2021年高考数学 基础练习44
第44讲 排列组合(解析版)-【高考艺术生专用】2022年高考数学复习(,全国通用版)
第44讲 排列组合一、单选题1．（2021·山东潍坊·高三月考）甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说:“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”，对乙说:“你不会是最差的”，从这两个回答分析，这5人的名次排列所有可能的情况共有（ ） A ．18种 B ．36种 C ．54种 D ．72种【答案】C 【详解】由题意得：甲、乙都不是第一名且乙不是最后一名．乙的限制最多，故先排乙，有可能是第二、三、四名3种情况；再排甲，也有3种情况；余下3人有33A 种排法．故共有33333332154A ⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=种不同的情况．故选：C.2．（2021·四川省内江市第六中学高三月考（理））一次劳动实践活动中，某同学不慎将两件次品混入三件正品中，它们形状、大小完全相同，该同学采用技术手段进行检测，恰好三次检测出两件次品的概率为（ ）A ．15B ．14C ．25D ．310【答案】D 【详解】由题意可知恰好三次就能确定出两件次品可分为前三次检测的均为正品，和前两次恰有一次检测出了一件次品，第三次检测出了一件次品两类情况，前三次检测的均为正品的概率为3335A A ，前两次恰有一次检测出了一件次品，第三次检测出了一件次品的概率为11122335C C C A ，故所求概率为31113223351836010A C C C A +==. 故选：D.3．（2021·上海师范大学第二附属中学）将6封不同的信投入5个不同的信箱，要求每个信箱至少有一封信，则不同的投法共有（ ） A ．3600种 B ．56种 C ．65种 D ．1800种【答案】D 【详解】由题意可知，有一个信箱有两封信，其余信箱都只有一封，由捆绑法可知，不同的投法共有25651800=C A 种故选：D4．（2021·河北邢台·高二月考）将4本不同的书本全部分给甲、乙、丙三位同学，每位同学都分到书的分法有（ ） A ．12种 B ．24种 C ．32种 D ．36种【答案】D 【详解】依题意，将4本不同的书任取2本为1份，余下两本各1份，分成3份有24C 种分法，再将分得的3份送给甲、乙、丙三位同学，每人1份有33A 种送法，由分步计数乘法原理得：234336C A =，所以每位同学都分到书的分法有36种. 故选：D5．（2021·河北邢台·高二月考）今年国庆假日期间甲､乙等6人计划分两组（每组3人）去旅行，每组将在云南丽江､广西桂林､河北石家庄､内蒙古呼和浩特选1个地方，且每组去的地方不同.已知甲不想去云南，乙只想去广西，其余4人这4个地方都想去，则他们分组旅行的方案种数为（ ） A ．24 B ．30 C ．18 D ．36【答案】A 【详解】解：若甲和乙都去广西桂林，则有1134C C 12=种方案； 若甲不去广西桂林，则有122412C C =种方案.故他们分组旅行的方案种数为121224+=. 故选：A6．（2021·宁夏银川一中高二期中（理））最近“你是什么垃圾？”这句流行语火爆全网，垃圾分类也成为时下热议的话题．银川市塞上骄子小区有如下六种垃圾桶：一天，张三提着六袋分别属于不同垃圾桶的垃圾进行投放，发现每个垃圾箱再各投一袋垃圾就满了，作为一名法外狂徒，张三要随机投放垃圾，则法外狂徒张三恰好投错三袋垃圾的概率为（ ） A ．12 B ．59C ．118D ．133240【答案】C【详解】根据题意，6袋垃圾随机投入6个垃圾桶共有66720A =种方法，张三要随机投放垃圾恰好投错三袋垃圾，共有36240C ⨯=种不同的方法， 所以法外狂徒张三恰好投错三袋垃圾的概率为40172018P ==. 故选：C.7．（2021·江苏灌云·高二期中）现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙、丙都能胜任四项工作，丁、戌不会开车但能从事其他三项工作，则不同安排方案的种数是（ ） A ．152 B ．126 C ．90 D ．54【答案】B 【详解】根据题意，分情况讨论：（1）丁、戌一起参加除了开车的三项工作之一，123318C A =种，（2）丁、戌不同时参加一项工作，进而又分为2种情况一是甲、乙、丙三人中有两人承担同一份工作，则先从翻译、导游、礼仪选两项工作安排给丁、戌有23A 种，再从甲、乙、丙三人中有两人承担同一份工作有23C 种，则有222332323236A C A =⨯⨯⨯=种，二是丁或戌与甲、乙、丙三人中的一人承担同一份工作，先从甲、乙、丙三人中选一人与丁、戌中选一人承担同一份工作有3211C C 种，然后从翻译、导游、礼仪选两项工作安排给含丁或戌的两组有23A 种，所以有211233223232272A C C A =⨯⨯⨯⨯=，由分类加法计数原理可得共有183672126++= 故选：B8．（2021·全国（文））我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是 A ．516B ．1132C ．2132D ．1116【答案】A 【详解】由题知，每一爻有2种情况，一重卦的6爻有62情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有36C ，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为3662C =516，故选A ．二、多选题9．（2021·厦门海沧实验中学高二期中）下列结论正确的是（ ）A ．463456A ⨯⨯⨯= B ．233667C C C +=C ．3885C C =D ．“仁义礼智信”为儒家“五常”，由伟大的教育家孔子提出，现将“仁义礼智信”排成一排，则“礼智”互不相邻的排法总数为72 【答案】ABCD 【详解】 对于A ，121m nA n n n n m ，故A 正确；对于B ，2366152035C C ，3735C =，故B 正确； 对于C ，mn m nn C C ，故C 正确；对于D ，采用插空法，将“礼智”插入“仁义信”的4个空中，则一共有22342372C A A 种，故D 正确.故选：ABCD.10．（2021·重庆市两江中学校高二月考）现安排高二年级,,A B C 三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是（ ） A ．所有可能的方法有43种B ．若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有37种C ．若同学A 必须去工厂甲，则不同的安排方法有16种D ．若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种 【答案】BCD 【详解】所有可能的方法有34种，A 错误.对于B ，分三种情况：第一种：若有1名同学去工厂甲，则去工厂甲的同学情况为13C ，另外两名同学的安排方法有339⨯=种，此种情况共有13927C ⨯=种，第二种：若有两名同学去工厂甲，则同学选派情况有23C ，另外一名同学的排法有3种，此种情况共有2339C ⨯=种，第三种情况，若三名同学都去工甲，此种情况唯一，则共有279137++=种安排方法，B 正确.对于C ，若A 必去甲工厂，则B ，C 两名同学各有4种安排，共有4416⨯=种安排，C 正确.对于D ，若三名同学所选工厂各不同，则共有3424A =种安排，D 正确.故答案为：BCD11．（2021·全国高二单元测试）第三届世界智能驾驶挑战赛在天津召开，小张、小赵、小李、小罗、小王为五名志愿者．现有翻译、安保、礼仪、服务四项不同的工作可供安排，则下列说法正确的有（ ） A ．若五人每人可任选一项工作，则不同的选法有45种 B ．若每项工作至少安排一人，则有240种不同的方案C．若礼仪工作必须安排两人，其余工作安排一人，则有60种不同的方案D．已知五人身高各不相同，若安排五人拍照，前排2人，后排3人，后排要求三人中身高最高的站中间，则有40种不同的站法【答案】BCD【详解】解：根据题意，依次分析选项：对于A，若五人每人可任选一项工作，则每人都有4种选法，则5人共有5444444⨯⨯⨯⨯=种选法，A错误，对于B，分2步分析：先将5人分为4组，将分好的4组安排四项不同的工作，有2454240C A=种分配方法，B正确，对于C，分2步分析：在5人中任选2人，安排礼仪工作，有2510C=选法，再将剩下3人安排剩下的三项工作，有336A=种情况，则有10660⨯=种不同的方案，C正确，对于D，分2步分析：在5人中任选2人，安排在第一排，有2520A=排法，剩下3人安排在第二排，要求身高最高的站中间，有2种排法，则有20240⨯=种不同的方案，故选：BCD．12．（2021·全国高二课时练习）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周.则（）A．某学生从中选3门，共有30种选法B．课程“射”“御”排在不相邻两周，共有240种排法C．课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有144种排法D．课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法【答案】CD【详解】6门中选3门共有3620C=种，故A错误；课程“射”“御”排在不相邻两周，共有4245480A A=种排法，故B错误；课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有3434144A A=种排法，故C正确；课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有51145444504A C C A+=种排法，故D正确．故选：CD三、填空题13．（2021·安徽省亳州市第一中学高一期末）有4个不同的展览馆，甲、乙二人每人选2个去参观，则两人参观的展览馆中恰有一个馆相同的概率为_______．【答案】23【详解】 由题意知，甲乙每人去博物馆的选择均为24C 种，甲乙仅有一个馆相同，则概率为111432224423C C C C C =，故答案为：2314．（2021·河北高二期末）为庆祝中国共产党成立100周年，某校以班级为单位组织开展“走进革命老区，学习党史文化”研学游活动该校高一年级部7个班级分别去3个革命老区研学游，每个班级只去1个革命老区，每个革命老区至少安排2个班级，则不同的安排方法共有______种．（用数字作答） 【答案】630. 【详解】由题意，7个班级分别去3个革命老区，每个革命老区至少安排2个班级，分成3组有22375322C C C 105A =种情况，再把3组分到3个革命老区有33A 3216=⨯⨯=种情况，所以共有1056630⨯=种安排方法．故答案为：630.15．（2021·全国高三专题练习）有甲、乙、丙三项任务，甲、乙各需1人承担，丙需2人承担且至少1人是男生．现从3男3女共6名学生中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是__________．（用具体数字作答） 【答案】144 【详解】因为丙需2人承担且至少1人是男生，所以有二种情况：（1）一男生一女生选丙任务；（2）二男生选丙任务.（1）一男生一女生选丙任务：不同的选法种数为1123343343108C C A ⋅⋅=⨯⨯⨯=；（2）二男生选丙任务：不同的选法种数为223434336C A ⋅=⨯⨯=，所以从3男3女共6名学生中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是10836144+=. 16．（2021·浙江丽水·高二课时练习）7个人排成一排拍照片，若要求甲、乙两人必须相邻，则有_______种不同的排法（用数字作答）；若要求甲、乙两人相邻，但与丙均不相邻，则有_________种不同的排法.（用数字作答） 【答案】1440 960； 【详解】甲、乙两人必须相邻，甲、乙相邻全排有22212A =⨯=(种)然后把甲、乙看成一个整体全排，共有26261440A A ⋅=（种）；甲、乙两人相邻，但与丙均不相邻，把甲、乙看成一个整体全排， 然后把甲、乙看成一个整体，插在与丙均不相邻的空中，共有251254960A A C ⋅⋅=（种）.故答案为：1440；960 四、解答题17．（2021·全国高二课时练习）班上每个小组有12名同学，现要从每个小组选4名同学组成一支代表队，与其他小组进行辩论赛.（1）每个小组的代表队有多少种选法？（2）如果每支代表队还必须指定1名队长，那么每个小组的代表队有多少种选法？（3）如果每支代表队还要分别指定第一、二、三、四辩手，那么每个小组的代表队有多少种选法？ 【答案】（1）495；（2）1980；（3）11880. 【详解】（1）由题意从12名同学中选4名同学组成一支代表队，共有41212111094954321C ⨯⨯⨯==⨯⨯⨯种选法.（2）完成这件事情分为两步：第一步先选出队长，有112C 种选法；再选出3名队员，有311C 种选法，故共有131********121980321C C ⨯⨯=⨯=⨯⨯选法.（3）由题意从12名同学中选4名同学担任不同的辩手，有412121110911880A =⨯⨯⨯=种不同选法.18．（2021·全国高二课时练习）已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有4件次品为止．（1）若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第十次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？（2）若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？ 【答案】（1）103680 （2）576 【详解】试题分析：（1）本题是一个分别计数问题，先排前4次测试，只能取正品，有A 64种不同测试方法，再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，有C 42•A 22种测法， 再排除余下4件的测试位置有A 44种，根据分步计数原理得到结果．（2）恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，表示第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现，利用组合数写出结果． 解：（1）由题意知本题是一个分别计数问题， 先排前4次测试，只能取正品，有A 64种不同测试方法，再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，有C42•A22=A42种测法，再排余下4件的测试位置有A44种测法．∴共有不同排法A64•A42•A44=103680种．（2）第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现．∴共有不同测试方法A41•（C61•C33）A44=576种．19．（2021·吴江汾湖高级中学高二月考）一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，（1）从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？（2）若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？【答案】（1）115（2）186【详解】（1）从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法，红球4个，红球3个和白球1个，红球2个和白球2个，红球4个，取法有种，红球3个和白球1个，取法有种；红球2个和白球2个，取法有种；根据分类计数原理，红球的个数不比白球少的取法有12490115++=种．（2）使总分不少于7分情况有三种情况，4红1白，3红2白，2红3白.第一种，4红1白，取法有41466C C=种；第二种，3红2白，取法有324660C C⋅=种，第三种，2红3白，取法有2346120C C⋅=种，根据分类计数原理，总分不少于7分的取法有660120186.++=。
2021年高考数学专题复习 第44讲 古典概型练习 新人教A版
