微积分高斯公式
散度定理与高斯公式
散度定理与高斯公式在研究电磁学、流体力学以及热传导等领域时，散度定理和高斯公式是非常重要的数学工具。
它们可以用于描述和解释物质和能量在空间中的流动和分布规律。
本文将深入探讨散度定理和高斯公式的概念、原理和应用，并通过实例展示其在实际问题中的作用。
一、散度定理散度定理又称为高斯散度定理，它是微积分中的一个基本定理。
简单来说，散度定理描述了一个有向闭曲面上向量场的通量与该向量场在该闭曲面所围成的体积之间的关系。
下面我们来详细介绍一下散度定理。
散度定理的数学表述如下：对于向量场F，其连续可微函数，它的定义域为包围体V内的有界区域D，其边界为闭曲面S。
那么散度定理可以表示为：∬S F·dS = ∭V div(F) dV在这里，F·dS表示对于向量场F的通量积分，div(F)表示F的散度。
从散度定理中可以看出，一个向量场的通量积分等于该向量场在体积内的散度的体积分。
散度定理的应用非常广泛，包括但不限于以下几个方面：1. 流体力学中的应用：通过散度定理可以计算一个流体的流出流量或流入流量，从而在实际应用中可以用于计算管道中的流体流速、流量、压力等参数。
2. 电磁学中的应用：散度定理可以描述电场与磁场的分布规律，并用于计算电场或磁场的总通量。
3. 热传导中的应用：散度定理可以用于描述热流在空间中的传导规律，并用于计算热量的传递率等参数。
二、高斯公式高斯公式又称为高斯定理，它是微积分中的另一个基本定理。
高斯公式是对于散度定理在三维空间中的一种特殊情况，即当闭曲面是一个球面时，散度定理被称为高斯公式。
下面我们来详细介绍一下高斯公式。
高斯公式的数学表述如下：对于向量场F，其连续可微函数，它的定义域为包围体V内的有界区域D，其边界为球面S。
那么高斯公式可以表示为：∬S F·dS = ∭V div(F) dV由高斯公式的形式可知，在计算球面上的通量积分时，等于该向量场在球内的散度的体积分。
2020高中数学竞赛—基础微积分(联赛版)20高斯公式与斯托克斯公式课件(共27张PPT)
)'x
(Z
z'x )'y )d
Dxy
(
Z
' x
z'y
Z
' y
z'x
)dxdy
(2)
Dxy
比较(1), (2)可得
Zdz S
S
Z y
dy ^ dz
Z x
dz ^ dx
当 曲 面S为xoy平 面 上 的 平 面 域 时,
Stokes公 式 即 为Green公 式
2020/5/1
20
[例1] 应用三种方法计算下列曲线积分,从而
x
Dxy
a2 x2 y2
2 a2 x2 y2
y
y]dxdy
2020/5/1
a2 x2 y2
27
z
I ( x 3 y)dxdy
Dxy
L
n
o
y
a sin
d (r cos 3r sin )rdr
0
0
x
Dxy
(cos
3 sin ) r 3
a sin
d
0
3
0
a3( 1 cos sin3 d sin4 d )
03
0
a3(0 2
2
sin4 d )
3 a3
2020/5/1
0
8
28
2( x y z)dV
2(u v w a b c) 1dudvdw
2(a b c) 4 R3
3
利用对称性得到 (u v w)dudvdw 0
2020/5/1
13
特别
对于 X x, Y y, Z z
利 用 高 斯 公 式, 可 以 得 到S所 包 围 的
微积分基本公式16个
微积分基本公式16个1. 微分：微分是数学中最重要的概念之一，它指的是在一定时间内几何形状的变化率。
可以理解为小步长地移动拟合函数，接近曲线本身。
可以表示为\frac{dy}{dx} 或f'(x) 。
2. 泰勒公式：泰勒公式是一个重要的微积分工具，它可以在某一特定点附近对任意连续函数进行展开，也就是说任意设定一个位置x0，可以根据它附近的数值向量求出函数在该位置的平均值。
可以用公式表示为：f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f''(x_0)(x-x_0)^2}{2!} + \frac{f^{n}(x_0)(x-x_0)^n}{n!} + ...3. 高斯积分公式：高斯积分是指将函数抽象为一次多项式曲线，采用指数型或线性型积分方法求解积分。
它可以用公式f(x)=\sum_{i=0}^n a_i x^i 表示，其中a_i为积分下限、上限和积分点x_i处函数值相乘所得到的系数。
