7-3(马鞍面)
高等数学：第五节--截痕法图示
x
（1）椭球锥面（重要）
x2 a2
y2 b2
z2
用平行于xoy面的平面
z=t载此曲面，得平面
o
z=t上的椭圆 .
x2 (at)2
y2 (bt)2
1
z y
一、椭球面
（2）椭球面（重要）
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
椭球面与
三个坐标面 的交线：
x
2
a2
y2 b2
1,
z 0
z
x2 a2
z2 c2
z2 c2
1, z,
y2 b2
z2 c2
1, z,
x2 a2
y2 b2
1,
y,
y2 b2
z2 c2
1,
y；
5、不含与该坐标轴同名的变量；
6、 xoy 面上的双曲线x2 y2 1, y ； 4
7、 yoz 面 上的直线 z y a, z ；
8、平行于 y 轴的一条直线,与yoz 面 面平行的平面；
这样单叶双曲面可以看成是由一个椭圆的变动大小位置都改变而产生的这个椭圆在变动中xoy保持所在的平面与面平行且两对顶点分别沿着两个定双曲线2与3滑动单叶双曲面上一页下一页直纹面在建筑学上有意义直纹面在建筑学上有意义含两族直母线含两族直母线例如储水塔电视塔等建筑都有用这种结构的
8.8 二次曲面
一、椭球面 二、抛物面 三、双曲面 四、二次锥面 五、空间区域简图
y2 b2
1
z 0
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
y2 z2 y z y z
b2
c2
( b
)( cb
)0 c
平面 x a的截痕是
第七章第5节几种常见的二次曲面
x x 0 2 y y 0 2 z z 0 2 R 2
特殊地：球心在原点时方程为
x2y2z2R2 4
例 2求 与 原 点 O 及 M 0 ( 2 ,3 ,4 )的 距 离 之 比 为 1 :2 的 点 的 全 体 所 组 成 的 曲 面 方 程 .
与平面 z z1 (|z1|c)的交线为圆.
24
截面上圆的方程
x2
y2
a2 c2
(c2
z12).
z z1
(2 ) abc,
x2 a2
ay22
az22
1
球面
方程可写为 x2y2z2a2.
25
（二）抛物面
x2 y2 z （ p与 q同号） 2 p 2q
cz22
1
双叶双曲面
o
y
x
37
五、小结
曲面方程的概念 F (x ,y,z)0 . 旋转曲面的概念及求法. 柱面的概念(母线、准线). 椭球面、抛物面、双曲面、截痕法.
（熟知这几个常见曲面的特性）
38
习题 75 P235
A组
1(1)2,， 3(2)4 ()， 4,5
39
思考题
指出下列方程在平面解析几何中和空 间解析几何中分别表示什么图形？
20
四、二次曲面
曲面方程: F(x,y,z)0
二次曲面： 三元二次方程所表示的曲面称之．
如 x2(y1)2z21
相应地平面被称为一次曲面．
如2xy3z0
讨论二次曲面方法:截痕法： 特殊的二次曲面．
21
（一）椭球面
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
椭球面与
MATLAB中的矩阵的输入
第一节 MATLAB 中的矩阵的输入§1 直接输入一、直接在工作窗中输入：A=[2, 4, 6, 8;1 3 5 7; 0 0 0 0;1,0,1,0]其意义是定义了矩阵 ,0101000075318642⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A 二、如果矩阵中的元素是等步长的，可以用下面的方法A=[1:0.2:2;1:6;2:2:12]A=[1:5]' “'”号在这里表示为转置，而 1:5 中间少了一个循环步长，此时将步长自动取为 1 。
