矩阵分析结课论文
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虽然目前，我所能用到的矩阵知识多是在线性代数当中，但我也深信通过矩阵分析的学习，使我收益非浅。身边的学长、老师都认为一些问题的更深层次的研究，就需要更多，更深入的数学理论作为支撑。
我常常开玩笑，学矩阵分析伤了好多脑细胞，所以我非常羡慕数理基础好的人，我看到好多与专业相关的文章书籍涵盖着大量的公式定理。
解：由基尔霍夫第二定律（电压定律）得如下方程组：
即
同样计算如下几个行列式
所以
从而，流过中央支路 的电流为 .
即电流是从 流向 的.
二、矩阵在不相容方程组求解中的应用
但是在实际问题中，会出现A不满秩，需要根据实际情况补充相关的方程，使得方程封闭；同时，在求解的实际问题当中，可能会出现矛盾方程，因为这些系数不是通过理论的推导得到，而是经过数值的计算或是实验的测量，往往不是精确解。
虽然，矩阵的满秩分解不唯一，如 ，但由 以及 求得的伪逆矩阵是唯一的。即 。现给出证明，
证明：
若 ，则 ，
易知 （r也为矩阵A的秩）， ，
则 （1）
记
同理可知 ，（2）
记
将式（1）、（2）带Hale Waihona Puke Baidu 可得
则有
因此 =E
再将 、 带入到
可得
通过以上内容介绍了矩阵在方程求解过程的应用。
参考文献
[1].史荣昌，魏丰．矩阵分析(第三版)[M]．北京：北京理工大学出版社，2010．
魏丰老师一学期尽职尽责的传道授业解惑，在此，请允许我向一位老师致以感谢，同时表达对研究数学工作者的敬意！
有了广义逆便可以得到矛盾方程的最小二乘解，也就是可以得到一组近似解，该近似解带入原方程后，与方程右端b向量的误差最小。
通过广义逆，可以求解矛盾方程，但是对于一个确定的矩阵（对应一个方程组）有着多个符合上述条件的广义逆矩阵，这样带来新的问题便是如何在这多组最小二乘解中确定一组最优解。
矩阵分析给出了最佳最小二乘解，也就是所有最小二乘解中，解向量模长最小的一组解。 ，则u为最佳最小二乘解。
关键字：矩阵方程求解相容方程 不相容方程 最小二乘解 满秩分解
一、矩阵在相容方程求解中的应用
已知n元线性方程组如下表示：
其矩阵的表达形式如下：
矩阵A可记为
如果矩阵A满秩，且非矛盾方程，则可以通过消元法计算出每个未知量。见如下示例：
例1设桥式电路中闭合回路的电流分别为 ，如图2所示：
图2
已知 ，计算流过中央支路 的电流 .
如何才能得到满足精度要求，且得到最优的解。这就用到矩阵的广义逆相关理论知识。
若线性方程组 ，对于任意m维向量 ，有使解 成立的 存在时，便称 为 矩阵的广义逆矩阵。广义逆矩阵应满足 。
设 n维向量 满足对于任何一个n维向量x，都有
便称 是方程组 的一个最小二乘解。
是方程组的最小二乘解，其中广义逆矩阵 还需满足Penrose-Moore方程（1）、（3）。即满足 、 。
[2].David C.Lay.线性代数及其应用[M]．北京：机械工业出版社，2005．
[3].徐仲．线性代数典型题分析解集(第二版)[M]．西安：西北工业大学出版社，2000．
矩阵分析学习心得
在整个学期矩阵分析的学习中，我能够感受到老师教学任务的繁重，与课程学时安排的不足。为了跟上老师的上课速度，我课下需要相当的时间来进行预习、复习。即便如此，我还是感觉到这门课程的学习具有一定的挑战，这种挑战不是应对考试，而是整个思维的训练，是在掌握基本概念定义的基础上，理清书本上各个定理的证明、推导过程。
矩阵分析结课论文
《矩阵分析的应用与学习心得》
*******
学号：**********
学院：宇航学院
矩阵分析的应用
摘要：本文主要通简单的实例，进行浅显地说明矩阵在求解方程过程中的应用：第一，通过矩阵进行相容方程的求解；第二，通过矩阵进行不相容方程的求解；其中，在不相容方程的求解过程中，会涉及到广义逆矩阵、伪逆矩阵以及矩阵的满秩分解。在具有实际物理背景下的有关方程组能够通过矩阵的理论知识，得到、高效地求解。
