2019-2020学年山东省泰安市宁阳一中高二(上)期中数学试卷(PDF版 含答案)
（Ⅰ）求数列{an} ，{bn} 的通项公式；
（Ⅱ）设 cn
1 bn bn2
，数列{cn} 的前
n
项和为 Tn
，证明：
1 5
Tn
1 3
．
23．已知椭圆 C :
y2 a2
x2 b2
1(a
b 1) 的离心率为
2 ，其上焦点到直线 bx 2ay 2
20的
距离为 2 ． 3
（1）求椭圆 C 的方程；
14 ． 4
故选： C ． 6．已知 a R ，则“ 1 1 ”是 | a | 1 的 (
a A．充分不必要条件
) B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解答】解：a R ，由 | a | 1 a 1 ，或 a 1 ． “ 1 1 ”，反之不成立．例如取 a 1 ．
B． (1, )
C． (1, 2)
D． (1 ,1) 2
4．已知不等式 (x y)( 1 a) 9 对任意正实数 x ， y 恒成立，则正实数 a 的最小值为 (
)
xy
A．2
B．4
C．6
D．8
5．已知椭圆 E :
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
右焦点为
F (3, 0) 过点
F
2．设 x R ，则“ 2x2 x 1 0 ”是“ x 1 ”的 (
)
2
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．已知方程 x2 y2 1 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则实数 k 的取值范围是 (
)
2 k 2k 1
A． (1 , 2) 2
1 S1
1 S2
1 Sn
2n n 1
，则数列
{an
}
的通项公式
an
．
16．已知斜率为 k 的直线 L 与椭圆 C : x2 y2 1 相交于 A ， B 两点，若线段 AB 的中点为 63
M (1,1) ，则 k 的值是 ．
17．已知 a ， b R ，且 a b 3 ab ，则 ab 的最小值是 ， a b 的最小值是 ．
右焦点为
F (3, 0) 过点
F
的直线交 E
于
A，B
两点，若
AB 的中点坐标为 (1, 1) ，则 E 的离心率是 (
)
2
A． 3 4
B． 13 4
C． 14 4
D． 15 4
【解答】解：设 A(x1 ， y1) ， B(x2 ， y2 ) ．
可得：
x12 a2
y12 b2
1
，
x22 a2
y22 b2
1．
相减可得：
( x1
x2 )(x1 a2
x2 )
( y1
y2 )( y1 b2
y2 )
0
．
又 x1
x2
2 ， y1
y2
1，
y1 x1
y2 x2
1 0 2 1 3
1 4
．
2 a2
1 4b2
0．
b2 1 ， a2 8
e c a
1
b2 a2
只要求 (x y )(1 a ) 的最小值 9 xy
1 a y ax a 2 a 1 xy
a 2 a 1 9
a 2 或 a 4 （舍去），
所以正实数 a 的最小值为 4，
故选： B ．
5．已知椭圆 E :
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
中的 ( )
A．8
B．9
C．10
D．11
三、填空题：本题共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分．
14．已知椭圆 C 的中心在坐标原点，长轴长在 y 轴上，离心率为 3 ，且 C 上一点到 C 的两 2
个焦点的距离之和是 12，则椭圆的方程是 ．
15．已知数列 {an} 的的前 n 项和为 Sn ，且
则 1 9 的最小值为 (
)
mn
A．1
B．2
C．3
D．4
【解答】解：正项等比数列{an} 满足： a5 a4 2a3 ，
a1q4 a1q3 2a1q2 ，
整理，得 q2 q 2 0 ，又 q 0 ，解得， q 2 ，
存在两项 am ， an 使得 am an 8a1 ，
11．设等比数列{an} 的公比为 q ，其前 n 项和为 Sn ，前 n 项之积为 Tn ，并且满足条件 a1 1 ，
a2016 a2017
1，
a2016 a2017
1 1
0 ，下面结论中错误的是 (
)
A． S2016 S2017
B． a2016 a2018 1 0
C． T2017 是数列{Tn} 中的最大值
（2）过点 P(1 , 0) 的直线 l 交椭圆 C 于 A ， B 两点．试探究以线段 AB 为直径的圆是否过定 3
点？若过，求出定点坐标；若不过，请说明理由．
2019-2020 学年山东省泰安市宁阳一中高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选这题：本题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1．命题“ x R ， ex x ”的否定是 ( )
当且仅当 n 9m 取等号，但此时 m ， n N* ．又 m n 8 ， mn
所以只有当 m 2 ， n 6 时，取得最小值是 2．
故选： B ．
9．已知 a 0 ，则 a 8 的最小值为 (
)
2a 1
A． 2 2
B．4
C． 5 2
D． 7 2
【解答】解：
a
0
，则
)
2
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解答】解：由 2x2 x 1 0 得 (x 1)(2x 1) 0 ，
得 x 1 或 x 1 ， 2
则“ 2x2 x 1 0 ”是“ x 1 ”的必要不充分条件， 2
故选： B ．
C． 5 2
10．已知数列 {an} 满足 a1
60 ， an1
an
2n ，则
an n
的最小值为 (
A． 29 2
B． 2 60
C． 29 4
D． 7 2
) D． 102
7