§2 增删改设已经定义 A=[1 2 3 4 5；10 8 6 4 2]; B=[0 1;1 0]; C=[1 2;2 4]，即已定义A= B= C= 1 2 3 4 5 0 1 1 2 10 8 6 4 2 1 0 2 4 则命令：A=[[A(:,1:4);[C ,B]],[0 2 0 4]'] 将 A 定义成：A= 而 A(:,3)=[]； 将删除 A 的第三列 ，得1 2 3 4 0 A= 1 2 4 0 10 8 6 4 2 10 8 4 2 1 2 0 1 0 1 2 1 0 2 4 1 0 4 2 4 0 4§3 命令生成使用 MATLAB 命令生成矩阵一般使用下面的命令 １ 命令 linspace ，它有两个格式：a1=linspace(1,100)%生成一个从1到100的有100 个元素的向量 a2=linspace(0,1)%仍然是有 100 个元素但是是从 0 到 1 的向量 a3=linspace(0,-1) %请与上一个向量进行比较上面是第一种格式 linspace(a,b)，它是将 a 到 b 等分成 100份形成的向量。
第二种格式 linspace(a,b,n) 中的 n 为一个正整数，表示是从 a 到 b 等分成 n 份后形成的向量。
例如a4=linspace(1,100,11)%从1 到100 但只形成11 个元素的向量a5=linspace(1,100,10) %自己体会这个命令作用a6=linspace(0,1,11)'%加上了“'”表示转置a7=linspace(0,-1,10) %自己体会这个命令作用2 命令ones,zeros 分别形成元素全为1或全为零的矩阵它也有两种格式。
8.5.0 空间的曲面与曲线
例如,
求曲线
x2 y2 z 2 1 C: 2 2 2 x ( y 1 ) ( z 1 ) 1
在xoy 面上的投影曲线方程？
z
C
o x
1 y
解：先求其投影柱面方程（消去变量 z 得）
x 2y 2y 0
2 2
其投影曲线方程为：
x 2 2 y 2 2 y 0 z0
y
两边平方
x
z 2 a2 x2 y 2 .
机动 目录 上页 下页 返回 结束
x2 z 2 例 4. 求坐标面 xoz 上的双曲线 2 2 1 分别绕 x 轴和 z轴 a c
旋转一周所生成的旋转曲面方程。
解: 绕 x 轴旋转所成曲面方程为：
x2 y2 z2 1; 2 2 a c
y 轴转动时， 其旋转曲面
z
C : f y, z 0
f y, x 2 z 2
0
o x
y
一般地，某个坐标面内的给定一曲线绕某一选定的坐标
轴转动时。所形成的旋转曲面方程为： “在坐标面给定的平面曲线方程中，作为转轴的坐标轴所 对应的变量不变， 另一变量用其它剩余两变量的平方和开方 取正负号代替。”
A x2 y 2 z 2 D x E y F z G 0
都可通过配方研究它的图形。其图形可能是：
一个球面 , 或点 , 或虚轨迹.
机动
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结束
2. 柱 面
引例. 分析方程 x y R 表示怎样的曲面 ？
2 2 2
z
M
解:在 xoy 面上， x 2 y 2 R 2
7-3(马鞍面)ppt课件
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
4/21
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
4/21
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
观察柱面的形 成过程:
10/21
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线， 动直线 叫L 柱 面的母线.
观察柱面的形 成过程:
10/21
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线， 动直线 叫L 柱 面的母线.
z 1 平面 // x轴 、//y 轴
13/21
四、二次曲面
三元二次方程的图形曲面称为二次曲面．
了解(画)曲面的形状的一种方法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，通
过考察其交线（即截痕）的形状来了解曲面的形状 ——截痕法。
几种特殊的二次方程的曲面：
14/21
1、方程
x2 a2
y2 b2
5/21
yOz 上曲线 f ( y, z) 0绕 z 轴旋转的旋转曲面方程
f x2 y2 , z 0.
同理：绕 y 轴旋转的旋转曲面方程
f y, x2 z2 0.
