二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质
开口方向 对称轴 顶点坐标
y=ax2+bx+c
a>0 向 上 a<0 向 下
最 小 值 最 大 值
X=- b/2a (-b/2a, (4ac-b2)/2a)
性质二
A.
B.
C.
当△=b2-4ac>0时，函数图像与x轴有 两个交点。 当△=b2-4ac=0时，函数图像与x轴有 一个交点。 当△=b2-4ac<0时，函数图像与x轴没 有交点。
a>0
开口方向
2
向上 X=2 (2,-1) 大于零
x
-1
对称轴
顶点坐标
与X轴交点
两个
y 1 -1
3
-1
x
y=-x2+6x-8
y=-x2-2x-1
抛物线
a
开口方向
对称轴
顶点坐标
单调性 小于 零
x<3,单调 递增； x>3,单调 递减。 x<-1,单调 递增； x>-1，单 调递减。
y=-x2+6x-8 a<0 向下
x Y=1/2x2
y 1 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 1 2
-1 -2
-2 2
0 1
-1 1/2
1 2
0 0
2 1
1 1/2
3 -2
2 2
y
1 2
x
2
3
4
x
y=ax2+bx=c的图像与系数有什么 关系呢？顶点和对称轴又与系数 有什么关系呢?
想一想
抛物线
y
y=x2-4x+3
a
y=x2-4x+3
性质三：
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)
若a>0 当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而减小； 当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而增大。 若a<0 当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而增大； 当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而减小。
做一做：
作业：
1. 已知抛物线y=-1/2x2-3x-5/2。 （1）求抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐 标； （2）求抛物线与轴、轴的交点坐标； （3）画出函数图象（草图）； （4）根据图象说出：x为何值时，y随x增大 而增大？x为何值时y随x增大而减小？函数y有 最大值还是最小值？最值是多少？
2012年05月25日
X=3
(3,1)
y=-x2-2x-1 a<0 向下
X=-1
(-1,0) 小于
零
y=-x2-2x-1 y=-x2+6x-8 抛物线 y=x2-4x+3 a>0,开口向上; a>0 a<0 a<0 a a<0,开口向下; 对称轴 x=-b/2a 开口方向 向下 向下 向上 X=-1 对称轴 X=2 顶点坐标:[-b/2a,(4ac-b2)/4a]X=3
顶点
(-1,0) (2,-1) 根的判别式： =b2-4ac 大于零 大于零
(3,1) 等于零
与X交点
两个
x<2,单调递 减；x>2,单 调递增 最小值-1
两个
一个
单调性 极值
x<-1,单调递增；x<3,单调递增； x>-1，单调递 x>3,单调递减。 减。
最大值0
最大值1
二次函数y=ax2+bx+c的性质
二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质
数学与计算机学院 数09-1班 石亚玲
x
….
-3
-2
-1
0
1
….
Y=x2+2x-1
2
-1
-2
-1
2
画图
对称轴x= -1
五点法
连线时自左向右连 成一条光滑的曲线
列表 描点 连线
顶点（-1，-2）
练练
1 2
：
2+2x+1 y=-x
2 y=1/2x
x Y=-x2+2x+1
_二次函数y=ax2 bx c的图象和性质
二次函数y=ax ²+bx+c 的图象和性质➢ 二次函数y=ax ²+bx+c 的图象是一条抛物线，与抛物线y=ax ²的形状相同，位置不同。
