202新数学复习第八章平面解析几何8.2直线的交点与距离公式学案含解析
【优化探究】(教师用书)高考数学总复习 8-2直线的交点坐标与距离公式课件 理 新人教B版
[解析] (1)∵l1：4x－2y＋2a＝0(a>0)， l2：4x－2y－1＝0， |2a＋1| ∴两条平行线 l1 与 l2 间的距离为 d＝ ， 2 5 |2a＋1| 7 5 由已知，可得 ＝ 10 . 2 5 又 a>0，解得 a＝3.
(2)设点 P 的坐标为(x，y)，由条件①，可知 x>0，y>0.由条件②和③， 可得
|2x－y＋3|＝|4x－2y－1|， 5 4 5 |2x－y＋3| |x＋y－1| 5· ＝ 2· . 5 2
4|2x－y＋3|＝|4x－2y－1|， 化简得 |2x－y＋3|＝|x＋y－1|，
于是可得，4|x＋y－1|＝|4x－2y－1|， 也就是 4(x＋y－1)＝4x－2y－1， 或 4(x＋y－1)＝－4x＋2y＋1， 1 解得 y＝2，或 8x＋2y－5＝0.
考向二 距离问题 [例 2] 已知三条直线 l1：2x－y＋a＝0(a>0)，l2：－4x－2y＋1＝0； 7 5 l3：x＋y－1＝0，且 l1 与 l2 的距离是 10 . (1)求 a 的值； (2)能否找到一点 P，使得 P 点同时满足下列三个条件： 1 ①点 P 在第一象限；②点 P 到 l1 的距离是点 P 到 l2 的距离的2；③ 点 P 到 l1 的距离与点 P 到 l3 的距离之比是 2∶ 5.若能， 求点 P 的坐标； 若不能，说明理由．
(3)是否存在过P点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程； 若不存在，请说明理由．
解析：(1)过 P 点的直线 l 与原点距离为 2，而 P 点坐标为(2，－1)， 可见，过 P(2，－1)且垂直于 x 轴的直线满足条件． 此时 l 的斜率不存在，其方程为 x＝2. 若斜率存在，设 l 的方程为 y＋1＝k(x－2)， 即 kx－y－2k－1＝0.
2025年高考数学一轮复习课件第八章平面解析几何-8.2直线的交点坐标与距离公式
)
A.若1 ⊥ 2 ，则 = −2
√
B.若1 ⊥ 2 ，则 = 2
D.若1 //2 ，则 = 2
√
C.若1 //2 ，则 = −2
解：由题意，若1 ⊥ 2 ，则1 2 =
2
= −1，解得 = −2；若1 //2 ，则1 = 2 ，所
以Δ = 16 − 8 = 0，解得 = 2.故选AD.
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（2）设，，分别是△ 中内角，，所对边的边长，则直线
sin + + = 0与 − sin + sin = 0的位置关系是(
A.平行
解：由正弦定理
B.重合
sin
=
，得sin
（1）平行：对于两条不重合的直线1 ，2 ，其斜率分别为1 ，2 ，有1 //2 ⇔
1 = 2
1 //2
________，特别地，当直线
1 ，2 的斜率都不存在时，1 与2 的关系为_______.
（2）垂直：如果两条直线1 ，2 的斜率都存在，且分别为1 ，2 ，则有1 ⊥ 2 ⇔
第八章 平面解析几何
8.2 直线的交点坐标与距离公式
课程标准
必备知识
自主评价
核心考点
课时作业
1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.
2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.
3.探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直
线间的距离.
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【教材梳理】
1.两条直线的位置关系
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变式2（1） 经过两条直线 + − 3 = 0和 − 2 + 3 = 0的交点，且与直线
2020高考数学总复习第八章解析几何8.2两直线的位置关系课件理新人教A版
解析：方法一 当 a＝1 时，l1：x＋2y＋6＝0， l2：x＝0，l1 不平行于 l2； 当 a＝0 时，l1：y＝－3， l2：x－y－1＝0，l1 不平行于 l2； 当 a≠1 且 a≠0 时，两直线可化为 l1：y＝－a2x－3，
l2：y＝1－1 ax－(a＋1)，
已知两直线一般方程的两直线位置关系的表示
提醒：当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存 在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注 意 x，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．
(1)已知三条直线 2x－3y＋1＝0,4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0 不能
构成三角形，则实数 m 的取值集合为( D )
①若直线与对称轴平行，则在直
2.轴对称问题的两种类型及求解方法
若两点 P1(x1，y1)与 P2(x2，y2)关于 直线 l：Ax＋By＋C＝0 对称，由
点关 方程组
于直 线对 称
Ax1＋2 x2＋By1＋2 y2＋C＝0， yx22－－yx11·－BA＝－1，
可得到点 P1 关于 l 对称的点 P2 的 坐标(x2，y2)(其中 B≠0，x1≠x2)
法二 设 P(x，y)为 l′上任意一点， 则 P(x，y)关于点 A(－1，－2)的对称点为 P′(－2－x，－4 －y)， ∵P′在直线 l 上， ∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0， 即 2x－3y－9＝0.
