定积分的换元积分和分部积分法
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定积分的换元积分法与分部积分法
有
b
a f (x) dx f [(t)](t) dt
上式称为定积分的换元公式。
π
例1 计算 2 cos3 x sin x dx 。 0
解
设 t cos x ，则 dt sin x dx 。当 x 0 时，t 1 ；当
x π 时，t 1。 2
原式 0 t3dt 1 t3dt 1 t4计算
4 dx 。
0 1 x
解
令 x t ，x t2 ，则 dx 2tdt 。当 x 0 时，t 0 ；当
x 4 时，t 2。
原式 2 2t dt 2 2 t 1 1 dt 2 2 ln 1 t 2 4 2ln 3
0 1t
0 1t
0
例3 计算
高等数学
定积分的换元积分法与分 部积分法
一、定积分的换元积分法
定理 设函数 f (x) 在 [a ，b] 上连续，而 x (t) 是定义在 [ ， ] 上的一个可微函数，并满足条件：
（1）(t)在区间 [a ，b] 上有连续的导数 (t) ；
（2）当t从α 变到β 时，(t) 从 ( ) a 单调地变到( ) b ，则
两边积分，得 移项，得 即
b
b
b
a (uv)dx a uvdx a uvdx
b uvdx
(uv)
b
b
vudx
a
a
a
b
b
b
udv uv vdu
a
a
a
这就是定积分的分部积分公式。
π
例6 计算 0 x cos x dx 。
解
原式
π
xd (sin
x)
x sin x
π
π
§3.3定积分换元法
π 2
0
sin n xdx = − ∫
π 2
0
sin n −1 xd (cos x )
π 2 0
= − sin n −1 x cos x
[
= (n − 1) ∫
π 2 0 π 2
]
π 2 0
+∫
cos xd (sin n −1 x )
cos 2 x sin n − 2 xdx
= (n − 1) ∫
0
8．已知 g ( x ) = ∫ t f ′( x − t )dt ，求 g′( x ) 。
0
x
g( x ) = ∫ t f ′( x − t )dt
0
x 0
x
令x−t=u
=
− ∫ ( x − u ) f ′(u )du
x
0
= ∫ ( x − u ) f ′(u )du = x
x
∫0 f ′(u )du − ∫0 uf ′(u )du
a a ∫ 0 f(− x) dx
0
f(x) dx =
+
a ∫0
f(x) dx = ∫ [ f(x) + f(− x)] dx.
0
a
续上
∴∫
a
−a
f(x) dx = ∫ [f(x) + f( − x)] dx ，
0
a
（2）∵ f ( x ) 为偶函数，即 f (− x ) = f ( x ) ，
∴∫
π 2 sin 2 t − 1 dt π sin t 6
6 cos t dt = π cos t sin t 2
∫
6 cos t dt π cos t ⋅ sin t 2
定积分的换元积分法和分部积分法
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例2 计算
x
ln 8
ln 3
1 e x dx .
ln(t2
2 td t - 1) ， dx 2 . t 1
解 令 1 e t, 则 x =
x ln3 ln8 t 2 3
于是
3
ln 8
ln 3
1 e x dx 2
3 1 2t 2 dt dt 22 1 2 2 t 1 t 1
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例13 解
计算
1
0
(arcsinx )3dx.
先换元，再分部积分.
x 0 1 令 arcsinx = t， = sin t， dx = cos tdt， 则 x ， t 0 2 1
0 2 0
于是
(arcsinx )3dx 2 t 3 cos tdt .
2 0
e 2 [e x cos x ]02 e x sin xdx
2 0
e 2 1 2 e x sin xdx
移项，解得
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1 e x sin xdx (e 2 1) 2
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0
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e x dx. 例10 计算 0
1
解 先换元，后分部积分.
1
解 令 x t，则 x = t2 ，dx = 2tdt，
于是
1 2t dx 0 1 x 0 1 t dt
x 0 1 ， t 0 1
1
1 2 1 dt 0 1 t
1
2t ln | 1 t | 0 2 2 ln 2.
