平面向量的加法及其几何意义(高)
2019-2020学年高中数学第二章平面向量2.2.1向量加法运算及其几何意义
③当两个非零向量a与b反向且|a|<|b|时(如图2),则a+b与b方向相同 (与a方向相反),且|a+b|=||a|-|b||. ④当两个向量a与b中至少有一个为0时,则必有|a+b|=|a|+|b|=||a||b||. 综上可知任意两个向量a,b恒有||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.
uuur uuur 则飞机飞行的路程指的是| AB |+| BC |;
uuur uuur uuur 两次飞行的位移的和指的是 AB + BC = AC .
uuur uuur 依题意,有| AB |+| BC |=800+800=1 600(km), 又α=35°,β=55°,∠ABC=35°+55°=90°,
新知导学 课堂探究
新知导学·素养养成
1.向量加法的定义 定义:求两个向量 和 的运算,叫做向量的加法. 对于零向量与任一向量a,规定0+a=a+ 0 = a .
2.向量求和的法则
三角形 法则
法则
前提 作法
结论
已知非零向量a,b,在平面内任取一点A
uuur uuur
uuur
作 AB =a, BC =b,再作向量 AC
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur (1)解析:a=( AB + CD )+( BC + DA )= AB + BC + CD + DA =0, 所以 0∥b,①正确;0+b=b,③正确;|0+b|=|0|+|b|,⑤正确.故选 C.
uuur uuur uuur (2)化简:① AB + CD + BC ;
高中数学第二章平面向量2.2.1向量加法运算及其几何意义课件3新人教A必修4
【即时小测】
1.思考下列问题.
(1)两个向量相加结果可能是一个数量吗？ 提示：不能，实数相加结果是数，而向量具有方向，所以相加的结果 是向量. (2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加，这种说法对吗？ 提示：这种说法是不正确的.向量既有大小又有方向，在进行向量相 加时，不仅要确定长度还要确定向量的方向.
答案：CF
知识点1 向量的加法
【知识探究】
观察图形，回答下列问题：
问题1：三角形法则和平行四边形法则的使用条件有何不同？ 问题2：共线向量怎样进行求和？ 问题3：当涉及多个向量相加时，运用哪个法则求解？
【总结提升】 1.对向量加法的三角形法则和平行四边形法则的三点说明 (1)两个法则的使用条件不同. 三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于 两个不共线的向量求和. (2)当两个向量不共线时，两个法则是一致的. (3)在使用三角形法则时要注意“首尾相连”，在使用平行四边形法 则时需要注意两个向量的起点相同.
3.如图，在正六边形ABCDEF中BuuAur
uuur CD
uur EF
=______.
【解析】根据正六边形的性质，对边平行且相等，我们容易得到
uuur uuur uur uuur uuur uur uur uuur uur BA CD EF BA AF EF BF CB CF.
uur
【解题探究】典例图1中a与b有何关系，图2两向量相加可采用哪种方
法进行？图3三向量相加可采用哪种方法进行？ 提示：图1中向量a与向量b共线，图2中两向量相加可采用三角形法则 或平行四边形法则进行.图3中三向量相加可采用三角形法则或平行四 边形法则进行.
【解析】如图中(1)，(2)所示， 首先作OuuAu=r a，然后作 Auu=Burb，则 Ou=uBura+b.
高中数学平面向量知识点总结
高中数学平面向量知识点总结一、平面向量的基本概念1. 定义：平面向量是有大小和方向的量，可以用有序实数对表示。
2. 表示法：通常用小写字母加箭头表示，如 $\vec{a}$。
3. 相等：两个向量大小相等且方向相同时，这两个向量相等。
4. 零向量：大小为零的向量，没有特定方向。
二、平面向量的运算1. 加法：- 规则：平行四边形法则或三角形法则。
- 交换律：$\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$。
- 结合律：$(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$。
2. 减法：- 规则：与加法类似，但方向相反。
- 逆向量：$\vec{a} - \vec{a} = \vec{0}$。
3. 数乘：- 定义：向量与实数相乘。
- 规则：$k\vec{a} = \vec{a}$ 的长度变为 $|k|$ 倍，方向与$k$ 的符号一致。
- 分配律：$(k + l)\vec{a} = k\vec{a} + l\vec{a}$。
- 结合律：$k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$。
三、平面向量的坐标表示1. 坐标表示：$\vec{a} = (x, y)$，其中 $x$ 和 $y$ 是向量在坐标轴上的分量。
2. 几何意义：$x$ 分量表示向量在 $x$ 轴上的长度，$y$ 分量表示向量在 $y$ 轴上的长度。
3. 坐标运算：- 加法：$(x_1, y_1) + (x_2, y_2) = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)$。
- 减法：$(x_1, y_1) - (x_2, y_2) = (x_1 - x_2, y_1 - y_2)$。
- 数乘：$k(x, y) = (kx, ky)$。
四、平面向量的模与单位向量1. 模（长度）：- 定义：向量从原点到其终点的距离。
向量加法运算及其几何意义 课件
【核心素养培优区】 【易错案例】向量的加法在向量化简中的应用 【典例】如图,在正六边形ABCDEF中, BA CD EF=( B )
A.0 B.BE C.AD D.CF
【失误案例】BA CD EF (BA AF) EF BF EF BE.