问：曲线C : f ( x, y) 0 xOy绕x轴的旋转曲面
高等数学下册知识点
高等数学下册知识点第七章 空间解析几何与向量代数一、填空与选择1、已知点A (,,)321-和点B (,,)723-，取点M 使MB AM 2=，则向量OM=。
2 已知点A (,,)012和点B =-(,,)110，则AB=。
3、设向量与三个坐标面的夹角分别为ξηζ,,，则cos cos cos 222ξηζ++= 。
4、设向量a 的方向角απβ=3,为锐角，γπβ=-4=，则a = 。
5、向量)5,2,7(-=a 在向量)1,2,2(=b 上的投影等于。
6、过点()121-，，P 且与直线1432-=-=+-=t z t y t x ，，， 垂直的平面方程为_____________________________． 7、已知两直线方程是130211:1--=-=-z y x L ，11122:2zy x L =-=+，则过1L 且平行2L 的平面方程为____________________ 8、设直线182511:1+=--=-z y x L ,⎩⎨⎧=-+=--03206:2z y y x L ，则1L 与2L 的夹角为（ ） （A ）． 6π （B ）．4π （C ）．3π （D ）2π．9、平面Ax By Cz D +++=0过x 轴，则（ ）（A ）A D ==0 （B ）B C =≠00, （C ）B C ≠=00, （D ）B C ==0 10、平面3510x z -+=（ ）（A ）平行于zox 平面 （B ）平行于y 轴（C ）垂直于y 轴 （D ）垂直于x 轴 11、点M (,,)121到平面x y z ++-=22100的距离为（ ）（A ）1 （B ）±1 （C ）－1 （D ）1312、与xoy坐标平面垂直的平面的一般方程为 。
13、过点(,,)121与向量k j S k j i S--=--=21,32平行的平面方程为 。
14、平面0218419=++-z y x和0428419=++-z y x 之间的距离等于⎽⎽⎽⎽⎽⎽ 。
(完整版)7-6旋转曲面和二次曲面解析
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线.
观察柱面的形 成过程:
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线.
观察柱面的形 成过程:
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线.
观察柱面的形 成过程:
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线.
f (x, y,0) 0
将将yx轴方x1向, y的长ba度y伸1a代缩回ba原倍方,程得,得y1,即y1
b a
y,
f (x1, b y1, 0) 0
即得伸缩变形后的曲线方程.
即:y轴方向的长度伸缩
b a
倍,则用 a b
y 代替原方程中的y
如将y轴方向的长度伸缩 b 倍,则
a
直线y=x,变形为
a yx ybx
观察柱面的形 成过程:
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线.
观察柱面的形 成过程:
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线.
高等数学B资料：7_4_3锥面与二次曲面(更新)
13
x a
z c
0
,
y b
x a
z c
0
.
y b
(4) y1 b,
截痕为一对相交于点(0,b,0) 的直线.
x a
z c
0
,
x a
z c
0
.
y b
y b
（3）用坐标面 yoz ( x 0) ，x x1 与曲面相截
均可得双曲线.
14
平面 x a 的截痕是两对相交直线.
单叶双曲面图形 z
o
y
x
15
3．双叶双曲面
由方程
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
或
x2 a2
y2 b2
z c
2 2
1
或
x2 a2
y2 b2
z c
2 2
1
所确定的曲面称为双叶双曲面。
z x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
o
y
x
4．椭圆抛物面
z
由方程
z
x2 a2
y2 b2
或
y
x2 a2
截椭球面，截得的曲线为
x2 a2
z
y2 b2 h
z c
2 2
1
，即
x
2
a2
y2 h2 b2 1 c2 zh
，
当
h c
时，1
h2 c2
0
，上面方程可写成
x2
y2
a
1
h2 c2
2
b
1
h2 c2
2
1
，
zh
它表示平面 zh 上的一个椭圆，长、短半轴分别为
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观察柱面的形 成过程:
10/21
柱面举例
z
z
y2 2x
o
y
o
x
x
抛物柱面
平面
y
y x
11/21
二元方程F(x,y)=0 在空间表示的曲面S是什么？
M(x, y, z) S
z
M( x, y,0) xOy面上的 曲线C : F( x, y) 0
根据题意,有 M在球面上 | MM 0 | R，即
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R,
所求方程为 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2 ,
特殊地：球心在原点时方程为 x 2 y 2 z 2 R2 .
3/21
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线.
观察柱面的形 成过程:
10/21
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线.
