2011年秋季工学硕士研究生学位课程(数值分析)真题试卷B

2011年秋季工学硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷B
(总分：28.00，做题时间：90分钟)
一、填空题(总题数：6，分数：12.00)
1.填空题请完成下列各题，在各题的空处填入恰当的答案。

（分数：
2.00）
__________________________________________________________________________________________ 解析：
2.设｜x｜>>1______
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：()
解析：
3.求积分∫ a b f（x）dx的两点Gauss公式为______
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：()
解析：
4.设∞ =______，‖A‖ 2 =______．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：()
解析：
5.给定f(x)=x 4，以0为三重节点，2为二重节点的f(x)的Hermite插值多项式为______．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：x 4)
解析：
6.己知差分格式r≤______时，该差分格式在L ∞范数下是稳定的．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：()
解析：
二、计算题(总题数：2，分数：4.00)
7.给定方程lnx-x 2+4=0，分析该方程存在几个根，并用迭代法求此方程的最大根，精确至3位有效数字．（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：令f(x)=lnx-x 2 +4，则f"(x)= -2x,当x= 时，f"(x)=0. 注意到
f(0．01)=-0．6053＜0,f(1)=3＞0,f(3)=-3．9014＜0,而当时，f"(x)＞0，当时，f"(x)＜
0，所以方程f(x)=0有两个实根，分别在(0．01，1)和(1，3)内．方程的最大根必在(1，3)内，用Newton
迭代格式取x 0 =2，计算得x 1 =2．1980，x 2 =2．1)
解析：
8.用列主元Gauss
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：(正确答案：求得x 1 =3，x 2 =1，x 3 =5．)
解析：
三、综合题(总题数：6，分数：12.00)
9.设α，β表示求解方程组．Ax=b的Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法收敛的充分必要条件．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：Jacobi迭代格式的迭代矩阵特征方程为展开得500λ3—15αβλ=0或者λ(500λ2—15αβ)=0，解得λ=0或λ2 = 则Jacobi格式收敛的充要条件为｜αβ｜＜
Gauss-Seidel格式迭代矩阵的特征方程为展开得500λ3—15αβλ2 =0或者λ2
(500λ-15αβ)=0，解得λ=0或λ则Gauss-Seidel格式收敛的充)
解析：
10.设x 0，x 1，x 2为互异节点，a，b，m为已知实数．试确定x 0，x 1，x 2的关系，使满足如下三个条件p(x 0 )=a， p"(x 1 )=m，p(x 2 )=b的二次多项式p(x)存在且唯一，并求出这个插值多项式p(x)．（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：由条件p(x 0 )=a，p(x 2 )=b确定一次多项式p 1 (x)，有所以p(x)-P 1
(x)=A(x—x 0 )(x—x 2 )，p"(x)=p" 1 (x)+A(x—x 0 +x—x 2 )，p"(x 1+A(2x 1 -x 0 -x 2) 解析：
11.求y=｜x｜在[-1，1]上形如c 0 +c 1 x 2的最佳平方逼近多项式．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：取φ0 (x)=1，φ1 (x)=x 2，则(φ0，φ0)=∫ -11 =2，(φ0，φ1)=∫ -1
1 x 2)
1 x 2，(φ
1，φ1)=∫ -1
解析：
12.已知函数f(x)∈C 3 [0，3]，试确定参数A，B，C，使下面的求积公式
数精度尽可能高，并给出此时求积公式的截断误差表达式．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：(正确答案：当f(x)=1时左=∫ 03 1dx=3，右=A+B+C，当f(x)=x时左=∫ 03 xdx= ，
右=B+2C 当f(x)=x 2时左=∫ 03 x 2 dx=9,右=B+4C．要使公式具有尽可能高的代数精度，则而当f(x)=x 3时，左=∫ 03 x 3)
解析：
13.给定常微分方程初值问题取正整数n，并记h=a／n，x i =a+ih，0≤i≤n．证明：用梯形公式
求解该初值问题所得的数值解为且当h→0时，y n收敛于y(a)．
（分数：2.00）
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正确答案：(正确答案：梯形公式应用于方程有y i+1=y i+ (-y i—y i+1)，即有所以
i=1，2，…．当h→0时，n→∞我们有而由方程知解析解y=e -x则y(a)=e -a，所以)
解析：
14.Ω={0＜x＜3，0＜y＜3)．试用五点差分格式求u(1，1)，u(1，2)，u(2，1)，u(2，2)的近似值．
（分数：2.00）
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正确答案：(正确答案：五点差分格式为根据要求，可取h= ，将(1，1)，(2，1)，(1，2)，
(2，2)处的差分格式列成方程组有或者解得u 11=15．8750，u 21=22．6250，u 12=15．8750，u 22 =22．6250．)
解析：。