【错解分析】分析解题过程,请找出错误之处. 提示:本题错误的原因是未能结合正六边形边的关系, 得到 EF CB, 在化简的过程中代入.
【点拨】 (1)对向量加法三角形法则的两点说明 ①适用范围:任意向量. ②注意事项:(ⅰ)两个向量一定首尾相连. (ⅱ)和向量的始点是第一个向量的始点,终点是第二个 向量的终点. (ⅲ)当多个向量相加时,可以使用三角形法则.
(2)对向量加法的平行四边形法则的三点说明 ①适用范围:任意两个非零向量,且不共线. ②注意事项:(ⅰ)两个非零向量一定要有相同的始点; (ⅱ)平行四边形中的一个对角线所对应的向量为和向 量.
【变式训练】(荆州高一检测)设正六边形
ABCDEF,AB m，AE n, 则AD =________. 【解析】如图,
ED AB所 m以， 答案:n+m
AD AE ED n m．
类型三 向量加法的实际应用 【典例】长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮渡 进行运输。现有一艘船从长江南岸A点出发,以5km/h的 速度向垂直于对岸的方向行驶,同时江水的速度为向东 2km/h.
列结论中,正确的是 ( ) ①a∥b;②a+b=a;③a+b=b;④|a+b|<|a|+|b|; ⑤|a+b|=|a|+|b|. A.①② B.①③ C.①③⑤ D.③④⑤
3.如图,E,F,G,H分别是梯形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中 点,化简下列各式:
高一数学(人教A版)必修4精品课件：2-2-1 向量加法运算及其几何意义 公开课一等奖课件
温故知新 1．向量的有关概念：
既有大小又有方向 (1)所谓向量是______________________ 的量，其三要素
始点，大小，方向 ． 是____________________ 大小相等，方向相同 ，所谓共线 (2)相等向量应满足______________________ 方向相同或相反 向量是指___________________ 的向量．
向量和 的方法叫做向量加法的三角形 和，记作a＋b.这种求________
法则．
第二章
2.2 2.2.1
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(3)平行四边形法则：已知两个不共线向量 a、b(如图乙所 → → → → 示)，作AB＝a，AD＝b，则 A、B、D 三点不共线，以AB，AD为 → 邻边作平行四边形 ABCD， 则向量 AC ＝a＋b， 这种作两个向 量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则．
第二章
2.2 2.2.1
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自主预习 1．向量的加法
和 的运算，叫做向量的加法．两 (1)定义：求两个向量____ 向量 ． 个向量的和仍然是一个______
(2)三角形法则：如图甲所示，已知非零向量a，b，在平 → → → 面内任取一点，作AB＝a，BC＝b，则向量AC叫做向量a与b的
第二章
2.2 2.2.1
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[拓展]①向量加法的多边形法则：n个向量经过平移，顺 次使前一个向量的终点与后一个向量的起点重合，组成一组 向量折线，这n个向量的和等于折线起点到终点的向量．这个 法则叫做向量加法的多边形法则．多边形法则实质就是三角 形法则的连续应用． ②三角形法则和平行四边形法则就是向量加法的几何意 义． (4)规定：a＋0＝0＋a＝a. (5)结论：|a＋b|≤|a|＋|b|.