2021年高考数学专题复习第44讲古典概型练习新人教A版[考情展望] 1.考查古典概型概率公式的应用，尤其是古典概型与互斥、对立事件的综合问题更是高考的热点.2.在解答题中古典概型常与统计相结合进行综合考查，考查学生分析和解决问题的能力，难度以中档题为主．一、基本事件的特点1．任何两个基本事件是互斥的．2．任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．古典概型中基本事件数的计算方法(1)列举法：此法适合于较简单的试验．(2)树状图法：树状图是进行列举的一种常用方法，适合较复杂问题中基本事件数的探求．(3)列表法：对于表达形式有明显二维特征的事件采用此法较为方便．(4)排列、组合数公式法．二、古典概型1．定义具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．有限性试验中所有可能出现的基本事件只有有限个︱等可能性每个基本事件出现的可能性相等2．古典概型的概率公式P(A)＝A包含的基本事件的个数基本事件的总数.1．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是( ) A.16 B.12 C.13 D.23【解析】 甲、乙、丙三名同学站成一排，有6个基本事件，其中甲站在中间的基本事件有2个，故所求概率为P ＝26＝13. 【答案】 C2．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )A.13B.12C.23D.34【解析】 甲、乙两位同学参加3个小组的所有可能性有3×3＝9种，其中，甲、乙参加同一小组的情况有3种．故甲、乙参加同一个兴趣小组的概率P ＝39＝13. 【答案】 A3．三张卡片上分别写上字母E ，E ，B ，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE 的概率为________．【解析】 三张卡片随机排成一行的基本事件有BEE ，EBE ，EEB ，共3个，故所求概率为P ＝13. 【答案】 134．从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是________．【解析】 从1,2,3,4中随机取两个数，不同的结果为{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共有6个基本事件．满足一个数是另一个数两倍的取法有{1,2}，{2,4}共两种，∴所求事件的概率P ＝26＝13. 【答案】 135．(xx·江西高考)集合A ＝{2,3}，B ＝{1,2,3}，从A ，B 中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是( )A.23B.12C.13D.16【解析】 从A ，B 中各任取一个数有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)6个基本事件，满足两数之和等于4的有(2,2)，(3,1)2个基本事件，所以P ＝26＝13. 【答案】 C6．(xx·课标全国卷Ⅱ)从n 个正整数1,2，…，n 中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为114，则n ＝________. 【解析】 由题意知n ＞4，取出的两数之和等于5的有两种情况：1,4和2,3，所以P ＝2C 2n ＝114，即n 2－n －56＝0，解得n ＝－7(舍去)或n ＝8. 【答案】 8考向一 [184] 古典概型的概率(1)某艺校在一天的5节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他两门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为( )A.45B.35C.25D.15(2)甲口袋中装有大小相同的标号分别为1,2,3,4的4个小球，乙口袋中装有大小相同的标号分别为2,3,4,5的4个小球．现从甲、乙口袋中各取一个小球．①求两球标号之积为偶数的概率；②设ξ为取出的两球的标号之差的绝对值，求对任意x ∈R ，不等式x 2＋3x ＋43ξ≥0恒成立的概率．【思路点拨】 (1)把5门课全排列得到5门课一天的所有排法种数，分类求出相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的排法种数，然后利用古典概型概率计算公式求概率．(2)依题意，所求事件的概率满足古典概型，分别求基本事件总数与所求事件所包含的基本事件个数，进而利用古典概型概率公式计算．【尝试解答】 (1)一天中5节课的安排情况共有A 55＝120种．相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的排法分3类．(1)语文、数学、外语三门文化课之间没有艺术课，可把3节文化课捆绑在一起与2门艺术课全排列，排法种数为A 33·A 33＝36种；(2)语文、数学、外语三门文化课全排列，之间产生3个空，有两门之间插1节艺术课，另两门文化课相邻，排法种数为A 33·C 12·A 12·A 12＝48种；(3)语文、数学、外语三门文化课每两门之间插1节艺术课，排法种数为A 33·A 22＝12种．故在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为36＋48＋12120＝45. 【答案】 A(2)①设两球标号之积为偶数为事件A ，则其对立事件为两球标号之积为奇数， P (A )＝1－P (A )＝1－C 12C 12C 14C 14＝34. ②对任意x ∈R ，不等式x 2＋3x ＋43ξ≥0恒成立， 则x 2＋3x ＋43ξ＝0的判别式，Δ≤9,9－163ξ≤0. 又ξ∈N ，ξ＝2,3,4.当ξ＝2时，甲取1乙取3，甲取2乙取4，甲取3乙取5，甲取4乙取2；当ξ＝3时，甲取1乙取4，甲取2乙取5；当ξ＝4时，甲取1乙取5，概率为P ＝4＋2＋1C 14C 14＝716. 规律方法1 1.有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数. 2.1用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举.2注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用. 对点训练 (1)如图10－5－1，图10－5－1给定由6个点(任意相邻两点距离为1)组成的正三角形点阵，在其中任意取2个点，则两点间的距离为2的概率是( )A.110 B.15 C.310 D.25(2)甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．①若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，求选出的2名教师性别相同的概率； ②若从报名的6名教师中任选2名，求选出的2名老师来自同一学校的概率．【解析】 (1)从6个点中选出2个的选法共有C 26＝15种若使得取出的两点中距离为2，则只能是三角形的顶点中任意取出2个，只有3种情况P ＝315＝15故选B.【答案】 B(2)①从甲、乙两校报名的教师中各选1名，共有n ＝C 13C 13＝9种选法．记“2名教师性别相同”为事件A ，则事件A 包含基本事件总数m ＝C 12·1＋C 12·1＝4，∴P (A )＝m n ＝49. ②从报名的6人中任选2名，有n ＝C 26＝15种选法．记“选出的2名老师来自同一学校”为事件B ，则事件B 包含基本事件总数m ＝2C 23＝6.∴选出2名教师来自同一学校的概率P (B )＝615＝25.考向二 [185] 古典概型与统计的综合应用某高校在xx 年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如图所示．(1)、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？(2)在(1)的前提下，学校决定在这6名学生中，随机抽取2名学生接受A 考官进行面试，求第4组至少有一名学生被考官A 面试的概率？【思路点拨】 (1)根据分层抽样方法求解．(2)利用古典概型公式计算．【尝试解答】 (1)∵第3、4、5组共有60名学生，∴利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组分别为：第3组：3060×6＝3人，第4组：2060×6＝2人，第5组：1060×6＝1人，∴第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人．(2)由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从六位同学中抽两位同学有C26＝15种满足条件的事件是第4组至少有一名学生被考官A面试有C12C14＋1＝9种结果，∴至少有一位同学被A面试的概率为915＝35规律方法2有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点，概率与统计结合题，无论是直接描述还是利用概率分布表、分布直方图、茎叶图等给出信息，只需要能够从题中提炼出需要的信息，则此类问题即可解决.对点训练某校高三学生体检后，为了解高三学生的视力情况，该校从高三六个班的300名学生中以班为单位(每班学生50人)，每班按随机抽样抽取了8名学生的视力数据，其中高三(1)班抽取的8名学生的视力数据与人数见下表：(2)已知其余五个班学生视力的平均值分别为4.3、4.4,4.5、4.6、4.8.若从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，求抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不大于0.2的概率．【解】(1)高三(1)班学生视力的平均值为4.4×2＋4.6×2＋4.8×2＋4.9＋5.18＝4.7，故用上述样本数据估计高三(1)班学生视力的平均值为4.7，(2)从这六个班中任意抽取两个学生视力的平均值作比较，所有的取法共有C26＝15种，而满足抽取的两个班学生视力的平均值的绝对值不大于0.2的取法有(4.3,4.5)、(4.3,4.6)、(4.3,4.7)、(4.3,4.8)、(4.4,4.6)、(4.4,4.7)、(4.4,4.8)、(4.5,4.7)、(4.5,4.8)、(4.6,4.8)，共有9个，故抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不大于0.2的概率为915＝35.规范解答之二十一古典概型问题求解策略第一步：理清题意，列出所有基本事件，计算基本事件总数；第二步：分析所求事件，找出所求事件的个数；第三步：根据古典概型概率公式求解得出结论．————[1个示范例]————[1个规范练]————(12分)袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1,2,3；蓝色卡片两张，标号分别为1,2.(1)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；(2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．【规范解答】(1)标号为1,2,3的三张红色卡片分别记为A，B，C，标号为1,2的两张蓝色卡片分别记为D，E，从五张卡片中任取两张的所有可能的结果为(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)(C，E)，(D，E)共10种.3分由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．从五张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为(A，D)，(A，E)，(B，D)共3种.5分所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为310.6分(2)记F是标号为0的绿色卡片，从六张卡片中任取两张的所有可能的结果为(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)共15种.9分由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．从六张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为(A，D)，(A，E)，(B，D)，(A，F)，(B，F)，(C，F)，(D，F)，(E，F)共8种.11分所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为815.12分【名师寄语】1在列举基本事件空间时，易漏掉或重复计数，故要特别关注细节，使解题结果准确过程完善.2在解决该类问题时，必要时要先将所求事件转化为彼此互斥的事件的和，或者先去求对立事件的概率，进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求出所求事件的概率.(xx·泰安二模)学校游园活动有一个游戏项目：箱子里装有3个红球，2个白球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从箱子里摸出3个球，若摸出的是3个红球为优秀；若摸出的2个红球1个白球为良好；否则为合格．(1)求在1次游戏中获得优秀的概率；(2)求在1次游戏中获得良好及以上的概率．【解】将3个红球编号1,2,3；2个白球编号为4,5.则从5个球中摸出3个球的所有可能情况为：(123)，(124)，(125)，(134)，(135)，(145)，(234)，(235)，(245)，(345)共10种．令D表示在1次游戏中获得优秀的事件，则获得优秀的情况为(123)共一种，E表示在1次游戏中获得良好的事件，则获得良好的情况为(124)，(125)，(134)，(135)，(234)，(235)共6种．F表示在1次游戏中获得良好及以上的事件．(1)P(D)＝110；(2)P(E)＝35，P(F)＝P(D)＋P(E)＝110＋35＝710.30703 77EF 矯30256 7630 瘰626322 66D2 曒28386 6EE2 滢29001 7149 煉' 20518 5026 倦|36954 905A 遚z39102 98BE 颾=21411 53A3 厣。
新高考数学复习考点知识专题讲解与练习44---专题：球与几何体的切结
新高考数学复习考点知识专题讲解与练习专题44 球与几何体的切结一、单项选择题1．(2021·河北张家口期末)体积为8的正方体ABCD－A1B1C1D1内有一个体积为V的球，则V的最大值为()A．8πB．4π C.82π3 D.4π32．(2020·课标全国Ⅰ，理)已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆．若⊙O1的面积为4π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球O的表面积为( )A．64πB．48πC．36πD．32π3．(2021·唐山一中模拟)正三棱锥的高和底面边长都等于6，则其外接球的表面积为()A．64πB．32πC．16πD．8π4．(2021·武昌调研)已知A，B，C，D是球O上不共面的四点，且AB＝BC＝AD＝1，BD＝AC＝2，BC⊥AD，则球O的体积为( )A.3π2 B.3πC．23πD．43π5．(2021·山东临沂模拟)张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十等于八分之五．已知三棱锥A－BCD的每个顶点都在球O的球面上，AB ⊥底面BCD，BC⊥CD ，且AB ＝CD ＝3，BC ＝2，利用张衡的结论可得球O 的表面积为( ) A ．30 B ．1010 C ．33 D ．12106．(2021·安徽合肥模拟)已知球的直径SC ＝6，A ，B 是该球球面上的两点，且AB ＝SA ＝SB ＝3，则三棱锥S －ABC 的体积为( )A.324B.924C.322D.9227.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )A.500π3 cm 3B.866π3 cm 3C.1 372π3 cm 3D.2 048π3 cm 38．(2021·安徽安庆二模)底面边长与侧棱长均相等的正四棱锥的外接球半径与内切球半径比值为( )A.3＋1 B ．3 C.2＋1 D ．2二、填空题9．(2017·课标全国Ⅱ)长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为________．10．(2017·课标全国Ⅰ)已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S －ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________11．(2021·唐山二模)在三棱锥P －ABC 中，∠BAC＝90°，PA＝PB＝PC＝BC＝22，则三棱锥P－ABC外接球的表面积为________．12．(2020·浙江台州高三月考)半球内有一个内接正方体，若正方体的棱长为6，则这个半球的体积为________．13．