江苏高考苏北四市联考数学

合集下载

江苏省苏北四市2025届高三第五次模拟考试数学试卷含解析

江苏省苏北四市2025届高三第五次模拟考试数学试卷含解析

江苏省苏北四市2025届高三第五次模拟考试数学试卷考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.对于函数()f x ,若12,x x 满足()()()1212f x f x f x x +=+,则称12,x x 为函数()f x 的一对“线性对称点”.若实数a 与b 和+a b 与c 为函数()3xf x =的两对“线性对称点”,则c 的最大值为( )A .3log 4B .3log 41+C .43D .3log 41-2.某个命题与自然数n 有关,且已证得“假设()*n k k N=∈时该命题成立,则1n k =+时该命题也成立”.现已知当7n =时,该命题不成立,那么( )A .当8n =时,该命题不成立B .当8n =时,该命题成立C .当6n =时,该命题不成立D .当6n =时,该命题成立3.已知集合{}1,2,3,4,5,6U =,{}13,5A =,,{}2,3,4B =,则集合()UB A =( )A .{}1,2,6B .{}1,3,6C .{}1,6D .{}64.数列{}n a 满足()*212n n n a a a n +++=∈N ,且1239a a a ++=,48a =,则5a =( )A .212B .9C .172D .75.已知0.212a ⎛⎫= ⎪⎝⎭,120.2b -=,13log 2c =,则( ) A .a b c >>B .b a c >>C .b c a >>D .a c b >>6.过抛物线24y x =的焦点F 的直线交该抛物线于A ,B 两点,O 为坐标原点.若3AF =,则直线AB 的斜率为( )A .B .C .D .±7.过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点作倾斜角为30的直线l ,若l 与y 轴的交点坐标为()0,b ,则该双曲线的标准方程可能为( )A .2212x y -=B .2213x y -=C .2214x y -=D .22132x y -=8.已知全集,,则( )A .B .C .D .9.双曲线2212y x -=的渐近线方程为( )A .32y x =±B .y x =±C .2y x =±D .3y x =±10.已知向量()1,2a =,()2,2b =-,(),1c λ=-,若()//2c a b +,则λ=( ) A .2-B .1-C .12-D .1211.关于函数()sin |||cos |f x x x =+有下述四个结论:( )①()f x 是偶函数; ②()f x 在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上是单调递增函数;③()f x 在R 上的最大值为2; ④()f x 在区间[]2,2ππ-上有4个零点. 其中所有正确结论的编号是( ) A .①②④B .①③C .①④D .②④12.已知函数2()(2)g x f x x =+为奇函数,且(2)3f =,则(2)f -=( )A .2B .5C .1D .3二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

2022-2023学年江苏省泰州、南通、扬州、苏北四市高三(上)一调数学试卷+答案解析(附后)

2022-2023学年江苏省泰州、南通、扬州、苏北四市高三(上)一调数学试卷+答案解析(附后)

2022-2023学年江苏省泰州、南通、扬州、苏北四市高三(上)一调数学试卷1.若非空且互不相等的集合M,N,P满足:,,则( )A. B. M C. N D. P2.已知,则的值为( )A. B. 0 C. 1 D. 23.设p:;q:,若p是q的充分不必要条件,则( )A. B. C. D.4.已知点Q在圆C:上,点P在直线上,则PQ的最小值为( )A. B. 1 C. D. 25.某次足球赛共8支球队参加,分三个阶段进行.小组赛:经抽签分成甲、乙两组,每组4队进行单循环比赛,以积分及净胜球数取前两名;半决赛:甲组第一名与乙组第二名,乙组第一名与甲组第二名作主、客场交叉淘汰赛每两队主、客场各赛一场决出胜者;决赛:两个胜队参加,比赛一场,决出胜负.则全部赛程共需比赛3位( )A. 15B. 16C. 17D. 186.若函数在区间上是单调递增函数,则实数t的取值范围为( )A. B. C. D.7.足球是由12个正五边形和20个正六边形组成的.如图,将足球上的一个正六边形和它相邻的正五边形展开放平,若正多边形边长为a,A,B,C分别为正多边形的顶点,则( )A. B.C. D.8.在某次数学节上,甲、乙、丙、丁四位同学分别写下了一个命题:甲:;乙:;丙:;丁:所写为真命题的是( )A. 甲和乙B. 甲和丙C. 丙和丁D. 甲和丁9.连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次,记事件A表示“2次结果中有正面向上的点数之和为奇数”,事件B 表示“2次结果中至少1次正面向上的点数为偶数”,则( )A. 事件B与事件A不互斥B. 事件A与事件B独立C. D.10.长方体,中,底面ABCD是边长为2的正方形,底面为的中心为M,则( )A. 平面ABMB. 向量在向量上的投影向量为C. 棱锥的内切球的半径为D. 直线AM与BC所成角的余弦值为11.公元前6世纪,古希腊的毕达哥拉斯学派研究发现了黄金分割数,简称黄金数.离心率等于黄金数的倒数的双曲线称为黄金双曲线.若黄金双曲线的左右顶点分别为,,虚轴的上端点为B,左焦点为F,离心率为e,则( )A. B.C. 顶点到渐近线的距离为eD. 的外接圆的面积为12.设函数的定义域为R,为奇函数,为偶函数,当时,若,则( )A. B.C. 为偶函数D. 的图像关于对称13.若…,则______ .14.某学校组织1200名学生进行“防疫知识测试”.测试后统计分析如下:学生的平均成绩为,方差为学校要对成绩不低于90分的学生进行表彰.假设学生的测试成绩X近似服从正态分布其中近似为平均数,近似为方差,则估计获表彰的学生人数为______ 四舍五入,保留整数参考数据:随机变量X服从正态分布,则,,15.已知抛物线与过点的直线相交于A,B两点,且为坐标原点,则三角形OAB 的面积为______ .16.已知函数则函数的零点个数为______ .17.在锐角中,角A,B,C的边分别为a,b,c,且求角C;若,求周长的取值范围.18.已知等比数列的前n项和为,,求数列的通项公式;当时,,求数列的通项公式.19.在四棱锥中,侧面底面ABCD,,且四边形ABCD为平行四边形,,,,求二面角的大小;点P在线段SD上且满足,试确定的值,使得直线BP与面PCD所成角最大.20.设椭圆E:的左、右焦点分别为,,离心率为,若椭圆E 上的点到直线l:的最小距离为求椭圆E的方程;过作直线交椭圆E于A,B两点,设直线,与直线l分别交于C,D两点,线段AB,CD 的中点分别为M,N,O为坐标原点,若M,O,N三点共线,求直线AB的方程.21.第22届世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔尔举办.在决赛中,阿根廷队通过点球战胜法国队获得冠军.扑点球的难度一般比较大,假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门,门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球,而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球.不考虑其它因素,在一次点球大战中,求门将在前三次扑到点球的个数X的分布列和期望;好成绩的取得离不开平时的努力训练,甲、乙、丙三名前锋队员在某次传接球的训练中,球从甲脚下开始,等可能地随机传向另外2人中的1人,接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人,如此不停地传下去,假设传出的球都能接住.记第n次传球之前球在甲脚下的概率为,易知,①试证明:为等比数列;②设第n次传球之前球在乙脚下的概率为,比较与的大小.22.已知函数,其中a为实数,e是自然对数的底数.当时,求曲线在点处的切线方程;若为的导函数,在上有两个极值点,求a的取值范围.答案和解析1.【答案】D【解析】解:非空且互不相等的集合M,N,P满足:,,作出韦恩图如下:结合韦恩图得:故选:作出韦恩图,结合韦恩图得:本题考查集合的运算,考查交集、并集定义、韦恩图等基础知识,考查运算求解能力等核心素养,是基础题.2.【答案】C【解析】解:因为,所以,所以故选:根据复数的运算法则和复数相等,列方程组求出a、b的值.本题考查了复数的运算与复数相等的应用问题,是基础题.3.【答案】A【解析】解::,,:,,是q的充分不必要条件,,,,故选:先解不等式得到命题p和q,再利用充分不必要条件的定义求解即可.本题考查了不等式的解法,充要条件的应用,属于基础题.4.【答案】A【解析】解:圆的标准方程为,圆心坐标为,半径为,圆心C到直线的距离,则直线和圆相离,则PQ的最小值为故选:求出圆的标准方程,求出圆心到直线的距离,根据直线和圆的位置关系可求解.本题主要考查直线和圆的位置关系,求出圆心到直线的距离,利用直线和圆的位置关系是解决本题的关键,属基础题.5.【答案】C【解析】解:小组赛中每组4队进行单循环比赛,就是4支球队的任两支球队都要比赛一次,所需比赛的场次即为从4个元素中任取2个元素的组合数,所以小组赛共要比赛场.半决赛中甲组第一名与乙组第二名或乙组第一名与甲组第二名主客场各赛一场,所需比赛的场次即为从2个元素中任取2个元素的排列数,所以半决赛共要比赛场.决赛只需比赛1场,即可决出胜负.所以全部赛程共需比赛场.故选:先计算出小组赛,半决赛,决赛的场数,根据分类计数原理即可得到总场数.本题考查了分类计数原理,关键是求出每种比赛需要的场次,属于中档题.6.【答案】D【解析】解:令,,解得,,所以函数的单调递增区间为,,又因为在区间上是单调递增函数,则是,的一个子区间,当是,即,若是的子集,则故选:根据题意,结合正弦型函数的单调区间列出不等式,然后结合条件代入计算,即可得到结果.本题主要考查正弦函数的单调性,考查运算求解能力,属于中档题.7.【答案】A【解析】解:由题意可得:,,,则故选:由平面向量数量积的运算,结合平面向量的线性运算求解即可.本题考查了平面向量数量积的运算,重点考查了平面向量的线性运算,属基础题.8.【答案】B【解析】解:设函数,,则,则时,,时,,即函数的增区间为,减区间为,因为,所以,所以,,即,故甲正确;因为,所以,即,即,即,故乙错误;因为,所以,即,所以,所以,故丙正确;因为,所以,即,即,,即,即丁错误.故选:构造函数,,可得函数的增区间为,减区间为,由可判断甲;由可判断乙;由可判断丙;由可判断丁.本题考查了构造函数比较大小,考查导数的应用,属于中档题.9.【答案】AD【解析】解:事件B与事件A可同时发生,不互斥,故A正确,,,,故BC错误,,故D正确.故选:根据已知条件,结合互斥事件和独立事件的定义,以及条件概率公式,即可求解.本题主要考查互斥事件和独立事件的定义,以及条件概率公式,属于基础题.10.【答案】ABD【解析】解:如图,因为,平面ABM,所以平面ABM,所以A正确;向量平面,平面平面,向量在向量上的投影向量为,所以B正确;棱锥的内切球的半径为R,可得:,解得,所以C不正确;直线AM与BC所成角的余弦值为所以D正确;故选:画出几何体的直观图,判断直线与平面是否平行判断A;求解向量的投影判断B;利用等体积法求解内切球的半径判断C;求解异面直线所成角的余弦值判断本题考查空间几何体的理解与应用,外接球的表面积的求法,直线与平面的位置关系的应用,是中档题.11.【答案】ABD【解析】解:由题意可是,解得,,,故A正确;,,,,,,故B正确;顶点到渐近线的距离,故C错误;为直角三角形,且,,的外接圆的面积,故D正确.故选:由题意可求得a,c,再逐项计算可判断每个选项的正确性.本题考查双曲线的性质,考查运算求解能力,属中档题.12.【答案】AC【解析】解:根据题意,函数的定义域为R,为奇函数,则且,变形可得,又由为偶函数,则,变形可得,综合可得:,则有,是周期为4的周期函数,则,,则有,则,,故在区间上,,由此分析选项:对于A,,A正确;对于B,是周期为4的周期函数,,B错误;对于C,是周期为4的周期函数且,则有,是偶函数,C正确;对于D,,,则一定不关于对称,D错误;故选:根据题意,先利用函数的对称性分析函数的周期,由此可得,,由此求出a、b的值,即可得区间上,的解析式,由此分析选项,即可得答案.本题考查抽象函数的性质以及应用,涉及函数的周期性和对称性,属于中档题.13.【答案】【解析】解:由二项式展开式的通项公式为可得:,故答案为:结合二项式展开式的通项公式求解即可.本题考查了二项式展开式的通项公式,重点考查了二项式展开式项系数的求法,属基础题.14.【答案】27【解析】解:由题意得:,,,故,所以故答案为:根据题意得到,,,结合原则和正态分布的对称性求出,求出获得表彰的学生人数.本题考查了原则和正态分布的对称性,属于基础题.15.【答案】【解析】解:已知抛物线与过点的直线相交于A,B两点,且为坐标原点,不妨设点B在第一象限,且,,则,即,即,即,则直线AB的斜率为,即直线AB的方程为,联立,消x可得,则,,则三角形OAB的面积为,故答案为:由抛物线的性质,结合直线的斜率公式及三角形的面积公式求解即可.本题考查了抛物线的性质,重点考查了直线的斜率公式及三角形的面积公式,属基础题.16.【答案】5【解析】解:令,则函数可化为,作出函数图中曲线对应的图象部分与的图象,可见与图象有两个交点,它们的横坐标分别在区间和上,不妨设,,再令,易知,与的图象与的图象分别有2个和3个交点,所以原函数共有5个零点.故答案为:令,先利用图象判断零点设为,的个数与范围,然后再借助于和分别与图象交点的个数判断即可.本题考查函数的零点与函数图象之间的关系,同时考查了函数图象的画法及应用,属于中档题.17.【答案】解:在中,由正弦定理,可得,所以,所以,又是锐角三角形,所以,故由正弦定理可得,于是因为锐角中,,可得,即,,可得所以周长的取值范围为:【解析】由正弦定理,两角和的正弦函数公式化简已知等式可得,结合求得,即可求C的值;由正弦定理,三角函数恒等变换可得,结合A的范围解的周长的取值范围.本题主要考查了正弦定理,三角函数恒等变换的应用,考查了运算求解能力和转化思想,属于中档题.18.【答案】解:设等比数列的公比为q,由题意可知,且,,,,,两式相除可得,,解得,,解得,;,则①,①可得,②,③,②-③可得,,故【解析】根据已知条件,结合等比数列的前n项和公式,即可求解;结合的结论,推得,再结合该递推式,即可求解.本题主要考查数列的递推式,考查转化能力,属于中档题.19.【答案】解:连接AC在,,,,由余弦定理得,,解得,所以,即,因为侧面底面ABCD,平面底面,,所以面ABCD,AB,面ABCD,所以,以A为原点,建立空间直角坐标系,如图所示则,,,,,,设平面SCD的法向量为,由,令,所以,由面ABCD,得为平面的法向量,即为平面ABCD的法向量.设二面角为,所以,因为二面角为锐角,所以,所以二面角的大小为由知,,,,设,,得,所以,所以,由知平面PCD的法向量为,设直线BP与面PCD所成角为,则,所以当时,值最大,即当时,BP与平面PCD所成角最大.【解析】根据已知条件及余弦定理,利用线面垂直的性质定理及面面垂直的性质定理,建立空间直角坐标系,写出相关点的坐标,分别求出平面SCD和平面ABCD的法向量,再利用向量的夹角公式,结合向量的夹角与二面角的关系即可求解.根据的结论及向量的关系的得出坐标的关系,利用向量的夹角公式求线面角,结合二次函数的性质即可求解.本题主要考查二面角的平面角,属于中档题.20.【答案】解:由题意可得:,,,解得,,,椭圆E的方程为设,,设直线AB的方程为,联立,化为,,,,,,即直线l的方程为:直线的方程为:,,直线的方程为:,,线段CD的中点为,,,O,N三点共线,,化为:,解得,直线AB的方程为,或【解析】由题意可得:,,,解得a,c,,即可得出椭圆E的方程.设,,设直线AB的方程为,与椭圆方程联立化为,利用根与系数的关系及中点坐标公式可得M坐标.直线l的方程为:分别得出直线的方程,直线的方程,可得C,D点坐标,即可得出线段CD的中点N的坐标,根据M,O,N三点共线,即可得出m的值.本题考查了椭圆的标准方程与性质、一元二次方程的求根公式及其根与系数的关系、中点坐标公式,考查了推理能力与计算能力,属于难题.21.【答案】解:的所有可能取值为0,1,2,3,在一次扑球中,扑到点球的概率,所以,,,,所以X的分布列如下:X0123P证明:①第n次传球之前球在甲脚下的概率为,则当时,第次传球之前球在甲脚下的概率为,第次传球之前球不在甲脚下的概率为,则,即,又,所以是以为首项,公比为的等比数列.②由①可知,所以,所以,故【解析】先计算门将每次可以扑出点球的概率,再列出其分布列,进而求得数学期望;①记第n次传球之前球在甲脚下的概率为,则当时,第次传球之前球在甲脚下的概率为,由条件确定,的关系,结合等比数列定义完成证明;②由①求出,,比较其大小即可.本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望,属于中档题.22.【答案】解:当时,,则,则,切点坐标为,切线方程为,即;解:,则,令,则,由在上有两个极值点知在上有两个变号零点,①当时,时,,则函数在上单调递增,不可能有两个零点,舍去;②当时,,令,则,由于,则,令,即,可得,即,当时,,则,所以,在上单调递增,当时,,则,则,所以,在上单调递减,所以,,又因为,要使在上有两个变号零点,则,解得【解析】当时,求出、的值,利用导数的几何意义可求得所求切线的方程;分析可知在上有两个变号零点,分、两种情况讨论,在时,由在上单调递增可知结论不成立;在时,可得出,利用导数分析函数的单调性,根据函数在上有两个异号零点可得出关于实数a的不等式组,解之即可.本题考查了导数的综合运用,属于中档题.。

