<=， 所以30S 中要去掉数列{}n b 的项最多6项， 数列{}n b 的前6项分别为2，4，8，16，32，64； 其中4，16，64三项是数列{}n a 和{}n b 的公共项；所以数列{}n c 前30项由数列{}n a 的前33项再去掉{}n b 的24b =，416b =，664b =这三项构成， 所以30123324633(43331)(...)()(41664)16322S a a a b b b ⨯+⨯+=+++-++=-++=．5．（2022•沈河区校级二模）已知等差数列{}n a 满足59a =，4822a a +=． （1）求{}n a 的通项公式；（2）等比数列{}n b 的前n 项和为n S ，且11b a =，再从下面①②③中选取两个作为条件，求满足2021n S <的n 的最大值．①312b a a =+； ②37S =； ③1n n b b +>．【答案】（1）21n a n =-；（2）见解析 【过程详解】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ， 因为4822a a +=，所以6222a =，所以611a =，又59a =， 所以651192d a a =-=-=，154981a a d =-=-=， 所以1(1)221n a n n =+-⨯=-．（2）若选择①②：设等比数列{}n b 的公比为q ， 因为11b a =，312b a a =+，所以11b =，34b =， 因为37S =，所以23132b S b b =--=，所以212b q b ==， 所以1(1)211n n n b q S q -==--， 因为2021n S <，所以212021n -<， 所以10n …，即n 的最大值为10．若选择①③：设等比数列{}n b 的公比为q ， 因为11b a =，312b a a =+，所以11b =，34b =， 所以2314b q b ==，2q =±， 因为1n n b b +>，所以2q =，所以1(1)211n n n b q S q -==--， 因为2021n S <，所以212021n -<， 所以10n …，即n 的最大值为10．若选择②③：设等比数列{}n b 的公比为q ， 因为37S =，11b =，所以217q q ++=， 所以2q =或3q =-， 因为1n n b b +>，所以2q =，所以1(1)211n n n b q S q -==--， 因为2021n S <，所以212021n -<， 所以10n …，即n 的最大值为10．6．（2022•大连模拟）已知等差数列{}n a 的公差为正实数，满足14a =，且1a ，3a ，54a +成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，若11b =，且 ______，求数列{}n n a b +的前n 项和为n T ，以下有三个条件：①21n n S =-，*n N ∈； ②21n n S b =-，*n N ∈； ③121n n S S +=-，*n N ∈．从中选一个合适的条件，填入上面横线处，使得数列{}n b 为等比数列，并根据题意解决问题． 【答案】（1）22n a n =+；（2）见解析 【过程详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d >．由14a =得342a d =+，5484a d +=+，由1a ，3a ，54a +成等比数列得2(42)4(84)d d +=+． 所以2d =±，由0d >知2d =，从而1(1)42(1)22n a a n d n n =+-=+-=+．（2）若选①：21n n S =-，*n N ∈，则当1n =时，11211b S ==-=；当2n …，*n N ∈时，111(21)(21)2n n n n n n b S S ---=-=---=． 当1n =时，也满足上式，所以12n n b -=，*n N ∈．所以11222nn n n b b +-==，所以数列{}n b 为首项为1，公比为2的等比数列． 所以数列{}n n a b +的前n 项和为2(422)(21)2312n n n n n T n n ++=+-=++-．若选②：21()n n S b i =-，当1n =时，11121S b b ==-，*n N ∈，11b =；当2n …时，1121()n n S b ii --=-， ()()i ii 两式相减得：122n n n b b b -=-，即12n n b b -=，2n …，*n N ∈，所以12nn b b -=． 所以数列{}n b 为首项11b =，公比2q =的等比数列，所以12n n b -=，*n N ∈． 所以数列{}n n a b +的前n 项和为2(422)(21)2312n n n n n T n n ++=+-=++-．若选③：121()n n S S i +=-， 2121()n n S S ii ++=-，()()ii i -得：212n n b b ++=，*n N ∈， 所以12nn b b -=，数列{}n b 是公比为2q =的等比数列，且1n =时12121a a a +=-， 解得11a =，所以12n n b -=，*n N ∈． 所以数列{}n n a b +的前n 项和为2(422)(21)2312n n n n n T n n ++=+-=++-．7．（2022•辽宁一模）已知{}n a 是等差数列，36a =，612a =，且1,2,nn n a a n b n +⎧=⎨⎩为偶数为奇数． （1）求{}n a 的通项公式；（2）求{}n b 的前2n 项和．【答案】（1）2n a n =；（2）224(161)2315n n T n n ⨯-=++ 【过程详解】（1）由于{}n a 是等差数列，36a =，612a =，设首项为1a ．公差为d ， 所以1126512a d a d +=⎧⎨+=⎩，整理得122a d =⎧⎨=⎩，所以22(1)2n a n n =+-=，（2）由（1）得：21,4,n n n n b n +⎧=⎨⎩为偶数为奇数，所以13212224(161)(541)4(161)(44 (4))(59...41)2341215n n n n n n T n n n --++⨯-=++++++++=+=++-． 8．（2022•辽宁模拟）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11a =，7210126S a a -=+． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列1{2}n a n a +⋅的前n 项和为n T ，求满足920409665n T n ->-的正整数n 的最小值．【答案】（1）21n a n =-，*n N ∈；（2）6【过程详解】（1）由题意，设等差数列{}n a 的公差为d ， 则7721S d =+，21a d =+，1019a d =+， 7210126S a a -=+ ，721126(1)(19)d d d ∴+-=+++， 解得2d =，12(1)21n a n n ∴=+-=-，*n N ∈．（2）由（1），可知122(21)2n a n n a n +⋅=-⋅， 则2462123252(21)2n n T n =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅，24622221232(23)2(21)2n n n T n n +=⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅，两式相减，可得246222312222222(21)2n n n T n +-=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅--⋅4222222242(21)212n n n ++-=+⋅--⋅- 226520233n n +-=-⋅-，226520299n n n T +-∴=⋅+， 2222920(65)22020(65)2n n n T n n ++∴-=-⋅+-=-⋅，故22920265n n T n +-=-，1240962= ， ∴不等式920409665n T n ->-即为221222n +>，即2212n +>，解得5n >， ∴满足920409665n T n ->-的正整数n 的最小值为6．9．（2022•沙河口区校级模拟）已知单调递增的等比数列{}n a ，满足23428a a a ++=，且32a +是2a ，4a 的等差中项．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若n n b na =-，12n n S b b b =++⋯+，对任意正整数n ，总有1()0n n S n m a +++<成立，试求实数m 的取值范围．【答案】（Ⅰ）2n n a =；（Ⅱ）(-∞，1]- 【过程详解】（Ⅰ）设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ． 依题意32a +是2a ，4a 的等差中项， 有3242(2)a a a +=+， 代入23428a a a ++=， 得38a =． 2420a a ∴+=．∴31121208a q a q a q ⎧+=⎪⎨=⎪⎩， 解之得12a q ==或132a =，12q =， 又{}n a 单调递增， 2q ∴=，12a =，2n n a ∴=；（Ⅱ）2n n n b na n =-=-⋅，23122232...2n n S n ∴-=⨯+⨯+⨯++⨯① 23121222(1)22n n n S n n +-=⨯+⨯++-+⋅②①-②得，231222...22n n n S n +=++++-⋅12(12)212n n n +-=-⋅-11222n n n ++=--⋅， 由1()0n n S n m a +++<，即1111222220n n n n n n m ++++--⋅+⋅+⋅<对任意正整数n 恒成立， 11222n n m ++∴⋅<-． 对任意正整数n ， 112nm <-恒成立．1112n->-，1m ∴-…． 即m 的取值范围是(-∞，1]-．10．（2022•辽宁模拟）已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，13a =，114n n S a ++=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）从下面两个条件中选择一个，求数列{}n b 的前n 项和n T ． ①211(1)n n n n a b S a +++=+；②242221(1)(21013)2n n n n n n n b a a -+-⋅++⋅=⋅．【答案】（1）1(2)2n n a n -=+⋅；（2）见解析 【过程详解】（1）13a =，114n n S a ++=，所以2n …时，114n n S a -+=， 11144n n n n n a S S a a ++-=-=-，转换为1122(2)n n n n a a a a +--=-， 即1122(2)2n nn n a a n a a +--=-…，当2n =时，23112a ++=，解得28a =；当3n =时，338132a +++=，解得320a =， 322122(2)a a a a -=-，所以数列1{2}n n a a --是从第二项2122a a -=为首项，2为公比的等比数列，所以1122(2)n n n a a n ---=…， 可得111222n n n n a a ---=， 所以数列{}2n na 是以2为首项，12为公差的等差数列， 所以122(2)222n n a n n +=+-=， 即有1(2)2(2)n n a n n -=+⋅…， 上式对1n =也成立， 故1(2)2n n a n -=+⋅； （2）若选择①，1114(2)2n n n S a n +++==+⋅，121111(4)2411(1)(2)2(3)2(2)(3)2(2)2(3)2n n n n n n n n n n a n n b S a n n n n n n +++++++⋅+====-++⋅⋅+⋅++⋅+⋅+⋅，所以数列{}n b 的前n 项和1111111111...6161640(2)2(3)26(3)2n n n n T n n n ++=-+-++-=-+⋅+⋅+⋅； 若选择②．②242242222224222221(1)(21013)2(1)(21013)22101311(1)(1)[](2)(3)2(2)(3)(2)(3)n n n n n n n n n n n n n n n n b a a n n n n n n ---+-⋅++⋅-⋅++⋅++===-⋅=-+⋅++⋅++++， 可得122221*********((()...(1)[](1)[]91616252536(1)(2)(2)(3)n nn T n n n n -=-+++-+++-++-+++++ 211(1)9(3)n n =-+-⋅+．11．（2022•大东区模拟）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ．从下面①②③中选择其中一个作为条件解答试题，若选择不同条件分别解答，则按第一个解答计分． ①数列{}n a 是等比数列，26S =，且24a ，32a ，4a 成等差数列； ②数列{}n a 是递增的等比数列，1432a a =，2312a a +=； ③22n n S a =-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）已知数列{}n b 的前n 项的和为n T ，且2212211(log )(log )n n n b a a -+=，证明：12n T <．【答案】见解析【过程详解】（1）解：若选①数列{}n a 是等比数列，26S =，且24a ，32a ，4a 成等差数列； 所以1(1)6a q +=，32444a a a =+，即22244a q a q =+， 解得，2q =，12a =， 故2n n a =；若选②数列{}n a 是递增的等比数列，1432a a =，2312a a +=； 所以142332a a a a ==，2312a a +=， 所以24a =，38a =，2q =， 故222422n n n n a a q --=⋅=⨯=； 若选③22n n S a =-， 当1n >时，1122n n S a --=-，两式相减得，122n n n a a a -=-，即12n n a a -=， 当1n =时，1122S a =-，即12a =，所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列， 故2n n a =；（2）证明：由（1）得22122111111((log )(log )(21)(21)22121n n n b a a n n n n -+===--+-+，所以111111111(1)(1)233521212212n T n n n =-+-+⋅⋅⋅+-=-<-++．12．（2022•辽宁模拟）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足：*21()nn S a n N n=+∈． （Ⅰ）求证：数列{}n a 为等差数列； （Ⅱ）若25a =，令1n nb a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若不等式22145()5n n T T m m +--…对任意*n N ∈恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）(-∞，2][7- ，)+∞ 【过程详解】（Ⅰ）证明：依题意，由21n n S a n =+，可得(1)2n n n a S +=， 当1n =时，11112a a S +==，解得11a =， 当2n …时，111(1)(1)(1)(1)1222n n n n n n n n a n a na n a a S S ---+-+--+=-=-=， 即12(1)1n n n a na n a -=--+，整理，可得11(1)()n n n a n a a --=--，构造数列{}n b ，令1n n n b a a -=-，设数列{}n b 的前n 项和为n T ， 因为11a =，即11n n a a a -=-，而12132112()()()n n n n a a a a a a a a b b b --=-+-+⋅⋅⋅+-=++⋅⋅⋅+， 所以1n n a T -=， 即(1)n n T n b =-， 同理，11(2)n n T n b --=-，两式相减，可得11(1)(2)n n n n n b T T n b n b --=-=---， 整理，得1n n b b -=，所以数列{}n b 是一个常数列，当2n …时，1n n a a --的值为一个固定的常数， 所以数列{}n a 为等差数列．（Ⅱ）若25a =，则21514d a a =-=-=，所以14(1)43n a n n =+-=-， 1143n n b a n ==-，数列{}n b 的前n 项和12...n n T b b b =+++， 21121221......n n n n n T b b b b b b +++=+++++++，可设211221111 (414581)n n n n n n M T T b b b n n n +++=-=+++=++++++， 11111 (45498189)n M n n n n +=++++++++， 1114808941(89)(41)n n n M M n n n n +---=-=<++++， 可得{}n M 为递减数列， 所以111145945n M M =+=…， 若不等式22145()5n n T T m m +--…对任意*n N ∈恒成立， 可得21454545m m -⨯…，解得7m …或2m -…， 则m 的取值范围是(-∞，2][7- ，)+∞．13．（2022•辽宁一模）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，17a =-，26a =-，11(n n a ka n N ++=+∈，)k R ∈． （1）证明数列{}n a 为等差数列，并求通项公式n a ； （2）记123||||||||n n T a a a a =++++ ，求n T ．【答案】（1）见解析；（2）2(15),07211556,822n n n n T n n n -⎧-<⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩……【过程详解】（1）证明：当1n =时，有211a ka =+，即671k -=-+，解得1k =， 所以11n n a a +-=，即数列{}n a 是公差为1的等差数列， 故7(1)18n a n n =-+-⨯=-． （2）解：由（1）知，8n a n =-，当07n <…时，0n a <；当8n …时，0n a …，所以当07n <…时，1212(78)(15)||||||()22n n n n n n n T a a a a a a -+--=+++=-+++=-=-； 当8n …时，12312789||||||||()()n n n T a a a a a a a a a a =++++=-+++++++ 2777(15)7(715)115()22562222n n n n S S S S S n n -⨯-=-+-=-=-⨯=-+， 故2(15),07211556,822n n n n T n n n -⎧-<⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩……． 14．（2022•辽宁模拟）记正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，235a a S =． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）已知等比数列{}n b 满足11b a =，22b a =，若782m b a =，求数列{}n b 前m 项的和m T ． 【答案】（1）43n a n =-；（2）3906 【过程详解】（1）设正项等差数列{}n a 的公差为0d …，11a = ，235a a S =， 54(1)(12)52d d d ⨯∴++=+，解得4d =． 14(1)43n a n n ∴=+-=-．