角度 4 线关于线的对称
直线 l1：2x＋y－4＝0 关于直线 l：x－y＋2＝0 对称的直线
(1)若动点 A，B 分别在直线 l1：x＋y－7＝0 和 l2：x＋y－5＝0 上移
动，则 AB 的中点 M 到原点的距离的最小值为( A )
直线的交点坐标与距离公式教案
直线的交点坐标与距离公式教案教案标题：直线的交点坐标与距离公式教案教学目标：1. 理解直线的交点坐标的计算方法2. 掌握直线之间的距离公式3. 能够应用所学知识解决实际问题教学重点：1. 直线的交点坐标的计算2. 直线之间的距离公式的应用教学难点：1. 多个直线的交点坐标的计算2. 距离公式在实际问题中的运用教学准备：1. 教学投影仪2. 教学PPT3. 相关教学案例和练习题教学过程：1. 引入：通过一个生活中的实际问题引入直线的交点坐标和距离公式的概念，激发学生的学习兴趣。
2. 讲解：首先介绍直线的交点坐标的计算方法，包括两条直线的交点坐标和多条直线的交点坐标的计算方法。
然后讲解直线之间的距离公式，包括点到直线的距离和直线之间的距离的计算方法。
3. 示例分析：通过几个实际案例，演示直线的交点坐标和距离公式的应用方法，引导学生理解和掌握相关知识。
4. 练习：让学生进行相关练习，巩固所学知识，提高解决问题的能力。
5. 拓展：引导学生应用所学知识解决更复杂的实际问题，拓展他们的思维和应用能力。
6. 总结：对本节课所学内容进行总结，并强调学生在日常生活中的应用价值。
教学反馈：1. 针对学生在练习和课堂表现中存在的问题，进行及时的指导和反馈。
2. 鼓励学生在实际生活中应用所学知识，并分享应用案例。
教学评价：1. 通过课堂练习和作业考察学生对直线的交点坐标和距离公式的掌握程度。
2. 观察学生在解决实际问题时的应用能力和思维拓展情况。
教学延伸：1. 鼓励学生进行更多的实际应用探究，拓展知识的应用范围。
2. 引导学生深入了解相关数学理论，拓展数学知识面。
2020版高考数学一轮复习第8章平面解析几何第2节两条直线的位置关系教学案含解析理20190627347
直线 l 1： A1x ＋ B1y ＋ C1 ＝ 0， l 2 ： A2x＋ B2y＋ C2＝ 0 ，则 l 1 与 l 2 的交点坐标就是方程组
A1x＋ B1y＋ C1＝ 0， A2x＋ B2y＋ C2＝ 0
的解．
3．三种距离公式
P1( x1， y1) ， P2( x2， y2) 两点之间的距离
| P1P2| ＝
2
3．直线 2x＋ ( m＋1) y＋ 4＝0 与直线 mx＋ 3y－2＝ 0 平行，则 m等于 ( )
A． 2
B
．－ 3
C．2 或－ 3
D．－ 2 或－ 3
2 m＋ 1 4
C
[ 直线 2x＋( m＋ 1) y＋4＝ 0 与直线 mx＋ 3y－ 2＝0 平行，则有 m＝
3
≠－
，故 2
m＝2
或－ 3. 故选 C.] 4．已知直线 l 1 ：ax＋ (3 －a) y＋ 1＝ 0，l 2：x－ 2y＝ 0. 若 l 1⊥l 2，则实数 a 的值为 ________． 2 [ 由题意知 a·1－ 2(3 － a) ＝ 0，解得 a＝ 2.] 5．直线 2x＋ 2y＋1＝ 0， x＋ y＋ 2＝0 之间的距离是 ________．
()
[ 答案 ] (1) × (2) × (3) × (4) √
2． ( 教材改编 ) 已知点 ( a, 2)( a>0) 到直线 l ： x－ y＋3＝ 0 的距离为 1，则 a 的值为 ( )
A. 2
B．2－ 2
C. 2－1
D. 2＋ 1
| a－ 2＋ 3|
C [ 由题意知
＝ 1，∴｜a＋ 1| ＝ 2 ，又 a>0，∴ a＝ 2－ 1.]