2022-2023学年江苏省苏北七市高三第一次联考数学试题(一模)+答案解析(附后)

2022-2023学年江苏省苏北七市高三第一次联考数学试题(一模)+答案解析(附后)

2022-2023学年江苏省苏北七市高三第一次联考数学试题(一模)1. 已知集合,,则A. B. C. D.2. 已知向量满足,⟨⟩,则( )A. B. C. 0 D. 23.在复平面内,复数对应的点关于直线对称,若,则A. B. 2 C. D. 44. 2022年神舟接力腾飞,中国空间站全面建成,我们的“太空之家”遨游苍穹.太空中飞船与空间站的对接,需要经过多次变轨.某飞船升空后的初始运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆,其远地点长轴端点中离地面最远的点距地面,近地点长轴端点中离地面最近的点距地面,地球的半径为R,则该椭圆的短轴长为( )A. B.C. D.5. 已知,则( )A. B. C. D.6. 已知随机变量X服从正态分布,有下列四个命题:甲:;乙:;丙:;丁:如果只有一个假命题,则该命题为A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁7. 函数的定义域为R,且为偶函数,,若,则( )A. 1B. 2C.D.8. 若过点可以作曲线的两条切线,切点分别为,,则的取值范围是( )A. B.C. D.9. 在棱长为2的正方体中,AC与BD交于点O,则A. 平面B. 平面C. 与平面ABCD所成的角为D. 三棱锥的体积为10. 函数的部分图象如图所示,则A. B.C. 的图象关于点对称D. 在区间上单调递增11. 一个袋中有大小、形状完全相同的3个小球,颜色分别为红、黄、蓝.从袋中先后无放回地取出2个球,记“第一次取到红球”为事件A,“第二次取到黄球”为事件B,则( )A. B. 为互斥事件 C. D.相互独立12. 已知抛物线的焦点为F,以该抛物线上三点为切点的切线分别是,直线相交于点D,与分别相交于点记的横坐标分别为,则A. B.C. D.13. 已知函数则__________.14. 写出一个同时满足下列条件①②的等比数列的通项公式__________.①;②15. 已知圆,设直线与两坐标轴的交点分别为,若圆O上有且只有一个点P满足,则r的值为__________.16. 已知正四棱锥的所有棱长都为1,点E在侧棱SC上,过点E且垂直于SC的平面截该棱锥,得到截面多边形,则的边数至多为__________,的面积的最大值为__________.17. 在①成等比数列,②,③这三个条件中任选两个,补充在下面问题中,并完成解答.已知数列是公差不为0的等差数列,其前n项和为,且满足__________,__________.求的通项公式;求注:如果选择多个方案分别解答,按第一个方案计分.18. 第二十二届卡塔尔世界杯足球赛决赛中,阿根廷队通过扣人心弦的点球大战战胜了法国队.某校为了丰富学生课余生活,组建了足球社团.足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关,随机抽取了男、女同学各100名进行调查,部分数据如下表所示.喜欢足球不喜欢足球合计男生40女生30合计根据所给数据完成上表,并判断是否有的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关?社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门.已知男生进球的概率为,女生进球的概率为,每人射门一次,假设各人射门相互独立,求3人进球总次数的分布列和数学期望.附:k19.在中,的对边分别为,若,求的值;若,的平分线AD交BC于点D,求AD长度的取值范围.20.如图,在中,AD是BC边上的高,以AD为折痕,将折至的位置,使得证明:平面ABD;若,求二面角的正弦值.21. 已知双曲线的左顶点为A,过左焦点F的直线与C交于两点.当轴时,,的面积为求C的方程;证明:以PQ为直径的圆经过定点.22. 已知函数和有相同的最大值.求实数a;设直线与两条曲线和共有四个不同的交点,其横坐标分别为,证明:答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查集合的交集运算,属于基础题。

江苏省淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市2022届高三上学期第二次考试 数学 扫描版含答案

江苏省淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市2022届高三上学期第二次考试 数学 扫描版含答案

