河南省南阳市2018-2019学高二上学期期中考试数学文试卷(含答案)

2018-2019学年河南省南阳市高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．若a b >，则下列不等式中正确的是（ ）A ．11a b <B ．11a bb a +>+ C ．22ac bc > D ．222a b ab +≥2．在等比数列{}n a 中，36a =，418a =，则12a a +等于（ ）A ．43B ．83C ．38D ．133．不等式240x -≥的解集是（ ）A ．（﹣∞，﹣2] [2，+∞）B ．[﹣2，2]C ．[2，+∞）D ．（﹣∞，2]4．设变量x ，y 满足10x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则点P （x ，y ）所在区域的面积为（ ）A ．2B ．1C ．12D ．145．等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1007a 1012+a 1008a 1011＝18，则31log a +32log a +•••+32018log a ＝（ ）A ．2017B ．2018C ．2019D ．20206．在△ABC 中，角A ，B ，C 的边长分别为a ，b ，c ，角A ，B ，C 成等差数列，a ＝6，42b =，则此三角形解的情况是（ ）A ．一解B ．两解C ．无解D ．不能确定7．已知数列{}n a 满足要求11a =，121n n a a +=+，则5a ＝（ ）A ．15B ．16C ．31D ．328．在△ABC 中，222sin sin sin sin sin A B C B C =+-，则A 的值是（ ）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π 9．已知x >0，y >0且111x y +=，则x y +的最小值为（ ） A ．8 B ．4C ．2D ．1 10．某观察站C 与两灯塔A 、B 的距离分别为300米和500米，测得灯塔A 在观察站C 北偏东30°，灯塔B 在观察站C 正西方向，则两灯塔A 、B 间的距离为（ ）A ．500米B ．600米C ．700米D ．800米11．设变量x ，y 满足约束条件1122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩．目标函数2z ax y =+仅在（1，0）处取得最小值，则a 的取值范围为（ ）A ．（﹣1，2）B ．（﹣2，4）C ．（﹣4，0]D ．（﹣4，2）12．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若200S >，210S <，则数列{}n S 中（ ）A ．首项最大B ．第9项最大C ．第10项最大D ．第11项最大二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卷中的横线上）13．已知数列{}n a 的前n 项和21n S n =-，那么3a 等于 ．14．点（3，1）和（﹣4，6）在直线320x y a -+=的两侧，则实数a 的取值范围是 ．15．已知△ABC 中，角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，cos c A b =，则sin C ＝16．寒假期间，某校家长委员会准备租赁A ，B 两种型号的客车安排900名学生到重点高校进行研学旅行，A ，B 两种客车的载客量分别为36人和60人，租金分别为1200元/辆和1800/辆，家长委员会为节约成本，要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为 元．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知数列{}n a 满足()112n n a n -=+⋅()n N ∈，求数列的前n 项和S n18．（12分）解关于x 的不等式2ax x ->0．19．（12分）已知a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且()2cos cos a b C c B -=．（1）求角C 的大小；（2）若c ＝2，△ABC 的周长为6，求该三角形的面积．20．（12分）围建一个面积为3602m 的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m ，设利用的旧墙的长度为x （单位：m ），修建此矩形场地围墙的总费用为y （单位：元）．（Ⅰ）将y 表示为x 的函数：（Ⅱ）试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．21．（12分）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知132a a +=-，1575S =（*n N ∈）． （Ⅰ）求9S ；（Ⅱ）若数列()()1144n n n b a a +=++，求数列{}n b 的前n 项和n T ．22．（12分）如图，某学校拟建一块五边形区域的“读书角”，三角形区域ABE 为书籍摆放区，沿着AB 、AE 处摆放折线形书架（书架宽度不计），四边形区域为BCDE 为阅读区，若∠BAE ＝60°，∠BCD ＝∠CDE ＝120°，DE ＝3BC ＝3CD ＝33m ．（1）求两区域边界BE 的长度；（2）若区域ABE 为锐角三角形，求书架总长度AB +AE 的取值范围．