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运筹学对偶问题和性质
❖ 目旳函数 min
m个
变
≥0
量
≤0
无约束
n个
约
束
≥
条
≤
件
=
❖ 例2.2 写出下列线性规划问题旳对偶问题.
max Z 2 x1 3 x2 5 x3 x4
4 x1 x2 3 x3 2 x4 5
3 x1 2 x2
7x4 4
2 x1 3 x2 4 x3 x4 6
x1 0, x2 , x3 0, x4无约束
2y1y1 22y2y234
解此线性方程组得y1=1,y2=1,从而对偶问题旳最优解为： Y＊=(1,1)，最优值w=26。
作业:第88-89页: 3.3(1),(2) 3.8
思索题：3.2 3.4
❖ 当B为最优基时，应有
CN CB B1N 0 C CB B1 A 0 CB B1 0
❖ 令Y=CBB-1, 则 YA C
Y 0
且 w Yb CB B1b z
项目
基变量
非基变量
CB XB B-1b cj-zj
XB I 0 -Ys1
XN
Xs
B-1N
B-1
CN-CBB-1N -CBB-1
性质6 (互补松弛性)：在线性规划问题旳最优解中，假如相 应某一约束条件旳对偶变量值为非零，则该约束条件取严格 等式；反之假如约束条件取严格不等式，则其相应旳对偶变 量一定为零. 即Y*XS=0，YSX*=0
n
yˆi 0 aij xˆ j bi j 1 n
aij xˆ j bi yˆi 0
1/4
y3 j 1/2
15/2 15/2
0 0
1 0
1/2 7/2
-3/2 3/2
运筹学课件 第2章：线性规划的对偶理论
min w 16y1 36y2 65y3
90 y1 3 y 2 y1 2 y 2 5 y 3 70 y , y , y 0 1 2 3
原问题 A b C 约束系数矩阵
对偶问题 约束系数矩阵的转臵
约束条件的右端项向量 目标函数中的价格系数向量 目标函数中的价格系数向量 约束条件的右端项向量 Max z=CX Min w=Y’b 目标函数 AX≤b A’Y≥C’ 约束条件 X≥0 Y≥0 决策变量
若原问题为求极小形式的对称形式线性规划问题， 对偶问题应该具有什么形式？
Min w Y 'b A'Y C Y 0
max w Y 'b A'Y C Y 0
min z CX
Max z CX
AX b X 0
AX b X 0
min w 5 y1 4 y2 6 y3 4 y1 3 y2 2 y3 2 y1 2 y2 3 y3 3 3 y1 4 y3 5 2 y 7 y y 1 2 3 1 y1 0, y2 0, y3无约束
对偶问题 约束系数矩阵的转臵
目标函数中的价格系数向量
目标函数 约束条件
变量
Max z=CX m个 ≤ ≥ = n个 ≥0 ≤0 无约束
约束条件的右端项向量 目标函数 Min w=Y’b m个 ≥0 变量 ≤0 无约束 n个 ≥ 约束条件 ≤ =
【例2-3】写出下列线性规划问题的对偶问题
min 2x1 3x2 5x3 x4
1.初始表中单位阵在迭代后单纯形表中对应的位臵就是B-1 2.对于原问题的最优解，各松弛变量检验数的相反数恰好 是其对偶问题的一个可行解，且两者具有相同的目标函数 值。根据下面介绍的对偶问题的基本性质还将看到，若原 问题取得最优解，则对偶问题的解也为最优解。
管理运筹学单纯形法的灵敏度分析与对偶对偶问题课件
参数灵敏度分析关注的是模型中参数变化对最优解的影响 。通过分析参数变化对最优解的影响，可以了解参数变化 对模型最优解的影响程度和方向，从而为决策者提供有关 参数调整的建议。
参数灵敏度分析的方法包括局部灵敏度分析和全局灵敏度 分析。局部灵敏度分析关注单个参数的小幅度变化对最优 解的影响，而全局灵敏度分析则考虑多个参数同时变化对 最优解的影响。
结合的必要性
解决复杂优化问题
单纯形法在处理线性规划问题时具有高效性，而灵敏度分析和对偶问题则提供了分析和解决非线性规划问题的 工具。将两者结合，可以更好地解决复杂的优化问题。
提高决策准确性
通过灵敏度分析，可以对决策变量的微小变化对最优解的影响进行量化分析，从而更准确地预测和应对各种情 况。对偶问题则提供了从另一个角度审视问题的机会，有助于发现潜在的优化空间。
