欧拉积分.
数学分析19_3欧拉积分
数学分析19_3欧拉积分欧拉积分是数学中的一种特殊积分方法，由瑞士数学家欧拉发现并命名。
它是一种通过变量替换将原有的积分转变为特殊函数的积分形式。
欧拉积分的一般形式为：∫(ax^m)/(bx^n+c^p) dx其中a、b、c、m、n、p为常数。
接下来我们将分别讨论当n≠m，n=m，n=1，p=1，p=2时的欧拉积分的具体求解方法。
1.当n≠m时：将被积函数中的x=cy^k进行替换，其中k为使得nk+m=0成立的常数。
则有：∫(ax^m)/(bx^n+c^p) dx = ∫(a*c^m/b)*(y^m-1)/(y^n+c^p) dy通过数学变换及欧拉积分的表格，可以得到积分的结果。
2.当n=m时：这种情况下，被积函数的分子和分母有相同的次数。
我们可以将分子提取出来，并进行积分，得到一些基本的函数表达式。
例如：∫(x^m)/(x^n+c^p) dx = ∫(x^m-x^n+x^n)/(x^n+c^p) dx= ∫(x^m-x^n)/(x^n+c^p) dx + ∫(x^n)/(x^n+c^p) dx前一个积分可以通过分解为偏分式的形式进行求解，后一个积分则可以通过欧拉积分表格给出的结果进行求解。
3.当n=1时：这种情况下，被积函数的分子是线性函数，可以通过分解为偏分式的形式进行求解。
而分母可以通过欧拉积分表格给出的结果进行求解。
4.当p=1时：这种情况下，被积函数的分母是线性函数，可以通过分解为偏分式的形式进行求解。
而分子则可以通过欧拉积分表格给出的结果进行求解。
5.当p=2时：这种情况下，被积函数的分子和分母都是二次函数。
我们可以对二次函数进行平移和旋转，使得原有的二次函数转变为一些基本的二次函数。
然后再通过变量替换的方法，将欧拉积分转化为一些基本二次函数的积分形式。
总之，欧拉积分是一种强大的工具，可以通过变量替换将原有的积分转换为特殊函数的积分形式，进而求得积分的结果。
但是在具体应用中，需要根据被积函数的形式选择合适的欧拉积分形式，以便于通过欧拉积分表格给出的结果进行求解。
欧拉积分
Γ(1.15) Γ( 2.15 ) = 2.15 1 Γ(0.15) 1 Γ(0.85) = = 2.15 1.15 2.15×1.15 0.15
0.94561 = = 2.54967 2.15 × 1.15 × 0.15
6 Γ －函数的其它形式
1） 令 x =
Γ (s ) =
+∞ 0
pt ( p > 0) ,
===== ∫ (1 t )
1
x =1 t
0
p 1 q 1
t
dt =
=
由于
∫t
0
1
q 1
(1 t )
p 1
dt = B ( q , p )
B
函数的两个变元是对称的, 因
此, 其中一个变元具有的性质另一个变元 自然也具有.
3. 递推公式 B( p + 1 , q + 1 ) = 证
1 p
1 1 B ( p + 1 , q + 1 ) = ∫ x (1 x) dx = (1 x) q d ( x p +1 ) 0 p + 1 ∫0
用其作为 1< s < 0时 Γ(s) 的定义, 即把 Γ (s ) 延拓到了 ( 1 , 0 ) ∪ ( 0 , + ∞ ) 内. Γ ( s + 1) 2 < s < 1 时, 依式 Γ ( s ) = , s
利用延拓后的 Γ (s ) ,
又可把 Γ (s ) 延拓到
( 2 , 1 ) ∪ ( 1 , 0 ) ∪ ( 0 , + ∞ ) 内 .
