兰州一中实验班招生数学试题.doc

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甘肃省兰州市兰州一中2023年普通高中合格性考试数学模拟试题

一、单选题二、多选题1. 某旅游爱好者想利用假期去国外的2个城市和国内的3个城市旅游，由于时间所限，只能在这5个城市中选择两个为出游地．若他用“抓阄”的方法从中随机选取2个城市，则选出的2个城市都在国内的概率是（）A．B．C．D．2. 已知定义在上的函数满足对任意实数有，若的图象关于直线对称，，则（）A ．2B ．1C．D．3. 已知，，，则（）A．B．C．D．4.将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则函数的最大值为（）A．B．C．D．5.将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，其图象关于直线对称，则的最小值为（）A．B．C．D．6. 对一切实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．7.若函数在R 上单调递减，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．8. 已知双曲线的左，右焦点分别为，双曲线上一点满足轴．若，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．9.为椭圆：上的动点，过作切线交圆：于，，过，作切线交于，则（）A．的最大值为B ．的最大值为C．的轨迹是D ．的轨迹是10.已知圆的方程为，点，点是轴上的一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则（）A ．存在切点使得为直角B ．直线过定点C ．的取值范围是D ．面积的取值范围是11. 已知平面向量，是两个夹角为的单位向量，且与垂直，则下列说法正确的是（）A ．若，则与方向相同的单位向量是B．若，则在上的投影向量是C ．若，则与方向相同的单位向量是甘肃省兰州市兰州一中2023年普通高中合格性考试数学模拟试题三、填空题四、解答题D ．若，则与的夹角的余弦值为12. 某公司通过统计分析发现，工人工作效率与工作年限（），劳累程度（），劳动动机（）相关，并建立了数学模型.已知甲､乙为该公司的员工，则下列说法正确的有（）A ．甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强B ．甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短，则甲比乙劳累程度弱C ．甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率高D ．甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高13. 椭圆的右焦点为，右准线为，若过点且垂直于轴的弦的弦长等于点到的距离，则椭圆的离心率是______．14. 在的二项展开式中，系数最大的项为和，则展开式中含项的系数为______．15. 祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.即：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．有一个球形瓷碗，它可以看成半球的一部分，若瓷碗的直径为8，高为2，利用祖暅原理可求得该球形瓷碗的体积为______．16. 为了丰富孩子们的校园生活，某校团委牵头，发起体育运动和文化项目比赛，经过角逐，甲、乙两人进入最后的决赛．决赛先进行两天，每天实行三局两胜制，即先赢两局的人获得该天胜利，此时该天比赛结束．若甲、乙两人中的一方能连续两天胜利，则其为最终冠军；若前两天甲、乙两人各赢一天，则第三天只进行一局附加赛，该附加赛的获胜方为最终冠军设每局比赛甲获胜的概率为，每局比赛的结果没有平局且结果互相独立．(1)记第一天需要进行的比赛局数为X ，求X 的分布列及；(2)记一共进行的比赛局数为Y，求．17.在中，．(1)若，求；(2)若，从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，使存在.求的面积条件①：；条件②：18.如图，在梯形中，，，，，．（1）求的长；（2）求的值．19.设内角所对边分别为，已知，．(1)若，求的周长；(2)若边的中点为，且，求的面积．20.已知函数，其中．(1)当时，求函数的最大值和最小值；(2)若函数在区间上是单调函数，求的取值范围．21. 如图，在三棱柱中，平面平面，，.(1)求证：；(2)若，，，求点C到平面的距离.。

甘肃省兰州第一中学2023-2024学年高二上学期10月期中考试数学试卷(PDF版)

兰州一中2023-2024-1学期期中考试试题高二数学说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟，答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡。

第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay－10a＝0表示圆，则实数a的取值范围为()A．(－2,0)B．(－∞，－2)∪(0，＋∞)C．[－2,0]D．(－∞，－2]∪[0，＋∞)2.若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2间的距离为()A.2B.3C.823D.8333.阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆C的离心率为74，面积为12π，则椭圆C的方程为()A.x2 9＋y216＝1 B.x23＋y24＝1 C.x218＋y232＝1 D.x24＋y236＝14.等差数列{a n}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列前20项和等于()A．160B．180C．200D．2205.设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S10∶S5＝1∶2，则S15∶S5等于()A．3∶4B．2∶3C．1∶2D．1∶36．已知圆O的半径为5，|OP|＝3，过点P的2023条弦的长度组成一个等差数列{a n}，最短弦长为a1，最长弦长为a2023，则其公差为()A.1 2022B.11011C.31011D.15057.设P是椭圆x225＋y29＝1上一点，M，N分别是圆A：(x＋4)2＋y2＝1和圆B：(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|＋|PN |的最小值、最大值分别为()A ．9,12B ．8,11C ．8,12D ．10,128.椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，M 是椭圆上一点，且满足F 1M →·F 2M →＝0.则椭圆离心率e 的取值范围为()，22D.22，二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