利用配方法能够将y=ax ²+bx+c 转化为顶点式，即：a b ac a b x a a c a b a b x a b x a a c x a b x a c bx ax y 442222222222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=➢ 二次函数y=ax ²+bx+c 的性质 a 的符号a>0a<0图象开口方向 向上向下对称轴abx 2-= ab x 2-= 顶点坐标(ab 2-, a b ac 442-)(ab 2-, a b ac 442-)增减性✧ 当abx 2-<时，y 随x 的增大而减小； ✧ 当abx 2->时，y 随x 的增大而增大； ✧ 当abx 2-<时，y 随x 的增大而增大；✧ 当abx 2->时，y 随x 的增大而减小； 最值当a bx 2-=时，y 有最小值，a b ac y 442-=当abx 2-=时，y 有最大值，ab ac y 442-=例1：已知二次函数422++-=x x y 1) 确定抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴2) 当x 取何值时，y 随着x 的增加而增大？当x 取何值时，y 随着x 的增加而减小？知识点二：抛物线y=ax ²+bx+c 与系数的关系抛物线在坐标系内的位置与系数a ，b ，c 的符号有着密切的联系，知道图象的位置能够确定a ，b ，c 的符号；反过来，由a ，b ，c 的符号能够确定抛物线的大致位置。
它们之间的关系如下：系数 图象的特征 系数的符号a开口向上 a>0 开口向下 a<0 b对称轴为y 轴b=0 对称轴在y 轴左侧 a ，b 同号 对称轴在y 轴右侧a ，b 异号 c经过原点c=0 与y 轴正半轴相交 c>0 与y 轴负半轴相交c<0例2：抛物线c bx 2++=ax y 经过点(-1, 0)，对称轴l 如以下列图所示。
二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质
◆本节课内容一、二次函数y=ax2+bx+c1、二次函数y=ax2+bx+c可以用配方法转化为y=a（x－h）2+k的形式：2、二次函数y=ax2+bx+c的图像的作法：二次函数y=ax2+bx+c的图像是一条对称轴平行于y轴的抛物线。
它的图像常见作法有两种：五点法和平移法。
方法一：五点法先用配方法将y=ax2+bx+c（a≠0）化为y=a（x－h）2+k（a≠0）的形式，确定抛物线的顶点、开口方向、再以顶点为中心，在对称轴的两侧对称地各取两对值进行列表，最后描点画图。
方法二：平移法利用平移法作二次函数y=ax2+bx+c的图像的一般步骤如下：（1）利用配方法将二次函数y=ax2+bx+c化为y=a（x－h）2+k的形式，确定其顶点为（h，k）；（2）作出二次函数y=ax2的图像；（3）将函数y=ax2的图像平移，使其顶点（0,0）平移到（h，k），平移后的图像即是二次函数y=ax2+bx+c的图像。
3、二次函数y=ax2+bx+c的图像及性质如下表：二、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像特征与系数a，b，c的符号关系注意：（1）b的符号由a的符号和对称轴的位置来决定（2）a+b+c（或a－b+c）可以看成是x=1（或x=－1）时的函数值。
三、二次函数解析式的求法求二次函数的解析式y=ax2+bx+c，需求出a，b，c的值。
由已知条件（如二次函数图像上三点的坐标）列出关于a，b，c的方程组，求出a，b，c的值，就可以写出二次函数的解析式。
◆课堂练习题型一利用公式法直接求抛物线的顶点、对称轴及最值1、求二次函数y=（x+5）（x－1）的对称轴、顶点及最值。
题型二、由抛物线的顶点、对称轴及最值求字母或代数式的取值范围2、二次函数y=ax2+bx+1（a≠0）的图像的顶点在第一象限，且过点（－1,0）。
设t=a+b+1，则t 的取值范围是（）A、0＜t＜1B、0＜t＜2C、1＜t＜2D、－1＜t＜1题型三、二次函数图像平移规律的直接应用3、抛物线y=－2x2－4x－5经过平移得到抛物线y=－2x2，平移的方法是（）A、向左平移1个单位，再向下平移3个单位B、向左平移1个单位，再向上平移3个单位C、向右平移1个单位，再向下平移3个单位D、向右平移1个单位，再向上平移3个单位题型四、根据抛物线的平移求字母的值4、已知抛物线y=x2+4x+1向上平移m（m＞0）个单位得到的新抛物线过点（1,8），求m的值1题型五、利用二次函数y=ax2+bx+c的图像判断各项系数的符号5、二次函数y=ax2+bx+c的图像如图，那么abc，2a+b，a+b+c这3个代数式中，值为正数的有（ c ）A、3个B、2个C、1个D、0个题型六、利用二次函数的性质比较函数值得大小6、若A（－4，y1），B（－3，y2），C（1，y3）为二次函数y=x2+4x－5的图像上的三点，则y1，y 2，y3的大小关系是（）题型七、利用二次函数的增减性求字母的取值范围7、已知二次函数y=x2-（m+1）x+1，当x≥1时，y随x的增大而增大，求m的取值范围。