4. 黎曼积分：黎曼积分是一种常用的积分方法，它通过对连续函数求和，来确定函数在给定区间上的定积分。
可以用公式表示为：\int_{a}^{b}f(x)dx=\sum_{i=1}^{n}f(x_i)\Delta x_i ,其中n为梯形的节点数。
5. Stokes公式：Stokes公式是一种将多变量函数投影到多方向进行积分的方法，可以用公式表示为：\int_{\Omega}\nabla\times{\bf F} dA =\int_{\partial\Omega}{\bf F}\cdot{\bf n}dS，其中\nabla\times{\bf F} 为梯度矢量场，\partial\Omega 为边界，{\bfn}dS 为单位向量与边界面积的乘积。
6. Γ函数：Γ函数是一种重要的数学函数，通常用来表示非负整数的排列组合，也可以表示实数的阶乘，可以用公式表示为：\Gamma(x)=\int_0^{\infty}t^{x-1}e^{-t}dt7. 方阵的行列式：方阵的行列式是指一个n阶矩阵的行列式，可以用公式表示为：D= |a_{i,j}| = \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & ... & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & ... & a_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & a_{n,2} & ... & a_{n,n} \end{vmatrix} ，其中a_{i,j} 为矩阵中的元素。
微积分高斯公式与散度
一、高斯（Gauss）公式
定理：设空间闭区域 由分片光滑的曲面 围成，
函数 P( x, y, z),Q( x, y, z), R( x, y, z)在 上具有 一阶连续偏导数，则有公式：
P Q R
( )dV Pdydz Qdzdx Rdxdy.
x y z
Байду номын сангаас
其中 表示 的边界曲面的外侧。
3
其中 为柱面 x 2 y 2 1及
平面 z 0 z 3，所围成的空
间闭区域 的整个边界曲面
o1
y
1
的外侧。
x
例2、计算曲面积分
( x 2 cos y 2 cos z 2 cos )dS
z
其中 为锥面 x2 y2 z2介于平
h
面 z 0，z h (h 0)之间的部分的下侧，
3 :
取外侧。
（1）高斯公式表达了空间闭区域上的三重积分 与其边界曲面上的曲面积分之间的关系；
（2）使用高斯公式时的注意事项：
① P,Q, R分别是对什么变量求偏导数；
②是否满足高斯公式的条件；
③ 取的是闭曲面的外侧。
二、高斯公式的应用
例1、计算曲面积分
z
( x y)dxdy ( y z)xdydz
x 2 yz 2dydz xy2 z 2dzdx z(1 xyz)dxdy V . S
div F dV F d S
设M 为场内一点，为包围点 M的任一闭曲面，其
所围区域 位于场内。则
F d S
表示单位时间内通过 流向外部的流体
的总质量，即流量或通量。
其中：F ( x, y, z) 为密度为1的不可压缩流体的稳定速度场；
Gauss型积分公式
摘要求函数在给定区间上的定积分，在微积分学中已给出了许多计算方法，但是，在实际问题计算中，往往仅给出函数在一些离散点的值，它的解析表达式没有明显的给出，或者，虽然给出解析表达式，但却很难求得其原函数。
这时我们可以通过数值方法求出函数积分的近似值。
当然再用近似值代替真实值时，误差精度是我们需要考虑因素，但是除了误差精度以外，还可以用代数精度来判断其精度的高低。
已知n+1点的Newton-Cotes型积分公式，当n为奇数时，其代数精度为n；当n为偶数时，其代数精度达到n+1。
若对随机选取的n+1个节点作插值型积分公式也仅有n次代数精度。
如何选取适当的节点，能使代数精度提高？Gauss型积分公式可是实现这一点，但是Gauss型求积公式，需要被积函数满足的条件是正交，这一条件比较苛刻。
因此本实验将针对三种常用的Gauss型积分公式进行讨论并编程实现。
关键词：Newton-Cotes型积分公式正交多项式代数精度1、实验目的1)通过本次实验体会并学习Gauss型积分公式，在解决如何取节点能提高代数精度这一问题中的思想方法。
2)通过对Gauss型积分公式的三种常见类型进行编程实现，提高自己的编程能力。