(2021·山东济南模拟)如图，矩形ABCD中，AB＝23，AD＝2，Q为BC的中点，点M，N分别在线段AB，CD上运动(其中M不与A，B重合，N不与C，D重合)，且MN∥AD.沿MN将△DMN折起，得到三棱锥D－MNQ，则三棱锥D－MNQ体积的最大值为________；当三棱锥D－M NQ体积最大时，其外接球的表面积为________．14．(2021·合肥质量检测二)已知半径为3cm的球内有一个内接四棱锥S－ABCD，四棱锥S－ABCD的侧棱长都相等，底面是正方形，当四棱锥S－ABCD的体积最大时，它的底面边长等于________cm.15．(2021·湖北武汉适应性测试)已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为332，在该圆锥内放置一个棱长为a的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为( )A．3 B.2C.92(3－2) D.32216．(2021·百校联盟卷)在我国瓷器的历史上六棱形的瓷器非常常见，因为六、八是中国人的吉利数字，所以好多瓷器都做成六棱形和八棱形．数学李老师有一个正六棱柱形状的笔筒，底面边长为6 cm，高为18 cm(底部及筒壁厚度忽略不计)．一根长度为285cm的圆铁棒l(粗细忽略不计)斜放在笔筒内部，l的一端置于正六棱柱某一侧棱的底端，另一端置于和该侧棱正对的侧棱上．一位小朋友玩耍时，向笔筒内注水，恰好将圆铁棒淹没，又将一个圆球放在笔筒口，球面又恰好接触水面，则球的表面积为________ cm2. 17．已知球O是正方体ABCD－A1B1C1D1的外接球，正方体的棱长为6，点P是球面上一点，且AP⊥A1C，则点P轨迹的长度为________．参考答案1．答案 D解析要使球的体积V最大，则球为正方体的内切球．∵正方体的体积为8，∴正方体的棱长为2，∴内切球的半径为1，体积为43π×13＝4π3，故选D.2．答案 A解析设球O的半径为R，⊙O1的半径为r，因为⊙O1的面积为4π，所以4π＝πr2，解得r＝2，又AB＝BC＝OO1，所以ABsin60°＝2r，解得AB＝23，故OO1＝23，所以R2＝OO12＋r2＝(23)2＋22＝16，所以球O的表面积S＝4πR2＝64π.故选A.3．答案 A解析如图，作PM ⊥平面ABC 于点M ，则球心O 在PM 上，PM ＝6，连接AM ，AO ，则OP ＝OA ＝R(R 为外接球半径)，在Rt △OAM 中，OM ＝6－R ，OA ＝R ，又AB ＝6，且△ABC为等边三角形，故AM ＝2362－32＝23，则R 2－(6－R)2＝(23)2，则R ＝4，所以外接球的表面积S ＝4πR 2＝64π.4．答案 A解析 由题知，AB ＝BC ＝1，AC ＝2，且AB ∩AD ＝A ，所以AB 2＋BC 2＝AC 2，所以∠CBA ＝π2，即BC ⊥AB ，又BC ⊥AD ，AB ∩AD ＝A ，所以BC ⊥平面ABD ，因为AB＝AD ＝1，BD ＝2，所以AB 2＋AD 2＝BD 2，所以AB ⊥AD ，此时可将点A ，B ，C ，D 看成棱长为1的正方体上的四个顶点，球O 为正方体的外接球，设球O 的半径为R ，故2R ＝12＋12＋12，所以R ＝32，则球O 的体积V ＝43πR 3＝3π2.故选A.5．答案 B解析 本题考查三棱锥外接球、球的表面积以及数学文化．因为BC ⊥CD ，BC ＝2，CD ＝3，所以BD ＝7，则三棱锥A －BCD 的外接球的球心在过BD 中点且与底面BCD 垂直的直线上．又AB ⊥底面BCD ，所以AB ⊥BD ，所以球O 的球心为侧棱AD 的中点，所以球O 的直径为AD ＝10.利用张衡得出的结论可得π216＝58，则π＝10，所以球O 的表面积为4π⎝ ⎛⎭⎪⎫1022＝10π＝1010.故选B. 6．答案 D解析 设该球球心为O ，因为球的直径SC ＝6，A ，B 是该球球面上的两点，且AB ＝SA＝SB ＝3，所以三棱锥S －OAB 是棱长为3的正四面体，其体积V S －OAB ＝13×12×3×332×6＝924，同理V O －ABC ＝924，故三棱锥S －ABC 的体积V S －ABC ＝V S －OAB ＋V O －ABC ＝922，故选D. 7.答案 A解析 设球心为O ，半径为R ，正方体上底面中心为A ，上底面一边的中点为B ，在Rt△OAB 中，OA ＝R －2，AB ＝4，OB ＝R ，由R 2＝(R －2)2＋42，得R ＝5，∴V 球＝43πR 3＝500π3(cm 3)．故选A.8．答案 A解析 本题考查棱锥的外接球和内切球问题．不妨设该正四棱锥的棱长为2，外接球的半径为R ，内切球的半径为r.如图所示，该正四棱锥为P －ABCD ，作点P 在底面上的射影为点O ，连接PO ，BO ，取CD 的中点M ，连接PM.则BO ＝12BD ＝12×22＝2，PO ＝PB2－BO2＝2，PM ＝PC2－CM2＝3，所以可知O 即为该四棱锥外接球的球心，故R ＝ 2.V P －ABCD ＝4×13S △PCD ×r ＋13·S 四边形ABCD ·r＝13·S 四边形ABCD ·PO ，又S 四边形ABCD ＝22＝4，S △PCD ＝12·CD ·PM ＝3，所以内切球半径r＝23＋1，于是Rr＝2×3＋12＝3＋1.故选A.9．答案14π解析设长方体的外接球半径为R，则2R＝32＋22＋12＝14，所以球O的表面积S ＝4πR2＝π(2R)2＝14π.10．(2017·课标全国Ⅰ)已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S－ABC的体积为9，则球O的表面积为________．答案36π解析设球O的半径为R，∵SC为球O的直径，∴点O为SC的中点，连接AO，OB，∵SA＝AC，SB＝BC，∴AO⊥SC，BO⊥SC，∵平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC，∴AO⊥平面SCB，所以V S－ABC ＝V A－SBC＝13×S△SBC×AO＝13×⎝⎛⎭⎪⎫12×SC×OB×AO，即9＝13×⎝⎛⎭⎪⎫12×2R×R×R，解得R＝3，∴球O的表面积为S＝4πR2＝4π×32＝36π.11．答案32π3解析如图，∵PA＝PB＝PC，∴点P在底面△ABC内的投影O为△ABC的外心．又∵∠BAC ＝90°，∴O 为BC 中点，即PO ⊥底面ABC ，∴三棱锥P －ABC 的外接球球心G 在PO 上．∵BO ＝2，PB ＝22， ∴在Rt △POB 中，PO ＝6，∴在Rt △GOB 中，GB 2＝GO 2＋BO 2，即R 2＝(6－R)2＋(2)2，其中R 为三棱锥P －ABC 的外接球半径，解得R ＝263，∴S ＝4πR 2＝32π3.12．答案 18π解析 方法一：过正方体的对角面作截面如图所示，设半球的半径为R ，半球球心为O ，因为正方体的棱长为6，所以CC 1＝6，OC ＝22×6＝ 3.在Rt △C 1CO 中，由勾股定理，得CC 12＋OC 2＝OC 12，即(6)2＋(3)2＝R 2，所以R ＝3.故V 半球＝23πR 3＝18π. 方法二：将其补成球和内接长方体，原正方体的棱长为6，则(2R)2＝6＋6＋(26)2，所以R ＝3.故V 半球＝23πR 3＝18π.13．答案 1 25π3解析 本题考查三锥棱的体积的最值问题及其外接球表面积．设BM ＝x ，则DN ＝23－x ，x ∈(0，23)．由题意知，当DN ⊥平面MNQ 时，点D 到平面MNQ 的距离最大，此时V D －MNQ ＝13S △MNQ ·DN ＝13×12×2x ×(23－x)＝13(－x 2＋23x)＝－13(x －3)2＋1(0<x<23)，当x ＝3时，三棱锥D －MNQ 的体积最大，最大值为1.此时MQ ＝NQ ＝MN ＝2，△MNQ 为等边三角形，其外接圆半径r ＝2×32×23＝233.将三棱锥D －MNQ补成直三棱柱，则其外接球半径R ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫DN 22＋r2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＝536，所以三棱锥D －MNQ 的外接球的表面积为4πR 2＝4π⎝ ⎛⎭⎪⎫5362＝25π3.综上，三棱锥D －MNQ 体积的最大值为1，体积最大时，其外接球表面积为25π3.14．答案 4解析方法一：如图，设四棱锥S －ABCD 的侧棱长为x ，底面边长为a ，棱锥的高为h ，由题意知顶点S 在底面上的投影为底面正方形ABCD 的中心，记为O 1，连接SO 1，则四棱锥S －ABCD 外接球的球心在四棱锥的高SO 1上，记球心为O ，连接OB ，O 1B ，在Rt △OO 1B 中，OO 1＝h －3，OB ＝3，O 1B ＝22a ，由勾股定理得32＝(h －3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22a 2，整理得a 2＝12h －2h 2， 在Rt △SO 1B 中，x 2＝h 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22a 2＝h 2＋6h －h 2＝6h ， 所以h ＝x26，所以a 2＝2x 2－x418，所以V S －ABCD ＝13a 2h ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫2x2－x418·x26＝1324(－x 6＋36x 4)， 设f(x)＝－x 6＋36x 4，所以f ′(x)＝－6x 5＋144x 3＝－6x 3(x 2－24)，所以当0<x<26时，f ′(x)>0，f(x)单调递增；当x>26时，f ′(x)<0，f(x)单调递减． 所以当x ＝26时，f(x)有极大值，即最大值，此时四棱锥S －ABCD 的体积最大，且a 2＝2×(26)2－（26）418＝16，即a ＝4. 方法二：由上可得a 2＝12h －2h 2，∴V S －ABCD ＝V(h)＝13a 2h ＝23(6h 2－h 3)．V ′(h)＝23(12h －3h 2)＝2h(4－h)．当0<h<4时，V ′(h)>0，V(h)单调递增；当h>4时，V ′(h)<0，V(h)单调递减．∴当h ＝4时，V(h)最大．此时a 2＝16，a ＝4.15．答案 B解析依题意，正四面体可以在圆锥内任意转动，故该正四面体最大时内接于圆锥的内切球． 设内切球球心为P ，半径为r ，圆锥底面圆半径为R ，圆锥及其内切球的轴截面如图所示，S 为圆锥顶点，O 为底面圆圆心，连接SO.则OA ＝OB ＝32，因为SO ＝332，所以SA ＝SB ＝SO2＋OB2＝3，所以△SAB 为等边三角形，故P 是△SAB 的中心．连接BP ，则BP 平分∠SBA ，所以∠PBO ＝30°，所以tan30°＝r R ，即r ＝33R ＝33×32＝32，即正四面体的外接球的半径r ＝32.又正四面体可以从正方体中截得，如图，正四面体A 1BDC 1可由正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1截得，则可知，当正四面体A 1BDC 1的棱长为a 时，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为22a.而正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，所以2r ＝3×22a ＝62a ＝3，所以a ＝ 2.即a 的最大值为 2.16．答案 1 849π16解析 六棱柱笔筒的底面边长为6 cm ，高18 cm ，铁棒与底面六边形的最长对角线、对棱的部分长h 构成直角三角形，∴285＝122＋h2，∴h ＝14，所以容器内水面的高度为14 cm.设球的半径为R ，则球被六棱柱体上面截得圆的半径为33，球心到截面圆的距离为R －4，则R 2＝(R －4)2＋(33)2，解得R ＝438，∴球的表面积为4π×⎝ ⎛⎭⎪⎫4382＝1 849π16 cm 2.17．答案 46π解析因为A1C⊥平面AB1D1，所以点P在平面AB1D1与球O相交的截面圆周上，设截面圆的圆心为O1，则点P的轨迹是以O1为圆心，以O1A为半径的圆，OO1＝16A1C＝3，OA＝33，所以O1A＝OA2－OO12＝26，点P轨迹的长度为46π.。
2021届新高考数学模拟基础训练卷一(解析word版)
绝密★启用前专题01 2021高考数学基础训练卷一一、单选题1．如图，集合{}0,2,4A =，{}1,3,4B =，则阴影部分表示的集合是（ ）A ．{}4B ．{}0,1,2,3,4C ．{}0,2D ．{}1,3【答案】C 【分析】阴影部分表示集合A 中去掉A B 部分剩余元素组成的集合.【详解】{}4A B ⋂=阴影部分表示集合A 中去掉A B 部分剩余元素组成的集合，即阴影部分表示的集合是{}0,2.故选：C 2．设2iz i+=，则||z =（ ）A B C ．2D ．5【答案】B 【分析】利用复数的除法运算先求出z ，再求出模即可. 【详解】()22212i ii z i i i++===-，∴z ==故选：B ．3．已知直线l ：y ＝k (x 和圆C ：()2211x y +－＝，若直线l 与圆C 相切，则k ＝（ ）A ．0 BC ．3或0 D 0【答案】D 【分析】根据直线与圆相切的条件建立方程，可得选项． 【详解】因为直线l 与圆C 相切，所以圆心C 到直线l 的距离d ＝1，解得k ＝0或k 故选：D.4．已知变量x ，y 之间的一组数据如表：若y 关于x 的线性回归方程为ˆˆ0.7yx a =+，则ˆa =（ ） A ．0.1 B ．0.2C ．0.35D ．0.45【答案】C 【分析】先求x ，y ，代入ˆˆ0.7yx a =+，即可得计算ˆa 的值. 【详解】34564.54x +++==,2.534 4.53.54y +++==，将 4.5x =， 3.5y =代入ˆˆ0.7yx a =+ 得ˆ0.35a=， 故选：C5．已知(1,1),(2,4),(,9)A B C x --，且//AB AC ，则x =（ ） A ．3 B ．2C ．1D ．-1【答案】A【分析】先求出AB 和AC 的坐标，利用向量共线的坐标表示列方程即可求解. 【详解】()1,5AB =-，()1,10AC x =--，因为//AB AC ，所以()()11051x ⨯-=--，解得：3x =， 故选：A6．已知q 为等比数列{}n a 的公比，且1212a a =-，314a =，则q =（ ） A ．1- B ．4 C ．12-D ．12±【答案】C 【分析】利用等比通项公式直接代入计算，即可得答案； 【详解】()211142211111122211121644a a q a q q q q a q a q ⎧⎧=-=--⎪⎪⎪⎪⇒⇒=⇒=-⎨⎨⎪⎪=⋅=⎪⎪⎩⎩， 故选：C.7．若球的半径为10cm ，一个截面圆的面积是236cm π，则球心到截面圆心的距离是（ ） A ．5cm B ．6cmC ．8cmD ．10cm【答案】C 【分析】由题意可解出截面圆的半径，然后利用勾股定理求解球心与截面圆圆心的距离． 【详解】由截面圆的面积为236cm π可知，截面圆的半径为6cm ，则球心到截面圆心的距离为8d ==cm ． 故选：C ． 【点睛】解答本题的关键点在于，球心与截面圆圆心的连线垂直于截面． 8．已知函数()f x 是定义在R 上的可导函数，对于任意的实数x ，都有()()2x f x e f x -=，当0x <时，()()0f x f x +'>，若()()211a e f a f a +≥+，则实数a 的取值范围是（ ）A ．20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[)0,+∞D ．(],0-∞【答案】B 【分析】构造函数()()xg x e f x =，根据题意，可得函数()g x 的奇偶性，根据0x <时()()0f x f x +'>，对函数()g x 求导，可得函数()g x 的单调性，将()()211a e f a f a +≥+，左右同乘1a e +，可得()()211211a a e f a e f a +++≥+，即()()211g a g a +≥+，利用()g x 的性质，即可求得答案.【详解】∵()()2x f x e f x -=，∵()()()x x xf xe f x e f x e --==-， 令()()xg x e f x =，则()()g x g x -=，即()g x 为偶函数，当0x <时()()0f x f x +'>，∵()()()'0xx e f x f x g '+⎡⎤⎣⎦>=，即函数()g x 在(),0-∞上单调递增.根据偶函数对称区间上单调性相反的性质可知()g x 在()0,∞+上单调递减， ∵()()211ae f a f a +≥+，∵()()211211a a ef a e f a +++≥+，∵()()211g a g a +≥+，即211a a +≤+， 解得，203a -≤≤， 故选：B. 