记得老师曾说过，这门课程多半篇幅是比线性代数更深的知识。矩阵分析层面的内容并不多，也不是非常深入。就我个人的学习情况来看，我真觉得自己还不能很好理解这些定理以及定理之间的相互联系。在接触到线性代数之前的数学学习，一般都是借助数学的工具对自然当中存在的客观规律的模型建立或者数学描述。但是，初学线性代数的时候，我就觉得线性代数非常抽象，听一些数理基础好的人说，数学是事物的抽象，线性代数就是在数学基础上的第二次抽象。在考研期间的线性代数的学习，也渐渐体会到刚理解速度概念的人理解起加速度的概念的确需要一些功夫。并且在专业课学习的过程中，如理论力学当中在不同坐标系下运动之间需要坐标变换；材料力学当中应力应变关系以及结构受力的计算求解用到了矩阵方程的一些求解方法；在有限元方法中形状函数建立也需要坐标变换把所划分的不归在单元变换成在某一坐标系下的规则单元，在规则单元下进行有关计算求解，然后再将结果通过逆变换回到真实的不规则单元上。以及在控制理论当中，也多次用到矩阵的相关知识。
例2求矩阵
的满秩分解。
解：对矩阵A只做初等行变换
注意将矩阵化为阶梯型矩阵，且每行首元素为1，并且该元素1所在列的其他元素必为0。然后以主元所在列对应变换前的矩阵A的各列向量构成矩阵B
以阶梯矩阵主元所在行向量构成矩阵C
容易验证A=BC
在构造B矩阵时，若所化简的阶梯阵形式不同，则所选取的列向量会有差别，这也导致了矩阵的满秩分解不唯一。那么，是否与伪逆矩阵的唯一性相协调？
在求解最佳最小二乘解时，需要系数矩阵A的伪逆矩阵 。伪逆矩阵是唯一的，这也对应着最佳最小二乘解唯一性。把满足Penrose-Moore4个方程的矩阵定义为伪逆矩阵。
伪逆矩阵 的求法一般通过矩阵A的满秩分解A=BC，得到矩阵B、C，然后以某一算法求得对应的伪逆矩阵，一般通过 = 得到伪逆矩阵。
通过一个示例给出矩阵的满秩分解方法，
我常常开玩笑，学矩阵分析伤了好多脑细胞，所以我非常羡慕数理基础好的人，我看到好多与专业相关的文章书籍涵盖着大量的公式定理。
解：由基尔霍夫第二定律（电压定律）得如下方程组：
即
同样计算如下几个行列式
所以
从而，流过中央支路 的电流为 .
即电流是从 流向 的.
二、矩阵在不相容方程组求解中的应用
但是在实际问题中，会出现A不满秩，需要根据实际情况补充相关的方程，使得方程封闭；同时，在求解的实际问题当中，可能会出现矛盾方程，因为这些系数不是通过理论的推导得到，而是经过数值的计算或是实验的测量，往往不是精确解。
虽然，矩阵的满秩分解不唯一，如 ，但由 以及 求得的伪逆矩阵是唯一的。即 。现给出证明，
证明：
若 ，则 ，
易知 （r也为矩阵A的秩）， ，
则 （1）
记
同理可知 ，（2）
记
将式（1）、（2）带Hale Waihona Puke Baidu 可得
则有
因此 =E
再将 、 带入到
可得
通过以上内容介绍了矩阵在方程求解过程的应用。
参考文献
[1].史荣昌，魏丰．矩阵分析(第三版)[M]．北京：北京理工大学出版社，2010．
魏丰老师一学期尽职尽责的传道授业解惑，在此，请允许我向一位老师致以感谢，同时表达对研究数学工作者的敬意！
有了广义逆便可以得到矛盾方程的最小二乘解，也就是可以得到一组近似解，该近似解带入原方程后，与方程右端b向量的误差最小。
通过广义逆，可以求解矛盾方程，但是对于一个确定的矩阵（对应一个方程组）有着多个符合上述条件的广义逆矩阵，这样带来新的问题便是如何在这多组最小二乘解中确定一组最优解。
矩阵分析给出了最佳最小二乘解，也就是所有最小二乘解中，解向量模长最小的一组解。 ，则u为最佳最小二乘解。
关键字：矩阵方程求解相容方程 不相容方程 最小二乘解 满秩分解
一、矩阵在相容方程求解中的应用
已知n元线性方程组如下表示：
其矩阵的表达形式如下：
矩阵A可记为
如果矩阵A满秩，且非矛盾方程，则可以通过消元法计算出每个未知量。见如下示例：
例1设桥式电路中闭合回路的电流分别为 ，如图2所示：
图2
已知 ，计算流过中央支路 的电流 .