3)用实验报告的形式展现，提高自己在写论文方面的能力。
2、算法流程下面介绍三种常见的Gauss型积分公式1)高斯-勒让德（Gauss-Legendre）积分公式勒让德（Legendre）多项式如下定义的多项式L n(x)=12n n!d ndx n(x2−1)n,x∈[−1,1],n=0,1,2⋯称作勒让德多项式。
由于(x2−1)n是2n次多项式，所以L n(x)是n次多项式，其最高次幂的系数A n与多项式1 2n n!d ndx n(x(2n))=12n n!2n(2n−1)(2n−2)⋯(n+1)x n的系数相同。
也就是说n次勒让德多项式具有正交性即勒让德多项式L n(x)是在[−1,1]上带ρ(x)=1的n次正交多项式，而且(L m,L n)=∫L m(x)L n(x)dx1−1={0, m≠n22n+1, m=n这时Gauss型积分公式的节点就取为上述多项式L n(x)的零点，相应的Gauss型积分公式为∫f(x)dx 1−1≈∑A k f(x k) nk=1此积分公式即成为高斯-勒让德积分公式。
高斯定理知识点
高斯定理知识点高斯定理（也称为散度定理或高斯-奥斯特罗格拉德斯基定理）是微积分的一个重要定理，它描述了一个向外或向内的矢量场的通量与其散度之间的关系。
在本文中，我们将详细介绍高斯定理的各个知识点，并附上相关的公式和示例，以帮助读者更好地理解和应用这一定理。
一、高斯定理的基本概念高斯定理是对矢量场的研究中非常重要的一部分，它描述了一个封闭曲面通过向外或向内通过的矢量场的总通量与该矢量场在曲面上的散度之间的关系。
通量表示了矢量场通过单位面积的流量，而散度则表示了矢量场在某一点上的变化速率。
二、高斯定理的数学表达高斯定理可以用数学表达式来表示：∮S F · dS = ∫∫∫V (∇ · F) dV其中，∮S表示对闭合曲面S进行的面积分，F表示矢量场，dS表示曲面上的微元面积，∫∫∫V表示对闭合曲面S所围成的空间V进行的体积分，∇ · F表示矢量场F的散度。
三、高斯定理的应用高斯定理在物理学、工程学和数学等领域有广泛的应用。
下面我们列举几个常见的应用场景：1. 电场的高斯定理在电学中，高斯定理可以用来计算电场通过一个闭合曲面的总通量。
根据高斯定理，电场的总通量等于闭合曲面内的电荷除以电介质中的介电常数。
2. 磁场的高斯定理在磁学中，高斯定理可以用来计算磁场通过一个闭合曲面的总通量。
根据高斯定理，磁场的总通量为零，即磁场没有起源和终点，它只存在于闭合回路内。
3. 流体力学中的应用在流体力学中，高斯定理可以用来计算流体通过一个闭合曲面的总通量，从而求解流体的质量流率和体积流率。
4. 涡量场的应用在涡量场的研究中，高斯定理可以用来计算涡量场的旋度。
四、高斯定理的重要性和应用前景高斯定理是矢量场研究中的基本工具，它不仅可以解决各种物理学、工程学和数学中的问题，还有很大的应用潜力。
在计算领域，高斯定理可以应用于图像处理、计算流体力学等方面；在物理学领域，高斯定理可以应用于电磁学、热力学等方面；在工程学领域，高斯定理可以应用于建筑结构分析、流体力学等方面。
Gauss型积分公式
Gauss型积分公式摘要求函数在给定区间上的定积分，在微积分学中已给出了许多计算方法，但是，在实际问题计算中，往往仅给出函数在一些离散点的值，它的解析表达式没有明显的给出，或者，虽然给出解析表达式，但却很难求得其原函数。
这时我们可以通过数值方法求出函数积分的近似值。
当然再用近似值代替真实值时，误差精度是我们需要考虑因素，但是除了误差精度以外，还可以用代数精度来判断其精度的高低。
已知n+1点的Newton-Cotes型积分公式，当n为奇数时，其代数精度为n；当n 为偶数时，其代数精度达到n+1。
若对随机选取的n+1个节点作插值型积分公式也仅有n次代数精度。
如何选取适当的节点，能使代数精度提高？Gauss型积分公式可是实现这一点，但是Gauss型求积公式，需要被积函数满足的条件是正交，这一条件比较苛刻。
因此本实验将针对三种常用的Gauss型积分公式进行讨论并编程实现。
关键词：Newton-Cotes型积分公式正交多项式代数精度1、实验目的1)通过本次实验体会并学习Gauss型积分公式，在解决如何取节点能提高代数精度这一问题中的思想方法。
2)通过对Gauss型积分公式的三种常见类型进行编程实现，提高自己的编程能力。
3)用实验报告的形式展现，提高自己在写论文方面的能力。