x
s 1
1
x
s 1
dx , I 2 = ∫1 e x x s 1dx ,
欧拉积分余元公式
欧拉积分余元公式欧拉积分和余元公式是微积分中常用的两个积分方法，它们在解决一些特殊类型的积分问题时非常有用。
下面我将详细介绍这两个积分方法。
1. 欧拉积分（Euler's Integrals）：欧拉积分是由瑞士数学家欧拉（Euler）所发现的一种积分方法，用于解决形如∫f(ax)dx的积分问题。
其中，f(x)是一个给定的函数，a是一个常数。
为了解释欧拉积分的应用，我们考虑一个例子：求解积分∫sin(ax)dx。
这里，f(x)=sin(x)，a是一个常数。
首先，我们可以通过换元法将积分∫sin(ax)dx转化为∫f(ax)dx的形式。
令u=ax，则du=a*dx，dx=du/a，将这个结果代入到原积分中得到∫sin(ax)dx=(1/a)∫sin(u)du。
接下来，我们可以直接计算得到∫sin(u)du=-cos(u)+C，其中C是一个常数。
最后，将u=ax代入得到∫sin(ax)dx=-(1/a)cos(ax)+C。
这样，我们就通过欧拉积分的方法得到了原积分的结果。
当然，这只是一个例子，实际中欧拉积分的应用可能更为复杂。
2. 余元公式（Residues）：余元公式是一种通过在积分路径上计算残差来解决复积分问题的方法。
它常用于计算包含简单极点和奇点的积分。
为了说明余元公式的应用，我们考虑一个例子：求解积分∫1/z dz，其中z是复变量。
这个积分的计算路径可以是一条包围原点的简单闭曲线，因为函数1/z在原点处存在一个极点。
根据余元公式，我们可以计算被积函数在奇点处的残差来确定积分的值。
在这个例子中，函数f(z)=1/z在z=0处有一个简单极点。
根据余元公式的定义，残差是在z=0处计算得到的。
计算残差的一种常用方法是使用洛朗级数（Laurent series）。
在这个例子中，函数f(z)=1/z的洛朗级数展开为f(z)=-1/z+0+0+...。
因此，在z=0处的残差为Res(f,0)=-1、根据余元公式，我们有∮1/z dz=2πi·Res(f,0)=-2πi。
欧拉积分
e − x x s −1dx 中，作代换 x = u 2， u 2 s −1du.
e
注意到结果 ∫ 特殊值
+∞
0
e dx =
− x2
π
2 ,
得 Γ (s ) 的一个
+∞ π 1 −t2 Γ = 2 ∫ e dt = 2 ⋅ = 0 2 2 +∞
π ≈ 1.772454
+
例 2 计算积分 ∫0
间 ( 0 , + ∞ ) 内闭一致收敛.于是可得如下结论: Γ(s ) 的连续性: Γ(s) 在区间 ( 0 , + ∞ ) 内连续 .
Γ (s ) 的 可 导 性 : Γ (s ) 在 区 间 ( 0 , + ∞ ) 内 可 导 ,
.
且
Γ′(s) = ∫
+∞
0
同理可得:
+∞ ∂ s−1 −x s −1 − x ( x e )dx = ∫ x e ln xdx 0 ∂s
Γ ( n + 1) = n Γ ( n ) = n ( n − 1) Γ ( n − 1) = ⋯ = n ! Z + 上, Γ (s ) 正是正整数阶乘的表达式 . 可见,在
5. Γ − 函数的延拓
Γ(s +1) s > 0 时, Γ(s +1) = sΓ(s), ⇒ Γ(s) = s .
该式右端在 − 1 < s < 0 时也有意义 .