（2） 等比数列{}n b 满足11b a =，22b a =， 111b a ∴==，225b a ==， ∴公比5q =，15n n b -∴=，782m b a = ，1547823m -∴=⨯-，解得6m =，∴数列{}n b 前6项的和6651390651T -==-．15．（2022•抚顺一模）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，又对任意的正整数n ，m ，都有2n ma a n m-=--，且530S =．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设||22n a n b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）122n a n =-；（2）65642,16612,7n n n n T n --⎧-=⎨+⎩剟…【过程详解】（1）由已知对任意的正整数m ，m ，都有2n ma a n m-=--， 可得等差数列{}n a 的公差2d =-， 又530S =，即1545(2)302a ⨯+⨯-=，解得110a =， 122n a n ∴=-．（2）由（1）知122n a n =-，令602na n =-…，得6n …， 当6n …时，0n a …， 从而126222122264[1()]6422n a a a n n n T -=+++=⋅-=- ，当6n >时，671252222222222612na a a a a n n T ---=++++++=+ ，综上得65642,16612,7n n n n T n --⎧-=⎨+⎩剟…． 16．（2022•丹东模拟）数列{}n a 中，2112,2(2)n n n a a a ++=-=-． （1）计算2a ，3a ，猜想{}n a 的通项公式并加以证明；（2）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，证明：数列{}n S 中任意连续三项按适当顺序排列后，可以组成等差数列． 【答案】见解析【过程详解】（1）解：24a =-，38a =，猜想12(2)n n a -=-． 式子212(2)n n n a a ++-=-可化为112(1)22nn n n na a ++-=-． 所以当2n …时， 111213112121213212(1)2(1)(1)()(()12(1)2(1)2(1)1(1)222222221(1)n n n n n n n n n a a a a a a a a --------=+-+-++-=+-+-++-=+=---- 当1n =时，111(1)2a --=，所以(1)2n n n a =--．于是因此{}n a 的通项公式(2)n n a =--． （2）证明：由（1）可得12n na a +=-，所以{}n a 是以为2首项，2-为公比的等比数列． 从而2[1(2)]2[1(2)]1(2)3n n n S --==----于是121222[1(2)],[1(2)]33n n n n S S ++++=--=--因为124[1(2)]23n n n n S S S +++=--=．故1n S +，n S ，2n S +或2n S +，n S ，1n S +成等差数列．于是数列{}n S 中任意连续三项n S ，1n S +，2n S +按适当排列后，可以组成等差数列．17．（2022•铁东区校级模拟）已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，0n a >，315S =，公差1d >，且从①21a -为11a -与31a +等比中项，②等比数列{}n b 的公比为3q =，11b a =，24b a =这两个条件中，选择一个补充在上面问题的横线上，使得符合条件的数列{}n a 存在并作答． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列11{}n n a a +的前n 项和为n T ，求证：16n T <． 【答案】见解析 【过程详解】选①，（1）由n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，0n a >，315S =，公差1d >， 得2315a =，即25a =，又21a -为11a -与31a +等比中项， 则2213(1)(1)(1)a a a -=-+， 即16(4)(6)d d =-+， 又1d >， 则2d =，则52(2)21n a n n =+-=+， （2）证明：由（1）得111111()(21)(23)22123n n a a n n n n +==-++++， 则1111111111[()()...(2355721236466n T n n n =-+-++-=-<+++，命题得证． 选②，（1）由n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，0n a >，315S =，公差1d >， 得2315a =，即25a =，又等比数列{}n b 的公比为3q =，11b a =，24b a =， 由21b q b =，得413aa =， 则523(5)d d +=-， 解得2d =，则52(2)21n a n n =+-=+， （2）证明：由（1）得111111()(21)(23)22123n n a a n n n n +==-++++， 则1111111111[()()...(2355721236466n T n n n =-+-++-=-<+++， 命题得证．18．（2022•沈河区校级四模）已知数列{}n a 满足11a =，23a =，*2132()n n n a a a n N ++=-∈， （Ⅰ）证明：数列1{}n n a a +-是等比数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）n a *21()n n N =-∈ 【过程详解】（Ⅰ）证明：2132n n n a a a ++=- ， 2112()n n n n a a a a +++∴-=-， ∴*2112()n n n na a n N a a +++-=∈-，11a = ，23a =，∴数列1{}n n a a +-是以212a a -=为首项，2为公比的等比数列，（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得*12()n n n a a n N +-=∈， 112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---∴=-+-+⋯+-+122221n n --=++⋯++*21()n n N =-∈．19．（2022•锦州模拟）已知等比数列{}n a 的公比1q >，且22a =，135a a +=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）在①11b =，n n S nb =，②231n n S b =-这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的k 存在，求k 的最小值；若k 不存在，说明理由．问题：设数列{}n b 的前n 项和为n S ，_____，数列{}n n a b -的前n 项和为n T ，是否存在正整数k ，使得100k T >？【答案】（1）12n n a -=；（2）见解析【过程详解】（1）在等比数列{}n a 中，1q >且22a =，135a a +=， 则121125a q a a q =⎧⎨+=⎩， 解得112a q =⎧⎨=⎩或1412a q =⎧⎪⎨=⎪⎩（舍)． ∴12n n a -=．（2）选择条件①，11b =，n n S nb =，当2n …时，11(1)n n S n b --=-， 可得11(1)n n n n n b S S nb n b --=-=--，整理得1n n b b -=， ∴数列{}n b 为常数列，又11b =，所以1n b =，121n n n a b --=-，211(12)(1222)2112n n n n T n n n -⨯-=+++⋅⋅⋅+-=-=---，令()21x g x x =--，则()2210x g x ln '=->在[1，)+∞上恒成立， 则()g x 在[1，)+∞上单调递增，即21n n T n =--在[1，)+∞上单调递增， 又657100T =<，7120100T =>，∴存在k ，使得100k T >，k 的最小值为7；选择条件②，231n n S b =-，当1n =时，1112231S b b ==-，得11b =，当2n …时，11231n n S b --=-， 可得112()3(3)n n n n S S b b ---=-，即1233n n n b b b -=-，得13n n b b -=，∴数列{}n b 是首项为1，公比为3的等比数列，则13n n b -=，1123n n n n a b ---=-，因为1n …时，1123n n --<，所以0n n a b -<， 故不存在正整数k ，使得100k T >．20．（2022•大连二模）已知数列{}n a 是首项11a =的正项等比数列，{}n b 是公差2d =的等差数列，且满足322b a =，341a b =+．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）若n c ＝____，求{}n c 的前n 项和n S ． 请在①3(1)n n n c a b =+-；②13n n nb c a -=．这两个条件中任选一个，补充在上面的横线中，并加以解答． 【答案】（Ⅰ）13n n a -=，2n b n =；（Ⅱ）见解析【过程详解】（Ⅰ）因为322b a =，341a b =+，所以142b q +=，217q b =+， 解得12b =，3q =，所以1113n n n a a q --==，2(1)22n b n n =+-⨯=． （Ⅱ）选择①3(1)3(21)n n n n c a b n =+-=+-，所以123123123(13)(121)13(32)(33)(35)[3(21)](3333)(13521)313222n n n n n n n S n n n +-+-=++++++⋯++-=+++⋯+++++⋯+-=+=⋅+--．选择②12133n n n n b n c a --==， 所以123135213333n nn S -=+++⋯+， 所以234111352321333333n n n n n S +--=+++⋯++，两式相减得，1123111111(1)21222211212229321333333333313n n n n n n n n n S -+++---+=+++⋯+-=+⨯-=--， 所以113n n n S +=-． 21．（2022•辽宁模拟）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知22n n S a n =+． （1）证明：数列1{}n n a a ++为等差数列； （2）求{}n a 的通项公式．【答案】（1）见解析；（2）n a n =，*n N ∈ 【过程详解】（1）证明： 22n n S a n =+，∴2112(1)n n S a n ++=++，两式相减得11221n n n a a a n ++=-++， 121n n a a n +∴+=+，又1212()()[2(1)1](21)2n n n n n n a a a a a a n n +++++-+=-=++-+=，又123a a +=1{}n n a a +∴+是以首项为3，公差为2的等差数列；（2）由（1）知22n n a a +-=，又1121S a =+，11S a =，11a ∴=，由（1）中123a a +=，22a ∴=， ∴数列{}n a 奇数项构成一个以1为首项，2为公差的等差数列，偶数项构成一个以2为首项，2为公差的等差数列，211(1)221k a k k -∴=+-⋅=-，*k N ∈，n a n ∴=，n 为奇数，*n N ∈； 22(1)22k a k k ∴=+-⋅=，*k N ∈，n a n ∴=，n 为偶数，*n N ∈，综合得n a n =，*n N ∈．22．（2022•辽宁二模）已知数列{}n a 满足11a =，22a =，对于任意正整数n ，有2132n n n a a a ++=-．若12n n n b a a +=-．（1）判断数列{}n b 是等差数列还是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）设21log n n n c a a +=⋅，求数列{}n c 的前n 项和n S ． 【答案】（1）见解析；（2）(1)21n n S n =-⋅+【过程详解】（1）由2132n n n a a a ++=-，得21122n n n n a a a a +++-=-，又12n n n b a a +=-，所以1n n b b +=， 1212220b a a =-=-= ，且0不能是等比数列中的项， {}n b ∴是以0为首项，以0为公差的等差数列；12n n a a +∴=，即*12()n n a a n N +=∈，{}n a ∴是以11a =为首项，以2为公比的等比数列，1*2()n n a n N -∴=∈；（2）由（1）可知21log n a n +=，则12n n c n -=⋅，所以01112222n n S n -=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅，故12212222n n S n =⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅， 两式相减得121121222222(1)112nn nn n n S n n n ---=+++'''+-⋅=-⋅=---，所以(1)21n n S n =-⋅+．23．（2022•辽宁模拟）已知等比数列{}n b 和递增的等差数列{}n a 满足112a =，11b =，225a b =，332a b =． （1）求数列{}n a 和数列{}n b 的通项公式；（2）数列{}n a 和数列{}n b 中的所有项分别构成集合A 和B ，将A B 的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列{}n c ，求数列{}n c 前63项和63S ．【答案】（1）39n a n =+，13n n b -=；（2）6043【过程详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为(0)d d >，等比数列{}n b 的公比为(0)q q ≠， 由112a =，11b =，225a b =，332a b =，得21251222d q d q +=⎧⎨+=⎩，消去d ，可得2560q q -+=， 解得2q =或3q =，当2q =时，5120d q =-<（舍去）， 当3q =时，5123d q =-=，符合题意， 123(1)39n a n n ∴=+-=+，11133n n n b --=⨯=；（2）633639198a =⨯+=，45381198243b ==<<， ∴数列{}n b 的前5项分别为1，3，9，27，81，其中27与81与数列{}n a 中的项相同，由集合中元素的互异性，可知新数列{}n c 的前63项中，有数列{}n a 中的60项，有数列{}n b 的5项（两项重复）． ∴数列{}n c 前63项和6360596012313960432S ⨯=⨯+⨯+++=． 24．（2022•鞍山模拟）在①231n n S n =--，②123n n a a +=+，12a =-，这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且____（只需填入序号）． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若(3)n n b n a =⋅+，求数列{}n b 的n 项和n T ． 【答案】见解析 【过程详解】选①， （1）由231n n S n =--， 则1123(1)1n n S n --=---，两式相减可得：123n n a -=-，(2)n …， 又112a S ==-满足上式， 即123n n a -=-，()n N +∈；（2）由（1）可得1(3)2n n n b n a n -=⋅+=⋅，则0111222...2n n T n -=⨯+⨯++⨯，()i 则1221222...2n n T n =⨯+⨯++⨯，()ii 由()()i ii -得：21122...22n n n T n --=++++-⨯，故(1)21n n T n =-+． 选②，由123n n a a +=+， 则132(3)n n a a -+=+， 又12a =-， 则131a +=，即数列{3}n a +是以1为首项，2为公比的等比数列， 即132n n a -+=，即123n n a -=-，()n N +∈；（2）由（1）可得1(3)2n n n b n a n -=⋅+=⋅， 则0111222...2n n T n -=⨯+⨯++⨯，()i 则1221222...2n n T n =⨯+⨯++⨯，()ii 由()()i ii -得：21122...22n n n T n --=++++-⨯，故(1)21n n T n =-+．25．（2022•辽宁三模）已知数列{}n a 中，满足1a a =，2a b =，12()n n n a k a a ++=+对任意*n N ∈都成立，数列{}n a 的前n 项和为n S ．（1）若{}n a 是等差数列，求k 的值；（2）若1a b ==，且1{}n n a a ++是等比数列，求k 的值，并求n S ．【答案】（1）12k =；（2）当12k =时，n S n =；当12k =-时，即2,21,,2,n n n k k N S n n k k N ++⎧-=-∈=⎨=∈⎩【过程详解】（1）由{}n a 是等差数列， 则121n n n n a a a a +++-=-， 即122n n n a a a ++=+． 所以121()2n n n a a a ++=+，故12k =； （2）因为121a a == 且12()n n n a k a a ++=+，得3421111,1a a k k k=-=--， 又且1{}n n a a ++是等比数列，则2231234()()()a a a a a a +=++， 即22112(2)k k=-，即12k =±， 当12k =时，1n a =，数列1{}n n a a ++ 是以2为首项，公比为1的等比数列， 此时{}n a 的前n 项和n S n =； 当12k =- 时，121()2n n n a a a ++=-+，即122n n n a a a ++=--， 所以211()n n n n a a a a ++++=-+， 又1220a a +=≠，所以数列1{}n n a a ++ 以12a a + 为首项，公比为1-的等比数列， 又32211()n n n n n n a a a a a a ++++++=-+=+，所以当n 是偶数时，123411234112()()()()2n n n n n nS a a a a a a a a a a a a a a n --=++++++=++++++=+= ，当n 是奇数时，2312()2a a a a +=-+=-，1234112311...()...()1(2)22n n n n n n S a a a a a a a a a a a n ---=++++++=++++=+⨯-=-， 即2,21,,2,n n n k k N S n n k k N++⎧-=-∈=⎨=∈⎩， 综上可得：当12k =时，n S n =； 当12k =-时，即2,21,,2,n n n k k N S n n k k N ++⎧-=-∈=⎨=∈⎩． 26．（2022•沈阳模拟）已知公差大于1的等差数列{}n a 中，23a =，且11a +，31a -，63a -成等比数列．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设数列11{}n n a a +的前n 项和为n S ，求证：1132n S <…．【答案】（Ⅰ）21n a n =-；（Ⅱ）见解析 【过程详解】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为1d >，23a = ，且11a +，31a -，63a -成等比数列， 13a d ∴+=，2316(1)(1)(3)a a a -=+-，即2111(21)(1)(53)a d a a d +-=++-，解得11a =，2d =． 12(1)21n a n n ∴=+-=-．（Ⅱ）证明：111111()(21)(21)22121n n a a n n n n +==--+-+， 11111111(1(123352121221n S n n n ∴=-+-+⋯+-=--++，1111()022123n n S S n n +-=->++ ，∴数列{}n S 单调递增，112n S S ∴<…， 即1132n S <…． 27．（2022•辽宁模拟）已知数列{}n a 中，132a =且*1241()n n a a n n N +=+-∈． （1）求证：数列2n n a ⎧⎫+⎨⎩⎭为等比数列；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ． 【答案】（1）见解析；（2）n S 21224n n n++=--【过程详解】证明：（1）1241n n a a n +=+- ， ∴11222n n n a a +=+-， ∴11112222222222n n n n n n n n n a a a n n n n a a a +++++-++===+++， 11312222a +=+=， ∴2n n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为2，公比为2的等比数列；。