定积分的换元法和分布积分法
x2 1
x
2
dx
1
40
x2(1 1 x2 ) 1 (1 x2 ) dx
1
40 (1
1
x2
)dx
4
4 1 0
1 x2dx
单位圆的面积
4 .
例 7 若 f ( x)在[0,1]上连续，证明
（1） 2 f (sin x)dx 2 f (cos x)dx ;
0
0
（2）
xf (sin x)dx
1
2 0
arcsin
xdx
x
arcsin
x
1 2
0
1
2 0
1
1
1 2
2 6 20
1 d(1 x2 ) 1 x2
xdx 1 x2
12
1
1 x2
xf (sin x)dx
f (sin x)dx.
0
20
0
1
x
sin cos
x
2
x
dx
2
0
1
sin x cos2
x
dx
2
0
1
1 cos 2
x
d
(cos
x)
2
arctan(cos
x)0
( ) 2 . 2 44 4
二、分部积分公式
设函数u( x)、v( x)在区间a,b上具有连续
必象计算不定积分那样再要把(t ) 变换成原 变量 x 的函数，而只要把新变量t 的上、下限 分别代入(t ) 然后相减就行了.
例1 计算 2 cos5 x sin xdx. 0
解 令 t cos x, dt sin xdx,
x t 0,
-定积分的换元法与分部积分法
2
x t 0, 2
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微积分
第三章 一元函数积分学
2 f (sin x)dx
0
0
2
f
sin
2
t
dt
3
2 arcsin(
ln x)
e4 e
. 6
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微积分
第三章 一元函数积分学
例4
a
计算
0 x
1
dx.
a2 x2
(a 0)
解 令 x a sin t, dx a cos tdt,
x a t , x 0 t 0,
2
原式 2
a cos t
2
2 cos5 x sin xdx 0
x 0 t 1,
0 t 5dt t 6 1 1 .
1
60 6
返回
微积分
第三章 一元函数积分学
例2
计算
sin3 x sin5 xdx.
0
3
解 f ( x) sin3 x sin5 x cos x sin x2
微积分
第三章 一元函数积分学
第七节 定积分的换元法与分部积分法
一、定积分的换元法 二、定积分的分部积分法 三、小结
返回
微积分
第三章 一元函数积分学
一、定积分的换元法
定理 假设
（1） f ( x)在[a, b]上连续；
（2）函数 x (t ) 在[ , ]上是单值的且有连续
导数；
（3）当t 在区间[ , ]上变化时， x (t ) 的值 在[a,b]上变化，且 ( ) a 、 ( ) b，
x t 0, 2
返回
微积分
第三章 一元函数积分学
2 f (sin x)dx
0
0
2
f
sin
2
t
dt
3
2 arcsin(
ln x)
e4 e
. 6
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微积分
第三章 一元函数积分学
例4
a
计算
0 x
1
dx.
a2 x2
(a 0)
解 令 x a sin t, dx a cos tdt,
x a t , x 0 t 0,
2
原式 2
a cos t
2
2 cos5 x sin xdx 0
x 0 t 1,
0 t 5dt t 6 1 1 .
1
60 6
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微积分
第三章 一元函数积分学
例2
计算
sin3 x sin5 xdx.
0
3
解 f ( x) sin3 x sin5 x cos x sin x2
微积分
第三章 一元函数积分学
第七节 定积分的换元法与分部积分法
一、定积分的换元法 二、定积分的分部积分法 三、小结
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微积分
第三章 一元函数积分学
一、定积分的换元法
定理 假设
（1） f ( x)在[a, b]上连续；
（2）函数 x (t ) 在[ , ]上是单值的且有连续
导数；
（3）当t 在区间[ , ]上变化时， x (t ) 的值 在[a,b]上变化，且 ( ) a 、 ( ) b，
5.3 定积分的换元法和分部积分法
( 2 ) න (sin )d
= − න (π − )(sin(π − ))d
则 d = −d
0
0
π
= න (π − )(sin )d
0
π
π
= π න (sin )d − න (sin )d
0
π
0
π
= π න (sin )d − න (sin )d ,
0
+ න () d
0
= න [(−) + ()] d
0
2 න () d , (−) = (),
=
0
0,
− = − .