如何才能得到满足精度要求，且得到最优的解。这就用到矩阵的广义逆相关理论知识。
若线性方程组 ，对于任意m维向量 ，有使解 成立的 存在时，便称 为 矩阵的广义逆矩阵。广义逆矩阵应满足 。
设 n维向量 满足对于任何一个n维向量x，都有
便称 是方程组 的一个最小二乘解。
是方程组的最小二乘解，其中广义逆矩阵 还需满足Penrose-Moore方程（1）、（3）。即满足 、 。
[2].David C.Lay.线性代数及其应用[M]．北京：机械工业出版社，2005．
[3].徐仲．线性代数典型题分析解集(第二版)[M]．西安：西北工业大学出版社，2000．
矩阵分析学习心得
在整个学期矩阵分析的学习中，我能够感受到老师教学任务的繁重，与课程学时安排的不足。为了跟上老师的上课速度，我课下需要相当的时间来进行预习、复习。即便如此，我还是感觉到这门课程的学习具有一定的挑战，这种挑战不是应对考试，而是整个思维的训练，是在掌握基本概念定义的基础上，理清书本上各个定理的证明、推导过程。
矩阵分析结课论文
《矩阵分析的应用与学习心得》
*******
学号：**********
学院：宇航学院
矩阵分析的应用
摘要：本文主要通简单的实例，进行浅显地说明矩阵在求解方程过程中的应用：第一，通过矩阵进行相容方程的求解；第二，通过矩阵进行不相容方程的求解；其中，在不相容方程的求解过程中，会涉及到广义逆矩阵、伪逆矩阵以及矩阵的满秩分解。在具有实际物理背景下的有关方程组能够通过矩阵的理论知识，得到、高效地求解。
记得老师曾说过，这门课程多半篇幅是比线性代数更深的知识。矩阵分析层面的内容并不多，也不是非常深入。就我个人的学习情况来看，我真觉得自己还不能很好理解这些定理以及定理之间的相互联系。在接触到线性代数之前的数学学习，一般都是借助数学的工具对自然当中存在的客观规律的模型建立或者数学描述。但是，初学线性代数的时候，我就觉得线性代数非常抽象，听一些数理基础好的人说，数学是事物的抽象，线性代数就是在数学基础上的第二次抽象。在考研期间的线性代数的学习，也渐渐体会到刚理解速度概念的人理解起加速度的概念的确需要一些功夫。并且在专业课学习的过程中，如理论力学当中在不同坐标系下运动之间需要坐标变换；材料力学当中应力应变关系以及结构受力的计算求解用到了矩阵方程的一些求解方法；在有限元方法中形状函数建立也需要坐标变换把所划分的不归在单元变换成在某一坐标系下的规则单元，在规则单元下进行有关计算求解，然后再将结果通过逆变换回到真实的不规则单元上。以及在控制理论当中，也多次用到矩阵的相关知识。
例2求矩阵
的满秩分解。
解：对矩阵A只做初等行变换
注意将矩阵化为阶梯型矩阵，且每行首元素为1，并且该元素1所在列的其他元素必为0。然后以主元所在列对应变换前的矩阵A的各列向量构成矩阵B
以阶梯矩阵主元所在行向量构成矩阵C
容易验证A=BC
在构造B矩阵时，若所化简的阶梯阵形式不同，则所选取的列向量会有差别，这也导致了矩阵的满秩分解不唯一。那么，是否与伪逆矩阵的唯一性相协调？
在求解最佳最小二乘解时，需要系数矩阵A的伪逆矩阵 。伪逆矩阵是唯一的，这也对应着最佳最小二乘解唯一性。把满足Penrose-Moore4个方程的矩阵定义为伪逆矩阵。
伪逆矩阵 的求法一般通过矩阵A的满秩分解A=BC，得到矩阵B、C，然后以某一算法求得对应的伪逆矩阵，一般通过 = 得到伪逆矩阵。
通过一个示例给出矩阵的满秩分解方法，