《解三角形应用举例》教学设计3
沪科版数学九年级上册23.2《解直角三角形及其应用》(第3课时)教学设计
沪科版数学九年级上册23.2《解直角三角形及其应用》（第3课时）教学设计一. 教材分析《解直角三角形及其应用》是沪科版数学九年级上册第23.2节的内容，主要介绍了解直角三角形的知识。
本节内容是在学生已经掌握了锐角三角函数和直角三角形的性质的基础上进行学习的，对于学生来说，这部分内容相对较难，需要学生有一定的抽象思维能力。
教材通过具体的例题和练习题，帮助学生理解和掌握解直角三角形的方法和应用。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于锐角三角函数和直角三角形的性质有一定的了解。
但是，解直角三角形这部分内容相对较抽象，需要学生具备较强的逻辑思维能力和空间想象能力。
在教学过程中，需要关注学生的学习情况，对于理解有困难的学生，要给予耐心的指导和帮助。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生理解和掌握解直角三角形的方法和应用。
2.过程与方法目标：通过自主学习和合作交流，培养学生的抽象思维能力和空间想象能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：解直角三角形的方法和应用。
2.难点：对解直角三角形的理解和应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过设置具体的问题情境，引导学生主动探究和解决问题。
2.合作学习法：学生进行小组讨论和合作交流，共同解决问题。
3.引导发现法：教师引导学生自主学习，发现和总结解直角三角形的方法和规律。
六. 教学准备1.教学课件：制作精美的教学课件，帮助学生直观地理解和掌握解直角三角形的方法。
2.练习题：准备适量的练习题，巩固学生的学习效果。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一个实际的直角三角形问题，引导学生思考如何解决这个问题，从而引出本节课的主题——解直角三角形。
2.呈现（10分钟）教师通过讲解和示范，向学生介绍解直角三角形的方法和步骤，并通过具体的例题进行讲解，让学生理解和掌握解直角三角形的方法。
高中数学教案】人教A版必修5第一章1.2《解三角形应用举例》教案
《解三角形应用举例》教案一、教学目标1.知识与技能能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题.2.过程与方法（1）通过解决“底部不可到达的物体高度测量”的问题，初步掌握将实际问题转化为解斜三角形的问题的方法.（2）进一步提高利用正弦定理、余弦定理解斜三角形的能力，提高运用数学知识解决实际问题的能力.3.情感、态度与价值观进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力二、教学重点和难点教学重点：结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题.教学难点：能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件.教学关键：将实际问题中的高度问题转化为数学问题.教学突破方法：通过分析实践、自主探究、合作交流等一系列的寻求问题解决方法的活动，讨论解决方法，步步改进方法，探求最佳方法.三、教法与学法导航教学方法：本节课是解三角形应用举例的延伸.采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架.通过3道例题的安排和练习的训练来巩固深化解三角形实际问题的一般方法.教学形式要坚持“引导——讨论——归纳”，目的不在于让学生记住结论，更多的要养成良好的研究、探索习惯.作业设计思考题，提供学生更广阔的思考空间.学习方法：学生通过数学建模，自主探究、合作交流，在实践中体验过程，在过程中感受应用，在交流中升华.四、教学过程1.创设情境，导入新课提问：现实生活中，人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？今天我们就来共同探讨这方面的问题.2.主题探究，合作交流例1 如图1，AB 是底部B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB 的方法.图1分析：求AB 长的关键是先求AE ，在△ACE 中，如能求出点C 到建筑物顶部A 的距离CA ，再测出由点C 观察A 的仰角，就可以计算出AE 的长.解：选择一条水平基线HG ，使H 、G 、B 三点在同一条直线上.在H 、G 两点用测角仪器测得A 的仰角分别是α、β，CD =a ，测角仪器的高是h ，那么，在△ACD 中，根据正弦定理可得： )sin(sin βαβ-=a AC ， h a h AC h AE AB +-=+=+=)sin(sin sin sin βαβαα. 