解三角形应用举例最新衡水中学自用精品教学设计
高中数学教案】人教A版必修5第一章1.2《解三角形应用举例》教案
《解三角形应用举例》教案一、教学目标1.知识与技能能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题.2.过程与方法（1）通过解决“底部不可到达的物体高度测量”的问题，初步掌握将实际问题转化为解斜三角形的问题的方法.（2）进一步提高利用正弦定理、余弦定理解斜三角形的能力，提高运用数学知识解决实际问题的能力.3.情感、态度与价值观进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力二、教学重点和难点教学重点：结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题.教学难点：能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件.教学关键：将实际问题中的高度问题转化为数学问题.教学突破方法：通过分析实践、自主探究、合作交流等一系列的寻求问题解决方法的活动，讨论解决方法，步步改进方法，探求最佳方法.三、教法与学法导航教学方法：本节课是解三角形应用举例的延伸.采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架.通过3道例题的安排和练习的训练来巩固深化解三角形实际问题的一般方法.教学形式要坚持“引导——讨论——归纳”，目的不在于让学生记住结论，更多的要养成良好的研究、探索习惯.作业设计思考题，提供学生更广阔的思考空间.学习方法：学生通过数学建模，自主探究、合作交流，在实践中体验过程，在过程中感受应用，在交流中升华.四、教学过程1.创设情境，导入新课提问：现实生活中，人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？今天我们就来共同探讨这方面的问题.2.主题探究，合作交流例1 如图1，AB 是底部B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB 的方法.图1分析：求AB 长的关键是先求AE ，在△ACE 中，如能求出点C 到建筑物顶部A 的距离CA ，再测出由点C 观察A 的仰角，就可以计算出AE 的长.解：选择一条水平基线HG ，使H 、G 、B 三点在同一条直线上.在H 、G 两点用测角仪器测得A 的仰角分别是α、β，CD =a ，测角仪器的高是h ，那么，在△ACD 中，根据正弦定理可得： )sin(sin βαβ-=a AC ， h a h AC h AE AB +-=+=+=)sin(sin sin sin βαβαα. 例 2 如图2，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角0454'︒=α，在塔底C 处测得A 处的俯角150'︒=β.已知铁塔BC 部分的高为27.3 m ，求出山高CD （精确到1m ）.图2教师：根据已知条件，大家能设计出解题方案吗（给时间给学生讨论思考）？若在△ABD 中求CD ，则关键需要求出哪条边呢？学生：需求出BD 边.教师：那如何求BD 边呢？学生：可首先求出AB 边，再根据∠BAD=α求得.解:在△ABC 中，∠BCA =90°+β，∠ABC =90°-α，∠BAC =αβ-，∠BAD =α.根据正弦定理， )sin(βα-BC =)90sin(β+︒AB.所以 AB =)sin()90sin(βαβ-+︒BC =)sin(cos βαβ-BC .在Rt △ABD 中，得：BD =AB sin ∠BAD =)sin(sin cos βααβ-BC .将测量数据代入上式，得：BD =)1500454sin(0454sin 150cos 3.27'-'''︒︒︒︒ =934sin 0454sin 150cos 3.27'''︒︒︒≈177.4（m ）.CD =BD -BC ≈177-27.3=150（m ）.学生：山的高度约为150 m.教师：有没有别的解法呢？学生：若在.△ACD 中求CD ，可先求出AC .教师：分析得很好，请大家接着思考如何求出AC ？学生：同理，在△ABC 中，根据正弦定理求得.（解题过程略）例3 如图3，一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A 处时测得公路南侧远处一山顶D 在东偏南15°的方向上，行驶5km 后到达B 处，测得此山顶在东偏南25°的方向上，仰角为8°，求此山的高度CD （精确到1m ）.图3教师：欲求出CD ，大家思考在哪个三角形中研究比较适合呢？学生：在△BCD 中教师：在△BCD 中，已知BD 或BC 都可求出CD ，根据条件，易计算出哪条边的长？ 学生：BC 边解:在△ABC 中， ∠A =15°，∠C = 25°-15°=10°，根据正弦定理，A BC sin =CAB sin ， BC =C A AB sin sin =︒︒10sin 15sin 5≈7.452 4（km ）. tan tan81047(m)CD BC DBC BC =⨯∠≈⨯︒≈答：山的高度约为1047m.教材第15页练习第1、2、3题.3.小结利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化.4.课外作业（1）教材第19、20页习题1.2 A 组第6，7，8题（2）为测某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距20m 的楼的楼顶处测得塔顶A 的仰角为30︒，测得塔基B 的俯角为45°，则塔AB 的高度为多少m ？答案：20+3320m。