甘肃省兰州市兰州第一中学《等差数列》单元测试题百度文库

一、等差数列选择题1．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且71124a a -=，则5S =（） A ．15B ．20C ．25D ．302．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，15a =，且满足122527n na a n n +-=--，若p ，*q ∈N ，p q >，则p q S S -的最小值为（）A ．6-B ．2-C ．1-D ．03．设数列{}n a 的前n 项和21n S n =+. 则8a 的值为（）．A ．65B ．16C ．15D ．144．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，3518a S +=，633a a =+，则n a =（） A ．1n -B ．nC ．21n -D ．2n5．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列判断错误的是（） A ．S 5，S 10-S 5，S 15-S 10必成等差数列 B ．S 2，S 4-S 2，S 6-S 4必成等差数列 C ．S 5，S 10，S 15+S 10有可能是等差数列D ．S 2，S 4+S 2，S 6+S 4必成等差数列6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a <且11101921a a =，则当n S 取最小值时，n 的值为（） A ．21B ．20C ．19D ．19或207．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =，315S =，则8a =（） A ．11B ．12C ．23D ．248．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，31567a a a +=+，则23S =（） A ．121 B ．161C ．141D ．1519．题目文件丢失！10．《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺”，则从第2天起每天比前一天多织（） A ．12尺布 B ．518尺布 C ．1631尺布 D ．1629尺布 11．已知等差数列{}n a 中，7916+=a a ，41a =，则12a 的值是（） A ．15B ．30C ．3D ．6412．已知等差数列{}n a 中，161,11a a ==，则数列{}n a 的公差为（） A ．53B ．2C ．8D ．1313．冬春季节是流感多发期，某地医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{}n a ，已知11a =，22a=，且满足()211+-=+-nn n a a （n *∈N ），则该医院30天入院治疗流感的共有（）人A ．225B ．255C ．365D ．46514．设等差数列{}n a 的前n 项之和为n S ，已知10100S =，则47a a +=（） A ．12B ．20C ．40D ．10015．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且132a a +=，422a a -=，则5S =（） A ．21B ．15C ．10D ．616．在等差数列{}n a 的中，若131,5a a ==，则5a 等于（） A ．25B ．11C ．10D ．917．设等差数列{}n a 的前n 和为n S ，若()*111,m m a a a m m N +-<<->∈，则必有（）A ．0m S <且10m S +>B ．0m S >且10m S +>C ．0m S <且10m S +<D ．0m S >且10m S +<18．在数列{}n a 中，11a =，且11nn na a na +=+，则其通项公式为n a =（） A ．211n n -+B ．212n n -+C ．221n n -+D ．222n n -+19．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若718a a a -<<-，则必定有（） A ．70S >，且80S < B ．70S <，且80S > C ．70S >，且80S >D ．70S <，且80S <20．设n S 是等差数列{}n a （*n N ∈）的前n 项和，且141,16a S ==，则7a =（） A ．7B ．10C ．13D ．16二、多选题21．若数列{}n a 满足112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩，135a =，则数列{}n a 中的项的值可能为（） A ．15B ．25C ．45D ．6522．首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，则下列4个命题中正确的有（）A ．若100S =，则50a >，60a <；B ．若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15；C ．若150S >，160S <，则{}n S 中7S 最大；D ．若89S S <，则78S S <.23．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对于任意的m ，*n N ∈，都有m n m n a a a +=+，则下列结论正确的是（）A ．11285a a a a +=+B ．56110a a a a <C ．若该数列的前三项依次为x ，1x -，3x ，则10103a = D ．数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递减的等差数列 24．无穷等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若a 1＞0，d ＜0，则下列结论正确的是（） A ．数列{}n a 单调递减 B ．数列{}n a 有最大值 C ．数列{}n S 单调递减D ．数列{}n S 有最大值25．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知450,5S a ==，则（） A ．25n a n =-B ．310na nC ．228n S n n =- D ．24n S n n =-26．公差不为零的等差数列{}n a 满足38a a =，n S 为{}n a 前n 项和，则下列结论正确的是（） A ．110S =B ．10n n S S -=（110n ≤≤）C ．当110S >时，5n S S ≥D ．当110S <时，5n S S ≥27．在数列{}n a 中，若22*1(2,.n n a a p n n N p --=≥∈为常数)，则称{}n a 为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是（） A ．若{}n a 是等差数列，则{}n a 是等方差数列 B ．{(1)}n -是等方差数列C ．若{}n a 是等方差数列，则{}()*,kn a k Nk ∈为常数)也是等方差数列D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列 28．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知535S =，411a =，则（） A ．45n a n =-B ．23n a n =+C ．223n S n n =-D ．24n S n n =+29．下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题，其中的真命题为（）. A ．数列{}n a 是递增数列B ．数列{}n na 是递增数列C ．数列{}na n是递增数列 D ．数列{}3n a nd +是递增数列30．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1385a a S +=，则下列结论一定正确的是（） A ．100a = B ．当9n =或10时，n S 取最大值 C ．911a a <D ．613S S =【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等差数列选择题 1．B 【分析】设出数列{}n a 的公差，利用等差数列的通项公式及已知条件，得到124a d +=，然后代入求和公式即可求解【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则由已知可得()()111261024a d a d a d +-+=+=，所以()5115455254202S a d a d ⨯=+=+=⨯= 故选：B 2．A 【分析】转化条件为122527n n a an n +-=--，由等差数列的定义及通项公式可得()()2327n a n n =--，求得满足0n a ≤的项后即可得解.【详解】因为122527n n a a n n +-=--，所以122527n na a n n +-=--，又1127a =--，所以数列27n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是以1-为首项，公差为2的等差数列，所以()1212327na n n n =-+-=--，所以()()2327n a n n =--，令()()23270n a n n =--≤，解得3722n ≤≤，所以230,0a a <<，其余各项均大于0，所以()()()3123min13316p q S S a a S S =-=+=⨯-+--⨯=-.故选：A. 【点睛】解决本题的关键是构造新数列求数列通项，再将问题转化为求数列中满足0n a ≤的项，即可得解. 3．C 【分析】利用()12n n n a S S n -=-≥得出数列{}n a 的通项公差，然后求解8a . 【详解】由21n S n =+得，12a =，()2111n S n -=-+，所以()221121n n n a S S n n n -=-=--=-，所以2,121,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩，故828115a =⨯-=.故选：C. 【点睛】本题考查数列的通项公式求解，较简单，利用()12n n n a S S n -=-≥求解即可. 4．B 【分析】根据条件列出关于首项和公差的方程组，求解出首项和公差，则等差数列{}n a 的通项公式可求. 【详解】因为3518a S +=，633a a =+，所以11161218523a d a d a d +=⎧⎨+=++⎩，所以111a d =⎧⎨=⎩，所以()111n a n n =+-⨯=，故选：B. 5．D 【分析】根据等差数列的性质，可判定A 、B 正确；当首项与公差均为0时，可判定C 正确；当首项为1与公差1时，可判定D 错误. 【详解】由题意，数列{}n a 为等差数列，n S 为前n 项和，根据等差数列的性质，可得而51051510,,S S S S S --，和24264,,S S S S S --构成等差数列，所以，所以A ，B 正确；当首项与公差均为0时，5101510,,S S S S +是等差数列，所以C 正确；当首项为1与公差1时，此时2426102,31,86S S S S S =+=+=，此时24264,,S S S S S ++不构成等差数列，所以D 错误. 故选：D. 6．B 【分析】由题得出1392a d =-，则2202n dS n dn =-，利用二次函数的性质即可求解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由11101921a a =得11102119a a =，则()()112110199a d a d +=+，解得1392a d =-，10a <，0d ∴>，()211+2022n n n dS na d n dn -∴==-，对称轴为20n =，开口向上， ∴当20n =时，n S 最小.故选：B. 【点睛】方法点睛：求等差数列前n 项和最值，由于等差数列()2111+222n n n d d S na d n a n -⎛⎫==+- ⎪⎝⎭是关于n 的二次函数，当1a 与d 异号时，n S 在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值；当1a 与d 同号时，n S 在1n =取最值. 7．C 【分析】由题设求得等差数列{}n a 的公差d ，即可求得结果. 【详解】32153S a ==，25a ∴=， 12a =，∴公差213d a a =-=， 81727323a a d ∴=+=+⨯=，故选：C. 8．B 【分析】由条件可得127a =，然后231223S a =，算出即可. 【详解】因为31567a a a +=+，所以15637a a a =-+，所以1537a d =+，所以1537a d -=，即127a =所以231223161S a == 故选：B9．无10．D 【分析】设该女子第()N n n *∈尺布，前()N n n *∈天工织布n S 尺，则数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，根据15a =，30390S =可求得d 的值. 【详解】设该女子第()N n n *∈尺布，前()N n n *∈天工织布n S 尺，则数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，由题意可得30130293015015293902S a d d ⨯=+=+⨯=，解得1629d =.故选：D. 11．A 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据等差数列的通项公式列方程组，求出1a 和d 的值，12111a a d =+，即可求解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则111681631a d a d a d +++=⎧⎨+=⎩，即117831a d a d +=⎧⎨+=⎩ 解得：174174d a ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以12117760111115444a a d =+=-+⨯==，所以12a 的值是15，故选：A 12．B 【分析】设公差为d ，则615a a d =+，即可求出公差d 的值. 【详解】设公差为d ，则615a a d =+，即1115d =+，解得：2d =，所以数列{}n a 的公差为2，故选：B 13．B 【分析】直接利用分类讨论思想的应用求出数列的通项公式，进一步利用分组法求出数列的和【详解】解：当n 为奇数时，2n n a a +=，当n 为偶数时，22n n a a +-=，所以13291a a a ==⋅⋅⋅==，2430,,,a a a ⋅⋅⋅是以2为首项，2为公差的等差数列，所以30132924301514()()1515222552S a a a a a a ⨯=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=+⨯+⨯=，故选：B 14．B 【分析】由等差数列的通项公式可得47129a a a d +=+，再由1011045100S a d =+=，从而可得结果. 【详解】解：1011045100S a d =+=，12920a d ∴+=， 4712920a a a d ∴+=+=.故选：B. 15．C 【分析】根据已知条件得到关于首项1a 和公差d 的方程组，求解出1,a d 的值，再根据等差数列前n 项和的计算公式求解出5S 的值. 【详解】因为134222a a a a +=⎧⎨-=⎩，所以122222a d d +=⎧⎨=⎩，所以101a d =⎧⎨=⎩，所以5154550101102S a d ⨯=+=⨯+⨯=，故选：C. 16．D 【分析】利用等差数列的性质直接求解．【详解】因为131,5a a ==，315529a a a a =+∴=，故选：D ． 17．D 【分析】由等差数列前n 项和公式即可得解. 【详解】由题意，1110,0m m a a a a ++>+<，所以1()02m m m a a S +=>，111(1)()02m m m a a S ++++=<. 故选：D. 18．D 【分析】先由11n n n a a na +=+得出111n n n a a +-=，再由累加法计算出2122n n n a -+=，进而求出n a .【详解】解：11nn na a na +=+， ()11n n n a na a ++=∴，化简得：11n n n n a a a a n ++=+，两边同时除以1n n a a +并整理得：111n nn a a +-=，即21111a a -=，32112a a -=，43113a a -=，…，1111(2,)n n n n n z a a --=-≥∈，将上述1n -个式子相加得：213243111111+a a a a a a --+-+ (111)123n n a a -+-=+++…1n +-，即111(1)2n n n a a --=， 2111(1)(1)2=1(2,)222n n n n n n n n n z a a ---+∴=++=≥∈，又111a =也满足上式， 212()2n n n n z a -+∴=∈，22()2n a n z n n ∴=∈-+.故选：D. 【点睛】易错点点睛：利用累加法求数列通项时，如果出现1n -，要注意检验首项是否符合. 19．A 【分析】根据已知条件，结合等差数列前n 项和公式，即可容易判断. 【详解】依题意，有170a a +>，180a a +< 则()177702a a S +⋅=>()()188188402a a S a a +⋅==+<故选：A . 20．C 【分析】由题建立关系求出公差，即可求解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，141,16a S ==，41464616S a d d ∴=+=+=，2d ∴=， 71613a a d ∴=+=.故选：C二、多选题21．ABC 【分析】利用数列{}n a 满足的递推关系及135a =，依次取1,2,3,4n =代入计算2345,,,a a a a ，能得到数列{}n a 是周期为4的周期数列，得项的所有可能值，判断选项即得结果. 【详解】数列{}n a 满足112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩，135a =，依次取1,2,3,4,...n =代入计算得，211215a a =-=，32225a a ==，43425a a ==，5413215a a a =-==，因此继续下去会循环，数列{}n a 是周期为4的周期数列，所有可能取值为：1234,,,5555. 故选：ABC. 【点睛】本题考查了数列的递推公式的应用和周期数列，属于基础题. 22．ABD 【分析】利用等差数列的求和公式及等差数列的性质，逐一检验选项，即可得答案. 【详解】对于A ：因为正数，公差不为0，且100S =，所以公差0d <，所以1101010()02a a S +==，即1100a a +=，根据等差数列的性质可得561100a a a a +=+=，又0d <，所以50a >，60a <，故A 正确；对于B ：因为412S S =，则1240S S -=，所以561112894()0a a a a a a ++⋅⋅⋅++=+=，又10a >，所以890,0a a ><，所以115815815()15215022a a a S a +⨯===>，116891616()16()022a a a a S ++===，所以使0n S >的最大的n 为15，故B 正确；对于C ：因为115815815()15215022a a a S a +⨯===>，则80a >， 116891616()16()022a a a a S ++===，则890a a +=，即90a <，所以则{}n S 中8S 最大，故C 错误；对于D ：因为89S S <，则9980S a S =->，又10a >，所以8870a S S =->，即87S S >，故D 正确，故选：ABD 【点睛】解题的关键是先判断d 的正负，再根据等差数列的性质，对求和公式进行变形，求得项的正负，再分析和判断，考查等差数列性质的灵活应用，属中档题. 23．AC 【分析】令1m =，则11n n a a a +-=，根据10a >，可判定A 正确；由256110200a a a a d -=>，可判定B 错误；根据等差数列的性质，可判定C 正确；122n d d n a n S ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，根据02>d ，可判定D 错误. 【详解】令1m =，则11n n a a a +-=，因为10a >，所以{}n a 为等差数列且公差0d >，故A 正确；由()()22225611011119209200a a a a a a d daa d d -=++-+=>，所以56110a a a a >，故B错误；根据等差数列的性质，可得()213x x x -=+，所以13x =，213x -=，故1011109333a =+⨯=，故C 正确；由()111222nn n na dS d d n a nn -+⎛⎫==+- ⎪⎝⎭，因为02>d ，所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增的等差数列，故D 错误. 故选：AC . 【点睛】解决数列的单调性问题的三种方法；1、作差比较法：根据1n n a a +-的符号，判断数列{}n a 是递增数列、递减数列或是常数列；2、作商比较法：根据1(0n n na a a +>或0)n a <与1的大小关系，进行判定； 3、数形结合法：结合相应的函数的图象直观判断. 24．ABD 【分析】由10n n a a d +-=<可判断AB ，再由a 1＞0，d ＜0，可知等差数列数列{}n a 先正后负，可判断CD. 【详解】根据等差数列定义可得10n n a a d +-=<，所以数列{}n a 单调递减，A 正确；由数列{}n a 单调递减，可知数列{}n a 有最大值a 1，故B 正确；由a 1＞0，d ＜0，可知等差数列数列{}n a 先正后负，所以数列{}n S 先增再减，有最大值，C 不正确，D 正确. 故选：ABD. 25．AD 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据已知得1145460a d a d +=⎧⎨+=⎩，进而得13,2a d =-=，故25n a n =-，24n S n n =-.【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，因为450,5S a ==所以根据等差数列前n 项和公式和通项公式得：1145460a d a d +=⎧⎨+=⎩，解方程组得：13,2a d =-=，所以()31225n a n n =-+-⨯=-，24n S n n =-.故选：AD. 26．BC 【分析】设公差d 不为零,由38a a =，解得192a d =-，然后逐项判断.【详解】设公差d 不为零, 因为38a a =，所以1127a d a d +=+，即1127a d a d +=--，解得192a d =-，11191111551155022S a d d d d ⎛⎫=+=⨯-+=≠ ⎪⎝⎭，故A 错误；()()()()()()221101110910,10102222n n n n n n dd na d n n n a n n S S d ----=+=-=-+=-，故B 正确；若11191111551155022S a d d d d ⎛⎫=+=⨯-+=> ⎪⎝⎭，解得0d >，()()22510525222n d d d n n S n S =-=--≥，故C 正确；D 错误；故选：BC 27．BCD 【分析】根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】对于A ，若{}n a 是等差数列，如n a n =，则12222(1)21n n a a n n n --=--=-不是常数，故{}n a 不是等方差数列，故A 错误；对于B ，数列(){}1n-中，222121[(1)][(1)]0n n n n a a ---=---=是常数，{(1)}n ∴-是等方差数列，故B 正确；对于C ，数列{}n a 中的项列举出来是，1a ，2a ，，k a ，，2k a ，数列{}kn a 中的项列举出来是，k a ，2k a ，3k a ，，()()()()2222222212132221k k k k k k k k aa a a a a a a p +++++--=-=-==-=，将这k 个式子累加得()()()()2222222212132221k kk k k k k k aa a a a a a a kp +++++--+-+-++-=，222k k a a kp ∴-=，()221kn k n a a kp +∴-=，{}*(,kn a k N ∴∈k 为常数)是等方差数列，故C 正确；对于D ，{}n a 是等差数列，1n n a a d -∴-=，则设n a dn m =+{}n a 是等方差数列，()()222112(2)n n n n dn m a a a a d a d d n m d d dn d m --∴-=++++=+=++是常数，故220d =，故0d =，所以(2)0m d d +=，2210n n a a --=是常数，故D 正确.故选：BCD. 【点睛】本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义，属于中档题. 28．AC 【分析】由535S =求出37a =，再由411a =可得公差为434d a a =-=，从而可求得其通项公式和前n 项和公式【详解】由题可知，53535S a ==，即37a =，所以等差数列{}n a 的公差434d a a =-=，所以()4445n a a n d n =+-=-，()2451232n n n S n n --==-.故选：AC. 【点睛】本题考查等差数列，考查运算求解能力. 29．AD 【分析】根据等差数列的性质，对四个选项逐一判断，即可得正确选项. 【详解】0d >，10n n a a d +-=> ，所以{}n a 是递增数列，故①正确，()()2111n na n a n d dn a d n =+-=+-⎡⎤⎣⎦，当12d a n d-<时，数列{}n na 不是递增数列，故②不正确，1n a a d d n n -=+，当10a d -<时，{}n a n不是递增数列，故③不正确， 134n a nd nd a d +=+-，因为0d >，所以{}3n a nd +是递增数列，故④正确，故选：AD 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，属于基础题. 30．AD 【分析】由1385a a S +=求出100a =，即19a d =-，由此表示出9a 、11a 、6S 、13S ，可判断C 、D 两选项；当0d >时，10a <，n S 有最小值，故B 错误. 【详解】解：1385a a S +=，111110875108,90,02da a d a a d a ⨯++=++==，故正确A. 由190a d +=，当0d >时，10a <，n S 有最小值，故B 错误.9101110,a a d d a a d d =-==+=，所以911a a =，故C 错误.61656+5415392dS a d d d ⨯==-+=-， 131131213+11778392dS a d d d ⨯==-+=-，故D 正确. 故选：AD 【点睛】考查等差数列的有关量的计算以及性质，基础题.。