例 2 如图2，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角0454'︒=α，在塔底C 处测得A 处的俯角150'︒=β.已知铁塔BC 部分的高为27.3 m ，求出山高CD （精确到1m ）.图2教师：根据已知条件，大家能设计出解题方案吗（给时间给学生讨论思考）？若在△ABD 中求CD ，则关键需要求出哪条边呢？学生：需求出BD 边.教师：那如何求BD 边呢？学生：可首先求出AB 边，再根据∠BAD=α求得.解:在△ABC 中，∠BCA =90°+β，∠ABC =90°-α，∠BAC =αβ-，∠BAD =α.根据正弦定理， )sin(βα-BC =)90sin(β+︒AB.所以 AB =)sin()90sin(βαβ-+︒BC =)sin(cos βαβ-BC .在Rt △ABD 中，得：BD =AB sin ∠BAD =)sin(sin cos βααβ-BC .将测量数据代入上式，得：BD =)1500454sin(0454sin 150cos 3.27'-'''︒︒︒︒ =934sin 0454sin 150cos 3.27'''︒︒︒≈177.4（m ）.CD =BD -BC ≈177-27.3=150（m ）.学生：山的高度约为150 m.教师：有没有别的解法呢？学生：若在.△ACD 中求CD ，可先求出AC .教师：分析得很好，请大家接着思考如何求出AC ？学生：同理，在△ABC 中，根据正弦定理求得.（解题过程略）例3 如图3，一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A 处时测得公路南侧远处一山顶D 在东偏南15°的方向上，行驶5km 后到达B 处，测得此山顶在东偏南25°的方向上，仰角为8°，求此山的高度CD （精确到1m ）.图3教师：欲求出CD ，大家思考在哪个三角形中研究比较适合呢？学生：在△BCD 中教师：在△BCD 中，已知BD 或BC 都可求出CD ，根据条件，易计算出哪条边的长？ 学生：BC 边解:在△ABC 中， ∠A =15°，∠C = 25°-15°=10°，根据正弦定理，A BC sin =CAB sin ， BC =C A AB sin sin =︒︒10sin 15sin 5≈7.452 4（km ）. tan tan81047(m)CD BC DBC BC =⨯∠≈⨯︒≈答：山的高度约为1047m.教材第15页练习第1、2、3题.3.小结利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化.4.课外作业（1）教材第19、20页习题1.2 A 组第6，7，8题（2）为测某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距20m 的楼的楼顶处测得塔顶A 的仰角为30︒，测得塔基B 的俯角为45°，则塔AB 的高度为多少m ？答案：20+3320m。
《解直角三角形》 教学设计
《解直角三角形》教学设计一、教学目标1、知识与技能目标理解直角三角形中五个元素（三条边和两个锐角）的关系。
掌握解直角三角形的两种情况：已知两条边、已知一条边和一个锐角。
能够运用三角函数解直角三角形，并解决实际问题。
2、过程与方法目标通过探究直角三角形元素之间的关系，培养学生的逻辑推理能力和数学思维能力。
经历解直角三角形的过程，提高学生分析问题和解决问题的能力。
3、情感态度与价值观目标让学生在解决实际问题的过程中，感受数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣。
通过合作学习，培养学生的团队合作精神和交流能力。
二、教学重难点1、教学重点直角三角形中五个元素之间的关系。
解直角三角形的方法和步骤。
2、教学难点正确选择三角函数解直角三角形。
灵活运用解直角三角形的知识解决实际问题。
三、教学方法讲授法、讨论法、练习法四、教学过程1、导入新课通过展示一些与直角三角形相关的实际问题，如测量建筑物的高度、计算斜坡的长度等，引出解直角三角形的概念。
例如：在建筑施工中，工人需要知道一个直角三角形的斜边和一个锐角，才能确定另外两条直角边的长度，从而进行施工操作。
2、讲授新课（1）直角三角形的元素引导学生回顾直角三角形的定义和性质，指出直角三角形的五个元素：三条边（斜边c、两条直角边a 和b）和两个锐角（∠A 和∠B）。
（2）直角三角形元素之间的关系勾股定理：a²＋ b²＝ c²锐角三角函数：sin A ＝ a/c，cos A ＝ b/c，tan A ＝ a/b（3）解直角三角形的定义让学生理解解直角三角形就是由已知元素求出未知元素的过程。