人教A版高中数学必修5《一章 解三角形 1.2 应用举例》优质课教案_7
课题：解斜三角形的应用举例教学目标（一）知识目标：1、测量不可到达的两点间的距离的方法及航海问题；2、解斜三角形问题的类型。
（二）能力目标：1．掌握利用正弦定理及余弦定理解任意三角形的方法，会利用解任意三角形的知识解决一些实际问题；2．能够在解斜三角形应用过程中，灵活地选择正弦定理和余弦定理；3．通过解斜三角形应用举例进一步培养学生将实际问题转化为数学问题，用数学方法解决实际问题的能力。
（三）德育目标：使学生体会知识来源于实际生活，数学知识在实际生活的中的应用，从而培养学生学习数学的兴趣．重点、难点：利用解斜三角形解决相关实际问题．利用解斜三角形解决相关实际问题及运算问题．教学方式启发引导式教学、多媒体辅助教学教学过程一、动手实验闭上一只眼睛，将两只笔的笔尖相对；两只眼睛都睁开，再试一次，感受有何不同？想一想，为什么会出现这种状况？试想想：如果一个人的眼睛左右各长一只或者前后各长一只，会出现什么情况？从数学角度来分析该问题，从而引出解决测量问题的一般思路。
方法总结：构造三角形，把要求的这两点间的距离作为三角形的一边，通过解斜三角形可以得出两点间的距离。
让学生识别本例解斜三角形的类型，顺便复习正弦定理及其能解决的问题，引出课题（板书课题：解斜三角形的应用举例）二、新课1、案例一（1）设置情境:湖北四渡河大桥用火箭抛索架桥为世界首创四渡河特大桥位于巴东和长阳交界处，主跨900米，索塔顶至峡谷底高差达650米，正桥面到谷底高差达500余米，堪称“天路”上的“天桥”。
（2）提出问题①想一想：假如你是设计人员，在设计此桥前，你怎样得到主跨900米这个数据？（测量工具：测角仪，皮尺）②要测的A、B 两点有什么特点？（能相互看见，但不能相互到达，因此不能直接测得，只能采用间接的方法）③根据前面的方法总结，想想解决此问题的关键是什么？④怎样构造三角形？（见下图第三图）（3）带领学生构建三角形模型，抽象出数学问题（4）请学生解决该数学问题2、案例二（1）设置情境：沪蓉西高速路某段在沿清江河岸施工的过程中碰到一座山，需要设计一条隧道。
专题训练 构造基本图形解直角角形实际问题 衡水中学内部资料 精品教学课件
解：(1)75 cm (2)约是 63 cm
类型之二
构造双直角三角形解决问题
3 ． (2015· 自贡 )如图所示，我市某中学课外活动小组的 同学利用所学知识去测量釜溪河沙湾段的宽度．小宇同学在 A 处观测对岸 C 点，测得∠CAD＝45°，小英同学在距 A 处 50 米远的 B 处测得∠CBD＝30°，请你根据这些数据算出河 宽．(精确到 0.01 米，参考数据 2≈1.414， 3≈1.732)
专题训练(二) 构造基本图形解直角三角形实际问题
类型之一
构造单一直角三角形解决问题
1．如图，用一根 6 米长的笔直钢管弯折成如图所 示的路灯杆 ABC，AB 垂直于地面，线段 AB 与线段 BC 所成的角∠ABC＝120°，若路灯杆顶端 C 到地面 的距离 CD＝5.5 米，求 AB 长．
解：5 米
青 春 风 采
高考总分：
692分(含20分加分) 语文131分 数学145分 英语141分 文综255分
毕业学校：北元 阳光女孩--何旋
来自北京二中，高考成绩672分，还有20 分加分。“何旋给人最深的印象就是她 的笑声，远远的就能听见她的笑声。” 班主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。 “她是学校的摄影记者，非常外向，如 果加上20分的加分，她的成绩应该是692 。”吴老师说，何旋考出好成绩的秘诀 是心态好。“她很自信，也很有爱心。 考试结束后，她还问我怎么给边远地区 的学校捐书”。
2．为倡导“低碳生活”，常选择以自行车作为代步工具，如图 ①所示是一辆自行车的实物图，车架档 AC 与 CD 的长分别是 45 cm， 60 cm，且它们互相垂直，座杆 CE 的长为 20 cm，点 A，C，E 在同 一条直线上，且∠CAB＝75°，如图②. (1)求车架档 AD 的长； (2)求车座点 E 到车架档 AB 的距离．(结果精确到 1 cm，参考数 据：sin75°≈0.9659，cos75°≈0.2588，tan75°≈3.7321)
解三角形应用举例教学设计
解三角形应用举例（第一课时）【教材分析】本节课选自人教A版《必修五》第一章第二节（第一课时），是学习了正弦定理、余弦定理及三角形中的几何计算之后的一节实际应用课，可以说是为正弦定理、余弦定理的应用而设计的，因此本节课的学习具有理论联系实际的重要作用。