y=ax的平方加bx加c的图像和性质
y=ax的平方加bx加c的图像和性质
图像与性质：
y = ax2 + bx + c 是一个经典的二次函数，它可以用来描述平面上一点到另一点之间的距离。
它的图像与性质如下：
一、图像特点
1. 当a>0时，y=ax2+bx+c的图像是一个凹曲线，顶点的坐标是(x0,y0)，其中：x0=-b/(2a);y0=ax02+bx0+c;
2. 当a<0时，y=ax2+bx+c的图像是一个凸曲线，顶点的坐标是(x0,y0)，其中： x0=-b/(2a)；y0=ax02+bx0+c;
3. y=ax2+bx+c的图像是一条轴对称曲线，其轴线是x轴；
4. y=ax2+bx+c的图像两端是无限接近的，在（-∞，+∞）范围内恒定有
一个极值点；
二、性质
1. 当a>0时，y=ax2+bx+c的图像是一条凹曲线，凹曲线的凹区位于顶
点以左右两侧；
2. 当a<0时，y=ax2+bx+c的图像是一条凸曲线，凸曲线的凸区位于顶点以左右两侧；
3. y=ax2+bx+c的图像一定是轴对称曲线；
4. y=ax2+bx+c的图像一定有一个极值点；
5. 对于任意指定的x坐标，图像在该点的切线斜率为2ax+b；
6. 对于任意指定的x坐标，图像在该点的切平面方向为2a；
7. 二次函数图像表示的是在直线上具有最优深度的凹凸曲线，也为凸和凹类函数的最佳表示。
二次函数y=ax2bxc的图像和性质
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质一、教材分析二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质是高中学习函数的重要基础。
本课时的学习是学生在以往学习经验的基础上，进一步经历探索二次函数图象特征和性质的过程。
教学时应注意引导学生找出二次函数y＝ax2(a≠0)的图象和二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的图像的联系，然后通过观察图像，结合解析式特点，思考和归纳函数图像的特征及其性质，从简单到复杂、从特殊到一般，去理解二次函数顶点式中a,h,k对函数图象的影响；并能正确判断出函数的开口方向、对称轴、顶点坐标，让学生对二次函数y=a(x-h)2+k有一个形象和直观的认识。
二、学生情况分析目前的学生课堂学习不够专注，缺乏数学思维，因而导致他们的数学基础较差、学习信心不足、兴趣不大，有的学生感到学习数学很困难。
三、教学目标分析知识目标：1能够正确作出二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的图象；2理解二次函数关系式中系数a,h,k对函数图象的影响；3能够正确指出y=a(x-h)2+k的开口方向、对称轴和顶点坐标。
能力目标：1、在精心设计的问题引领下，通过学生自己动手列表、描点、连线，提高学生的作图能力；2、通过观察图象，发现函数的有关性质，训练学生的概括、总结能力；3、通过小组合作，进一步培养学生的数学探究能力。
情感价值观目标：让学生积极参与到数学学习活动中，增强他们对数学学习的自信心，感受数学的美，从而激发学生的学习兴趣。
教学重难点：能够正确作出y=a(x-h)2+k的图象，并抽象出它的图象特征和性质。
四、教法学法分析采用“问题引领，小组学习”的教学模式实施教学。
让学生在正确作出二次函数图象之后，抽象出二次函数y=a(x-h)2+k中系数与图象之间的关系。
先鼓励学生在问题引领下，独立思考，解决问题；然后把出现的问题带到小组学习中去，经过学习小组或全班集中展示交流，师生合作点评，推导出结论并达成共识。
二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质
二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质
二次函数，又称之为平方函数，它是最基本的解析函数之一。
它的标准形式是y=ax2＋bx＋c，其中a,b, c是实数，a≠0。
