§3 欧拉积分 答案
欧拉积分及其应用
欧拉积分及其简单应用引言：我们知道无穷级数是构造新函数的一种重要工具，利用它我们可以构造出处处连续而处处不可微的函数，还可以构造出能填满正方形的连续曲线（参见常庚哲、史济怀著《数学分析教程》第三册第17章§17.8）含参量积分是构造新函数的另一重要工具，欧拉积分就是在应用中经常出现的含参量积分表示的函数。
它虽身为含参量积分的一种特例，被教科书编用于加深对含参量积分所表示的函数的分析方法的理解。
但本身也是许多积分的抽象概括，能为相关积分的计算带来方便。
欧拉积分包括：伽马（Gamma ）函数：Γ(s)=⎰+∞--01dx e x x s , s>0.-----------（1）贝塔（Beta ）函数：B(p ，q)= ⎰---1011)1(dx x x q p ， p>0, q>0-------------（2）下面我们分别讨论这两个函数的性质：一、B 函数…………………Euler 第一积分1、 定义域：B(p ，q)=⎰---1011)1(dx x x q p =⎰---21011)1(dx x x q p +⎰---12111)1(dx x x q p = 1I + 2I对1I = ⎰---21011)1(dx x x q p当x →0时.1I =⎰-2101dx x p = ⎰-21011dx x p 其收敛须p>0 对2I =⎰---12111)1(dx x x q p. 当x →1时 ， 2I =⎰--1211)1(dx x q ,令.1-x=t =⎰-2101dx tq = ⎰-21011dx t q 其收敛须.q>0. ∴B(p ，q) 定义域为p>0,q>0.2、 连续性 因为对∀p 。
>0，q 。
>0有11)1(---q p x x ≤1100)1(---q p x x p ≥p 。
,q ≥q 。
而⎰---101100)1(dx x x q p 收敛，故由魏尔斯特拉斯M 判别法知B(p ，q)在p 。
数学分析19_3欧拉积分
数学分析19_3欧拉积分欧拉积分是数学中的一种特殊积分方法，由瑞士数学家欧拉发现并命名。
它是一种通过变量替换将原有的积分转变为特殊函数的积分形式。
欧拉积分的一般形式为：∫(ax^m)/(bx^n+c^p) dx其中a、b、c、m、n、p为常数。
接下来我们将分别讨论当n≠m，n=m，n=1，p=1，p=2时的欧拉积分的具体求解方法。
1.当n≠m时：将被积函数中的x=cy^k进行替换，其中k为使得nk+m=0成立的常数。
则有：∫(ax^m)/(bx^n+c^p) dx = ∫(a*c^m/b)*(y^m-1)/(y^n+c^p) dy通过数学变换及欧拉积分的表格，可以得到积分的结果。
2.当n=m时：这种情况下，被积函数的分子和分母有相同的次数。
我们可以将分子提取出来，并进行积分，得到一些基本的函数表达式。
例如：∫(x^m)/(x^n+c^p) dx = ∫(x^m-x^n+x^n)/(x^n+c^p) dx= ∫(x^m-x^n)/(x^n+c^p) dx + ∫(x^n)/(x^n+c^p) dx前一个积分可以通过分解为偏分式的形式进行求解，后一个积分则可以通过欧拉积分表格给出的结果进行求解。
3.当n=1时：这种情况下，被积函数的分子是线性函数，可以通过分解为偏分式的形式进行求解。
而分母可以通过欧拉积分表格给出的结果进行求解。
4.当p=1时：这种情况下，被积函数的分母是线性函数，可以通过分解为偏分式的形式进行求解。
而分子则可以通过欧拉积分表格给出的结果进行求解。
5.当p=2时：这种情况下，被积函数的分子和分母都是二次函数。
我们可以对二次函数进行平移和旋转，使得原有的二次函数转变为一些基本的二次函数。
然后再通过变量替换的方法，将欧拉积分转化为一些基本二次函数的积分形式。
总之，欧拉积分是一种强大的工具，可以通过变量替换将原有的积分转换为特殊函数的积分形式，进而求得积分的结果。
但是在具体应用中，需要根据被积函数的形式选择合适的欧拉积分形式，以便于通过欧拉积分表格给出的结果进行求解。
欧拉积分
Γ(1.15) Γ( 2.15 ) = 2.15 1 Γ(0.15) 1 Γ(0.85) = = 2.15 1.15 2.15×1.15 0.15
0.94561 = = 2.54967 2.15 × 1.15 × 0.15
6 Γ －函数的其它形式
1） 令 x =
Γ (s ) =
+∞ 0
pt ( p > 0) ,
===== ∫ (1 t )
1
x =1 t
0
p 1 q 1
t
dt =
=
由于
∫t
0
1
q 1
(1 t )
p 1
dt = B ( q , p )
B
函数的两个变元是对称的, 因
此, 其中一个变元具有的性质另一个变元 自然也具有.