在本节课的教学中，用方程的思想作支撑，以具体问题具体分析作指导，引领学生认识问题、分析问题并最终解决问题。
【学情分析】本节课的教学对象是高二年级的学生。
1.已有的能力：学生已经学习了正弦定理和余弦定理，能够运用解决一些三角形问题，具有了一定的基础。
2.存在的问题：学生在运用正弦定理和余弦定理解三角形的时候不能将实际问题转化成数学问题的问题，构造模型的能力有待提高。
【课型】实际应用课【教学方法】自主探究，合作探究【教学准备】多媒体设备，天宫二号成功发射视频，三封信件【教学目标】1.知识与技能：①能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解测量的方法和意义②会在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法2.过程与方法：①采用启发与尝试的方法，让学生在解决实际问题中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架②通过解三角形应用的学习，提高解决实际问题的能力；通过解三角形在实际中的应用，体会具体问题可以转化为抽象的数学问题，以及数学知识在生产、生活实际中所发挥的重要作用3.情感、态度、价值观：①激发学生学习数学的兴趣，并体会数学的应用价值②培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力③进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力【教学难点】实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解【教学过程】（含时间分配）一、创设情境，明确目标（5分钟）观看视频。
提出：“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。
高中数学 第一章 解三角形 1.2 解三角形应用举例教学
解三角形应用举例教学目标一、知识与技能1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语，如:坡度、俯角、方向角、方位角等2、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题3、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题4、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题5、掌握三角形的面积公式的简单推导和应用二、教学重点1、分析测量问题的实际情景，从而找到测量距离的方法；2结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题；3、能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系；4、推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目.三、教学难点1、实际问题向数学问题转化思路的确定，即根据题意建立数学模型，画出示意图；2、能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件；3、灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题；4、利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题.四、教学过程解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确作出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解.［例题剖析］【例1】如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55 m，∠BAC=51°，∠ACB=75°．求A、B两点的距离.(精确到0.1 m)解：根据正弦定理，得ABCACACB AB ∠=∠sin sin ， ︒︒=︒-︒-︒︒=∠∠=∠∠=54sin 75sin 55)7551180sin(75sin 55sin sin 55sin sin ABC ACB ABC ACB AC AB ≈65.7(m).答:A 、B 两点间的距离为65.7米.【例2】如下图是曲柄连杆机构的示意图，当曲柄CB 绕C 点旋转时，通过连杆AB 的传递，活塞做直线往复运动，当曲柄在CB 0位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A 在A 0处，设连杆AB 长为340 mm ，曲柄CB 长为85 mm ，曲柄自CB 0按顺时针方向旋转80°，求活塞移动的距离（即连杆的端点A 移动的距离A 0A ）.