绝密★启用前宿迁市高三班级第一次模拟考试数学I参考答案及评分标准一、填空题1. 2;2. 2i ; 3.75; 4.9; 5.3π; 6.13; 7.35; 8. 245; 9.26; 10. 4; 11.; 12.()-∞+;13.4; 14.12. 二、解答题15.(1)在锐角三角形ABC 中,由3sin 5A =,得4cos 5A ==, …………2分 所以sin 3tan cos 4A A A ==.……………………………………………………………4分 由tan tan 1tan()1tan tan 2A B A B A B --==-+⋅,得tan 2B =. ………………7分 (2)在锐角三角形ABC 中,由tan 2B =,得sin 5B =,cos 5B =,……9分所以sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=11分 由正弦定理sin sin b c B C =,得sin 11sin 2b Cc B ==. ………………14分 16.(1) 连接BD 与AC 相交于点O ,连结OE .………2分 由于四边形ABCD 为矩形,所以O 为BD 中点.由于E 为棱PD 中点,所以PB ∥OE .………4分由于PB ⊄平面EAC ,OE ⊂平面EAC ,所以直线PB ∥平面EAC .……………………6分 (2) 由于P A ⊥平面PDC ,CD ⊂平面PDC ,所以 P A ⊥CD . …………………8分由于四边形ABCD 为矩形,所以AD ⊥CD .…………………………………10分由于 P A ∩AD =A ,P A ,AD ⊂平面P AD ,所以 CD ⊥平面P AD .…………12分由于CD ⊂平面ABCD ,所以 平面P AD ⊥平面ABCD . …………………14分 17. (1)在如图所示的直角坐标系中,由于曲线C的方程为)=19y x x ≤≤,PM x = 所以点P坐标为,x x ⎛+ ⎝⎭, 直线OB 的方程为0x y -=, ……………………………………………………2分 则点P 到直线0x y -=24x =,………………4分 又PM 的造价为5万元/百米,PN 的造价为40万元/百米. 则两条道路总造价为()22432()540519f x x x x x x ⎛⎫=+⋅=+ ⎪⎝⎭≤≤. …………8分 (2) 由于22432()5405f x x x x x ⎛⎫=+⋅=+ ⎪⎝⎭, 所以 333645(64)()=51x f x x x -⎛⎫'-= ⎪⎝⎭, ………………………10分 令()0f x '=,得4x =,列表如下:所以当4x =时,函数()f x 有最小值,最小值为()232454304f ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.……13分 答:(1)两条道路PM ,PN 总造价()f x 为232()5f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()19x ≤≤; (2)当4x =时,总造价最低,最低造价为30万元. ……………………14分(注:利用三次均值不等式223232()5553022x x f x x x x ⎛⎫⎛⎫=+=++⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥, 当且仅当23222x x x ==,即4x =时等号成立,照样给分.) 18.(1)令1n =,得221a λ=+. 令2n =,得23322323a S a S a a a a λ--=+,所以()()324121a λλλ=+++.…………2分 由2213a a a =,得()()22241121λλλλ⎛⎫= ⎪⎝⎭++++,由于0λ≠,所以1λ=.………4分 (2)当12λ=时,111112n n n n n n n n a S a S a a a a ++++--=+, 所以11111112n n n n n n S S a a a a ++++--=+,即111112n n n n S S a a ++-=++,………………………6分O P A BC D E所以数列1n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭+是以2为首项,公差为12的等差数列, 所以()11212n n S n a =-⋅++, ……………………………………………………8分 即3122n n n S a ⎛⎫= ⎪⎝⎭++,①当2n ≥时,113122n n n S a --⎛⎫= ⎪⎝⎭++,②①-②得,13222n n n n n a a a -=-++,……………………………………………10分即()()112n n n a n a -=++,所以()1221n n a a n n n -=++≥, ………………………12分 所以2n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭+是首项为13是常数列,所以()123n a n =+. ……………………14分 代入①得2351226n n n n nS a +⎛⎫=-= ⎪⎝⎭+. ……………………16分19. (1)由于左顶点为(40)A -,,所以4a =,又12e =,所以2c =.…………………2分又由于22212b a c =-=,所以椭圆C 的标准方程为2211612x y +=. ………………………………………4分(2)直线l 的方程为(4)y k x =+,由2211612(4),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,消元得,22[(4)]11612x k x ++=.化简得,22(4)[(43)1612)]0x k x k +++-=,所以14x =-,222161243k x k -+=+. ……………………………………………………6分 当22161243k x k -+=+时,222161224(4)4343k ky k k k -+=+=++, 所以222161224,4343()D k kk k -+++.由于点P 为AD 的中点,所以P 的坐标为2221612,4343()k kk k -++,则3(0)4OP k k k -=≠.…………………………………………………………………………8分直线l 的方程为(4)y k x =+,令0x =,得E 点坐标为(0,4)k ,假设存在定点(,)(0)Q m n m ≠,使得OP EQ ⊥,则1OP EQ k k =-,即3414n kk m --⋅=-恒成立, 所以(412)30m k n +-=恒成立,所以412030m n +=⎧⎨-=⎩,,即30m n =-⎧⎨=⎩,, 因此定点Q 的坐标为(3,0)-. …………………………………………10分 (3)由于OM l ,所以OM 的方程可设为y kx =, 由2211612x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩,得M点的横坐标为x =12分 由OM l ,得2D A E A D A M M x x x x x x AD AE OM x x -+--+==22216128k -+=+= …………………………………………………14分=≥=即k =所以当2k =±时,AD AE OM +的最小值为 …………………………16分 20. (1) 由题意,321()e 3x f x x x ax a ⎛⎫'=-+- ⎪⎝⎭, …………………………………………2分 由于()f x 的图象在0x =处的切线与直线0x y +=垂直, 所以(0)=1f ',解得1a =-. ……………………………4分 (2) 法一:由4()e 3x f x <-,得3214e 2(4)24e 33x x x x a x a ⎡⎤-++--<-⎢⎥⎣⎦, 即326(312)680x x a x a -++--<对任意(2)x ∈-∞,恒成立,……………………………6分 即()32636128x a x x x ->-=-对任意(2)x ∈-∞,恒成立, 由于2x <,所以()()322612812323x x x a x x -++>=----, ……………………………8分 记()21()23g x x =--,由于()g x 在(2)-∞,上单调递增,且(2)0g =, 所以0a ≥,即a 的取值范围是[0)+∞,. ………………………………………10分 法二:由4()e 3x f x <-,得3214e 2(4)24e 33x x x x a x a ⎡⎤-++--<-⎢⎥⎣⎦, 即326(312)680x x a x a -++--<在(2)-∞,上恒成立,……………………………6分 由于326(312)680x x a x a -++--<等价于2(2)(434)0x x x a --++<, ①当0a ≥时,22434(2)30x x a x a -++=-+≥恒成立, 所以原不等式的解集为(2)-∞,,满足题意. …………………………………………8分②当0a <时,记2()434g x x x a =-++,有(2)30g a =<,所以方程24340x x a -++=必有两个根12,x x ,且122x x <<,原不等式等价于12(2)()()0x x x x x ---<,解集为12()(2)x x -∞,,,与题设冲突, 所以0a <不符合题意.综合①②可知,所求a 的取值范围是[0)+∞,.…………………………………………10分(3) 由于由题意,可得321()e 3x f'x x x ax a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭, 所以()f x 只有一个极值点或有三个极值点. …………………………………………………11分 令321()3g x x x ax a =-+-,①若()f x 有且只有一个极值点,所以函数()g x 的图象必穿过x 轴且只穿过一次,即()g x 为单调递增函数或者()g x 极值同号.ⅰ)当()g x 为单调递增函数时,2()20g'x x x a =-+≥在R 上恒成立,得1a ≥.………12分 ⅱ)当()g x 极值同号时,设12,x x 为极值点,则12()()0g x g x ⋅≥,由2()20g'x x x a =-+=有解,得1a <,且21120,x x a -+=22220x x a -+=,所以12122,x x x x a +==,所以3211111()3g x x x ax a =-+-211111(2)3x x a x ax a =--+-11111(2)33x a ax ax a =---+-[]12(1)3a x a =--,同理,[]222()(1)3g x a x a =--,所以()()[][]121222(1)(1)033g x g x a x a a x a =--⋅--≥,化简得221212(1)(1)()0a x x a a x x a ---++≥,所以22(1)2(1)0a a a a a ---+≥,即0a ≥,所以01a <≤.所以,当0a ≥时,()f x 有且仅有一个极值点; ……………………………14分 ②若()f x 有三个极值点,所以函数()g x 的图象必穿过x 轴且穿过三次,同理可得0a <; 综上,当0a ≥时,()f x 有且仅有一个极值点,当0a <时,()f x 有三个极值点. ……………………………16分宿迁市高三班级第一次模拟考试数学Ⅱ(附加题)参考答案及评分标准21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题,请选定其中两小题........,并在相应的答题区域内作答............,若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.21A .连结OT .由于AT 是切线,所以OT AP ⊥.………………………2分又由于PAQ ∠是直角,即AQ AP ⊥,所以AB OT ,所以TBA BTO ∠=∠. ………………………………… 5分 又OT OB =,所以OTB OBT ∠=, …………………8分 所以OBT TBA ∠=∠, 即BT 平分OBA ∠. …………………………………10分 21B .矩阵A 的特征多项式为()2125614f λλλλλ--==--+, ……………2分 由()0f λ=,解得12λ=,23λ=.. …………………………………………4分 当12λ=时,特征方程组为20,20,x y x y -=⎧⎨-=⎩ 故属于特征值12λ=的一个特征向量121α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦;………………………………7分 当23λ=时,特征方程组为220,0,x y x y -=⎧⎨-=⎩ 故属于特征值23λ=的一个特征向量211α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. …………………………10分 21C .圆C 的直角坐标方程为22434130x y x y ++-+=, 即22(23)(2)3x y ++-=. ………………………………………………4分 又(0,1),(0,3)A B --,所以2AB =.……………………………………………6分 P 到直线AB 距离的最小值为2333-=,………………………………8分 所以PAB ∆面积的最小值为123=32⨯⨯.…………………………………10分 21D .由于x >0,y >0,x -y >0, 22211222()2()x y x y x xy y x y +-=-+-+-,…………………………………4分 =21()()()x y x y x y -+-+-23213()3()x y x y -=-≥, ……………………8分 所以2212232x y x xy y ++-+≥. ……………………………………………10分 【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域.......内作答,解答时应写 出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.以A 为坐标原点O ,分别以AB ,AC ,1AA 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系O xyz -.由于=1AB AC =,12AA =,则(0,0,0)A ,(1,0,0)B ,(0,1,0)C ,1(0,0,2)A ,1(1,0,2)B ,(1,0,2)P λ.……………………………………………1分 (1)由13λ=得,2(1,1,)3CP =-,1(1,02)A B =,-,1(0,1,2)A C =-,设平面1A BC 的法向量为1111(,,)x y z =n ,由11110,0A B A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,n n 得111120,20.x z y z -=⎧⎨-=⎩ 不妨取11z =,则112x y ==,从而平面1A BC 的一个法向量为1(2,2,1)=n .……………………………………3分 设直线PC 与平面1A BC所成的角为θ, 则111sin |cos ,|33||||CP CP CP θ⋅=<>==⋅n n n , 所以直线PC 与平面1A BC 所成的角的正弦值为33.…………………………5分 (2)设平面1PAC 的法向量为2222(,,)x y z =n , 1(1,022)A P λ=,-, 由21210,0A C A P ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,n n 得222220,(22)0.y z x z λ-=⎧⎨+-=⎩ 不妨取21z =,则22222x y λ=-=,,所以平面1PAC 的法向量为2(22,2,1)λ=-n .……………………………………7分 则12cos,<>=n n ,又由于二面角1P AC B --的正弦值为23, ,………………………………………………………9分 化简得2+890λλ-=,解得1λ=或9λ=-(舍去),故λ的值为1. …………………………10分23.(1)由题意知,32n a n =-,2121111()n n n n g n a a a a ++=++++, …………1分 当2n =时,234111111691(2)47101403g a a a =++=++=>. ……………2分 (2)用数学归纳法加以证明: ①当3n =时,34591111(3)g a a a a =++++ 11111117101316192225=++++++1111111()()7101316192225=++++++ 1111111()()8161616323232>++++++133131181632816163=++>++>, 所以当3n =时,结论成立.………………………………………………4分②假设当n k =时,结论成立,即1()3g k >, 则1n k =+时,(1)g k +()g k =22212(1)1111()k k k k a a a a +++++++- …………6分 22212(1)11111()3k k k k a a a a +++>++++-21(21)133(1)232k k k +>+-+-- 221(21)(32)[3(1)2]3[3(1)2][32]k k k k k +--+-=++--2213733[3(1)2][32]k k k k --=++--, 由3k ≥可知,23730k k -->,即1(1)3g k +>. 所以当1n k =+时,结论也成立. 综合①②可得,当3n ≥时,1()3g n >. …………………10分。