∫
当
1
0
x
p −1
(1 − x )
q −1
dx
(p>0, q>0 )
为Euler第一型积分 第一型积分. 第一型积分
欧拉积分及其应用
欧拉积分及其应用摘要：本文阐述了欧拉积分的定义，重点论述Gamma 函数和Bate 函数的性质及其在求定积分时的应用。
对r 函数与B 函数的关系式的证明提出简便的方法，最后推出1()r m的计算表达式，及r(x)新的表示式，从而得到余元公式新的证明方法。
使得对欧拉积分知识有了更深的认识，为定积分的求解提供了新的方法及思路，提高解题能力。
关键词：含参变量积分； Gamma 函数； Bate 函数； 余元公式1、 知识预备、(Bohr-Mollerup 定理)如果定义于（0，+ ∞）的函数f （x ）满足以下条件：（1）f(x)>0 x ∀∈（0，+ ∞） f(1)=1；（2）(1)()f x x f x +=⋅ x ∀∈（0，+ ∞）（3）ln ()f x 为凸函数，那么必有f(x)=r(x) x ∀∈（0，+ ∞）。
、对于p 不是整数时22112(1)sin n n p p p p n ππ∞==+--∑、对于0<p<1时，122112(1)1p n n y pdy y p p n -∞+∞==+-+-∑⎰ $、瓦里斯公式：n =、对于(0,1]x ∈，我们有 221sin (1)n x x x n ππ∞==⋅-∏2、欧拉积分、定义含参变量的广义积分+s-1-x 0()x e dx r s ∞=⎰s>0 (1)1p-1q-10(,)x (1-x)dx B p q =⎰ p>0,q>0 (2)它们统称欧拉积分，其中前者又称格马Gamma 函数（r 函数），后者称贝塔Bate 函数（B 函数）。
（即r 函数与B 函数实际上是含参变量非正常积分表示的两个特殊函数） 、性质2.2.1、r 函数的性质 ·（1）r(s)在定义域时连续，且具有各阶连续导数（2）递推公式(1)()r s s r s +=⋅ (s>0) 如果s 取整数n ，那么有(1)()!r n n r n n +=⋅=（3）延拓后r(s)的函数在0,1,2,3s ≠---……外均收敛 （4）根据()()sss 1+Γ=Γ及()s s Γ+→0lim =∞+， ()s s Γ+∞→lim =∞+ 可得到图像：（5）函数的其他形式ａ）当x py = (p>0),则有r(s)= +s-1-x 0x e dx ∞⎰=+s-1-0()e dx py py ∞⎰=+s-1-0e dx py py ∞⎰（s>0,p>0）ｂ）当2x y =,则有r(s)=+s-1-xx e dx ∞⎰= 22(-1)0dx s y ye+∞-⎰= 22-102dx s y y e +∞-⎰!2.2.2、B 函数的性质（1）(,)B p q 在p>0,q>0内连续 （2）对称性：(,)(,)B p q B q p = （3）1(,)(,1)1q B p q B p q p q -=-+- (p>0,q>1)1(,)(1,)1p B p q B p q p q -=-+- (p>1,q>0)(1)(1)(,)(1,1)(1)(2)q p B p q B p q p q p q --=--+-+- (p>1,q>1)（4）B 函数的其他形式ａ）在（2）式中，令2cos x ϕ=，则有212120(,)2cos q p B p q sin d πϕϕϕ--=⎰ｂ）在（2）式中，令1yx y=+ (y>0)，于是有1(,)(1)p p qy B p q dy y -+∞+=+⎰|dy y y dy y y dy y y qp p q p p q p p ⎰⎰⎰∞++-+-∞++-+++=+1110101)1()1()1(再对第二个式子令1y t=，整理得：dt t t dy y y dy y y q p q q p p q p p ⎰⎰⎰∞++-+-∞++-+++=+1110101)1()1()1( 所以111(,)(1)p q p qy y B p q dy y --++=+⎰（p>0,q>0） 、B 函数与r 函数联系()()(,)()r p r q B p q r p q =+ p>0,q>0证明：对于任意取定的q>0，我们考察这样的一个函数()(,)()()r p q B p q f p r q +=，以下证明该函数满足预备知识中定理的三个条件：（1）显然有f(p)>0 p ∀∈（0，+ ∞），并且1()(1)(1,)(1)1()()qr q r q B q qf r q r q +===（2）()()(,)(1)(1,)(1)()()()pp q r p q B p q r p q B p q p qf p pf p r q r q +++++++===（3）对于任意的q>0，因为ln ()r p q +和ln (,)B p q )都是变元x的凸函数，所以ln ()ln ()ln (,)ln ()f p r p q B p q r q =++-也是变元x 的凸函数。
第18章第2节欧拉积分
有x
s 1 x
e x e ,
a 1 x
而积分
1
0
x
a 1
e
x
dx 收敛.
