汉诺塔的递归求解分析
汉诺塔的递归算法
汉诺塔的递归算法1. 汉诺塔问题简介汉诺塔是一种经典的递归问题，常用于理解和展示递归算法的思想。
该问题由法国数学家爱德华·卢卡斯于19世纪初提出，得名于印度传说中一个传说故事。
现代汉诺塔问题由3个塔座和一些盘子组成，目标是将所有盘子从一个塔座上移动到另一个塔座上，遵循以下规则：1.一次只能移动一个盘子；2.大盘子不能放在小盘子上面。
2. 汉诺塔问题的递归解法汉诺塔问题的递归解法是一种简洁、优雅且高效的解决方案。
递归算法是一种将大问题划分为更小子问题的方法，通过递归地解决子问题来解决整个问题。
2.1. 基本思想以三个塔座A、B、C为例，假设有n个盘子需要从A移动到C。
递归算法的基本思想如下：1.将n个盘子分成两部分：最底下的一个盘子和上面的n-1个盘子；2.将上面的n-1个盘子从塔座A移动到塔座B，目标塔座为C；3.将最底下的一个盘子从塔座A移动到塔座C；4.将塔座B上的n-1个盘子移动到塔座C，目标塔座为A。
2.2. 递归实现递归解决汉诺塔问题的关键在于理解递归的调用和返回过程。
具体的递归实现如下：def hanoi(n, a, b, c):# n表示盘子的数量，a、b、c表示3个塔座if n == 1:print("Move disk from", a, "to", c)else:hanoi(n-1, a, c, b)print("Move disk from", a, "to", c)hanoi(n-1, b, a, c)# 调用递归函数hanoi(3, 'A', 'B', 'C')上述代码中，当n等于1时，直接将盘子从塔座A移动到塔座C。
否则，递归地将上面的n-1个盘子从塔座A移动到塔座B，然后将最底下的一个盘子从A移动到C，最后再将塔座B上的n-1个盘子移动到塔座C。
汉诺塔递归的过程
汉诺塔递归的过程
汉诺塔递归的过程可以分为以下几个步骤：
1. 基本情况：如果只有一个盘子需要移动，直接将这个盘子从起始柱子移动到目标柱子即可。
2. 递归步骤：将上面的n-1 个盘子从起始柱子通过辅助柱子移动到目标柱子，然后将剩下的最大的盘子直接从起始柱子移动到目标柱子，最后，将之前移动到辅助柱子的n-1 个盘子通过起始柱子移动到目标柱子。
递归的过程中，每一次移动实际上都是在解决一个更小的汉诺塔问题。
具体来说，每当你移动一个盘子时，你实际上是在解决一个有n-1 个盘子的汉诺塔问题，直到只剩下一个盘子，然后再反向操作。
例如，假设有三个盘子（A、B、C），汉诺塔的解法如下：
- 将A（最小盘子）从A 移动到C（辅助柱子）。
- 将B（中等盘子）从A 移动到A（起始柱子）。
- 将A 从C 移动到B（目标柱子）。
- 将B 从A 移动到C。
- 将A 从C 移动到A。
- 将B 从C 移动到B。
- 最后，将A 从A 移动到B。
在这个过程中，每次移动都是在解决一个更小的问题，直到最终解决整个汉诺塔问题。
汉诺塔问题数学解法
汉诺塔问题数学解法汉诺塔问题是一个经典的数学问题，它的解法是基于递归的。
假设有n个圆盘，编号从1到n，初始时都放置在A柱子上，目标是将这些圆盘移动到C柱子上。
移动过程中必须遵守以下规则：每次只能移动一个圆盘；大圆盘不能放在小圆盘上面。
解题步骤如下：1. 如果n=1，则直接将编号为1的圆盘从A柱子移动到C柱子上，移动完毕。
2. 如果n>1，先将n-1个圆盘从A柱子通过C柱子移动到B柱子上。
此时A柱子上只剩下编号为n的圆盘。
3. 将编号为n的圆盘从A柱子移动到C柱子上，移动完毕。
4. 最后将B柱子上的n-1个圆盘通过A柱子移动到C柱子上。
可以看出，将n个圆盘移动到C柱子上的步骤可以分解为以下子问题：1. 将n-1个圆盘从A柱子通过C柱子移动到B柱子上。
2. 将编号为n的圆盘从A柱子移动到C柱子上。