2、算法流程下面介绍三种常见的Gauss型积分公式1)高斯-勒让德（Gauss-Legendre）积分公式勒让德（Legendre）多项式如下定义的多项式称作勒让德多项式。
由于是次多项式，所以是n次多项式，其最高次幂的系数与多项式的系数相同。
也就是说n次勒让德多项式具有正交性即勒让德多项式是在上带的n次正交多项式，而且这时Gauss型积分公式的节点就取为上述多项式的零点，相应的Gauss型积分公式为此积分公式即成为高斯-勒让德积分公式。
其中Gauss-Legendre求积公式的系数1其中k的取值范围为Gauss点和系数不容易计算，但是在实际计算中精度要求不是很高，所以给出如下表所示的部分Gauss点和系数，在实际应用中只需查表即可。
Gauss型积分公式
G a u s s型积分公式-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1摘要求函数在给定区间上的定积分，在微积分学中已给出了许多计算方法，但是，在实际问题计算中，往往仅给出函数在一些离散点的值，它的解析表达式没有明显的给出，或者，虽然给出解析表达式，但却很难求得其原函数。
这时我们可以通过数值方法求出函数积分的近似值。
当然再用近似值代替真实值时，误差精度是我们需要考虑因素，但是除了误差精度以外，还可以用代数精度来判断其精度的高低。
已知n+1点的Newton-Cotes型积分公式，当n为奇数时，其代数精度为n；当n为偶数时，其代数精度达到n+1。
若对随机选取的n+1个节点作插值型积分公式也仅有n次代数精度。
如何选取适当的节点，能使代数精度提高Gauss型积分公式可是实现这一点，但是Gauss型求积公式，需要被积函数满足的条件是正交，这一条件比较苛刻。
因此本实验将针对三种常用的Gauss型积分公式进行讨论并编程实现。
关键词：Newton-Cotes型积分公式正交多项式代数精度1、实验目的1)通过本次实验体会并学习Gauss型积分公式，在解决如何取节点能提高代数精度这一问题中的思想方法。
2)通过对Gauss型积分公式的三种常见类型进行编程实现，提高自己的编程能力。
3)用实验报告的形式展现，提高自己在写论文方面的能力。
2、算法流程下面介绍三种常见的Gauss型积分公式1)高斯-勒让德（Gauss-Legendre）积分公式勒让德（Legendre）多项式如下定义的多项式称作勒让德多项式。
由于是次多项式，所以是n次多项式，其最高次幂的系数与多项式的系数相同。
也就是说n 次勒让德多项式具有正交性即勒让德多项式是在上带的n次正交多项式，而且这时Gauss 型积分公式的节点就取为上述多项式的零点，相应的Gauss型积分公式为12此积分公式即成为高斯-勒让德积分公式。
其中Gauss-Legendre 求积公式的系数其中k 的取值范围为Gauss 点和系数不容易计算，但是在实际计算中精度要求不是很高，所以给出如下表所示的部分Gauss 点，在实际应用中只需查表即可。
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3
(r
sin
z)
dz
9
0
00
2
思考: 若 改为内侧, 结果有何变化?
若 为圆柱侧面(取外侧) , 如何计算?
例2. 利用Gauss 公式计算积分
z
其中 为锥面 x2 y2 z2 介于 z = 0 及
z = h 之间部分的下侧. 解: 作辅助面
1 hh
o
y
x
1: z h, (x, y) Dxy : x2 y2 h2, 取上侧
z
2 z d x d ydz h4
2
h
z
z2
dz
h4
0
1 h4
2
1 hh
o
y
x
例3. 设 为曲面 z 2 x2 y2, 1 z 2 取上侧, 求
I (x3z x) d y d z x2 yz d z d x x2z2 d x d y.
解: 作取下侧的辅助面
z 2
1 : z 1 (x, y) Dxy : x2 y2 1
I 用柱坐标
用极坐标 1 1
1 1
o
d
x
d
ydz
(1)
( Dxy
x
2
)
d
x
d
y
x
1y
2
d
0
1
dr
0
2 cos2 d 0
13
12
例4. 设函数
在闭区域 上具有一阶和
二阶连续偏导数, 证明格林( Green )第一公式 P u v
u
2v x2
2v y2
2v z2
d
x
d
y
d
z
x Q u v
• 若 G 内任一闭曲线总可以张一片全属于 G 的曲面, 则称 G 为空间一维单连通域 .