A．充分不必要条件
人教版高中总复习一轮数学精品课件 第8章 解析几何 8.2 直线的交点坐标与距离公式
因为 A(-2,-4),B(1,5)两点到直线 l:ax+y+1=0 的距离相等,
|-2-4+1|
所以
2 +1
=
|+5+1|
2 +1
,即|2a+3|=|a+6|,解得 a=3 或 a=-3.
4.点(1,2)关于直线x+y-2=0的对称点的坐标是( B )
A.(1,0)
B.(0,1)
C.(0,-1)
1
为y-1=-4x ,即x+4y-4=0.
命题角度2 点关于直线对称
例3 如图,已知点A(4,0),B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后射
到直线OB上,再经直线OB反射后又回到点P,则光线所经过的路程是( C )
A.3 3
C.2 10
B.6
D.2 5
由已知得直线AB的方程为x+y=4.如图,
D.(2,1)
设点(1,2)关于直线 x+y-2=0 的对称点的坐标是(a,b),
则有
-2
= 1,
-1
+1
+2
+
-2
2
2
= 0,
解得
= 1.
= 0,
故点(1,2)关于直线 x+y-2=0 的对称点的坐标是(0,1).
5.直线2x+2y+1=0与x+y+2=0之间的距离是
2x+2y+1=0 可化为
对称点,则点Q在直线y=-4x+1上.所以y0=-4x0+1,
且
+0
2
+0
8.2 两直线的位置关系课件-2023届广东省高职高考数学第一轮复习第八章平面解析几何
解方程组xx－ ＋yy＋ ＋11＝ ＝00，得xy＝＝0－1，即交点为(－1，0)
设与 2x－y＋3＝0 垂直的直线为 x＋2y＋C＝0，
把(－1，0)代入 x＋2y＋C＝0 得 C＝1，故所求直线方程为 x＋2y＋1
＝0. 【答案】 x＋2y＋1＝0.
【融会贯通】 (1)直线 l1 与直线 x＋3y＋3＝0 垂直， 直线 l1 的斜率 k1＝___3___． (2) 经 过 点 A(2 ， 1) 且 与 直 线 x ＋ 2y － 3 ＝ 0 垂 直 的 直 线 方 程 为 __2_x_－__y_－__3_＝__0__．
【融会贯通】 已知点 A(5，2)，B(4，3)，则线段 AB 的垂直平分线 的方程为___x_－__y_－__2_＝__0____． 【解析】 已知 A(5，2)，B(4，3)，则 AB 的中点坐标为5＋2 4，2＋2 3， 即92，52，AB 的斜率 kAB＝34－ －25＝－1，线段 AB 的垂直平分线的斜率
知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 知识点5
4．两平行线间的距离公式 两平行直线 Ax＋By＋C1＝0 和 Ax＋By＋C2＝0，它们之间的距离 为 d，则 d＝ |CA1－2＋CB2|2.
知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 知识点5
5．“曲线关于点或线对称”的几种特殊位置的对称 已知曲线f(x，y)＝0，则它： (1)关于x轴对称的曲线是f(x，－y)＝0； (2)关于y轴对称的曲线是f(－x，y)＝0； (3)关于原点对称的曲线是f(－x，－y)＝0； (4)关于直线y＝x对称的曲线是f(y，x)＝0.