3. 将n-1个圆盘从B柱子通过A柱子移动到C柱子上。
可以使用递归的方法来解决汉诺塔问题。
具体代码如下所示：```def hanoi(n, A, B, C):if n == 1:print("Move disk", n, "from", A, "to", C)else:hanoi(n-1, A, C, B)print("Move disk", n, "from", A, "to", C)hanoi(n-1, B, A, C)n = 3hanoi(n, 'A', 'B', 'C')```输出结果为：```Move disk 1 from A to CMove disk 2 from A to BMove disk 1 from C to BMove disk 3 from A to CMove disk 1 from B to AMove disk 2 from B to CMove disk 1 from A to C```这样，就完成了将3个圆盘从A柱子移动到C柱子的全部步骤。
汉诺塔问题数学解法
汉诺塔问题数学解法
一、建立递归模型
汉诺塔问题是一个经典的递归问题，可以通过建立递归模型来求解。
递归模型的基本思想是将问题分解为更小的子问题，然后通过对子问题的求解来得到原问题的解。
二、定义变量
在汉诺塔问题中，我们可以定义以下变量：
n：表示盘子的数量；
A、B、C：表示三个柱子，其中A柱子是起始柱子，B 柱子是辅助柱子，C柱子是目标柱子；
m：表示当前需要移动的盘子数量。
三、递归关系
汉诺塔问题的递归关系可以表示为：
将m个盘子从A移动到C，需要先将m-1个盘子从A移动到B，然后将最后一个盘子从A移动到C，最后将m-1个盘子从B移动到C。
将m个盘子从A移动到B，需要先将m-1个盘子从A移动到C，然后将最后一个盘子从A移动到B，最后将m-1个盘子从C移动到B。
将m个盘子从B移动到C，需要先将m-1个盘子从B移动到A，然后将最后一个盘子从B移动到C，最后将m-1个盘子从A移动到C。
四、寻找规律
通过观察递归关系，我们可以发现以下规律：
每次移动都需要经过三个柱子，即起始柱子、辅助柱子和目标柱子；
每次移动都需要将n-1个盘子从起始柱子移动到辅助柱子，然后将最后一个盘子从起始柱子移动到目标柱子，最后将n-1个盘子从辅助柱子移动到目标柱子；
每次移动都需要将n-1个盘子从起始柱子移动到辅助柱子，然后将最后一个盘子从起始柱子移动到目标柱子，最后将n-1个盘子从辅助柱子移动到目标柱子。
五、验证解决方案
通过以上规律，我们可以得到汉诺塔问题的解法。
为了验证解法的正确性，我们可以使用递归函数来实现解法，并使用测试数据来验证解法的正确性。
汉诺塔递归算法及详解
汉诺塔递归算法及详解
汉诺塔（Tower of Hanoi）是一个经典的数学谜题和递归问题。
它由三个塔杆和一些不同大小的圆盘组成，开始时圆盘按从大到小的顺序叠放在一个塔杆上。
目标是将所有圆盘从起始塔杆移动到目标塔杆上，同时遵守以下规则：
1. 一次只能移动一个圆盘。
2. 任何时刻，大的圆盘不能放在小的圆盘上面。
递归算法是解决汉诺塔问题的常用方法。
其基本思想是将问题分解为较小规模的子问题，然后通过递归地解决子问题来解决原问题。
以下是汉诺塔递归算法的详解：
1. 如果只有一个圆盘需要移动，则直接将圆盘从起始塔杆移动到目标塔杆上。
2. 如果有多个圆盘需要移动，则按以下步骤进行操作：
- 将除最下方的圆盘以外的上方圆盘从起始塔杆移动到辅助塔杆上。
这可以通过递归调用解决较小规模的子问题来实现，即将上方圆盘从起始塔杆移动到目标塔杆上（目标塔杆作为新的辅助塔杆）。
- 然后将最下方的圆盘从起始塔杆直接移动到目标塔杆上。
- 最后，将辅助塔杆上的所有圆盘移动到目标塔杆上，这可以通过递归调用解决较小规模的子问题来实现，即将上方圆盘从辅助塔杆移动到起始塔杆上（起始塔杆作为新的目标塔杆）。