灵敏度分析与对偶对偶问题的概述
灵敏度分析是线性规划中研究最优解的敏感性的分析方法。它主要关注当模型参数发生变化时，最优 解和最优值的变化情况。通过灵敏度分析，可以了解模型参数对最优解的影响程度，从而更好地理解 和预测实际问题的变化趋势。
对偶对偶问题是线性规划中的一类重要问题。它主要研究原问题和对偶问题的关系，以及如何利用对 偶理论求解原问题。对偶对偶问题在理论研究和实际应用中都具有重要的意义，如资源分配、投资组 合优化等问题。
感谢您的观看
THANKS
通过建立线性规划模型，将物流配送 路径问题转化为求取最小成本的问题 。约束条件包括车辆路径限制、运输 成本限制等，目标函数为最小化总成 本。
灵敏度分析与对偶对 偶问题应用
在物流配送路径调整过程中，需要考 虑客户需求变化、运输成本变化等因 素对最优解的影响。通过灵敏度分析 ，可以确定最优解对不同因素变化的 敏感性，从而制定出更加合理的配送 路径。同时，通过对偶对偶问题的研 究，可以更好地理解配送路径的性质 和结构，进一步优化配送路径。
参数灵敏度分析的方法包括局部灵敏度分析和全局灵敏度 分析。局部灵敏度分析关注单个参数的小幅度变化对最优 解的影响，而全局灵敏度分析则考虑多个参数同时变化对 最优解的影响。
结合的必要性
解决复杂优化问题
单纯形法在处理线性规划问题时具有高效性，而灵敏度分析和对偶问题则提供了分析和解决非线性规划问题的 工具。将两者结合，可以更好地解决复杂的优化问题。
提高决策准确性
通过灵敏度分析，可以对决策变量的微小变化对最优解的影响进行量化分析，从而更准确地预测和应对各种情 况。对偶问题则提供了从另一个角度审视问题的机会，有助于发现潜在的优化空间。
灵敏度分析与对偶对偶问题的概述
灵敏度分析是线性规划中研究最优解的敏感性的分析方法。它主要关注当模型参数发生变化时，最优 解和最优值的变化情况。通过灵敏度分析，可以了解模型参数对最优解的影响程度，从而更好地理解 和预测实际问题的变化趋势。
对偶对偶问题是线性规划中的一类重要问题。它主要研究原问题和对偶问题的关系，以及如何利用对 偶理论求解原问题。对偶对偶问题在理论研究和实际应用中都具有重要的意义，如资源分配、投资组 合优化等问题。
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THANKS
通过建立线性规划模型，将物流配送 路径问题转化为求取最小成本的问题 。约束条件包括车辆路径限制、运输 成本限制等，目标函数为最小化总成 本。
灵敏度分析与对偶对 偶问题应用
在物流配送路径调整过程中，需要考 虑客户需求变化、运输成本变化等因 素对最优解的影响。通过灵敏度分析 ，可以确定最优解对不同因素变化的 敏感性，从而制定出更加合理的配送 路径。同时，通过对偶对偶问题的研 究，可以更好地理解配送路径的性质 和结构，进一步优化配送路径。
《对偶空间与对偶基》课件
$f(kα+β)=k*f(α)+f(β)$
对偶空间的性质
对偶空间V*是V的线性函数空间，其元 素是V上的线性函数。
对偶空间V*的维数等于V的维数。 $f(α)=0当且仅当α=0$
对偶空间V*与V之间存在一个自然的双 线性映射，即对于V中的任意向量α和β ，以及标量k，有
$f(kα+β)=k*f(α)+f(β)$
广义相对论
在广义相对论中，对偶空间可用于描 述时空几何，帮助理解引力场的几何 结构和物理效应。
在工程学中的应用
计算机图形学
在计算机图形学中，对偶空间可用于图像处理和计算机视觉，通过对图像像素的变换和映射实现图像的缩放、旋 转和平移等操作。
控制系统
在控制系统中，对偶空间可用于描述系统的状态空间和动态行为，通过对偶基可以更清晰地理解系统的稳定性和 性能优化。
在一个线性空间中，如果一组基的元 素与另一组基的元素一一对应，且对 应元素的内积为0，则这组基被称为对 偶基。
对偶基的性质
01
对偶基具有正交性，即对偶基 中的任意两个不同基向量之间 的内积为0。
02
对偶基的个数是有限的，且与 线性空间的维数相关。
03
对偶基可以用来描述线性空间 中的任意向量，并且可以方便 地进行向量的加法、数乘和内 积等运算。
THANKS.