例如, 球面所围区域 既是一维也是二维单连通区域 ; 环面所围区域 是二维但不是一维单连通区域 ; 立方体中挖去一个小球所成的区域 是一维但
( u F ) u F u F
( FG ) ( F )G F(G )
III、链规则 f ( u ) f ( u )u
注意：
( F ) divrot F 0
( u ) rot gradu 0
( u ) 2u uxx uyy uzz u
练习1、设f二次可微，求
f ( r ), ( f ( r ) r ), ( f ( r ) r )
其中 r { x, y }, r r x2 y2 .
一、高斯 ( Gauss ) 公式
定理1. 设空间闭区域 由分片光滑的有向闭曲
面 所围成, 的方向取外侧,向量场F { P,Q,R }
上有连续的一阶偏导数 , 则有
及平面 z = 0 , z = 3 所围空间
闭域 的整个边界曲面的外侧.
z
解: 这里 P ( y z)x, Q 0, R x y
3
利用Gauss 公式, 得
原式 = ( y z) d x d y d z (用柱坐标) o
(r sin z)r dr d d z
x1
y
2
d
1
rd r
其中P, Q, R 具有连续一阶偏导数,在场中点 M(x, y, z) 处
P Q R x y z
记作
div F
F
称为向量场 F 在点 M 的散度.
i jk
(Ry
Q z
),
(
P z
R x
),
(Qx
P y
)
x
y
z
记作
rot F F
PQR
称为向量场 F 在点 M 的旋度.
若 u( x, y, z ) 是可微的数量函数，则 u u u
记 , 1所围区域为, 则
在 1 上
2
,
0
I (
)(x2 cos y2 cos z2 cos ) d S
1 1
2 (x y z) d x d y d z Dxy h2 d x d y
I 2 (x y z) d xdydz Dxy h2 d x d y
利用重心公式, 注意 x y 0
gradu u( x, y , z ) i j k x y z
I、线性规则
( au bv ) au bv
( a F bG ) a F b G
( a F bG ) a F b G
II、乘积规则
( uv ) vu uv
( u F ) u F u F
R z
d
x
d
y
d
z
R
d
x
d
y
若 不是 XY–型区域 , 则可引进辅助面
将其分割成若干个 XY–型区域, 在辅助面
正反两侧面积分正负抵消, 故上式仍成立 .
类似可证
P x
d
x
d
y
d
z
Pd
y
d
z
Q y
d
xd
y
d
z
Qd
zd
x
三式相加, 即得所证 Gauss 公式：
例1. 用Gauss 公式计算
其中 为柱面
y
u
v x
cos
v y
cos
v z
cos
d
S
R u v z
u x
v x
u y
v y
u z
v d xd y d z
z
其中 是整个 边界面的外侧.
分析:
高斯公式
P x
Q y
R z
dx d
ydz
P d y d z Q d z d x R d x d y
证:令
P
u
v , x
Q
u
v y
,
R
u
v , z
由高斯公式得
2v x2
2v y2
2v z2
v
v v
x y z
u
v x
cos
v y
cos
v z
cos
d
S
移项即得所证公式.(见 P171)
*二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件
1. 连通区域的类型 设有空间区域 G , • 若 G 内任一闭曲面所围成的区域全属于 G, 则称 G 为空间二维单连通域 ;
F dS
(Gauss 公式)
即：
P x
Q y
R z
d
xd
ydz
P d y d z Q d z d x R d xdy
下面先证:
R z
d
x
d
y
d
z
R
d
x
Hale Waihona Puke dy证明: 设
为XY型区域 , 1 2 3, 1 : z z1(x, y),
2 : z z2 (x, y),则
z
R d x d y d z z
dxd y
Dx y
z2(x,y) R d z z1(x, y) z
2
3
Dx y
R(x,
y,
z2
(x,
y))
R(x, y, z1(x, y) ) d x d y
1
x Dxy y
Rd
xd
y
2
1
3R d
xd
y
Dx
R(
y
x,
y,
z2
(
x,
y))dxdy
R(
Dx y
x,
y,
z1
(
x,
y))
d
xdy
所以
第六节
第十一章
高斯公式 通量与散度
Green 公式 推广 Gauss 公式
0、梯度、散度 与旋度 一、高斯公式
*二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件
三、通量与散度
0、梯度、散度 与旋度 定义: 设有向量场
F( x, y, z ) P( x, y, z )i Q( x, y, z ) j R( x, y, z )k