通过递归地应用以上步骤，就可以实现将所有圆盘从起始塔杆移动到目标塔杆上的操作。
数据结构求解汉诺塔问题的递归算法
数据结构求解汉诺塔问题的递归算法汉诺塔问题是一个经典的数学问题，它可以通过递归算法来求解。
在这个问题中，我们需要将一堆盘子从一个柱子移动到另一个柱子，同时遵守以下规则：一次只能移动一个盘子，大盘子不能放在小盘子上面。
为了解决这个问题，我们可以使用数据结构中的栈来模拟柱子的堆叠。
我们可以将每个柱子表示为一个栈，每个盘子表示为一个元素。
初始时，所有的盘子都在第一个柱子上，我们需要将它们移动到第三个柱子上。
下面是求解汉诺塔问题的递归算法的伪代码：```1. 定义一个函数hanoi，接受参数n、起始柱子A、辅助柱子B、目标柱子C2. 如果n等于1，则直接将盘子从A移动到C3. 否则，将n-1个盘子从A移动到B，借助C作为辅助柱子4. 将第n个盘子从A移动到C5. 将n-1个盘子从B移动到C，借助A作为辅助柱子```接下来，我们来详细解释一下这个算法。
首先，我们定义了一个函数hanoi，它接受四个参数：n表示盘子的数量，起始柱子A、辅助柱子B和目标柱子C。
在函数内部，我们首先判断如果n等于1，那么我们直接将盘子从A移动到C即可。
这是递归算法的终止条件。
如果n大于1，我们需要将n-1个盘子从A移动到B，借助C作为辅助柱子。
这一步是通过递归调用hanoi函数来实现的。
在递归调用中，我们将n-1作为新的盘子数量，A作为起始柱子，B作为目标柱子，C作为辅助柱子。
接下来，我们将第n个盘子从A移动到C。
这一步是直接操作的，不需要递归调用。
最后，我们需要将n-1个盘子从B移动到C，借助A作为辅助柱子。
同样地，我们通过递归调用hanoi函数来实现这一步。
在递归调用中，我们将n-1作为新的盘子数量，B作为起始柱子，C作为目标柱子，A作为辅助柱子。
通过这样的递归调用，我们可以将所有的盘子从起始柱子A移动到目标柱子C，同时遵守汉诺塔问题的规则。
总结起来，数据结构中的栈可以很好地模拟汉诺塔问题中的柱子堆叠，而递归算法则可以很好地解决这个问题。
用递归算法实现汉诺塔问题。
用递归算法实现汉诺塔问题。
汉诺塔问题是一个经典的递归问题，它涉及到的思维方式是分治法，而递归则是实现分治法的一种方式。
要解决汉诺塔问题，我们需要了解其规则和思路。
汉诺塔游戏的规则如下：1. 有三根柱子A、B、C，开始时A柱上有一些大小不等的圆盘，按大小从上到下依次叠放。
2. 目标是把A柱上的圆盘全部移到C柱上，可以借助B柱。
3. 每次只能移动一个圆盘，且大圆盘不能叠在小圆盘上。
解决汉诺塔问题的思路：1. 对于每个规模为n的问题，我们可以分解为三个步骤：将A柱上的n-1个圆盘移到B柱上，将A柱上的最大圆盘移到C柱上，最后将B柱上的n-1个圆盘移到C柱上。
2. 每个步骤都是一个规模为n-1的子问题，因此可以使用递归来解决。
接下来，我们用递归算法实现汉诺塔问题。
```pythondef hanoi(n, A, B, C):"""递归函数hanoi参数：n：表示A柱上的圆盘数量A：表示原柱子B：表示辅助柱子C：表示目标柱子"""if n == 1: # 如果只有一个圆盘，直接从A柱移到C柱print(f"将第1个圆盘从 {A} 移动到 {C}")returnelse:# 将A柱上的n-1个圆盘移到B柱上hanoi(n-1, A, C, B)# 将A柱上的最大圆盘移到C柱上print(f"将第{n}个圆盘从 {A} 移动到 {C}")# 将B柱上的n-1个圆盘移到C柱上hanoi(n-1, B, A, C)# 测试n = 3 # 圆盘数量为3hanoi(n, 'A', 'B', 'C')```对于圆盘数量为3的情况，我们可以得到以下步骤：将第1个圆盘从 A 移动到 C将第2个圆盘从 A 移动到 B将第1个圆盘从 C 移动到 B将第3个圆盘从 A 移动到 C将第1个圆盘从 B 移动到 A将第2个圆盘从 B 移动到 C将第1个圆盘从 A 移动到 C通过递归的方式，我们可以解决汉诺塔问题并打印出每一步的移动过程。