对偶基的构造方法
可以通过正交化过程来构造对偶基。
对于一个给定的线性空间，可以选择一组线性无关的向量作为基底，然后通过正交化过程将其转化为对 偶基。
正交化过程可以通过Gram-Schmidt过程来实现，该过程通过对基底中的向量进行一系列的线性组合和 归一化操作，最终得到一组正交的基向量，即对偶基。
对偶空间的应用
对偶空间的性质
对偶空间V*是V的线性函数空间，其元 素是V上的线性函数。
对偶空间V*的维数等于V的维数。 $f(α)=0当且仅当α=0$
对偶空间V*与V之间存在一个自然的双 线性映射，即对于V中的任意向量α和β ，以及标量k，有
$f(kα+β)=k*f(α)+f(β)$
广义相对论
在广义相对论中，对偶空间可用于描 述时空几何，帮助理解引力场的几何 结构和物理效应。
在工程学中的应用
计算机图形学
在计算机图形学中，对偶空间可用于图像处理和计算机视觉，通过对图像像素的变换和映射实现图像的缩放、旋 转和平移等操作。
控制系统
在控制系统中，对偶空间可用于描述系统的状态空间和动态行为，通过对偶基可以更清晰地理解系统的稳定性和 性能优化。
在一个线性空间中，如果一组基的元 素与另一组基的元素一一对应，且对 应元素的内积为0，则这组基被称为对 偶基。
对偶基的性质
01
对偶基具有正交性，即对偶基 中的任意两个不同基向量之间 的内积为0。
02
对偶基的个数是有限的，且与 线性空间的维数相关。
03
对偶基可以用来描述线性空间 中的任意向量，并且可以方便 地进行向量的加法、数乘和内 积等运算。
THANKS.
对偶基的构造方法
可以通过正交化过程来构造对偶基。
对于一个给定的线性空间，可以选择一组线性无关的向量作为基底，然后通过正交化过程将其转化为对 偶基。
正交化过程可以通过Gram-Schmidt过程来实现，该过程通过对基底中的向量进行一系列的线性组合和 归一化操作，最终得到一组正交的基向量，即对偶基。
对偶空间的应用
对偶规则课件.pptx
《对偶规则》
电信工程系
目录
01
对偶规则的定义
02 对偶规则的用处及特点
03
例题
什么是对偶规则？
对于任何一个逻辑表达式F,如果将式中所有的“·”换成 “+”,“+”换成“·”,“0”换成“1”,“1”换成“0”,而变量保持 不变就得到表达式F'，这个表达式F'称为F的对偶式，这 一变换方式称为对偶规则。
——通信类专业教学资源库
谢谢
电信工程系
小知识
❖对 偶 定 理 ： 若 两 逻 辑 式 相 等 ， 则 它 们 的 对 偶 式 也 相 等 ， 这就是对偶定理。
❖对 偶 定 理 的 使 用 规 则 ： 1 、 需 要 遵 循 “ 先 括 号 ， 然 后 乘 ， 最后加”的运算顺序，也即数字电子技术中的运算法则。 2、对偶定理一般应用于数字电子技术中逻辑函数的运 算。
对偶规则的定义
已 知 一 逻 辑 函 数 F, 只 要 将 原 函 数 F 中 所 有 的 “ ＋ ” 变为“·”,“·”变为“＋”；“0”变为“1”；“1” 变为“0”,而变量保持不变、原函数的运算先后顺 序保持不变,那么就可以得到一个新函数,这新函 数就是对偶函数F'.