（4）解直角三角形的两种情况已知两条边已知一条边和一个锐角结合具体例子，详细讲解解直角三角形的方法和步骤。
例如：已知直角三角形的两条直角边分别为 3 和 4，求斜边和两个锐角的度数。
首先，根据勾股定理求出斜边 c：c ＝√（3²＋ 4²) ＝ 5然后，根据三角函数求出锐角：sin A ＝ 3/5，所以∠A ≈ 3687°cos B ＝ 3/5，所以∠B ≈ 5313°3、课堂练习安排一些基础的解直角三角形练习题，让学生独立完成，教师巡视并进行个别指导。
华师大版数学九年级上册《解直角三角形》教学设计3
华师大版数学九年级上册《解直角三角形》教学设计3一. 教材分析华师大版数学九年级上册《解直角三角形》是学生在初中阶段最后一节关于三角形的课程，学生在之前的学习中已经掌握了锐角三角形和钝角三角形的性质以及三角形的分类。
本节课主要让学生了解直角三角形的性质，学会用勾股定理计算直角三角形的边长，并用三角函数表示直角三角形的边角关系。
教材通过丰富的情境图和实例，激发学生的学习兴趣，引导学生探究直角三角形的性质，培养学生的动手操作能力和数学思维能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识，对三角形有了一定的了解。
但是部分学生对三角形性质的掌握不够扎实，对勾股定理的理解和应用还不够熟练。
此外，学生在学习过程中往往存在对理论知识掌握较好，但实际操作能力较弱的问题。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生运用已有的知识解决实际问题，提高学生的动手操作能力和解决问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握直角三角形的性质，学会用勾股定理计算直角三角形的边长，会用三角函数表示直角三角形的边角关系。
2.过程与方法：通过观察、操作、探究等活动，培养学生合作交流、归纳总结的能力，提高学生解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观：让学生在解决实际问题的过程中，体验数学学习的乐趣，增强学生对数学学科的学习兴趣。
四. 教学重难点1.重点：让学生掌握直角三角形的性质，会用勾股定理计算直角三角形的边长。
2.难点：让学生会用三角函数表示直角三角形的边角关系。
五. 教学方法1.情境教学法：通过情境图和实例，激发学生的学习兴趣，引导学生探究直角三角形的性质。
2.启发式教学法：在教学过程中，教师提问引导学生思考，激发学生的求知欲，培养学生独立思考的能力。
3.合作学习法：学生进行小组讨论，培养学生的团队协作能力和归纳总结能力。
4.实践操作法：让学生动手操作，解决实际问题，提高学生的动手能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作华师大版数学九年级上册《解直角三角形》的教学课件。
九年级数学下册《解直角三角形的应用》教学设计
解直角三角形的应用教学目标：1、熟练解直角三角形的基础知识，构建知识结构；会用解直角三角形的有关知识解决实际问题；通过构建数学模型，将实际问题数学化。
2、通过将实际问题模型化的过程，进一步把数与形结合起来，提高分析问题与解决问题的能力；通过将实际问题数学化，建立数学模型解决实际问题的过程，提高运用数学知识解决实际问题的能力，增强数学的应用意识。
3、继续渗透转化和数形结合的思想，进一步体会模型化的思想方法，培养观察、思考、归纳的良好思维习惯，增强学习信心。
教学重点：会用解直角三角形的有关知识解决实际问题教学难点：会将实际问题数学化，能建立恰当的数学模型解决实际问题。
教学过程一、课前热身1、如图，AC是电杆的一根拉线，测得BC=4米，∠ACB=45°，则AC的长为（）4米A．8米B．4米C．6米D．22、（2015·南充）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向，距离灯塔2海里的点A处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，海轮航行的距离AB长是（）A．2海里B．2sin55°海里C．2cos55°海里D．2tan55°海里第1题图第2题图第3题图3、（2016·长沙）如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B 处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为120m，则这栋楼的高度为（）A．160m B．120m C．300m D．160m （设计意图：通过三道中考原题引入课题，带学生进入用直角三角形的相关知识解决世实际问题的情境中去，唤醒学生对于解直角三角形相关知识的记忆）二、例题解析例1 为了弘扬“社会主义核心价值观”，市政府在广场树立公益广告牌，如图所示，为固定广告牌，在两侧加固钢缆，已知钢缆底端D距广告牌立柱距离CD为3米，从D点测得广告牌顶端A点和底端B点的仰角分别是60°和45°．