奇、偶函数在对称区间上的定积分性质 偶倍奇零
第三节 定积分的换元法和分部积分法
定积分
第五章
1
2 2 + cos
例6 计算 න
0
解
1
d.
( > 0)
π
令 = sin , d = cos d, = ⇒ = , = 0 ⇒ = 0.
2
π
2
cos
d
原式 = න
2
2
0 sin + (1 − sin )
=න
π
2
0
cos
1
d = න
sin + cos
1
=
6
6
1
อ
第三节 定积分的换元法和分部积分法
0
cos 5 sin d
= − න cos 5 d(cos )
= 0 ⇒ = 1.
原式 = − න
π
2
1
= .
= − න (π − )(sin(π − ))d
则 d = −d
0
0
π
= න (π − )(sin )d
0
π
π
= π න (sin )d − න (sin )d
0
π
0
π
= π න (sin )d − න (sin )d ,
0
+ න () d
0
= න [(−) + ()] d
0
2 න () d , (−) = (),
=
0
0,
− = − .
奇、偶函数在对称区间上的定积分性质 偶倍奇零
第三节 定积分的换元法和分部积分法
定积分
第五章
1
2 2 + cos
例6 计算 න
0
解
1
d.
( > 0)
π
令 = sin , d = cos d, = ⇒ = , = 0 ⇒ = 0.
2
π
2
cos
d
原式 = න
2
2
0 sin + (1 − sin )
=න
π
2
0
cos
1
d = න
sin + cos
1
=
6
6
1
อ
第三节 定积分的换元法和分部积分法
0
cos 5 sin d
= − න cos 5 d(cos )
= 0 ⇒ = 1.
原式 = − න
π
2
1
= .
定积分的换元积分法与分部积分法
解：对 p 1,
a
dx (a 0) p x
收敛或发散
b
1
1 1 1 p 1 p 1 ( b ) x dx x p 1 p 1 p 1
p
重要的问题是b的指数是正数还是负数. 假如是
负数, 则当b趋向无穷时, b–p+1趋向于0. 若指数为
正数,则b–p+1当b趋于无穷时无界增长. 因此, 若–
a
udv uv a vdu .
a
回忆：：
定积分的分部积分公式
不定积分的分部积分公 式为 :
udv uv vdu .
例1. 计算
解: 原式 =
x arctan x
1 2
1 0
1
0
1 1 2 d (1 x ) 2 4 2 0 1 x
1 2 ln( 1 x ) 2 4 0 1 ln 2 2 4
当p>1时积分有值
1
b 1 1 1 1 p 1 b ) dx lim p dx lim ( p b p 1 b 0 x p 1 x
1 1 ( ) p 1 p 1
定理1 (比较判别法) [a,), g ( x) f ( x) 0, 设 且f ( x)， ( x)于[a,)内有界, 则 g (1) 当 a g ( x)dx 收敛时，a f ( x)dx 也收敛 ； (2) 当
1
dx 增长且无界, x
y 1 x
dx 发散. y x
1
b
dx x
0
1
b
x
2. 其它情形意义
第4节 定积分的换元法与分部积分法
4 1 0
1 0
1 x
1 0
ax dx
a 4
4
即
a
1 0
f ( x )d x
3
7/9/2013 12:56 AM
第6章
函数的积分
7. 设
f (x)
F 是连续函数， ( x ) 是 f ( x ) 的原
函数，则（ A ）
(A) (B ) (C ) (D) F 当 f ( x ) 是奇函数时， ( x ) 必是偶函数 F 当 f ( x ) 是偶函数时， ( x ) 是奇函数
dx )
8(e 2e 2
7/9/2013 12:56 AM
x
) 8(e 2 )
第6章
函数的积分
例9 设
解
f (x)
x 1
2
sin t t
2 2
dt ,
2
求
2
1
x f ( x )d x
0
f ( x ) 2 x
x f ( x )d x
2 1 0