【点睛】解题的关键是将题干条件转化为()()()x x xf x e f x e f x e--==-，根据左右相同的形式，构造函数()()x g x e f x =，再根据题意，求得函数的奇偶性，单调性；难点在于：由于()()211a e f a f a +≥+，不符合函数()g x 的形式，需左右同乘1a e +，方可利用函数()g x 的性质求解，属中档题.二、多选题9．下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ） A ．x y e -= B ．3y x = C ．ln y x = D ．y x =【答案】BD 【分析】利用基本初等函数的基本性质可得结论. 【详解】对于A 选项，101e <<，所以，函数1xx y e e -⎛⎫== ⎪⎝⎭是定义域为R 的减函数；对于B 选项，函数3y x =是定义域为R 的增函数； 对于C 选项，函数ln y x =是定义域为()0,∞+的增函数； 对于D 选项，函数y x =是定义域为R 的增函数. 故选：BD. 【点睛】本题考查基本初等函数定义域和单调性的判断，属于基础题. 10．在下列函数中，最小正周期为π的所有函数为（ ） A ．sin 2y x = B ．cos y x =C ．cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．tan 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】ABC 【分析】利用周期公式或图像判断即可.【详解】 对于A ，2T ππω==，对于B ，cos y x =的周期是2π，cos y x =的图像是把cos y x =的图像的x 轴下方部分关于x 轴对称，周期减半，故cos y x =的周期是π，对于C ，2T ππω==，对于D ，2ππT ω==， 故选：ABC. 【点睛】此题考函数的周期的求法，属于简单题. 11．已知曲线22:1C mx ny +=（ ） A ．若0m =，0n >，则C 是两条直线 B ．若0m n =>，则CC ．若0m n >>，则C 是椭圆，其焦点在x 轴上D ．若0mn <，则C是双曲线，其渐近线方程为y = 【答案】AD 【分析】由曲线方程及圆锥曲线的性质逐项判断即可得解. 【详解】对于A ，若0m =，0n >，则2:1C ny =即y =，为两条直线，故A 正确； 对于B ，若0m n =>，则221:C x y n +=，所以CB 错误； 对于C ，若0m n >>，则110m n<<， 所以22:1C mx ny +=即22:111x y C m n+=为椭圆，且焦点在y 轴上，故C 错误；对于D ，若0mn <，则22:111x y C m n +=为双曲线，且其渐近线为y ==，故D 正确.故选：AD.12．如图，在正方体ABCD 1111A B C D -中，点P 在面对角线AC 上运动，给出下列四个命题，则其中正确的命题的是（ ）A ．1//D P 平面11A BCB ．1D P BD ⊥C ．平面PD 1B ⊥平面11A BC D ．三棱锥11A BPC -的体积不变 【答案】ACD 【分析】确定平面1//ACD 平面11A BC ，可判断A ，取特殊点可判断B ，证明1B D ⊥平面1ACD 后得面面垂直，可判断C ，由棱锥体积公式可判断D ． 【详解】如下图，正方体中11//AC A C ，由线面平行的判定定理，得//AC 平面11A BC ，同理1//AD 平面11A BC ，因此可得平面1//ACD 平面11A BC ，从而平面1ACD 内的直线1//D P 平面11A BC ，A 正确；如下图，当P 是AC 与BD 交点时，1D PD ∠是锐角，B 错；如下图，由正方体中AC BD ⊥，1AC BB ⊥可得AC ⊥平面1BDB ，从而AC BD ⊥，同理有1AD BD ⊥，因此有1B D ⊥平面1ACD ，∵平面1PDB ⊥平面1ACD ，C 正确；如上图，11PA C 的面积是矩形11ACC A 面积的一半，不变，B 到平面11PA C 的距离不变是12BD ，因此三棱锥11B PAC -即三棱锥11A BPC -的体积不变，D 正确． 故选：ACD ． 【点睛】关键点点睛：本题考查空间线面关系，棱锥的体积，掌握线面平行的判定，线线垂直、线面垂直与面面垂直的关系是解题关键．解题时对三个垂直的间相互转化需熟练掌握．第II 卷（非选择题）三、填空题13．已知1x >，且1x y -=，则1x y+的最小值是______ 【答案】3 【分析】由题得0y >，再利用基本不等式求函数的最小值. 【详解】由题得11,0x y y =+>∴>.所以11111x y y y y y +=++=++≥， （当且仅当1y =时取等） 所以函数的最小值为3. 故答案为：3 【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 14．已知()8223160123161x a a x a x a x a x -=+++++，则45a a +=______.【答案】28 【分析】先求出二项的通项公式()()82181rrrr T C x -+=-，由此通项可知展开式中x 的次数均为偶数，所以50a=，当6r =时，x 的次数为4，从而可求出4a ，进而可得结果. 【详解】解：因为()821-x 的第1r +项为()()82181rrrr T C x -+=-（08r ≤≤且r *∈N ）， 所以5x 不存在，所以50a =，因为4x 的系数为()668128C -=，所以428a =，所以4528a a +=.故答案为：28 【点睛】此题考查二项式展开式的指定项的系数，熟记二项式展开式的通项公式是解题的关键，属于基础题. 15．某县城中学安排5位老师（含甲）去3所不同的村小（含A 小学）支教，每位老师只能支教1所村小，且每所村小学都有老师支教，其中至少安排2位老师去A 小学，但是甲不去A 校，则不同的安排方法数为________. 【答案】44 【分析】A 小学若安排3人有8种，A 小学若安排2人有36种，利用加法原理计算即可.【详解】解：A 小学若安排3人，则有23428C A =种；A 小学若安排2人.则有22243236C C A =种.故不同的方法数为83644+=. 故答案为：44 【点睛】本题考查排列组合的综合应用，考查分类讨论的思想及逻辑推理能力，属于基础题.16．若数列{}n a 是等差数列，n S 是数列的前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -也成等差数列.类比上述结论，若数列{}n b 是等比数列，n T 是数列的前n 项积，则对应的结论为________ 【答案】n T ，2n n T T ，32nnT T 也成等比数列. 【分析】根据题中条件，类比等差数列的性质，在等比数列中研究n T ，2n n T T ，32nnT T 之间关键即可. 【详解】因为若数列{}n b 是等比数列，n T 是数列的前n 项积，则12...n n b b T b ⋅⋅=，212212212.........n nn n n n n T b b b b b b T b b b ++⋅⋅==⋅⋅⋅⋅， 3123212232122.........n nn n n n nT b b b b b b T b b b ++⋅⋅==⋅⋅⋅⋅，所以()()()()2312122232332...n n n n n n nn T b b b b b b T b b T +++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ()()()()222221232...nn n n n nT b b b b T +++⎛⎫=⋅⋅⋅⋅= ⎪⎝⎭， 所以n T ，2n n T T ，32nnT T 成等比数列. 故答案为：n T ，2n n T T ，32nnT T 也成等比数列. 【点睛】本题主要考查类比推理，涉及等比数列的性质，属于基础题型.四、解答题17．在等差数列{}n a 中，已知616a =，1636a =.在①14n n n b a a +=；②()1nn n b a =-⋅；③2na n nb a =⋅这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并对其求解. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若______，求数列{}n b 的前n 项和n S .注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1）24n a n =+；（2）答案见解析. 【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，根据题中条件，求出公差，进而可得通项公式； （2）分别选①②③，根据裂项相消法，分组求和法，以及错位相减法，即可得出结果. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则()166166a a d =+-， 即361610d =+，解得2d =，故()166224n a n n =+-⨯=+. （2）选①，由()()()()14412324214n n n b a a n n n n +====+++++⎡⎤⎣⎦1123n n -++得，()111111113445233333n n S n n n n =-+-++-=-=++++. 选②，()()()1124nnn n b a n =-⋅=-⋅+. 当n 为偶数时，()234562212n nS n n =-+-+-++=⨯⨯=⎡⎤⎣⎦； 当n 为奇数时，()()()1234561221252n n S n n n n -⎡⎤=-+-+-++-+=⨯-+=--⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦. 故,5,.n n n S n n ⎧=⎨--⎩为偶数，为奇数选③，由()242242n an n n b a n +=⋅=+⋅得，()6810246282102242n n S n +=⋅+⋅+⋅+++⋅，①()()810242646282222242n n n S n n ++=⋅+⋅+++⋅++⋅，②①-②得，()68102426362222222242n n n S n ++-=⋅+⋅+⋅++⋅-+⋅()82662622262224212n n n ++⎛⎫-=⋅+-+⋅ ⎪-⎝⎭727552233n n +⎛⎫=⋅-+⋅ ⎪⎝⎭， 故2735640299n n n S ++=⋅-. 【点睛】 方法点睛：数列求和的常用方法：（1）公式法：已知数列是等差或等比的数列，可根据求和公式直接计算；（2）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n 项和即可用导学相加法；（3）错位相减法：数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成，此时求和可采用错位相减法；（4）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和； （5）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和后再相加减；（6）并项求和：一个数列的前n 项，可由两两结合求解，则称之为并项求和，形如： ()()1nn a f n =-类型，可采用两项合并求解.18．在△ABC 中，a b c 、、分别为三个内角A 、B 、C 的对边，且222sin .3b Ac a -+= (1)求角A ；(2)若4sin sin 3B C ，=且2a ，=求△ABC 的面积．【答案】（1）3A π=； （2.【分析】（1）整理222sin b A c a +=得：222sin b c a A +-=，再由余弦定理可得cos A A =，问题得解．（2）由正弦定理得：3R =，2sin b R B =，2sin c R C =，再代入ABC S ∆=1sin 2bc A 即可得解．【详解】（1）由题意，得2222cos sin cos tan b c a bc A A A A A +-==⇒=⇒=， ∵3A π=；（2）由正弦定理，得2sinB sinC sin a R R b A c ===⇒=2sin b R B =,2sin c R C =∵2232si 1n s sin sin 24in 2ABCS R A B c A C b ∆===⋅=⎝⎭ 【点睛】本题主要考查了正、余弦定理及三角形面积公式，考查了转化思想及化简能力，属于基础题．19．如图，四棱锥-P BCDE 中，//BC DE ，2222BC CD DE PE ====，CE O 是BE 中点，PO ⊥平面BCDE .（1）求证：平面PBE ⊥平面PCE ； （2）求二面角B PC D --的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）11. 【分析】（1）根据题中所给长度可得222CE DE CD =+，即90CDE ∠=︒，利用余弦定理，可求得BE =，则可得CE BE ⊥，利用线面垂直的性质，可得PO CE ⊥，根据线面垂直的判定定理即可得证.（2）如图建系，分别求得平面PCD 和平面PBC 的法向量，利用向量法求得二面角B PC D --的余弦值，进而可求得答案. 【详解】（1）证明：∵1CD DE ==，CE∵222CE DE CD =+，即90CDE ∠=︒，45CED ∠=︒， ∵//BC DE ，∵45BCE CED ∠=∠=︒，∵2BC =，∵222222cos 452BE BC CE BC CE BC CE =+-⋅⋅︒==-， ∵CE BE ⊥，∵PO ⊥平面BCDE ，∵PO CE ⊥， ∵PO BE O ⋂=，PO ，BE ⊂平面PBE ， ∵CE ⊥平面PBE ， ∵CE ⊂平面PCE ， ∵平面PBE ⊥平面PCE .（2）以O 为坐标原点，以过点O 且平行于CD 的直线为x 轴，过点O 且平行于BC 的直线为y 轴，直线PO 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.由1PE =，122OE BE ==，PO BE ⊥知2PO =， 则11,,022B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，13,,022C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，13,,022D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，0,0,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 设平面PCD 的法向量为()1111,,n x y z =，则1100n CD n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111030x y =⎧⎪⎨-=⎪⎩，令12z =，可得120,,3n ⎛= ⎝， 设平面PBC 的法向量为()2222,,n x y z ，则2200n PB n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22220x y y ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，令22z =，可得(22,0,n =， ∵12121233,n n cos n n n n ⋅<>==⋅，则二面角B PC D --. 【点睛】当题中条件有边的具体长度，考虑用勾股定理证明垂直，再结合线面垂直的判定定理，性质定理进行证明，学生需熟练掌握各个定理，考查推理证明，求值计算的能力.20．互联网在带给人们工作､学习方便､快捷的同时，网络游戏也让一些人沉溺于其中不能自拔，游戏成瘾，无心工作､学习，特别是青少年.前不久，网络消息称某985高校有18名学生由本科降为专科.某心理咨询机构为了调研青少年网瘾成因，随机地调查了200名大一学生，得到以下22⨯列联表：（1）是否有99.5%的把握认为本人沉溺于网游与伙伴中有沉溺于网游有关？说明你的理由；（2）在所有受调查的学生中，按分层抽样的方法抽出20人，再在这20人中随机地抽取5人进行访谈，求至少有一名学生沉溺于网游的概率. 附表及公式：()()()()()22,n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++【答案】（1）有99.5%的把握认为本人沉溺于网游与伙伴中有沉溺于网游有关，理由见解析；（2）137228. 【分析】（1）根据列联表中的数据求得2K 的值，再与临界值表对照下结论.（2）记“从20人中随机地抽取5人至少有一名学生沉溺于网游”为事件A ，由()()1P A P A =-求解, 【详解】 （1）()2220011*********.4587.8791703012080K ⨯-⨯=≈≥⨯⨯⨯∴有99.5%的把握认为本人沉溺于网游与伙伴中有沉溺于网游有关；（2）记“从20人中随机地抽取5人至少有一名学生沉溺于网游”为事件A()()51752011C P A P A C ∴=-=-=137228.21．