3. 递推公式 B( p + 1 , q + 1 ) = 证
1 p
1 1 B ( p + 1 , q + 1 ) = ∫ x (1 x) dx = (1 x) q d ( x p +1 ) 0 p + 1 ∫0
用其作为 1< s < 0时 Γ(s) 的定义, 即把 Γ (s ) 延拓到了 ( 1 , 0 ) ∪ ( 0 , + ∞ ) 内. Γ ( s + 1) 2 < s < 1 时, 依式 Γ ( s ) = , s
利用延拓后的 Γ (s ) ,
又可把 Γ (s ) 延拓到
( 2 , 1 ) ∪ ( 1 , 0 ) ∪ ( 0 , + ∞ ) 内 .
x
s 1
1
x
s 1
dx , I 2 = ∫1 e x x s 1dx ,
19-3欧拉积分
§3 Euler 积分本节介绍用含参广义积分表达的两个特殊函数 , 即)(s Γ和),(q p B . 它们统称为 Euler 积分. 在积分计算等方面, 它们是很有用的两个特殊函数.一. Gamma 函数 )(s Γ 考虑无穷限含参积分 ⎰+∞--01dx exxs , ) 0 (>s当1 0<<s 时, 点0=x 还是该积分的瑕点 . 因此我们把该积分分为 ⎰⎰+∞+11来讨论其敛散性 .⎰1: 1 ≥s 时为正常积分 .1 0<<s 时, 01>--xs ex.利用非负函数积的Cauchy 判别法, 注意到, 11 , 1) (lim 110⇒<-=---+→s exxxs sx 1 0<<s 时积分⎰1收敛 . (易见 0=s 时, 仍用Cauchy 判别法判得积分发散 ). 因此, 0 >s 时积分⎰1收敛 .⎰+∞1: ) ( , 0112+∞→→=⋅-+--x e x e x x x s x s 对∈∀s R 成立,.因此积分⎰+∞1对∈∀s R 收敛.综上 , 0 >s 时积分⎰+∞--01dx exxs 收敛 . 称该积分为Euler 第二型积分. Euler 第二型积分定义了) , 0 (∞+∈s 内的一个函数, 称该函数为Gamma 函数, 记为)(s Γ, 即)(s Γ=⎰+∞--01dx exxs , ) 0 (>s .Γ函数是一个很有用的特殊函数 .2. -Γ函数的连续性和可导性:)(s Γ在区间) , 0 (∞+内非一致收敛 . 这是因为0=s 时积分发散. 这里利用了下面的结果: 若含参广义积分在] , (b a y ∈内收敛, 但在点a y =发散, 则积分在] , (b a 内非一致收敛 .但)(s Γ在区间) , 0 (∞+内闭一致收敛 .即在任何⊂],[b a ) , 0 (∞+上 , )(s Γ一致收敛 . 因为b a <<0时, 对积分⎰1, 有x a x s e x e x ----≤11, 而积分⎰--11 dx e x x a 收敛.对积分⎰+∞1, xb xs exex----≤11, 而积分⎰+∞--11dx exxb 收敛. 由M —判法, 它们都一致收敛, ⇒ 积分⎰+∞--01dx ex xs 在区间],[b a 上一致收敛 .作类似地讨论, 可得积分dx e x s x s )(10'--+∞⎰也在区间) , 0 (∞+内闭一致收敛. 于是可得如下结论:)(s Γ的连续性: )(s Γ在区间) , 0 (∞+内连续 .)(s Γ的可导性: )(s Γ在区间) , 0 (∞+内可导, 且⎰⎰∞+∞+----=∂∂=Γ'011ln )()(dx x exdx exss xs xs .同理可得: )(s Γ在区间) , 0 (∞+内任意阶可导, 且 ⎰+∞--=Γ01)() ln ()(dxx exs nxs n .3. )(s Γ函数的凸性与极值:0) ln ()(21>=Γ''⎰+∞--dx x exs xs , ⇒ )(s Γ在区间) , 0 (∞+内严格下凸.1)2()1(=Γ=Γ ( 参下段 ), ⇒ )(s Γ在区间) , 0 (∞+内唯一的极限小值点( 亦为最小值点 ) 介于1与2 之间 .4. )(s Γ的递推公式 -Γ函数表:)(s Γ的递推公式 : ) 0 ( ),()1(>Γ=+Γs s s s .证 ⎰⎰+∞+∞--='-==+Γ0)()1(dx ex dx ex s xs xs⎰⎰+∞+∞----∞+-Γ==+-=011)(s s dx ex s dx ex s ex xs xs xs.⎰⎰+∞+∞---===Γ0111)1(dx edx ex xx.于是, 利用递推公式得:1)1(1)11()2(=Γ=+Γ=Γ , ! 212)2(2)12()3(=⋅=Γ=+Γ=Γ,! 3! 23)3(3)13()4(=⋅=Γ=+Γ=Γ , …………, , 一般地有 ! )1()1()()1(n n n n n n n ==-Γ-=Γ=+Γ .