高考数学必考点专项第18练-等比数列(练习及答案)(全国通用)(新高考专用)
高考数学必考点专项第18练等比数列习题精选一、单选题1. 已知数列{}n a 的前 n 项和为n S ，11a =，12n n S a +=，则n S =( ) A. 12n -B.C.D.2. 记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和．若5312a a -=，6424a a -=，则nnS a =( ) A. 21n -B. 122n --C. 122n --D. 121n --3. 已知等差数列的公差0d ≠，且1a ，3a ，9a 成等比数列，则1392410a a a a a a ++++的值为( )A.914B.1115C.1316D.15174. 一个等比数列{}n a 的前n 项和为48，前2n 项和为60，则前3n 项和为( ) A. 63B. 108C. 75D. 835. 记n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，若21S =，45S =，则7S =( ) A. 710S =B. 723S =C. 7623S =D. 71273S =6. 已知等比数列中，234=1a a a ，678=64a a a ，则456=(a a a ) A. 8±B. 8-C. 8D. 167. 音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的32，得到“徵”；“徵”经过一{}n a {}n a次“益”，频率变为原来的34，得到“商”；……．依次损益交替变化，获得了“宫、徵、商、羽、角”五个音阶．据此可推得( )A. “宫、商、角”的频率成等比数列B. “宫、徵、商”的频率成等比数列C. “商、羽、角”的频率成等比数列D. “徵、商、羽”的频率成等比数列8. 数列{}n a 中，已知对任意*n N ∈，123a a a +++…31n n a +=-，则222123a a a +++ (2)n a +等于( )A. 2(31)n -B.1(91)2n- C. 91n -D.1(31)4n- 9. 记方程①：2110x a x ++=，方程②：2220x a x ++=，方程③：2340x a x ++=，其中1a ，2a ，3a 是正实数．当1a ，2a ，3a 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是( )A. 方程①有实根，且②有实根B. 方程①有实根，且②无实根C. 方程①无实根，且②有实根D. 方程①无实根，且②无实根10. 已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22352628100a a a a ++=，4236S S -=，则2021S =( )A. 2021312020-B. 2020312-C. 2021312-D. 2021212020-11. 数列{}n a 中，12a =，.m n m n a a a +=若12k k a a ++++…1551022k a ++=-，则k =( )A. 2B. 3C. 4D. 5二、多选题12. 在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款10000元，用于自己开设的农产品土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算每月获得的利润是该月月初投入资金的20%，每月月底需缴纳房租600元和水电费400元，余款作为资金全部用于再进货，如此继续．设第n 月月底小王手中有现款为n a ，则下列论述正确的有（ ）(参考数据：111.27.5=，121.29)=A. 112000a =B. 1 1.21000n n a a +=-C. 2020年小王的年利润为40000元D. 两年后，小王手中现款达41万13. 已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且121a a ==，122(3)n n n a a a n --=+，则下列结论正确的是（ ）A. 数列1{}n n a a ++为等比数列B. 数列1{2}n n a a +-为等比数列C. 12(1)3n nn a ++-=D. 10202(41)3S =-三、填空题14. 等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项和为n S ，已知374S =，6634S =，则8a =__________.15. 已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，2122S a =+，534a a =，则数列{}n a 中不超过2021的所有项的和为__________.16. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，{lg }n S 是公差为lg 3的等筹数列，则24a a ++…2n a +=_______. 四、解答题17. 等比数列{}n a 的各项均为正数，52a ，4a ，64a 成等差数列，且满足243=4.a a (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设+1+1=(1)(1)n n n n a b a a --，*n N ∈，求数列{}n b 的前n 项和.n S18. 已知数列{}n a 满足12a =，且*1321().n n a a n n N +=+-∈(1)求证：数列{}n a n +为等比数列； (2)求数列{}n a 的通项公式；(3)求数列{}n a 的前n 项和.n S19. 已知数列{}n a 为正项等比数列，满足34a =，且5a ，43a ，6a 构成等差数列，数列{}n b 满足221log log .n n n b a a +=+()Ⅰ求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；()Ⅱ若数列{}n b 的前n 项和为n S ，数列{}n c 满足141n n c S =-，求数列{}n c 的前n 项和.n T20. 已知数列的前n 项和为n S 满足：33.2n n S a n =+- {}n a(1)求证：数列是等比数列；(2)令，令1,nnd c =求数列的前n 项和.n T{1}n a -31323(1)(1)(1)nn c log a log a log a =-+-++-答案和解析1.【答案】B解：当1n =时，122S a =，又因111S a ==， 所以，.显然只有B 项符合．2.【答案】B解：设等比数列的公比为q ，5312a a -=， 6453()a a q a a ∴-=-， 2q ∴=，421112a q a q ∴-=，11212a ∴=，11a ∴=，122112nn n S -∴==--，12n n a -=，1121222n n n n n S a ---∴==-， 故选：.B3.【答案】C解：等差数列{}n a 中，312a a d =+，918a a d =+， 因为1a 、3a 、9a 恰好成等比数列，所以有2319a a a =，即，解得1d a =，所以该等差数列的通项为n a nd =， 则139********.241016a a a d d d a a a d d d ++++==++++故选：.C4.【答案】A解：由等比数列的性质可知等比数列中每k 项的和也成等比数列． 则等比数列的第一个n 项的和为48，第二个n 项的和为604812-=，∴第三个n 项的和为：212348=， ∴前3n 项的和为60363.+=故选.A5.【答案】D解：n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，21S =，45S =，21410(1)11(1)51q a q qa q q ⎧⎪>⎪⎪-⎪∴=⎨-⎪⎪-=⎪-⎪⎩，解得113a =，2q =，771(12)1273.123S -∴==-故选：.D6.【答案】C解：依题意，323431a a a a ==，即31a =，同理3678764a a a a ==，即74a =，所以23754a a a ⋅==，又等比数列奇数项符号相同，所以52a =，所以345658.a a a a ==故选：.C7.【答案】A解：设“宫”的频率为a ，由题意经过一次“损”，可得“徵”的频率为32a ，“徵”经过一次“益”，可得“商”的频率为98a ，“商”经过一次“损”，可得“羽”频率为2716a ，最后“羽”经过一次“益”，可得“角”的频率是8164a ， 由于a ，98a ，8164a 成等比数列，所以“宫、商、角”的频率成等比数列， 故选：.A8.【答案】B解：123a a a +++…31n n a +=-，①123a a a ∴+++…1131n n a +++=-，②②-①得：113323n n nn a ++=-=⨯，123(2).n n a n -∴=⨯当1n =时，11312a =-=，符合上式，123.n n a -∴=⨯2149n n a -∴=⨯，∴数列2{}na 是以4为首项，9为公比的等比数列， 2222123n a a a a ∴++++4(19)1(91).192n n⨯-==--故选.B9.【答案】B解：当方程①有实根，且②无实根时，21140a ∆=-，22280a ∆=-<，即214a ，228a <，1a ，2a ，3a 成等比数列，2213a a a ∴=，即2231a a a =，则242222232118()164a a a a a ==<=，则：方程③的判别式233160a ∆=-<，此时方程③无实根，同理可得其他三个选项不符合， 故选：.B10.【答案】C解：22352628100a a a a ++=，3526,a a a a =235()8100.a a ∴+=又0n a >，3590.a a ∴+= 设数列{}n a 的公比为(0)q q >，则解得，故2021202112021(1)31.12a q S q --==- 故选.C11.【答案】C解：由12a =，且m n m n a a a +=， 取1m =，得112n n n a a a a +==，12n na a +∴=， 则数列{}n a 是以2为首项，以2为公比的等比数列，则11222k k k a ++=⋅=，12k k a a ++∴++ (11011115510)2(12)222212k k k k a ++++-+==-=--，15k ∴+=，即 4.k =故选：.C12.【答案】BCD解：1(120%)10000100011000a =+⨯-=元，故A 错误； 由题意1 1.21000n n a a +=-，故B 正确；由1 1.21000n n a a +=-，得15000 1.2(5000)n n a a +-=-， 所以数列{5000}n a -是首项为6000，公比为1.2的等比数列， 111250006000 1.2a ∴-=⨯，即11126000 1.2500050000a =⨯+=， 2020年小王的年利润为500001000040000-=元，故C 正确；22324950006000 1.2500060004100001.2a =+⨯=+⨯=元，即41万，故D 正确． 故选.BCD13.【答案】ABD解：因为121a a ==，122(3)n n n a a a n --=+， 所以1112122()2n n n n n n n n a a a a a a a a ------++=+⇒=+， 因为121a a ==，所以31223a a a =+=，322142()a a a a +==+，所以是以2为首项，公比为2的等比数列，故A 正确；则112.n n n a a --+=，322321a a -=-=，212121a a -=-=-，所以是以1-为首项，公比为1-的等比数列，故B 正确；则112(1).n n n a a ---=-，故C 错误；201220S a a a =+++1234()()a a a a =++++…1920()a a ++ 135222=+++…192+19221102222222(41)1233-⋅-===--，故D 正确， 故选.ABD14.【答案】32解：设等比数列{}n a 的公比为q ，易得1q ≠， 374S =，6634S =， 31(1)714a q q -∴=-，61(1)6314a q q -=-， 解得114a =， 2.q = 则781232.4a =⨯= 故答案为：32.15.【答案】2046解：设{}n a 的公比为(0)q q >， 由已知得解得12a q ==，所以2n n a =，令2021n a <，则22021n <， 解得10n ，所以数列{}n a 中的前10项的和为10234102(12)222222046.12-+++++==- 故答案为2046.16.【答案】914n - 解：由111S a ==， 1lg 0S =，{lg }n S 是公差为lg 3的等筹数列， 所以所以13n n S -= 当2n ，213n n S --=，故12213323n n n n n n a S S ----=-=-=⨯，所以2a ，4a ，…2n a 是以22a =为首项，以9为公比的等比数列； 故24a a ++…故答案为914n - 17.【答案】解：(1)设等比数列的公比为0q >， 因为52a ，4a ，64a 成等差数列，0n a >，所以456224a a a =+，所以24422(2)a a q q =+，化为：2210q q +-=，0q >，解得1.2q =又满足2434a a = ， 所以322114()a q a q =，化为：114a q =，解得112a =， {}n a所以1()2n n a =，*n N ∈； ， 所以2231111111()()++()212121212121n n n S +=-+-------- 11121n +=--，*.n N ∈18.【答案】解：(1)证明：由1321n n a a n +=+-， 得， 113n n a n a n+++∴=+，又113a +=， 是首项为3，公比为3的等比数列.(2)由(1)得，1333n n n a n -+=⨯=， 3.n n a n ∴=-(3)由(2)得：133(1)132n n n +-+=-- 11233(1)33.222n n n n n n ++-+---=-=19.【答案】解：()Ⅰ设等比数列{}n a 的公比为(0)q q >，由题意，得256466a a a q q +=⇒+=，解得2q =或3(q =-舍)，又3141a a =⇒=，所以 1112n n n a a q --==，221log log 121n n n b a a n n n +=+=-+=-； 21()[1(21)]()22n n n b b n n S n ++-===Ⅱ， 21111()4122121n c n n n ∴==---+， 111111[(1)()()].2335212121n n T n n n ∴=-+-++-=-++20.【答案】证明：(1)当1n =时， 111322S a a ==-，解得14a =， 当2n 时，由332n n S a n =+-得11342n n S a n --=+-， 两式相减，得1133122n n n n S S a a ---=-+，即132(2)n n a a n -=-， 则113(1)n n a a --=-，故数列{1}n a -是以113a -=为首项，公比为3的等比数列；(2)由(1)知13n n a -=，31323(1)(1)(1)n n c log a log a log a =-+-++- (1)122n n n +=+++=， 所以12112()(1)1n c n n n n ==-++， 则12111n nT c c c =+++ 111112[(1)()()]2231n n =-+-++-+ 122(1).11n n n =-=++。
2023年高考备考三年 数列(含答案)
an 1
2，
an
n 1
n
所以，数列 an 是以 2 为首项，以 2 为公比的等比数列，则 an 2 2 2 ，
ak 1 ak 2 ak 10
ak 1 1 210
1 2
2k 1 1 210
1 2
2k 1 210 1 25 210 1 ，
所以 S3n S2 n S2 n Sn 729 ，
即
3n(9 27n ) 2n(9 18n ) 2n(9 18n ) n(9 9n )
729
2
2
2
2
即 9n 2 729 ，解得 n 9 ，
所以 S3n S27
27(9 9 27)
3402 .
圆形石板(称为天心石)，围绕天心石砌 9 块扇面形石板构成第—环，向外每环依次增加 9 块，下一层的第
—环比上一层的最后一环多 9 块，向外每环依次也增加 9 块，已知每层环数相同，且下层比中层多 729
块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)〔 〕
高考材料
高考材料
A．3699 块
B．3474 块
C．3402 块
（详解）
设第 n 环天石心块数为 an ，第—层共有 n 环，
则 {an } 是以 9 为首项，9 为公差的等差数列， an 9 (n 1) 9 9n ，
设 S n 为 {an } 的前 n 项和，则第—层、第二层、第三层的块数分
别为 S n , S 2 n S n , S3n S 2 n ，因为下层比中层多 729 块，
∴ S2 4 ， S4 S2 6 4 2
专题32 等比数列(解析版)
(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab.
【小问2详解】由（1）知， ，所以 ，即 ，亦即 ，解得 ，所以满足等式的解 ，故集合 中的元素个数为 ．
3.（2022·浙江卷T20）已知等差数列 的首项 ，公差 ．记 的前n项和为 ．
（1）若 ，求 ；
（2）若对于每个 ，存在实数 ，使 成等比数列，求d的取值范围．
【答案】（1） （2）
【分析】（1）利用等差数列通项公式及前 项和公式化简条件，求出 ，再求 ；
2023高考一轮复习讲与练
专题32等比数列
练高考 明方向
1.（2022·全国乙（理）T8）已知等比数列 的前3项和为168， ，则 （）
A.14B.12C.6D.3
【答案】D
【分析】设等比数列 的公比为 ，易得 ，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.
【详解】解：设等比数列 的公比为 ，若 ，则 ，与题意矛盾，
基本方法：
等比数列的三种常用判定方法：
定义法：若 ＝q(q为非零常数，n∈N*)，则{an}是等比数列
等比中项法：若数列{an}中，an≠0，且a ＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列
通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列
(Ⅰ)证明 是等比数列,并求其通项公式;
(Ⅱ)若 ,求 .