汉诺塔问题实验报告
游戏的时间复杂性和空间复杂性。 2.问题描述：
汉诺塔问题来自一个古老的传说：在世界刚被创建的时候有 一座钻石宝塔（塔 A),其上有 64 个金碟。所有碟子按从大到小的次 序从塔底堆放至塔顶。紧挨着这座塔有另外两个钻石宝塔（塔 B 和 塔 C）。从世界创始之日起，婆罗门的牧师们就一直在试图把塔 A 上的碟子移动到塔 C 上去，其间借助于塔 B 的帮助。每次只能移 动一个碟子，任何时候都不能把一个碟子放在比它小的碟子上面。 当牧师们完成任务时，世界末日也就到了。 3.算法设计思想：
8、总结
5
缓存大小
通过对汉诺塔算法的分析让我更清楚的认识到了不同的算法对 程序性能的影响，也让我明白掌握了算法将会有助于提高软件的开 发。
6
2）Hanoi 塔问题递归程序的复杂度分析
① 运行 hanoi 程序的时间
程序 hanoi.c 在硬件环境为赛扬 400MHz、内存 128M 的计算平台 （不同机器运行时间有一定差别）运行，可得出如下时间结果：
盘子数
时间结果
<=12 个
<=1 秒
14 个
2秒
16 个
13 秒
20 个
204 秒
② 时间复杂度
自定义头文件 ：#pragma once
#include "targetver.h" #include <stdio.h> #include <tchar.h>
结果如下：
2
6.递归应用中的 Hanoi 塔问题分析 1）Hanoi 塔问题中函数调用时系统所做工作
一个函数在运行期调用另一个函数时，在运行被调用函数之前，系 统先完成 3 件事：
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汉诺塔的递归求解分析学完函数，就马上出了道经典的汉诺塔来，书里说是把递归提前拿来研究学习了，这题目实在是把我弄晕了。
几天都在时时想这个题目。
递归是数学归纳法的逆过程。
递归函数是直接或通过另一个函数间接调用自己的函数。
C语言的特点就是允许函数的递归调用。
如果一个问题要用递归解决，得符合以下的条件：1，该问题要能转换成一个新问题，而新问题的解决方法要和原来的问题相同，只是复杂度有所减少而已。
既是要有一定的规律。
如求n！。
2、这个问题当简单到一定程度就可以解决，而不用再继续简化。
（即需要一个结束递归的条件。
否则无限的递归下去，最终会导致系统资源枯竭系统崩溃）。
3、问题用其他方法解决非常困难或不如用递归解决来的简单，（所有递归能解决的问题都能用迭代{非递归}来解决）这个条件是非必要的，但人总需要简单。
?要用递归解决问题，我们必须分析下列问题：1、递归的参数，用递归解决的问题通常都比较复杂，规模比较大，要找出决定递归复杂度，规模的参数，比如n！，决定的递归复杂度、规模的就是n。
2、找出递归结束的标志，没有递归结束的条件，将无限循环。
造成的后果是严重的。
3、找出递归的通式，才可以进一步简化问题。
（通常这是比较困难的）（比如：n！的通式就是n*（n-1）！，而且是可以不断简化直到到达结束递归的边界值）???一般的格式是：?if 结束条件1表达式1（赋予边界值1）else if 结束条件2表达式2（赋予边界值2）...else递归的解决问题的通式。
??汉诺塔的问题；这个问题对于我这个初学者来说，确实棘手，对于执行的步骤很不理解，虽然递归不用去了解执行的步骤的。
但是，不用去了解不等同于不了解。
一个庙里有三个柱子，第一个有64个盘子，从上往下盘子越来越大。
要求庙里的老和尚把这64个盘子全部移动到第三个柱子上。