可见 , 在+Z 上, )(s Γ正是正整数阶乘的表达式 . 倘定义 )1(! +Γ=s s , 易见对1->s ,该定义是有意义的. 因此, 可视)1(+Γs 为) , 1 (∞+-内实数的阶乘. 这样一来,我们很自然地把正整数的阶乘延拓到了) , 1 (∞+-内的所有实数上, 于是, 自然就有1)1()10(!0=Γ=+Γ=, 可见在初等数学中规定 1!0=是很合理的.-Γ函数表: 很多繁杂的积分计算问题可化为-Γ函数来处理. 人们仿三角函数表、对数表等函数表, 制订了-Γ函数表供查. 由-Γ函数的递推公式可见, 有了-Γ函数在10<<s 内的值, 即可对0>∀s , 求得)(s Γ的值. 通常把00.200.1≤≤s 内-Γ函数的某些近似值制成表, 称这样的表为-Γ函数表 .5. -Γ函数的延拓:0 >s 时, ),()1(s s s Γ=+Γ⇒ .)1()(ss s +Γ=Γ 该式右端在01<<-s 时也有意义 . 用其作为01<<-s 时)(s Γ的定义, 即把)(s Γ延拓到了) , 0 () 0 , 1(∞+⋃-内.12-<<-s 时, 依式 ss s )1()(+Γ=Γ, 利用延拓后的)(s Γ, 又可把)(s Γ延拓到⋃--) 1 , 2 () , 0 () 0 , 1(∞+⋃-内 .依此 , 可把)(s Γ延拓到) , (∞+∞-内除去) , 2 , 1 , 0 ( =-=n n x 的所有点. 经过如此延拓后的)(s Γ的图象如[1] P347图表21— 4.例1 求) 85.4 (Γ, ) 85.0 (Γ, ) 15.2 (-Γ. ( 查表得) 85.1 (Γ94561.0=.) 解 ) 85.4 (Γ=Γ⨯⨯=Γ⨯=Γ=)85.1(85.185.285.3)85.2(85.285.3)85.3(85.3 19506.1994561.085.185.285.3=⨯⨯⨯=. 85.0(85.0) 85.1 (Γ=Γ), ⇒ 11248.185.094561.085.0)85.1() 85.0 (==Γ=Γ.=-Γ⨯=--Γ⋅-=--Γ=-Γ15.0)85.0(15.115.2115.1)15.0(15.2115.2)15.1() 15.2 (54967.215.015.115.294561.0-=⨯⨯-=.6. -Γ函数的其他形式和一个特殊值:某些积分可通过换元或分部积分若干次后化为-Γ函数 . 倘能如此, 可查-Γ函数表求得该积分的值.常见变形有:ⅰ> 令)0( >=p pt x , 有 )(s Γ=⎰+∞--01dx exxs ⎰+∞--=01dtetppts s,因此, ⎰+∞---Γ=01)(s pdx exspxs , ) 0 , 0 (>>s p .ⅱ> 令,2t x = ⇒ ⎰+∞--=Γ01222)(dt e t s t s .注意到[1] P277 E7的结果⎰∞+-=22πdx ex, 得)(s Γ的一个特殊值221=⎪⎭⎫⎝⎛Γ772454.12202≈=⋅=⎰∞+-ππdt et.ⅲ> 令)0( ln >-=λλt x , 得 )(s Γ⎰--⎪⎭⎫⎝⎛=10111ln dttt s sλλ. 取1=λ, 得)(s Γ⎰⎰---=⎪⎭⎫⎝⎛=1111)ln (1ln dtt dt t s s .例2 计算积分 ⎰+∞-022dx exxn, 其中 +∈Z n .解 I ⎰∞++--=-=Γ-⋅=+Γ=====01212!)!12()21(2!)!12(21)21(21212πn n tn xt n n n dt e t.二. Beta 函数),(q p B ——Euler 第一型积分： 1． Beta 函数及其连续性：称( 含有两个参数的 )含参积分⎰---111)1(dx x x q p ) 0 , 0 (>>q p 为Euler 第一型积分. 当p 和q 中至少有一个小于1 时, 该积分为瑕积分. 下证对 0 , 0 >>q p , 该 积分收敛. 由于1 , <q p 时点0=x 和1=x 均为瑕点. 故把积分⎰1分成⎰210和⎰121考虑.⎰21: 1≥p 时为正常积分; 10<<p 时, 点0=x 为瑕点. 由被积函数非负,) 0 ( , 1)1(111+---→→-x x x x q p p 和 11<-p ,( 由Cauchy 判法) ⇒ 积分⎰21收敛 . ( 易见0=p 时积分⎰21发散 ).⎰121: 1≥q 时为正常积分; 10<<p 时, 点1=x 为瑕点. 由被积函数非负,) 1 ( , 1)1()1(111----→→--x x x x p q q 和 11<-q ,( 由Cauchy 判法) ⇒ 积分⎰121收敛 . ( 易见0=q 时积分⎰121发散 ).