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ) .
2023年高考数学一轮复习(新高考地区专用)4-2 等比数列(精讲)(含详解)
4.2 等比数列（精讲）（基础版）思维导图考点一 等比数列基本量的计算【例1】（1）（2022·北京丰台·一模）若数列{}n a 满足12n n a a +=，且41a =，则数列{}n a 的前4项和等于（ ）考点呈现例题剖析A ．15B ．14C ．158 D ．78（2）（2022·重庆·模拟预测）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2a ，53a ，89a 成等差数列，则63S S =（ ） A ．13B ．43C ．3D ．4【一隅三反】1．（2022·江西·新余四中）已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若38a =，324S =，则公比q =（ ） A ．12-B ．13-C ．12-或1D ．13-或12．（2022·河北廊坊·高三阶段练习）已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，且公比1q >，则“51a a >”是“40S >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．（2022·全国·高三专题练习）已知{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，若213S a =，223a a =，则4S =（ ）A ．7B ．8C ．15D ．314．（2022·河北石家庄·高三期末）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，33S =，69S =，则公比q =（ ）A ．3B ．2C ．33D ．325（2022·四川·三模（理））已知n S 是各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和，若2481a a ⋅=，313S =，则6a =（ ）．A ．21B ．81C ．243D ．729考点二 等比中项【例2-1】（2022·江西·上饶市第一中学二模）等比数列{}n a 中，若59a =，则3436log log a a +=（ ） A ．2B ．3C ．4D ．91.等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．2.等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n ＝na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q.温馨提示【例2-2】（2022·福建·模拟预测）已知数列{}n a 为等比数列，则“5a ，7a 是方程2202210x x ++=的两实根”是”61a =，或61a =-”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【一隅三反】1．（2022·安徽黄山·一模）在等比数列{}n a 中，1a ，13a 是方程21390x x -+=的两根，则2127a a a 的值为（ ） AB ．3 C．D ．3±2．（2022·吉林吉林）已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，23a =，93453a a a =，则3a =（ ） A ．6B ．9C ．27D ．813．（2022·全国·高三专题练习）设a ，b ，c ，d 是非零实数，则“a ，b ，c ，d 成等比数列”是“ad bc =”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．（2022·广西柳州）在等比数列{}n a 中，已知22a =，8462a a =，则公比q =（ ） A ．2-BC ．2D ．2±考点三 等比数列前n 项和的性质【例3-1】（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列{an }的前n 项和为Sn ，S 10＝1，S 30＝13，S 40＝（ ） A ．﹣51B ．﹣20C ．27D ．40【例3-2】（2022·全国·高三专题练习）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若121n n S t -=⋅-，则t =（ ）A ．2B ．-2C ．1D ．-1【例3-3】（2022·全国·高三专题练习）已知数列}{n a 的前n 项和121n n S -=+，则数列}{n a 的前10项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（ ） A ．12B ．2C ．172341D ．341172【例3-4】（2022·全国·高三专题练习）数列{}n a 中，12a =，对任意 ,,m n m n m n N a a a ++∈=，若155121022k k k a a a ++++++=-，则 k =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【例3-5】（2022·全国·高三专题练习）各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和n S ，若264a a =，31a =，则29()42n n S a +的最小值为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．12【一隅三反】1．（2022·湖南·长沙一中）一个等比数列的前7项和为48，前14项和为60，则前21项和为（ ） A ．180 B ．108 C ．75D ．632．（2022·全国·高三专题练习）已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列的项数为（ ） A ．2B ．4C ．8D ．163．（2022·全国·高三专题练习）等比数列{}n a 的前n 项和为213n n S r -=+，则r 的值为 A ．13B ．13-C ．19D ．19-4．（2021·全国·高三专题练习）已知等比数列{}n a 中，11a =，132185k a a a ++++=，24242k a a a +++=，则k =（ ） A ．2B ．3C ．4D ．55．（2022·四川绵阳·一模）已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5-，3S ，6S 成等差数列，则96S S -的最小值为( )A ．25B ．20C ．15D ．10考点四 等比数列定义及其运用【例4】（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 满足12a =，121nn n a a a +=+，则下列结论正确的是（ ）A ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为12的等差数列 B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为2的等差数列C ．数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是公比为12的等比数列 D ．数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是公比为2的等比数列 【一隅三反】1．（2021·江苏盐城）（多选）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列数列一定是等比数列的有（ ）A ．12a a +，23a a +，34a a +，…B ．13a a ，35a a +，57a a +，…C ．2S ，42S S -，64S S -，…D ．3S ，63S S -，96S S -，…2．（2022·广东·佛山一中）已知数列{n a }满足：11232n n a a a +==+， (1)求证：数列{1n a +}是等比数列；(2)()3log 1n n b a =+，求数列{n a ·n b }的前n 项和n S .3．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且112a =，11()*2n n n a a N n n ++=∈． (1)证明数列{}n an为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2)设(2)n n b n S =-，求数列32{}nn b -前n 项和n T ． 考点五 等比数列的实际应用【例5-1】（2022·浙江省义乌中学模拟预测）我国古代的数学名著《九章算术》中有“衰分问题”：今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何?其意为：一女子每天织布的尺数是前一天的2倍，5天共织布5尺，问第五天织布的尺数是多少你的答案是( ) A ．531B ．1C ．52D ．8031【例5-2】（2022·江苏·沭阳如东中学模拟预测）著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段12,33⎛⎫⎪⎝⎭，记为第一次操作；再将剩下的两个区120,,,133⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于1415，则需要操作的次数n 的最小值为（ ） 参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771 A ．6B ．7C ．8D ．9【一隅三反】1．（2022·全国·模拟预测）在适宜的环境中，一种细菌的一部分不断分裂产生新的细菌，另一部分则死亡.为研究这种细菌的分裂情况，在培养皿中放入m 个细菌，在1小时内，有34的细菌分裂为原来的2倍，14的细菌死亡，此时记为第一小时的记录数据.若每隔一小时记录一次细菌个数，则细菌数超过原来的10倍的记录时间为第（ ）A ．6小时末B ．7小时末C ．8小时末D ．9小时末2．（2022·湖南湖南·二模）在流行病学中，基本传染数0R 是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.0R 一般由疾病的感染周期､感染者与其他人的接触频率､每次接触过程中传染的概率决定，假设某种传染病的基本传染数02R =，平均感染周期为7天，那么感染人数由1（初始感染者）增加到999大约需要的天数为（ ）（初始感染者传染0R 个人为第一轮传染，这0R 个人每人再传染0R 个人为第二轮传染……参考数据：lg20.3010≈） A ．42B ．56C ．63D ．703．（2022·云南·高三阶段练习（理））为了更好地解决就业问题，国家在2020年提出了“地摊经济”为响应国家号召，有不少地区出台了相关政策去鼓励“地摊经济”．老王2020年6月1日向银行借了免息贷款10000元，用于进货.因质优价廉，供不应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底扣除生活费1000元，余款作为资金全部用于下月再进货，如此继续，预计到2021年5月底该摊主的年所得收入为（ ）（取()111.27.5=，()121.29=） A ．32500元 B ．40000元C ．42500元D ．50000元4.2 等比数列（精讲）（基础版）思维导图考点一 等比数列基本量的计算【例1】（1）（2022·北京丰台·一模）若数列{}n a 满足12n n a a +=，且41a =，则数列{}n a 的前4项和等于（ ）考点呈现例题剖析A ．15B ．14C ．158 D ．78（2）（2022·重庆·模拟预测）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2a ，53a ，89a 成等差数列，则63S S =（ ） A ．13B ．43C ．3D ．4【答案】(1)C （2）B【解析】（1）因为12n n a a +=，且41a =，所以数列{}n a 是以2为公比的等比数列，又3411a a q ==，得118a =，所以44141(12)(1)1581128a q S q --===--.故选：C （2）设等比数列公比为q ，由2a ，53a ，89a 成等差数列可得，47111239a q a q a q ⨯⋅=⋅+⋅，化简得639610q q -+=，解得313q =，()()61363311411311a q S q q S a q q--==+=--.故选：B. 【一隅三反】1．（2022·江西·新余四中）已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若38a =，324S =，则公比q =（ ）A ．12-B ．13-C ．12-或1D ．13-或1【答案】C【解析】设等比数列{}n a 的公比为q .因为38a =，324S =，所以38a =，1216a a +=，即218a q =，()1116a q +=，所以212q q +=，解得12q =-或1q =.故选：C.2．（2022·河北廊坊·高三阶段练习）已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，且公比1q >，则“51a a >”是“40S >”的（ ）1.等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．2.等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n ＝na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q.温馨提示A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由40S >，得1514011a a a a q q q--=>--，因为1q >，所以510a a ->，即51a a >.故必要性满足； 1514411a a a a q S q q--==--.因为1q >，51a a >，所以40S >．故充分性满足.所以“51a a >”是“40S >”的充要条件.故选：C3．（2022·全国·高三专题练习）已知{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，若213S a =，223a a =，则4S =（ ）A ．7B ．8C ．15D ．31【答案】C【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则21213S a a a =+=，则212a a =，所以，212a q a ==， 因为223a a =，即()21124a a =，10a ≠，解得11a =，因此，()441411215112a q S q--===--.故选：C.4．（2022·河北石家庄·高三期末）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，33S =，69S =，则公比q =（ ） ABCD【答案】D【解析】依题意，等比数列{}n a 满足，33S =，69S =，则1q ≠，()()3611113,911a q a q qq--==--，两式相除得()()3363331113,1311q q q q q q-+-==+=--，32,q q ==故选：D 5（2022·四川·三模（理））已知n S 是各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和，若2481a a ⋅=，313S =，则6a =（ ）．A ．21B ．81C ．243D ．729【答案】C【解析】224381a a a ⋅==，因为0n a >，所以0q >，39a =，又313S =，故124a a +=，设公比是q ，则()121149a q a q ⎧+=⎨=⎩，两式相除得：2149q q +=，解得：3q =或34q =-（舍去），故336393243a a q ==⨯=.故选：C 考点二 等比中项【例2-1】（2022·江西·上饶市第一中学二模）等比数列{}n a 中，若59a =，则3436log log a a +=（ ）A ．2B ．3C ．4D ．9【答案】C【解析】根据等比中项得2546a a a =，所以()2434334353663log log log log log 81log 34a a a a a +=====.故选：C.【例2-2】（2022·福建·模拟预测）已知数列{}n a 为等比数列，则“5a ，7a 是方程2202210x x ++=的两实根”是”61a =，或61a =-”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】在等比数列中，若5a ，7a 是方程2202210x x ++=的两实根，571a a ∴=，5720220a a +=-<，则50a <，70a <，则57661a a a a ==，则61a =或61a =-，即充分性成立，当61a =，或61a =-时，能推出57661a a a a ==，但无法推出572022a a +=-，即必要性不成立， 即“5a ，7a 是方程2202210x x ++=的两实根”是“61a =，或61a =-”的充分不必要条件，故选：A ． 【一隅三反】1．（2022·安徽黄山·一模）在等比数列{}n a 中，1a ，13a 是方程21390x x -+=的两根，则2127a a a 的值为（ ） AB ．3 C．D ．3±【答案】B【解析】因为1a ､13a 是方程21390x x -+=的两根，所以3119=a a ，11313+=a a ，所以10a >，130a >，又{}n a 为等比数列，则6710=>a q a ，所以213212719===a a a a a ，所以73a =或73a =-（舍去），所以212773==a a a a .故选：B. 2．（2022·吉林吉林）已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，23a =，93453a a a =，则3a =（ ）A ．6B ．9C ．27D ．81【答案】B【解析】()3239335444,,3327a a a a a =∴==∴=，39a ∴=.故选：B 3．（2022·全国·高三专题练习）设a ，b ，c ，d 是非零实数，则“a ，b ，c ，d 成等比数列”是“ad bc =”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由a b c d ,,,成等比数列可得ad bc =，但当14,1,1,4a b c d ====时，a b c d ,,,不是等比数列，所以“a ，b ，c ，d 成等比数列”是“ad=bc ”的充分而不必要条件，故选：A.4．（2022·广西柳州）在等比数列{}n a 中，已知22a =，8462a a =，则公比q =（ ） A．2- B C ．2 D ．2±【答案】D【解析】由等比数列284652a a a ==，解得452a =±，所以33522a q a ==±，所以2q =±，故选：D. 考点三 等比数列前n 项和的性质【例3-1】（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列{an }的前n 项和为Sn ，S 10＝1，S 30＝13，S 40＝（ ） A ．﹣51 B ．﹣20 C ．27 D ．40【答案】D【解析】由{an }是等比数列，且S 10＝1＞0，S 30＝13＞0，得S 20＞0，S 40＞0，且1＜S 20＜13，S 40＞13 所以S 10，S 20﹣S 10，S 30﹣S 20，S 40﹣S 30成等比数列， 即1，S 20﹣1，13﹣S 20，S 40﹣13构成等比数列，∴（S 20﹣1）2＝1×（13﹣S 20），解得S 20＝4或S 20＝﹣3（舍去），∴（13﹣S 20）2＝（S 20﹣1）（S 40﹣13），即92＝3×（S 40﹣13），解得S 40＝40．故选：D ．【例3-2】（2022·全国·高三专题练习）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若121n n S t -=⋅-，则t =（ ）A ．2B ．-2C ．1D ．-1【答案】A【解析】设等比数列的公比为q ，当1q =时，1n S na =，不合题意； 当1q ≠时，等比数列前n 项和公式()1111111n n n a q a aS q qq q-==-⋅+---， 依题意()111212110,222n nn S t t t t -=⋅-=⋅-⇒+-==.