2 5，解得 a＝－3 或 7，又∵点 P 位于第二象限，∴a＜0，∴a＝－3，
山东2021新高考数学一轮复习第八章平面解析几何8.2直线的交点与距离公式学案含解析.doc
第二节直线的交点与距离公式课标要求考情分析1.能根据直线的方程判断两条直线的位置关系．2．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．3．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离．1.高考对本节内容的考查主要涉及两点间的距离和点到直线的距离．2．常与圆、椭圆、双曲线、抛物线交汇考查，有时也会命制新定义题目．3．题型以选择题、填空题为主，属于中低档题.知识点一两条直线平行与垂直的判定知识点二两条直线的交点知识点三三种距离点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件(1)求点到直线的距离时，应先将直线方程化为一般式．(2)求两平行线之间的距离时，应先将直线方程化为一般式且x，y的系数对应相等．1．思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)若两条直线的方程组成的方程组有解，则两条直线相交．( × ) (2)点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k 2.( × )(3)直线外一点与直线上任一点的距离的最小值就是点到直线的距离．( √ ) (4)两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离，也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离．( √ )(5)若点A ，B 关于直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0)对称，则直线AB 的斜率等于－1k ，且线段AB的中点在直线l 上．( √ )解析：(1)当方程组有唯一解时两条直线相交，若方程组有无穷多个解，则两条直线重合． (2)应用点到直线的距离公式时必须将直线方程化为一般式，即点P 到直线的距离为|kx 0－y 0＋b |1＋k 2.(3)因为最小值就是由该点向直线所作的垂线段的长，即点到直线的距离．(4)两平行线间的距离是夹在两平行线间的公垂线段的长，即两条直线上各取一点的最短距离．(5)根据对称性可知直线AB 与直线l 垂直且直线l 平分线段AB ，所以直线AB 的斜率等于－1k，且线段AB 的中点在直线l 上．2．小题热身(1)已知直线(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，那么k 的值为( C ) A ．1或3 B ．1或5 C ．3或5D ．1或2 (2)直线ax ＋2y －1＝0与直线2x －3y －1＝0垂直，则a 的值为( D ) A ．－3 B ．－43C ．2D ．3(3)直线2x －y ＝－10，y ＝x ＋1，y ＝ax －2交于一点，则a 的值为23.(4)点(a ，b )关于直线x ＋y ＋1＝0的对称点是(－b －1，－a －1)． (5)直线2x ＋2y ＋1＝0，x ＋y ＋2＝0之间的距离是324.解析：(1)法1：把k ＝1代入已知两条直线，得－2x ＋3y ＋1＝0与－4x －2y ＋3＝0，此时两条直线的斜率不相等，所以两条直线不平行，所以k ≠1，排除A ，B ，D .法2：因已知两条直线平行，所以k ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧k ≠3，k －32(k －3)＝4－k －2≠13，解得k ＝3或k ＝5. (2)由2a ＋2×(－3)＝0，得a ＝3.(3)由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＝－10，y ＝x ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－9，y ＝－8，代入y ＝ax －2得a ＝23.(4)设对称点的坐标为(x 0，y 0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧y 0－b x 0－a ＝1，a ＋x 02＋b ＋y 02＋1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y 0－b ＝x 0－a ，x 0＋y 0＋a ＋b ＋2＝0， 解之得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－b －1，y 0＝－a －1.即对称点坐标为(－b －1，－a －1)．(5)先将2x ＋2y ＋1＝0化为x ＋y ＋12＝0，则两平行线间的距离为d ＝|2－12|2＝324.考点一 两条直线的平行与垂直问题【例1】 (1)已知两条直线l 1：(a －1)x ＋2y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋3＝0平行，则a 等于( ) A ．－1 B ．2 C ．0或－2D ．－1或2(2)已知两直线方程分别为l 1：x ＋y ＝1，l 2：ax ＋2y ＝0，若l 1⊥l 2，则a ＝________. 