sin x x
，
x 1
3
f ( t ) d t ln x ,
求
x 1
3
f (e ) 。
3
解
ln x
3
1
3 ( t ) d t f ( x ) f (1 ) f ( x ) f
令
u x ,
得
f ( u ) ln
3
u
1 3
ln u
f (e )
3
思考 是否还有其它方法？
1 0
1 x
1 0
ax dx
a 4
4
即
a
1 0
f ( x )d x
3
7/9/2013 12:56 AM
第6章
函数的积分
7. 设
f (x)
F 是连续函数， ( x ) 是 f ( x ) 的原
函数，则（ A ）
(A) (B ) (C ) (D) F 当 f ( x ) 是奇函数时， ( x ) 必是偶函数 F 当 f ( x ) 是偶函数时， ( x ) 是奇函数
dx )
8(e 2e 2
7/9/2013 12:56 AM
x
) 8(e 2 )
第6章
函数的积分
例9 设
解
f (x)
x 1
2
sin t t
2 2
dt ,
2
求
2
1
x f ( x )d x
0
f ( x ) 2 x
x f ( x )d x
2 1 0
sin x x
，
x 1
3
f ( t ) d t ln x ,
求
x 1
3
f (e ) 。
3
解
ln x
3
1
3 ( t ) d t f ( x ) f (1 ) f ( x ) f
令
u x ,
得
f ( u ) ln
3
u
1 3
ln u
f (e )
3
思考 是否还有其它方法？
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0
0
? ? （2） ? xf (sin x )dx ? ?
?
f (sin x )dx .
0
20
? 由此计算
? x sin x 0 1 ? cos2 x dx .
证 （1）设 x ? ? ? t ? dx ? ? dt, 2
x ? 0? t? ?,
2
x ? ? ? t ? 0, 2
?
?
?
?0 xf (sin x )dx ? ? ?0 f (sin t )dt ? ?0 tf (sin t)dt
dx dt
? ? (t)是 f [? (t )]? ?(t )的一个原函数.
?
?? f [? (t )]? ?(t)dt ? ? (? ) ? ? (? ),
? (? ) ? a、? (? ) ? b,
? (? ) ? ? (? ) ? F[ ? (? )]? F[ ? (? )]
? F (b) ? F (a),
?
?
? ? ?0 f (sin x )dx ? ?0 xf (sin x )dx ,
? ? ?
? xf (sin x )dx ? ?
?
f (sin x )dx .
0
20
? ? ? 0
1
x ?
sin cos
x
2
x
dx
?
? 2
? 0
1
sin x ? cos2
x
dx
? ?
?? 2
? 0
1
?
1 cos2
x
d
0
0
（2）设 x ? ? ? t ? dx ? ? dt ,
x ? 0 ? t ? ?,
x ? ? ? t ? 0,
?
0
? ? xf (sin x )dx ? ? (? ? t ) f [sin(
0
?
?
? ? (? ? t) f (sin t)dt, 0
? ? t)]dt
二、定积分的分部积分法
设函数u( x )、v( x ) 在区间?a, b?上具有连续
a
?? a
f
( x )dx
?
0
?? a
f
( x )dx
?
a
?0
f
( x )dx ?
0.
? 例4 计算 1 2 x 2 ? x cos x dx .
?1 1? 1? x2
解
原式 ?
1
?? 1
1?
2x2 1?
x2
dx
?
1
??1
x cos x 1? 1? x2
dx
偶函数
奇函数
1
? 4?0 1 ?
x2 1?
b
?a f ( x )dx ? F (b) ? F (a) ? ? (? ) ? ? (? )
?
?? f [ ? (t )]? ?(t)dt . ?