综上, 0 , 0 >>q p 时积分⎰1收敛. 设D }0 , 0 |),( {+∞<<+∞<<=q p q p ,于是, 积分⎰10定义了D 内的一个二元函数. 称该函数为Beta 函数, 记为),(q p B , 即),(q p B =⎰---111)1(dx x x q p ) 0 , 0 (>>q p不难验证, -B 函数在D 内闭一致收敛. 又被积函数在D 内连续, 因此 , -B 函数是D 内的二元连续函数.2. -B 函数的对称性: ),(q p B ),(p q B =.证 ),(q p B =⎰---1011)1(dx x xq p ⎰=--=====---=01111)1(dt tt q p tx⎰=-=--111),()1(p q B dt t tp q .由于-B 函数的两个变元是对称的, 因此, 其中一个变元具有的性质另一个变元 自然也具有.3. 递推公式: ) , 1 (1) 1 , 1 (q p B q p q q p B +++=++.证 ⎰⎰=-+=-=+++111)()1(11)1() 1 , 1(p q qp xd x p dx x x q p Bdx x xp q dx x xp q xx p q p q p p q⎰⎰-+-++-+=-++-+=11111111)1(1)1(1)1(11, )*而 ⎰⎰=---=---+11111)1)](1([)1(dx x x x xdx x xq ppq p⎰⎰++-+=---=-111)1 , 1() , 1()1()1(q p B q p B dx x x dx x x qpq p,代入)*式, 有 ) 1 , 1 (1) , 1 (1) 1 , 1 (+++-++=++q p B p q q p B p q q p B ,解得 ) , 1 (1) 1 , 1 (q p B q p qq p B +++=++.由对称性, 又有) 1 , (1) 1 , 1 (+++=++q p B q p p q p B .4. -B 函数的其他形式:ⅰ> 令αx y =, 有 ⎰⎰=-=--1111)1(1)1(dy y y y dx x x αβαγβαγα⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛++=-=-+-+111111 , 11)1(1βαγααβαγB dy y y, 因此得 ⎰⎪⎭⎫⎝⎛++=-11 , 11)1(βαγαβαγB dx x x , 1 , 01->>+βαγ. ⅱ> 令x y cos =, 可得⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛++=2021 , 2121cos sin πβαβαB xdx x , 1 , 1->->βα. 特别地 , ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2021 , 2121sin πn B xdx n , +∈Z n . ⅲ> 令tt x +=1, 有),(q p B =⎰---111)1(dxx xq p =⎰∞++-+01)1(dt t tqp p ,即 ⎰∞++-=+01),()1(q p B dt t tqp p , ) 0 , 0 (>>q pⅳ> 令ab a ab x t ---=, 可得⎰-+---=--ban m n m n m B a b dx x b a x ),,()()()(111 0 , 0>>n m .ⅴ> ⎰+=+-+--111),()1(1)()1(n m B a a dx x a x xnnnm n m , 0 , 0 ; 1 , 0>>-≠n m a .三. -Γ函数和-B 函数的关系: -Γ函数和-B 函数之间有关系式 )()()(),(q p q p q p B +ΓΓΓ=, ) 0 , 0 (>>q p以下只就p 和q 取正整数值的情况给予证明. p 和q 取正实数值时, 证明用到-Γ函数的变形和二重无穷积分的换序. 参阅[1] P349.证 反复应用-B 函数的递推公式, 有 )1 , (112211)1,(11),(m B m n m n n m n n m B n m n n m B +⋅⋅-+-⋅-+-=--+-= ,而 ⎰⇒==-11, 1)1 , (mdx xm B m =--⋅⋅+⋅⋅-+-⋅-+-=)!1()!1(1112211),(m m m m n m n n m n n m B)()()()!1()!1()!1(m n m n n m m n +ΓΓΓ=-+--=.