对偶规则有什么用处？
推论1 极大化问题的任意一个可行解所对应的目标 函数值是其对偶问题最优目标函数值的一个下界。 极大化问题有上界—— 推论2 极小化问题的任意一个可行解所对应的目标 函数值是其对偶问题最优目标函数值的一个上界。 推论3 若原问题与对偶问题都有可行解，则它们都 有最优解。 推论4 若原问题(对偶问题)为无界解，则其对偶问 题(原问题)无可行解。其逆不真。
其对偶与原函数具有如下特点
❖1 . 原 函 数 与 对 偶 函 数 互 为 对 偶 函 数 ； ❖2 . 任 两 个 相 等 的 函 数 , 其 对 偶 函 数 也 相 等 . 这 两 个 特
电信工程系
目录
01
对偶规则的定义
02 对偶规则的用处及特点
03
例题
什么是对偶规则？
对于任何一个逻辑表达式F,如果将式中所有的“·”换成 “+”,“+”换成“·”,“0”换成“1”,“1”换成“0”,而变量保持 不变就得到表达式F'，这个表达式F'称为F的对偶式，这 一变换方式称为对偶规则。
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小知识
❖对 偶 定 理 ： 若 两 逻 辑 式 相 等 ， 则 它 们 的 对 偶 式 也 相 等 ， 这就是对偶定理。
❖对 偶 定 理 的 使 用 规 则 ： 1 、 需 要 遵 循 “ 先 括 号 ， 然 后 乘 ， 最后加”的运算顺序，也即数字电子技术中的运算法则。 2、对偶定理一般应用于数字电子技术中逻辑函数的运 算。
对偶规则的定义
已 知 一 逻 辑 函 数 F, 只 要 将 原 函 数 F 中 所 有 的 “ ＋ ” 变为“·”,“·”变为“＋”；“0”变为“1”；“1” 变为“0”,而变量保持不变、原函数的运算先后顺 序保持不变,那么就可以得到一个新函数,这新函 数就是对偶函数F'.
对偶规则有什么用处？
推论1 极大化问题的任意一个可行解所对应的目标 函数值是其对偶问题最优目标函数值的一个下界。 极大化问题有上界—— 推论2 极小化问题的任意一个可行解所对应的目标 函数值是其对偶问题最优目标函数值的一个上界。 推论3 若原问题与对偶问题都有可行解，则它们都 有最优解。 推论4 若原问题(对偶问题)为无界解，则其对偶问 题(原问题)无可行解。其逆不真。
其对偶与原函数具有如下特点
❖1 . 原 函 数 与 对 偶 函 数 互 为 对 偶 函 数 ； ❖2 . 任 两 个 相 等 的 函 数 , 其 对 偶 函 数 也 相 等 . 这 两 个 特
对偶问题课件ppt
拉格朗日乘数法是一种求解无约束优化问题的数学方法， 通过构造拉格朗日函数，将原问题转化为求极值的问题。
拉格朗日乘数法通过引入拉格朗日乘数，将原问题转化为 求拉格朗日函数的极值问题。该方法在处理无约束优化问 题时具有简单易行、适用范围广等优点。
牛顿法
牛顿法是一种求解非线性方程的迭代 算法，通过不断迭代和修正解的近似 值，逐步逼近方程的根。
VS
总结词：约束优化问题的对偶问题可 以简化和加速计算过程，通过对偶变 换将约束优化问题转化为对偶问题， 提高求解效率。
机器学习中的对偶问题