已知椭圆C ：22221(0)y x a b a b +=>>的离心率为，点P ⎫⎪⎪⎝⎭在椭圆C 上． （1）求椭圆的方程；（2）设1F ，2F 分别是椭圆C 的上、下焦点，过2F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A 、B ，求1F AB 的内切圆的半径的最大值．【答案】（1）2214y x +=；（2）12. 【分析】（1）根据椭圆离心率以及点在椭圆上，结合222a b c =+得到关于,,a b c 的方程组，求解出,,a b c 的值，则椭圆方程可求；（2）根据等面积法将内切圆的半径与12x x -联系在一起，采用联立方程思想并结合韦达定理以及基本不等式求解出12x x -的最大值，从而内切圆的半径的最大值可求. 【详解】（1）因为2c a =，且,12P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆上，所以222221314c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，所以2241a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆方程为：2214y x +=； （2）设()()1122,,,A x y B x y ，内切圆的半径为R ，由条件可知直线AB的斜率存在，故设直线:AB y kx =因为()11212111122F ABSF F x x F A F B AB R =⋅-=++⋅，且1148F A F B AB a ++==，122F F c ==124x x R -=R =，所以当12x x -取最大值时R 有最大值，又2244y kx x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，所以()22410k x +--=，所以1212214x x x x k +==-+， 所以12x x -===，所以()1224433+3x x -==≤=，=，即k=所以1432R =≤=，所以内切圆的半径最大值为12. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中求解三角形面积的常用方法： （1）利用弦长以及点到直线的距离公式，结合12⨯底⨯高，表示出三角形的面积； （2）根据直线与圆锥曲线的交点，利用公共底或者公共高的情况，将三角形的面积表示为1212AB x x ⋅⋅-或1212EF y y ⋅⋅-； （3）借助三角形内切圆的半径，将三角形面积表示为()12a b c R ⋅++⋅（,,a b c 为三角形三边长度，R 为内切圆半径）. 22．已知函数311()ln 62f x x x x x =+-. （1）求曲线()y f x =在点（1，(1)f ）处的切线方程；（2）若()f x a <对1(,)x e e∈恒成立，求a 的最小值.【答案】（1）23y =；（2）31162e e -. 【分析】 （1）求导211'()ln 22f x x x =--，再分别求得(1)f ，'(1)f ，用点斜式写出切线方程.（2）根据()f x a <对1(,)x e e∈恒成立，则()max a f x >，再利用导数求解()max f x 即可. 【详解】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞. 由已知得211'()ln 22f x x x =--，且2(1)3f =. 所以'(1)0f =.所以曲线()y f x =在点（1，(1)f ）处的切线方程为23y =. （2）设()'()g x f x =，（1x e e<<） 则211'()x g x x x x-=-=. 令'()0g x =得1x =.当x 变化时，'()g x 符号变化如下表：则()(1)0g x g ≥=，即'()0f x ≥，当且仅当1x =时，'()0f x =. 所以()f x 在1(,)e e上单调递增. 又311()62f e e e =-， 因为()f x a <对1(,)x e e∈恒成立，所以31162a e e ≥-， 所以a 的最小值为为31162e e -.【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法： 若()f x 在区间D 上有最值，则（1）恒成立：()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>；()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<； （2）能成立：()()max ,00x D f x f x ∃∈>⇔>；()()min ,00x D f x f x ∃∈<⇔<. 若能分离常数，即将问题转化为：()a f x >（或()a f x <），则 （1）恒成立：()()max a f x a f x >⇔>；()()min a f x a f x <⇔<； （2）能成立：()()min a f x a f x >⇔>；()()max a f x a f x <⇔<；。
2021年高考数学模拟训练卷 (44)(含答案解析)
2021年高考数学模拟训练卷 (44)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. i 为虚数单位，若a =5i−2，则a 的值为( )A. 2+iB. 2−iC. −2−iD. −2+i2. 已知集合A ={x|x 2−3x −10≤0}，B ={x|3−x ≤0}，则A ∪B =( )A. {x|−2≤x ≤3}B. {x|x ≥−2}C. {x|3≤x ≤5}D. {x|x ≥−5}3. 已知△ABC 中，D 为边BC 上靠近B 点的三等分点，连接AD ，E 为线段AD 的中点，若CE⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +n AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，则m +n =( ) A. −13B. −12C. −14D. 124. 已知命题p:若a >b ，则1a <1b ；命题q:若，则a >b.下列命题为真命题的是( )A. p ∧qB. p ∨qC.D.5. 已知α∈(π4,π)，若sin2α=45，则cosα=( )A. −2√55B. 2√55C. −√55D. √556. 在等差数列{a n }中，若a 1+a 13=12，则a 7为( )A. 6B. 7C. 8D. 97. 2020年新型肺炎疫情期间，山东省某市派遣包含甲，乙两人的12名医护人员支援湖北省黄冈市，现将这12人平均分成两组，分别分配到黄冈市区定点医院和黄冈市英山县医院，则甲､乙不在同一组的概率为( )A. 511B. 611C. 12D. 238. 若实数x ，y 满足约束条件{x −4y +4≤0x +y ≤1x ≥−3，则x −y 的最大值是( )A. −7B. −134C. −1D. 79. 某四棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是( )A. 43B. 83C. 4D. 6+2√310.过抛物线x2=−4y的焦点作斜率为1的直线l，若l与抛物线相交于M，N两点，则|MN|的值为()A. 8B. 16C. 64D. 8√211.设函数f(x)=sin(ωx+φ)(x∈R,ω>0,|φ|<π2)的部分图像如图所示，如果x1,x2∈(−π12,5π12)，且f(x1)=f(x2)，则f(x1+x2)=()A. 12B. √22C. √32D. 112.已知f(x)=e x(lnx+12x2−mx)，若对任意的x∈(0,+∞)，均有f′(x)−f(x)>0恒成立，则实数m的取值范围是()A. (−∞,√2]B. [√2,+∞)C. (−∞,2)D. [2,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.过点(−1,−1e)且和函数f(x)=lnx的图象相切的直线的斜率为________．14.若(x−1)7=a0+a1x+a2x2+⋯+a7x7，则a1+a2+a3+⋯a7=______．15.已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2−c2+b2=ab，则角C等于______ ．16.设双曲线x29−y216=1的右顶点为A，右焦点为F，过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知{a n}是单调递增的等差数列，首项a1=3，前n项和为S n；数列{b n}是等比数列，首项b1=1，且a2b2=12，S3+b2=20．(1)求{a n}和{b n}的通项公式；π)(n∈N+)，求{c n}的前20项和T20．(2)令c n=S n cos(a n318.随着工业化以及城市车辆的增加，城市的空气污染越来越严重，空气质量指数AQI一直居高不下，对人体的呼吸系统造成了严重影响.现调查了某市500名居民的工作场所和呼吸系统健康情况，得到2×2列联表如下：(1)补全2×2列联表．(2)是否有95%的把握认为感染呼吸系统疾病与工作场所有关?(3)现采用分层抽样的方法从在室内工作的居民中抽取一个容量为6的样本，再从中随机抽取2人，求2人都有呼吸系统疾病的概率．公式与临界值表：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)19.如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，，G，F分别是线段BE，DC的中点．(1)求证：(2)求平面AEF与平面BEC所成角的余弦值．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，其中左焦点为F(−2,0)．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点M在圆x2+y2=1上，求m的值．+lnx−1.求当0<a<e时．f(x)在区间(0,e]上的最小值．21.已知a∈R，函数f(x)=ax22.已知直线l：x−√3y=0与曲线C：x2+(y−3)2=9，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求直线l和曲线C的极坐标方程；(2)将直线l绕极点O逆时针方向旋转30°，得到的直线lˈ，这两条直线与曲线C分别交于异于极点的P，Q，两点，求△OPQ的面积．23.已知函数f(x)=|x−1|．(1)求函数y=f(x)−f(x+1)的最大值；(2)若f(|a−2|+3)>f((a−2)2+1)，求实数a的取值范围．【答案与解析】1.答案：C解析：解：a =5i−2=5(i+2)(i−2)(i+2)=10+5i −1−4=−2−i ，故选：C根据复数的运算法则进行化简即可． 本题主要考查复数的计算，比较基础．2.答案：B解析：本题考查一元二次不等式的解法以及并集的运算． 可解出集合A ，B ，然后进行并集的运算即可． 解：A ={x|−2≤x ≤5}，B ={x|x ≥3}； ∴A ∪B ={x|x ≥−2}． 故选：B ．3.答案：B解析：解：如图所示，△ABC 中，D 为边BC 上靠近B 点的三等分点，E 为线段AD 的中点，∴CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴CD⃗⃗⃗⃗⃗ =23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ； ∴CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA⃗⃗⃗⃗⃗ ) =12CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AC⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AC⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −56AC⃗⃗⃗⃗⃗ ；又CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +n AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴m =13，n =−56；∴m +n =−12． 故选：B ．根据题意画出图形，结合图形，利用平面向量的线性运算性质，用AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 、AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示出CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 、CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求出m 、n 的值即可．本题考查了平面向量的线性运算性质的应用问题，也考查了推理与运算能力，是基础题目．4.答案：B解析：本题考查了复合命题的真假性判断问题，是基础题．判断命题p 是假命题，命题q 是真命题，再根据复合命题的真假性判断即可． 解：命题p:若a >b ，则1a <1b ，当b <0<a 时，不满足1a <1b ，∴p 是假命题； 命题q:若log 2a >log 2b ，则a >b.在定义域上为增函数，log 2a >log 2b ，必有a >b. ∴q 是真命题；∴￢p 是真命题，￢q 是假命题，则只有p ∨q 是真命题，B 正确． 故选：B ．5.答案：D解析：本题主要考查同角三角函数基本关系式及二倍角公式． 解：由题意得sin2α=45=2sinαcosαsin 2α+cos 2α=2tanαtan 2α+1， ∴tanα=2或tanα=12．由α∈(π4,π)可知tanα=2，即sinα=2cosα． 结合sin 2α+cos 2α=1可得cosα=√55．故选D ．6.答案：A解析：解：∵数列{a n }为等差数列， ∴a 1+a 13=2a 7， ∵a 1+a 13=12， ∴a 7=6． 故选：A ．由数列{a n }为等差数列，利用等差数列的性质得到a 1+a 13=2a 7，从而得到a 7的值， 此题考查了等差数列的性质，熟练掌握等差数列的性质是解本题的关键．7.答案：B解析：解：设“甲、乙不在同一组”为事件M ，12名医护人员平均分配到两所医院的基本事件总数为n =C 126=924， 甲、乙在同一组包含的基本事件个数m =2C 104=420，∴甲、乙不在同一组的概率p =1−m n=1−420924=611．故选：B ．设“甲、乙不在同一组”为事件M ，12名医护人员平均分配到两所医院的基本事件总数为n =C 126=924，甲、乙在同一组包含的基本事件个数m =2C 104=420，由此能求出甲、乙不在同一组的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.答案：C解析：解：约束条件{x −4y +4≤0x +y ≤1x ≥−3对应的平面区域如图：(阴影部分).由z =x −y 得y =x −z ，平移直线y =x −z ， 由平移可知当直线y =x −z ，经过点A 时， 直线y =x −z 的截距最小，此时z 取得最大值， 由{x =−3x +y =1，解得A(−3,4)代入z =x −y 得z =−3−4=−1，即z =x −y 的最大值是−1， 故选：C ．根据二元一次不等式组表示平面区域，画出不等式组表示的平面区域，由z =x −y 得y =x −z ，利用平移求出z 最大值即可．本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．9.答案：A解析：解：由三视图可知：该几何体为三棱锥P −ABC ，其中PA ⊥底面ABC ，AB ⊥AC ，AB =AC =2，PA =2．∴V =13×2×12×22=43． 故选：A ．由三视图可知：该几何体为三棱锥P −ABC ，其中PA ⊥底面ABC ，AB ⊥AC ，AB =AC =2，PA =2．本题考查了三棱锥的三视图、体积的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10.答案：A解析：解：焦点F(0,−1)，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2). 直线l 的方程为：y =x −1，联立{y =x −1x 2=−4y ，化为：y 2+6y +1=0，∴y 1+y 2=−6，∴|MN|=2−(y 1+y 2)=2−(−6)=8， 故选：A ．直线l 的方程为：y =x −1，与抛物线方程联立化为：y 2+6y +1=0，利用根与系数的关系、抛物线的定义即可得出．本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、直线与抛物线相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.答案：A。