特别地, 0 , 0>>q p 且1=+q p 或2=+q p 时, 由于1)2()1(=Γ=Γ, 就有)()(),(q p q p B ΓΓ=.余元公式——-Γ函数与三角函数的关系： 对10<<p ，有 ππp p p sin )1()(=-ΓΓ.该公式的证明可参阅: Фихтенгалъц , 微积分学教程 Vol 2 第3分册, 或参阅余家荣编《复变函数》P118—119 例1（ 利用留数理论证明 ）.利用余元公式, 只要编制出210≤<s 时)(s Γ的函数表, 再利用三角函数表, 即可对0>∀s , 查表求得)(s Γ的近似值.四.利用Euler 积分计算积分:例3 利用余元公式计算⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ21.解 πππ==⎪⎭⎫ ⎝⎛-Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ=⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ2sin21121212, ⇒ π=⎪⎭⎫⎝⎛Γ21.例4 求积分⎰∞++061xdx .解 令6x t =, 有 I ⎰⎰∞+∞++--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=+=65611616565 , 6161)1(61161B dt t t dt tt36sin616116161πππ=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ=.例5 计算积分 ⎰-1441x dx.解 ,2111lim4441=---→xx x 141<=p , ⇒ 该积分收敛 . ( 亦可不进行判敛 ,把该积分化为-B 函数在其定义域内的值 , 即判得其收敛 . )I ⎰⎰⎰=-====-⋅=-⋅=--=141431443414433)1(411)(4114dt t tx x x d xx dx x xt==⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ=⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=⎰--4sin4143414143 , 4141)1(411143141ππB dt t t42π.例6 x x x f 67cos sin )(=, 求积分 ⎰⎰⎰Vdxdydz z f y f x f )()()(,其中 V : x z x y x ≤≤≤≤≤≤0 , 0 , 20π.解 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=⎪⎭⎫ ⎝⎛==Vx xxdx dt t f x f dz z f dy y f dx x f 2220)()()()()(ππ⎰⎰⎰⎰⎰⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=2320232)(31)(31)()(πππxxxdx x f dt t f dt t f d dt t f . 而 ⎰⎰=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++==226727 , 421216 , 21721cos sin)(ππB B xdx x dx x f 5633)5.0(5.05.15.25.35.45.55.6)5.0(5.05.15.2 !321)215 () 27()4(21.=Γ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯Γ⨯⨯⨯⨯⋅=ΓΓΓ⋅=. 因此 , 33.)563(9563331=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰⎰V.。
欧拉运动方程及其积分详解
R'Q'P' P'Q'R'
得：
PQRP'Q'R'
这就是说沿涡管任何地方计算它的环量（涡强）其值都是相同的。 这条定理称为海姆霍兹第一定理，或简称第一涡定理。
由于环量等于涡通量，因此沿同一涡管，涡管细处转速必然快反之涡管粗处转速必然慢。
§2.5.3 理想流中的涡定理
定理2：一根涡管在流体里不可能中断，可以伸展到无限 远去，可以自相连接成一个涡环（不一定是圆环），也 可以止于边界，固体的边界或自由边界（如自由液面）。
旋转轴线都按右手定则确定。
2.5.2 涡线与涡管
像流线一样，在同一瞬时，如在流场中有一条曲线，该