在机器学习中，许多算法都涉及到对偶问题 的应用。例如，支持向量机（SVM）算法 中的最大间隔问题就是一个典型的对偶问题 。通过对偶变换，可以将原问题转化为对偶 问题，简化模型复杂度，提高学习效率和精 度。
对于约束优化问题，可以通过对 偶算法（如序列二次规划法）求
解对偶问题，得到最优解。
机器学习中对偶问题的应用案例
对偶问题在机器学习中的应用
在机器学习中，许多算法可以转化为对偶问题，如支持向量机、神经网络等。
应用案例
以支持向量机为例，其原始问题是求解一个二次规划问题，而其对偶问题则是求解一系 列线性方程组。通过对偶变换，可以将原始问题转化为对偶问题，从而简化计算过程。
总结词：线性规划问题的对偶问题可以简化和加速计算过程，通过对偶变换将原问题转化为对偶问题 ，提高求解效率。
最小二乘问题
最小二乘问题是一种数学优化技术，旨在找到一组数据的最优拟合直线或曲线。对偶问题在最小二乘问题中也有广泛应用， 通过对偶变换，将最小二乘问题转化为对偶问题，简化计算过程，提高求解效率。
解决方案
对于线性规划问题，可以 通过对偶算法（如对偶单 纯形法）求解对偶问题， 得到最优解。
拉格朗日乘数法通过引入拉格朗日乘数，将原问题转化为 求拉格朗日函数的极值问题。该方法在处理无约束优化问 题时具有简单易行、适用范围广等优点。
牛顿法
牛顿法是一种求解非线性方程的迭代 算法，通过不断迭代和修正解的近似 值，逐步逼近方程的根。
VS
总结词：约束优化问题的对偶问题可 以简化和加速计算过程，通过对偶变 换将约束优化问题转化为对偶问题， 提高求解效率。
机器学习中的对偶问题
在机器学习中，许多算法都涉及到对偶问题 的应用。例如，支持向量机（SVM）算法 中的最大间隔问题就是一个典型的对偶问题 。通过对偶变换，可以将原问题转化为对偶 问题，简化模型复杂度，提高学习效率和精 度。
对于约束优化问题，可以通过对 偶算法（如序列二次规划法）求
解对偶问题，得到最优解。
机器学习中对偶问题的应用案例
对偶问题在机器学习中的应用
在机器学习中，许多算法可以转化为对偶问题，如支持向量机、神经网络等。
应用案例
以支持向量机为例，其原始问题是求解一个二次规划问题，而其对偶问题则是求解一系 列线性方程组。通过对偶变换，可以将原始问题转化为对偶问题，从而简化计算过程。
总结词：线性规划问题的对偶问题可以简化和加速计算过程，通过对偶变换将原问题转化为对偶问题 ，提高求解效率。
最小二乘问题
最小二乘问题是一种数学优化技术，旨在找到一组数据的最优拟合直线或曲线。对偶问题在最小二乘问题中也有广泛应用， 通过对偶变换，将最小二乘问题转化为对偶问题，简化计算过程，提高求解效率。
解决方案
对于线性规划问题，可以 通过对偶算法（如对偶单 纯形法）求解对偶问题， 得到最优解。
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二、线性规划的对偶理论
1、对偶问题的形式
（1）对称型对偶问题：已知 P，写出 D。
n
原问题(P): max z c j x j j 1
s.t.
n j 1
aij xij
bi (i
1,2,
, m)
x j 0( j 1,2, , n)
m
对偶问题(D): min w bi yi i 1
建立数学模型如下：
max Z 2x1 3x2
2x1 2x2 12
s.t.