江苏省苏州市(新版)2024高考数学苏教版考试(综合卷)完整试卷

江苏省苏州市(新版)2024高考数学苏教版考试(综合卷)完整试卷

江苏省苏州市(新版)2024高考数学苏教版考试(综合卷)完整试卷一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分 (共8题)第(1)题已知,则().A.B.C.2D.1第(2)题已知等差数列中,,,则等于()A.15B.30C.31D.64第(3)题已知为虚数单位,复数满足,则()A.B.C.D.第(4)题已知向量,,,若,则()A.B.C.D.第(5)题有一笔资金,如果存银行,那么收益预计为2万.该笔资金也可以做房产投资或商业投资,投资和市场密切相关,根据调研,发现市场的向上、平稳、下跌的概率分别为0.2、0.7、0.1.据此判断房产投资的收益和商业投资的收益的分布分别为,,则从数学的角度来看,该笔资金如何处理较好()A.存银行B.房产投资C.商业投资D.房产投资和商业投资均可第(6)题已知全集为U,集合M,N满足,则下列运算结果一定为U的是()A.B.C.D.第(7)题已知等差数列中,,前5项的和满足,则公差取值范围为()A.B.C.D.第(8)题在锐角中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知,则的取值范围是()A.B.C.D.二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分 (共3题)第(1)题关于直线与圆,下列说法正确的是()A.若直线l与圆C相切,则为定值B.若,则直线l被圆C截得的弦长为定值C.若,则直线l与圆C相离D.是直线l与圆C有公共点的充分不必要条件第(2)题已知函数,则下列结论正确的是()A.是周期函数B.是奇函数C.的图象关于直线对称D.在处取得最大值第(3)题已知a,b,c满足c<a<b,且ac<0,那么下列各式中一定成立的是()A.ac(a-c)>0B.c(b-a)<0C.D.三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分 (共3题)第(1)题已知数列的前项和为(),且满足,若对恒成立,则首项的取值范围是__________.第(2)题已知函数,函数有三个零点,则实数的取值范围为__________.第(3)题已知实数,函数在上单调递增,则实数的取值范围是_________.四、解答题:本题共5小题,每小题15分,最后一题17分,共77分 (共5题)第(1)题今年5月11日,国新办举行新闻发布会,介绍第七次全国人口普查主要数据结果,会上通报,全国人口共141178万人,与2010年的133972万人相比,增加了7206万人,增长5.38%,年平均增长率为0.53%.如图是我国历次人口普查全国人口(单位:亿人)及年均增长率.(1)由图中数据,计算从2000年到2010年十年间全国人口的年平均增长率(精确到0.01%);并根据历次人口普查数据指出全国人口数量的变化趋势;(2)假设从2020年起,每十年的年平均增长率是一个等差数列,公差为,试根据图中数据计算从2040年到2050年这十年间全国人口的增加量.(精确到万人)第(2)题已知椭圆的标准方程为,椭圆上的点到其两焦点的距离之和为.(1)求椭圆的标准方程;(2)若椭圆的上顶点,、为椭圆上不同于点的两点,且满足直线、的斜率之积为,证明:直线恒过定点,并求定点的坐标.第(3)题坐位体前屈是中小学体质健康测试项目,主要测试学生躯干、腰、髋等部位关节韧带和肌肉的伸展性、弹性及身体柔韧性,在对某高中1500名高三年级学生的坐位体前屈成绩的调查中,采用按学生性别比例分配的分层随机抽样抽取100人,已知这1500名高三年级学生中男生有900人,且抽取的样本中男生的平均数和方差分别为13.2cm和13.36,女生的平均数和方差分别为15.2cm 和17.56.(1)求抽取的总样本的平均数;(2)试估计高三年级全体学生的坐位体前屈成绩的方差.参考公式:总体分为2层,分层随机抽样,各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为:,,,,,.记总样本的平均数为,样本方差为,第(4)题已知函数,.(1)求函数y=f(x)图象的对称轴方程;(2)求函数h(x)=f(x)+g(x)的最小正周期和值域.第(5)题等差数列的首项,且满足,数列满足.(1)求数列的通项公式;(2)设数列的前项和是,求.。