（1）求公益广告牌的高度AB；（2）求加固钢缆AD和BD的长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）（设计意图：通过典型例题进入用解双直角三角形解决实际问题，构建数学模型，将实际问题转化为数学问题，归纳解同侧双直角三角形的一般做法，规范解题格式）例2 如图，海面上以点A为中心的4海里内有暗礁，在海面上点B处有一艘海监船，欲到C处去执行任务，若∠ABC=45°，∠ACB=37°，B，C两点相距10海里，如果这艘海监船沿BC直接航行，会有触礁的危险吗？请说明理由．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）（设计意图：通过典型例题构建解异侧双直角三角形、不含特殊角的直角三角形的一般方法，学会添加辅助线，并保证计算的准确性。
《解三角形的实际应用举例》教学设计讲课稿
《解三角形的实际应用举例》教学设计课题：解三角形的实际应用举例一、教材分析本节课是学习了正弦定理、余弦定理及三角形中的几何计算之后的一节实际应用课，可以说是为正弦定理、余弦定理的应用而设计的，因此本节课的学习具有理论联系实际的重要作用。
在本节课的教学中，用方程的思想作支撑，以具体问题具体分析作指导，引领学生认识问题、分析问题并最终解决问题。
二、教学目标1、知识与技能①能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解测量的方法和意义②会在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法，搞清利用解斜三角形可解决的各类应用问题和基本图形和基本等量关系，理解各种应用问题中的有关名词、术语（如：坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等）2、过程与方法①采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架②通过解三角形的应用的学习，提高解决实际问题的能力；通过解三角形在实际中的应用，要求学生体会具体问题可以转化为抽象的数学问题，以及数学知识在生产、生活实际中所发挥的重要作用3、情感态度价值观①激发学生学习数学的兴趣，并体会数学的应用价值收集于网络，如有侵权请联系管理员删除②培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力③进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力三、教学重点、难点1、重点：①实际问题向数学问题的转化②掌握运用正、余弦定理等知识方法解三角形的方法2、难点：实际问题向数学问题转化思路的确定四、教学方法与手段本节课的重点是正确运用正弦定理、余弦定理解斜三角形，而正确运用两个定理的关键是要结合图形，明确各已知量、未知量以及它们之间的相互关系。
通过问题的探究，要让学生结合实际问题，画出相关图形，学会分析问题情景，确定合适的求解顺序，明确所用的定理；其次，在教学中让学生分析讨论，在方程求解繁与简的基础上选择解题的思路，以提高学生观察、识别、分析、归纳等思维能力。
28.2.2 解直角三角形应用举例(第3课时)
l
α
h
修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要 注明斜坡的倾斜程度.
坡面的铅垂高度（ h ）和水平长度（ l ）的比 h 叫做坡面坡度（或坡比）. 记作i , 即 i = . l 坡度通常写成1∶m的形式，如 i=1∶6.坡面与 水平面的夹角叫做坡角，记作a，有
i＝ h = tan a. 显然，坡度越大，坡角a就越大，坡面就越陡.
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案．
当堂反馈
1.如图1，已知楼房AB高为50m，铁塔塔基距楼房地 100 3 基间的水平距离BD为100m，塔高CD为 ( 50) m 3 ，则下面结论中正确的是（ C ） A．由楼顶望塔顶仰角为60° B．由楼顶望塔基俯角为60° C．由楼顶望塔顶仰角为30° D．由楼顶望塔基俯角为30°
l h α
l
h
α
与测坝高相比，测山高的困难在于；坝坡是“直”的，而山坡 是“曲”的，怎样解决这样的问题呢？
我们设法“化曲为直，以直代曲”． 我们可以把山坡
“化整为零”地划分为一些小段，如图表示其中一部分小
段，划分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是“直” 的，可以量出这段坡长l1，测出相应的仰角a1，这样就可以 算出这段山坡的高度h1=l1sina1.
