测绘测量平差中国矿业大学

1. 若令 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⨯⨯1211Y X Z ，其中 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=21Y Y Y ，已知权阵Z P 为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=211120102Z P ，试求权阵X P ，Y P 及权1Y P ，2Y P 。

需要掌握的要点：向量的协方差阵D 、协因数阵Q 、权阵P 之间的关系和它们里面元素的含义。

解：由于1-=Z ZZ P Q ，所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=12/12/12/14/34/12/14/14/3ZZQ ，通过该式子可以看出，[]4/3=XXQ ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=12/12/14/3YY Q ，则3/41==-XX Q P X ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==-2/31121YY Q P Y 且3/41=Y P ，12=Y P2. 设已知点Ａ、B 之间的附合水准路线长80km ，令每公里观测高差的权等于1，试求平差后线路中点C 点高程的权。

思路：该题可以有三种解法（测量学的单附合水准路线平差、条件平差、间接平差）。

千万记住：求什么量的权就一定要把给量的函数表达式子正确地写出来。

即1ˆˆh H H A C +=，或X H Cˆˆ= 方法一：（测量学的单附合水准路线平差） (1) 线路闭合差B A h H h h H f -++=21)(21)2121()(212121)(2121ˆ2121211111B A B A B A A h A A C H H h h H H h h H h h H h H f h H v h H H ++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-=++-=-++-+=-+=++=(2) 按照协因数传播定律:202/12/1400040)2121(2/12/1)2121(22122111ˆˆ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=h h h h h h h h H H Q Q Q Q Q CC(3) 则 20/1/1ˆˆˆ==CCCH H H Q P方法二：（条件平差法）思路:因为C 点高程平差值是观测值平差值的函数。

（1） 条件方程式：0ˆˆ21=-++BAH h h H （2） 改正数条件方程：0)(2121=+----+B A H h h H v v（3） 系数阵[]11=A ，观测值权阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=40/10040/1P ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡==-4000401P Q ， 则法方程01=-⋅-W K A AP T ，其中801==-T A AP N（4） 由于条件平差中（5） []⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⋅⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-=-202020202020202040004040004011801114000404000401ˆˆAQ N QA Q Q TL L 列出平差值的函数式子：1ˆˆh H H A C +=，通过这个式子可以求出系数阵T f ，因为A C H h hH +⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅=21ˆˆ)01(ˆ，则 （6） 则有：()20012020202001ˆˆˆˆ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⋅⋅=f Q f Q L L TH H CC （7） 所以20/1/1ˆˆˆ==CC C H H H Q P方法三：（间接平差法）思路:因为C 点高程平差值就是所选取的未知参数平差值，而未知参数平差值的协因数阵是法方程系数阵的逆阵。

（1） 设C 点高程平差值为未知参数X ˆ，则按照间接平差有 （2） 观测方程 BA H X h H X h +-=-=ˆˆˆˆ21 （3） 误差方程)(ˆ)(ˆ022011B A H X h xv H X h xv -+--=+--= （4） 系数阵 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11B ，观测值的权阵 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=40/10040/1P ，则法方程0ˆ=-⋅Pl B x PB B TT ，其中20/1==PB B N T bb而201ˆˆ==-bb X X N Q（5） 所以20/1/1ˆˆˆ==X X H Q P C3. 如图A 是已知点，边长EF S 的长度和方位角CD T 也已知，确定各种条件数。

思路：测角网，当网中已知点数小2，必要观测数等于2×总点数减去4，还要加上已知的边数和已知的方位角数。

所以本题的必要观测数10)11(462=++-⨯=t 个。

条件的类型是：大地四边形 ABCF 中 3个图形条件、1个极条件；大地四边形BCDF 中 2个图形条件、1个极条件；大地四边形BDEF 中 2个图形条件、1个极条件；共计有7个图形条件、3个极条件。

边长观测值的平差值，有边长条件方程0ˆˆsin ˆsin ˆsin ˆsin 6532=-⋅AD AB S S ββββ，线性化之。

思路：条件方程的线性化只能用泰勒阶数展开，不能用全微分。

)sin sin sin sin (ˆ665533226532=-⋅+⋅+⋅+⋅+-⋅ADS AD AB v v a v a v a v a S S ββββ其中2265322cot 1cot )sin sin sin sin (βρρβββββ⋅=⋅⋅⋅=""ADAB S S a同理 33cot βρ⋅-="ADS a 、55cot βρ⋅="ADS a 、66cot βρ⋅-="ADS a 代入上式整理后，0")sin sin sin sin 1("cot cot cot cot 5623ˆ66553322=-+--+-ρββββρββββAB AD S ADS S v S v v v v ADDY ˆ为选取的未知参数的平差值，有方位角条件方程 0ˆˆarctan ˆˆ41=-----AD A D AB X X Y Y T ββ，线性化之。