线上每一点的涡轴线都与曲线相切，这条曲线叫涡线。
涡线的微分方程是（给定时刻，t为参量）：
dx dy dz
涡线
x y z
给定瞬间，通过某一曲线（本身不是涡线）
的所有涡线构成的曲面称为涡面。
涡面
由封闭涡面组成的管状涡面称为涡管。
2.5.1 环量与涡的概念
V ds Vco dss
L
L
如果把一个速度向量分成三个坐标
轴方向的三个分量vx ,vy,vz ,把个方向：
(a) 沿曲线AB作速度的线积分 (b) 沿闭曲线速度的线积分
V d s v x d v x y d v y zd z
于是环量表达式为：
fy
1
p y
2vy
vz t
vx
vz x
vy
vz y
vz
vz z
fz
1
p z
2vz
向量形式
f1p2V D D V t
2.4.1 欧拉运动方程
欧拉积分及余元公式
欧拉公式的运用及余元公式的证明1.欧拉公式的定义)0,0()1(),()0()(111010>>-⎰=B >⎰=Γ----+∞q p dx x xq p dxe x q p x ααα欧拉公式的几个基本变形：函数Γ)1(令2y x =, 就有)0(2)(212010>⎰=⎰=Γ--+∞--+∞ααααdy e y dx e x y x令py x =, 则有)0,0()(1010>>⎰=⎰=Γ--+∞--+∞p dy e y p dx e x py x ααααα特别地当21=α时，有π=Γ)21(且有)()1(αααΓ=+Γ 函数B )2(令ϕ2cos =x 就有ϕϕϕπd q p p q 121220cos sin 2),(--⎰=B令yyx +=1，则有 dy y y q p qp p +-∞++⎰=B )1(),(1欧拉积分间的联系：)()()(),(q p q p q p +ΓΓΓ=B )0,0(>>q p2.余元公式的证明余元公式：)sin()1,(ππa a a =-B对dt t ta a B a a a a a110)1()1,()1()(,10---⎰=-=-ΓΓ<<令xt +=11，则 x x dx x x x x dt t t a a a a a+⎰=+++⎰-=-⎰-∞--∞--1)1(1)1()11()1(10210110 dx xx dx x x a a +⎰++⎰=-∞-111111当10<<x 时，由幂级数理论可得()10111-+∞=-∑-=+k a kk a x x x 此级数在[]t ,ε其中10<<<t ε上一致收敛，故可在[]t ,ε上逐项积分，从而dx x dx xk a k k tk a k kt101)1()1(-+∞=-+∞=∑∑-⎰=-⎰εε=()()k a k a kk t ka ++∞=-+-∑ε110 ()()k a kk k a k k k a t k a +∞=+∞=+--+-=∑∑ε111100 （1） 因级数()ka kk t ka +∞=+-∑110的收敛半径为1，且1,0=t 时级数均收敛，由阿贝尔定理知： ()ka kk t ka +∞=+-∑110在[]1,0上一致收敛，故有 ()()ka kk kk t +-=-∑∑∞=∞=→111lim 001同理有()011lim 0=+-+∞=→∑+k a kk ka εε 在（1）式中，令+→→0,1εt 便有:=+⎰-dx xx a 1110()ka kk +-∑∞=110对得令tx dx xx a 1,111=+⎰-∞+dx x x a +⎰-∞+111==+⎰--dt tta 11)1(10()ak kk -+-∑∞=1110综上可得：=-ΓΓ)1()(a a dx x x a +⎰-∞+110=dx xxdx x x a a +⎰++⎰-∞+-1111110 ()k a kk +-=∑∞=110+()a k kk -+-∑∞=1110=+a1)11()1(0ka k a k k --+-∑∞= （2） 再由)cos(ax 在],[ππ-的Fourier 级数展式有)cos(ax =+aax 1[sin π())11(11ka k a kk -++-∑∞=)]cos(kx , ],[ππ-∈x 令0=x 可得+=aa 1)sin(ππ())11(11ka k a kk -++-∑∞= 从而由（2），（3）知余元公式成立。
欧拉积分知识点总结
欧拉积分知识点总结一、欧拉积分的概念1.1 定积分的定义首先，我们来回顾一下定积分的定义。
设函数$f(x)$在区间$[a, b]$上连续，将区间$[a, b]$分成$n$个小区间，每个小区间的长度为$\Delta x_i$，在第$i$个小区间上取任意一点$\xi_i$，那么定积分的定义就是：$$\lim_{n\to \infty}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i=\int_{a}^{b}f(x)dx$$1.2 欧拉积分的引入欧拉积分的概念由数学家欧拉在18世纪引入，它是对定积分的一种推广。