2020年江苏省苏北四市(徐州市、宿迁市、淮安市、连云港市)高考数学一模试卷

2020年江苏省苏北四市(徐州市、宿迁市、淮安市、连云港市)高考数学一模试卷

2020 年江苏省苏北四市(徐州市、宿迁市、淮安市、连 云港市)高考数学一模试卷题号 得分一二总分一、填空题(本大题共 14 小题,共 70.0 分) 1. 已知集合 A={x|0<x<2},B={x|-1<x<1},则 A∪B=______. 2. 已知复数 z 满足 z2=-4,且 z 的虚部小于 0,则 z=______. 3. 若一组数据 7,x,6,8,8 的平均数为 7,则该组数据的方差是______. 4. 执行如图所示的伪代码,则输出的结果为______.5. 函数 f(x)=的定义域______.6. 某学校高三年级有 A,B 两个自习教室,甲、乙、丙 3 名学生各自随机选择其中一 个教室自习,则甲、乙两人不在同一教室上自习的概率为______.7. 若关于 x 的不等式 x2-mx+3<0 的解集是(1,3),则实数 m 的值为______.8. 在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线的右准线与渐近线的交点在抛物线y2=2px 上,则实数 p 的值为______.9. 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a2+a9=8,S5=-5,则 S15 的值为______.10. 已知函数的图象与函数 y=cos2x 的图象相邻的三个交点分别是 A,B,C,则△ABC 的面积为______.11. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 M:x2+y2-4x-8y+12=0,圆 N 与圆 M 外切于点(0,m),且过点(0,-2),则圆 N 的标准方程为______.12. 已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,其图象关于直线 x=1 对称,当 x∈(0,1]时,f(x)=-eax(其中 e 是自然对数的底数),若 f(2020-ln2)=8,则实数 a 的值为______.13. 如图,在△ABC 中,D,E 是 BC 上的两个三等分点,,则 cos∠ADE 的最小值为______.14. 设函数 f(x)=|x3-ax-b|,x∈[-1,1],其中 a,b∈R.若 f(x)≤M 恒成立,则当 M 取得最小值时,a+b 的值为______.二、解答题(本大题共 11 小题,共 142.0 分)第 1 页,共 18 页15. 如图,在三棱锥 P-ABC 中,AP=AB,M,N 分别为棱 PB,PC 的中点,平面 PAB⊥平面 PBC. (1)求证:BC∥平面 AMN; (2)求证:平面 AMN⊥平面 PBC.16. 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且.(1)若 a=5,,求 b 的值;(2)若 ,求 tan2C 的值.17. 如图,在圆锥 SO 中,底面半径 R 为 3,母线长 l 为 5.用一个平行于底面的平面去 截圆锥,截面圆的圆心为 O1,半径为 r.现要以截面圆为底面,圆锥底面圆心 O 为 顶点挖去一个倒立的小圆锥,记小圆锥的体积为 V. (1)将 V 表示成 r 的函数; (2)求小圆锥的体积 V 的最大值.第 2 页,共 18 页18. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆的右顶点为 A,过点A 作直线 l 与圆 O:x2+y2=b2 相切,与椭圆 C 交于另一点 P,与右准线交于点 Q.设 直线 l 的斜率为 k. (1)用 k 表示椭圆 C 的离心率;(2)若,求椭圆 C 的离心率.19. 已知函数(a∈R).(1)若曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 x+y-1=0,求 a 的值; (2)若 f(x)的导函数 f'(x)存在两个不相等的零点,求实数 a 的取值范围; (3)当 a=2 时,是否存在整数 λ,使得关于 x 的不等式 f(x)≥λ 恒成立?若存在, 求出 λ 的最大值;若不存在,说明理由.20. 已知数列{an}的首项 a1=3,对任意的 n∈N*,都有 an+1=kan-1(k≠0),数列{an-1}是 公比不为 1 的等比数列. (1)求实数 k 的值;(2)设数列{bn}的前 n 项和为 Sn,求所有正整数 m 的值,使得 恰好为数列{bn}中的项.第 3 页,共 18 页21. 已知矩阵的一个特征値为 4,求矩阵 M 的逆矩阵 M-1.22. 在平面直角坐标系 xOy 中,以坐标原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ρ(cosθ+sinθ)=12,曲线 C 的参数方程为(θ为参数,θ∈R),在曲线 C 上求点 M,使点 M 到 l 的距离最小,并求出最小值.23. 已知正数 x,y,z 满足 x+y+z=1,求 + + 的最小值.24. 如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA1B1B 为正方形,BB1C1C 为菱形,∠BB1C1=60°, 平面 AA1B1B⊥平面 BB1C1C. (1)求直线 AC1 与平面 AA1B1B 所成角的正弦值; (2)求二面角 B-AC1-C 的余弦值.第 4 页,共 18 页25 已知 n 为给定的正整数,设(1)若 n=4,求 a0,a1 的值;(2)若 ,求的值.,x∈R.2020 年江苏省苏北四市(徐州市、宿迁市、淮安市、连云港市)高考数学一模试卷【答案】1. (-1,2) 2. -2i 3.4. 20 5. [4,+∞). 6.7. 4 8.9. 135答案和解析第 5 页,共 18 页10. 11. (x+2)2+y2=8 12. 313.14.15. 证明:如图所示:(1)M,N 分别为棱 PB,PC 的中点,∴MN∥BC, MN⊂AMN,BC⊄AMN, 所以 BC∥面 AMN; (2)PA=AB,点 M 为棱 PB 的中点, ∴AM⊥PB,又平面 PAB⊥平面 PBC, 平面 PAB∩平面 PBC=PB,AM⊂PAB,AM⊥面 PBC,又 AM⊂AMN, ∴平面 AMN⊥平面 PBC.16. 解:(1)在△ABC 中,由余弦定理 b2+c2-2bccosA=a2,得,即 b2-4b-5=0,解得 b=5 或 b=-1(舍),所以 b=5.(2)由及 0<A<π 得,,所以,又因为 0<C<π,所以,从而,所以.17. 解:(1)在△SAO 中,,由△SNO1∽△SAO 可知,,所以,所以,所以.(2)由(1)得,所以,令 V'(r)=0,得 r=2,当 r∈(0,2)时,V'(r)>0, 所以 V(r)在(0,2)上单调递增; 当 r∈(2,3)时,V'(r)<0,第 6 页,共 18 页所以 V(r)在(2,3)上单调递减.所以当 r=2 时,V(r)取得最大值.答:小圆锥的体积 V 的最大值为 .18. 解:(1)直线 l 的方程为 y=k(x-a),即 kx-y-ak=0,∵直线 l 与圆 O:x2+y2=b2 相切,∴,故.∴椭圆 C 的离心率;(2)设椭圆 C 的焦距为 2c,则右准线方程为 ,由,得,∴,由,得(b2+a2k2)x2-2a3k2x+a4k2-a2b2=0,解得,则,∴,∵,∴,即 a(a2k2-b2)=2b2k2(a-c),由(1)知,,∴,整理得 a=2a-2c,即 a=2c,∴ ,故椭圆 C 的离心率为 .19. 解:(1),因为曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 x+y-1=0, 所以 f'(1)=a-1=-1,得 a=0;(2)因为存在两个不相等的零点,所以 g(x)=ax-1+lnx 存在两个不相等的零点,则,①当 a≥0 时,g'(x)>0,所以 g(x)单调递增,至多有一个零点,②当 a<0 时,因为当时,g'(x)>0,g(x)单调递增,第 7 页,共 18 页当时,g'(x)<0,g(x)单调递减,所以时,,因为 g(x)存在两个零点,所以,解得-e-2<a<0,因为-e-2<a<0,所以,因为 g(1)=a-1<0,所以 g(x)在上存在一个零点,因为-e-2<a<0,所以,因为,设,则 y=2lnt-t-1(t>e2),因为,所以 y=2lnt-t-1(t>e2)单调递减,所以 y<2ln(e2)-e2-1=3-e2<0,所以,所以 g(x)在上存在一个零点,综上可知,实数 a 的取值范围为(-e-2,0);(3)当 a=2 时,,,设 g(x)=2x-1+lnx,则.所以 g(x)单调递增,且,g(1)=1>0,所以存在使得 g(x0)=0,因为当 x∈(0,x0)时,g(x)<0,即 f'(x)<0,所以 f(x)单调递减; 当 x∈(x0,+∞)时,g(x)>0,即 f'(x)>0,所以 f(x)单调递增, 所以 x=x0 时,f(x)取得极小值,也是最小值,此时,因为,所以 f(x0)∈(-1,0),因为 f(x)≥λ,且 λ 为整数,所以 λ≤-1,即 λ 的最大值为-1.20. 解:(1)由 an+1=kan-1,a1=3,可知 a2=3k-1,,∵{an-1}为等比数列,∴,即(3k-2)2=2×(3k2-k-2),整理,得 3k2-10k+8=0,解得 k=2 或 .①当 时,,此时 an=3,则 an-1=2,∴数列{an-1}的公比为 1,不符合题意;②当 k=2 时,an+1-1=2(an-1),所以数列{an-1}的公比,第 8 页,共 18 页综上所述,实数 k 的值为 2.(2)由(1)知,,∴.则=(4-1)+(4-3)+…+[4-(2m-1)]+4+42+…+4m=,.∵,∴,∵b2+b3=5>0,b1=3>0, ∴S2m-1>0,S2m>0.设,则 t=1,3 或 t 为偶数,因为 S2m≠S2m-1,所以 t=3(即 b3=1)不可能,所以 t=1 或 t 为偶数,①当时,,化简得 6m2-24m+8=-4m≤-4,即 m2-4m+2≤0,所以m 可取值为 1,2,3, 验证得,当 m=2 时,成立.②当 t 为偶数时,,设,则,由①知 m>3,当 m=4 时,;当 m>4 时,cm+1-cm>0,所以 c4>c5<c6<…,所以 cm 的最小值为,所以,令,则,即-3m2+12m-4=0,而此方程无整数解.综上,正整数 m 的值为 2.21. 解:矩阵 M 的特征多项式为 f(λ)==(λ-2)(λ-1)-3t;因为矩阵 M 的一个特征值为 4,所以方程 f(λ)=0 有一根为 4; 即 f(4)=2×3-3t=0,解得 t=2;所以 M=,第 9 页,共 18 页设 M-1=,则 MM-1==,由,解得;由,解得;所以 M-1=.22. 解:直线 l 的极坐标方程为 ρ(cosθ+sinθ)=12,转换为直角坐标方程 x+y-12=0.曲线 C 的参数方程为(θ 为参数,θ∈R),设点 P(),所以点 P()到直线 x+y-12=0 的距离 d==,当 时,即 M(3,1)到直线的距离的最小值为 4 .23. 解:根据题意,x+y+z=1,则(x+2y)+(y+2x)+(z+2x)=3(x+y)=3;则有([ x+2y)+(y+2x)+(z+2x)(] + + )≥([× )+(×)+(× )]2=9;当且仅当 x=y=z= 时等号成立;变形可得: + + ≥3,即 + +24. 解:(1)在正方形 ABB1A1 中,AB⊥BB1,因为 平面 AA1B1B⊥平面 BB1C1C,平面 AA1B1B∩平面 BB1C1C=BB1,AB⊂平面 ABB1A1, 所以 AB⊥平面 BB1C1C,在平面 BB1C1C 内过点 B 作 Bz⊥BB1,以点 B 为坐标原点,分别以 BA, BB1 所在的直线为 x,y 轴, 建立如图所示的空间直角坐标系 B-xyz, 设 A(2,0,0),则 B1(0,2,0).在菱形 BB1C1C 中,∠BB1C1=60°,C(0,-1, ), C1(0,1, ),,平面 AA1B1B 的一个法向的最小值为 3.量为,则由 cos== =,故线 AC1 与平面 AA1B1B 所成角的正弦值为 ;第 10 页,共 18 页(2)设平面 BAC1 的一个法向量为由,得,故, ,设平面 ACC1 的一个法向量由,得, ,故, ,由 cos=,故二面角 B-AC1-C 的余弦值为 .25. 解:(1)因为 n=4,所以 a0= • = ,a1= • = ;(2)当 x= 时,akxk= ••,又因为 k =k•=n•=n ,当 n=1 时,(n-k)akxk= • = ;当 n≥2 时,(n-k)•ak•xk=(n-k)• ••=n-k=n-n=n- n=n- n= n,当 n=1 时,也符合.所以(n-k)akxk 的值为 n.【解析】1. 解:∵A={x|0<x<2},B={x|-1<x<1},∴A∪B={x|-1<x<2}=(-1,2). 故答案为:(-1,2). 进行并集的运算即可. 考查描述法、区间的定义,以及并集的运算.2. 解:设 z=a+bi,(a,b∈R).复数 z 满足 z2=-4,∴a2-b2+2abi=-4,第 11 页,共 18 页, ,∴a2-b2=-4,2ab=0,且 z 的虚部小于 0, ∴a=0,b=-2. 则 z=-2i. 故答案为:-2i. 利用复数的运算法则、复数相等即可得出 a,b. 本题考查了复数的运算法则、复数相等,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.3. 解:由题意知, ×(7+x+6+8+8)=7,解得 x=6, 计算该组数据的方差为S2= ×[(7-7)2+(6-7)2+(6-7)2+(8-7)2+(8-7)2]= .故答案为: .由平均数的定义列方程求出 n 的值,再计算这组数据的方差. 本题考查了平均数和方差的计算问题,属于基础题.4. 解:模拟程序的运行,可得S=0,I=1 满足条件 I<6,执行循环体,I=2,S=2 满足条件 I<6,执行循环体,I=3,S=5 满足条件 I<6,执行循环体,I=4,S=9 满足条件 I<6,执行循环体,I=5,S=14 满足条件 I<6,执行循环体,I=6,S=20 此时,不满足条件 I<6,退出循环,输出 S 的值为 20. 故答案为:20. 由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值,模拟 程序的运行过程,可得答案. 本题考查的知识点是伪代码(算法语句)的应用,当循环的次数不多,或有规律时,常 采用模拟循环的方法解答.5. 解:函数 f(x)=有意义,只需 log2x-2≥0,且 x>0, 解得 x≥4. 则定义域为[4,+∞). 故答案为:[4,+∞).函数 f(x)=有意义,只需 log2x-2≥0,且 x>0,解不等式即可得到所求定义域. 本题考查函数的定义域的求法,注意运用偶次根式被开方数非负,对数的真数大于 0, 考查运算能力,属于基础题.6. 解:某学校高三年级有 A,B 两个自习教室,甲、乙、丙 3 名学生各自随机选择其中一个教室自习, 基本事件总数 n=23=8,甲、乙两人不在同一教室上自习包含的基本事件个数 m==4,∴甲、乙两人不在同一教室上自习的概率为 p= = = .第 12 页,共 18 页故答案为: .基本事件总数 n=23=8,甲、乙两人不在同一教室上自习包含的基本事件个数m==4,由此能求出甲、乙两人不在同一教室上自习的概率.本题考查概率的求法,考查古典概型等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.7. 解:不等式 x2-mx+3<0 的解集是(1,3),所以方程 x2-mx+3=0 的解 1 和 3, 由根与系数的关系知, m=1+3=4.. 故答案为:4. 利用不等式与对应方程的关系,和根与系数的关系,即可求得 m 的值. 本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系应用问题,是基础题.8. 解:双曲线的右准线 x= ,渐近线 y= x,双曲线的右准线与渐近线的交点( ,交点在抛物线 y2=2px 上,可得: =3p,),解得 p= .故答案为: .求出双曲线的渐近线方程,右准线方程,得到交点坐标代入抛物线方程求解即可. 本题考查双曲线的简单性质以及抛物线的简单性质的应用,是基本知识的考查,基础题.9. 解:由于 a2+a9=8,S5=-5,所以.则.所以 S15=15×(-5)+ ×15×14×2=135.故答案是:135. 根据等差数列的通项公式和求和公式解答. 本题考查了等差数列的通项公式,考查了等差数列的前 n 项和,是基础题.10. 解:由=cos2x 得 tan2x= ,则2x=kπ+ ,得 x= + ,k∈Z, 取相邻的三个 k, k=-1 时,x=- ,2x=- ,此时 y=cos2x=- ,即 A(- ,- ),第 13 页,共 18 页k=0 时,x= ,2x= ,此时 y=cos2x= ,即 B( , ),k=1 时,x= ,2x= ,此时 y=cos2x=- ,即 C( ,- ),则|AC|= -(- )=π,B 到线段 AC 的距离 h= -(- )= ,则△ABC 的面积 S= π× = π,故答案为: π根据函数相等,建立方程关系求出 x 的值,求出点的坐标,结合三角形的面积公式进行 计算即可. 本题主要考查三角形的面积的计算,结合三角函数的关系求出交点坐标是解决本题的关 键,难度中等.11. 解:已知圆 M:x2+y2-4x-8y+12=0,整理得:(x-2)2+(y-4)2=8,令 y=0,圆的方程转换为:y2-8y+12=0,解得 y=2 或 6. 由于圆 N 与圆 M 相切于(0,m)且过点(0,-2). 所以 m=2. 即圆 N 经过点 A(0,2),B(0,-2). 所以圆心在这两点连线的中垂线 x 轴上, x 轴与 MA 的交点为圆心 N. 所以 MA:y=x+2. 令 y=0,则 x=-2. 即 N(-2,0), R=|NA=2 . 所以圆 N 的标准方程为:(x+2)2+y2=8. 故答案为:(x+2)2+y2=8 直接利用圆与圆的位置关系式的应用和相关的运算的应用求出圆的方程. 本题考查的知识要点:圆的方程的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能 力,属于中档题型.12. 解:根据题意,f(x)的图象关于 x=1 对称,所以 f(1+x)=f(1-x)又由 f(x)是 R 上的奇函数,所以 f(x+1)=-f(x-1),则有 f(x+2)=-f(x),f(x+4) =-f(x+2)=f(x). 则 f(x)是周期为 4 的函数, 故 f(2020-ln2)=f(-ln2)=-f(ln2)=-(-ex•ln2)=8, 变形可得:2x=8,解可得 x=3; 故答案为:3 根据题意,分析可得 f(x)是周期为 4 的周期函数,进而结合函数的奇偶性与周期性可 得 f(2020-ln2)=f(-ln2)=-f(ln2)=-(-ex•ln2)=8,计算可得答案. 本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用,注意分析函数的周期性,13. 解:由 D,E 是 BC上的两个三等分点可得,由图形可得 ==-,==2 - ,又因为即(-)=2(2),第 14 页,共 18 页整理可得:7=,即 7| |•cos∠ADE=| |2+4| |2,由基本不等式可得 cos∠ADE=≥=,故 cos∠ADE 的最小值为: .故答案为: .由 D,E 为三等分点可得相等的向量,,分别写出 , , , 用与∠ADE 的边有关系的向量表示,再由均值不等式求出最小值. 考查平面向量的数量积的运算及其性质,属于中档题.14. 解:构造函数 g(x)=x3-ax-b,则 f(x)=|g(x)|,由于 g(x)+g(-x)=(x3-ax-b)+(-x3+ax-b)=-2b, ∴,函数 y=g(x)的图象关于点(0,-b)对称,且 g'(x)=3x2-a. ①当 a≤0 时,g'(x)≥0,函数 y=g(x)在区间[-1,1]上单调递增,则,∴,此时,当 a=0,-1≤b≤1 时,M 取最小值 1; ②当 a≥3 时,对任意的 x∈[-1,1],g'(x)≤0,函数 y=g(x)在区间[-1,1]上单调递减,则,∴ 此时,当 a=3,-2≤b≤2 时,M 取最小值 2;③当 0<a<3 时,令 g'(x)=0,得,令x g'(x) g(x)[-1,-t) + ↗-t 0 极大值(-t,t) ↘,,列表如下:t 0 极小值(t,1] + ↗不妨设 g(0)=-b≥0,则 b≤0,则,∴M≥max{f(1),f(t),f(-t),f(-1)}, ∵g(-t)+g(t)=2g(0)≥0,且 g(t)<g(-t),∴g(-t)≥|g(t)|=f(t), ∵g(-1)+g(1)=2g(0)≥0,若 g(-1)≥g(1),则 g(-1)≥|g(1)|=f(1), 若 g(-1)<g(1),则 g(1)>0,但 g(-t)>g(-1), ∵g(-t)-g(1)=(2t3-b)-(1-a-b)=2t3+a-1=2t3+3t2-1=(2t-1)(t+1)2,∴.当时,,第 15 页,共 18 页当且仅当 b=0,时,即当 ,b=0 时,M 取得最小值 ;当时,M≥g(-t)=2t3-b≥2t3>2.综上所述,当 ,b=0 时,M 取得最小值 ,此时.故答案为: .构造函数 g(x)=x3-ax-b,可知该函数关于点(0,-b)对称,然后分 a≤0、a≥3、0<a <3 三种情况讨论,分析函数 y=g(x)在区间[-1,1]上的单调性,得出函数 f(x)=|g (x)|在区间[-1,1]上最值的可能取值,利用绝对值三角不等式可求出当 M 取得最小值 时 a+b 的值. 本题考查利用绝对值三次函数的最值求参数,解题的关键就是充分利用三次函数的单调 性,找出绝对值三次函数最大值的可能值,并结合绝对值三角不等式的性质来求解,考 查分类讨论思想,转化思想和函数思想,属难题.15. (1)线面平行的定理的应用,注意一定要有面内,面外的说明;(2)面面垂直定理的性质定理及判定定理的应用. 考查线面平行定理的应用及面面垂直的判定定理及性质定理的应用,属于基础题.16. (1)结合已知,可利用余弦定理求出 b;(2)由已知结合同角平方关系可求 sinA,然后结合诱导公式及和差角公式可求 cosC, sinC,再利用同角基本关系及二倍角正切公式可求. 本题综合考查了余弦定理,同角基本关系,和差角公式及二倍角公式在求解三角形中的 应用,属于中档试题.17. (1)在△SAO 中,,由△SNO1∽△SAO 可知,,从而,,由此能将 V 表示成 r 的函数.(2)由,得,令 V'(r)=0,得 r=2,由此能求出小圆锥的体积 V 的最大值. 本题考查圆锥体积最大值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知 识,考查运算求解能力,是中档题.18. (1)写出直线 l 的方程,由圆心到直线的距离等于半径可得.由此求得椭圆的离心率;(2)设椭圆 C 的焦距为 2c,则右准线方程为 ,分别联立直线方程、直线与椭圆方程求得 Q 与 P 的坐标,结合,得 a(a2k2-b2)=2b2k2(a-c),由(1)知,,由此列等式求解椭圆 C 的离心率.本题是圆与椭圆的综合题,考查椭圆的简单性质,考查直线与椭圆位置关系的应用,考 查计算能力,是中档题.19. (1)求导,利用导数的几何意义即可求解;(2)因为存在两个不相等的零点,所以 g(x)=ax-1+lnx 存在两个不相等的零点,则,再对 a 分情况讨论求出 a 的取值范围;第 16 页,共 18 页(3)当 a=2 时,,,设 g(x)=2x-1+lnx,则.所以 g(x)单调递增,且,g(1)=1>0,所以存在使得 g(x0)=0,所以 x=x0 时,f(x)取得极小值,也是最小值,此时,因为,所以 f(x0)∈(-1,0),因为 f(x)≥λ,且 λ 为整数,所以 λ≤-1,即 λ的最大值为-1. 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程,以及利用导数研究函数的最 值,是中档题.20. (1)利用递推关系 an+1=kan-1,取特殊值 n=1,2,3,从而得到 a1=3,a2=3k-1,.因为数列{an-1}是等比数列,利用等比中项公式,可得,进而算出 k=2 或 ,然后检验即可得解;(2)由(1)可得,结合分组求和法算得 S2m,S2m-1,并得知 S2m-1>0,S2m>0.于是假设,则 t=1,3 或 t 为偶数,然后分类讨论每种情形是否符合题意即可得解. 本题考查数列的综合运用,涉及递推关系、等比中项公式、分组求和法和分类讨论等知 识和方法,考查学生的逻辑推理能力和运算能力,属于难题.21. 写出矩阵 M 的特征多项式 f(λ),根据题意知 f(4)=0 求出 t 的值,写出矩阵 M,再求它的逆矩阵. 本题考查了矩阵的特征多项式以及逆矩阵的计算问题,是基础题.22. 首先把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换,进一步利用点到直线的距离公式的应用求出结果. 本题考查的知识要点:参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换,点到直线的距 离公式的应用,正弦型函数的性质的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维 能力,属于基础题型.23. 根据题意,分析可得(x+2y)+(y+2x)+(z+2x)=3(x+y)=3,结合柯西不等式分析可得答案. 本题考查柯西不等式的应用,注意柯西不等式的形式,属于基础题.24. (1)在平面 BB1C1C 内过点 B 作 Bz⊥BB1,以点 B 为坐标原点,分别以 BA,BB1 所在的直线为 x,y 轴,建立如图所示的空间直角坐标系 B-xyz,用向量法求出即可; (2)求出平面 BAC1 的一个法向量和平面 ACC1 的一个法向量,利用向量的夹角公式求 出即可. 考查了空间面面垂直性质,向量法求线面角、面面角,属于中档题.25. (1)利用二项式展开式公式计算 n=4 时 a0 和 a1 的值;(2)由 x= 写出 akxk,利用 k =n ,讨论 n=1 和 n≥2 时,计算(n-k)•ak•xk 的值即可.本题考查了组合数公式与二项式定理的应用问题,也考查了推理与计算能力,是中档题.第 17 页,共 18 页第 18 页,共 18 页。