l
例7. 如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD（图中i=1:3是指坡面 的铅直高度DE与水平宽度CE的比），根据图中数据求：
（1）坡角a和β;
（2）坝斜坡AB的长（精确到0.1m） 解：（1）在Rt△AFB中，∠AFB=90°
AF tan i 11.5 ： BF
A 6m
D i=1:3 β C
i=1:1.5 B α
33.7
§3解三角形的实际应用举例
解三角形的实际应用举例一 学习目标1.明确仰角、俯角、方位角的概念，并能正确作图、读图，提高运用正余弦定理解决实际问题的能力.2.在解三角形的实际应用问题中，进一步体会数学建模的思想，掌握数学建模的方法.3.体验数学知识来源于实际生活，体验数学在实际问题中的应用. 重点:构建数学模型,解决实际问题.难点:数学建模的过程及解三角形的运算.二 问题导学用15分钟仔细研读课本p58-61内容并思考回答下列问题1.怎样测量一个底部不能到达的建筑物的高度？怎样选择观测点？怎样测量求解？2.怎样测量地面上两个不能到达的地方之间的距离（比如大海中两个海岛的距离）？怎样选择观测点？怎样测量求解？3. 实际问题：（1）有关概念 ：仰角与俯角：水平视线和目标视线的夹角.方位角 :一般为指北方向线顺时针到目标方向线的水平角. 坡角 :坡面与水平面的夹角.（2）解三角形的一般思路：①读懂题意,理解问题的实际背景,理解题中的有关名词的含义，如坡度、仰角、俯角、方位角等.②根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型,选择正弦定理、余弦定理等有关知识求解.③将三角形的解还原为实际意义,检验解出的答案是否具有实际意义，对解进行取舍.4. 正弦定理及其变形和余弦定理及其变形小试牛刀1．如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ， ∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A 、B 两点的距离为( ) A ．50 2 m B ．50 3 m C ．25 2 m D.2522 m2. 如下图，为了测量隧道AB 的长度，给定下列四组数据，测量应当用数据( )A.α、a 、bB.α、β、aC.a 、b 、γD.α、β、γ3. 一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这只船的速度是每小时( )A ．5海里B ．53海里C ．10海里D ．103海三 合作探究例1：怎样测量一个底部不能到达的建筑物的高度？要测量底部不能到达的电视塔AB 的高度，在C 点测得塔顶A 的仰角是450，在D 点测得塔顶A 的角是300，并测得水平面上的cm CD BCD 40,120==∠ ，求电视塔的高度。
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《解三角形应用举例》教学设计（3）本节课补充了三角形新的面积公式，巧妙设疑，引导学生证明，同时总结出该公式的特点，循序渐进地具体运用于相关的题型。
另外本节课的证明题体现了前面所学知识的生动运用，教师要放手让学生摸索，使学生在具体的论证中灵活把握正弦定理和余弦定理的特点，能不拘一格，一题多解。
只要学生自行掌握了两定理的特点，就能很快开阔思维，有利地进一步突破难点师：以前我们就已经接触过了三角形的面积公式，今天我们来学习它的另一个表达公式。
在 ABC 中，边BC. CA. AB 上的高分别记为h a . h b . h c ，那么它们如何用已知边和角表示？生：h a =bsinC=csinB h b =csinA=asinC h c =asinB=bsinaA师：根据以前学过的三角形面积公式S=21ah,应用以上求出的高的公式如h a =bsinC 代入，可以推导出下面的三角形面积公式，S=21absinC ，大家能推出其它的几个公式吗？生：同理可得，S=21bcsinA, S=21acsinB 一、【学习目标】1. 能够运用正弦定理. 余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题, 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用；2. 让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验愉悦的成功体验。