设函数$f(x, y)$在区域$D$上连续，将区域$D$分成$n$个小区域，每个小区域的面积为$\Delta A_i$，在第$i$个小区域上取任意一点$(\xi_i, \eta_i)$，那么欧拉积分的定义就是：$$\lim_{n\to \infty}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i, \eta_i)\Delta A_i=\iint_{D}f(x, y)dA$$1.3 欧拉积分的几何意义欧拉积分的几何意义是对二重积分的推广，它表示函数$f(x, y)$在区域$D$上的满面积分。
在二维平面上，欧拉积分可以理解为函数$f(x, y)$在区域$D$上的投影面积。
1.4 欧拉积分的物理意义欧拉积分在物理学中有着重要的应用，它可以表示物理量在空间中的分布情况。
比如，电荷密度、质量密度、能量密度等物理量可以通过欧拉积分来描述其在空间上的分布情况。
二、欧拉积分的性质2.1 线性性质与定积分类似，欧拉积分也具有线性性质。
即对于任意的常数$k_1,k_2$和函数$f(x, y),g(x,y)$，有：$$\iint_{D}(k_1f(x, y)+k_2g(x,y))dA=k_1\iint_{D}f(x, y)dA+k_2\iint_{D}g(x,y)dA$$2.2 改变积分顺序与二重积分类似，欧拉积分可以改变积分的顺序。
第3讲-欧拉积分
第3讲 欧拉积分讲授内容一、欧拉积分定义含参量积分： 0,)(01>=Γ⎰+∞--s dx e x s x s , (1)0,0,)1(),(111>>-=⎰--q p dx x x q p B q p , (2)统称为欧拉积分，其中函数(1)又称为格马（Gamma ）函数（或写作Γ函数），函数(2)后者称为贝塔（Beta ）函数（或写作B 函数）二、Γ函数1)1(011=-===Γ+∞-+∞-+∞--⎰⎰xx x e dx e dx e x1)1()()2(0012=Γ=+-===Γ⎰⎰⎰+∞-+∞-+∞-+∞--dx e e x dx xe dx e x x xxx，………………….!)()()1(0100011n n n dx e x n e x dx e x dx e x n x n x n x n x n =Γ=+-===+Γ⎰⎰⎰+∞--+∞-+∞-+∞--+（1）Γ函数的定义域. Γ函数的定义域为0>s . 事实上: ),()()(1111s J s I dx e x dx e x s x s x s +=+=Γ⎰⎰+∞----对于)(s I ①当1≥s 时是正常积分.②当10<<s 时是收敛的无界函数反常积分(可用柯西判别法推得)； 对于)(s J 当0>s 时是收敛的无穷限反常积分.且在0>s 时收敛，即Γ函数的定义域为 0>s .（2）Γ函数的连续性、可导性. Γ函数)(s Γ在定义域0>s 内连续、可导，且有)0(,)(ln )(01)(>=Γ⎰+∞--s dx x e x s n x s n（3）Γ函数的递推公式. 对于．．)(s Γ函数．．,．有递推公式．．．．．)()1(s s s Γ=+Γ. ． （3） 事实上:对下述积分应用分部积分法，有⎰⎰----+-=A x s A xs Ax s dx e x s e x dx e x 010⎰---+-=Ax s A s dx e x s e A 01.令+∞→A 就得到Γ函数的递推公式：)()1(s s s Γ=+Γ .同理：．．．对于．．)(s Γ函数有．．．：．)()1(s s s Γ=+Γ).()()1(n s n s s s -Γ--== 其中10≤-<n s ，（4） 注．：1) 公式(4)表明，如果已知)(s Γ在10≤<s 上的值，那么在其他范围内的函数值可由其计算出来． 2)若s 为正整数1+n ，则(4)式可写成 !.!)1(12)1()1(0n dx e n n n n x ==Γ⨯-=+Γ⎰+∞- (5)（4）Γ函数图象⑴ 对一切0>s ，)(s Γ和)(''s Γ恒大于0，因此)(s Γ的图形位于x 轴上方，且是向下凸的．⑵ 因为1)2()1(=Γ=Γ，)(s Γ在定义域0>s 内连续,所以)(s Γ在0>s 上存在唯一的极小点0x 且)2,1(0∈x ．