（精确到1 mm ）解：（如图）在△ABC 中，由正弦定理可得34080sin 85sin sin ︒⨯==AB C BC A ≈0.246 2. 因为BC ＜AB ，所以A 为锐角.∴A =14°15′，∴ B ＝180°-（A ＋C ）＝85°45′. 又由正弦定理，9848.05485sin 340sin sin '︒⨯==C B AB AC ≈344.3(m m ). ∴A 0A =A 0C –AC =(AB +BC )-AC =(340+85)-344.3=80.7≈81(mm). 答：活塞移动的距离为81 mm ．【例3】AB 是底部B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB 的方法．解：选择一条水平基线HG ，使H 、G 、B 三点在同一条直线上．由在H 、G 两点用测角仪器测得A 的仰角分别是α、β，CD = A ，测角仪器的高是h ，那么，在△ACD 中，根据正弦定理可得)sin(sin βαβ-=a AC ,AB =A E+h=ac sinα+h=)sin(sin sin βαβα-a +h.【例4】如图，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角α=54°40′，在塔底C 处测得A 处的俯角β=50°1′．已知铁塔BC 部分的高为27.3 m,求出山高CD (精确到1 m).解：在△ABC 中,∠BCA =90°+β,∠ABC =90°-α,∠BAC =α-β,∠BAD =α. 根据正弦定理,)90sin()sin(ββα+︒=-AB BC =，所以)sin(cos )sin()90sin(βαββαβ-=-+︒=BC BC AB .在Rt △ABD 中,得BD =AB sin ∠BAD =)sin(sin cos βααβ-BC .将测量数据代入上式,得934sin 0454sin 150cos 3.27)1500454sin(0454sin 150cos 3.27'︒'︒'︒='︒-'︒'︒'︒=BD ≈177(m),CD =BD -BC ≈177-27.3=150(m).【例5】如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A 处时测得公路南侧远处一山顶D 在东偏南15°的方向上,行驶5 km 后到达B 处,测得此山顶在东偏南25°的方向上,仰角为8°,求此山的高度CD .解：在△ABC 中, ∠A =15°,∠C =25°-15°=10°,根据正弦定理,︒︒===10sin 15sin 5sin sin ,sin sin C A AB BC C AB A BC ,≈ 7.452 4(km), CD =BC ×t a n ∠DBC =BC ×t a n8°≈1 047(m).答:山的高度约为1 047米.课堂练习用同样高度的两个测角仪AB 和CD 同时望见气球E 在它们的正西方向的上空,分别测得气球的仰角α和β,已知BD 间的距离为A ,测角仪的高度为B ,求气球的高度.分析:在Rt △EG A 中求解EG,只有角α一个条件,需要再有一边长被确定,而△E AC 中有较多已知条件,故可在△E AC 中考虑E A 边长的求解,而在△E AC 中有角β,∠E AC =180°-α两角与AC =BD =A 一边,故可以利用正弦定理求解E A . 解：在△AC E 中,AC =BD =A ,∠AC E=β,∠A E C =α-β,根据正弦定理,得)sin(sin βαβ-=a AE .在Rt △A EG 中，EG=A Esinα=)sin(sin sin βαβα-a .∴EF=EG+b =b a +-)sin(sin sin βαβα.答:气球的高度是b a +-)sin(sin sin βαβα.【例6】（幻灯片放映）如图，一艘海轮从A 出发，沿北偏东75°的方向航行67.5 n mile 后到达海岛B ,然后从B 出发,沿北偏东32°的方向航行54.0 n mile 后到达海岛C .如果下次航行直接从A 出发到达C ,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到0.1°,距离精确到0.01 n mile)解：在△ABC 中，∠ABC =180°- 75°+ 32°=137°，根据余弦定理，,137cos 0.545.6720.545.67cos 22222︒⨯⨯⨯-+=∠⨯⨯-+=ABC BC AB BC AB AC ≈113.15.根据正弦定理,,sin sin ABC ACCAB BC ∠=∠,15.113137sin 0.54sin sin ︒=∠=∠AC ABC BC CAB ≈0.325 5, 所以∠CAB ≈19.0°,75°-∠CAB =56.0°.答:此船应该沿北偏东56.0°的方向航行,需要航行113.15 n mile.[知识拓展]1.如图，海中小岛A 周围38海里内有暗礁，船正向南航行，在B 处测得小岛A 在船的南偏东30°，航行30海里到C 处，在C 处测得小岛A 在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？