全等三角形证明方法归纳经典(1)

2、全等三角形的表示方法：若△ABC和△A′B′C′是全等的，记作“△ABC≌△A′B′C′”其中，“≌”读作“全等于”。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
3、全等三角形的性质：
全等是工具、手段，最终是为了得到边等或角等，从而解决某些问题。
（1）全等三角形的对应角相等、对应边相等。
3、如图（1），在正方形ABCD和正方形CGEF（CG＞BC）中，点B、C、G在同一直线上，M是AE的中点，（1）探究线段MD、MF的位置及数量关系，并证明；
（2）将图（1）中的正方形CGEF绕点C顺时针旋转，使正方形CGEF的对角线CE恰好与正方形ABCD的边BC在同一条直线上，原问题中的其他条件不变。（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明。（结合前面“8字型”全等，仔细思考）
例1、AD是△ABC中BC边上的中线，
若AB 2，AC 4，则AD的取值围是_________。
例 2、已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于F，AF EF，求证：AC BE。
例3、如图，D是△ABC的边BC上的点，且CD=AB，∠ADB=∠BAD，AE是△ABD
的中线。求证：AC=2AE
【第2部分中点条件的运用】
1、还原中心对称图形（倍长中线法）
中心对称与中心对称图形知识：
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。
中心对称的两条基本性质：
（1）关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分。
（2）全等三角形的对应边上的高，中线，角平分线对应相等。
（3）全等三角形周长，面积相等。
4、寻找对应元素的方法
（1）根据对应顶点找
如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。
【第1部分 全等基础知识归纳、小结】
1、全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。
概念深入理解：
（1）形状一样，大小也一样的两个三角形称为全等三角形。（外观长的像）
（2）经过平移、旋转、翻折之后能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。（位置变化）
①边边边（SSS） ②边角边（SAS） ③角边角（ASA） ④角角边（AAS）
⑤斜边，直角边（HL）
注意：（容易出错）
（1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等（边定全等）；
（2）不能证明两个三角形全等的是，㈠三个角对应相等，即AAA；㈡有两边和其中一角对应相等，即SSA。
全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具，同时也是移动图形位置的工具。在平面几何知识应用中，若证明线段相等或角相等，或需要移动图形或移动图形元素的位置，常常需要借助全等三角形的知识。
3、如图，AB=AE，AB⊥AE，AD=AC，AD⊥AC，点M为BC的中点，求证：DE=2AM
（基本型：同角或等角的补角相等、K型）
2、两条平行线间线段的中点（“八字型”全等）
如图， ∥ ，C是线段AB的中点，那么过点C的任何
直线都可以和二条平行线以及AB构造“8字型”全等
例1已知梯形ABCD，AD∥BC，点E是AB的中点，连接DE 、CE。
求证：
例2如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，M是AD的中点，CE⊥AB于点E，
∠CEM=40°，求∠DME的大小。（提示：直角三角形斜边中线等于斜边的一半）
例3已知△ABD和△ACE都是直角三角形，且∠ABD ∠ACE=90°，连接DE，设M为DE的中点。⑴求证：MB MC；⑵设∠BAD ∠CAE，固定Rt△ABD，让Rt△ACE移至图示位置，此时MB MC是否成立？请证明你的结论。
（2）根据已知的对应元素寻找
全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；
（3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。
通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的；运动一般有3种：平移、对称、旋转；
5、全等三角形的判定：（深入理解）
3、构造中位线
三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形D中，AD∥BC，∠ABC=90°．若BD=BC，F是CD的中点，试问：∠BAF与∠BCD的大小关系如何？请写出你的结论并加以证明；
2、Rt△ABC中，∠BAC=90°，M为BC的中点，过A点作某直线 ，过B作 于点D，过C作 于点E。
（1）求证：MD=ME
（2）当直线 与CB的延长线相交时，其它条件不变，（1）中的结论是否任然成立？
例4△ABC中，AD、BE、CF是三边对应中线。（则O为重心）
求证：①AD、BE、CF交于点O。（类倍长中线）；②
练习
1、在△ABC中，D为BC边上的点，已知∠BAD ∠CAD，BD CD，求证：AB AC
2、如图，已知四边形ABCD中，AB CD，M、N分别为BC、AD中点，延长MN与AB、CD延长线交于E、F，求证∠BEM ∠CFM
（2）关于中心对称的两个图形是全等图形。
中心对称图形
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。（一个图形）如：平行四边形
线段本身就是中心对称图形，中点就是它的对称中心，所以遇到中点问题，依托中点借助辅助线还原中点对称图形，可以把分散的条件集中起来（集散思想）。
6、常见辅助线写法：（照着辅助线说明要能做出图、养成严谨、严密的习惯）
如：⑴过点A作BC的平行线AF交DE于F
⑵过点A作BC的垂线，垂足为D
⑶延长AB至C，使BC＝AC
⑷在AB上截取AC，使AC＝DE
⑸作∠ABC的平分线，交AC于D
⑹取AB中点C，连接CD交EF于G点
同一条辅助线，可以说法不一样，那么得到的条件、证明的方法也不同。