兰州市一中高一实验班招生测试卷

兰州市一中高一实验班招生测试卷第1页(共3页)兰州市一中高一实验班招生测试卷姓名一、选择题。

(每题4分，共48分)1、( )若点P(a ，b)到x 轴的距离是2，到y 轴的距离是4，则这样的点P 有( )个。

A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个2、( )记)21()21)(21)(21)(21(256842+++++= x ，则1+x 是( )A 、一个奇数B 、一个质数C 、一个整数的平方D 、一个整数的立方 3、( )已知a 、b 、c 为正实数，且k cb a bc a ac b =+=+=+，则直线)1(++=k kx y 一定经过( )A 、第一、二、三象限B 、第一、二、四象限C 、第一、三、三象限D 、第二、三、四象限 4、( )已知关于x 的方程)(22x m mx -=+的解满足0121=--x ，则m 的值为( )A 、10或52 B 、10或52-C 、-10或52 D 、-10或52-5、( )已知反比例函数)0(〈=k xk y 的图象上有两点A(1x ，1y )、B(2x ，2y )，且1x ＜2x ，则1y -2y 的值是( ) A 、正数 B 、负数 C 、非正数 D 、不能确定6、( )如图，∠ACB=60°，半径为2的⊙O 切BC 于点C ，若将⊙O 在CB 上向右滚动，则当滚动到⊙O 与CA 也相切时，圆心O 移动的水平距离为( ) A 、π2 B 、π4 C 、32 D 、47、( )如图，甲、乙两动点分别从正方形ABCD 的顶点，A 、C 同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的4倍，则它们第1000次相遇在边（） A ．AB 上 B ．BC 上 C ．CD 上 D ．DA 上 8、( )一名学生步行前往考场，10分钟走了总路程的41，估计步行不能准时到达，于是他改乘出租车赶往考场，他的行程与时间关系如图所示(假定总路程为1)，则他到达考场所花的时间比一直步行提前了( )A 、20分钟B 、22分钟C 、24分钟D 、26分钟9、( )若一直角三角形的斜边长为c ，内切圆半径为r ，则内切圆的面积与三角形面积之比是( )A 、rc r 2+⋅π B 、r c r+⋅π C 、r c r +⋅2π D 、22rc r +⋅π 10、( )若购铅笔3支、练习本7本、圆珠笔1支共要3.15元，若购铅笔4支、练习本10本、圆珠笔1支共要4.2元，那么购铅笔、练习本、圆珠笔各1件要( )A 、1.2元B 、1.05元C 、0.95元D 、0.9元11、( )如图，正方形ABCD 的边AB=1，弧BD 和弧AC 都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是( ) A 、12-π B 、41π- C 、13-π D 、61π-12、( )一个正方体的表面涂满了颜色，按如图所示将它切成27个大小相等的小块，设其中仅有i 个面(i=1，2，3)涂有颜色的小块的个数为i x ，则1x 、2x 、3x 之间的关系为( ) A 、1x -2x +3x =1 B 、1x +2x -3x =1 C 、1x +2x -3x =2 D 、1x -2x +3x =2 二、填空题。

甘肃省兰州第一中学2024-2025学年高二上学期开学阶段检测数学试题(解析版)