故选：A【例3-3】（2022·全国·高三专题练习）已知数列}{n a 的前n 项和121n n S -=+，则数列}{n a 的前10项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（ ） A ．12 B ．2 C ．172341D ．341172【答案】C【解析】当2n ≥时，212n n n n a S S --=-=，又112a S ==，即前10项分别为2,1,2,4,8,16,32,64,128,256，所以数列}{n a 的前10项中5141023341143S -===-偶，)(421451022172143S -=+=+=-奇，所以172341S S =奇偶， 故选：C ．【例3-4】（2022·全国·高三专题练习）数列{}n a 中，12a =，对任意 ,,m n m n m n N a a a ++∈=，若155121022k k k a a a ++++++=-，则 k =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【解析】在等式m n m n a a a +=中，令1m =，可得112n n n a a a a +==，12n na a +∴=， 所以，数列{}n a 是以2为首项，以2为公比的等比数列，则1222n nn a -=⨯=，()()()()1011011105101210122122212211212k k k k k k a a a a ++++++⋅-⋅-∴+++===-=---，1522k +∴=，则15k +=，解得4k =.故选：C.【例3-5】（2022·全国·高三专题练习）各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和n S ，若264a a =，31a =，则29()42n n S a +的最小值为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．12【答案】C【解析】因为264a a =，且等比数列{}n a 各项均为正数，所以2444,2a a ==，公比432,a q a ==首项114a =， 所以1(1)2114n n n a q S q --==- ，通项11124n n n a a q --==，所以29()2164448242n nn n S a +=++≥=，当且仅当216,342n n n =∴=，所以当3n =时，29()42n nS a+的最小值为8.故选：C.【一隅三反】1．（2022·湖南·长沙一中）一个等比数列的前7项和为48，前14项和为60，则前21项和为（ ） A ．180 B ．108 C ．75D ．63【答案】D【解析】由题意得S 7，S 14－S 7，S 21－S 14组成等比数列48，12，3，即S 21－S 14＝3，∴S 21＝63. 故选：D2．（2022·全国·高三专题练习）已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列的项数为（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．16【答案】C【解析】设这个等比数列{}n a 共有()2k k N *∈项，公比为q ，则奇数项之和为132185k S a a a -=+++=奇，偶数项之和为()2421321170n n S a a a q a a a qS -=+++=+++==奇偶，170285S q S ∴===偶奇， 等比数列{}n a 的所有项之和为()212212211708525512kkk a S -==-=+=-，则22256k=，解得4k =，因此，这个等比数列的项数为8.故选：C.3．（2022·全国·高三专题练习）等比数列{}n a 的前n 项和为213n n S r -=+，则r 的值为A ．13B ．13-C ．19D ．19-【答案】B【解析】当1n =时,113a S r ==+,当2n ≥时，212323223221118333(31)8383393n n n n n n n n n a S S --------=-=-=-=⋅=⋅⋅=⋅ 所以81333r r +=∴=-，故选B. 4．（2021·全国·高三专题练习）已知等比数列{}n a 中，11a =，132185k a a a ++++=，24242k a a a +++=，则k =（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】B【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则132112285k k a a a a a a q q +++++++==，即()2285184k q a a ++=-=，因为24242k a a a +++=，所以2q，则()21123221112854212712k k k a a a a a ++⨯-+++++=+==-，即211282k +=，解得3k =，故选：B.5．（2022·四川绵阳·一模）已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5-，3S ，6S 成等差数列，则96S S -的最小值为( ) A ．25 B ．20 C ．15 D ．10【答案】B【解析】因为{}n a 是正项等比数列，所以3S ，63S S -，96S S -仍然构成等比数列，所以263396()()S S S S S -=-.又5-，3S ，6S 成等差数列，所以6352S S -=，6335S S S -=+，所以()()2263396333352510S S S S S S S S S -+-===++. 又{}n a 是正项等比数列，所以30S >，3325101020S S ++≥=，当且仅当35S =时取等号.故选：B.考点四 等比数列定义及其运用【例4】（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 满足12a =，121nn n a a a +=+，则下列结论正确的是（ ）A ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为12的等差数列 B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为2的等差数列C ．数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是公比为12的等比数列 D ．数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是公比为2的等比数列【答案】C 【解析】∴121n n n a a a +=+，∴111111222n n n n a a a a ++==⋅+，1n a ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭既不是等比数列也不是等差数列； ∴1111112n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，∴数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是公比为12的等比数列．故选：C【一隅三反】1．（2021·江苏盐城）（多选）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列数列一定是等比数列的有（ ） A ．12a a +，23a a +，34a a +，… B ．13a a ，35a a +，57a a +，… C ．2S ，42S S -，64S S -，… D ．3S ，63S S -，96S S -，…【答案】BD【解析】设数列{}n a 的公比为q ，0q ≠，对于A 和C ，都有首项121(1)a a a q +=+，当1q =-时，120a a +=，不满足等比数列，故AC 错误；对于B ，2131(1)0a a a q +=+≠，且2235131313()a a q a a q a a a a ++==++， 同理25735a a q a a +=+，故数列13a a ，35a a +，57a a +，…为等比数列，B 正确； 对于D ，231231(1)0S a a a a q q =++=++≠，且3633S S q S -=，39663S S q S S -=-， 故数列3S ，63S S -，96S S -，…为等比数列，D 正确；故选：BD 2．（2022·广东·佛山一中）已知数列{n a }满足：11232n n a a a +==+， (1)求证：数列{1n a +}是等比数列；(2)()3log 1n n b a =+，求数列{n a ·n b }的前n 项和n S . 【答案】(1)证明见解析(2)()()12133142n nn n n S +-⨯++=-【解析】(1)因为11232n n a a a +==+，，所以1131n n a a ++=+（）. 而113a +=，所以数列{1n a +}是以113a +=为首项，以3为公比的等比数列，所以13nn a +=，即31n n a =-.(2)由（1）可得()3log 1n n b a n =+=∴()31nn n a b n ⋅=-记1213233n n T n =⨯+⨯++⨯……∴所以()23131323133n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯……∴∴-∴得：12123333nn n T n +-=+++-⨯ ()1313313n n n +-=-⨯-∴()121334n nn T +-⨯+=∴()()()1213311242n nn n n n S T n +-⨯++=-+++=-. 3．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且112a =，11()*2n n n a a N n n ++=∈． (1)证明数列{}n an为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2)设(2)n n b n S =-，求数列32{}n n b -前n 项和n T ． 【答案】(1)证明见解析；2n n na =；(2) 1(34)24(1)(2)n n n T n n ++=-++.【解析】(1)因为112n n n a a n ++=，所以1112n n a n a n++=，又因为11112a a ==，所以数列{}n a n是以首项为12，公比为12的等比数列，从而1111()()222n n n a n -=⨯=，故2n n n a =. (2)由(1)中结论可知，2311111112()3()(1)()()22222n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-+ ∴，所以23411111111()2()3()(1)()()222222n n n S n n +=⨯+⨯+⨯++-+ ∴，由∴-∴得，231111111()()()()222222n n n S n +=++++- 111[1()]122()1212n n n +-=-- 化简整理得，222n nn S +=-，所以222n n nn n b n S ()()， 故2232(32)22222()(2)22n n n n n n n n b n n n n n n ++--==-=--+++， 所以324351122222222222[()()()()()]132435112n n n n n T n n n n -++=--+-+-++-+--++，故1(34)24(1)(2)n n n T n n ++=-++. 考点五 等比数列的实际应用【例5-1】（2022·浙江省义乌中学模拟预测）我国古代的数学名著《九章算术》中有“衰分问题”：今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何其意为：一女子每天织布的尺数是前一天的2倍，5天共织布5尺，问第五天织布的尺数是多少你的答案是( ) A ．531B ．1C ．52D ．8031【答案】D【解析】根据题意可知该女子每天织布的尺数成等比数列，设该等比数列为{}n a ，公比q ＝2， 则第1天织布的尺数为1a ，第5天织布的尺数为5a ，前5天共织布为55S =， 则()51112551231a a-=⇒=-，∴445158023131a a q =⋅=⨯=.故选：D.【例5-2】（2022·江苏·沭阳如东中学模拟预测）著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段12,33⎛⎫⎪⎝⎭，记为第一次操作；再将剩下的两个区120,,,133⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于1415，则需要操作的次数n 的最小值为（ ） 参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771 A ．6 B ．7 C ．8 D ．9【答案】B【解析】第一次操作去掉13，设为1a ；第二次操作去掉29，设为2a ；第三次操作去掉427，设为3a ， 依次类推，11233n n a -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭.故0111222[()()()]3333n n S -=⨯+++ 2113121412331513n n⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=⨯=-≥ ⎪⎝⎭-， 整理，得12153n⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，()21lg lg lg2lg3lg15315nn ⎛⎫∴≤∴-≤- ⎪⎝⎭，，()lg3lg5lg3lg5lg31lg211 6.7lg2lg3lg3lg2lg3lg2lg3lg2n -+++-∴≥===+≈----，故n 的最小值为7. 故选：B. 【一隅三反】1．（2022·全国·模拟预测）在适宜的环境中，一种细菌的一部分不断分裂产生新的细菌，另一部分则死亡.为研究这种细菌的分裂情况，在培养皿中放入m 个细菌，在1小时内，有34的细菌分裂为原来的2倍，14的细菌死亡，此时记为第一小时的记录数据.若每隔一小时记录一次细菌个数，则细菌数超过原来的10倍的记录时间为第（ ） A ．6小时末 B ．7小时末C ．8小时末D ．9小时末【答案】A【解析】设n a 表示第n 小时末的细菌数，依题意有()11332242n n n a a a n --=⨯=≥，133242a m m =⨯=，则{}n a 是等比数列，首项为32m ，公比32q =，所以32nn a m ⎛⎫= ⎪⎝⎭.依题意，10n a m >，即3102n m m ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以3102n⎛⎫> ⎪⎝⎭, 由于563310,24372932102642⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭=<，又*N n ∈，所以6n ≥，所以第6小时末记录的细菌数超过原来的10倍, 故选:A.2．（2022·湖南湖南·二模）在流行病学中，基本传染数0R 是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.0R 一般由疾病的感染周期､感染者与其他人的接触频率､每次接触过程中传染的概率决定，假设某种传染病的基本传染数02R =，平均感染周期为7天，那么感染人数由1（初始感染者）增加到999大约需要的天数为（ ）（初始感染者传染0R 个人为第一轮传染，这0R 个人每人再传染0R 个人为第二轮传染……参考数据：lg20.3010≈） A ．42 B ．56 C ．63 D ．70【答案】C【解析】设第n 轮感染的人数为n a ，则数列{}n a 是12a =，公比2q的等比数列，由()2121199912nn S ⨯-+=+=-，可得121000n +=，解得2500n =，两边取对数得lg 2lg500n =，则lg 23lg 2n =-，所以33118.979lg 20.3010n =-=-≈=， 故需要的天数约为9763⨯=. 故选：C3．（2022·云南·高三阶段练习（理））为了更好地解决就业问题，国家在2020年提出了“地摊经济”为响应国家号召，有不少地区出台了相关政策去鼓励“地摊经济”．老王2020年6月1日向银行借了免息贷款10000元，用于进货.因质优价廉，供不应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底扣除生活费1000元，余款作为资金全部用于下月再进货，如此继续，预计到2021年5月底该摊主的年所得收入为（ ）（取()111.27.5=，()121.29=）A ．32500元B ．40000元C ．42500元D ．50000元【答案】B 【解析】设010000a =，从6月份起每月底用于下月进货的资金依次记为1a ，2a ，…，12a ，()100120%1000 1.21000a a a =⨯+-=-，同理可得1 1.21000n n a a +=-， 所以()15000 1.25000n n a a +-=-， 而050005000a -=，所以数列{}5000n a -是等比数列，公比为1.2，所以50005000 1.2n n a -=⨯，12125000 1.2500050009500050000a =⨯+=⨯+=，∴总利润为500001000040000-=，故选:B ．。
2023-2024学年高考数学数列专项练习题(含答案)