(福建专版)2021高考数学一轮复习课时规范练44椭圆文
课时标准练44 椭圆根底稳固组1.椭圆的焦点坐标为(-5,0)和(5,0),椭圆上一点与两焦点的距离和是26,那么椭圆的方程为()A.x2169+x2144=1B.x2144+x2169=1C.x2169+x225=1D.x2144+x225=12.(2021河南洛阳三模)集合M={x|x29+x24=1},N={x|x3+x2=1},M∩N=()A.⌀B.{(3,0),(0,2)}C.[-2,2]D.[-3,3]3.椭圆C:x2x2+x2x2=1(a>b>0)的左、右焦点为F1,F2,离心率为√33,过F2的直线l交C于A,B两点.假设△AF1B的周长为4√3,那么C的方程为()A.x23+x22=1 B.x23+y2=1C.x212+x28=1 D.x212+x24=14.设椭圆C:x2x2+x2x2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,那么C的离心率为()A.√36B.13C.12D.√335.(2021广东、江西、福建十校联考,文11)F1,F2是椭圆x2x2+x2x2=1(a>b>0)的左右两个焦点,假设椭圆上存在点P使得PF1⊥PF2,那么该椭圆的离心率的取值范围是()A.[√55,1) B.[√22,1)C.(0,√55] D.(0,√22]6.与圆C1:(x+3)2+y2=1外切,且与圆C2:(x-3)2+y2=81内切的动圆圆心P的轨迹方程为.7.(2021湖北八校联考)设F1,F2为椭圆x29+x25=1的两个焦点,点P在椭圆上,假设线段PF1的中点在y轴上,那么|xx2||xx1|的值为.8.(2021广东佛山一模,文20)椭圆C:x2x2+x2x2=1(a>b>0)过点M(2,1),且离心率为√32.(1)求椭圆C的方程;(2)假设过原点的直线l1与椭圆C交于P,Q两点,且在直线l2:x-y+2√6=0上存在点M,使得△MPQ为等边三角形,求直线l1的方程.〚导学号24190941〛综合提升组9.椭圆E的中心在坐标原点,离心率为12,E的右焦点与抛物线C:y2=8x的焦点重合,A,B是C的准线与E的两个交点,那么|AB|=()A.3B.6C.9D.1210.O 为坐标原点,F 是椭圆C :x 2x 2+x 2x2=1(a>b>0)的左焦点,A ,B 分别为C 的左、右顶点.P 为C 上一点,且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ,与y 轴交于点E.假设直线BM 经过OE 的中点,那么C 的离心率为( ) A.13 B.12C.23D.3411.椭圆x 2x 2+x 2x 2=1的左顶点为A ,左焦点为F ,点P 为该椭圆上任意一点;假设该椭圆的上顶点到焦点的距离为2,离心率e=12,那么xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是 . 12.(2021湖北武汉二月调考,文20)椭圆E :x 2x 2+x 2x 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,离心率为√22,F 2与椭圆上点的连线中最短线段的长为√2-1. (1)求椭圆E 的标准方程;(2)E 上存在一点P ,使得直线PF 1,PF 2分别交椭圆E 于点A ,B ,假设xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2x 1x ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,xx 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λx 2x ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ>0),求直线PB 的斜率.〚导学号24190942〛创新应用组13.(2021安徽马鞍山一模,文16)椭圆x 2x 2+x 2x 2=1(a>b>0)的焦点为F 1,F 2,假设椭圆上存在满足xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=x 22的点P ,那么椭圆的离心率的范围是 .14.(2021山西太原二模,文20)如图,曲线C 由左半椭圆M :x 2x 2+x 2x 2=1(a>b>0,x ≤0)和圆N :(x-2)2+y 2=5在y 轴右侧的局部连接而成,A ,B 是M 与N 的公共点,点P ,Q (均异于点A ,B )分别是M ,N 上的动点.(1)假设|PQ|的最大值为4+√5,求半椭圆M 的方程;(2)假设直线PQ 过点A ,且xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,求半椭圆M 的离心率. 答案：1.A 由题意知a=13,c=5,那么b 2=a 2-c 2=144.又椭圆的焦点在x 轴上,∴椭圆方程为x 2169+x 2144=1.2.D 集合M={x |x 29+x 24=1}=[-3,3],N={x |x 3+x 2=1}=R ,那么M ∩N=[-3,3],应选D .3.A 由椭圆的定义可知△AF 1B 的周长为4a ,所以4a=4√3,即a=√3,又由e=xx=√33,得c=1,所以b 2=a 2-c 2=2,那么C 的方程为x 23+x 22=1,应选A.4.D 如下图,在Rt △PF 1F 2中,|F 1F 2|=2c ,设|PF 2|=x ,那么|PF 1|=2x ,由tan 30°=|xx 2||x 1x 2|=x2x =√33, 得x=2√33c.由椭圆定义得|PF 1|+|PF 2|=2a=3x ,∴a=32x=√3c ,∴e=x x =√3x =√33. 5.B∵F 1,F 2是椭圆x 2x 2+x 2x 2=1(a>b>0)的左右两个焦点,∴离心率0<e<1,F 1(-c ,0),F 2(c ,0),c 2=a 2-b 2.设点P (x ,y ),由PF 1⊥PF 2, 得(x-c ,y )·(x+c ,y )=0, 化简得x 2+y 2=c 2,联立方程组{x 2+x 2=x 2,x 2x 2+x 2x2=1,整理,得x 2=(2c 2-a2)·x 2x 2≥0,解得e ≥√22,又0<e<1,∴√22≤e<1.应选B .6.x 225+x 216=1 设动圆的半径为r ,圆心为P (x ,y ),那么有|PC 1|=r+1,|PC 2|=9-r. 所以|PC 1|+|PC 2|=10>|C 1C 2|,即P 在以C 1(-3,0),C 2(3,0)为焦点,长轴长为10的椭圆上, 得点P 的轨迹方程为x 225+x 216=1.7.513 由题意知a=3,b=√5.由椭圆定义知|PF 1|+|PF 2|=6.在△PF 1F 2中,因为PF 1的中点在y 轴上,O 为F 1F 2的中点, 由三角形中位线性质可推得PF 2⊥x 轴,所以|PF 2|=x 2x=53,所以|PF 1|=6-|PF 2|=133, 所以|xx 2||xx 1|=513.8.解 (1)由题意可知,椭圆的离心率为e=x x =√1-x 2x 2=√32,即a 2=4b 2.由椭圆过点M (2,1),代入可知44x 2+1x 2=1,解得b 2=2,那么a 2=8.∴椭圆C 的方程为x 28+x 22=1.(2)当直线l 1的斜率k 不存在时,P ,Q 两点为短轴的端点,直线l 2与x 轴的交点(-2√6,0)即点M ,但△MPQ 不是等边三角形.当直线l 1的斜率k 存在时,设P (x 0,y 0),那么Q (-x 0,-y 0),当k=0时,直线PQ 的垂直平分线为y 轴,y 轴与直线l 2的交点为M (0,2√6),由|PO|=2√2,|MO|=2√6,∴∠MPO=60°.那么△MPQ 为等边三角形,此时直线l 1的方程为y=0. 当k ≠0时,设直线l 1的方程为y=kx ,由{x =xx ,x 28+x 22=1,整理得(1+4k 2)x 2=8, 解得|x 0|=√81+4x 2,那么|PO|=√1+x 2·√81+4x 2,那么PQ 的垂直平分线为y=-1x x , 由{x -x +2√6=0,x =-1x x , 解得{x =-2√6xx +1,x =2√6x +1,那么M (-2√6xx +1,2√6x +1),∴|MO|=√24(x 2+1)(x +1)2.∵△MPQ 为等边三角形,那么|MO|=√3|PO|,∴√24(x 2+1)(x +1)2=√3·√1+x 2·√81+4x 2,解得k=0(舍去),k=23,∴直线l 1的方程为y=23x.综上可知,直线l 1的方程为y=0或y=23x.9.B ∵抛物线y 2=8x 的焦点坐标为(2,0),∴E 的右焦点的坐标为(2,0).设椭圆E的方程为x 2x 2+x 2x 2=1(a>b>0),那么c=2.∵xx =12,∴a=4. ∴b 2=a 2-c 2=12.于是椭圆方程为x 216+x 212=1.∵抛物线的准线方程为x=-2,将其代入椭圆方程可得A (-2,3),B (-2,-3),∴|AB|=6.10.A 由题意,不妨设直线l 的方程为y=k (x+a ),k>0,分别令x=-c 与x=0,得|FM|=k (a-c ),|OE|=ka.设OE 的中点为G , 由△OBG ∽△FBM , 得12|xx ||xx |=|xx ||xx |, 即xx 2x (x -x )=xx +x , 整理,得xx =13,故椭圆的离心率e=3,应选A .11.[0,12] 因为椭圆的上顶点到焦点的距离为2,所以a=2.因为离心率e=12,所以c=1,b=√x 2-x 2=√3. 那么椭圆方程为x 24+x 23=1,所以点A 的坐标为(-2,0),点F 的坐标为(-1,0).设P (x ,y ),那么xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x+2,y )·(x+1,y )=x 2+3x+2+y 2. 由椭圆方程得y 2=3-34x 2, 所以xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2+3x-34x 2+5=14(x+6)2-4.因为x ∈[-2,2], 所以xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[0,12]. 12.解 (1)由题意e=xx=√22, ① a-c=√2-1,②由①②解得a=√2,c=1,∴b=√x 2-x 2=1.∴椭圆E 的标准方程是x 22+y 2=1.(2)设点P (x 0,y 0),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),直线l PA 的方程为x=my-1. 由{x =xx -1,x 2+2x 2=2,消去x ,得(m 2+2)y 2-2my-1=0, 那么y 0·y 1=-1x 2+2.∵1x =x 0x0+1,∴m=x 0+1x 0. ∴|xx 1||x 1x |=-x0x1=-x 0-1(x 2+2)x=(m2+2)x 02=[(x 0+1)2x 02+2]x 02=(x 0+1)2+2x 02 =(x 0+1)2+2-x 02=3+2x 0.∴3+2x 0=2,解得x 0=-2, ∴P (-12,±√144). ∴k PB =x xx 2=±√144-12-1=∓√146. 故直线PB 的斜率为±√146. 13.[√33,1) ∵椭圆的焦点为F 1,F 2,椭圆上存在满足xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 22的点P ,∴|xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|xx 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos <xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,xx 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=x 22,4c 2=xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+xx 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2-2|xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|xx 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos <xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,xx 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >,|xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+|xx 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2a ,可得xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+xx 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2|xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|xx 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4a 2,∴4c 2=4a 2-2|xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|xx 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |-b 2. ∴2|xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|xx 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3a 2-3c 2≤2(|xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+|xx 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2)2,当且仅当|xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|xx 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |时,等号成立. 可得x 2x 2≥13,解得e ≥√33.又0<e<1,∴e ∈[√33,1).14.解 (1)A (0,1),B (0,-1),故b=1,|PQ|的最大值为4+√5=a+2+√5,解得a=2.∴半椭圆M 的方程为x 24+y 2=1(-2≤x ≤0).(2)设直线PQ 方程为y=kx+1,与圆N 的方程联立可得(k 2+1)x 2+(2k-4)x=0,∴x A +x Q =4-2x1+x 2. ∵x A =0, ∴Q (4-2x1+x 2,-x 2+4x +11+x 2).∵xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x Q ,y Q -1),xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x P ,y P -1), ∴x P +x Q =0,y P +y Q =2. ∴x P =2x -41+x 2,y P =3x 2-4x +11+x 2.∵xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x P x Q +(y P +1)(y Q +1)=-(2x -4)2(1+x 2)2+(-x 2+4x +1)(3x 2-4x +1)(x 2+1)2+2+1=(k 2+1)(16k-12)=0,解得k=34,∴P (-85,-15). 代入椭圆方程可得6425x 2+125=1, 解得a 2=83.∴半椭圆M 的离心率e=√1-x 2x 2=√104.。
2021年全国新高考II卷数学试题(解析版)
A. {3}
B. {1, 6}
C. {5,6}
D. {1,3}
【答案】B 【解析】
【分析】根据交集、补集的定义可求 A ðU B . 【详解】由题设可得 ðU B 1,5, 6 ，故 A ðUB 1, 6 ，
故选：B.