兰州一中2024-2025-1学期阶段检测试题高二数学说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项符合题目要求.）1.已知复数z 满足2i1z =-，则z 的共轭复数z 对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D 【解析】【分析】先计算得出z ，再求其共轭复数即可.【详解】由题知212i iz -==-，所以12z i =+，则12i z =-，对应的点为()1,2-，位于第四象限.故选：D ．2.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且点()200020,a a 在直线20x y +-=上，则2019S =（）A.2019B.2020C.4038D.4040【答案】A 【解析】【分析】利用等差数列的性质求解，根据20002012019a a a a +=+可求答案.【详解】因为点()200020,a a 在直线20x y +-=上，所以2000202a a +=；因为等差数列{}n a 满足20002012019a a a a +=+，所以120192019201920192a a S +=⨯=.故选：A.3.如图，l αβ= ，,A B α∈，C β∈，且C l ∉，直线AB l M ⋂=，过,,A B C 三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过（）A.点AB.点BC.点C 但不过点MD.点C 和点M【答案】D 【解析】【分析】根据平面的基本事实，结合图形，即可判断选项.【详解】∵直线AB l M ⋂=，过,,A B C 三点的平面记作γ，MC βγ∴= ∴γ与β的交线必通过点C 和点M ，故选：D ．4.若函数2ππ()2sin 2146f x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列结论不正确的是（）A.函数()f x 的最小正周期为π2B.函数()f x 在区间π5π,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增C.函数()f x 图象关于π12x =-对称 D.函数()f x 的图象关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称【答案】A 【解析】【分析】先根据三角恒等变换化简()f x 的表达式，然后根据三角函数的性质进行判断.【详解】根据二倍角公式和诱导公式，2ππ2sin 1cos 2sin 242x x x ⎛⎫⎛⎫--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，于是π13π()2sin 2sin 22sin 26223f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.A 选项，根据三角函数周期公式，2ππ2T ==，A 选项错误；B 选项，令πππ22π,2π,322x k k k ⎡⎤-∈-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，解得π5ππ,π,1212x k k k ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，0k =时可得()f x 在区间π5π,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，B 选项正确；C 选项，令ππ2π,32x k k -=+∈Z ，解得π5π,212k x k =+∈Z ，1k =-时可得()f x 图象关于π12x =-对称，C 选项正确；D 选项，π2π,3x k k -=∈Z ，解得ππ,26k x k =+∈Z ，为对称中心的横坐标，令ππ2π263k x =+=，解得1k =，故()f x 的图象关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称，D 选项正确.故选：A5.已知一组正数1234,,,x x x x 的方差为()2222212341164S x x x x =+++-，则数据12343,3,3,3x x x x ++++的平均数为（）A.3B.4C.5D.6【答案】C 【解析】【分析】根据方差的计算公式可得到数据1234,,,x x x x 的平均数x ，再根据平均数的计算公式即可得到数据12343,3,3,3x x x x ++++的平均数．【详解】由方差的计算公式可得()222222222112123411164n S x x x x x x x x n ⎡⎤=++⋯+-=+++-⎣⎦，可得平均数12x =，对于数据12343,3,3,x x x x ++++有2235x =+=．故选：C ．6.已知甲袋中有标号分别为1，2，3，4的四个小球，乙袋中有标号分别为2，3，4，5的四个小球，这些球除标号外完全相同，第一次从甲袋中取出一个小球，第二次从乙袋中取出一个小球，事件A 表示“第一次取出的小球标号为3”，事件B 表示“第二次取出的小球标号为偶数”，事件C 表示“两次取出的小球标号之和为7”，事件D 表示“两次取出的小球标号之和为偶数”，则（）A.A 与C 相互独立B.A 与B 是互斥事件C.C 与D 是对立事件D.B 与D 相互独立【答案】D 【解析】【分析】根据互斥事件、对立事件及相互独立事件的定义判断即可.【详解】由题意可得基本事件总数为4416⨯=，设()()()(){}3,2,3,3,3,4,3,5A =，()()()()()()()(){}=1,2,2,2,3,2,4,2,1,4,2,4,3,4,4,4B ，()()(){}=2,5,3,4,4,3C ，()()()()()()()(){}=1,3,1,5,3,3,3,5,2,2,2,4,4,2,4,4D ，由题意可得A 与B 可以同时发生，故不是互斥事件，故B 错误；易知C 与D 不同时发生，即C 与D 为互斥事件，但不是对立事件，比如当()2,3发生时C 与D 均不发生，故C 错误.又()()()()()()113111,,,,,42162164P A P B P C P D P AC P BD ======，则()()()PAC P A P C ≠，()()()P BD P B P D =，从而A 与C 不相互独立，B 与D 相互独立，故A 错误，D 正确.故选：D7.在侧棱长为的正三棱锥S ABC -中，40ASB BSC CSA ∠∠∠=== ，过A 作截面AEF ，则截面的最小周长为（）A. B.4C.6D.10【答案】C 【解析】【分析】作出三棱锥的侧面展开图，连接AG 交SB 、SC 于点E 、F ，则侧面展开图中线段AG 的长度即为截面的最小周长，利用余弦定理计算可得.【详解】如图三棱锥以及侧面展开图，要求截面AEF 的周长最小，连接AG 交SB 、SC 于点E 、F ，则侧面展开图中线段AG 的长度即为截面的最小周长，因为侧棱长为的正三棱锥S ABC -，40ASB BSC CSA ∠∠∠=== ，所以120ASG ∠= ，由余弦定理可得2222cos120AG SA SG SA SG =+-⋅((2212362⎛⎫=+-⨯-= ⎪⎝⎭，6AG ∴=，所以截面的最小周长为6.故选：C.8.已知12,e e 是单位向量，且12,e e 的夹角为θ，若121()2e te t +≥∈R ，则θ的取值范围为（）A.π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.π5π,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】【分析】由向量模与夹角的公式得1sin 2θ≥，进而结合向量的夹角范围求解即可.【详解】因为12,e e 是单位向量，且12,e e的夹角为θ，所以1211cos cos e e θθ⋅=⨯⨯=，又1212e te +≥，所以22222222121122122cos 1(cos )sin sin 4e te e te e t e t t t θθθθ+=+⋅+=+⋅+=++≥≥，又[0,π]θ∈，所以1sin 2θ≥，所以π5π,66θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.故选：C.二、多项选择题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.）9.设m ，n 是不同的直线，,αβ是不同的平面，则下列命题错误的是（）A.若//,//m αβα，则//m βB.若//,m n m α⊂，则n 平行于α内的无数条直线C.若,m m n α⊥⊥，则//n αD.若,m αβα⊥⊥，则//m β【答案】ACD 【解析】【分析】根据线面位置关系、判定定理及性质即可判断.【详解】对于A ，因为//,//m αβα，所以m β⊂或//m β，故A 错误；对于B ，因为//,m n m α⊂，所以//n α或n ⊂α，所以n 平行于α内的无数条直线，故B 正确；对于C ，若,m m n α⊥⊥，则n ⊂α或//n α，故C 错误；对于D ，若,m αβα⊥⊥，则m β⊂或//m β，故D 错误.故选：ACD.10.下列说法正确的有（）A.在ABC V 中，sin sin sin +=+a b cA B CB.在ABC V 中，若sin 2sin 2A B =，则a b =C.若222a b c +<，则ABC V 一定是钝角三角形D.若8a =，10c =，60B ︒=，则符合条件的ABC V 有两个【答案】AC 【解析】【分析】对于A ，利用正弦定理边角化即可求解；对于B,根据诱导公式及三角形的性质即可求解；对于C ，利用余弦定理的推理即可求解；对于D ，利用余弦定理即可求解.【详解】对于A ，由正弦定理，得2sin 2sin 2sin 2,2sin sin sin sin sin sin a R A b c R B R CR R A A B C B C++====++,所以sin sin sin +=+a b cA B C，故A 正确；对于B ，在ABC V 中，若sin 2sin 2A B =，而()(),0,π,0,π,A B A B ∈+∈则22A B =或22πA B +=，所以A B =或π2A B +=，故a b =或222a b c +=，故B 错误；对于C ，若222a b c +<，则222cos 02a b c C ab+-=<，而0πC <<,所以C 为钝角，即ABC V 为钝角三角形，故C 正确；对于D ，由余弦定理得b ==,有唯一解,故D 错误.故选：AC11.在边长为4的正方形ABCD 中，如图1所示，E ，F ，M 分别为BC ，CD ，BE 的中点，分别沿AE ，AF 及EF 所在直线把AEB ，AFD △和EFC 折起，使B ，C ，D 三点重合于点P ，得到三棱锥P AEF -，如图2所示，则下列结论中正确的是（）A.PA EF⊥B.三棱锥P AEF -外接球的表面积为18πC.三棱锥M AEF -的体积为43D.过点M 的平面截三棱锥P AEF -的外接球所得截面的面积的最小值为π【答案】ACD 【解析】【详解】根据线面垂直可判断A ；根据三棱锥的等体积法结合体积公式可判断B ；求得三棱锥P AEF -外接球的半径，即可求得外接球的表面积，判断C ；将三棱锥P AEF -补成长方体，确定最小截面为过点M 垂直于球心O 与M 连线的圆，求得截面圆半径，即可得截面的面积，判断D.【分析】对于A ：由题意知,,,,AP PE AP PF PE PF P PE PF ⊥⊥=⊂ 平面PEF ，所以AP ⊥平面PEF ，EF ⊂平面PEF ，所以PA EF ⊥，故A 正确；对于B ：因为,,PA PE PF 两两垂直，故三棱锥P AEF -的外接球半径和长宽高分别为2,2,4的长方体的外接球半径相等，故其外接球半径4222R ==，故外接球表面积24π24πS R ==，故B 错误；对于C ：4,2,PA PE PF PE PF ===⊥，因为M 为BE 的中点，所以111114224222323M AEF P AEF A PEF V ---===⨯⨯⨯⨯⨯=，故C 正确；对于D ：将三棱锥P AEF -补成如图所示长方体，4,2PA PE PF ===，设长方体外接球球心为O ，即为三棱锥P AEF -的外接球球心过点M 的平面截三棱锥P AEF -的外接球所得截面为圆，最小截面为过点M 垂直于球心O 与M 连线的圆，OM ==此时截面圆半径为1,r ===此时截面圆的面积为2ππr =，所以过点M 的平面截三棱锥P AEF -的外接球所得截面的面积的最小值为π，故D 正确.故选：ACD第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知数列{}n a 的前n 项和231n S n n =+-，则它的通项公式n a =______．【答案】3,122,2n n n =⎧⎨+≥⎩．【解析】【分析】由n a 与n S 的关系，化简可得所求通项公式．【详解】由231n S n n =+-，可得1n =时，113a S ==；当2n ≥时，()()22131131122n n n a S S n n n n n -=-=+-----+=+．此时，当1,n =143,a =≠综上，可得3,122,2n n a n n =⎧=⎨+≥⎩．故答案为：3,122,2n n n =⎧⎨+≥⎩．13.已知圆台的侧面积与轴截面的面积之比为23π3，若上、下底面的半径分别为1和2，则母线长为__________．【答案】2【解析】【分析】设圆台的母线长为l ，根据圆台的侧面积公式和梯形面积公式分别计算侧面积和轴截面面积，由条件列方程求母线长.【详解】设圆台的母线长为l ，高为h ，则()22221h l +-=，因为圆台上、下底面的半径分别为1和2，所以圆台的侧面积()1π123πS l l =+=，轴截面面积()22432S h h +=⨯=，由已知3π23π33l h =，化简得32h l =，所以22314l l +=解得2l =．故答案为：2.14.如图，在△ABC 中，8,10,6AB BC AC ===，DB ⊥平面ABC ，且////AE FC BD ，BD ＝3，FC ＝4，AE ＝5.则此几何体的体积为________．【答案】96【解析】【分析】用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使8AA BB CC '=='='，再由柱体的体积公式计算即可得出答案.【详解】用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使8AA BB CC '=='='，所以V 几何体＝12V 三棱柱112489622ABC S AA =⋅⋅=⨯⨯=' .故答案为：96.四、解答题（本大题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，S 为ABC ∆的面积，且2223()4S a b c =--．（I ）求角A 的大小；（II ）若a =b c >，D 为BC 的中点，且AD =，求sin C 的值．【答案】（I ）23A π=；（II ）2114．【解析】【分析】（I ）利用正余弦定理及面积公式，代入对应公式得1sin (2)24bc A bccosA =-，解得tan A =，23A π=（II ）D 为BC 的中点，利用向量222222cos 4312AB AC AD b c bc A b c bc +=⇒++=⨯⇒+-=，再根据余弦定理得22222cos 2828b c bc A b c bc +-=⇒++=，解得4b =，2c =，最后根据正弦定理可得解.32·sin 212sin 14c A C a ===【详解】（I ）由已知得22213sin ()24bc A a b c =--，∴sin A =即sin A A =.∴tan A =.又∵(0,)A π∈，23A π=，（II ）由cos cos ADB ADC ∠=-∠得：2222222·2·AD BD AB AD DC AC AD BD AD DC+-+-=-，又∵D 为BC 的中点，∴BD DC ==AD =，∴2220AB AC +=，即2220b c +=.又∵222821cos 232b c bc π+-==-，∴8bc =.又∵b c >，∴4b =，2c =，∴32·sin 2sin 14c A C a ===.16.黄山原名“黟山”，因峰岩青黑，遥望苍黛而名，后因传说轩辕黄帝曾在此炼丹，故改名为“黄山”.黄山雄踞风景秀丽的安徽南部，是我国最著名的山岳风景区之一.为更好地提升旅游品质，黄山风景区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图，求x 的值；（2）估计这100名游客对景区满意度评分的40%分位数（得数保留两位小数）；（3）景区的工作人员采用按比例分层抽样的方法从评分在[)[)50,60,60,70的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行个别交流，求选取的2人评分分别在50,60和60,70内各1人的概率.【答案】（1）0.03x =（2）83.33（3）815【解析】【分析】（1）根据直方图中频率和为1求参数即可；（2）由百分位数的定义，结合直方图求分位数；（3）分布求各组人数，利用列举法结合古典概型运算求解.【小问1详解】由图知：()100.0050.010.0150.041x ⨯++++=，可得0.03x =.【小问2详解】由()()100.0050.010.0150.30.4100.0050.010.0150.030.6⨯++=<<⨯+++=，所以40%分位数在区间80,90内，令其为m ，则()0.30.03800.4m +⨯-=，解得108083.333m =+≈.所以满意度评分的40%分位数为83.33.【小问3详解】因为评分在[)[)50,60,60,70的频率分别为0.05,0.1，则在50,60中抽取0.05620.050.1⨯=+人，设为,a b ；在60,70中抽取0.1640.050.1⨯=+人，设为,,,C D E F ；从这6人中随机抽取2人，则有：{}{}{}{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,,,,,,,,,a b a C a D a E a F b C b D b E b F ，{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,,,C D C E C F D E D F E F ，共有15个基本事件，设选取的2人评分分别在50,60和60,70内各1人为事件A ，则有{}{}{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,,,,,,,a C a D a E a F b C b D b E b F ，共有8个基本事件，所以()815P A =.17.已知数列{}n a 满足132,8a a ==，且()112,2n n n a a a n n -++=+∈≥N .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对于m +∀∈N ，将数列{}n a 中落在区间()23,3m m 内的项的个数记为m b ，求数列{}m b 的通项公式.【答案】（1）31n a n =-（2）21133m m m b --=-【解析】【分析】（1）根据等差数列的定义，结合等差数列的通项公式进行求解即可；（2）通过解不等式进行求解即可.【小问1详解】当2n ≥时，{}11,n n n n n a a a a a +--=-∴为等差数列，设公差为d .()3162,3,23131n a a d d a n n -==∴=∴=+-=- .【小问2详解】由（1）得23313m m n <-<，121113333m m n --∴+<<+，131m n -∴=+，132m -+，133m -+，…，213m -，21133m m m b --∴=-.18.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，面11ABB A 为正方形，面11AA C C 为菱形，160CAA ∠=︒，平面11AA C C ⊥平面11ABB A .（1）求证：1AC ⊥平面11CA B ；（2）求二面角1C BB A --的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）277【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理即可得证.（2）过C 作1CH AA ⊥于H ，过H 作1HK BB ⊥于K ，连接CK ，利用线面垂直的性质定理得出CKH ∠为二面角1C BB A --的平面角，在Rt CHK △中直接求解即可.【小问1详解】由菱形11AA C C 可得11AC A C ⊥，平面11AA C C ⊥平面11ABB A ，平面11AA C C 平面111ABB A AA =，又正方形11ABB A 中111A B AA ⊥，11A B ⊥平面11AA C C ，又1AC ⊂平面11AA C C，111A B AC ⊥，1111= A B A C A ，111,A B A C ⊂平面11CA B，1AC ⊥平面11CA B .【小问2详解】过C 作1CH AA ⊥于H ，则CH ⊥平面11ABB A .过H 作1HK BB ⊥于K ，连接CK ，因1BB ⊂平面11ABB A ，则1CH BB ⊥，又,CH HK ⊂平面CHK ，CH HK H = ，故1BB ⊥平面CHK ，又CK ⊂平面CHK ，所以1BB CK ⊥，故CKH ∠为二面角1C BB A --的平面角，在Rt CHK △中，设AC a =，1AA AB a ==，160CAA ∠=︒，2CH =，HK AB a ==，72CK ==，27cos 772CKH ∴∠=.即二面角1C BB A --的余弦值为7.19.已知数列{}n a 具有性质A ：()i j a a i j ∀≤,，都k a ∃，使得k i j a a a =.（1）分别判断以下两个数列是否满足性质A ，并说明理由；（ⅰ）有穷数列{}n a ：21(1,2,3)n a n n =-=；（ⅱ）无穷数列{}n b ：12(1,2,3,)n n b n -== ；（2）若有穷数列{}n a 满足性质A ，且各项互不相等，求项数n 的最大值.【答案】（1）（ⅰ）有穷数列{}n a 不满足性质A ，理由见详解；（ⅱ）无穷数列{}n b 满足性质A ，理由见详解（2）3【解析】【分析】（1）（ⅰ）（ⅱ）根据性质A 的定义直接分析判断即可；（2）先取有穷数列{}:1,0,1n a -，检验可知有穷数列{}n a 满足性质A ，再利用反证法证明其不不存在其他项，即可得结果.【小问1详解】（ⅰ）有穷数列{}n a ：21(1,2,3)n a n n =-=，则1231,3,5a a a ===，例如取2,3i j ==，不存在k a ，使得2315k a a a ==，所以有穷数列{}n a 不满足性质A ；（ⅱ）无穷数列{}n b ：12(1,2,3,)n n b n -== ，对任意*,,i j i j ≤∈N ，则()111122222i j i j i j i j a a +----+-=⋅==，可知*1i j +-∈N ，则存在1k i j =+-，使得k i j a a a =，所以无穷数列{}n b 满足性质A .【小问2详解】因为有穷数列{}n a 各项互不相等，若b ∈R 满足题意，可知2b 是数列{}n a 中的项，取2b b =，解得0b =或1b =，即0,1可能符合题意，若1b =，则()211-=，即1-也可能符合题意，对于有穷数列{}:1,0,1n a -，检验可知有穷数列{}n a 满足性质A ，假设有穷数列{}n a 还有其他项41,0,1a a =≠-，满足性质A ，取4i j ==，则存在1k ，使得12241,0,1,k a a a a ==≠-；取14,i j k ==，则存在2k ，使得213241,0,1,,k k a a a a a a ==≠-；⋅⋅⋅；依此类推，可得到1n n k a a -=，此时数列{}n a 不是有穷数列，与题干相矛盾，即假设不成立，可知数列{}n a 不存在其他项，所以项数n 的最大值为3.。