2023-2024学年高考数学数列小专题一、单选题1．已知等比数列的前项和为，且，则数列的前项和为（ ）{}n a n n S 11n n a S +=+{}2n a n A ．B ．413n -213n -C ．D ．41n-21n-2．已知函数在上的最小值为，最大值为，且在等差数列中，2log y x =[]16,256m M {}n a ，则（ ）24,a m a M ==10a =A ．17B ．18C ．20D ．243．数列满足，（），，若数列是递减数{}n a 18a =11nn n a a na +=+*n ∈N 112nn n b a λ⎛⎫⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭{}n b 列，则实数的取值范围是（ ）λA ．B ．C ．D ．8,7⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭7,8⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭8,7⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭7,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭4．等差数列中的，是函数的极值点，则{}n a 2a 2024a ()32642024=-+-f x x x x （ ）81013log =a A ．B ．C ．3D ．133-13-5．已知数列的前项和为，且等比数列满足，若，则{}n c n n S {}n a 2log n n c a =2364a a =（ ）9S =A ．3B ．4C ．5D ．66．已知数列是公比为q （）的正项等比数列，且，若，则{}n b 1q ≠10122ln 0b =()241f x x =+（ ）()()()122023f b f b f b +++=A ．4069B ．2023C ．2024D ．40467．已知等比数列的前项和为，若，则（ ）{}n a n n S 132n n S λ+=⨯+λ=A ．B ．C ．D ．33-66-8．已知数列的前4项分别为，，，，则该数列的一个通项公式可以为132-354+578-7916+（ ）n a =A ．2121(1)2nn n n -++-B ．12121(1)2n n n n +-++-C ．12121(1)2n n n n--++-D ．2121(1)2nnn n -++-二、多选题9．已知是等比数列的前项和，且，则下列说法正确的是（ ）n S {}n a n 11(2)n n S a -=+-A ．2a =-B ．中任意奇数项的值始终大于任意偶数项的值{}n S C ．的最大项为，最小项为{}n S 13S =232S =D ．12231011201612a a a a a a ⎛⎫+++=- ⎪⎝⎭ 10．数列中，，则（ ）{}n a 1112,1,n na a n a ++=+=∈N A ．202412a =B ．12320221011a a a a +++⋅⋅⋅+=C ．12320242a a a a ⋅⋅⋅=-D ．122334202220231011a a a a a a a a +++⋅⋅⋅+=-11．已知数列满足，，为的前项和，则（ ）{}n a 126a =132n n a a +=-n S {}n a n A ．为等比数列{}1n a +B ．的通项公式为{}n a 4131n n a -=-C ．为递减数列{}n aD ．当或时，取得最大值4n =5n =n S 12．等差数列的前n 项和为，若，，则（ ）{}n a n S 79a =443S a =A ．的公差为1B ．的公差为2{}n a {}n a C ．D ．418S =20232025a =三、填空题13．在等比数列中，，则．{}n a 12563,6a a a a +=+=910a a +=14．某网店统计了商品近30天的日销售量，日销售量依次构成数列，已知，且A {}n a 120a=，则商品近30天的总销量为 .()()111nn n a a n ++-=+-∈N A 15．在数列与中，已知，则{}n a {}n b ()1111112,2,2n n n n n n n n a b a b a b a b a b ++++==+=+=．2023202311a b +=16．已知数列满足．且，若，则{}n a 1265n n a a n ++=+13a =()1nn n b a =-．1232024b b b b ++++=答案：1．A【分析】根据关系得出等比数列求出，最后再根据等比数列前项和计算求解,n n a S 12n n a -=n 即可.【详解】因为，所以当时，，两式相减，得，11n n a S +=+2n ≥11n n a S -=+12n n a a +=所以数列从第2项起是公比为2的等比数列．又数列是等比数列，所以．{}n a {}n a 212a a =由，解得，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以21111a S a =+=+11a ={}n a ，12n n a -=所以，所以数列是首项为1，公比为4的等比数列，()212124n n n a --=={}2na 所以数列的前项和为．{}2n a n 1441143n n --=-故选:A ．2．C【分析】利用对数函数单调性先求出函数最小值为，最大值为，再由等差数列通项公式m M 求解.【详解】因为函数在上单调递增，2log y x =[]16,256所以，，2log 164m ==2log 2568M ==所以，所以等差数列的公差，244,8a a =={}n a 42842422a a d --===-所以．()10210248220a a d =+-=+⨯=故选：C ．3．D【分析】将取倒数结合累加法求得，再利用数列单调递减列不等式11nn n a a na +=+()22118n n a -=并分离参数，求出新数列的最大值即可求得答案【详解】由题意，，两边取倒数可化为，所以，11nn n a a na +=+1111n n n n na n a a a ++==+21111a a -=，，由累加法可得，，因为32112a a -=1111--=-n n n a a ()()11111212n n n n a a --=++⋅⋅⋅+-=，所以，18a =()()212111288n n n n a --=+=所以，因为数列是递减数列，故，即()221111282nn n n n b a λλ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦{}n b 1n n b b -<，整理可得，()()2212123118282n n n n λλ-⎡⎤⎡⎤--⎛⎫⎛⎫+<+⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，因为，，所以2254842017288n n n λ⎛⎫--+ ⎪-+-⎝⎭>=2n ≥*n ∈N ，故.22max 5548428722888n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+-⨯-+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪==⎪ ⎪⎝⎭7,8λ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭故选:D.4．A【分析】利用导数求出函数的两个极值点，再利用等差数列性质求出即可计算得解.()f x 1013a 【详解】由求导得：，()32642024=-+-f x x x x 2()3124f x x x '=-+有，即有两个不等实根，2124340∆=-⨯⨯>()0f x '=12,x x 显然是的变号零点，即函数的两个极值点，12,x x ()f x '()f x 依题意，，在等差数列中，，24122024a x a x ++=={}n a 22024101322a a a +==所以.38101321log log 23a ==故选：A 5．D【分析】设等比数列的公比为，根据题意，求得，结合对数运算性质有{}n a q 354a =，即可求解．9925log S a =【详解】设等比数列的公比为，{}n a q因为，()2235365524a a a a q a q ===所以9128212228299log log log log S c c a c c a a a =++++++=++ ．()9321289252log log log 46a a a a a ==== 故选：D.6．D【分析】由等比数列的性质可得，由，可得1202322022202311b b b b b b ⋅=⋅==⋅= ()241f x x =+，故有，即可计()14f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()()()()()()1202322022202314f b f b f b f b f b f b +=+==+= 算.()()()122023f b f b f b +++ 【详解】由数列是公比为q （）的正项等比数列，故，{}n b 1q ≠0n b >，故，()210121012120232ln ln ln 0b b b b ==⋅=120231b b ⋅=即有，1202322022202311b b b b b b ⋅=⋅==⋅= 由，则当时，()241f x x =+0x >有，()2222214444411111x f x f x x x x x ⎛⎫+=+=+= ⎪+++⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭故，()()()()()()1202322022202314f b f b f b f b f b f b +=+==+= 故()()()()()()()12202312023220222f b f b f b f b f b f b f b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++=++++⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ，()()()()202312023120238092f b f b f b f b ⎡⎤⎡⎤++=+=⎣⎦⎣⎦故.()()()1220234046f b f b f b +++= 故选：D.7．D【分析】根据题意，求得，结合等比数列的定义，得到，即可求解.12,2n na n a +=≥212a a =【详解】由，132n n S λ+=⨯+当时，，可得，2n ≥1132(32)32n n nn n n a S S λλ+--==⨯+-⨯+=⋅12,2n na n a +=≥当时，，1n =21132a S λ==⨯+因为数列为等比数列，可得，解得.{}n a 222132232a a λ⨯==⨯+6λ=-故选：D.8．D【分析】观察数列的项的特点，找到各项之间的规律，即可写出一个通项公式，结合选项，即得答案.【详解】观察可知，该数列的前面整数部分为奇数，后面分数部分正负相间，首项的分21n +数部分为负，分母为，分子为，2n 21n-故该数列的一个通项公式可以为，2121(1)2nn n n a n -=++-故选：D 9．BCD【分析】由等比数列的前项和公式可得，可判断选项A ；根据的解析式判断奇数项n 2a =n S 与偶数项的公式，从而判断BC ；由得到的通项公式，从而表示出的通项公式n S n a 1n n n b a a +=即可判断D.【详解】由题可知，此时等比数列的公比，所以设前项和公式应为：1q ≠n ，n n S A q A =-⋅+，A 错误；12,22nn S a a ⎛⎫=-⋅-+∴= ⎪⎝⎭因此，1112,1222122,2nn n n n S n --⎧+⎪⎪⎛⎫=-⋅-+=⎨⎪⎝⎭⎪-+⎪⎩为奇数为偶数可得中，奇数项递减，且始终大于2，最大值为，{}n S 13S =偶数项递增，且始终小于2，最小值为，因此BC 正确；232S =由可得，令，n S 23122n n a -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭23121919422n n n n n b a a -+-⎛⎫==-=-⎪⎝⎭所以，故D 正确1012231011121020911124611214a a a a a a b b b ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭+++=+++==- ⎪⎝⎭- 故选：BCD 10．ABD【分析】根据递推公式可得数列是以3为周期的周期数列，再逐个选项判断即可.{}n a 【详解】由题意得：，234512341111111,11,12,1,22a a a a a a a a =-==-=-=-==-=⋅⋅⋅数列是以3为周期的周期数列．∴{}n a 对于A ，，A 正确；202467432212a a a ⨯+===对于B ，，B 正确；()1232022123367467410112a a a a a a a +++⋅⋅⋅+=++=⨯=对于C ，，C 错误；()6741232024123202320241a a a a a a a a a ⋅⋅⋅==对于D ，由递推关系式知：，11n n n a a a +=-()()()12233420222023122022111a a a a a a a a a a a ∴+++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-，D 正确．12320222022101120221011a a a a =+++⋅⋅⋅+-=-=-故选：ABD ．11．AC【分析】利用构造法得，判断出为首项为，公比为的等比数列，()1311n n a a ++=+{}11n a ++2713判断A 选项；利用等比数列通项公式求出通项公式，判断B 选项；根据函数是减函数，1n a +判断C 选项；令，解得，判断D 选项.n a =4n =【详解】因为，所以，即，，132n n a a +=-1331n n a a ++=+()1311n n a a ++=+11113n na a ++=+又因为，所以，所以为首项为，公比为的等比数列，A 正确；126a =1127a +={}11n a ++2713B 错误；C 正确；D 错误.故选：AC 12．ACD【分析】列出方程组，求出等差数列的公差和首项，判断A ，B ；根据等差数列通项公式以及前n 项和公式即可判断C ，D.【详解】设的公差为d ，由，，得，{}n a 79a =443S a =111694639a d a d a d +=⎧⎨+=+⎩解得，故A 正确，B 错误；131a d =⎧⎨=⎩，，C ，D 正确.414618S a d =+=2023120222025a a d =+=故选：ACD 13．12【分析】根据等比数列的通项公式可得结果.【详解】设等比数列的公比为，，所以，{}n a q ()44561236a a q a a q +=+==42q =所以，()4910562612a a q a a +=+=⨯=故12.14．1020【分析】根据题目所给递推关系找到数列的规律，进而求和.【详解】当时，，当时，，21n k =-221k k a a -=2n k =2122k k a a +=+，∴21212k k a a +-=+中奇数项是公差为2，首项为20的等差数列，{}n a ∴∴1232930a a a a a +++++ ()135292a a a a =++++ .151421520210202⨯⎛⎫=⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭商品近30天的总销量为.∴A 1020故答案为.102015．1【分析】由已知计算可得为常数列，进而可得结果.1111n n a b +++11{}n n a b +【详解】由题意知，，()111111211112n n n n n n n n n n n n a b a b a b a b a b a b +++++++++===+所以为常数列，即，11{}n n a b +11111111122n n a b a b +=+=+=所以．20232023111a b +=故1.16．2024【分析】利用构造法与迭代法求得，从而利用并项求和法即可得解.21n a n =+【详解】因为，所以，1265n n a a n ++=+()12(1)1221n n a n a n +-+-=---又，则，13a =12113210a -⨯-=--=所以()[]12112(1)1(2)21(2)2(1)1n n n a n a n a n +--+-=---=----=，()1(2)2110n a =--⨯-=故，则，210n a n --=21n a n =+所以，()()11(21)nnn n b a n =-=-+则的各项分别为，{}n b 3,5,7,9,11,13,--- 所以()()()()12320243579111340474049b b b b ++++=-++-++-+++-+ .210122024=⨯=故2024关键点点睛：本题解决的关键在于将推递关系式化得，从而()12(1)1221n n a n a n +-+-=---求得，由此得解.n a。
2023年高考数学一轮复习第六章数列3等比数列练习含解析
等比数列考试要求 1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系．知识梳理1．等比数列的有关概念(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q (n ∈N *，q 为非零常数)． (2)等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，此时，G 2＝ab . 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1.(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 11－q n 1－q＝a 1－a n q1－q ，q ≠1.3．等比数列的性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·qn －m(m ，n ∈N *)．(2)对任意的正整数m ，n ，p ，q ，若m ＋n ＝p ＋q ＝2k ，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k .(3)若等比数列前n 项和为S n ，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 仍成等比数列(m 为偶数且q ＝－1除外)． (4)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k. (5)若⎩⎪⎨⎪⎧a 1>0，q >1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0，0<q <1，则等比数列{a n }递增．若⎩⎪⎨⎪⎧a 1>0，0<q <1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0，q >1，则等比数列{a n }递减．常用结论1．若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则数列{c ·a n }(c ≠0)，{|a n |}，{a 2n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 也是等比数列． 2．等比数列{a n }的通项公式可以写成a n ＝cq n，这里c ≠0，q ≠0. 3．等比数列{a n }的前n 项和S n 可以写成S n ＝Aq n－A (A ≠0，q ≠1,0)． 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)等比数列的公比q 是一个常数，它可以是任意实数．( × ) (2)三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .( × )(3)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a 1－a n1－a.( × )(4)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列．( × ) 教材改编题1．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 4＝12，则公比q 等于( )A ．－12B ．－2C ．2D ．±12答案 D解析 设等比数列的公比为q ， ∵{a n }是等比数列，a 2＝2，a 4＝12，∴a 4＝a 2q 2，∴q 2＝a 4a 2＝14，∴q ＝±12.2．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 11＋2a 6a 8＋a 3a 13＝25，则a 6＋a 8＝______. 答案 5解析 ∵{a n }是等比数列， 且a 1a 11＋2a 6a 8＋a 3a 13＝25， ∴a 26＋2a 6a 8＋a 28＝(a 6＋a 8)2＝25. 又∵a n >0，∴a 6＋a 8＝5.3．已知三个数成等比数列，若它们的和等于13，积等于27，则这三个数为________． 答案 1,3,9或9,3,1解析 设这三个数为a q，a ，aq ，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋aq ＋aq ＝13，a ·aq ·aq ＝27，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，q ＝13或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，q ＝3，∴这三个数为1,3,9或9,3,1.题型一 等比数列基本量的运算例1 (1)(2020·全国Ⅱ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 5－a 3＝12，a 6－a 4＝24，则S na n等于( ) A ．2n－1 B ．2－21－nC ．2－2n －1D ．21－n－1答案 B解析 方法一 设等比数列{a n }的公比为q ， 则q ＝a 6－a 4a 5－a 3＝2412＝2. 由a 5－a 3＝a 1q 4－a 1q 2＝12a 1＝12，得a 1＝1. 所以a n ＝a 1qn －1＝2n －1，S n ＝a 11－q n 1－q ＝2n－1，所以S n a n ＝2n －12n －1＝2－21－n.方法二 设等比数列{a n }的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 3q 2－a 3＝12，①a 4q 2－a 4＝24，②②①得a 4a 3＝q ＝2. 将q ＝2代入①，解得a 3＝4. 所以a 1＝a 3q2＝1，下同方法一．(2)(2019·全国Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝13，a 24＝a 6，则S 5＝________.答案1213解析 设等比数列{a n }的公比为q ， 因为a 24＝a 6，所以(a 1q 3)2＝a 1q 5， 所以a 1q ＝1，又a 1＝13，所以q ＝3，所以S 5＝a 11－q 51－q＝13×1－351－3＝1213. 教师备选1．已知数列{a n }为等比数列，a 2＝6,6a 1＋a 3＝30，则a 4＝________. 