注意 当? ? ? 时，换元公式仍成立.
应用换元公式时应注意:
（1） 用 x ? ? (t )把变量 x 换成新变量 t 时，积分限也
相应的改变 .
（2）求出 f [? (t )]? (t )的一个原函数 ? (t )后，不
?
?
0
?a
f
(? t )dt
?
a
?0
f
(? t )dt,
① f ( x )为偶函数，则 f (? t ) ? f (t ),
a
0
a
?? a f ( x )dx ? ?? a f ( x )dx ? ?0 f ( x )dx
a
? 2?0 f (t)dt;
② f ( x )为奇函数，则 f (? t ) ? ? f (t ),
(cos
x
)
? ? ? ?arctan(cos
2
x )??0
? ? ? (? ? ? ? ) ? ?2 . 2 44 4
? ? ? 2 f (sin x )dx
0
?
?
0
? 2
f
???sin???
? 2
?
t ??????dt
?
?
? ? ? 2 f (cos t )dt ? 2 f (cos x )dx;
① f ( x )为偶函数，则
a
?? afFra bibliotek( x )dx
?
a
2?0
f
( x )dx
；
②
f
(
x
)
为奇函数，则
a
?? a
f
( x )dx
?
0.
? ? ? 证
a
0
a
f ( x )dx ? f ( x )dx ? f ( x )dx,
?a
?a
0
0
? 在 ?a
f
( x )dx
中令 x
?
?t,
0
?? a
f
( x )dx
6.5定积分的换元积分法
定理 假设
（1） f ( x )在[a,b]上连续；
（2）函数 x ? ? (t ) 在[? , ? ] 上是单值的且有连续
导数；
（3）当t 在区间 [? , ? ]上变化时， x ? ? (t ) 的值 在[a, b]上变化，且 ? (? ) ? a、? (? ) ? b ，
则
? 有 b a
f
(
x
)dx
?
?
??
f [? (t)]? ?(t )dt .
证 设F ( x )是 f ( x ) 的一个原函数，
b
?a f ( x )dx ? F (b) ? F (a),
? ? (t ) ? F [ ? (t )],
? ?(t ) ? dF ?dx ? f ( x )? ?(t )? f [ ? (t )]? ?(t ),
dt
0 a sin t ? a2 (1 ? sin 2 t)
? ? ?
? 2
cos t dt
0 sin t ? cos t
?
1 2
? 2 0
??1 ?
?
cos t sin t
? ?
sin cos
t t
??dt ?
?
1 ?? ? 22
1 ?ln sin t ?
2
?
cos
t
?2 0
?
?. 4
例 3 当 f ( x )在[ ? a, a]上连续，且有
x 2 dx ?
1
4?0
x
2 (1 1?
? (1
1 ?
? x
x 2)
2
)
dx
1
? 4?0 (1 ?
1?
x 2 )dx
?
4?
1
4?0
1 ? x 2dx
单位圆的面积
? 4? ?.
例 5 若 f ( x )在[0,1]上连续，证明
?
?
? ? （1） 2 f (sin x )dx ? 2 f (cos x )dx ;
x ? 0 ? t ? 1,
? ? ?
0 t 5dt
t6 1 1 ? ?.
1
60 6
?a
例2 计算
0 x?
1
dx .
a2 ? x2
(a ? 0)
解 令 x ? a sin t, dx ? a cos tdt ,
x ? a ? t ? ? , x ? 0 ? t ? 0,
2
??
原式 ? 2
a cos t
必象计算不定积分那样再要把 ? (t )变换成原 变量 x 的函数，而只要把新变量 t 的上、下 限分别代入 ? (t ) 然后相减就行了.
?
? 例1 计算 2 cos5 x sin xdx . 0
解 令 t ? cos x , dt ? ? sin xdx ,
x ? ? ? t ? 0,
2
?
?2 cos5 x sin xdx 0
导数，则有
b
?a udv
?
b
?uv ? a
?
b
?a vdu
.
定积分的分部积分公式