高一数学实验班入学试卷(含答案)

A ．B ．C ．D ．高一数学实验班入学测试试卷姓名：计分：一、选择题（每题5分，共50分）1.设方程032=++ax x 的解集合为A ，若A ∈1，则a 的值为（） A. 4- B. 1 C. 3 D. 2-2.设,a b R ∈，集合{1,,}{0,,}ba b a b a+=，则b a -=（） A ．1 B ．1-C ．2 D.2-3.},14|{},,12|{Z n n x x B Z n n x x A ∈±==∈+==，则下列关系式成立的是（）A ．B A = B ．A B ⊂C ．A B ⊃D ．AB φ=4.设集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,2,3,4U A B ===，则=)(B A C U ( )A.{}2,3B.{}1,4,5C.{}4,5D.{}1,55.函数1122---=x x y 的定义域是（）A.}11|{≤≤-x xB.}11|{≥-≤x x x 或C.}10|{≤≤x xD.}1,1{-6.下列函数中值域是),0(∞+的是（）A.1032+-=x x y B.()012>+=x x y C.12++=x x yD.21xy =7. 下列表示同一函数的是（）A ．2)()(,)(x x g x x f ==B.xx x g x x f 2)(,)(==C.0)(,1)(x x g x f ==D.(),()f x x g x ==8.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（）9. 函数1()lg(1)1f x x x=++-的定义域是（） A ．(,1)-∞- B ．(1,)+∞ C ．(1,1)(1,)-⋃+∞ D ．(,)-∞+∞10. 如果奇函数)(x f 在区间[3,7]上是增函数且最小值为5，那么在区间[7,3]--上是（） A.增函数且最小值为5- B.增函数且最大值为5-C.减函数且最小值为5-D.减函数且最大值为5-二、填空题（每题5分，共20分）11.设集合},2,1{2x A =，若A ∈3，则=x ；12.若221(1)1x f x x --=+，则=)0(f.13.设A={015|2=+-px x x }，B={}05|2=+-q x x x ，若A B={5}，则A B= .14.函数2()2(1)2f x x a x =+-+在(,4]-∞上是减函数，则实数a 的取值范围 .三、解答题（共30分）15.（满分10分）设A={ 04|2=+x x x }，B={ 01)1(2|22=-+++a x a x x }. （1）若A B B =，求a 的值；（2）若AB B =，求a 的值。