(江苏专用)高考数学总复习 (基础达标演练+综合创新备选)第四篇 三角函数、解三角形《第20讲 函数

(江苏专用)高考数学总复习 (基础达标演练+综合创新备选)第四篇 三角函数、解三角形《第20讲 函数

2023高考总复习江苏专用(理科):第四篇 三角函数、解三角形《第20讲 函数y =Asin(ωx +φ)的图象与性质》(根底达标演练+综合创新备选,含解析)A 级 根底达标演练(时间:45分钟 总分值:80分)一、填空题(每题5分,共35分)1.(2023·苏州调研)函数f (x )=A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0,φ∈[0,2π))的图象如下图,那么φ=________.解析 T =2×(7-3)=8,所以2πω=8,ω=π4,f (x )=3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x +φ.又由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4+φ=0,φ∈[0,2π),得φ=π4.答案π42.(2023·盐城调研)函数y =cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -3π4-22·sin 2x 的最小正周期为________.解析 y =cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -3π4-2(1-cos 2x )=cos 2x cos 3π4+sin 2x sin 3π4+2cos 2x-2=22 sin 2x +22cos 2x -2=sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π4-2,所以f (x )的最小正周期T =2π2=π. 答案 π3.(2023·苏北四市调研)函数y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π6+cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π3的最大值为________.解析 法一 由题意可知y =sin 2x cos π6+cos 2x sin π6+cos 2x cos π3+sin 2x sin π3=3sin 2x +cos 2x =2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π6,所以最大值为2.法二 y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π6+cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π6-π2= 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π6,所以最大值为2.答案 24.(2023·泰州学情调查)要使sin α-3cos α=4m -64-m 有意义,那么应有________.解析4m -64-m =sin α-3cos α=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α-π3∈[-2,2],所以-2≤4m -64-m ≤2,解得-1≤m ≤73.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤-1,73 5.(2023·镇江调研)函数f (x )=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π4+2sin x cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4,π2上的最大值是________.解析 f (x )=2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos π4+cos x sin π4+2sin x cos x =sin x +cos x +2sin x cos x .设t =sin x +cos x ,那么t 2=1+2sin x cos x ,∴2sin x cos x =t 2-1,且由π4≤x ≤π2,得t =2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x +π4∈[1,2],所以y =t +t 2-1=t 2+t -1,当t =2时,y max =2+1.答案2+16.(2023·江苏)设定义在区间⎝⎛⎭⎪⎫0,π2上的函数y =6cos x 的图象与y =5tan x 的图象交于点P ,过点P 作x 轴的垂线,垂足为P 1,直线PP 1与函数y =sin x 的图象交于点P 2,那么线段P 1P 2的长为________.解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y =6cos x ,y =5tan x 消去y 得6cos x =5tan x .整理得6cos 2x =5sin x,6sin 2x +5sin x -6=0,(3sin x -2)·(2sin x +3)=0,所以sin x =23或sin x =-32(舍去). 所以P 1P 2=sin x =23.答案 237.给出以下命题:①函数y =cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x +π2是奇函数;②存在实数α,使得sin α+cos α=32;③假设α,β是第一象限角且α<β,那么tan α<tan β; ④x =π8是函数y =sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +5π4的一条对称轴; ⑤函数y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12,0成中心对称图形.其中正确命题的序号为________.(填所有正确命题的序号) 解析 ①y =cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x 3+π2⇒y =-sin 23x 是奇函数; ②由sin α+cos α=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4的最大值为2,2<32,所以不存在实数α,使得sin α+cos α=32.③α=60°,β=390°,显然有α<β,且α,β都是第一象限角,但tan α=3,tanβ=tan 390°=33,tan α>tan β,所以③不成立. ④∵2×π8+54π=π4+54π=32π,而sin 32π=-1,∴④成立.⑤∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12+π3=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6+π3=1≠0,∴⑤不成立. 答案 ①④二、解答题(每题15分,共45分) 8.已知函数y =A sin(ωx +φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0,|φ|<π2,ω>0的图象的一局部如下图. (1)求f (x )的表达式; (2)试写出f (x )的对称轴方程. 解 (1)观察图象可知:A =2且点(0,1)在图象上,所以1=2sin(ω·0+φ),即sin φ=12,因为|φ|<π2,所以φ=π6.又因为1112π是函数的一个零点,且是图象上升穿过x 轴形成的零点,所以11π12ω+π6=2π,所以ω=2.故f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π6.(2)设2x +π6=B ,那么函数y =2sin B 的对称轴方程为B =π2+k π,k ∈Z ,即2x +π6=π2+k π(k ∈Z ),解上式得x =k π2+π6(k ∈Z ),所以f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π6的对称轴方程为x =k π2+π6(k ∈Z ).9.(2023·华东师大附中模拟)已知函数f (x )=A sin ωx +B cos ωx (A 、B 、ω是常数,ω>0)的最小正周期为2,并且当x =13时,f (x )max =2.(1)求f (x )的解析式;(2)在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤214,234上是否存在f (x )的对称轴?如果存在,求出其对称轴方程;如果不存在,请说明理由.解 (1)因为f (x )=A 2+B 2sin(ωx +φ),由它的最小正周期为2,知2πω=2,ω=π,又因为当x =13时,f (x )max =2,知13π+φ=2k π+π2(k ∈Z ),φ=2k π+π6(k ∈Z ),所以f (x )=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx +2k π+π6=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx +π6(k ∈Z ).故f (x )的解析式为f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx +π6.(2)当垂直于x 轴的直线过正弦曲线的最高点或最低点时,该直线就是正弦曲线的对称轴,令πx +π6=k π+π2(k ∈Z ),解得x =k +13(k ∈Z ),由214≤k +13≤234,解得5912≤k ≤6512,又k ∈Z ,知k =5,由此可知在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤214,234上存在f (x )的对称轴,其方程为x =163.10.(★)(2023·深圳一调)已知函数f (x )=23·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2+π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2+π4-sin(x +π).(1)求f (x )的最小正周期;(2)假设将f (x )的图象向右平移π6个单位,得到函数g (x )的图象,求函数g (x )在区间[0,π]上的最大值和最小值.解 (1)因为f (x )=3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π2+sin x =3cos x +sin x =2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x +12sin x =2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x +π3,所以f (x )的最小正周期为2π. (2)∵将f (x )的图象向右平移π6个单位,得到函数g (x )的图象,∴g (x )=f ⎝⎛⎭⎪⎫x -π6=2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π6+π3=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π6.∵x ∈[0,π],∴x +π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6,7π6, ∴当x +π6=π2,即x =π3时,sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π6=1,g (x )取得最大值2.当x +π6=7π6,即x =π时,sin ⎝⎛⎭⎪⎫x +π6=-12,g (x )取得最小值-1. 【点评】 解决三角函数的单调性及最值值域问题主要步骤有:,第一步:三角函数式的化简,一般化成y =A sin ωx +φ+h 或y =A cos ωx +φ+h 的形式.,第二步:根据sin x 、cos x 的单调性解决问题,将“ωx +φ”看作一个整体,转化为不等式问题.,第三步:根据已知x 的范围,确定“ωx +φ”的范围.,第四步:确定最大值或最小值.,第五步:明确标准表述结论B 级 综合创新备选(时间:30分钟 总分值:60分)一、填空题(每题5分,共30分)1.函数y =A sin(ωx +φ)(A 、ω、φ为常数,A >0,ω>0)在闭区间[-π,0]上的图象如下图,那么ω=________.解析 由函数y =A sin(ωx +φ)的图象可知.T 2=⎝⎛⎭⎪⎫-π3-⎝ ⎛⎭⎪⎫-23π=π3,所以T =23π.因为T =2πω=23π,所以ω=3.答案 32.(2023·连云港模拟)设函数y =2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π3的图象关于点P (x 0,0)成中心对称,假设x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π2,0,那么x 0=________.解析 因为函数图象的对称中心是其与x 轴的交点,所以y =2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x 0+π3=0,x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π2,0,解得x 0=-π6. 答案 -π63.(2023·四川改编)将函数y =sin x 的图象上所有的点向右平行移动π10个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是________. 解析 将函数y =sin x 的图象上所有点向右平移π10个单位得y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π10,再把所得各点横坐标伸长到原来的2倍得y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x -π10.答案 y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x -π10 4.(2023·福建)已知函数f (x )=3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx -π6(ω>0)和g (x )=2cos(2x +φ)+1的图象的对称轴完全相同.假设x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2,那么f (x )的取值范围是________.解析 由f (x )与g (x )的图象对称轴完全相同知两函数的周期相同,∴ω=2. 所以f (x )=3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x -π6,当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2时,2x -π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π6,56π,f (x )的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤-32,3.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤-32,3 5.(2023·南通调研)函数f (x )=sin ωx +3cos ωx (x ∈R ),又f (α)=-2,f (β)=0,且|α-β|的最小值等于π2,那么正数ω的值为________.解析 f (x )=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx +π3,由题意得f (x )的最小正周期T =4×π2=2π,所以2πω=2π,即ω=1. 答案 16.(2023·菏泽模拟)函数f (x )=3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x -π3的图象为C ,以下结论:①图象C 关于直线x =π6对称;②图象C 关于点⎝⎛⎭⎪⎫-π6,0对称;③f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫-π12,5π12上是增函数;④函数g (x )=3sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到f (x )的图象,其中正确的命题序号是________.解析 ①当x =π6时,2x -π3=2×π6-π3=0,所以C 关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6,0对称,所以①不正确.②当x =-π6时,3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π3=3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫-2π3≠0,所以②不正确.③当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-π12,5π12时,2x -π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2,π2,y =f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2,π2上单调增,所以③正确.④g ⎝⎛⎭⎪⎫x -π3=3sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π3=3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -2π3≠f (x ),所以④不正确,故正确的题号是③.答案 ③二、解答题(每题15分,共30分)7.函数y =A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的一段图象如下图.(1)求函数y =f (x )的解析式;(2)将函数y =f (x )的图象向右平移π4个单位,得到y =g (x )的图象,求直线y =6与函数y=f (x )+g (x )的图象在(0,π)内所有交点的坐标. 解 (1)由题图知A =2,T =π,于是ω=2πT=2,将y =2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度,得y =2sin(2x +φ)的图象.于是φ=2×π12=π6,所以f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π6. (2)依题意得g (x )=2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x -π4+π6=-2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π6.故y =f (x )+g (x )=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π6-2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π6=22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π12.由22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π12=6,得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π12=32.因为0<x <π,所以-π12<2x -π12<2π-π12.所以2x -π12=π3或2x -π12=2π3,所以x =524π或x =38π,故所求交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫5π24,6或⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8,6.8.(2023·南通调研)已知函数f (x )=2cos x 2⎝⎛⎭⎪⎫3cos x 2-sin x 2.(1)设θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π2,π2,且f (θ)=3+1,求θ的值;(2)在△ABC 中,AB =1,f (C )=3+1,且△ABC 的面积为32,求sin A +sin B 的值. 解 (1)f (x )=23cos 2 x 2-2sin x 2cos x 2=3(1+cos x )-sin x =2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x +π6+ 3.由2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ+π6+3=3+1,得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ+π6=12.于是θ+π6=2kπ±π3(k ∈Z ).因为θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π2,π2, 所以θ=-π2或π6.(2)因为C ∈(0,π),由(1)知C =π6.因为△ABC 的面积为32,所以32=12ab sin π6.于是ab =2 3.① 在△ABC 中,设内角A ,B 的对边分别是a ,b . 由余弦定理,得1=a 2+b 2-2ab cos π6=a 2+b 2-6.所以a 2+b 2=7.② 由①②,可得⎩⎨⎧a =2,b =3,或⎩⎨⎧a =3,b =2.于是a +b =2+ 3.由正弦定理,得sin A a =sin B b =sin C 1=12.所以sin A +sin B =12(a +b )=1+32.。