平面向量向量加法运算及其几何意义
平面向量向量加法运算及其几何意义平面向量的加法运算是指将两个向量相加得到一个新的向量的过程。
在进行向量加法运算时，可以使用坐标法或三角法。
坐标法是指将向量表示为有序数对的形式，例如vector AB可以表示为(Ax, Ay)，vector CD可以表示为(Cx, Cy)。
要将两个向量相加，只需将它们对应的坐标相加即可。
例如，若vector AB + vector CD =vector EF，则有(Ax + Cx, Ay + Cy) = (Ex, Ey)。
三角法是指利用向量的方向角和长度来进行向量加法运算。
假设vector AB的长度为a，方向角为θ，vector CD的长度为b，方向角为φ。
要求它们的和，可以先将它们用三角形形式绘制出来，然后将其首尾相接，连接向量AB的尾部和向量CD的头部，得到一个新的向量EF，即vector AB + vector CD = vector EF。
无论使用何种方法进行向量加法运算，其几何意义是将两个向量进行平移后的结果。
首先，将向量AB的起点平移到坐标原点，然后将向量AB的终点与向量CD的起点连接起来，再将向量CD的终点与该连接线的终点连接起来，得到向量EF。
即vector AB + vector CD = vector EF。
在几何上，向量加法运算的结果可以表示为一个以向量AB为一条边，以向量CD为相邻边的平行四边形，其中向量EF为对角线。
向量AB称为平行四边形的第一条边，向量CD称为平行四边形的第二条边。
向量EF称为平行四边形的对角线，连接向量AB的起点和向量CD的终点。
此外，可以利用向量的加法运算推导出向量的其他运算规律。
例如，可以推导出向量加法满足交换律（vector AB + vector CD = vector CD+ vector AB）和结合律（vector AB + (vector CD + vector EF) = (vector AB + vector CD) + vector EF）。
向量的加法运算及几何意义
例1
B
岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输， 如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以 2 3 km/h的速度向 垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h. （1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度； （2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹 角来表示）。 C
平面向量的加法运算及几何意义
1、向量加法的定义： 向量的和结果也是一个向量
2、向量加法的几何意义： 三角形法则（首尾依次连，起点指终点）， 平行四边形法则（同起点）
3、向量加法的运算律：
交换律 结合律 4、向量的模不等关系：
|| a | | b ||| a b || a | | b |
变式：船在静水中的速度为6m/s，水流的速度为 3m/s，则它必须朝哪个方向开，才能保证船沿水流 的垂直方向前进？船实际前进的速度为多少？
北 西 南 东
向量的加法
1.向量加法的三角形法则
2.向量加法的平行四边形法则 3.向量加法的交换律及结合律
4.向量不等式
| a b || a | | b |
D
解：
A
B
（1）如图所示， AD表示船速， AB表示水速， 以AD、AB为邻边作 ABCD, 则 AC表示 船实际航行的速度.
例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输， 如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以 2 3 km/h的速度向 垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h. （1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度； （2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹 角来表示）。
解： (2)在Rt ABC中， | AB | 2,| BC | 2 3
平面向量加法及其几何意义
向量加法运算及其几何意义(第一课时)学校：福清虞阳中学班级：高一（6）班时间：2016年5月17日执教：朱庆飞一、教学目标：1、知识与技能理解向量加法的含义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和；掌握向量加法的交换律与结合律，并会用它们进行向量运算．2、过程与方法经历向量加法概念、法则的建构过程，感受和体会将实际问题抽象为数学概念的思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．3、情感态度与价值观经历运用数学来描述和刻画现实世界的过程，体验探索的乐趣。
二、教学重点和难点：重点：向量加法的定义与三角形法则的概念建构；以及利用法则作两个向量的和向量．难点：理解向量的加法法则及其几何意义．三、教学策略和方法：教法：“问题情境教学法”、讲练结合四、教学过程设计：1.复习引入向量的定义、表示方法；平行向量的概念；相等向量的概念。