【教学重难点】教学重点：正弦定理. 余弦定理的实际运用.教学难点：运用相关知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，掌握常用的测量相关术语 【教学课时】 1课时二、【教学学内容和要求及教学过程】阅读教材第16—18页内容，然后回答问题（三角形的面积公式和恒等变形）【范例讲解】例 1. 在∆ABC 中，根据下列条件，求三角形的面积S （精确到0.1cm 2）（1）已知a=14 cm, c=24 cm, B=150︒; （2）已知B=60︒,C=45︒,b=4 cm;（3）已知三边的长分别为a=3 cm,b=4 cm,c=6 cm分析：这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面积。
解：略例 2. 如图,在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m,88m,127m,这个区域的面积是多少？（精确到0.1cm 2）？思考：你能把这一实际问题化归为一道数学题目吗？本题可转化为已知三角形的三边，求角的问题，再利用三角形的面积公式求解。
解：设a=68m,b=88m,c=127m,根据余弦定理的推论，cosB=ca b a c 2222-+ =6812728868127222⨯⨯-+≈0.7532sinB=≈-27532.010.6578 应用S=21acsinB S ≈21⨯68⨯127⨯0.6578≈2840.38(m 2) 答：这个区域的面积是2840.38m 2。
变式练习1：已知在∆ABC 中，∠B=30︒,b=6,c=63,求a 及∆ABC 的面积S 提示：解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数。
答案：a=6,S=93;a=12,S=183 例3. 在∆ABC 中，求证：（1）;sin sin sin 222222CBA c b a +=+（2）2a +2b +2c =2（bccosA+cacosB+abcosC ）分析：这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，观察式子左右两边的特点，用正弦定理来证明 证明：（1）根据正弦定理，可设A a sin =B b sin = Ccsin = k显然 k ≠0，所以左边=C k B k A k c b a 222222222sin sin sin +=+=CBA 222sin sin sin +=右边 （2）根据余弦定理的推论，右边=2(bc bc a c b 2222-++ca ca b a c 2222-++ab abc b a 2222-+)=(b 2+c 2- a 2)+(c 2+a 2-b 2)+(a 2+b 2-c 2) =a 2+b 2+c 2=左边 变式练习2：判断满足sinC =BA BA cos cos sin sin ++条件的三角形形状提示：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边” （解略）直角三角形【教学效果】：运用正弦定理. 余弦定理解决恒等变形问题. 三、 【作业】1. 必做题：教材p24复习参考题；2. 选做题：总结本节知识点到作业本上. 四、 【小结】利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简并考察边或角的关系，从而确定三角形的形状。
特别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以两者混用。
五、 【教学反思】要让学生学会学习. 学会自学很重要.应用题的讲解教师只讲思路，学生理解，这样学生会学得更好。
小结与复习一、 选择题：1. ΔABC 中,a=1,b=3, ∠A=30°,则∠B 等于 （ ） A ．60° B ．60°或120°C ．30°或150°D ．120°2. 符合下列条件的三角形有且只有一个的是 （ ）A ．a=1,b=2 ,c=3B ．a=1,b=2 ,∠A=30°C ．a=1,b=2,∠A=100° C ．b=c=1, ∠B=45°3. 在锐角三角形ABC 中，有（ ）A ．cosA>sinB 且cosB>sinA B ．cosA<sinB 且cosB<sinAC ．cosA>sinB 且cosB<sinAD ．cosA<sinB 且cosB>sinA 4. 若(a+b+c)(b+c －a)=3abc,且sinA=2sinBcosC, 那么ΔABC 是 （ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形5. 设A. B. C 为三角形的三内角,且方程(sinB －sinA)x 2+(sinA －sinC)x +(sinC －sinB)=0有等根，那么角B （ ）A ．B>60°B ．B ≥60°C ．B<60°D ．B ≤60°6. 满足A=45,c=6 ,a=2的△ABC 的个数记为m,则a m 的值为（ ）A ．