【解析】 (1)若a ＝0，两直线方程分别为－x ＋2y ＋1＝0和x ＝－3，此时两直线相交，不平行，所以a ≠0；当a ≠0时，两直线平行，则有a －11＝2a ≠13，解得a ＝－1或2.(2)因为l 1⊥l 2，所以k 1k 2＝－1.即(－1)·⎝⎛⎭⎫－a 2＝－1，解得a ＝－2. 【答案】 (1)D (2)－2 方法技巧(1)当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件.(2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.1．若直线l 1：(a －1)x ＋y －1＝0和直线l 2：3x ＋ay ＋2＝0垂直，则实数a 的值为( D ) A.12 B.32 C.14D.34解析：由已知得3(a －1)＋a ＝0，解得a ＝34.2．已知a ，b 为正数，且直线ax ＋by －6＝0与直线2x ＋(b －3)y ＋5＝0平行，则2a ＋3b 的最小值为25.解析：由两直线平行可得，a (b －3)＝2b ，即2b ＋3a ＝ab ，2a ＋3b＝1.又a ，b 为正数，所以2a ＋3b ＝(2a ＋3b )·⎝⎛⎭⎫2a ＋3b ＝13＋6a b ＋6b a≥13＋26a b ·6ba＝25，当且仅当a ＝b ＝5时取等号，故2a ＋3b 的最小值为25.考点二 两直线的交点与距离问题【例2】 (1)求经过直线l 1：3x ＋2y －1＝0和l 2：5x ＋2y ＋1＝0的交点，且垂直于直线l 3：3x －5y ＋6＝0的直线l 的方程为________．(2)已知点P (4，a )到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是________． (3)若两平行直线3x －2y －1＝0,6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则c 的值是________．【解析】 (1)先解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －1＝0，5x ＋2y ＋1＝0，得l 1，l 2的交点坐标为(－1,2)， 再由l 3的斜率35求出l 的斜率为－53，于是由直线的点斜式方程求出l ： y －2＝－53(x ＋1)，即5x ＋3y －1＝0.(2)由题意得，点P 到直线的距离为 |4×4－3×a －1|5＝|15－3a |5.又|15－3a |5≤3，即|15－3a |≤15，解之得0≤a ≤10，所以a 的取值范围是[0,10]．(3)依题意知，63＝a －2≠c－1，解得a ＝－4，c ≠－2，即直线6x ＋ay ＋c ＝0可化为3x －2y ＋c2＝0，又两平行线之间距离为21313，所以⎪⎪⎪⎪c 2＋132＋(－2)2＝21313，解得c ＝2或－6. 【答案】 (1)5x ＋3y －1＝0 (2)[0,10] (3)2或－6 方法技巧1.求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．2．利用距离公式应注意：(1)点P (x 0，y 0)到直线x ＝a 的距离d ＝|x 0－a |，到直线y ＝b 的距离d ＝|y 0－b |；(2)应用两平行线间的距离公式要把两直线方程中x ，y 的系数分别化为相等．1．若直线l 与两直线y ＝1，x －y －7＝0分别交于M ，N 两点，且MN 的中点是P (1，－1)，则直线l 的斜率是( A )A ．－23B.23 C ．－32D.32解析：由题意，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)－1，分别与y ＝1，x －y －7＝0联立解得M ⎝⎛⎭⎫2k ＋1，1，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫k －6k －1，－6k ＋1k －1.又因为MN 的中点是P (1，－1)，所以由中点坐标公式得k ＝－23.2．若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|P Q|的最小值为( C )A.95B.185C.2910D.295解析：因为36＝48≠－125，所以两直线平行，将直线3x ＋4y －12＝0化为6x ＋8y －24＝0，由题意可知|P Q|的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－24－5|62＋82＝2910，所以|P Q|的最小值为2910. 3．(2019·江苏卷)在平面直角坐标系x O y 中，P 是曲线y ＝x ＋4x (x >0)上的一个动点，则点P 到直线x ＋y ＝0的距离的最小值是4.解析：解法1：设P (x ，x ＋4x )，x >0，则点P 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝|x ＋x ＋4x |2＝2x ＋4x 2≥22x ·4x 2＝4，当且仅当2x ＝4x ，即x ＝2时取等号，故点P 到直线x ＋y ＝0的距离的最小值是4.解法2：由y ＝x ＋4x (x >0)得y ′＝1－4x 2，令1－4x 2＝－1，得x ＝2，则当点P 的坐标为(2，32)时，点P 到直线x ＋y ＝0的距离最小，最小值为|2＋32|2＝4. 考点三 对称问题命题方向1 点关于点对称【例3】 (1)点M (m ，－1)关于点N (－2，n )的对称点为P (4，－5)，则( ) A ．