二次函数的图像是根据函数表达式的特性来推断的，只要我们把函数上的点代入进函数的表达式，并确定函数的拐点，就可以找出图形的形状。
一般来说，当a>0时，二次函数的图像是一条“U”形(有可能是拱状或者凹状)，当a<0时，二次函数的图像是一条蛇形抛物线(有可能是凸状或者凹状)，沿X轴的对称轴是当x=－b/2a时，它的最高点或者最低点是（－b/2a,f (－b/2a))。
二次函数不仅表示物理现象，也可以表示天文现象，甚至于在经济学中也有运用。
从数学上来讲，它具有众多的特性和性质，如：
A、二次函数有且只有两个极值，可能是极大值或极小值；
B、当a > 0时，函数有一个唯一的最小值点，沿X轴的对称轴也就是当x=－b/2a时的单位；
C、当a < 0时，函数有一个唯一的最大值点，同样沿X轴的对称轴也就是当x=－b/2a时的单位；
D、当x→±∞时，函数值→±∞，即它是一个可以到达正负无穷远处的无限延伸曲线。
以上就是二次函数的图像与性质，只要我们掌握了它的一般形式与特性，就可以很容易的根据题设的条件把它画出来，用它来描述和解决各种实际问题，它是一种有效的数学工具。
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质
二、图象特征
（1）二次函数 y ax 2 bx c（a 0) 的图象是一条抛物线。
顶点坐标是（ -
b 2a
, 4ac b 2 4a
），对称轴是直线
x
b 2a
函数
y=ax2+bx+c(a>0)
2a
4a
y x
y=ax2+bx+c(a>0)
y=ax2+bx+c(a<0)
y
x
开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性 最值
向上
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b 2a
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的 右侧, y随着x的增大而增大.
当x b 轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的 右侧, y随着x的增大而增大.
当x b 时, 最小值为 4ac b2
2a
4a
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的 右侧, y随着x的增大而减小.
当x b 时, 最大值为 4ac b2
2a
4a
三、确定二次函数的表达式
（1）一般式（知三点）：
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
抛物线 顶点坐标
对称轴 位置
开口方向 增减性 最值
y=ax2+bx+c(a>0)
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b
2a
由a,b和c的符号确定
向上
y=ax2+bx+c(a<0)
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
-5
顶点坐标：（2，1）
1.抛物线y=x2-4x+3与y轴的交点坐标是 ，
与x轴的交点坐标是
(。1,0)或（3，0）
抛物线与y轴的交 点有什么特征？
(0,3)
抛物线与x轴的交 点有什么特征？
写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：
(1) y 3x2 2x (2) y x2 2x
(3) y 2x2 8x 8
开口方向：向上。
对称轴：x
b 2a
2
2
1 2
2
y
4ac b2 4a
4
1 2
3
(
2
)2
4
1 2
1
顶点坐标：（2，1）
y
1 2
x2
-
2
x
3
（1） y 2x2 - 12x13
解：a
1 2
0
开口方向：向上。
对称轴：x
b 2a
2
2
1 2
2
y
4ac b2 4a
4
1 2
3
(
2
)2
4
1 2
1
顶点坐标：（2，1）
当x<h时,
y随着x的增大而减小。 y随着x的增大而增大。
当x>h时，
当x>h时，
y随着x的增大而增大。 y随着x的增大而减小。
x=h时,y最小值=k
x=h时,y最大值=k
抛物线y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象可由y=ax2的图象通 过上下和左右平移得到.