4B ．2C ．1D ．不定7. 如图：D,C,B 三点在地面同一直线上,DC=a,从C,D 两点测得A 点仰角分别是β, α(α<β),则A 点离地面的高度AB 等于 （ ）A ．)sin(sin sin αββα-aB ．)cos(sin sin βαβα-⋅aC ．)sin(cos sin αββα-aD ．)cos(sin cos βαβα-aABD Cαβ8. 两灯塔A,B 与海洋观察站C 的距离都等于a(km), 灯塔A 在C 北偏东30°,B 在C 南偏东60°,则A,B 之间的相距（ ）A ．a (km)B ．3a(km)C ．2a(km)D ．2a (km) 二、 填空题：9. A 为ΔABC 的一个内角,且sinA+cosA=127, 则ΔABC 是______三角形. 10. 在ΔABC 中，A=60°, c:b=8:5,内切圆的面积为12π,则外接圆的半径为_____.11. 在ΔABC 中，若S ΔABC =41(a 2+b 2－c 2),那么角∠C=______. 12. 在ΔABC 中，a =5,b = 4,cos(A －B)=3231,则cosC=_______.三. 解答题：13. 已知a ＝33，c ＝2，B ＝150°，求边b 的长及S △．14. 已知ΔABC 三个内角A. B. C 满足A+C=2B,A cos 1+ Ccos 1=－ B cos 2 , 求2cos CA 的值.15. 二次方程ax 2－2bx+c=0,其中a. b. c 是一钝角三角形的三边,且以b 为最长.①证明方程有两个不等实根； ②证明两个实根α,β都是正数； ③若a=c,试求|α－β|的变化范围.16. 海岛O 上有一座海拨1000米的山,山顶上设有一个观察站A,上午11时,测得一轮船在岛北60°东C 处,俯角30°,11时10分,又测得该船在岛的北60°西B 处,俯角60°. ①这船的速度每小时多少千米？②如果船的航速不变,它何时到达岛的正西方向？此时所在点E 离岛多少千米？参考答案一、 BDBBDAAC 二、 （9）钝角 （10）3314 （11）4π （12）81三、 13． b ＝7，S △＝233（14）分析：︒=+︒=∴=+120,60,2C A B B C A 再代入三角式解得A 或 C. 解：︒=+︒=∴=-︒∴=+120.60,2180,2C A B B B B C A .∴由已知条件化为：22cos )120cos(.22)120cos(1cos 1-=+-︒∴-=-︒+A A A A),120cos(cos A A -︒设ααα-︒=+︒==-60,60,2C A CA 则.代入上式得：)60cos(α-︒)60cos()60cos(22)60cos(ααα-︒+︒-=+︒+.化简整理得023cos 2cos 242=-+αα222cos ,22cos ,0)3cos 22)(2cos 2(=+=∴=+-⇒C A 即ααα. （15）ac b ac b B ac c a b B 424)2(,cos 20cos 122222-=--=∆-+=<<-∴且.0cos 4)(24)cos 2(2222>--=--+=B ac c a ac B ac c a （其中0cos 40)(22>-≥-B ac c a 且∴方程有两个不相等的实根. ②,0,02>=>=+aca b αββα ∴两实根α. β都是正数.③a=c 时，=-=-+=-+=-∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+424)(2)(,12222222a b a a c a bαββααβββααββα2||0,4cos 40,0cos 1,cos 44)cos 2(22222<-<<-<∴<<--=--+βα因此B B B a a B ac c a .（16）分析：这是一个立体的图形，要注意画图和空间的简单感觉. 解：①如图：所示. OB=OA 3330tan = (千米)，3=OC （千米）则313120cos 222=︒⋅-+=OC OB OC OB BC （千米）3926010313=÷=∴v 船速（千米/小时） ②由余弦定理得：=∠=∠∴=⨯-+=∠OBC EBO BC OB OC BC OB OBC sin sin ,261352cos 222=︒+∠-︒=∠-=∠=-)]30(180sin[sin ,26135cos ,26393)26135(12EBO OEB EBO .131330sin cos 30cos sin )30sin(=︒⨯∠+︒⨯∠=︒+∠EBO EBO EBO 再由正弦定理，得OE=1.5（千米），5),(639==vBE BE 千米（分钟）.答：船的速度为392千米/小时；如果船的航速不变，它5分钟到达岛的正西方向，此时所在点E 离岛1.5千米.。