思路：条件方程的线性化只能用泰勒阶数展开，不能用全微分。

0ˆˆ)arctan (11410041=⋅+⋅+-------D D AD AD AB y b xa v v X X Y Y T ββ其中 2001)("ADADS Y a ∆=ρ、2001)("AD ADS X b ∆-=ρ， 代入整理后的0)arctan (ˆ)("ˆ)("004120020041=-----+⋅∆-⋅∆+--AD AD AB D ADADD ADADX X Y Y T yS X xS Y v v ββρρ6．如图边角网中，A 、B 、C 、D 点均为待定点，边长观测值51S S →，角度观测值41L L →，试按条件平差列出全部平差值条件方程式及其线性形式。

思路：边角网，当网中已知点数小2，必要观测数等于2×总点数减去3，。

所以本题的必要观测数 5342=-⨯=t 个，可以列（n-t=9-5=4）条件。

图形条件：0180ˆˆˆ321=︒-++L L L正弦条件：0ˆsin ˆsin ˆˆ2351=-L L S S ，正弦条件：0ˆsin ˆsin ˆˆ2152=-L L S S余弦条件：0ˆˆˆ2ˆˆˆarccos 443222423=--+L S SS S S 其线性形式：01321=-++w v v v0"cos "cos sin sin 23352213251=--+-w v L S v L S v L v L S S ρρ0"cos "cos sin sin 31152221252=--+-w v L S v L S v L v L S S ρρ第四个条件，按照泰勒阶数展开：)2(arccos 4432443222423432=-+++--+v v a v a v a L S S S S S S S S 其中12"h a ρ=、DCB h a ∠-=cos "13ρ、DBC h a ∠-=cos "14ρ，代入整理0cos "cos ""44111432=--∠-∠-w v DBCv h DCBv h v h S S S ρρρ )180(3211-++-=L L L w 、21352sin sin L S L S w -= 22153sin sin L S L S w -=、44L BDC w -∠=232422232arccosS S S S S DCB -+=∠422324222arccosS S S S S DBC -+=∠432224232arccosS S SS S BDC -+=∠DBC S h ∠⋅=sin 417．如图测角网中，A 、B 、C 为已知点，P 为待定点，为了确定P 点坐标，观测了7个角度，其中4号角的观测值为"5.48031394'︒=L ，用A 、B 、C 点的已知坐标和P 点的近似坐标计算出各边的近似方位角和近似边长为：测站照准点近似方位角（°＇＂）近似边长（km ） PA40 03 48.5 1.75 B 266 59 06.3 1.83 C179 07 36.01.84 试列出4号角的观测方程和误差方程。

（注意是采用间接平差法）思路：选P 点的坐标为未知参数)ˆ,ˆ(P P Y X ，把各个角表达成未知参数的函数，这样的式子叫观测方程，线性化后叫误差方程。

解：列4号角的观测方程，PC P C P A P A X X Y Y X X Y Y L ˆˆarctan ˆˆarctan ˆ4-----=线性化：按照泰勒阶数展开：P P PC P C P A P A y b x a X X Y Y X X Y Y v L ˆˆ)arctan (arctan 1100044++-----=+P P PC PA y b x a v L ˆˆ)(110044++-=+αα ))((ˆˆ004114PC PA P P L y b x a v αα---++=其中415.7)(75.1sin 6265.20)(84.1sin 6265.20)(75.1sin 206265)(84.1sin 206265sin "sin "000000001-=-⋅=-⋅=-=dm dm km km S S a PC PA PCPA PC PC PA PA αααααραρ同理229.20)(75.1cos 6265.20)(84.1cos 6265.20)(75.1cos 206265)(84.1cos 206265cos "cos "000000001=+⋅-=+⋅-=--=dm dm km km S Sb PC PAPC PAPCPCPAPAαααααραρ代入得到："8.0ˆ229.20ˆ415.714-+-=P P y xv如何看待通用公式：k jkjkk jkjkj jkjkj jkjkjk ySxSySxSˆcos ˆsin ˆcos ˆsin 00"00"00"00""αραραραρδα+--=()()()()000022220000ˆˆˆˆjkjkjkjkjkj j k k jkjkjkjkY X Y X xyxyS S S S ρρρρδα''''''''∆∆∆∆''=--+8. 如图的边角网中，已知A 、B 点坐标及观测值为⎭⎬⎫==km Y km X A A 00.000.0，⎭⎬⎫==km Y km X B B 00.100.0角度观测值为：L 1=60°00＇05＂，L 2=59°59＇58＂，L 3=60°00＇00＂ 边长观测值为：S 1=999.99m ，S 2=1000.01m经过计算的P 点的近似坐标为⎪⎭⎪⎬⎫==km Y km X P P 500.0866.000，设待定点P 的坐标)ˆ,ˆ(PPY X 为未知参数，试列出线性化后的误差方程式。