移动的时候始终只能小盘子压着大盘子。
1、此时老和尚（后面我们叫他第一个和尚）觉得很难，所以他想：要是有一个人能把前63个盘子先移动到第二个柱子上，我再把最后一个盘子直接移动到第三个柱子，再让那个人把刚才的前63个盘子从第二个柱子上移动到第三个柱子上，我的任务就完成了，简单。
所以他找了比他年轻的和尚（后面我们叫他第二个和尚）（呵呵，倚老卖老），命令：①你把前63个盘子移动到第二柱子上②在我自己把第64个盘子一道第三个柱子上后③你把前63个盘子移动到第三柱子上2、第二个和尚接了任务，也觉得很难，所以他也和第一个和尚一样想：要是有一个人能把前62个盘子先移动到第三个柱子上，我再把最后一个盘子直接移动到第二个柱子，再让那个人把刚才的前62个盘子从第三个柱子上移动到第三个柱子上，我的任务就完成了，简单。
所以他也找了比他年轻的和尚（后面我们叫他第三和尚）（呵呵，又倚老卖老），命令：①你把前62个盘子移动到第三柱子上②在我自己把第63个盘子一道第二个柱子上后③你把前62个盘子移动到第二柱子上3、第三个和尚接了任务，又把移动前61个盘子的任务依葫芦话瓢的交给了第四个和尚，等等递推下去，直到把任务交给了第64个和尚为止（估计第64个和尚很郁闷，没机会也命令下别人，因为到他这里盘子已经只有一个了）。
4、到此任务下交完成，到各司其职完成的时候了。
?完成回推了：第64个和尚移动第1个盘子，把它移开，然后第63个和尚移动他给自己分??配的第2个盘子。
第64个和尚再把第1个盘子移动到第2个盘子上。
到这里第64个和尚的任务完成，第63个和尚完成了第62个和尚交给他的任务的第一步。
从上面可以看出，只有第64个和尚的任务完成了，第63个和尚的任务才能完成，只有第2个和尚—第64个和尚的任务完成后，第1个和尚的任务才能完成。
这是一个典型的递归问题。
?现在我们以有3个盘子来分析：?第1个和尚命令：㈠第2个和尚你先把第一柱子前2个盘子移动到第二柱子。
（借助第三个柱子）㈡第1个和尚我自己把第一柱子最后的盘子移动到第三柱子。
㈢第2个和尚你把前2个盘子从第二柱子移动到第三柱子。
很显然，第㈡步很容易实现（哎，人总是自私地，把简单留给自己，困难的给别人）其中第㈠步。
第2个和尚他有2个盘子，他就命令：①第3个和尚你把第一柱子第1个盘子移动到第三柱子。
（借助第二柱子）②第2个和尚我自己把第一柱子第2个盘子移动到第二柱子上。
③第3个和尚你把第1个盘子从第三柱子移动到第二柱子。
同样，第步很容易实现，但第3个和尚他只需要移动1个盘子，所以他也不用在下派任务了。
（注意：这就是停止递归的条件，也叫边界值）第㈢步可以分解为，第2个和尚还是有2个盘子，命令：①第3个和尚你把第二柱子上的第1个盘子移动到第一柱子。
②第2个和尚我把第2个盘子从第二柱子移动到第三柱子。
③第3个和尚你把第一柱子上的盘子移动到第三柱子。
分析组合起来就是：1-->3 1-->2 3-->2 1-->3 2-->1 2-->3 1-->3共需要七步。
如果是4个盘子，则第一个和尚的命令中第1步和第3步各有3个盘子，所以各需要7步，共14步，再加上第1个和尚的1步，所以4个盘子总共需要移动7+1+7=15步，同样，5个盘子需要15+1+15=31步，6个盘子需要31+1+31=64步……由此可以知道，移动n 个盘子需要（2的n次方）--1步。
?从上面整体综合分析可知把n个盘子从1座（相当第一柱子）移到3座（相当第三柱子）：（1）把1座上（n-1）个盘子借助3座移到2座。
（2）把1座上第n个盘子移动3座。
（3）把2座上（n-1）个盘子借助1座移动3座。
?下面用hanoi（n,a,b,c）表示把1座n个盘子借助2座移动到3座。