判 天 地 之 美 析 万 物 之 理 ,
7
2015年9月8日星期二
§18.五.欧拉 (Euler)积分
对积分 I 2 1 x e dx ,
s 1 x
x e x e ,
s 1 x
b 1 x
§18.五.欧拉 (Euler)积分
二. Beta 函数 B( p, q) ——Euler 第一型积分 1．Beta函数及其连续性 称( 含有两个参数的 )含参积分
为Euler第一型积分. 它确定一个二元函数,
称该函数为 Beta 函数, 记为 B( p, q) , 即
p 1 q 1 x ( 1 x ) dx B( p, q) = 0 1
§18.五.欧拉 (Euler)积分
5. －函数的其它形式 x pt ( p 0) , 代入 有 1） 令 s 1 x s s 1 pt x e dx p t e dt ( s ) = 0 0
因此,
2)．在 ( s) e x x s1dx 中，作代换 x u 2，
得 ( s ) 的一个
.
16
判 天 地 之 美 析 万 物 之 理 ,
§18.五.欧拉 (Euler)积分
例 2 计算积分 0
t x2
x e
2n
x2
dx ,其中 n Z
解
1 1 1 t I t e dt (n ) 2 0 2 2 1 1 1 1 1 (n 1) (n )(n ) 2 2 2 2 2
欧拉积分知识点总结
欧拉积分知识点总结一、欧拉积分的概念1.1 定积分的定义首先，我们来回顾一下定积分的定义。
设函数$f(x)$在区间$[a, b]$上连续，将区间$[a, b]$分成$n$个小区间，每个小区间的长度为$\Delta x_i$，在第$i$个小区间上取任意一点$\xi_i$，那么定积分的定义就是：$$\lim_{n\to \infty}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i=\int_{a}^{b}f(x)dx$$1.2 欧拉积分的引入欧拉积分的概念由数学家欧拉在18世纪引入，它是对定积分的一种推广。
设函数$f(x, y)$在区域$D$上连续，将区域$D$分成$n$个小区域，每个小区域的面积为$\Delta A_i$，在第$i$个小区域上取任意一点$(\xi_i, \eta_i)$，那么欧拉积分的定义就是：$$\lim_{n\to \infty}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i, \eta_i)\Delta A_i=\iint_{D}f(x, y)dA$$1.3 欧拉积分的几何意义欧拉积分的几何意义是对二重积分的推广，它表示函数$f(x, y)$在区域$D$上的满面积分。
在二维平面上，欧拉积分可以理解为函数$f(x, y)$在区域$D$上的投影面积。
1.4 欧拉积分的物理意义欧拉积分在物理学中有着重要的应用，它可以表示物理量在空间中的分布情况。
比如，电荷密度、质量密度、能量密度等物理量可以通过欧拉积分来描述其在空间上的分布情况。
二、欧拉积分的性质2.1 线性性质与定积分类似，欧拉积分也具有线性性质。
即对于任意的常数$k_1,k_2$和函数$f(x, y),g(x,y)$，有：$$\iint_{D}(k_1f(x, y)+k_2g(x,y))dA=k_1\iint_{D}f(x, y)dA+k_2\iint_{D}g(x,y)dA$$2.2 改变积分顺序与二重积分类似，欧拉积分可以改变积分的顺序。
欧拉积分 伽马和贝塔转换公式证明
欧拉积分伽马和贝塔转换公式证明一、概述在数学分析中，欧拉积分是一种特殊类型的积分，常用于求解复杂的函数积分问题。
而伽马函数和贝塔函数则是与欧拉积分密切相关的特殊函数，它们在概率论、统计学以及物理学中都有重要的应用。