解：在△ABC 中，BC =30，B =30°， ∠ACB =180°-45°=135°, ∴A =15°.由正弦定理知B AC A BC sin sin =,∴︒=︒30sin 15sin 30AC. ∴21561515cos 6015sin 30sin 30+=︒=︒︒=AC .∴A 到BC 所在直线的距离为AC ·sin45°=（156+152）·22=15（3+1）≈40.98＞38（海里）， ∴不改变航向，继续向南航行，无触礁的危险． 答：不改变航向，继续向南航行，无触礁的危险．2.如图，有两条相交成60°角的直线XX′、YY′，交点是O ，甲、乙分别在O X 、O Y 上，起初甲在离O 点3千米的A 点，乙在离O 点1千米的B 点，后来两人同时以每小时4千米的速度，甲沿XX′方向，乙沿Y′Y 方向步行，（1）起初，两人的距离是多少？（2）用包含t 的式子表示t 小时后两人的距离； （3）什么时候两人的距离最短？ 解：（1）因甲、乙两人起初的位置是A 、B ，则AB 2=OA 2+OB 2-2OA ·OBco s60°=32+12-2×3×1×21=7, ∴起初，两人的距离是7千米．（2）设甲、乙两人t 小时后的位置分别是P 、Q ， 则A P=4t,B Q=4t, 当0≤t≤43时，PQ 2=(3-4t)2+(1+4t)2-2(3-4t)(1+4t)co s60°=48t 2-24t+7; 当t ＞43时,PQ 2=(4t-3)2+(1+4t)2-2(4t-3)(1+4t)co s120°=48t 2-24t+7, 所以，PQ =48t 2-24t+7． （3）PQ 2=48t 2-24t+7=48(t-41)2+4, ∴当t =41时，即在第15分钟末，PQ 最短． 答：在第15分钟末，两人的距离最短．【例7】 在△ABC 中，根据下列条件，求三角形的面积S （精确到0.1 c m 2）. （1）已知A =14.8 c m,C =23.5 c m,B =148.5°; （2）已知B =62.7°,C =65.8°,B =3.16 c m;（3）已知三边的长分别为A =41.4 c m,B =27.3 c m,C =38.7 c m.解：（1）应用B ac S sin 21=，得 S=21×14.8×23.5×sin148.5°≈90.9(c m 2). (2)根据正弦定理，BCb c C c B b sin sin ,sin sin ==, BAC b A bc S sin sin sin 21sin 212==. A = 180°-(B + C )= 180°-(62.7°+ 65.8°)=51.5°,︒︒︒⨯⨯=7.62sin 5.51sin 8.65sin 16.3212S ≈4.0(c m 2). (3)根据余弦定理的推论，得4.417.3823.274.417.382cos 222222⨯⨯-+=-+=ca b a c B ≈0.769 7,227697.01B cos 1sinB -≈-=≈0.638 4,应用B ac S sin 21=得S=21×41.4×38.7×0.6384≈511.4(c m 2). 【例8】在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68 m,88 m,127 m,这个区域的面积是多少？（精确到0.1 c m 2）？ 解：设A =68 m,B =88 m,C =127m,根据余弦定理的推论，68127288681272cos 222222⨯⨯-+=-+=ca b a c B ≈0.753 2,27532.01sin -=B ≈0.657 8,应用S=21ac sin B ,S=21×68×127×0.657 8≈2 840.38(m 2). 答：这个区域的面积是2 840.38 m 2． 【例9】在△ABC 中，求证：（1）CBA c b a 222222sin sin sin +=+; （2）a 2+b 2+c 2=2（bcco s A +caco s B +abco s C ）. 证明：（1）根据正弦定理，可设k Cc B b A a ===sin sin sin , 显然 k≠0，所以左边=CBA C kB k A k c b a 222222222222sin sin sin sin sin sin +=+=+=右边. （2）根据余弦定理的推论，右边=)222(2222222222abc b a ab ca b a c ca bc a c b bc-++-++-+=(b 2+c 2- a 2)+(c 2+a 2-b 2)+(a 2+b 2-c 2)=a 2+b 2+c 2=左边. [知识拓展]如图，在四边形ABCD 中，∠ADB =∠BCD =75°，∠ACB =∠BDC =45°，DC =3，求：(1)AB 的长;(2)四边形ABCD 的面积.解：（1）因为∠BCD =75°,∠ACB =45°， 所以∠ACD =30°. 又因为∠BDC =45°，所以∠DAC =180°-（75°+ 45°+ 30°）=30°.所以AD =DC =3. 