很明显，(1)步上是 hanoi(n-1,1,3,2)(2)步上是hanoi(n-1,2,1,3)????下面便是代码：?#include<stdio.h>static long int m=1;/*用来计算移动步骤步数,静态变量才能不断叠加*/void hanoi(int n,int a,int b,int c){if(n==1){printf("(%d) %d-->%d/n",m,a,c);m++;}else{hanoi(n-1,a,c,b);printf("(%d) %d-->%d/n",m,a,c);/*只有当上一句得到结果，它才会执行*/m++;hanoi(n-1,b,a,c);}}main(){int d;printf("Enter the hanoi shu:");scanf("%d",&d);hanoi(d,1,2,3);return 0;}?执行：Enter the hanoi shu: 3（1）1-->3（2）1-->2（3）3-->2（4）1-->3（5）2-->1（6）2-->3（7）1-->3这里可能有个疑问：移动n-1个盘子确实是上面的步骤，但移动n-2的时候就不一样了啊？hanoi(n-1,a,c,b);printf("(%d) %d-->%d/n",m,a,c);/*只有当上一句得到结果，它才会执行*/m++;hanoi(n-1,b,a,c);?其实每一次调用hanoi（n,a,b,c）时a，b，c的值都不同。
如hanoi(n,1,2,3)时a=1,b=2,c=3.hanoi(n-1,a,c,b);{a=1,b=2,c=3}就是hanoi(n-1,1,3,2);所以调用的就是1-->2再次调用成了hanoi(n-2,a,c,b){a=1,b=3,c=2}就是hanoi(n-2,1,2,3);所以调用的就是，1-->3;每一次都能不断自动改变。
?Hanoi塔问题中函数调用时系统所做工作?一个函数在运行期调用另一个函数时，在运行被调用函数之前，系统先完成3件事：①将所有的实参、返回地址等信息传递给被调用函数保存。
②为被调用函数的局部变量分配存储区；③将控制转移到被调用函数的入口。
?从被调用函数返回调用函数前，系统也应完成3件事：①保存被调用函数的结果；②释放被调用函数的数据区；③依照被调用函数保存的返回地址将控制转移到调用函数。
当有多个函数构成嵌套调用时，按照“后调用先返回”的原则（LIFO），上述函数之间的信息传递和控制转移必须通过“栈”来实现，即系统将整个程序运行时所需的数据空间安排在一个栈中，每当调用一个函数时，就为其在栈顶分配一个存储区，每当从一个函数退出时，就释放其存储区，因此当前运行函数的数据区必在栈顶。
堆栈特点：LIFO，除非转移或中断，堆栈内容的存或取表现出线性表列的性质。
正是如此，程序不要求跟踪当前进入堆栈的真实单元，而只要用一个具有自动递增或自动递减功能的堆栈计数器，便可正确指出最后一次信息在堆栈中存放的地址。
一个递归函数的运行过程类型于多个函数的嵌套调用，只是调用函数和被调用函数是同一个函数。
因此，和每次调用相关的一个重要的概念是递归函数运行的“层次”。
假设调用该递归函数的主函数为第0层，则从主函数调用递归函数为进入第1层；从第i层递归调用本函数为进入下一层，即i＋1层。
反之，退出第i层递归应返回至上一层，即i－1层。
为了保证递归函数正确执行，系统需设立一个“递归工作栈”，作为整个递归函数运行期间使用的数据存储区。
每一层递归所需信息构成一个“工作记录”，其中包括所有实参、所有局部变量以及上一层的返回地址。
每进入一层递归，就产生一个新的工作记录压入栈顶。
每退出一层递归，就从栈顶弹出一个工作记录，则当前执行层的工作记录必是递归工作栈栈顶的工作记录，称这个记录为“活动记录”，并称指示活动记录的栈顶指针为“当前环境指针”。
????下面为图例，以三个盘子为例：??Hanoi塔问题中函数调用时系统所做工作处参考文章：《递归处理汉诺塔问题》。