答案 54或24解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1·q ＝6，6a 1＋a 1·q 2＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝3，a 1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝3，a 4＝a 1·q 3＝2×33＝54或a 4＝3×23＝3×8＝24.2．已知数列{a n }为等比数列，其前n 项和为S n ，若a 2a 6＝－2a 7，S 3＝－6，则a 6等于( ) A ．－2或32 B ．－2或64 C ．2或－32 D ．2或－64答案 B解析 ∵数列{a n }为等比数列，a 2a 6＝－2a 7＝a 1a 7，解得a 1＝－2，设数列的公比为q ，S 3＝－6＝－2－2q －2q 2， 解得q ＝－2或q ＝1，当q ＝－2时，则a 6＝(－2)6＝64， 当q ＝1时，则a 6＝－2.思维升华 (1)等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．(2)等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n ＝na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和S n ＝a 11－q n 1－q ＝a 1－a n q 1－q.跟踪训练1 (1)(2020·全国Ⅱ)数列{a n }中，a 1＝2，a m ＋n ＝a m a n ，若a k ＋1＋a k ＋2＋…＋a k ＋10＝215－25，则k 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 C解析 a 1＝2，a m ＋n ＝a m a n ， 令m ＝1，则a n ＋1＝a 1a n ＝2a n ，∴{a n }是以a 1＝2为首项，q ＝2为公比的等比数列， ∴a n ＝2×2n －1＝2n.又∵a k ＋1＋a k ＋2＋…＋a k ＋10＝215－25， ∴2k ＋11－2101－2＝215－25，即2k ＋1(210－1)＝25(210－1)，∴2k ＋1＝25，∴k ＋1＝5，∴k ＝4.(2)(2020·新高考全国Ⅱ)已知公比大于1的等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＝8. ①求{a n }的通项公式； ②求a 1a 2－a 2a 3＋…＋(－1)n －1a n a n ＋1.解 ①设{a n }的公比为q (q >1)．由题设得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＋a 1q 3＝20，a 1q 2＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12，a 1＝32(舍去)．所以{a n }的通项公式为a n ＝2n，n ∈N *. ②由于(－1)n －1a n a n ＋1＝(－1)n －1×2n ×2n ＋1＝(－1)n －122n ＋1，故a 1a 2－a 2a 3＋…＋(－1)n －1a n a n ＋1＝23－25＋27－29＋…＋(－1)n －1·22n ＋1＝23[1－－22n]1－－22＝85－(－1)n 22n ＋35. 题型二 等比数列的判定与证明例2 已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n ，设b n ＝a n n. (1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由； (3)求{a n }的通项公式． 解 (1)由条件可得a n ＋1＝2n ＋1na n .将n ＝1代入得，a 2＝4a 1，而a 1＝1，所以a 2＝4. 将n ＝2代入得，a 3＝3a 2，所以a 3＝12. 从而b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4.(2){b n }是首项为1，公比为2的等比数列， 由条件可得a n ＋1n ＋1＝2a nn，即b n ＋1＝2b n ， 又b 1＝1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． (3)由(2)可得a nn＝2n －1，所以a n ＝n ·2n －1.教师备选已知各项都为正数的数列{a n }满足a n ＋2＝2a n ＋1＋3a n . (1)证明：数列{a n ＋a n ＋1}为等比数列； (2)若a 1＝12，a 2＝32，求{a n }的通项公式．(1)证明 a n ＋2＝2a n ＋1＋3a n ， 所以a n ＋2＋a n ＋1＝3(a n ＋1＋a n )， 因为{a n }中各项均为正数， 所以a n ＋1＋a n >0，所以a n ＋2＋a n ＋1a n ＋1＋a n＝3，所以数列{a n ＋a n ＋1}是公比为3的等比数列． (2)解 由题意知a n ＋a n ＋1＝(a 1＋a 2)3n －1＝2×3n －1，因为a n ＋2＝2a n ＋1＋3a n ，所以a n ＋2－3a n ＋1＝－(a n ＋1－3a n )，a 2＝3a 1， 所以a 2－3a 1＝0，所以a n ＋1－3a n ＝0， 故a n ＋1＝3a n ， 所以4a n ＝2×3n －1，a n ＝12×3n －1.思维升华 等比数列的三种常用判定方法 (1)定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数，n ∈N *)或a n a n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(2)等比中项法：若数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则{a n }是等比数列． (3)前n 项和公式法：若数列{a n }的前n 项和S n ＝k ·q n－k (k 为常数且k ≠0，q ≠0,1)，则{a n }是等比数列．跟踪训练2 S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知a 4＝9a 2，S 3＝13，且公比q >0.(1)求a n 及S n ；(2)是否存在常数λ，使得数列{S n ＋λ}是等比数列？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．解 (1)易知q ≠1，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝9a 1q ，a 11－q31－q＝13，q >0，解得a 1＝1，q ＝3， ∴a n ＝3n －1，S n ＝1－3n 1－3＝3n－12.(2)假设存在常数λ，使得数列{S n ＋λ}是等比数列， ∵S 1＋λ＝λ＋1，S 2＋λ＝λ＋4，S 3＋λ＝λ＋13， ∴(λ＋4)2＝(λ＋1)(λ＋13)， 解得λ＝12，此时S n ＋12＝12×3n，则S n ＋1＋12S n ＋12＝12×3n ＋112×3n＝3，故存在常数λ＝12，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋12是以32为首项，3为公比的等比数列．题型三 等比数列的性质例3 (1)若等比数列{a n }中的a 5，a 2019是方程x 2－4x ＋3＝0的两个根，则log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 3＋…＋log 3a 2023等于( ) A.20243 B ．1011 C.20232D ．1012答案 C解析 由题意得a 5a 2019＝3， 根据等比数列性质知，a 1a 2023＝a 2a 2022＝…＝a 1011a 1013＝a 1012a 1012＝3，于是a 1012＝123，则log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 3＋…＋log 3a 2023 ＝log 3(a 1a 2a 3…a 2023)11011232023=l 3·og 3.2⎛⎫= ⎪⎝⎭(2)已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＋a 6＝8，则S 12等于( )A ．40B ．60C ．32D ．50 答案 B解析 数列S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列， 即4,8，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列， ∴S 12＝4＋8＋16＋32＝60. 教师备选1．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝__________. 答案 73解析 设等比数列{a n }的公比为q ，易知q ≠－1，由等比数列前n 项和的性质可知S 3，S 6－S 3，S 9－S 6仍成等比数列，∴S 6－S 3S 3＝S 9－S 6S 6－S 3， 又由已知得S 6＝3S 3， ∴S 9－S 6＝4S 3， ∴S 9＝7S 3，∴S 9S 6＝73. 2．已知等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________. 答案 2解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80，解得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝－80，S 偶＝－160，所以q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2. 思维升华 (1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n 项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．(2)巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要．跟踪训练3 (1)(2022·安康模拟)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10＝1，S 30＝7，则S 40等于( )A ．5B ．10C ．15D ．－20 答案 C解析 易知等比数列{a n }的前n 项和S n 满足S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30，…成等比数列．设{a n }的公比为q ，则S 20－S 10S 10＝q 10>0，故S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30，…均大于0. 故(S 20－S 10)2＝S 10·(S 30－S 20)，即(S 20－1)2＝1·(7－S 20)⇒S 220－S 20－6＝0. 因为S 20>0，所以S 20＝3.又(S 30－S 20)2＝(S 20－S 10)(S 40－S 30)， 所以(7－3)2＝(3－1)(S 40－7)，故S 40＝15.(2)在等比数列{a n }中，a n >0，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 8＝4，a 1a 2·…·a 8＝16，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 8的值为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16答案 A解析 ∵a 1a 2…a 8＝16， ∴a 1a 8＝a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝2，∴1a 1＋1a 2＋…＋1a 8＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 8＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1a 7＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 3＋1a 6＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 4＋1a 5＝12(a 1＋a 8)＋12(a 2＋a 7)＋12(a 3＋a 6)＋12(a 4＋a 5) ＝12(a 1＋a 2＋…＋a 8)＝2. 课时精练1．(2022·合肥市第六中学模拟)若等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝1，a 4＋a 5＝8，则a 7等于( ) A.643B ．－643C.323 D ．－323答案 A解析 设等比数列{a n }的公比为q ， 则a 4＋a 5a 1＋a 2＝q 3＝8， 所以q ＝2，又a 1＋a 2＝a 1(1＋q )＝1， 所以a 1＝13，所以a 7＝a 1×q 6＝13×26＝643.2．已知等比数列{a n }满足a 1＝1，a 3·a 5＝4(a 4－1)，则a 7的值为( ) A ．2B ．4C.92D ．6答案 B解析 根据等比数列的性质得a 3a 5＝a 24， ∴a 24＝4(a 4－1)，即(a 4－2)2＝0，解得a 4＝2. 又∵a 1＝1，a 1a 7＝a 24＝4，∴a 7＝4.3．(2022·开封模拟)等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝32n －1＋r ，则r 的值为( )A.13B ．－13C.19D ．－19 答案 B解析 由等比数列前n 项和的性质知，S n ＝32n －1＋r ＝13×9n ＋r ，∴r ＝－13.4．(2022·天津北辰区模拟)我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第四天走的路程为( ) A ．6里 B ．12里 C ．24里 D ．48里答案 C解析 由题意可知，该人所走路程形成等比数列{a n }，其中q ＝12，因为S 6＝a 1⎝⎛⎭⎪⎫1－1261－12＝378，解得a 1＝192，所以a 4＝a 1·q 3＝192×18＝24.5．(多选)设等比数列{a n }的公比为q ，则下列结论正确的是( ) A ．数列{a n a n ＋1}是公比为q 2的等比数列 B ．数列{a n ＋a n ＋1}是公比为q 的等比数列 C ．数列{a n －a n ＋1}是公比为q 的等比数列D ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是公比为1q的等比数列答案 AD 解析 对于A ，由a n a n ＋1a n －1a n＝q 2(n ≥2)知数列{a n a n ＋1}是公比为q 2的等比数列； 对于B ，当q ＝－1时，数列{a n ＋a n ＋1}的项中有0，不是等比数列； 对于C ，当q ＝1时，数列{a n －a n ＋1}的项中有0，不是等比数列；对于D ，1a n ＋11a n＝a n a n ＋1＝1q， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是公比为1q 的等比数列．6．(多选)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝2S n (n ∈N *)，则有( ) A ．S n ＝3n －1B ．{S n }为等比数列C ．a n ＝2·3n －1D ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2·3n －2，n ≥2答案 ABD解析 由题意，数列{a n }的前n 项和满足a n ＋1＝2S n (n ∈N *)， 当n ≥2时，a n ＝2S n －1，两式相减，可得a n ＋1－a n ＝2(S n －S n －1)＝2a n ， 可得a n ＋1＝3a n ，即a n ＋1a n＝3(n ≥2)， 又a 1＝1，则a 2＝2S 1＝2a 1＝2，所以a 2a 1＝2， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2·3n －2，n ≥2.当n ≥2时，S n ＝a n ＋12＝2·3n －12＝3n －1，又S 1＝a 1＝1，适合上式， 所以数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n －1，又S n ＋1S n ＝3n3n －1＝3， 所以数列{S n }为首项为1，公比为3的等比数列，综上可得选项ABD 是正确的．7．(2022·嘉兴联考)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝7，S 6＝63，则a 1＝________. 答案 1解析 由于S 3＝7，S 6＝63知公比q ≠1， 又S 6＝S 3＋q 3S 3， 得63＝7＋7q 3. ∴q 3＝8，q ＝2.由S 3＝a 11－q 31－q ＝a 11－81－2＝7，得a 1＝1.8．已知{a n }是等比数列，且a 3a 5a 7a 9a 11＝243，则a 7＝________；若公比q ＝13，则a 4＝________.答案 3 81解析 由{a n }是等比数列， 得a 3a 5a 7a 9a 11＝a 57＝243， 故a 7＝3，a 4＝a 7q3＝81.9．(2022·徐州模拟)已知等差数列{a n }的公差为2，其前n 项和S n ＝pn 2＋2n ，n ∈N *. (1)求实数p 的值及数列{a n }的通项公式；(2)在等比数列{b n }中，b 3＝a 1，b 4＝a 2＋4，若{b n }的前n 项和为T n ，求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫T n ＋16为等比数列． (1)解 S n ＝na 1＋n n －12d ＝na 1＋n (n －1)＝n 2＋(a 1－1)n ， 又S n ＝pn 2＋2n ，n ∈N *， 所以p ＝1，a 1－1＝2，即a 1＝3， 所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1.(2)证明 因为b 3＝a 1＝3，b 4＝a 2＋4＝9， 所以q ＝3， 所以b n ＝b 3·q n －3＝3n －2，所以b 1＝13，所以T n ＝131－3n1－3＝3n－16，所以T n ＋16＝3n 6，又T 1＋16＝12，所以T n ＋16T n －1＋16＝3n 63n －16＝3(n ≥2)，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫T n ＋16是以12为首项，3为公比的等比数列．10．(2022·威海模拟)记数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋1.设b n ＝a n ＋1－2a n .(1)求证：数列{b n }为等比数列；(2)设c n ＝|b n －100|，T n 为数列{c n }的前n 项和．求T 10. (1)证明 由S n ＋1＝4a n ＋1， 得S n ＝4a n －1＋1(n ≥2，n ∈N *)， 两式相减得a n ＋1＝4a n －4a n －1(n ≥2)， 所以a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)， 所以b n b n －1＝a n ＋1－2a na n －2a n －1＝2a n －2a n －1a n －2a n －1＝2(n ≥2)，又a 1＝1，S 2＝4a 1＋1， 故a 2＝4，a 2－2a 1＝2＝b 1≠0，所以数列{b n }为首项与公比均为2的等比数列． (2)解 由(1)可得b n ＝2·2n －1＝2n，所以c n ＝|2n－100|＝⎩⎪⎨⎪⎧100－2n，n ≤6，2n－100，n >6，所以T 10＝600－(21＋22＋…＋26)＋27＋28＋29＋210－400 ＝200－21－261－2＋27＋28＋29＋210＝200＋2＋28＋29＋210＝1 994.11．(多选)(2022·滨州模拟)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋2a n －2(n ≥3)，则下列结论正确的是( )A ．数列{a n ＋1＋a n }为等比数列B ．数列{a n ＋1－2a n }为等比数列C ．a n ＝2n ＋1＋－1n3D ．