在△BCD 中，∠CBD =180°-（75°+ 45°）=60°，所以22660sin 75sin 3,60sin 75sin +=︒︒=︒=︒BD DC BD .在△ABD 中，AB 2=AD 2+ BD 2-2×AD ×BD ×co s75°= 5,所以,得AB =5.(2)S △ABD =21×AD ×BD ×sin75°=4323+.同理，S △BCD =433+.所以四边形ABCD 的面积4336+=S .备课资料1.半角定理在△ABC 中,三个角的半角的正切和三边之间有如下的关系:p c p b p a p a p A ))()((12tan----=, p c p b p a p b p B ))()((12tan----=, pc p b p a p c p C ))()((12tan----=, 其中p =21（a +b +c ). 证明:2cos2sin 2tan A A A =, 因为sin 2A ＞0,co s 2A＞0,所以bcc b a c b a bc c b a bc a c b A A 4))((4)()21(212cos 12sin 22222+--+=--=-+-=-=. 因为p =21(a +b +c ), 所以a -b +c =2(p -b ),a +b -c =2(p -c ).所以bcc p b p A ))((2sin--=. 而bc a c b A A 2)1(212cos 12cos 222-++=+=bca p p bca cb ac b bc a c b )(4))((4)(22-=-+++=-+所以p c p b p a p a p a p p c p b p bca p p bc c pb p A A A ))()((1)())(()())((2cos2sin2tan----=---=----=. 所以pc p b p a p a p A ))()((12tan----=. 同理,可得pc p b p a p b p B ))()((12tan----=, pc p b p a p c p C ))()((12tan---=-=.从上面的证明过程中,我们可以得到用三角形的三条边表示半角的正弦和半角的余弦的公式:bca p p A bc c pb p A )(2cos ,))((2sin-=--=. 同理可得.)(2cos )(2cos ,))((2sin ,))((2sinabc p p Cac b p p B ab b p a p C ac c p a p B -=-=--=--= 2.用三角形的三边表示它的内角平分线设在△ABC 中(如右图),已知三边a 、b 、c ,如果三个角A 、B 和C 的平分线分别是t A 、t B 和t C ，那么，用已知边表示三条内角平分线的公式是：)(2a p bcp cb t a -+=;)(2b p acp c a t b -+=;)(2c p abp ba t c -+=.证明：设AD 是角A 的平分线，并且BD =x ，DC =y,那么，在△ADC 中，由余弦定理，得t A 2=b 2+y 2-2byco s C ,① 根据三角形内角平分线的性质，得yxb c =, 所以yyx b b c +=+. 因为x+y=a , 所以yab bc =+. 所以cb aby +=.② 将②代入①,得C cb abb c b ab b t a cos )(2)(222+-++= =]cos )(22[)(22222C c b a a bc c b c b b +-++++. 因为bcc b a C 2cos 222-+=,所以]2)(22[)(222222222ab c b a c b a bc c b a c b b t a-+•+-++++==))(()()2()(22222a c b c b a c b bc a bc c b c b bc -++++=-+++=),()(4)(22)(22a p bcp c b a p p c b bc -•+=-••+所以)(2a p bcp cb t a -+=. 同理,可得)(2,)(2c p abp ba tb p acpc a t c b -+=-+=.这就是已知三边求三角形内角平分线的公式. 3.用三角形的三边来表示它的外接圆的半径设在△ABC 中,已知三边a 、b 、c ,那么用已知边表示外接圆半径R 的公式是))()((c p b p a p p abcR ---=.证明: 因为A bc S A a R sin 21,sin 2==,11 所以bc S A 2sin =. 所以))()((4sin 2c p b p a p p abc S abc A a R ---===. 五、课堂小结在实际问题的解决过程中，解题的一般步骤和方法，及正弦、余弦定理相关知识点的熟练运用．应用解三角形知识解决实际问题时，要分析和研究问题中涉及的三角形，及其中哪些是已知量，哪些是未知量，应该选用正弦定理还是余弦定理进行求解．应用解三角形知识解决实际问题的解题步骤：①根据题意作出示意图；②所涉及的三角形，搞清已知和未知；③选用合适的定理进行求解；④给出答案．。
冀教版数学九年级上册《26.4 解直角三角形的应用》教学设计1