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一、等差数列选择题1．设等差数列{}n a 的前n 项之和为n S ，已知10100S =，则47a a +=（） A ．12B ．20C ．40D ．1002．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足212n n n a a a ++=-，534a a =-，则7S =（） A ．7 B ．12 C ．14 D ．21 3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于（） A ．8B ．10C ．12D ．144．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差1d =，且6210S S ，则34a a +=（）A ．2B ．3C ．4D ．55．在等差数列{a n }中，a 3+a 7＝4，则必有（）A ．a 5＝4B ．a 6＝4C ．a 5＝2D ．a 6＝26．已知数列{}n a 的前n 项和221n S n n =+-，则13525a a a a ++++=（）A ．350B ．351C ．674D ．6757．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()12n n n S +=，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项的和为（） A ．89B ．910C ．1011D ．11128．已知等差数列{}n a 满足48a =，6711a a +=，则2a =（） A ．10B ．9C ．8D ．79．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若S 2=8，38522a a a +=+，则a 1等于（） A ．1B ．2C ．3D ．410．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2938a a a +=+，则15S =（） A ．60B ．120C ．160D ．24011．已知正项数列{}n a 满足11a =，1111114n n n n a a a a ++⎛⎫⎛⎫+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，数列{}n b 满足1111n n nb a a +=+，记{}n b 的前n 项和为n T ，则20T 的值为（） A ．1B ．2C ．3D ．412．已知数列{}n a 满足25111,,25a a a ==且*121210,n n n n a a a ++-+=∈N ，则*n N ∈时，使得不等式100n n a a +≥恒成立的实数a 的最大值是（） A ．19B ．20C ．21D ．2213．在数列{}n a 中，11a =，且11nn na a na +=+，则其通项公式为n a =（） A ．211n n -+B ．212n n -+C ．221n n -+D ．222n n -+14．若数列{}n a 满足121()2n n a a n N *++=∈，且11a =，则2021a =（） A ．1010 B ．1011 C ．2020D ．202115．已知数列{}n a 中，12(2)n n a a n --=≥，且11a =，则这个数列的第10项为（） A ．18B ．19C ．20D ．2116．已知数列{}n a 是公差不为零且各项均为正数的无穷等差数列，其前n 项和为n S .若p m n q <<<且()*,,,p q m n p q m n N +=+∈，则下列判断正确的是（）A ．22p p S p a =⋅B ．p q m n a a a a >C ．1111p q m n a a a a +<+ D ．1111p q m nS S S S +>+ 17．已知数列{}n a 的前n 项和()2*n S n n N =∈，则{}na 的通项公式为（）A ．2n a n =B ．21n a n =-C ．32n a n =-D ．1,12,2n n a n n =⎧=⎨≥⎩18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()11213n n n n S S a n +++=+-+，现有如下说法：①541a a =；②222121n n a a n ++=-；③401220S =. 则正确的个数为（） A ．0B ．1C ．2D ．319．在等差数列{}n a 中，520164a a +=，S ，是数列{}n a 的前n 项和，则S 2020=（） A ．2019B ．4040C ．2020D ．403820．已知数列{}n a 中，132a =，且满足()*1112,22n n n a a n n N -=+≥∈，若对于任意*n N ∈，都有n a nλ≥成立，则实数λ的最小值是（） A ．2B ．4C ．8D ．16二、多选题21．已知数列{}n a 是等差数列，前n 项和为,n S 且13522,a a S +=下列结论中正确的是（） A ．7S 最小B ．130S =C ．49S S =D ．70a =22．已知数列{}n a 满足：12a =，当2n ≥时，)212n a =-，则关于数列{}n a 的说法正确的是（）A ．27a =B ．数列{}n a 为递增数列C ．221n a n n =+-D ．数列{}n a 为周期数列23．已知数列{}n a 满足()*111n na n N a +=-∈，且12a =，则（） A ．31a =- B ．201912a =C ．332S =D ． 2 01920192S =24．等差数列{}n a 是递增数列，公差为d ，前n 项和为n S ，满足753a a =，下列选项正确的是（） A ．0d <B ．10a <C ．当5n =时n S 最小D ．0n S >时n 的最小值为825．首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，则下列4个命题中正确的有（）A ．若100S =，则50a >，60a <；B ．若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15；C ．若150S >，160S <，则{}n S 中7S 最大；D ．若89S S <，则78S S <.26．意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1,1,2,3,5,8,13,….即从第三项开始，每一项都是它前两项的和.后人为了纪念他，就把这列数称为斐波那契数列.下面关于斐波那契数列{}n a 说法正确的是（） A ．1055a = B ．2020a 是偶数C ．2020201820223a a a =+D ．123a a a +++…20202022a a +=27．在数列{}n a 中，若22*1(2,.n n a a p n n N p --=≥∈为常数)，则称{}n a 为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是（） A ．若{}n a 是等差数列，则{}n a 是等方差数列 B ．{(1)}n -是等方差数列C ．若{}n a 是等方差数列，则{}()*,kn a k Nk ∈为常数)也是等方差数列D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列 28．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知535S =，411a =，则（）A ．45n a n =-B ．23n a n =+C ．223n S n n =-D ．24n S n n =+29．下列命题正确的是（）A ．给出数列的有限项就可以唯一确定这个数列的通项公式B ．若等差数列{}n a 的公差0d >，则{}n a 是递增数列C ．若a ，b ，c 成等差数列，则111,,a b c可能成等差数列 D ．若数列{}n a 是等差数列，则数列{}12++n n a a 也是等差数列 30．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，47a =，则（）A ．2n S n =B ．223n S n n =-C ．21n a n =-D ．35n a n =-【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等差数列选择题 1．B 【分析】由等差数列的通项公式可得47129a a a d +=+，再由1011045100S a d =+=，从而可得结果. 【详解】解：1011045100S a d =+=，12920a d ∴+=， 4712920a a a d ∴+=+=.故选：B. 2．C 【分析】判断出{}n a 是等差数列，然后结合等差数列的性质求得7S . 【详解】∵212n n n a a a ++=-，∴211n n n n a a a a +++-=-，∴数列{}n a 为等差数列. ∵534a a =-，∴354a a +=，∴173577()7()1422a a a a S ++===. 故选：C 3．C 【分析】利用等差数列的通项公式即可求解.{a n }为等差数列，S 3＝12，即1232312a a a a ++==，解得24a =. 由12a =，所以数列的公差21422d a a =-=-=，所以()()112212n a a n d n n =+-=+-=，所以62612a =⨯=. 故选：C 4．B 【分析】根据等差数列的性质，由题中条件，可直接得出结果. 【详解】因为n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，公差1d =，6210S S ，所以()()6543434343222410a a a a a d a d a a a a +++=+++++=++=，解得343a a +=. 故选：B. 5．C 【分析】利用等差数列的性质直接计算求解【详解】因为a 3+a 7＝2a 5＝4，所以a 5＝2. 故选：C 6．A 【分析】先利用公式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列{}n a 的通项公式，再利用通项公式求出13525a a a a ++++的值.【详解】当1n =时，21112112a S ==+⨯-=；当2n ≥时，()()()22121121121n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+---+--=+⎣⎦.12a =不适合上式，2,121,2n n a n n =⎧∴=⎨+≥⎩.因此，()()3251352512127512235022a a a a a a ⨯+⨯+++++=+=+=；故选：A.易错点睛：利用前n 项和n S 求通项n a ，一般利用公式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，但需要验证1a 是否满足()2n a n ≥.7．C 【分析】首先根据()12n n n S +=得到n a n =，设11111n n n b a a n n +==-+，再利用裂项求和即可得到答案. 【详解】当1n =时，111a S ==，当2n ≥时，()()11122n n n n n n n a S S n -+-=-=-=. 检验111a S ==，所以n a n =. 设()1111111n n n b a a n n n n +===-++，前n 项和为n T ，则10111111101122310111111T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭…. 故选：C 8．A 【分析】利用等差数列的性质结合已知解得d ，进一步求得2a ．【详解】在等差数列{}n a 中，设公差为d ，由467811a a a =⎧⇒⎨+=⎩444812311a d a d a d =⎧⇒=-⎨+++=⎩，24210a a d ∴=-=. 故选：A 9．C 【分析】利用等差数列的下标和性质以及基本量运算，可求出1a ．【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则3856522a a a a a +=+=+，解得652d a a =-=，212112228S a a a d a =+=+=+=，解得13a =故选：C10．B 【分析】根据等差数列的性质可知2938a a a a +=+，结合题意，可得出88a =，最后根据等差数列的前n 项和公式和等差数列的性质，得出()11515815152a a S a +==，从而可得出结果.【详解】解：由题可知，2938a a a +=+，由等差数列的性质可知2938a a a a +=+，则88a =，故()1158158151521515812022a a a S a +⨯====⨯=. 故选：B. 11．B 【分析】由题意可得221114n na a +-=，运用等差数列的通项公式可得2143n n a =-，求得14n b =，然后利用裂项相消求和法可求得结果【详解】解：由11a =，1111114n n n n a a a a ++⎛⎫⎛⎫+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，得221114n na a +-=，所以数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以4为公差，以1为首项的等差数列，所以2114(1)43nn n a =+-=-，因为0n a >，所以n a =，所以1111n n nb a a +=+=所以14n b ==，所以201220T b b b =++⋅⋅⋅+111339(91)244=++⋅⋅⋅+=⨯-=，故选：B 【点睛】关键点点睛：此题考查由数列的递推式求数列的前n 项和，解题的关键是由已知条件得221114n n a a +-=，从而数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以4为公差，以1为首项的等差数列，进而可求n a =，14n b ==，然后利用裂项相消法可求得结果，考查计算能力和转化思想，属于中档题 12．B 【分析】由等差数列的性质可得数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，再由等差数列的通项公式可得1nn a ，进而可得1n a n=，再结合基本不等式即可得解. 【详解】因为*121210,n n n n a a a ++-+=∈N ，所以12211n n n a a a ++=+，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，设其公差为d ，由25111,25a a a ==可得25112,115a a a ==⋅，所以111121145d a d a a ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⋅⎪⎩，解得1111a d ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以()1111n n d n a a =+-=，所以1n a n=，所以不等式100n n a a +≥即100n a n+≥对任意的*n N ∈恒成立，又10020n n +≥=，当且仅当10n =时，等号成立，所以20a ≤即实数a 的最大值是20. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是构造新数列求数列通项及基本不等式的应用. 13．D 【分析】先由11n n n a a na +=+得出111n n n a a +-=，再由累加法计算出2122n n n a -+=，进而求出n a .【详解】解：11nn na a na +=+， ()11n n n a na a ++=∴，化简得：11n n n n a a a a n ++=+，两边同时除以1n n a a +并整理得：111n nn a a +-=，即21111a a -=，32112a a -=，43113a a -=，…，1111(2,)n n n n n z a a --=-≥∈，将上述1n -个式子相加得：213243111111+a a a a a a --+-+ (1)11123n n a a -+-=+++…1n +-，即111(1)2n n n a a --=， 2111(1)(1)2=1(2,)222n n n n n n n n n z a a ---+∴=++=≥∈，又111a =也满足上式， 212()2n n n n z a -+∴=∈， 22()2n a n z n n ∴=∈-+. 故选：D. 【点睛】易错点点睛：利用累加法求数列通项时，如果出现1n -，要注意检验首项是否符合. 14．B 【分析】根据递推关系式求出数列的通项公式即可求解. 【详解】由121()2n n a a n N *++=∈，则11()2n n a a n N *+=+∈，即112n n a a +-=，所以数列{}n a 是以1为首项，12为公差的等差数列，所以()()11111122n n a a n d n +=+-=+-⨯=，所以2021a =2021110112+=. 故选：B 15．B 【分析】由已知判断出数列{}n a 是以1为首项，以2为公差的等差数列，求出通项公式后即可求得10a .【详解】()122n n a a n --=≥，且11a =，∴数列{}n a 是以1为首项，以2为公差的等差数列，通项公式为()12121n a n n =+-=-，10210119a ∴=⨯-=，故选：B. 16．D 【分析】利用等差数列的求和公式可判断A 选项的正误；利用作差法结合等差数列的通项公式可判断B 选项的正误；利用p q m n a a a a <结合不等式的基本性质可判断C 选项的正误；利用等差数列的求和公式结合不等式的基本性质可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，由于()()1221222p pp p p p a a Sp a a pa ++==+≠，故选项A 错误；对于B 选项，由于m p q n -=-，则()()p q m n m n m n a a a a a p m d a q n d a a ⋅-⋅=+-⋅+--⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()()22m n m n m n a q n d a q n d a a q n a a d q n d =--⋅+--=----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()2220q n n m d q n d =-----<，故选项B 错误；对于C 选项，由于1111p q m n m n p q p q p q m n m na a a a a a a a a a a a a a a a ++++==>=+⋅⋅⋅，故选项C 错误；对于D 选项，设0x q n m p =-=->，则()()()20pq mn m x n x mn x n m x -=-+-=---<，从而pq mn <，由于222222p q m n p q pq m n mn +=+⇔++=++，故2222p q m n +>+.()()()()()()111111p q pq p q mn m n m n --=-++<-++=--，故()()22221122p q m n p q p q m n m nS S p q a d m n a d S S +--+--+=++>++=+.()()()()()221111112112224p q p p q q pq p q pq p q S S pa d qa d pqa a d d--+---⎡⎤⎡⎤⋅=+⋅+=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()221121124mn m n mn p q mna a d d+---<++()()()221121124m n mn m n mn m n mna a d d S S +---<++=，由此1111p q m n p q p q m n m nS S S S S S S S S S S S +++=>=+，故选项D 正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列中不等式关系的判断，在解题过程中充分利用基本量来表示n a 、n S ，并结合作差法、不等式的基本性质来进行判断. 17．B 【分析】利用1n n n a S S -=-求出2n ≥时n a 的表达式，然后验证1a 的值是否适合，最后写出n a 的式子即可. 【详解】2n S n =，∴当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，当1n =时，111a S ==，上式也成立，()*21n a n n N ∴=-∈，故选：B. 【点睛】易错点睛：本题考查数列通项公式的求解，涉及到的知识点有数列的项与和的关系，即11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，算出之后一定要判断1n =时对应的式子是否成立，最后求得结果，考查学生的分类思想与运算求解能力，属于基础题. 18．D 【分析】由()11213n n n n S S a n +++=+-+得到()11132n n n a a n ++=-+-，再分n 为奇数和偶数得到21262k k a a k +=-+-，22165k k a a k -=+-，然后再联立递推逐项判断. 【详解】因为()11213n n n n S S a n +++=+-+，所以()11132n n n a a n ++=-+-，所以()212621k k a a k +=-+-，()221652k k a a k -=+-，联立得：()212133k k a a +-+=，所以()232134k k a a +++=，故2321k k a a +-=，从而15941a a a a ===⋅⋅⋅=，22162k k a a k ++=-，222161k k a a k ++=++，则222121k k a a k ++=-，故()()()4012345383940...S a a a a a a a a =++++++++，()()()()234538394041...a a a a a a a a =++++++++，()()201411820622k k =+⨯=-==∑1220，故①②③正确. 故选：D 19．B 【分析】由等差数列的性质可得52012016024a a a a +==+，则()15202020202016202010102a a a a S +=⨯=⨯+可得答案. 【详解】等差数列{}n a 中, 52012016024a a a a +==+()12020202052016202010104101040402a a a a S +===⨯=+⨯⨯ 故选：B 20．A 【分析】将11122n n n a a -=+变形为11221n n n n a a --=+，由等差数列的定义得出22n n n a +=，从而得出()22nn n λ+≥，求出()max22n n n +⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最值，即可得出答案. 【详解】因为2n ≥时，11122n n n a a -=+，所以11221n n n n a a --=+，而1123a = 所以数列{}2nn a 是首项为3公差为1的等差数列，故22nn a n =+，从而22n nn a +=. 又因为n a n λ≥恒成立，即()22nn n λ+≥恒成立，所以()max22n n n λ+⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦.由()()()()()()()1*121322,221122n n nn n n n n n n n n n n +-⎧+++≥⎪⎪∈≥⎨+-+⎪≥⎪⎩N 得2n = 所以()()2max2222222n n n +⨯+⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，所以2λ≥，即实数λ的最小值是2 故选：A二、多选题21．BCD 【分析】由{}n a 是等差数列及13522,a a S +=，求出1a 与d 的关系，结合等差数列的通项公式及求和公式即可进行判断. 【详解】设等差数列数列{}n a 的公差为d .由13522,a a S +=有()1112542252a a a d d ⨯+=++，即160a d += 所以70a =,则选项D 正确. 选项A. ()71176773212S a d a d d ⨯=+=+=-,无法判断其是否有最小值，故A 错误. 选项B. 113137131302a S a a +=⨯==,故B 正确. 选项C. 9876579450a a a a S a a S -=++++==,所以49S S =，故C 正确. 故选：BCD 【点睛】关键点睛：本题考查等差数列的通项公式及求和公式的应用，解答本题的关键是由条件13522,a a S +=得到160a d +=，即70a =，然后由等差数列的性质和前n 项和公式判断,属于中档题. 22．ABC 【分析】由)212n a =-1=，再利用等差数列的定义求得n a ，然后逐项判断. 【详解】当2n ≥时，由)212n a =-，得)221n a +=，1=，又12a =，所以是以2为首项，以1为公差的等差数列，2(1)11n n =+-⨯=+，即221n a n n =+-，故C 正确；所以27a =，故A 正确；()212n a n =+-，所以{}n a 为递增数列，故正确；数列{}n a 不具有周期性，故D 错误；故选：ABC 23．ACD 【分析】先计算出数列的前几项，判断AC ，然后再寻找规律判断BD ．【详解】由题意211122a =-=，311112a =-=-，A 正确，3132122S =+-=，C 正确；41121a =-=-，∴数列{}n a 是周期数列，周期为3． 2019367331a a a ⨯===-，B 错；20193201967322S =⨯=，D 正确．故选：ACD ．【点睛】本题考查由数列的递推式求数列的项与和，解题关键是求出数列的前几项后归纳出数列的性质：周期性，然后利用周期函数的定义求解． 24．BD 【分析】由题意可知0d >，由已知条件753a a =可得出13a d =-，可判断出AB 选项的正误，求出n S 关于d 的表达式，利用二次函数的基本性质以及二次不等式可判断出CD 选项的正误. 【详解】由于等差数列{}n a 是递增数列，则0d >，A 选项错误；753a a =，则()11634a d a d +=+，可得130a d =-<，B 选项正确；()()()22171117493222224n n n d n n d n n d S na nd n d -⎡⎤--⎛⎫=+=-+==--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当3n =或4时，n S 最小，C 选项错误；令0n S >，可得270n n ->，解得0n <或7n >.n N *∈，所以，满足0n S >时n 的最小值为8，D 选项正确.故选：BD. 25．ABD 【分析】利用等差数列的求和公式及等差数列的性质，逐一检验选项，即可得答案. 【详解】对于A ：因为正数，公差不为0，且100S =，所以公差0d <，所以1101010()02a a S +==，即1100a a +=，根据等差数列的性质可得561100a a a a +=+=，又0d <，所以50a >，60a <，故A 正确；对于B ：因为412S S =，则1240S S -=，所以561112894()0a a a a a a ++⋅⋅⋅++=+=，又10a >，所以890,0a a ><，所以115815815()15215022a a a S a +⨯===>，116891616()16()022a a a a S ++===，所以使0n S >的最大的n 为15，故B 正确；对于C ：因为115815815()15215022a a a S a +⨯===>，则80a >， 116891616()16()022a a a a S ++===，则890a a +=，即90a <，所以则{}n S 中8S 最大，故C 错误；对于D ：因为89S S <，则9980S a S =->，又10a >，所以8870a S S =->，即87S S >，故D 正确，故选：ABD 【点睛】解题的关键是先判断d 的正负，再根据等差数列的性质，对求和公式进行变形，求得项的正负，再分析和判断，考查等差数列性质的灵活应用，属中档题. 26．AC 【分析】由该数列的性质，逐项判断即可得解. 【详解】对于A ，821a =，9211334a =+=，10213455a =+=，故A 正确；对于B ，由该数列的性质可得只有3的倍数项是偶数，故B 错误；对于C ，20182022201820212020201820192020202020203a a a a a a a a a a +=++=+++=，故C 正确；对于D ，202220212020a a a =+，202120202019a a a =+，202020192018a a a =+，32121,a a a a a ⋅⋅⋅=+=，各式相加得()2022202120202021202020192012182a a a a a a a a a ++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅++，所以202220202019201811a a a a a a =++⋅⋅⋅+++，故D 错误. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是合理利用该数列的性质去证明选项. 27．BCD 【分析】根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】对于A ，若{}n a 是等差数列，如n a n =，则12222(1)21n n a a n n n --=--=-不是常数，故{}n a 不是等方差数列，故A 错误；对于B ，数列(){}1n-中，222121[(1)][(1)]0n n n n a a ---=---=是常数，{(1)}n ∴-是等方差数列，故B 正确；对于C ，数列{}n a 中的项列举出来是，1a ，2a ，，k a ，，2k a ，数列{}kn a 中的项列举出来是，k a ，2k a ，3k a ，，()()()()2222222212132221k k k k k k k k aa a a a a a a p +++++--=-=-==-=，将这k 个式子累加得()()()()2222222212132221k kk k k k k k aa a a a a a a kp +++++--+-+-++-=，222k k a a kp ∴-=，()221kn k n a a kp +∴-=，{}*(,kn a k N ∴∈k 为常数)是等方差数列，故C 正确；对于D ，{}n a 是等差数列，1n n a a d -∴-=，则设n a dn m =+{}n a 是等方差数列，()()222112(2)n n n n dn m a a a a d a d d n m d d dn d m --∴-=++++=+=++是常数，故220d =，故0d =，所以(2)0m d d +=，2210n n a a --=是常数，故D 正确.故选：BCD. 【点睛】本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义，属于中档题. 28．AC 【分析】由535S =求出37a =，再由411a =可得公差为434d a a =-=，从而可求得其通项公式和前n 项和公式【详解】由题可知，53535S a ==，即37a =，所以等差数列{}n a 的公差434d a a =-=，所以()4445n a a n d n =+-=-，()2451232n n n S n n --==-.故选：AC. 【点睛】本题考查等差数列，考查运算求解能力. 29．BCD 【分析】根据等差数列的性质即可判断选项的正误. 【详解】A 选项：给出数列的有限项不一定可以确定通项公式；B 选项：由等差数列性质知0d >，{}n a 必是递增数列；C 选项：1a b c ===时，1111a b c===是等差数列，而a = 1，b = 2，c = 3时不成立； D 选项：数列{}n a 是等差数列公差为d ，所以11112(1)223(31)n n a a a n d a nd a n d ++=+-++=+-也是等差数列；故选：BCD 【点睛】本题考查了等差数列，利用等差数列的性质判断选项的正误，属于基础题. 30．AC 【分析】利用等差数列{}n a 的前n 项和公式、通项公式列出方程组，求出11a =，2d =，由此能求出n a 与n S ．【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．39S =，47a =，∴31413239237S a d a a d ⨯⎧=+=⎪⎨⎪=+=⎩，解得11a =，2d =，1(1)221n a n n ∴+-⨯=-=．()21212nn n S n +-==故选：AC ．【点睛】本题考查等差数列的通项公式求和公式的应用，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．。