欧拉积分、伽马函数和贝塔函数之间存在着密切的通联，它们之间有着一系列的转换公式。
本文将针对欧拉积分、伽马函数和贝塔函数展开讨论，探讨它们之间的关系，并给出相应的转换公式的证明。
二、欧拉积分的定义和性质1. 欧拉积分的定义欧拉积分是指积分的一种形式，它可以表示为以下形式：∫₀^∞ (e^(-x) * x^(n-1)) dx，其中n为正整数。
2. 欧拉积分的性质欧拉积分有许多重要的性质，其中最为重要的性质是它与伽马函数之间的通联。
欧拉积分可以表示为伽马函数的一种特殊形式，从而为后续的讨论奠定了基础。
三、伽马函数的定义和性质1. 伽马函数的定义伽马函数是指实数域上的一种特殊函数，它的定义如下：Γ(x) = ∫₀^∞ (e^(-t) * t^(x-1)) dt，其中x>0。
2. 伽马函数的性质伽马函数具有许多重要的性质，例如伽马函数的递推公式、对称性、特殊值等。
伽马函数在数学分析、概率论以及统计学中都有广泛的应用，是一种非常重要的特殊函数。
四、欧拉积分与伽马函数的关系欧拉积分与伽马函数之间有着紧密的通联，事实上，欧拉积分是伽马函数的一种特殊形式。
利用变量替换和一系列的积分性质，可以将欧拉积分转化为伽马函数的形式，从而简化相关计算和证明的过程。
五、贝塔函数的定义和性质1. 贝塔函数的定义贝塔函数是指实数域上的一种特殊函数，它的定义如下：B(p,q) = ∫₀^1 (t^(p-1) * (1-t)^(q-1)) dt，其中p>0，q>0。
2. 贝塔函数的性质贝塔函数具有多种重要的性质，例如贝塔函数的对称性、递推公式、与伽马函数的关系等。
贝塔函数在概率论、统计学以及物理学中都有着重要的应用，是一种非常有价值的特殊函数。
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同理可证
(n) (s) xs1ex (ln x)ndx , s 0, n 2, 3,L . 0
2. 递推公式 (s 1) s(s)
对下述积分应用分部积分法, 有
A xse xdx xse x A s A x e s1 xdx
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用同样的方法, 利用 (s)已在(1 ,0)内有 定义这一事实, 由(6) 式又可定义 (s) 在 (2, 1)内的值, 而且 这时 (s) 0 . 依此
(x)
4 3 2 1
4 3 2 1
12 1
3
4
x
2
3
4
图 19 2
下去可把(s)延拓到整个数轴(除了s 0, 1, 2, L
(s) 1 x e s1 xdx xs1e xdx I(s) J (s) ,
0
1
其中 I (s)当s 1 时是正常积分,当 0 s 1时是收敛
的无界函数反常积分(可用柯西判别法推得);
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J (s)当s 0时是收敛的无穷限反常积分(也可用柯西 判别法推得). 所以含参量积分(1)在 s 0时收敛, 即 函数的定义.域为 s 0. 1. (s)在定义域 s 0 内连续且有任意阶导数 在任何闭区间[a ,b](a 0)上, 对于函数 I(s) , 当
lim (s) .
s
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综上所述, 函数的图象如图19-2中 s 0 部分所示.
4. 延拓(s)
改写递推公式 (3) 为
(s) (s 1) .
(6)
s
当1 s 0 时, (6)式右端有意义, 于是可应用(6)式
来定义左端函数(s)在(1, 0)内的值,并且可推知
这时 (s) 0 .