冀教版数学九年级上册《26.4 解直角三角形的应用》教学设计1一. 教材分析冀教版数学九年级上册《26.4 解直角三角形的应用》是本节课的教学内容。
这部分内容是在学生已经掌握了直角三角形的性质和解直角三角形的基础上进行讲解的。
本节课的主要内容是让学生学会如何运用解直角三角形的知识解决实际问题，培养学生的实际应用能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了直角三角形的性质和解直角三角形的方法。
但是对于如何将解直角三角形的知识应用到实际问题中，可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生的实际应用能力。
三. 教学目标1.让学生掌握解直角三角形的应用方法。
2.培养学生将理论知识与实际问题相结合的能力。
3.提高学生的空间想象能力和解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：让学生学会如何运用解直角三角形的知识解决实际问题。
2.难点：如何引导学生将理论知识与实际问题相结合。
五. 教学方法1.讲授法：教师通过讲解直角三角形的性质和解直角三角形的方法，为学生提供理论知识。
2.案例分析法：教师通过分析实际问题，引导学生运用解直角三角形的知识解决问题。
3.小组讨论法：学生分组讨论，共同探讨如何将解直角三角形的知识应用到实际问题中。
4.实践操作法：学生通过动手操作，巩固所学知识。
六. 教学准备1.教师准备直角三角形的性质和解直角三角形的方法的相关资料。
2.教师准备一些实际问题，用于引导学生运用解直角三角形的知识解决问题。
3.学生准备笔记本和文具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过讲解直角三角形的性质和解直角三角形的方法，引导学生回顾所学知识。
2.呈现（15分钟）教师呈现一些实际问题，让学生尝试运用解直角三角形的知识解决问题。
教师引导学生进行分析，找出问题的关键点。
3.操练（20分钟）教师学生进行小组讨论，共同探讨如何将解直角三角形的知识应用到实际问题中。
2019—2020年最新冀教版九年级数学上册《解直角三角形的应用》教案(获奖教学设计).doc
《解直角三角形的应用》教案教学目标知识与能力：1、能够把数学问题转化成数学问题.2、能够错助于计算器进行有三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明，发展数学的应用意识和解决问题的能力.过程与方法：经历探索实际问题的过程，进一步体会三角函数在解决实际问题过程中的应用.情感态度与价值观：积极参与探索活动，并在探索过程中发表自己的见解，体会三角函数是解决实际问题的有效工具.教学重点能够把数学问题转化成数学问题，能够借助于计算器进行有三角函数的计算.教学难点能够把数学问题转化成解直角三角形问题，会正确选用适合的直角三角形的边角关系.教学过程一、问题引入，了解仰角、俯角的概念.提出问题：某飞机在空中A处的高度AC＝1500米，此时从飞机看地面目标B的俯角为18°，求A、B间的距离.提问：1、俯角是什么样的角？，如果这时从地面B点看飞机呢，称∠ABC 是什么角呢？这两个角有什么关系？2、这个△ABC是什么三角形？图中的边角在实际问题中的意义是什么，求的是什么，在这个几何图形中已知什么，又是求哪条线段的长，选用什么方法？教师通过问题的分析与讨论与学生共同学习也仰角与俯角的概念，也为运用新知识解决实际问题提供了一定的模式.二、测量物体的高度或宽度问题.1、提出老问题，寻找新方法.我们学习中介绍过测量物高的一些方法，现在我们又学习了锐角三角函数，能不能利用新的知识来解决这些问题呢.利用三角函数的前提条件是什么？那么如果要测旗杆的高度，你能设计一个方案来利用三角函数的知识来解决吗？学生分组讨论体会用多种方法解决问题，解决问题需要适当的数学模型.2、运用新方法，解决新问题.（1）从1.5米高的测量仪上测得古塔顶端的仰角是30°，测量仪距古塔60米，则古塔高（）米.（2）从山顶望地面正西方向有C、D两个地点，俯角分别是45°、30°，已知C、D相距100米，那么山高（）米.（3）要测量河流某段的宽度，测量员在洒一岸选了一点A，在另一岸选了两个点B和C，且B、C相距200米，测得∠ACB＝45°，∠ABC＝60°，求河宽（精确到0.1米）.在这一部分的练习中，引导学生正确来图，构造直角三角形解决实际问题，渗透建模的数学思想.三、与方位角有关的决策型问题1、提出问题一艘渔船正以30海里/时的速度由西向东追赶鱼群，在A处看见小岛C在北偏东60°的方向上；40nin后，渔船行驶到B处，此时小岛C在船北偏东30°的方向上.已知以小岛C为中心，10海里为半径的范围内是多暗礁的危险区.这艘渔船如果继续向东追赶鱼群，有有进入危险区的可能？2、师生共同分析问题按以下步骤时行：（1）根据题意画出示意图，（2）分析图中的线段与角的实际意义与要解决的问题，（3）不存在直角三角形时需要做辅助线构造直角三角形，如何构造？（4）选用适当的边角关系解决数学问题，（5）按要求确定正确答案，说明结果的实际意义.3、学生练习某景区有两景点A、B，为方便游客，风景管理处决定在相距2千米的A、B两景点之间修一条笔直的公路（即线段AB）.经测量在A 点北偏东60°的方向上在B点北偏西45°的方向上，有一半径为0.7千米的小水潭，问水潭会不会影响公路的修建？为什么？A ED学生可以分组讨论来解决这一问题，提出不同的方法.课堂小结1、由学生谈利用三角函数知识来解决实际问题的步骤，再次体会建立数学模型解决问题的过程.2、总结具体几种类型的图形构造直角三角形的方法：。