观察柱面的形 成过程:
10/21
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
y 0
抛物线
双曲线 与平面 z z1 的交线
与 x x1
z
x12
y2
2 p 2q
的交线
x
x1
x2
2
pz1
y2 2qz1
1
z z1 （作图）
19/21
*6、方程 *7、方程 *8、方程 *9、方程
x 2 y 2 z 2 0 ——（椭圆）锥面 a2 b2 c2
x2 a2
y2 b2
4/21
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
4/21
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
4/21
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
第三节 曲面及其方程
1. 图形方程的概念 2. 旋转曲面 3. 柱面 4. 二次曲面 5. 小结、作业
1/21
一、图形方程的概念
如果空间图形与三元方程（组）有下述关系： 点在图形上 点的坐标满足方程（组）。
则称这个方程（组）为这个图形的方程，而这个图形 为这个方程的图形．
空间解析几何中研究的两个基本问题： （1）已知图形上点的轨迹特征，求图形的方程；
——柱面 (母线、准线). 4、熟知特殊二次曲面的形状（椭球面、抛物 面、双曲面、锥面、…）。 5、掌握画曲面的截痕法。
21/21
作业
• 习题7-3 78
11-(3)
为？绕y轴生成的旋转曲面为？
6/21
例 2 直线 L 绕另一条与 L 相交的直线旋转所得旋转曲
面叫圆锥面．两直线的交点叫圆锥面的顶点，两直线
的夹角
0
2
叫圆锥面的半顶角．试建立顶点在
原点，旋转轴为 z 轴，半顶角为的圆锥面方程．
解 此锥面可看成 yOz 面上直线
z
z y cot
绕z轴生成的旋转曲面
（黑板上作图）
椭圆
曲面与平面 的交线
双曲线
x2
y2
z z1
a 2
c
2
(c2
z12
)
b2 c2
(c2
z12
)
1
z z1
（作图）
16/21
3、方程 x 2 y 2 z 2 1 ——双叶双曲面 a2 b2 c2
曲面与坐标面的交线：
x2
a
y2 b2
1,
z 0
x2 a2
y 0
x2 y2 2 pz 旋转抛物面
9/21
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线.
观察柱面的形 成过程:
10/21
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线.
观察柱面的形 成过程:
10/21
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线.
观察柱面的形 成过程:
10/21
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
z
轴；
绕x 轴旋转
x2 a2
y2 c2
z2
1
双叶旋转双曲面
绕z 轴旋转
x2 a2
y2
z2 c2
1
单叶旋转双曲面
8/21
y2 （2）椭圆 a 2
z2 c2
1绕 y
轴和 z 轴；
x 0
绕 y 轴旋转
y2 a2
x2 c2
z2
1
旋 转 椭
绕 z 轴旋转
x2 a2
y2
z2 c2
1
球 面
（3）抛物线 y2 2 pz 绕 z 轴； x 0
的交线
x2
y2
a 2
c
2
(c2
z12
)
b2 c2
(c2
z12
)
1
z z1 （作图）
15/21
2、方程
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1 ——单叶双曲面
曲面与坐标面的交线：
x2 a2
z 0
y2 b2
1,
x2 a2
y 0
z2 c2
1 ,
y2 b2
z2 c2
1.
x 0
1
——（椭圆）柱面
x 2 y 2 1 ——（双曲）柱面 a2 b2
y 2 2 px ——（抛物）柱面
*10、方程 ax 2 by 2 0 —— 一对（相交）平面
*11、方程 x 2 a 2 0 —— 一对（平行）平面
二次曲面只有这十一种形状。
20/21
五 、小结
1、图形的方程与方程的图形。 2、旋转曲面求法. 3、 二元方程的图形
这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线.
观察柱面的形 成过程:
10/21
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线.
观察柱面的形 成过程:
10/21
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
4/21
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
4/21
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
4/21
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
——将几何特征转化为代数特征（本节中建立球面、 旋转曲面的方程） （2）已知方程，研究图形的形状． ——将代数特征转化为几何特征（本节中讨论二元方 程的图形）
2/21
例 1 建立球心在M0 ( x0 , y0 , z0 )、半径为 R 的球面
方程. 解 设 M ( x, y, z)是空间中的任一点，
x2
z
2p,
（黑板上作图）
y 0
抛物线
椭圆
曲面与平面z z1 ( z1 0 )的交线
x2
2
pz1
y2 2qz1
1
z z1
（作图）
18/21
5、方程 z x 2 y 2 ——双曲抛物面（马鞍面） 2 p 2q
曲面与坐标面的交线：
y2
z
2q
,
x 0
x2
z
2 p , （黑板上作图）
4/21
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
4/21
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
4/21
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线.
观察柱面的形 成过程:
10/21
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线.
观察柱面的形 成过程:
10/21
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
12/21
所以，二元方程在空间直角坐标系中表示柱面。
例
y2 b2