2021年江苏省南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁七市联考高考数学三调试卷(解析版)

2021年江苏省南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁七市联考高考数学三调试卷(解析版)

2021年江苏省苏北七市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁)高考数学三调试卷一、选择题(共8小题).1.设集合A={x|log2(x﹣1)≤1},B={x|21﹣x≥},则A∩B=()A.(﹣∞,2]B.[1,2]C.(1,2]D.(1,3]2.已知复数z=+3i,则|z|=()A.5B.C.D.3+3.设a=3,b=log43,c=4,则()A.c>b>a B.a>c>b C.c>a>b D.a>b>c4.已知点A(1,1),B(7,5),将向量绕点A逆时针旋转得到,则点C的坐标为()A.(5,﹣5)B.(3,﹣7)C.(﹣5,5)D.(﹣3,7)5.“角谷猜想”最早流传于美国,不久传到欧洲,后来日本数学家角谷把它带到亚洲.该猜想是指对于每一个正整数,如果它是奇数,则对它乘3再加1;如果它是偶数,则对它除以2.如此循环,经过有限步演算,最终都能得到1.若正整数n经过5步演算得到1,则n的取值不可能是()A.32B.16C.5D.46.已知双曲线E:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,点A在双曲线E的左支上,且∠F1AF2=120°,AF2=2AF1,则双曲线E的离心率为()A.B.C.D.77.在数1和3之间插入n个实数,使得这n+2个数构成等差数列,将这n+2个数的和记为b n,则数列{log3}的前78项的和为()A.3B.log378C.5D.log388.已知函数f(x)=2lnx﹣x2e x+1.若存在x0>0,使f(x0)≥ax0,则a的最大值为()A.0B.﹣1C.1﹣e D.1﹣e2二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。

全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。

9.在△ABC中,M是BC的中点.若=,=,则||=()A.|﹣|B.|+|C.D.10.在(2x2﹣)6的展开式中,下列说法正确的是()A.各项系数和为1B.第2项的二项式系数为15C.含x3的项的系数为﹣160D.不存在常数项11.2021年3月30日,小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的新log o.设计师的灵感来源于曲线C:|x|n+|y|n=1.则下列说法正确的是()A.曲线C关于原点成中心对称B.当n=﹣2时,曲线C上的点到原点的距离的最小值为2C.当n>0时,曲线C所围成图形的面积的最小值为πD.当n>0时,曲线C所围成图形的面积小于412.已知菱形ABCD的边长为2,∠ABC=,将△DAC沿着对角线AC折起至△D′AC,连结BD′.设二面角D′﹣AC﹣B的大小为θ,则下列说法正确的是()A.若四面体D′ABC为正四面体,则θ=B.四面体D'ABC的体积最大值为1C.四面体D′ABC的表面积最大值为2(+2)D.当时,四面体D′ABC的外接球的半径为三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