高中数学必修五《解三角形的应用教学设计》优秀教学设计
解三角形的应用教学设计教学课题运用正弦定理、余弦定理解决测量距离的实际问题所用教材教材名称：普通高中课程标准试验教科书数学必修第5册，第1章2节出版社：人民教育出版社教学目标1、知识与技能初步运用正弦定理、余弦定理解决测量距离、物体高度等有关的实际问题；2、过程与方法通过解三角形在实际中的一些应用,开放多种思路，引导学生发现问题，培养学生分析问题、解决问题的能力；3、情感、态度与价值观激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力教学重点结合实际，利用测量工具,解决生活中的测量问题教学难点能观察较复杂的图形,从中找到解决问题的关键课时安排1课时教学用具多媒体教学方法探索、讲解、讨论教学环节教学过程师生活动设计意图复习引入正弦定理可以解决的问题：①已知三角形的两角和一边，求另外的两边和一角；②已知三角形的两边和其中一边的对角，求另外的两角和一边.余弦定理可以解决的问题：①已知三角形的两边和一角，求另外的两角和一边.教师提问学生思考作答应用解三角形知识解决实际问题时，要分析和研究问题中涉及的三角形，它的哪些元素是已知的，哪些元素是未知的．应该选用正弦定理还是余弦定理进行求解．为本节课重点知识的学习做一些知识准备.②已知三角形的三边，求任意一角.问题一：如何测量距离1.两点间相互不可到达，但测量者可以到达①四川省道303线映秀到卧龙段在5·12特大地震中损毁严重，尤其是从烧火坪到耿达的隧道需要重建，请你计算一下这段隧道的长度？AB2=a2+b2-2abcosC 学生分组讨论解决方案，由最先解答出来的小组派代表作答.抛砖引玉，使学生渐入情境。
解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解联系时事，激发学生学习热情。
2.两点中有一点不可到达②如图，设A，B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离．测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC＝60 m，∠BAC＝75°，∠BCA＝45°，求A，B两点间的距离．学生分组讨论解决方案，由最先解答出来的小组派代表作答.第二类测距问题，使学生体验如何将实际问题转化为数学问题，从而得到解决。
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解三角形应用举例
主标题：解三角形应用举例
副标题：为学生详细的分析解三角形应用举例的高考考点、命题方向以及规律总结。
关键词：距离测量，高度测量，仰角，俯角，方位角，方向角
难度：3
重要程度：5
考点剖析：
能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．
命题方向：
1．测量距离问题是高考的常考内容，既有选择、填空题，也有解答题，难度适中，属中档题．
2．高考对此类问题的考查常有以下两个命题角度：
(1)测量问题；
(2)行程问题．
规律总结：
1个步骤——解三角形应用题的一般步骤
2种情形——解三角形应用题的两种情形
(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．
(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．
2个注意点——解三角形应用题应注意的问题
(1)画出示意图后要注意寻找一些特殊三角形，如等边三角形、直角三角形、等腰三角形等，这样可以优化解题过程．
(2)解三角形时，为避免误差的积累，应尽可能用已知的数据(原始数据)，少用间接求出的量．
知识梳理
1．距离的测量
背景可测元素图形目标及解法
两点均可到达a，b，α
求AB：AB＝
a2＋b2－2ab cos α
只有一点可到达b，α，β
求AB：(1)α＋β＋B＝π；
(2)
AB
sin β＝
b
sin B
两点都不可到达a，α，β，
γ，θ
求AB：(1)△ACD中，用
正弦定理求AC；
(2)△BCD中，用正弦定理
求BC；
(3)△ABC中，用余弦定理
求AB
2.高度的测量
背景可测元素图形目标及解法
底部可
到达
a，α求AB：AB＝a tan_α
底部不可到达a，α，β
求AB：(1)在△ACD中用正弦
定理求AD；(2)AB＝AD sin_β
3.实际问题中常见的角
(1)仰角和俯角
在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角(如图1)．。