S 20＝23(410－1)答案 ABD解析 因为a n ＝a n －1＋2a n －2(n ≥3)， 所以a n ＋a n －1＝2a n －1＋2a n －2＝2(a n －1＋a n －2)， 又a 1＋a 2＝2≠0，所以{a n ＋a n ＋1}是等比数列，A 正确；同理a n －2a n －1＝a n －1＋2a n －2－2a n －1＝－a n －1＋2a n －2＝－(a n －1－2a n －2)，而a 2－2a 1＝－1， 所以{a n ＋1－2a n }是等比数列，B 正确； 若a n ＝2n ＋1＋－1n3，则a 2＝23＋－123＝3，但a 2＝1≠3，C 错误；由A 知{a n ＋a n －1}是等比数列，且公比为2，因此数列a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6，…仍然是等比数列，公比为4， 所以S 20＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 19＋a 20)＝21－4101－4＝23(410－1)，D 正确． 12．(多选)(2022·黄冈模拟)设等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项和为S n ，前n 项积为T n ，并且满足条件a 1>1，a 7·a 8>1，a 7－1a 8－1<0.则下列结论正确的是( ) A ．0<q <1B ．a 7·a 9>1C ．S n 的最大值为S 9D ．T n 的最大值为T 7答案 AD解析 ∵a 1>1，a 7·a 8>1，a 7－1a 8－1<0， ∴a 7>1,0<a 8<1， ∴0<q <1，故A 正确；a 7a 9＝a 28<1，故B 错误；∵a 1>1,0<q <1，∴数列为各项为正的递减数列， ∴S n 无最大值，故C 错误； 又a 7>1,0<a 8<1，∴T 7是数列{T n }中的最大项，故D 正确．13．(2022·衡阳八中模拟)设T n 为正项等比数列{a n }(公比q ≠1)前n 项的积，若T 2015＝T 2021，则log 3a 2019log 3a 2021＝________.答案 15解析 由题意得，T 2015＝T 2021＝T 2015·a 2016a 2017a 2018a 2019a 2020a 2021， 所以a 2016a 2017a 2018a 2019a 2020a 2021＝1， 根据等比数列的性质，可得a 2016a 2021＝a 2017a 2020＝a 2018a 2019＝1， 设等比数列的公比为q ，所以a 2016a 2021＝a 20212q 5＝1⇒a 2021＝52,qa 2018a 2019＝a 20192q＝1⇒a 2019＝12,q所以log 3a 2019log 3a 2021＝123523log 1.5log q q14.如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，……，如此继续下去得到一个树状图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有1023个正方形，且其最大的正方形的边长为22，则其最小正方形的边长为________．答案132解析 由题意，得正方形的边长构成以22为首项,22为公比的等比数列，现已知共含有1023个正方形，则有1＋2＋…＋2n －1＝1023，所以n ＝10，所以最小正方形的边长为⎝⎛⎭⎪⎫2210＝132.15．(多选)在数列{a n }中，n ∈N *，若a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n＝k (k 为常数)，则称{a n }为“等差比数列”，下列关于“等差比数列”的判断正确的是( ) A ．k 不可能为0B ．等差数列一定是“等差比数列”C ．等比数列一定是“等差比数列”D ．“等差比数列”中可以有无数项为0 答案 AD解析 对于A ，k 不可能为0，正确；对于B ，当a n ＝1时，{a n }为等差数列，但不是“等差比数列”，错误；对于C ，当等比数列的公比q ＝1时，a n ＋1－a n ＝0，分式无意义，所以{a n }不是“等差比数列”，错误；对于D ，数列0,1,0,1,0,1，…，0,1是“等差比数列”，且有无数项为0，正确． 16．已知等比数列{a n }的公比q >1，a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－8成等差数列，数列{a n b n }的前n 项和为2n －1·3n＋12.(1)分别求出数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，∀n ∈N *，S n ≤m 恒成立，求实数m 的最小值．解 (1)因为a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－8成等差数列， 所以2a 2＝a 1＋a 3－8，即2a 1q ＝a 1＋a 1q 2－8，所以q 2－2q －3＝0， 所以q ＝3或q ＝－1，又q >1，所以q ＝3， 所以a n ＝2·3n －1(n ∈N *)．因为a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝2n －1·3n＋12，所以a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n －1b n －1＝2n －3·3n －1＋12(n ≥2)，两式相减，得a n b n ＝2n ·3n －1(n ≥2)，因为a n ＝2·3n －1，所以b n ＝n (n ≥2)，当n ＝1时，由a 1b 1＝2及a 1＝2，得b 1＝1(符合上式)，所以b n ＝n (n ∈N *)．(2)因为数列{a n }是首项为2，公比为3的等比数列，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为12，公比为13的等比数列，所以S n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 1－13＝34⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n <34.因为∀n ∈N *，S n ≤m 恒成立， 所以m ≥34，即实数m 的最小值为34.。
【高考冲刺】2023年高考数学(理数) 等差数列与等比数列小题练(含答案解析)
【高考冲刺】2023年高考数学(理数) 等差数列与等比数列小题练（含答案解析）等差数列与等比数列是高中数学中非常重要的概念，也是考试中经常考察的内容。
掌握了等差数列和等比数列的性质和计算方法，可以帮助我们快速解决一些数学题目。
在高考冲刺阶段，我们要加强对等差数列与等比数列的掌握，让自己能够熟练灵活地应用这些知识，提高解题效率。
下面，我将结合一些常见的小题，通过题目的解答和思路分析，帮助大家更好地理解等差数列与等比数列的相关知识。
一、等差数列的基本概念及性质1. 基本概念：等差数列是指一个数列中任意两个相邻的数之差都相等的数列。
我们通常用字母a表示首项，字母d表示公差。
等差数列的通项公式为：an=a1+(n-1)d。
2. 性质：（1）公差d的求法：对于等差数列an，若已知前两项a1和a2，则公差可通过d=a2-a1求得。
（2）前n项和Sn的求法：等差数列的前n项和Sn可以通过以下公式求得：Sn=n/2(a1+an)。
二、等差数列的计算方法1. 求第n项：根据等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d，我们可以直接求得等差数列的第n项。
【例题1】已知等差数列的首项a1=3，公差d=5，请求其第7项。
解：根据等差数列的通项公式，我们可以直接计算出第7项：a7=a1+(7-1)d=3+6*5=33因此，等差数列的第7项为33。
2. 求前n项和：根据等差数列的前n项和公式Sn=n/2(a1+an)，我们可以求得等差数列的前n项和。
【例题2】已知等差数列的首项a1=2，公差d=3，请求其前5项和。
解：根据等差数列的前n项和公式，我们计算前5项和：S5=5/2(a1+a5)=5/2(2+2+4*3)=5/2(2+14)=5/2*16=40因此，等差数列的前5项和为40。
三、等差数列与等差数列的应用1. 题型1：已知等差数列的前n项和Sn和公差d，求首项a1和末项an。
【例题3】已知等差数列的前6项和S6=78，公差d=4，请求该等差数列的首项a1和末项a6。
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2023高考数学复习专项训练《等比数列》一、单选题（本大题共12小题，共60分）1.（5分）等比数列{a n}满足a1+a2+a3=13,a2+a3+a4=133，则a5=()A. 1B. 13C. 427D. 192.（5分）给出以下命题：①存在两个不等实数α，β，使得等式sin(α+β)=sinα+sinβ成立；②若数列{a n}是等差数列，且a m+a n=a s+a t(m、n、s、t∈N∗)，则m+n=s+t；③若S n是等比数列{a n}的前n项和，则S6，S12−S6，S18−S12成等比数列；④若S n是等比数列{a n}的前n项和，且S n=Aq n+B；(其中A、B是非零常数，n∈N∗)，则A+B为零；⑤已知ΔABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2+b2>c2，则ΔABC一定是锐角三角形．其中正确的命题的个数是()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个3.（5分）设T n为等比数列{a n}的前n项之积，且a1=−6，a4=−34，则当T n最大时，n的值为()A. 4B. 6C. 8D. 104.（5分）等比数列{a n}，满足a1+a2+a3+a4+a5=3，a12+a22+a32+a42+a52= 15，则a1−a2+a3−a4+a5的值是()A. 3B. √5C. −√5D. 55.（5分）已知在等比数列{a n}中，公比q是整数，a1+a4=18，a2+a3=12，则此数列的前8项和为()A. 514B. 513C. 512D. 5106.（5分）已知正项数列{a n}，{b n}分别为等差、等比数列，公差、公比分别为d，q(d,q∈N∗)，且d=q，a1+b1=1，a3+b3=3.若a n+b n=2013(n>3)，则n= ()A. 2013B. 2012C. 100D. 997.（5分）若a，b，c成等比数列，则关于x的方程a x2+bx+c=0( )A. 必有两个不等实根B. 必有两个相等实根C. 必无实根D. 以上三种情况均有可能8.（5分）公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，且a3a11=16，则log2a10=()9.（5分）记Sn为等比数列{a n}的前n项和，已知S2=2，S3=−6.则{a n}的通项公式为()A. a n=(−2)nB. a n=−2nC. a n=(−3)nD. a n=−3n10.（5分）正项等比数列{a n}中，a3=2，a4.a6=64，则a5+a6a1+a2的值是()A. 4B. 8C. 16D. 6411.（5分）在等比数列{a n}中，a7，a11是方程x2+5x+2=0的二根，则a3.a9.a15a5.a13的值为()A. −2+√22B. −√2C. √2D. −√2或√212.（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，9S3=S6=63，则S10=A. 255B. 511C.1023 D. 2047二、填空题（本大题共5小题，共25分）13.（5分）已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a3+a9=a10−a8.若a n=0，则n=__________14.（5分）若等比数列{an}的前n项和Sn满足：an+1=a1Sn+1（n∈N*），则a1=____．15.（5分）在等比数列{an}中，已知前n项和Sn=5n+1+a，则a的值为____________．16.（5分）若等比数列{a n}的首项为23，且a4=∫41(1+2x)dx，则公比q等于______．17.（5分）如图所示，将正整数排成三角形数阵，每排的数称为一个群，从上到下顺次为第1群，第2群，……，第n群，……，第n群恰好有n个数，则第n群中n个数的和是____________.123465812107162420149324840281811…三、解答题（本大题共6小题，共72分）18.（12分）已知{x n}是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3−x2=2.(1)求数列{x n}的通项公式；(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1,1)，P2(x2,2)，…，P n+1(x n+1,n+1)得到折线P1P2…P n+1，求由该折线与直线y=0，x=x1，x=x n+1所围成的区域的面积T n.19.（12分）如果等比数列{a n}中公比q>1，那么{a n}一定是递增数列吗?为什么?20.（12分）数列{a n}满足a1=1，a n=2a n−1-3n+6（n≥2，n∈N+）．（1）设b n=a n-3n，求证：数列{b n}是等比数列；（2）求数列{a n}的通项公式．21.（12分）设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，满足4S n=a n+12−4n−1，n∈N∗，且a2，a5，a14构成等比数列．(1)证明：a2=√4a1+5；(2)求数列{a n}的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有1a1a2+1a2a3+…+1a n a n+1<12.22.（12分）已知数列{a n}是等差数列，其首项为2，且公差为2，若b n=2a n(n∈N∗).(Ⅰ)求证：数列{b n}是等比数列；(Ⅱ)设c n=a n+b n，求数列{c n right}的前n项和A n．23.（12分）已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=1，a2+a4=10，b2b4=a5．(Ⅰ)求{a n}的通项公式；(Ⅱ)求和：b1+b3+b5+⋯+b2n−1．四、多选题（本大题共5小题，共25分）24.（5分）已知等差数列{a n}的公差和首项都不等于0，且a2，a4，a8成等比数列，则下列说法正确的是()A. a1+a5+a9a2+a3的值为3 B. a1+a5+a9a2+a3的值为2C. 数列{a n}的公差和首项相等D. 数列{a n}的公差和首项不相等25.（5分）设数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，则下列命题正确的是()A. 若a n+1-a n=2(n∈N∗)，则数列{a n}为等差数列B. 若b n+1=2b n(n∈N∗)，则数列{b n}为等比数列C. 若数列{a n}是等差数列，则S n，S2n-S n，S3n-S2n⋯⋯(n∈N∗)成等差数列D. 若数列{b n}是等比数列，则T n，T2n-T n，T3n-T2n⋯⋯(n∈N∗)成等比数列26.（5分）在公比q为整数的等比数列{a n}中，S n是数列{a n}的前n项，若a1+a4= 18，a2+a3=12，则下列说法正确的是()A. q=2B. 数列{S n+2}是等比数列C. S8=510D. 数列\left{ lg a n}是公差为2的等差数列27.（5分）已知等差数列{a n}的首项为1，公差d=4，前n项和为S n，则下列结论成立的有()A. 数列{S nn}的前10项和为100B. 若a1，a3，a m成等比数列，则m=21C. 若∑n i=11a i a i+1>625，则n的最小值为6D. 若a m+a n=a2+a10，则1m +16n的最小值为251228.（5分）已知数列{a n}为等差数列，{b n}为等比数列，{a n}的前n项和为S n，若a1+ a6+a11=3π，b1b5b9=8，则()A. S11=11πB. sin a2+a10b4b6=12C. a3+a7+a8=3πD. b3+b7⩾4答案和解析1.【答案】D;【解析】解：设等比数列{a n }的公比为q ，由a 2+a 3+a 4=(a 1+a 2+a 3)q ，得133=13q ，解得q =13， 又a 1+a 2+a 3=a 1+13a 1+19a 1=139a 1=13，解得a 1=9，所以a 5=a 1q 4=9×(13)4=19， 故选：D.设等比数列{a n }的公比为q ，通过a 2+a 3+a 4=(a 1+a 2+a 3)q 可求出q 值，进一步根据a 1+a 2+a 3=a 1+a 1q +a 1q 2=13可求出a 1，最后利用a 5=a 1q 4进行求解即可． 此题主要考查等比数列的通项公式，考查学生逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．2.【答案】B; 【解析】该题考查命题真假的判断，考查学生灵活运用等差、等比数列的性质，三角函数以及三角形的判断，是一道综合题，属于中档题．利用特殊值判断①的正误；利用特殊数列即可推出命题②的正误；根据等比数列的性质，判断③的正误；根据等比数列的前n 项的和推出A ，B 判断④的正误．利用特殊三角形判断⑤的正误；解：对于①，实数α=0，β≠0，则sin (α+β)=sinβ，sinα+sinβ=sinβ，所以等式成立；故①正确；对于②，当公差d =0时，命题显然不正确，例如a 1+a 2=a 3+a 4，1+2≠3+4，故②不正确；对于③，设a n =(−1)n ，则S 6=0，S 12−S 6=0，S 18−S 12=0，∴此数列不是等比数列，故③不正确；对于④，S n 是等比数列{a n }的前n 项和，且S n =Aq n +B ；(其中A 、B 是非零常数，n ∈N ∗)，所以此数列为首项是a 1，公比为q ≠1的等比数列， 则S n =a 1(1−q n )1−q ，所以A =−a11−q ，B =a11−q ，∴A +B =0，故④正确；对于⑤，如果三角形是直角三角形，a =5，b =3，c =4，满足a 2+b 2>c 2，故⑤不正确；故选：B ．3.【答案】A;【解析】解：因为等比数列{a n }中，a 1=−6，a 4=−34，则由a 4=a 1q 3可得q =12． ∵T n 为等比数列{a n }的前n 项之积，∴T n =(−6)n .(12)n(n−1)2，因为求最大值，故只需考虑n 为偶数的情况， ∵T 2n +2T 2n =36×(12)4n +1，由T 2n +2T 2n⩾1可得n =1，∴T 2<T 4>T 6>T 8>⋯．则公比q =12，当T n 最大时，n 的值为4．故选：A ．由已知可得q =12.只需考虑n 为偶数的情况，由T 2n +2T 2n⩾1可得n =1，即可求解．该题考查了等比数列的通项公式及其前n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.【答案】D;【解析】解：设数列{a n }的公比为q ，且q ≠1，则 a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=a 1(1−q 5)1−q =3①， a 12+a 22+a 32+a 42+a 52=a 12(1−q 10)1−q 2=15②∴②÷①得a 12(1−q 10)1−q 2÷a 1(1−q 5)1−q=a 1(1+q 5)1+q=5，∴a 1−a 2+a 3−a 4+a 5=a 1(1+q 5)1+q=5.故选：D.先设等比数列{a n }公比为q ，分别用a 1和q 表示出a 12+a 22+a 32+a 42+a 52，a 1+a 2+a 3+a 4+a 5和a 1−a 2+a 3−a 4+a 5，发现a 12+a 22+a 32+a 42+a 52除以a 1+a 2+a 3+a 4+a 5正好与a 1−a 2+a 3−a 4+a 5相等，进而得到答案．此题主要考查了等比数列的性质．属基础题．解题时要认真审题，注意等比数列的性质的灵活运用．5.【答案】D;【解析】由已知得{a 1+a 1q 3=18a 1q +a 1q 2=12，解得：q =2或q =12.∵q 为整数，∴q =2.∴a 1=2.∴S 8=2(1−28)1−2=29−2=510.6.【答案】A;【解析】此题主要考查等差数列和等比数列的通项公式和性质的应用.计算时要认真仔细.解：∵{_1+b1=1a3+b3=3，∴{_1+b1=1a1+2d+b1q2=3，∵d=q，所以{_1+b1=1a1+2q+b1q2=3，解得d=q=1，∴a n+b n=a1+(n−1)d+b1q n−1=a1+n−1+b1=2013，∴n=2013.故选A.7.【答案】C;【解析】若a，b，c成等比数列，则b²=ac由题意得△=b²-4ac=b²-4b²=-3b²等比数列中没有为0的项，∴-3b²<0∴△小于0，即方程a x2+bx+c=0必无实根故选C。