2.情境设置(1)位移之和问题：(2)物理力学的合成。
问：对于任意的向量→a和→b，如何定义向量的加法→a+→b3.向量加法的三角形法则：已知非零向量→a、→b，在平面内任取一点A，作→→→→==bBCaAB,，则向量→AC叫做→a与→b的和，记作→a+→b，即→a+→b=→→→=+ACBCAB.→aC→→→=+ACBCAB→b A B第一个向量的终点与第二个向量的起点重合，则以第一个向量的起点为起点并以第二个向量的终点为终点的向量即为两个向量的和. 简记：首尾相接，首尾连4.练习：(1)用向量的三角形法则作出下列两个向量的和向量(2)两种特例(两向量平行)5.问题探究问题2：两个向量的和仍为一个向量，那么和向量 →a + →b 的方向与 →a ,→b 的方向有何关系？|→a + →b |与|→a |，|→b |有何关系？ 6.向量加法的平行四边形法则：在平面内任取一点O ，→→→→==b OB a OA ,，以向量→→OB OA ,为邻边的平行四边形OACB 的对角线所对应的向量→OC 就→a 与→b 的和，记作→→→=+OC b a . B→a C →→→=+OC OB OA →b O A平行四边形法则的应用前提是两个向量是从同一点出发的不共线的向量. 简记：共起点，平行四边形对角线7.练习：用向量的平行四边形法则作出下两个列向量的和向量abababa b ab a b8.问题再探究：.)(),(,,,2c b a c b a c b a b b a c b a +++++++，请作出、、：如图已知向量问题总结： 1）.向量加法的运算律交换律：结合律：2）.向量加法的三角形法则可以推广到3个或3个以上向量的加法运算。
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rr r r (3) a b a b
rr
rr
a，b反向且 a b
r r r r rr
rr
(4) a b b a a，b反向且 a b
向量加 法
结论： a b a b a b
已知 a 8, b 6,则 a b的最大值和最小值是 1_4_,_2
学以致用
完成课本P81例1和P84第1，2题
2.2.1向量加法运算 及其几何意义
温故夯基
1、 向量：既有 大小又有 方向的量叫向量
2、 共线向量（平行向量）： （1）方向 相同 或_相__反__的非零向量叫平行向量
rr （2）规定： 0 / /a
3、相等向量： 长度 相等 且方向 相同 的向量叫相等向量
O 上海
台北
B
香A港 OA AB OB
向量加法
向 量
任意给出两个向量a与b. 如何求a+ b.
加
法
的 定
a
b
义
C
C
B
B
A
A
AB BC AC
O
OB OA OC
1.两种方法做出的结果一样吗? 2.它们之们有联系吗?
向量加法
向量加法
向 量
任意给出两个向量a与b. 如何求a+ b.
加
法
的 定
a
b
义
三 角 形 法 则:
平行四边形法则:
C B
向量加 法
学以致用
1.化简
(1)AB CD BC ___A_D____
(2) MA BN AC CB __M_N_____
uuur
(3)AB
uuur uuur BD CA
uuur DC
__0___
2.完成课本P84第3，4题
3.完成课本P83例2
向量加法
小结
1.一个定义-------- 向量加法的定义 2.两个法则-------- 三角形法则和平行四边形法则 3.一个关系--------- 模的关系 4.两个运算律-------- 交换律和结合律
a
a
b
A
B
C
b
B
CA
AC a b
方向相同
AC a b
方向相反
向量加 法
问题3.请选用合适符号连接：
rr
rr
a b ____ a b(<,>, ,, )
rr
非零向量a,b处于什么位置时？
r r r r rr
探究
(1) a b a b rr r r
a，b不共线或共线反向 rr
(2) a b a b a，b共线且同向
学习目标
1、通过实例，掌握向量的加法运算，并理解 其几何意义.
2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形 法则作两个向量的和向量.
3、记住向量加法运算的交换律和结合律，并 会用它们进行向量计算.
向量加法的定义
问题1.完成导学案课前预习案第2题
问题2.阅读课本2.2.1例1前的内容，完成导学案
课前预习案3～4题
C
C
b
B
A
a
尾首顺次相接
首指向尾为和
B
b
b
A
O
a
起点相同，两边平行
同一起点，对角线为和
1.两种方法做出的结果一样吗? 2.它们之们有联系吗?
向量加 法
向量加 法
r
பைடு நூலகம்
对于零向量与任一向量a,我们规定
rrrr r
a0 0a a
问题：除了零向量，有没有不能用平行四
边形法则求和向量的情况？
特例：共线向量
作业
课本91页第1题、第2题
向量加法的运算律：
问题1.阅读课本P82页探究～P83例2前的
内容，完成导学案课前预习案第5题
向量加 法
问题2. AB BC CD DE JK ?AK
首尾相接的多个向
量加法，和向量由第一
JF
个向量的起点指向最后 K
E
一个向量的终点.
AB BC CD DE
D
JK KA ?0 A