我们已经知道二次函数y=a(x-h)2+k
的图象和性质，能否利用这些知识
来讨论二次函数 y 1 x2 6x 21图象和
数学人教版九年级上册22.1.4二次函数y=ax2 bx c的图像与性质.1.4二次函数y=ax2 bx c的图像与性质(胪中王伟
向上
向下
直线x=–3 直线x=1
活动2：创设情Leabharlann ，导入新课思考：我们已经知道二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质,容 1 2 y x 6x21 能否利用这些知识来讨论二次函数 的图象和性 2 质？ 即怎样把函数 y 1x2 6x21 转化成 y=a(x-h） 2+k的形式? 2
ax bx c • 一般地，我们可以用配方法将 y 配方成
2
2 b b ac b b 2b b 2 2 24 a ( x x ) c a x x () () c a ( x ) a a 2 a 2 a 4 a a2 2
由此可见函数的图像与函数的图像的形状、开口方向均相同，只是位置不同，可以 通过平移得到。
草图略
y
1 2 (x 4 x) 1 2
1 2 1 ( x 4 x 4 ) ×4 1 2 2 1 ( x 2)2 3 2
对称轴为直线x=-2 顶点坐标为（-2，-3） 当x=-2时，y最小值=-3
草图略
活动3：探究新知
22.1.4 二次函数
2 y ax bx c 的图像
y x2 6x21 2 1 2 12 x 21 提取二次项系数 x 2 1 2 1 x 12x 36 ×36 21 配方 2 2 配方后的表达 1 2 . 整理 x6 3 式通常称为配 2 方式或顶点式
用配方法。 1
1 2 描点、连线，画出函数 y x 6 3 2
二次本节课我们学习了哪些知识？ 函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴
人教版九年级数学上册22.2：二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质课件 (共46张PPT)
例1：指出抛物线:y x2 5x 4
的开口方向，求出它的对称轴、顶点坐 标、与y轴的交点坐标、与x轴的交点坐 标。并画出草图。
对于y=ax2+bx+c我们可以确定它的开口 方向，求出它的对称轴、顶点坐标、与y 轴的交点坐标、与x轴的交点坐标（有交 点时），这样就可以画出它的大致图象。
方法归纳
② c=0 ＜＝＞图象过原点；
③ c＜0 ＜＝＞图象与y轴交点在x轴下方。
⑷顶点坐标是（ b ， 4ac b2 ）。
2a
4a
（5）二次函数有最大或最小值由a决定。
当x=－ —2ba 时,y有最大(最小)
值 y= 4ac－b2
______________________
4a
例2、已知函数y = ax2 +bx +c的图象如 下图所示，x= 1 为该图象的对称轴，根
的平方
整理:前三项化为平方形 式,后两项合并同类项
a x
b
2
4ac
b2
.
化简:去掉中括号
2a 4a
函数y=ax²+bx+c的对称轴、 顶点坐标是什么？
y ax2 bx c的对称轴是:x b 2a
顶点坐标是:( b , 4ac b2 ) 2a 4a
1. 说出下列函数的开口方向、对称轴、顶 点坐标：
D. 4ac-b2 >0-1 o 1 x 4a
5.若把抛物线y = x2 - 2x+1向右平移2个单位,再向
下平移3个单位,得抛物线y=x2+bx+c,则（ B ）
A.b=2 c= 6
B.b=-6 , c=6
C.b=-8 c= 6
D.b=-8 , c=18
5.2二次函数的图像和性质 第3课时 二次函数y=ax^2 bx c的图像和性质(教学课件)-初中数
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
y=ax2+bx+c(a≠0)的性质
二次函数y=-x2-4x-5 的图像如图所示.
由图像可知， 当x=-2时， y的值最大， 最大值是-1.
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
y=ax2+bx+c(a≠0)的图像
y＝
1 2
x2－6x＋21
y＝
1 2
(x2－12x)＋21
你知道是怎样配方的吗？ 1. “提”：提出二次项系数；
1 y＝ 2 (x2－12x＋36－36)＋21
y＝ 1 (x－6) 2＋21－18 2
2.“配”：括号内配成完全平方式；
a＜0时，抛物线开口向下，函数有最大值；
4ac － b2
函数在顶点处取得有最大（小）值 4a
.
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
y=ax2+bx+c(a≠0)的图像
练一练：用配方法将二次函数y=x2-8x-9化为y=a(x-h)2+k的形式 为( B ) A.y=(x-4)2+7 B.y=(x-4)2-25 C.y=(x+4)2+7 D.y=(x+4)2-25
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
y=ax2+bx+c(a≠0)的性质
例1 画出二次函数y=-x2-4x-5的图像，并指出它的开口方向、顶点坐 标、对称轴、最大值或最小值. 【分析】要画出二次函数y=-x2-4x-5的图像，可先将函数表达式变