3. 抛物线 y2 2 px( p 0) 的焦点到直线 y x 1的距离为 2 ，则 p （ ）
10. 如图，在正方体中，O 为底面的中心，P 为所在棱的中点，M，N 为正方体的顶点．则满足 MN OP
的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据线面垂直的判定定理可得 BC 的正误，平移直线 MN 构造所考虑的线线角后可判断 AD 的正
误.
【详解】设正方体的棱长为 2 ， 对于 A，如图（1）所示，连接 AC ，则 MN //AC ， 故 POC （或其补角）为异面直线 OP, MN 所成的角，
D. 第四象限
【答案】A
【解析】
2i
【分析】利用复数的除法可化简
，从而可求对应的点的位置.
1 3i
【详解】 2 i 1 3i
2
i1
10
3i
5 5i 10
1 2
i
，所以该复数对应的点为
1 2
,
1 2
，
该点在第一象限，
故选：A
2. 设集合U {1, 2, 3, 4,5, 6}, A {1, 3, 6}, B {2, 3, 4}，则 A ∩ ðU B （ ）
故选：B. 二､选择题目：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
2021年高考全国甲卷数学(理)真题(答案+解析版)
绝密★启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试（甲卷）理科数学注意事项:1．答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号．回答非选择题时,将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}104,53M x x N xx ⎧⎫=<<=≤≤⎨⎬⎩⎭，则M N = （）A.103x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭ B.143x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C.{}45x x ≤< D.{}05x x <≤【答案】B 【解析】【分析】根据交集定义运算即可【详解】因为1{|04},{|5}3M x x N x x =<<=≤≤，所以1|43M N x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭,故选：B.【点睛】本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解.2.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（）A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间【答案】C【解析】【分析】根据直方图的意义直接计算相应范围内的频率，即可判定ABD,以各组的中间值作为代表乘以相应的频率，然后求和即得到样本的平均数的估计值，也就是总体平均值的估计值，计算后即可判定C.【详解】因为频率直方图中的组距为1，所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值.+==,故A正确；该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为0.020.040.066%+⨯==,故B正确；该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为0.040.0230.1010%该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为++⨯==>,故D正确；0.100.140.2020.6464%50%该地农户家庭年收入的平均值的估计值为30.0240.0450.1060.1470.2080.2090.10100.10110.04120.02130.02140.027.68⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(万元)，超过6.5万元，故C 错误.综上，给出结论中不正确的是C.故选：C.【点睛】本题考查利用样本频率直方图估计总体频率和平均值，属基础题，样本的频率可作为总体的频率的估计值，样本的平均值的估计值是各组的中间值乘以其相应频率然后求和所得值，可以作为总体的平均值的估计值.注意各组的频率等于⨯频率组距组距.3.已知2(1)32i z i -=+，则z =（）A.312i --B.312i -+C.32i -+ D.32i --【答案】B 【解析】【分析】由已知得322iz i+=-，根据复数除法运算法则，即可求解.【详解】2(1)232i z iz i -=-=+，32(32)23312222i i i i z i i i i ++⋅-+====-+--⋅.故选：B.4.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录表的数据V 的满足5lg L V =+．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（）（ 1.259≈）A.1.5 B.1.2C.0.8D.0.6【答案】C 【解析】【分析】根据,L V 关系，当 4.9L =时，求出lg V ，再用指数表示V ，即可求解.【详解】由5lg L V =+，当 4.9L =时，lg 0.1V =-，则10.110110100.81.259V --===≈≈.故选：C .5.已知12,F F 是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且121260,3F PF PF PF ∠=︒=，则C 的离心率为（）A.72B.132C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出12,PF PF ，结合余弦定理可得答案.【详解】因为213PF PF =，由双曲线的定义可得12222PF PF PF a -==，所以2PF a =，13PF a =；因为1260F PF ∠=︒,由余弦定理可得2224923cos 60c a a a a =+-⨯⋅⋅︒，整理可得2247c a =，所以22274a c e ==，即72e =.故选：A【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立,a c 间的等量关系是求解的关键.6.在一个正方体中，过顶点A 的三条棱的中点分别为E ，F ，G ．该正方体截去三棱锥A EFG -后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（）A. B. C. D.【答案】D 【解析】【分析】根据题意及题目所给的正视图还原出几何体的直观图，结合直观图进行判断.【详解】由题意及正视图可得几何体的直观图，如图所示，所以其侧视图为故选：D7.等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，设甲：0q >，乙：{}n S 是递增数列，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B 【解析】【分析】当0q >时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当{}n S 是递增数列时，必有0n a >成立即可说明0q >成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．【详解】由题，当数列为2,4,8,--- 时，满足0q >，但是{}n S 不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．若{}n S 是递增数列，则必有0n a >成立，若0q >不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则0q >成立，所以甲是乙的必要条件．故选：B ．【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程．8.2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m ），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A ，B ，C 三点，且A ，B ，C 在同一水平面上的投影,,A B C '''满足45A C B ∠'''=︒，60A B C ''∠'=︒．由C 点测得B 点的仰角为15︒，BB '与CC '的差为100；由B 点测得A 点的仰角为45︒，则A ，C 两点到水平面A B C '''的高度差AA CC ''-约为1.732≈）（）A.346B.373C.446D.473【答案】B 【解析】【分析】通过做辅助线，将已知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理，求得''A B ，进而得到答案．【详解】过C 作'CH BB ⊥，过B 作'BD AA ⊥，故()''''''100100AA CC AA BB BH AA BB AD -=--=-+=+，由题，易知ADB △为等腰直角三角形，所以AD DB =．所以''100''100AA CC DB A B -=+=+．因为15BCH ∠=︒，所以100''tan15CH C B ==︒在'''A B C 中，由正弦定理得：''''100100sin 45sin 75tan15cos15sin15A B C B ===︒︒︒︒︒，而sin15sin(4530)sin 45cos30cos 45sin 304︒=︒-︒=︒︒-︒︒=，所以210042''1)273A B ⨯⨯==≈，所以''''100373AA CC A B -=+≈．故选：B ．【点睛】本题关键点在于如何正确将''AA CC -的长度通过作辅助线的方式转化为''100A B +．9.若cos 0,,tan 222sin παααα⎛⎫∈= ⎪-⎝⎭，则tan α=（）A.1515B.55C.53D.153【答案】A 【解析】【分析】由二倍角公式可得2sin 22sin cos tan 2cos 212sin αααααα==-，再结合已知可求得1sin 4α=，利用同角三角函数的基本关系即可求解.【详解】cos tan 22sin ααα=- 2sin 22sin cos cos tan 2cos 212sin 2sin αααααααα∴===--，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ，cos 0α∴≠，22sin 112sin 2sin ααα∴=--，解得1sin 4α=，cos 4α∴==，sin tan cos 15ααα∴==.故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出sin α.10.将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）A.13B.25C.23D.45【答案】C 【解析】【分析】采用插空法，4个1产生5个空，分2个0相邻和2个0不相邻进行求解.【详解】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，若2个0相邻，则有155C =种排法，若2个0不相邻，则有2510C =种排法，所以2个0不相邻的概率为1025103=+.故选：C.11.已如A ，B ，C 是半径为1的球O 的球面上的三个点，且,1AC BC AC BC ⊥==，则三棱锥O ABC -的体积为（）A.212 B.312C.24D.34【答案】A 【解析】【分析】由题可得ABC 为等腰直角三角形，得出ABC 外接圆的半径，则可求得O 到平面ABC 的距离，进而求得体积.【详解】,1AC BC AC BC ⊥== ，ABC ∴ 为等腰直角三角形，AB ∴=，则ABC 外接圆的半径为22，又球的半径为1，设O 到平面ABC 的距离为d ，则2d ==，所以1112211332212O ABC ABC V S d -=⋅=⨯⨯⨯⨯=.故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查球内几何体问题，解题的关键是正确利用截面圆半径、球半径、球心到截面距离的勾股关系求解.12.设函数()f x 的定义域为R ，()1fx +为奇函数，()2f x +为偶函数，当[]1,2x ∈时，2()f x ax b =+．若()()036f f +=，则92f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A.94-B.32-C.74D.52【答案】D 【解析】【分析】通过()1f x +是奇函数和()2f x +是偶函数条件，可以确定出函数解析式()222f x x =-+，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．【详解】因为()1f x +是奇函数，所以()()11f x f x -+=-+①；因为()2f x +是偶函数，所以()()22f x f x +=-+②．令1x =，由①得：()()()024f f a b =-=-+，由②得：()()31f f a b ==+，因为()()036f f +=，所以()462a b a b a -+++=⇒=-，令0x =，由①得：()()()11102f f f b =-⇒=⇒=，所以()222f x x =-+．思路一：从定义入手．9551222222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1335112222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭511322=2222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以935222f f ⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数()f x 的周期4T =．所以91352222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选：D ．【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.曲线212x y x -=+在点()1,3--处的切线方程为__________．【答案】520x y -+=【解析】【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可．【详解】由题，当1x =-时，3y =-，故点在曲线上．求导得：()()()()222221522x x y x x +--==++'，所以1|5x y =-='．故切线方程为520x y -+=．故答案为：520x y -+=．14.已知向量()()3,1,1,0,a b c a kb ===+ ．若a c ⊥，则k =________．【答案】103-.【解析】【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量c的坐标，利用向量的数量积为零求得k 的值【详解】()()()3,1,1,0,3,1a b c a kb k ==∴=+=+,(),33110a c a c k ⊥∴=++⨯= ，解得103k =-,故答案为：103-.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量()()1122,,,p x y q x y ==垂直的充分必要条件是其数量积12120x x y y +=.15.已知12,F F 为椭圆C ：221164x y +=的两个焦点，P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且12PQ F F =，则四边形12PFQF 的面积为________．【答案】8【解析】【分析】根据已知可得12PF PF ⊥，设12||,||PF m PF n ==，利用勾股定理结合8m n +=，求出mn ，四边形12PFQF 面积等于mn ，即可求解.【详解】因为,P Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且12||||PQ F F =，所以四边形12PFQF 为矩形，设12||,||PF m PF n ==，则228,48m n m n +=+=，所以22264()2482m n m mn n mn =+=++=+，8mn =，即四边形12PFQF 面积等于8.故答案为：8.16.已知函数()2cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则满足条件74()()043f x f f x f ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---> ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的最小正整数x 为________．【答案】2【解析】【分析】先根据图象求出函数()f x 的解析式，再求出7(()43f f π4π-的值，然后求解三角不等式可得最小正整数或验证数值可得.【详解】由图可知313341234T πππ=-=，即2T ππω==，所以2ω=；由五点法可得232ππϕ⨯+=，即6πϕ=-；所以()2cos 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭.因为7()2cos 143f π11π⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，()2cos 032f 4π5π⎛⎫== ⎪⎝⎭；所以由74(()())(()())043f x f f x f ππ--->可得()1f x >或()0f x <；因为()12cos 22cos 1626f πππ⎛⎫⎛⎫=-<-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足()0f x <，即cos 206x π⎛⎫-< ⎪⎝⎭，解得,36k x k k π5ππ+<<π+∈Z ，令0k =，可得536x <<ππ，可得x 的最小正整数为2.方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足()0f x <，又(2)2cos 406f π⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，符合题意，可得x 的最小正整数为2.故答案为：2.