2016~2017学年第一学期高三期中调研试卷(二)数 学(满分160分,考试时间120分钟)2016.11 参考公式:锥体的体积公式:V =13Sh ,其中S 是锥体的底面面积,h 是高.一、 填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.1. 已知全集U ={-1,0,1,2},集合A ={-1,2},则∁U A =__________.2. 已知复数z 满足z(1-i)=2,其中i 为虚数单位,则z 的实部为__________.(第4题)3. 函数y =cos ⎝⎛⎭⎫12x +π6的最小正周期为__________.4. 右图是一个算法的流程图,则输出x 的值为__________.5. 某校有足球、篮球、排球三个兴趣小组,共有成员120人,其中足球、篮球、排球的成员分别有40人、60人、20人.现用分层抽样的方法从这三个兴趣小组中抽取24人来调查活动开展情况,则在足球兴趣小组中应抽取__________人.6. 若随机地从1,2,3,4,5五个数中选出两个数,则这两个数恰好为一奇一偶的概率为__________.7. 设实数x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x -y ≥0,x +y ≤1,x +2y ≥1,则3x +2y 的最大值为__________.8. 设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,且a 2=3,S 4=16,则S 9的值为________.9. 将斜边长为4的等腰直角三角形绕其斜边所在直线旋转一周,则所形成的几何体体积是__________.(第10题)10. 如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知A ,B 1,B 2分别为椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b>0)的右、下、上顶点,F 是椭圆C 的右焦点.若B 2F ⊥AB 1,则椭圆C 的离心率是__________.11. 若tan β=2tan α,且cos αsin β=23,则sin (α-β)的值为__________.12. 已知正数a ,b 满足1a +9b=ab -5,则ab 的最小值为________.13. 已知AB 为圆O 的直径,M 为圆O 的弦CD 上一动点,AB =8,CD =6,则MA →·MB→的取值范围是__________.14. 已知函数f(x)=|x2-4|+a|x-2|,x∈[-3,3].若f(x)的最大值是0,则实数a的取值范围是______________.二、解答题:本大题共6小题,共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15. (本小题满分14分)在△ABC中,已知角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且tanB=2,tanC=3.(1) 求角A的大小;(2) 若c=3,求b的长.16.(本小题满分14分)如图,在正三棱柱ABCA1B1C1中,已知D,E分别为BC,B1C1的中点,点F在棱CC1上,且EF⊥C1D.求证:(1) 直线A1E∥平面ADC1;(2) 直线EF⊥平面ADC1.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:x2+y2-4x=0及点A(-1,0),B(1,2).(1) 若直线l平行于AB,与圆C相交于M,N两点,且MN=AB,求直线l的方程;(2) 在圆C上是否存在点P,使得PA2+PB2=12?若存在,求点P的个数;若不存在,说明理由.某城市有一直角梯形绿地ABCD,其中∠ABC=∠BAD=90°,AD=DC=2 km,BC =1 km.现过边界CD上的点E处铺设一条直的灌溉水管EF,将绿地分成面积相等的两部分.(1) 如图1,若E为CD的中点,F在边界AB上,求灌溉水管EF的长度;(2) 如图2,若F在边界AD上,求灌溉水管EF的最短长度.在数列{a n }中,已知a 1=13,a n +1=13a n -23n +1,n ∈N *.设S n 为{a n }的前n 项和.(1) 求证:数列{3n a n }是等差数列; (2) 求S n ;(3) 是否存在正整数p ,q ,r(p <q <r),使S p ,S q ,S r 成等差数列?若存在,求出p ,q ,r 的值;若不存在,说明理由.设函数f(x)=lnx -ax 2+ax ,a 为正实数.(1) 当a =2时,求曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2) 求证:f ⎝⎛⎭⎫1a ≤0;(3) 若函数f(x)有且只有1个零点,求a 的值.2016~2017学年第一学期高三期中调研试卷(二) 数学附加题(满分40分,考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A ,B ,C ,D 四小题中只能选做2题,每小题10分,共20分.若多做,则按作答的前两题计分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.A. (选修41:几何证明选讲)如图,AB 是圆O 的直径,弦BD ,CA 的延长线相交于点E ,过E 作BA 的延长线的垂线,垂足为F.求证:AB 2=BE·BD -AE·AC.B. (选修42:矩阵与变换) 求椭圆C :x 29+y 24=1在矩阵A =⎣⎢⎡⎦⎥⎤1300 12对应的变换作用下所得的曲线的方程.C. (选修44:坐标系与参数方程)已知曲线C 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ+π3=3,以极点为坐标原点,极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系,求曲线C 的直角坐标方程.D. (选修45:不等式选讲)设c>0,|x-1|<c3,|y-1|<c3,求证:|2x+y-3|<c.【必做题】第22,23题,每小题10分,共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.22. 如图,在四棱锥PABCD中,PA⊥平面ABCD,∠ABC=∠BAD=90°,AD=AP =4,AB=BC=2,M为PC的中点.(1) 求异面直线AP,BM所成角的余弦值;(2) 点N在线段AD上,且AN=λ,若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为45,求λ的值.23.设n∈N*,f(n)=3n+7n-2.(1) 求f(1),f(2),f(3)的值;(2) 求证:对任意正整数n,f(n)是8的倍数.2016~2017学年第一学期高三期中调研试卷(二)(苏北四市)数学参考答案及评分标准1. {0,1}2. 13. 4π4. 235. 86. 357. 38. 819. 16π3 10. 5-12 11. -1312. 36 13. [-9,0] 14. (-∞,-5]15. 解:(1) 因为tanB =2,tanC =3,A +B +C =π, 所以tanA =tan [π-(B +C)]=-tan(B +C)(2分)=-tanB +tanC 1-tanBtanC =-2+31-2×3=1.(4分)又A ∈(0,π),所以A =π4.(6分)(2) 因为tanB =sinB cosB =2,且sin 2B +cos 2B =1,又B ∈(0,π),所以sinB =255.(8分)同理可得,sinC =31010.(10分)由正弦定理,得b =csinBsinC =3×25531010=2 2.(14分)16. 证明:(1) 连结ED ,因为D ,E 分别为BC ,B 1C 1的中点,所以B 1E ∥BD 且B 1E =BD ,所以四边形B 1BDE 是平行四边形,(2分) 所以BB 1∥DE 且BB 1=DE. 又BB 1∥AA 1且BB 1=AA 1, 所以AA 1∥DE 且AA 1=DE ,所以四边形AA 1ED 是平行四边形,(4分) 所以A 1E ∥AD.因为A 1E 平面ADC 1,AD 平面ADC 1, 所以直线A 1E ∥平面ADC 1.(7分)(2) 在正三棱柱ABCA 1B 1C 1中,BB 1⊥平面ABC , 又AD 平面ABC ,所以AD ⊥BB 1.又△ABC 是正三角形,且D 为BC 的中点,所以AD ⊥BC.(9分) 又BB 1,BC平面B 1BCC 1,BB 1∩BC =B ,所以AD ⊥平面B 1BCC 1.又EF 平面B 1BCC 1,所以AD ⊥EF.(11分)又EF ⊥C 1D ,C 1D ,AD 平面ADC 1,C 1D ∩AD =D , 所以直线EF ⊥平面ADC 1.(14分)17. 解:(1) 圆C 的标准方程为(x -2)2+y 2=4,所以圆心C(2,0),半径为2.因为l ∥AB ,A(-1,0),B(1,2),所以直线l 的斜率为2-01-(-1)=1.设直线l 的方程为x -y +m =0,(2分)则圆心C 到直线l 的距离为d =|2-0+m|2=|2+m|2.(4分)因为MN =AB =22+22=22,而CM 2=d 2+⎝⎛⎭⎫MN 22,所以4=(2+m )22+2,(6分)解得m =0或m =-4,故直线l 的方程为x -y =0或x -y -4=0.(8分)(2) 假设圆C 上存在点P ,设P(x ,y),则(x -2)2+y 2=4, PA 2+PB 2=(x +1)2+(y -0)2+(x -1)2+(y -2)2=12, 即x 2+y 2-2y -3=0,即x 2+(y -1)2=4.(10分)因为|2-2|<(2-0)2+(0-1)2<2+2,(12分) 所以圆(x -2)2+y 2=4与圆x 2+(y -1)2=4相交, 所以点P 的个数为2.(14分)18. 解:(1) 因为AD =DC =2,BC =1,∠ABC =∠BAD =90°,所以AB = 3.(2分)图1取AB 中点G ,则四边形BCEF 的面积为12S 梯形ABCD =S 梯形BCEG +S △EFG ,即12×12×3(1+2)=12×32⎝⎛⎭⎫1+32+12GF ×32, 解得GF =36,(6分)所以EF =⎝⎛⎭⎫322+⎝⎛⎭⎫362=213(km).故灌溉水管EF 的长度为213km.(8分)图2(2) 设DE =a ,DF =b ,在△ABC 中,CA =12+(3)2=2, 所以在△ADC 中,AD =DC =CA =2,所以∠ADC =60°,所以△DEF 的面积为S △DEF =12absin60°=34ab.又S 梯形ABCD =332,所以34ab =334,即ab =3.(12分)在△ADC 中,由余弦定理,得EF =a 2+b 2-ab ≥ab =3,当且仅当a =b =3时,取“=”.故灌溉水管EF 的最短长度为 3 km.(16分)19. (1) 证明:因为a n +1=13a n -23n +1,所以3n +1a n +1-3n a n =-2.(2分)因为a 1=13,所以31·a 1=1,所以{3n a n }是首项为1,公差为-2的等差数列.(4分)(2) 解:由(1)知,3n a n =1+(n -1)·(-2)=3-2n ,所以a n =(3-2n)⎝⎛⎭⎫13n ,(6分)所以S n =1·⎝⎛⎭⎫131+(-1)·⎝⎛⎭⎫132+(-3)·⎝⎛⎭⎫133+…+(3-2n)·⎝⎛⎭⎫13n ,所以13S n =1·⎝⎛⎭⎫132+(-1)·⎝⎛⎭⎫133+…+(5-2n)·⎝⎛⎭⎫13n +(3-2n)·⎝⎛⎭⎫13n +1, 两式相减得,23S n =13-2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫132+⎝⎛⎭⎫133+…+⎝⎛⎭⎫13n -(3-2n)·⎝⎛⎭⎫13n +1 =13-2⎣⎢⎡⎦⎥⎤19×1-⎝⎛⎭⎫13n -11-13+(2n -3)·⎝⎛⎭⎫13n +1=2n·⎝⎛⎭⎫13n +1, 所以S n =n 3n .(10分) (3) 解:假设存在正整数p ,q ,r(p <q <r),使S p ,S q ,S r 成等差数列,则2S q =S p +S r ,即2q 3q =p 3p +r 3r . 由于当n ≥2时,a n =(3-2n)⎝⎛⎭⎫13n <0,所以数列{S n }单调递减.又p <q ,所以p ≤q -1且q 至少为2,所以p 3p ≥q -13q -1,(12分) q -13q -1-2q 3q =q -33q . ① 当q ≥3时,p 3p ≥q -13q -1≥2q 3q ,又r 3r >0,所以p 3p +r 3r >2q 3q ,等式不成立.(14分) ② 当q =2时,p =1,所以49=13+r 3r ,所以r 3r =19,所以r =3({S n }单调递减,解唯一确定). 综上可知,p ,q ,r 的值分别为1,2,3.(16分)20. (1) 解:当a =2时,f(x)=lnx -2x 2+2x ,则f′(x)=1x-4x +2,(2分) 所以f′(1)=-1.又f(1)=0,所以曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x +y -1=0.(4分)(2) 证明:因为f ⎝⎛⎭⎫1a =ln 1a -1a+1,设函数g(x)=lnx -x +1, 则g′(x)=1x -1=1-x x.(6分) 令g′(x)=0,得x =1,列表如下:所以g(x)的极大值为g(1)=0.所以f ⎝⎛⎭⎫1a =ln 1a -1a+1≤0.(8分) (3) 解:f′(x)=1x -2ax +a =-2ax 2-ax -1x,x >0. 令f′(x)>0,得a -a 2+8a 4a <x <a +a 2+8a 4a. 因为a -a 2+8a 4a <0,所以f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0,a +a 2+8a 4a 上单调递增,在⎝ ⎛⎭⎪⎫a +a 2+8a 4a ,+∞上单调递减.所以f(x)≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a +a 2+8a 4a .(10分) 设x 0=a +a 2+8a 4a,因为函数f(x)只有1个零点,而f(1)=0, 所以1是函数f(x)的唯一零点.当x 0=1时,f(x)≤f(1)=0,f(x)有且只有1个零点,此时a +a 2+8a 4a=1, 解得a =1.(12分) 下证,当x 0≠1时,f(x)的零点不唯一.若x 0>1,则f(x 0)>f(1)=0,此时a +a 2+8a 4a >1,即0<a <1,则1a >1. 由(2)知,f ⎝⎛⎭⎫1a <0,又函数f(x)在以x 0和1a为端点的闭区间上的图象不间断, 所以在x 0和1a之间存在f(x)的零点,则f(x)共有2个零点,不符合题意; 若x 0<1,则f(x 0)>f(1)=0,此时a +a 2+8a 4a <1,即a >1,则0<1a<1. 同理可得,在1a和x 0之间存在f(x)的零点,则f(x)共有2个零点,不符合题意. 因此x 0=1,所以a 的值为1.(16分)高三数学附加题试卷(二)参考答案 第页(共2页)(这是边文,请据需要手工删加)2016~2017学年第一学期高三期中调研试卷(二)(苏北四市)数学附加题参考答案及评分标准21. A. 证明:连结AD ,因为AB 为圆O 的直径,所以∠ADB =90°.又EF ⊥AB ,∠AFE =90°,则A ,D ,E ,F 四点共圆,所以BD·BE =BA·BF.(5分)又△ABC ∽△AEF ,即AB·AF =AE·AC ,所以BE·BD -AE·AC =BA·BF -AB·AF=AB·(BF -AF)=AB 2.(10分)B. 解:设椭圆C 上的点(x 1,y 1)在矩阵A 对应的变换作用下得到点(x ,y),则⎣⎢⎡⎦⎥⎤13 00 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1=⎣⎢⎡⎦⎥⎤13x 112y 1=⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ,(5分) 则⎩⎪⎨⎪⎧x 1=3x ,y 1=2y ,代入椭圆方程x 29+y 24=1,得x 2+y 2=1, 所以所求曲线的方程为x 2+y 2=1.(10分)C. 解:由ρsin ⎝⎛⎭⎫θ+π3=3得12ρsin θ+32ρcos θ=3,(5分) 又ρcos θ=x ,ρsin θ=y ,所以曲线C 的直角坐标方程为3x +y -6=0.(10分)D. 证明:因为|x -1|<c 3,所以|2x -2|<2c 3, 故|2x +y -3|=|2x -2+y -1|(5分)≤|2x -2|+|y -1| <2c 3+c 3=c , 故|2x +y -3|<c.(10分)22. 解:(1) 因为PA ⊥平面ABCD ,且AB ,AD平面ABCD ,所以PA ⊥AB ,PA ⊥AD.因为∠BAD =90°,所以PA ,AB ,AD 两两互相垂直.以{AB →,AD →,AP →}为正交基底建立空间直角坐标系,则由AD =AP =4,AB =BC =2可得A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,4,0),P(0,0,4).因为M 为PC 的中点,所以M(1,1,2).所以BM →=(-1,1,2),AP →=(0,0,4),(2分)所以cos 〈AP →,BM →〉=AP →·BM →|AP →||BM →|=0×(-1)+0×1+4×24×6=63, 所以异面直线AP ,BM 所成角的余弦值为63.(5分) (2) 因为AN =λ,所以N(0,λ,0)(0≤λ≤4),则MN →=(-1,λ-1,-2),BC →=(0,2,0),PB →=(2,0,-4).设平面PBC 的法向量为m =(x ,y ,z),则⎩⎪⎨⎪⎧m ·BC →=0,m ·PB →=0,即⎩⎪⎨⎪⎧2y =0,2x -4z =0.令x =2,解得y =0,z =1, 所以m =(2,0,1)是平面PBC 的一个法向量.(7分)因为直线MN 与平面PBC 所成角的正弦值为45, 所以|cos 〈MN →,m 〉|=|MN →·m ||MN →||m |=|-2-2|5+(λ-1)2·5=45,解得λ=1∈[0,4], 所以λ的值为1.(10分)25. (1) 解:代入求出f(1)=8,f(2)=56,f(3)=368.(3分)(2) 证明:① 当n =1时,f(1)=8是8的倍数,命题成立.(4分)② 假设当n =k 时命题成立,即f(k)=3k +7k -2是8的倍数,那么当n =k +1时,f(k +1)=3k +1+7k +1-2=3(3k +7k -2)+4(7k +1).因为7k +1是偶数,所以4(7k +1)是8的倍数.又由归纳假设知3(3k +7k -2)是8的倍数,所以f(k +1)是8的倍数, 所以当n =k +1时,命题也成立.根据①②知命题对任意n ∈N *成立.(10分)。

相关文档
最新文档