4 x1
16
5x2 15
x1 0, x2 0
下面从另一个角度来讨论这个问题：
假定另一四海机器厂想租借常山机器厂的设备 资源，试问该决策者应制定怎样的收费标准（合 理的）？
分析问题： 1、出租设备收回的费用不能低于自己生产时获利； 2、定价又不能太高，要使对方能够接受。
（2）非对称型对偶问题
n
max z c j x j j 1
原问题： n
aij x j bi
j1
x
j
0
m
min w bi yi i 1
m
对偶问题：
i
1
aij
yi
cj(
j
1,2,
, n)
yi无符号限制（无约束）(i 1,2, , m)
x1 , x2 , x3 0
解：首先将原式变形
max Z 2 x1 3 x2 4 x3
2 x 3 x2 5 x3 2
3
x1 x1
x2 4 x2
7 x3 6x3
3 5
x1 , x2 , x3 0
注意：以后不强调等式右段项 b≥0，原因在对偶单纯
对偶问题
minW 5 y1 4 y2 6 y3
4 y1 3 y2 2 y3 2
A21
X
1
A22 X 2
b2
A31
X
1
A32 X 2
b3
X1
0,
X
无约束
2
min W b1Y1 b2Y2 b3Y3
D： Y1 A11 Y2 A21 Y3 A31 C1 Y1 A12 Y2 A22 Y3 A32 C2 Y1 0,Y3 0,Y2无约束
该问题的数学模型为：
minW 12y1 16y2 15y3
2 y1 4 y2
2
s.t.2 y1
5y3 3
y1, y2 , y3 0
模型对比：
max Z 2x1 3x2
2x1 2x2 12
s.t.
4 x1
16 （原问题）
5x2 15
型表中只保证 j 0而不保证 B1b ，0 故 b可以
是负数。
对 偶 问 题 ： minW 2 y1 3 y2 5 y3
2 y1 3 y2 y3 2
5
3 y1 y1
7
y2 4 y3 y2 6 y3
3 4
y1 , y2 , y3 0
例
原问题
max Z 2 x1 3 x2 5 x3 x4
4 x1 x2 3 x3 2 x4 5
3 x1 2 x2
7 x4 4
2 x1 3 x3 0, x4无 约 束
x1 0, x2 0
minW 12y1 16y2 15y3
2 y1 4 y2
2
s.t.2 y1
5 y3 3
y1, y2 , y3 0
（对偶问题）
每一个线性规划(LP)必然有与之相伴而生的 另一个线性规划问题，即任何一个求 maxZ 的LP 都有一个求 minZ 的LP。其中的一个问题叫“原 问题”，记为“P”，另一个称为“对偶问题”， 记为“D”。
s.t.
m i1
aij yi
cj(
j
1,2,
, n)
yi 0(i 1,2, , m)
例 写出线性规划问题的对偶问题
max Z 2 x1 3 x2 4 x3
2 x1 3 x2 5 x3 2
3
x1
x2
7 x3
3
x1 4 x2 6 x3 5
对偶理论
(Duality Theory)
盐城师范学院商学院 常玉苗
本章主要内容
对偶问题的提出 线性规划的对偶理论 对偶问题的经济解释----影子价格
一、问题的提出
资源的合理利用问题
常山机器厂生产Ⅰ、Ⅱ两种产品。这两种产品都要分别 在A、B、C三种不同设备上加工。按工艺资料规定，生产 每件产品Ⅰ需占用各设备分别为2h、4h、0h，生产每件产 品Ⅱ需占用各设备分别为2h、0h、5h，已知各设备计划期 内用于生产这两种产品的能力分别是12h、16h、15h，又 知每生产一件产品Ⅰ企业能获得2元利润，每生产一件产品 Ⅱ企业能获得3元利润，问该企业应安排生产两种产品各多 少件，使总的利润收入为最大。
设y1，y2，y3分别为出租三种设备每小时的收费， 所以有下式：
2 y1 4 y2
2
2 y1
5 y3 3
y1, y2 , y3 0
而常山厂出租设备的总收入，可以用下式可以表达：
12 y1 16 y2 15 y3 W
一般而言，W 越大越好，但因需双方满意，故取 min W 12 y1 16 y2 15 y3
2 y1 3 y2 y3 2
3 y1
y2
4 y3 3
5 y1 7 y2 6 y3 4
y1 , y2 , y3 无 约 束
（3）混合型对偶问题
max Z C1 X1 C2 X 2
L：
A11 X1 A12 X 2 b1
例 原问题为
max Z 2 x1 3 x2 4 x3
2 x1 3 x2 5 x3 2
3
x1
x2
7 x3 3
x1 4 x2 6 x3 5
x1 , x2 , x3 0
解：对偶问题为
minW 2 y1 3 y2 5 y3