【点睛】关键点睛：根据图象求解函数的解析式是本题求解的关键，根据周期求解ω，根据特殊点求解ϕ.三、解答题：共70分．解答应写出交字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：一级品二级品合计甲机床15050200乙机床12080200合计270130400（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++()2P K k ≥0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828【答案】（1）75%；60%；（2）能.【解析】【分析】本题考查频率统计和独立性检验，属基础题，根据给出公式计算即可【详解】（1）甲机床生产的产品中的一级品的频率为15075%200=,乙机床生产的产品中的一级品的频率为12060%200=.（2）()22400150801205040010 6.63527013020020039K ⨯-⨯==>>⨯⨯⨯,故能有99%的把握认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异.18.已知数列{}n a 的各项均为正数，记n S 为{}n a 的前n 项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列{}n a 是等差数列：②数列是等差数列；③213aa =．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．【答案】答案见解析【解析】【分析】选①②作条件证明③时，可设出，结合,n n a S 的关系求出n a ，利用{}n a 是等差数列可证213a a =；选②③作条件证明①时，设出an b =+，结合,n n a S 的关系求出n a ，根据213a a =可求b ，然后可证{}n a 是等差数列.【详解】选①②作条件证明③：(0)an b a =+>，则()2n S an b =+，当1n =时，()211a S a b ==+；当2n ≥时，()()221n n n a S S an b an a b -=-=+--+()22a an a b =-+；因为{}n a 也是等差数列，所以()()222a b a a a b +=-+，解得0b =；所以()221n aa n =-，所以213a a =.选①③作条件证明②：因为213a a =，{}n a 是等差数列，所以公差2112d a a a =-=，所以()21112n n n S na d n a -=+=，即=，)1n -=+-=所以是等差数列.选②③作条件证明①：(0)an b a =+>，则()2n S an b =+，当1n =时，()211a S a b ==+；当2n ≥时，()()221n n n a S S an b an a b -=-=+--+()22a an a b =-+；因为213a a =，所以()()2323a a b a b +=+，解得0b =或43a b =-；当0b =时，()221,21n a a a a n ==-，当2n ≥时，2-1-2n n a a a =满足等差数列的定义，此时{}n a 为等差数列；当43a b =-4=3an b an a =+-03a=-<不合题意，舍去.综上可知{}n a 为等差数列.【点睛】这类题型在解答题中较为罕见，求解的关键是牢牢抓住已知条件，结合相关公式，逐步推演，等差数列的证明通常采用定义法或者等差中项法.19.已知直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为正方形，2AB BC ==，E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，D 为棱11A B 上的点．11BF A B ⊥（1）证明：BF DE ⊥；（2）当1B D 为何值时，面11BB C C 与面DFE 所成的二面角的正弦值最小?【答案】（1）见解析；（2）112B D =【解析】【分析】通过已知条件，确定三条互相垂直的直线，建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量证明线线垂直和求出二面角的平面角的余弦值最大，进而可以确定出答案．【详解】因为三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，所以1BB ⊥底面ABC ，所以1BB AB ⊥因为11//A B AB ，11BF A B ⊥，所以BF AB ⊥，又1BB BF B ⋂=，所以AB ⊥平面11BCC B ．所以1,,BA BC BB 两两垂直．以B 为坐标原点，分别以1,,BA BC BB 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图．所以()()()()()()1110,0,0,2,0,0,0,2,0,0,0,2,2,0,2,0,2,2B A C B A C ，()()1,1,0,0,2,1E F ．由题设(),0,2D a （02a ≤≤）．（1）因为()()0,2,1,1,1,2BF DE a ==--，所以()()0121120BF DE a ⋅=⨯-+⨯+⨯-=，所以BF DE ⊥．（2）设平面DFE 的法向量为(),,m x y z =，因为()()1,1,1,1,1,2EF DE a =-=--，所以00m EF m DE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即()0120x y z a x y z -++=⎧⎨-+-=⎩．令2z a =-，则()3,1,2m a a =+-因为平面11BCC B 的法向量为()2,0,0BA =，设平面11BCC B 与平面DEF 的二面角的平面角为θ，则cos m BA m BA θ⋅===⋅ ．当12a =时，2224a a -+取最小值为272，此时cos θ63=．所以()minsin 3θ==，此时112B D =．【点睛】本题考查空间向量的相关计算，能够根据题意设出(),0,2D a （02a ≤≤），在第二问中通过余弦值最大，找到正弦值最小是关键一步．20.抛物线C 的顶点为坐标原点O ．焦点在x 轴上，直线l ：1x =交C 于P ，Q 两点，且OP OQ ⊥．已知点()2,0M ，且M 与l 相切．（1）求C ，M 的方程；（2）设123,,A A A 是C 上的三个点，直线12A A ，13A A 均与M 相切．判断直线23A A 与M 的位置关系，并说明理由．【答案】（1）抛物线2:C y x =，M 方程为22(2)1x y -+=；（2）相切，理由见解析【解析】【分析】（1）根据已知抛物线与1x =相交，可得出抛物线开口向右，设出标准方程，再利用对称性设出,P Q 坐标，由OP OQ ⊥，即可求出p ；由圆M 与直线1x =相切，求出半径，即可得出结论；（2）先考虑12A A 斜率不存在，根据对称性，即可得出结论；若121323,,A A A A A A 斜率存在，由123,,A A A 三点在抛物线上，将直线121223,,A A A A A A 斜率分别用纵坐标表示，再由1212,A A A A 与圆M 相切，得出2323,y y y y +⋅与1y 的关系，最后求出M 点到直线23A A 的距离，即可得出结论.【详解】（1）依题意设抛物线200:2(0),(1,),(1,)C y px p P y Q y =>-，20,1120,21OP OQ OP OQ y p p ⊥∴⋅=-=-=∴= ，所以抛物线C 的方程为2y x =，(0,2),M M 与1x =相切，所以半径为1，所以M 的方程为22(2)1x y -+=；（2）设111222333(),(,),(,)A x y A x y A x y 若12A A 斜率不存在，则12A A 方程为1x =或3x =，若12A A 方程为1x =，根据对称性不妨设1(1,1)A ，则过1A 与圆M 相切的另一条直线方程为1y =，此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在3A ，不合题意；若12A A 方程为3x =，根据对称性不妨设12(3,A A 则过1A 与圆M 相切的直线13A A为(3)3y x -=-，又1313313131,03A A y y k y x x y y -====∴=-+，330,(0,0)x A =，此时直线1323,A A A A 关于x 轴对称，所以直线23A A 与圆M 相切；若直线121323,,A A A A A A 斜率均存在，则121323121323111,,A A A A A A k k k y y y y y y ===+++，所以直线12A A 方程为()11121y y x x y y -=-+，整理得1212()0x y y y y y -++=，同理直线13A A 的方程为1313()0x y y y y y -++=，直线23A A 的方程为2323()0x y y y y y -++=，12A A 与圆M相切，1=整理得22212121(1)230y y y y y -++-=，13A A 与圆M 相切，同理22213131(1)230y y y y y -++-=所以23,y y 为方程222111(1)230y y y y y -++-=的两根，2112323221123,11y y y y y y y y -+=-⋅=--，M 到直线23A A的距离为：2123|2|1y y -+=22121111y y +===+，所以直线23A A 与圆M 相切；综上若直线1213,A A A A 与圆M 相切，则直线23A A 与圆M 相切.【点睛】关键点点睛：（1）过抛物线上的两点直线斜率只需用其纵坐标（或横坐标）表示，将问题转化为只与纵坐标（或横坐标）有关；（2）要充分利用1213,A A A A 的对称性，抽象出2323,y y y y +⋅与1y 关系，把23,y y 的关系转化为用1y 表示.21.已知0a >且1a ≠，函数()(0)a xx f x x a=>．（1）当2a =时，求()f x 的单调区间；（2）若曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点，求a 的取值范围．【答案】（1）20,ln2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增；2,ln2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减；（2）()()1,,e e ⋃+∞.【解析】【分析】（1）求得函数的导函数，利用导函数的正负与函数的单调性的关系即可得到函数的单调性；（2）利用指数对数的运算法则，可以将曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点等价转化为方程ln ln x a x a =有两个不同的实数根，即曲线()y g x =与直线ln ay a=有两个交点，利用导函数研究()g x 的单调性，并结合()g x 的正负，零点和极限值分析()g x 的图象，进而得到ln 10a a e<<，发现这正好是()()0g a g e <<，然后根据()g x 的图象和单调性得到a 的取值范围.【详解】（1）当2a =时，()()()()22222ln 2222ln 2,242xx x x x x x x x x x f x f x '--=== ,令()'0f x =得2ln 2x =,当20ln 2x <<时，()0f x '>,当2ln 2x >时，()0f x '<,∴函数()f x 在20,ln2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增；2,ln2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减；（2）()ln ln 1ln ln a x a x x x af x a x x a a x a x a==⇔=⇔=⇔=,设函数()ln x g x x =,则()21ln xg x x-'=,令()0g x '=，得x e =,在()0,e 内()0g x '>,()g x 单调递增；在(),e +∞上()0g x '<,()g x 单调递减；()()1max g x g e e∴==,又()10g =，当x 趋近于+∞时，()g x 趋近于0，所以曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点，即曲线()y g x =与直线ln ay a=有两个交点的充分必要条件是ln 10a a e<<,这即是()()0g a g e <<,所以a 的取值范围是()()1,,e e ⋃+∞.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，根据曲线和直线的交点个数求参数的取值范围问题，属较难试题，关键是将问题进行等价转化，分离参数，构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，图象，利用数形结合思想求解.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρθ=．（1）将C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点A 的直角坐标为()1,0，M 为C 上的动点，点P 满足AP =，写出Р的轨迹1C 的参数方程，并判断C 与1C 是否有公共点．【答案】（1）(222x y -+=；（2）P 的轨迹1C 的参数方程为32cos 2sin x y θθ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），C 与1C 没有公共点.【解析】【分析】（1）将曲线C 的极坐标方程化为2cos ρθ=，将cos ,sin x y ρθρθ==代入可得；（2）设(),P x y ，设),Mθθ+，根据向量关系即可求得P 的轨迹1C 的参数方程，求出两圆圆心距，和半径之差比较可得.【详解】（1）由曲线C 的极坐标方程ρθ=可得2cos ρθ=，将cos ,sin x y ρθρθ==代入可得22x y +=，即(222x y -+=，即曲线C 的直角坐标方程为(222x y +=；（2）设(),P x y ，设)MθθAP =，())()1,1,22cos 2sin x y θθθθ∴-=-=+-，则122cos 2sin x y θθ⎧-=+⎪⎨=⎪⎩32cos 2sin x y θθ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩，故P 的轨迹1C 的参数方程为32cos 2sin x y θθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）曲线C 的圆心为)，曲线1C 的圆心为()3-，半径为2，则圆心距为3-，32-<- ，∴两圆内含，故曲线C 与1C 没有公共点.【点睛】关键点睛：本题考查参数方程的求解，解题的关键是设出M 的参数坐标，利用向量关系求解.[选修4-5：不等式选讲]（10分）23.已知函数()2,()2321f x x g x x x =-=+--．（1）画出()y f x =和()y g x =的图像；（2）若()()f x a g x +≥，求a 的取值范围．【答案】（1）图像见解析；（2）112a ≥【解析】【分析】（1）分段去绝对值即可画出图像；（2）根据函数图像数形结和可得需将()y f x =向左平移可满足同角，求得()y f x a =+过1,42A ⎛⎫ ⎪⎝⎭时a的值可求.【详解】（1）可得2,2 ()22,2x xf x xx x-<⎧=-=⎨-≥⎩，画出图像如下：34,231()232142,2214,2xg x x x x xx⎧-<-⎪⎪⎪=+--=+-≤<⎨⎪⎪≥⎪⎩，画出函数图像如下：（2）()|2|f x a x a+=+-，如图，在同一个坐标系里画出()(),f xg x图像，()y f x a=+是()y f x=平移了a个单位得到，则要使()()f x ag x+≥，需将()y f x=向左平移，即0a>，当()y f x a =+过1,42A ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，1|2|42a +-=，解得112a =或52-（舍去），则数形结合可得需至少将()y f x =向左平移112个单位，112a ∴≥.【点睛】关键点睛：本题考查绝对值不等式的恒成立问题，解题的关键是根据函数图像数形结合求解.。
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2021年高考数学基础练习44
1．对于命题p：，使得x 2+ x +1 < 0．则为：_________．
2．复数，，则复数在复平面内对应的点位于第_______象限．
3．“”是“”的条件．
4．△ABC中，，则△ABC的面积等于_________．
5.
6．已知数列为等差数列，且，
则________．
7．已知抛物线的准线与双曲线的左准线重合，则抛物线的焦点坐标为 .
8. 已知为坐标原点，，且，，则点的坐标为____________
9．已知集合，在集合任取一个元素，则事件“”的概率是．
10．已知、是椭圆+=1的左右焦点，弦过F1，若的周长为，则椭圆的离心率为．11．经过抛物线的焦点且平行于直线的直线的方程是
12. 一船向正北航行，看见正西方向有相距10 海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西600，另一灯塔在船的南偏西750，则这艘船是每小时航行___ __。
13．设向量，，，若，求：（1）的值；（2）的值．
14. 数列，由下列条件确定：①a
1＜0，b
1
0；
②k ≥2时，a k 和b k 满足下列条件：当11
1k
1
1,2
，a 02
-----=+=
+k k k k k k b b b a ＜b a 时. 当1111k 10,22
k k k k k k a b a b
a a -----++≥==时,
b （1）若，，分别写出{a n }、{b n }的前四项.
（2）证明数列{a k －b k }是等比数列.
15. 在四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝∠ACD ＝
90°，∠BAC ＝∠CAD ＝60°，PA ⊥平面ABCD ，
E 为
PD 的中点，PA ＝2AB ＝2．
（Ⅰ）求四棱锥P －ABCD 的体积V ；
（Ⅱ）若F 为PC 的中点，求证PC ⊥平面AEF ；
（Ⅲ）求证CE ∥平面PAB ． +39203 9923 餣22683 589B 墛24554 5FEA 忪D37417 9229 鈩27510 6B76 歶=34292 85F4 藴35631 8B2F 謯26786 68A2 梢20981 51F5 凵
v
P
A
B
C
D
E
F。