甘肃省兰州第一中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷(PDF版,含解析)

兰州一中高一年级期中考试数学试卷第 1 页共 4 页兰州一中2023-2024-1学期期中考试试题高一数学说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟. 答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷(选择题)一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．已知集合，，则（） A ．B ．C ．D ．2．下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（） A ．B ．C ．y =|x |D ．3．函数的定义域是（）A ．B ．C ．D ．4．已知，则“”是“”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件5．已知，，且，则的最小值为（） A ．2 B ．3C ．4D ．86．函数的图像大致是（）A ．B ．C．D．7．，对于，，都有成立，求的取值范围（）A ．B ．C ．D ．8．设为实数，定义在上的偶函数满足：①在上为增函数；②，则实数的取值范围为（）A．B ．C．D ．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9．下列各组函数表示相同函数的是（）A．，B．，C．，D．，10．下列说法正确的是（）A．的最小值为2 B．的最小值为1C．的最大值为3 D．最小值为11．函数是定义在R上的奇函数，下列说法正确的是（）A．B．若在上有最小值，则在上有最大值1C．若在上为增函数，则在上为减函数D．若时，，则时，兰州一中高一年级期中考试数学试卷第 2 页共 4 页兰州一中高一年级期中考试数学试卷第 3 页共 4 页12．已知函数的图象由如图所示的两条线段组成，则（）A．B．C．，D．，不等式的解集为第Ⅱ卷(非选择题)三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知函数，则 .14．已知，则的解析式为．15．函数在上的值域是 .16．已知对任意，不等式恒成立，则实数a的最小值为．四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，．现已画出函数在y轴左侧的图象，如图所示，请补出完整函数的图象，并根据图象写出函数的增区间；写出函数的解析式和值域．兰州一中高一年级期中考试数学试卷第 4 页共 4 页18．（12分）已知二次函数的图象过点，.(1)求函数的解析式； (2)求函数在上的值域.19．（12分）已知二次函数，(1)若为偶函数，求的值． (2)若在上最大值为4，求．20．（12分）为了加强“平安校园”建设，保障师生安全，某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室.由于此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元.设屋子的左右两面墙的长度均为米.(1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价； (2)现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围.21．（12分）已知函数的定义域为，且对一切都有，当时，.(1)判断的单调性并加以证明； (2)若，解不等式.22．（12分）已知函数，．(1)判断函数的奇偶性，并说明理由；(2)当时，求函数的单调区间； (3)求函数的最小值．兰州一中高一年级期中考试数学试卷答案第 1 页共 8 页兰州一中2023-2024-1高一期中考试答案1． C【详解】解：因为集合，所以．故选： C. 2．D 【详解】，都是奇函数，排除A ，B.，都是偶函数，在上递增，在递减，故选：D ． 3．C 【详解】由，则，解得且，即函数的定义域为，故选：C. 4．A【详解】对于不等式，可解得或，所以可以推出，而不可以推出，所以“”是“”的充分不必要条件．故选：A. 5．C 【详解】因为，所以.因为，，所以，当且仅当，时，等号成立，故的最小值为4.故选：C 6．B兰州一中高一年级期中考试数学试卷答案第 2 页共 8 页【详解】由函数，可得，所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，又由时，，所以函数图象为B 选项.故选：B. 7．C【详解】因为定义在上的函数满足对，，都有，所以函数是上的减函数，则函数和均为减函数，且有，即，解得，因此，实数的取值范围是.故选：C. 8．A【详解】解：为定义在上的偶函数，在上为增函数，在上为单调递减，，，，即，解得：，所以实数的取值范围为：．故选：A. 9．CD【详解】选项A ，两个函数的对应法则不同，不是同一函数；选项B ，两个函数的定义域和对应法则都不相同，不是同一函数；选项C ，，两个函数的定义域和对应法则都相同，是同一函数；选项D ，两个函数的定义域和对应法则都相同，与自变量的符号表示无关，是同一函数. 故选：CD 10．BC兰州一中高一年级期中考试数学试卷答案第 3 页共 8 页【详解】对于A ，当时，，故选项A 错误；对于B ，因为，即的最小值为1，故选项B 正确；对于C ，因为，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为3，故选项C 正确；对于D ，因为，所以，所以当且仅当，即时，等号成立，因为，所以，即不成立，故等号不成立，所以最小值不为，故选项D 错误.故选：BC ． 11．ABD 【详解】由得，故正确；当时，，且存在使得，则时，，，且当有,∴在上有最大值为1，故正确；若在上为增函数，而奇函数在对称区间上具有相同的单调性，则在上为增函数，故错误；若时，，则时，，，故正确．故选：．12．AC【详解】A. 因为，，所以，正确； B.，，所以，错误；C. 由图得，当时，设解析式为，图象经过，所以，解得，所以；时，设解析式为，图象经过，所以，解得，所以解析式为；即，，正确；兰州一中高一年级期中考试数学试卷答案第 4 页共 8 页D. 由C 得，，如图：所以不存在大于零的，使得不等式的解集为，故D 错误.故选：AC. 13．9【详解】解：根据题意，故答案为：9 14．【详解】令，则，∴，故答案为：．15．【详解】解：当时，函数在上是增函数，故当时，函数取得最小值为1，又，故函数的值域为，故答案为：．16．【详解】因为，故，所以，当且仅当，即时等号成立，即有，所以，即a 的最小值为，故答案为： 17．（1）递增区间是，，图像见解析（2）兰州一中高一年级期中考试数学试卷答案第 5 页共 8 页【详解】解：因为函数为偶函数,故图象关于y 轴对称,补出完整函数图象如图所示:由图可得函数的递增区间是,. 设,则,所以,因为是定义在R 上的偶函数,所以,所以时,,故的解析式为, 由图像可得值域为.18．(1)；(2)【详解】（1）由题意可设，代入点坐标得，解得，故函数解析式为.（2）由第一问得上单调递增，在上单调递减而，故函数在上的值域为.19．(1) (2)或.【详解】（1）因为是偶函数，所以，即，则恒成立，由于的任意性，则；当时，定义域为，且，所以.兰州一中高一年级期中考试数学试卷答案第 6 页共 8 页（2）因为，当，即时，在上单调递减，所以，解得，满足要求；当，即时，则，解得或（舍去）；当，即时，在上单调递增，所以，解得，不满足要求；综上，或.20．(1)4米，28800元 (2)【详解】（1）设甲工程队的总造价为元，则.当且仅当，即时等号成立.即当左右两侧墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为28800元. （2）由题意可得，对任意的恒成立.即，从而恒成立，令，又在为单调增函数，故.所以.21．(1)增函数，证明见解析； (2)【详解】（1）在上为增函数，证明如下：任取且，则，则.又因为当时，，而，所以，所以，所以在上为增函数.（2）由定义域可得，解得，由已知可得，所以，所求不等式可转化为.由在上为增函数可得，解得，则不等式解集为.22．(1)见解析(2)单调递增区间是，单调递减区间是(3)【详解】（1）显然函数的定义域为R，当时，，此时函数为偶函数；当时，因为，，所以，，此时函数既不是奇函数也不是偶函数．（2）当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，即函数的单调递增区间是，单调递减区间是．（3）因为，所以①当时，时，函数的最小值为，时，函数在上单调递减，，而，所以函数的最小值为．②当时，时，函数的最小值为，时，函数的最小值为，而，所以函数的最小值为．③当时，函数的最小值为．综上所述，．。