m ＝－3，n ＝8 B ．m ＝3，n ＝－8 C ．m ＝－3，n ＝－8D ．m ＝－8，n ＝－3(2)直线x －2y －3＝0关于定点M(－2,1)对称的直线方程是____________． 【解析】 (1)因为点M ，P 关于点N 对称，所以由中点坐标公式可知－2＝4＋m2，即m ＝－8，n ＝－1－52＝－3，故选D .(2)方法1：设对称的直线上的一点的坐标为(x ，y )， 则其关于点M(－2,1)对称的点的坐标为(－4－x ,2－y )． ∵(－4－x ,2－y )在直线x －2y －3＝0上， ∴(－4－x )－2(2－y )－3＝0，即x －2y ＋11＝0.方法2：根据对称性知对称直线与已知直线平行，因此可设对称直线的方程为x －2y ＋λ＝0(λ≠－3)，则点M 到两条直线的距离相等，即|－2－2×1＋λ|12＋(－2)2＝|－2－2×1－3|12＋(－2)2，解得λ＝11，所以所求的直线方程为x －2y ＋11＝0. 【答案】 (1)D (2)x －2y ＋11＝0 命题方向2 点关于线对称【例4】 如图，已知A (4,0)，B (0,4)，从点P (2,0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线O B 上，最后经直线O B 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是( )A ．3 3B ．6C ．210D ．2 5【解析】 直线AB 的方程为x ＋y ＝4，点P (2,0)关于直线AB 的对称点为D (4,2)，关于y 轴的对称点为C(－2,0)，则光线经过的路程为|C D |＝62＋22＝210.【答案】 C命题方向3 直线关于直线对称【例5】 直线2x －y ＋3＝0关于直线x －y ＋2＝0对称的直线方程是________． 【解析】 设所求直线上任意一点P (x ，y )， 则P 关于x －y ＋2＝0的对称点为P ′(x 0，y 0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x 02－y ＋y 02＋2＝0，x －x 0＝－(y －y 0)，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y －2，y 0＝x ＋2， 由点P ′(x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上， ∴2(y －2)－(x ＋2)＋3＝0， 即x －2y ＋3＝0. 【答案】 x －2y ＋3＝0 方法技巧1．(方向2)将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m ，n )重合，则m ＋n 等于( A )A.345B.365C.283D.323解析：由已知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y ＝2x －3，它也是点(7,3)与点(m ，n )连线的中垂线，于是⎩⎪⎨⎪⎧3＋n 2＝2×7＋m2－3，n －3m －7＝－12，解得⎩⎨⎧m ＝35，n ＝315，所以m ＋n ＝345.2．(方向2)已知入射光线经过点M(－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为6x －y －6＝0.解析：设点M(－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －(－3)＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N(2,6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x－y －6＝0.3．(方向1)过点P (0,1)作直线l ，使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.解析：设l 1与l 的交点为A (a ,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a ,2a －6)在l 2上，代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上，所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.。
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第二节直线的交点与距离公式课标要求考情分析1.能根据直线的方程判断两条直线的位置关系．2．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．3．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离．1。
高考对本节内容的考查主要涉及两点间的距离和点到直线的距离．2．常与圆、椭圆、双曲线、抛物线交汇考查，有时也会命制新定义题目．3．题型以选择题、填空题为主，属于中低档题.知识点一两条直线平行与垂直的判定知识点二两条直线的交点知识点三三种距离点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件（1)求点到直线的距离时，应先将直线方程化为一般式．（2)求两平行线之间的距离时，应先将直线方程化为一般式且x，y的系数对应相等．1．思考辨析判断下列结论正误（在括号内打“√"或“×”)(1）若两条直线的方程组成的方程组有解，则两条直线相交．(×)（2）点P（x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为错误!。