2018-2019学年河南省南阳市高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.1．D ； 2．B ； 3．B ； 4．C ； 5．B ； 6．B ； 7．C ； 8．B ； 9．B ； 10．C ；11．D ； 12．C ；二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，）13．5； 14．（﹣7，24）； 15．1； 16．27600；三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．解：()112n n a n -=+，()012122324212n n S n -∴=⋅+⋅+⋅+++⋅， ()23222324212n n S n ∴=⋅+⋅+⋅+++⋅两式相减得：()21222212n n n S n --=++++-+⋅ ()()1212212212n n n n n --=+-+⋅=-⋅-2n n S n ∴=⋅.18．解：根据题意，分3种情况讨论：①当0a =时，不等式即x ->0，即x <0.此时不等式的解集为(),0-∞；②当0a ≠时，方程20ax x -=有2根，分别为0和1a. 当a >0时，10a >，此时不等式的解集为()1,0,a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭； 当a <0时，10a <，此时不等式的解集为1,0a ⎛⎫ ⎪⎝⎭； 综合可得：当a >0时，不等式的解集为()1,0,a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭； 当0a =时，不等式的解集为(),0-∞；当a <0时，不等式的解集为1,0a ⎛⎫ ⎪⎝⎭.19．解：⑴由正弦定理得：2sin cos sin cos sin cos A C B C C B -=，即2sin cos sin cos sin cos A C B C C B =+，……………………………………（2分） 即()2sin cos sin sin A C B C A =+=，由于sin 0A ≠， 故1cos 2C =，…………（4分） 又0C π<<， 所以3C π=，……………………………………………………（6分）⑵由于2c =，三角形的周长为6，故4a b +=，…………………………（7分）由余弦定理有2222cos c a b ab C =+- ()2223a b ab a b ab =+-=+-，即4163ab =-， 故4ab =，…………………………（10分） 所以三角形的面积113sin 43222S ab C ==⨯⨯=.…………………………（12分） 20．解：（Ⅰ）设矩形的另一边长为am ，则()4518021802y x x a =+-+⋅225360360x a =+-.由已知360ax =，得360a x=. 所以()23602253602y x x x=+->. （Ⅱ）因为0x >，所以22360225222536010800x x+≥⨯=. 所以236022536010440y x x =+-≥，当且仅当2360225x x=时，等号成立. 即当24x m =时，修建围墙的总费用最小，最小费用是10440元.21．（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，则由132a a +=-，1575S =，得112221510575a d a d +=-⎧⎨+=⎩，解得121a d =-⎧⎨=⎩. ()998921182S ⨯∴=⨯-+⨯=； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，()2113n a n n =-+⨯-=-，()()()()11111441212n n n b a a n n n n +∴===-++++++， 123n n T b b b b ∴=++++111111233412n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 112224n n n =-=++. 22．解：⑴连接BD ，在△BDC 中，3BC CD ==，∠BCD=120°，由余弦定理2222cos BD BC CD BC CD BCD =+-⋅⋅∠,得()()22233233cos120BD =+-⋅︒，得3BD m =，…………（2分） 又BC=CD ，∠BCD=120°，30BDC ∴∠=︒，90BDE ∠=︒.△ABE 中，BD=3，33DE =，由勾股定理()2222233336BE BD DE =+=+=. 故6BE m =.…………（5分）⑵设ABE α∠=，则18060120AEB αα∠=︒-︒-=︒-,在△ABE 中，由正弦定理()643sin 120sin 60sin 32AB BE AE αα=====︒-︒. ()43sin 120AB α=︒-，43sin AE α=，…………………………（7分）故()43sin sin 120AB AE αα+=+︒-⎡⎤⎣⎦=()43sin sin120cos cos120sin ααα+︒-︒()3343sin cos 12sin 3022ααα⎛⎫=+=+︒ ⎪ ⎪⎝⎭，……………………（9分） △ABE 为锐角三角形，故3090α︒<<︒，6030120α︒<+︒<︒，()3sin 3012α∴<+︒≤，6312AB AE <+≤，………………………………（11分） 所以暑假的总长度AB+AE 的取值范围是(63,12⎤⎦，单位m.………………………（12分）。