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2012年兰州一中实验班招生试题数学满分150分，时间120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．相交两圆的公共弦长为6,两圆的半径分别为32和5,则这两圆的圆心距等于( ) A.2 B.7 C.2或6 D.1或72．如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C =90o ，AC =6，D 是AC 上一点，若tan ∠DBA =51，则AD 的长为( ) A . 2 B .3 C .2 D .13．已知n m ,是方程0122=--x x 的两根，且8)763)(147(22=--+-n n a m m ，则a的值等于（）A ．－5B .5C . －9D .94．如图，已知正方形ABCD 的边长为4 ，E 是BC 边上的一个动点，AE ⊥EF ， EF 交DC 于F , 设BE=x ，FC=y ，则当点E 从点B 运动到点C 时,y 关于x 的函数图象是( )．5．若实数x ,y 满足224250,x y x y +--+=则32x y y x+- 的值是（）A ．1B ．322+ C ．3－22 D ．3 +226．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数ac bx y -=与反比例函数x cb a y +-=在同一坐标系内的图象大致为（）7．小明从家骑车上学，先上坡到达A 地后再下坡到达学校，所用的时间与路程如图所示．如果返回时，上、下坡速度仍然保持不变，那么他从学校回到家需要的时间是（） A.8.6分钟 B.9分钟 C.12分钟 D.16分钟8．方程x 2+2x －1=0的根可看成函数y =x +2与函数1y x=的图象交点的横坐标，用此方法可推断方程x 3+x －1=0的实根x 所在范围为（）A ． 102x -<< B ．112x << C ．102x << D ．312x << 二、填空题（把答案填在题中的横线上.6小题,每小题6分,共36分）9．某书店把一本新书按标价的九折出售，仍可获利20%．若该书的进价为21元，则标价为元．10．已知Rt ΔABC 中，斜边BC 上的高AD=4，cosB=54，则AC= _______ ． 11．某厂第一季度共生产钢190吨,二、三月份共生产钢150吨,则平均每月的增长率是________.12．如图，AB 与CD 相交于E ，DA ∥EF ∥BC,且AE:EB=1:2，△ADE 的面积为1，则△AEF 的面积是_________.13．如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成两个扇形，同时转动两个转盘，转盘停止后，指针所指区域内的数字之和为4的概率是_____________.y xO B.y xO A.y xO C.y xO D.1- 1O xy第6题图120°121214.将半径为4cm的半圆围成一个圆锥，在圆锥内接一个圆柱（如图示），当圆柱的侧面的面积最大时，圆柱的底面半径是___________cm.答案一、选择题1.D2.A3.C4.A5.D6.B7.C8.B 二、填空题9. 28 10. 5 11. 50% 12.23 13. 1314. 1 三、解答题（解答时,必须写出必要的解题步骤.6小题,共74分）15. （本题满分12分）已知关于x 的方程014)3(222=--+--k k x k x ．（1）若这个方程有实数根，求k 的取值范围；（2）若这个方程有一个根为1，求k 的值；（3）若以方程014)3(222=--+--k k x k x 的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数xmy =的图象上，求满足条件的m 的最小值．解: （1）由题意得△＝()[]()1443222--⨯---k k k ≥0化简得 102+-k ≥0，解得k ≤5．…………….4分（2）将1代入方程，整理得2660k k -+=，解这个方程得 13k =，23k =…………….8分（3）设方程014)3(222=--+--k k x k x 的两个根为1x ，2x ，根据题意得12m x x =．又由一元二次方程根与系数的关系得21241x x k k =--，那么()521422--=--=k k k m ，所以，当k ＝2时m 取得最小值－5……….12分16.（本题满分12分）保护生态环境，建设绿色社会已经从理念变为人们的行动．某化工厂2011年1 月的利润为200万元．设2011年1 月为第1个月，第x 个月的利润为y 万元．由于排污超标，该厂决定从2011年1 月底起适当限产，并投入资金进行治污改造，导致月利润明显下降，从1月到5月，y 与x 成反比例．到5月底，治污改造工程顺利完工，从这时起，该厂每月的利润比前一个月增加20万元（如图）．⑴分别求该化工厂治污期间及治污改造工程完工后y 与x 之间对应的函数关系式． ⑵治污改造工程完工后经过几个月，该厂月利润才能达到2011年1月的水平？ ⑶当月利润少于100万元时为该厂资金紧张期，问该厂资金紧张期共有几个月？解：⑴①当1≤x ≤5时，设ky x=，把（1，200）代入，得200k =，即200y x=；…………….2分 ②当5x =时，40y =，所以当x ＞5时，4020(5)2060y x x =+-=-；…………….4分⑵当y =200时，20x -60=200，x=13，所以治污改造工程顺利完工后经过13-5=8个月后，该厂利润达到200万元；…………….8分 ⑶对于200y x=，当y =100时，x =2；对于y =20x -60，当y =100时，x =8，所以资金紧张的时间为8-2=6个月．…………….12分17．（本题满分12分）数学家高斯在读小学二年级时老师出了这样一道计算题:1+2+3+4+5+…+99+100=?高斯很快得出了答案,他的计算方法是:1+2+3+4+5+…+99+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(49+52)+(50+51)=50 × 101=5050(1) 请你利用上述方法或用其它的方法求s=1+3+5+7+…+[2(n–1)–1]+(2n –1)的计算公式;(2)如图,第二个图形是由第一个图形中的三角形连结三边中点而得到的,第三个图形是由第二个图形中的中间三角形连结三边中点而得到的,依次类推……分别写出第二个图形、第三个图形和第四个图形的三角形的个数,由此推测出第n 个图形中三角形的个数,并求出第一个图形到第n 个图形的三角形个数之和.解:(1)s=n 2. …………….6分(2)第二个图形中三角形的个数5; …………….7分第三个图形中三角形的个数9; …………….8分第四个图形中三角形的个数13; …………….9分第n 个图形中三角形的个数4n –3; ……………10分第一个图形到与第n 个图形的三角形个数之和为2n 2–n. …………….12分① ② ③ ……第17题图18．（本题满分12分）（1）如图,A 、B 两个化工厂位于一段直线形河堤的同侧，A 工厂到河堤的距离AC 为1km ，B 工厂到河堤的距离BD 为2km ，经测量河堤上C 、D 两地间的距离为6km ．现准备在河堤边修建一个污水处理厂，为使A 、B 两厂到污水处理厂的排污管道最短，污水处理厂应建在距C 地多远的地方？（2）通过以上解答，充分展开联想，运用数形结合思想构造图形，尝试解决下面问题：若221(9)4y x x =++-+ ，当x 为何值时，y 的值最小，并求出这个最小值．解：（1）延长AC 到E ，使CE=AC ，连接EB 交CD 于点P ，则点P 就是污水处理厂所在的地方（画出图形）．设CP=x ，则DP=6-x ，由点A 与点E 的对称性可知∠APC=∠EPC ，又由对顶角相等可知∠BPD=∠EPC ， ∴∠APC=∠BPD ，又∵∠ACP=∠BDP=90°， ∴△ACP ∽△BDP ，∴AC CPBD DP =∴126x x=-，解得x=2，所以，污水厂应建在距离C 地2km 处；…………6分（2）仿照（1）中建立图形，使AC=1，CD=9，BD=2，设CP=x ，则221(9)4y x x =+-+中的21x +即是图中的AP 2(9)4x -+即是图中的BP ．所以221(9)4y x x =+-+AP+BP 的最小值，仿照（1）中找到点A 关于直线CD 的对称点E ，连接EB ，与CD 的交点就是所求的点P ．由△ACP ∽△BDP ，得AC CPBD DP=∴129xx=-，解得x=3，所以当x=3时，221(9)4y x x =+-+最小值是2231(93)4310y =+-+= ．…………….12分19．（本题满分13分）如图，⊙O 的半径为1，点P 是⊙O 上一点，弦AB 垂直平分线段OP ，点D 是¼APB 上任一点（与端点A 、B 不重合），DE ⊥AB 于点E ，以点D 为圆心、DE 长为半径作⊙D ，分别过点A 、B 作⊙D 的切线，两条切线相交于点C ．（1）求弦AB 的长；（2）判断∠ACB 是否为定值，若是，求出∠ACB 的大小；否则，请说明理由；（3）记△ABC 的面积为S ，若2SDE＝43，求△ABC 的周长.解：（1）连接OA ，取OP 与AB 的交点为F ，则有OA ＝1．∵弦AB 垂直平分线段OP ，∴OF ＝12OP ＝12，AF ＝BF ．在Rt △OAF 中，∵AF ＝22OA OF -＝2211()2-＝3，∴AB ＝2AF ＝3．…………….4分（2）∠ACB 是定值.理由：由（1）易知，∠AOB ＝120°，因为点D 为△ABC 的内心，所以，连结AD 、BD ，则∠CAB ＝2∠DAE ，∠CBA ＝2∠DBA ，因为∠DAE ＋∠DBA ＝12∠AOB ＝60°，所以∠CAB ＋∠CBA ＝120°，所以∠ACB ＝60°；…………….8分（3）记△ABC 的周长为l ，取AC ，BC 与⊙D 的切点分别为G ，H ，连接DG ，DC ，DH ，则有DG ＝DH ＝DE ，DG ⊥AC ，DH ⊥BC .∴ABD ACD BCD S S S S ∆∆∆=++＝12AB •DE ＋12BC •DH ＋12AC •DG ＝12(AB ＋BC ＋AC ) •DE ＝12l •DE ． ∵2S DE ＝43，∴212l DEDE g ＝43，∴l ＝83DE.∵CG ，CH 是⊙D 的切线，∴∠GCD ＝12∠ACB ＝30°， F C PD OBAEH G∴在Rt △CGD 中，CG ＝tan30DG o，∴CH ＝CG．又由切线长定理可知AG ＝AE ，BH ＝BE ， ∴l ＝AB ＋BC ＋AC ＝＝，解得DE ＝13，∴△ABC．…………….13分20．（本题满分13分）如图,设抛物线C 1:()512-+=x a y , C 2:()512+--=x a y ,C 1与C 2的交点为A , B ,点A 的坐标是)4,2(,点B 的横坐标是－2.（1）求a 的值及点B 的坐标；（2）点D 在线段AB 上,过D 作x 轴的垂线,垂足为点H ,在DH 的右侧作正三角形DHG . 记过C 2顶点Ｍ的直线为l ,且l 与x 轴交于点N .① 若l 过△DHG 的顶点G ,点D 的坐标为(1, 2)，求点N 的横坐标；② 若l 与△DHG 的边DG 相交,求点N 的横坐标的取值范围.解：（1）∵ 点A )4,2(在抛物线C 1上，∴ 把点A 坐标代入()512-+=x a y 得 a =1. …………….2分∴ 抛物线C 1的解析式为422-+=x x y ,设B (－2,b )， ∴ b ＝－4, ∴ B (－2,－4) . …………….4分（2）①如图1，∵ M (1, 5)，D (1, 2), 且DH ⊥x 轴，∴ 点M 在DH 上，MH =5. 过点G 作GE ⊥DH ,垂足为E, 由△DHG 是正三角形,可得EG=3, EH =1， ∴ ME ＝4. 设N ( x , 0 ), 则 NH ＝x －1,由△MEG ∽△MHN ,得HNEG MH ME =, ∴ 1354-=x , ∴ =x 1345+, ∴ 点N 的横坐标为1345+． …………….8分② 当点Ｄ移到与点A 重合时,如图2，直线l 与DG 交于点G ,此时点Ｎ的横坐标最大．过点Ｇ,Ｍ作x 轴的垂线,垂足分别为点Ｑ,F ,设Ｎ（x ，0），∵ A (2, 4), ∴ G (322+, 2),∴ NQ =322--x ，ＮF =1-x , GQ =2, MF =5.∵ △NGQ ∽△NMF ，∴ MFGQ NF NQ =, 图1 图2∴ 521322=---x x , ∴ 38310+=x . …………….10分当点D 移到与点B 重合时,如图3，直线l 与DG 交于点D ,即点B ,此时点N 的横坐标最小.∵ B (－2, －4), ∴ H (－2, 0), D (－2, －4),设N （x ，0），∵ △BHN ∽△MFN ， ∴MFBH FN NH =， ∴ 5412=-+x x , ∴ 32-=x . ……12分 ∴ 点N 横坐标的范围为 32-≤x ≤38310+. …13分图3 图4。