（×）(3）直线外一点与直线上任一点的距离的最小值就是点到直线的距离．(√）(4)两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离，也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离．(√）（5）若点A，B关于直线l：y＝kx＋b（k≠0)对称，则直线AB的斜率等于－错误!，且线段AB的中点在直线l上．(√)解析：（1）当方程组有唯一解时两条直线相交,若方程组有无穷多个解,则两条直线重合．（2）应用点到直线的距离公式时必须将直线方程化为一般式，即点P到直线的距离为错误!.(3）因为最小值就是由该点向直线所作的垂线段的长，即点到直线的距离．（4）两平行线间的距离是夹在两平行线间的公垂线段的长,即两条直线上各取一点的最短距离．（5）根据对称性可知直线AB与直线l垂直且直线l平分线段AB，所以直线AB的斜率等于－错误!，且线段AB的中点在直线l上．2．小题热身(1）已知直线（k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与2（k－3)x－2y＋3＝0平行，那么k的值为(C)A．1或3 B．1或5C．3或5 D．1或2（2）直线ax＋2y－1＝0与直线2x－3y－1＝0垂直,则a的值为（D)A．－3 B．－错误!C．2 D．3(3）直线2x－y＝－10，y＝x＋1，y＝ax－2交于一点，则a 的值为错误!。
(4)点（a,b)关于直线x＋y＋1＝0的对称点是(－b－1，－a－1）．(5）直线2x＋2y＋1＝0，x＋y＋2＝0之间的距离是错误!。
解析：(1)法1：把k＝1代入已知两条直线，得－2x＋3y＋1＝0与－4x－2y＋3＝0，此时两条直线的斜率不相等,所以两条直线不平行，所以k≠1，排除A，B，D.法2：因已知两条直线平行，所以k＝3或错误!解得k＝3或k＝5。
（2)由2a＋2×(－3）＝0，得a＝3.(3）由错误!得错误!代入y＝ax－2得a＝错误!.（4)设对称点的坐标为(x0，y0)，则错误!即错误!解之得错误!即对称点坐标为（－b－1，－a－1）．（5）先将2x＋2y＋1＝0化为x＋y＋错误!＝0，则两平行线间的距离为d＝错误!＝错误!.考点一两条直线的平行与垂直问题【例1】(1)已知两条直线l1：(a－1）x＋2y＋1＝0，l2：x ＋ay＋3＝0平行，则a等于（)A．－1 B．2C．0或－2 D．－1或2（2）已知两直线方程分别为l1：x＋y＝1，l2：ax＋2y＝0，若l1⊥l2，则a＝________。
【解析】(1）若a＝0，两直线方程分别为－x＋2y＋1＝0和x＝－3，此时两直线相交，不平行，所以a≠0；当a≠0时，两直线平行，则有错误!＝错误!≠错误!，解得a＝－1或2。
(2）因为l1⊥l2,所以k1k2＝－1。
即（－1）·错误!＝－1,解得a＝－2.【答案】(1）D（2)－2方法技巧1当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率,不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件.2在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.1．若直线l1：(a－1）x＋y－1＝0和直线l2：3x＋ay＋2＝0垂直，则实数a的值为(D）A.错误!B.错误!C。
错误! D.错误!解析:由已知得3(a－1）＋a＝0，解得a＝错误!。
2．已知a，b为正数，且直线ax＋by－6＝0与直线2x＋(b －3）y＋5＝0平行，则2a＋3b的最小值为25。
解析：由两直线平行可得，a(b－3）＝2b，即2b＋3a＝ab，错误!＋错误!＝1.又a，b为正数,所以2a＋3b＝(2a＋3b）·错误!＝13＋错误!＋错误!≥13＋2错误!＝25，当且仅当a＝b＝5时取等号，故2a＋3b的最小值为25。
考点二两直线的交点与距离问题【例2】（1）求经过直线l1:3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y ＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程为________．(2)已知点P（4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是________．（3)若两平行直线3x－2y－1＝0，6x＋ay＋c＝0之间的距离为错误!，则c的值是________．【解析】（1)先解方程组错误!得l1,l2的交点坐标为（－1,2)，再由l3的斜率错误!求出l的斜率为－错误!，于是由直线的点斜式方程求出l：y－2＝－错误!(x＋1），即5x＋3y－1＝0.(2）由题意得，点P到直线的距离为错误!＝错误!.又错误!≤3，即｜15－3a|≤15，解之得0≤a≤10，所以a的取值范围是[0,10］．（3）依题意知，错误!＝错误!≠错误!，解得a＝－4，c≠－2，即直线6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋错误!＝0，又两平行线之间距离为错误!，所以错误!