又)(s Γ在),0(0x 内严格减；在),(0+∞x 内严格增，⑶ 由于)0()1()()(>+Γ=Γ=Γs ss s s s s 及 1)1()1(lim 0=Γ=+Γ+→s s ，故有.)1(lim )(lim 00+∞=+Γ=Γ++→→ss s s s ⑷ 由(5)式及)(s Γ在),(0+∞x 上严格增可推得.)(lim +∞=Γ+∞→s s综上所述，Γ函数的图象如图219-中 0>s 部分所示.（5）延拓)(s Γ将递推公式(3)改写为.)1()(ss s +Γ=Γ (6) 当01<<-s 时，(6)式右端有意义，于是确定了函数)(s Γ在)0,1(-内的值，并且可推得这时)(s Γ.0< 用同样的方法，利用)(s Γ已在)0,1(-内有定义这一事实，由(6)式又可定义)(s Γ在)1,2(--内的值，而且这时)(s Γ>0．依此下去可把)(s Γ延拓到整个数轴(除了 ,2,1,0--=s 以外)，其图象如图219-(P192)所示.（6）)(s Γ的其他形式在应用上, 如令2y x =,则有).0(2)(012012>==Γ⎰⎰+∞--+∞--s dy e y dx e x s y s xs (6)令py x =, 就有).0,0()(0101>>==Γ⎰⎰+∞--+∞--p s dy e y pdx e x s py s sxs (7)三、),(q p B 函数（1）),(q p B 函数的定义域. ),(q p B 的定义域为.0,0>>q p 事实上:当1<p ，1<q 时，⎰---=111)1(),(dx x x q p B q p 是以0=x ，1=x 为为瑕点的无界函数反常积分. 应用柯西判别法可证得当0,0>>q p 时这两个无界函数反常积分都收敛，所以函数),(q p B 的定义域为.0,0>>q p（2）),(q p B 函数的连续性. ),(q p B 在0,0>>q p 内连续.（3）),(q p B 函数对称性. ),(q p B 函数具有对称性),(q p B =),(p q B . 事实上:作变换y x -=1，得dx x xq p B q p 111)1(),(--⎰-=).,()1(111p q B dy y y q p =-=⎰--（4）),(q p B 函数的递推公式)1,(11),(--+-=q p B q p q q p B ),1,0(>>q p （8）),1(11),(q p B q p p q p B --+-=),0,1(>>q p （9）)1,1()2)(1()1)(1(),(---+-+--=q p B q p q p q p q p B ).1,1(>>q p （10）.事实上:（仅证公式（8），公式（9）可由对称性及公式（8）推得，而最后一个公式则可由公式（8），（9）推得.）当1,0>>q p 时，有⎰---=111)1(),(dx x xq p B q p ⎰----+-=1021)1(101)1(dx x x p q p x x q p q p[]⎰-------=10211)1()1(1dx x x x x pq q p p⎰⎰---------=10111021)1(1)1(1dx x x pq dx x x p q q p q p ),,(1)1,(1q p B pq q p B p q ----=移项并整理就得（8）. （4）),(q p B 函数的其他形式 在应用中B 函数也常以如下形式出现. 1) 令ϕ2cos =x ，则有⎰--=201212.cos sin 2),(πϕϕϕd q p B p q （11）2) 令,)1(,111,12y dy dx y x y y x +=+=-+=则有.)1(),(01⎰∞++-+=dy y y q p B q p p考察.)1(11⎰∞++-+dy y y q p p 令 t y 1= ，则有⎰⎰+-∞++-+-=+01111.)1()1(dt t t dy y y q p q q p p 所以 .)1(),(111⎰+--++=dy y y y q p B qp q p四、Γ函数与B 函数之间的关系当n m ,为正整数时，反复应用B 函数的递推公式可得)1,(11),(--+-=n m B n m n n m B ).1,(112211m B m n m n n m n +-+--+-=又由于,1)1,(101mdx x m B m ==⎰-所以)!1()!1(1112211),(--+-+--+-=m m m m n m n n m n n m B ,)!1()!1()!1(-+--=n m m n即 ,)()()(),(m n m n n m B +ΓΓΓ=对于任何正实数q p ,也有相同的关系：)()()(),(q p q p q p B +ΓΓΓ=).0,0>>q p这个关系式我们将在第二十一章§8中加以证明.。