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反常积分; 当 q 1 时, 是以 x 1为瑕点的无界函数 反常积分. 应用柯西判别法可证得当 p 0,q 0 时 这两个无界函数反常积分都收敛. 所以函数 B( p, q) 的定义域为 p 0,q 0. 1. B( p, q)在定义域 p 0,q 0 内连续 由于对任何 p0 >0 , q0 >0 成立不等式
2. 对称 性 B( p, q) B(q, p)
作变 换 x 1 y , 得
(4)
公式(3)还指出, 如果已知 (s)在0 s 1上的值, 那
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么在其他范围内的函数值可由它计算出来. 若s为正整数n+1,则(4)式可写成
(n 1) n(n 1)L 2 1 (1) n! exdx n! . (5) 0
3. 函数图象的讨论 对一切s 0 ,(s)和(s) 恒大于0, 因此 (s)的图形 位于 x 轴上方, 且是向下凸的. 因为(1) (2) 1， 所以(s)在 s 0上存在唯一的极小点 x0且x0 (1，2) .
s 0 上连续.
用上述相同的方法考察积分
x e s1 x dx x e s1 x ln x dx .
0 s
0
它在任何区间[a, b](a 0)上一致收敛. 于是由定理
19.10得到 (s) 在[a, b] 上可导, 由a, b的任意性, (s)
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在 s 0上可导, 且
x p1 (1 x)q1 x p0 1 (1 x)q0 1 , p p0 , q q0 ,
而积分 1 x p01(1 x)q01dx 收敛, 故由 M 判别法知 0
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B( p, q)在 p0 p , q0 q 上一致收敛. 因 而推得B( p, q)在 p 0,q 0内连续.
以外),其图象如图19-2所示.
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5. (s)的其他形式 在应用上, (s)也常以如下形式出现, 如令 x y2 , 则有
(s) xs1e xdx 2 y2s1e y2 dy (s 0) .
0
0
令 x py , 就有
(s) x e s1 xdx ps y s1e pydy
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又 (s) 在 (0, x0 ) 内严格减;在 ( x0 , ) 内严格增.
由于 (s) s(s) (s 1) (s 0) 及
s
s
故有
lim (s 1) (1) 1 ,
s0
(s 1)
lim (s) lim
.
s0
s0
s
由(5)式及 (s)在 ( x0 , )上严格增可推得
0 x 1时有 x s1e x xa1e x , 由于 1 xa1e xdx 收 0
敛, 从而I(s)在[a, b] 上也一致收敛, 对于J(s) , 当
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1 x 时, 有x e s1 x x e b1 x , 由于 xb1e xdx 1
收敛,从而 J (s)在[a, b] 上也一致收敛, 于是(s) 在
0
0
0
Байду номын сангаас
Ase A s A x e s1 xdx . 0
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让 A 就得到 (s)的递推公式:
(s 1) s(s) .
(3)
设n s n 1 ,即0 s n 1 ,应用递推公式(3) n次 可以得到
(s 1) s(s) s(s 1)(s 1) L
s(s 1)L (s n)(s n) .
0
0
(s 0 , p 0) .
(7)
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二、B 函 数
含参量积分：
B( p, q) 1 x p1(1 x)q1dx , p 0 , q 0 (2) 0
称为贝塔 (Beta) 函数 (或写作 B 函数). 注 与前讨论的单参变量的含参数积分不同,B 函数 是含两元的含参量积分，但讨论的步骤与方法是完 全类似的. B 函数(2)当 p 1 时, 是以 x 0 为瑕点的无界函数
§3 欧 拉 积 分
在本节中我们将讨论由含参量反常积分
定义的两个很重要的非初等函数 —— 函数和 函数.
一、 函数 二、B 函数 三、 函数与 B 函数之间的关系
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一． 函 数
含参量积分：
(s) x e s1 xdx , s 0 , 0
(1)
称为格马函数.
函数可以写成如下两个积分之和：