＝错误!，解得c＝2或－6.【答案】（1)5x＋3y－1＝0(2)[0，10］（3)2或－6方法技巧1.求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．2．利用距离公式应注意:（1）点P(x0，y0）到直线x＝a的距离d＝｜x0－a|,到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；(2）应用两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数分别化为相等．1．若直线l与两直线y＝1,x－y－7＝0分别交于M，N两点,且MN的中点是P（1，－1),则直线l的斜率是(A)A．－23 B.错误!C．－错误! D.错误!解析：由题意，设直线l的方程为y＝k（x－1)－1，分别与y＝1，x－y－7＝0联立解得M错误!，N错误!.又因为MN的中点是P(1，－1)，所以由中点坐标公式得k＝－错误!.2．若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则｜P Q｜的最小值为（C)A.错误!B。
错误!C。
错误!D。
错误!解析：因为错误!＝错误!≠错误!，所以两直线平行，将直线3x＋4y －12＝0化为6x＋8y－24＝0，由题意可知|P Q｜的最小值为这两条平行直线间的距离，即错误!＝错误!，所以｜P Q｜的最小值为错误!。
3．（2019·江苏卷）在平面直角坐标系x O y中，P是曲线y＝x ＋错误!(x>0)上的一个动点，则点P到直线x＋y＝0的距离的最小值是4。
解析：解法1：设P(x，x＋错误!），x>0，则点P到直线x＋y ＝0的距离d＝错误!＝错误!≥错误!＝4，当且仅当2x＝错误!，即x＝错误!时取等号，故点P到直线x＋y＝0的距离的最小值是4.解法2:由y＝x＋错误!（x>0)得y′＝1－错误!,令1－错误!＝－1，得x＝2，则当点P的坐标为(错误!,3错误!)时,点P到直线x＋y＝0的距离最小,最小值为错误!＝4。
考点三对称问题命题方向1点关于点对称【例3】(1）点M(m，－1）关于点N（－2,n）的对称点为P（4,－5）,则（)A．m＝－3，n＝8 B．m＝3，n＝－8C．m＝－3，n＝－8 D．m＝－8，n＝－3（2）直线x－2y－3＝0关于定点M(－2，1）对称的直线方程是____________．【解析】(1）因为点M,P关于点N对称，所以由中点坐标公式可知－2＝错误!，即m＝－8，n＝错误!＝－3，故选D.（2）方法1：设对称的直线上的一点的坐标为(x，y)，则其关于点M(－2,1）对称的点的坐标为（－4－x，2－y）．∵（－4－x，2－y)在直线x－2y－3＝0上，∴（－4－x)－2(2－y）－3＝0，即x－2y＋11＝0.方法2：根据对称性知对称直线与已知直线平行，因此可设对称直线的方程为x－2y＋λ＝0（λ≠－3)，则点M到两条直线的距离相等，即错误!＝错误!，解得λ＝11，所以所求的直线方程为x－2y＋11＝0.【答案】（1）D(2)x－2y＋11＝0命题方向2点关于线对称【例4】如图，已知A(4，0),B（0,4），从点P（2,0）射出的光线经直线AB反射后再射到直线O B上,最后经直线O B反射后又回到P点，则光线所经过的路程是（）A．3 3 B．6C．2错误!D．2错误!【解析】直线AB的方程为x＋y＝4,点P(2,0）关于直线AB 的对称点为D(4,2)，关于y轴的对称点为C（－2,0)，则光线经过的路程为|C D｜＝62＋22＝2错误!。
【答案】C命题方向3直线关于直线对称【例5】直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是________．【解析】设所求直线上任意一点P（x，y)，则P关于x－y＋2＝0的对称点为P′(x0，y0)，由错误!得错误!由点P′(x0，y0）在直线2x－y＋3＝0上，∴2(y－2）－(x＋2)＋3＝0，即x－2y＋3＝0.【答案】x－2y＋3＝0方法技巧1．（方向2）将一张坐标纸折叠一次，使得点（0，2)与点(4，0）重合，点(7,3)与点（m,n）重合,则m＋n等于（A)A.错误!B.错误!C.错误!D。
错误!解析:由已知，纸的折痕应是点(0，2）与点(4,0）连线的中垂线，即直线y＝2x－3,它也是点(7，3)与点（m，n)连线的中垂线，于是错误!解得错误!所以m＋n＝错误!。
2．(方向2）已知入射光线经过点M（－3，4），被直线l：x －y＋3＝0反射，反射光线经过点N（2，6）,则反射光线所在直线的方程为6x－y－6＝0。
解析：设点M(－3，4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′（a，b）,则反射光线所在直线过点M′，所以错误!解得a＝1，b＝0。
又反射光线经过点N(2,6)，所以所求直线的方程为错误!＝错误!，即6x－y－6＝0.3．（方向1）过点P（0，1）作直线l，使它被直线l1:2x＋y －8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l 的方程为x＋4y－4＝0.解析：设l1与l的交点为A(a，8－2a）,则由题意知,点A关于点P的对称点B(－a,2a－6）在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上,所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.。