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 4 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得 4 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分．
a
2
“ 1 1 ”是 | a | 1 的必要不充分条件． a
故选： B ．
7．已知数列 {an} 满足 a1 1 ， an 0 ， an1 an 1 ，那么 an 32 成立的 n 的最大值为 ( )
A．4
B．5
C．6
D．7
【解答】解：数列 {an} 满足 a1 1 ， an 0 ， an1 an 1 ，
A．4
B．5
C．6
D．7
8．已知正项等比数列 an(n N ) 满足 a5 a4 2a3 ，若存在两项 am ，an 使得 am an 8a1 ，
则 1 9 的最小值为 (
)
mn
A．1
B．2
C．3
D．4
9．已知
a
0
，则
a
8 2a
1
的最小值为
(
)
A． 2 2
B．4
所以：数列{ an } 是以 1 为首项 1 为公差的等差数列．
所以 an 1 (n 1) n （首项符合通项），
故： an n ，
所以： an n2 ，
所以： an 32 ，
整理得 n2 32 ，
所以： n 的最大值为 5，
故选： B ．
8．已知正项等比数列 an(n N ) 满足 a5 a4 2a3 ，若存在两项 am ，an 使得 am an 8a1 ，
（2）若 p 是 q 的必要不充分条件，求实数 a 的取值范围．
19．已知数列 {an} 的前 n 项和为 Sn ，且 2Sn 3 3an ． （1）求数列{an} 的通项公式； （2）若 bn an log3 an2 ，求数列 {bn} 的前 n 项和 Tn ．
20．解关于 x 的不等式 ax2 (3a 2)x 6 0 ． （1）若 a 2 ，求不等式的解集； （2）若 a R ，求不等式的解集．
3．已知方程
x2 2k
y2 2k 1
1 表示焦点在
x
轴上的椭圆，则实数
k
的取值范围是 (
)
A． (1 , 2) 2
B． (1, )
C． (1, 2)
D． (1 ,1) 2
【解答】解：方程
x2 2k
y2 2k 1
1 表示焦点在
x
轴上的椭圆，
所以 2 k 2k 1 0 ，
B． 2 60
C． 29 4
2019-2020 学年山东省泰安市宁阳一中高二（上）期中数学试卷
山东省泰安市宁阳一中19年-20年学年高二上学期期中考试数学试题 Word版含答案
高二上学期期中考试数 学 试 题一.单项选择题(共10题，每题6分，共60分.) 1、命题“∀x ∈R ，|x|+x 2≥0”的否定是( ) A.∀x ∈R ，|x|+x 2<0B.∀x ∈R ，|x|+x 2≤0C.∃x 0∈R ，|x 0|+错误!未找到引用源。
<0D.∃x 0∈R ，|x 0|+错误!未找到引用源。
≥02、下列命题中，正确的是（ ）A ．d b c a d c b a ->->>则若,, B. 若bd ac d c b a >>>则,, C. b a bc ac >>则若, D.b a cb c a <<则若,22 3、抛物线x y 42=的焦点到双曲线1322=-y x 的渐近线的距离是( ) A.错误!未找到引用源。
B.23 C.1 D.错误!未找到引用源。
4、椭圆19222=+k y x 与双曲线1322=-y k x 有相同的焦点，则k 应满足的条件是( ) A. k=2 B. 2<k<3 C. 3-=k D. 0<k<35、若0>a ，0>b ，且4=+b a ，则下列不等式恒成立的是 （ ）A ．211>ab B ．111≤+b a C ．2≥abD ．822≥+b a 6、)(,}{128最大为何值时则当项和，若为其前为等差数列，设n n n S n S S n S a =A ．8 B.9 C.10 D.12）（的值为则，两点，若、的直线交椭圆于过的两个焦点为、椭圆11221226,,19167BF AF AB B A F F F y x +==+A. 10 B.8 C.16 D.128、双曲线122=-my x 的离心率大于错误!未找到引用源。
的充要条件是( )A.m>错误!未找到引用源。
B. m>1C. m≥1D.m>29、已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =+，则数列}{n a 的通项公式为（ ）A.12--=n n aB. 12-=n n aC. 32-=n a nD. 2-21-=n n a10、已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x ,过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M ，N 两点，O 为坐标原点，若OM ⊥ON ，则双曲线的离心率为( ) A.错误!未找到引用源。
山东省泰安市2019-2020学年高二上学期期中数学试卷(理科)(I)卷
山东省泰安市2019-2020学年高二上学期期中数学试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）已知椭圆的中心为原点，离心率e=，且它的一个焦点与抛物线x2=-4y的焦点重合，则此椭圆方程为（）A .B .C .D .2. （2分）(2018·山东模拟) 已知点P是双曲线C：的一条渐近线上一点，F1、F2是双曲线的下焦点和上焦点，且以F1F2为直径的圆经过点P，则点P到y轴的距离为（）A .B .C . 1D . 23. （2分）已知长方体，下列向量的数量积一定不为0的是（）A .B .C .D .4. （2分） (2016高二下·马山期末) 已知F1,F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A,B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（）A .B .C .D .5. （2分）已知命题p:,;命题q:,,则下列命题中为真命题的是（）A .B .C .D .6. （2分）如图，在正方体中，若，则x+y+z的值为（）A . 3B . 1C . -1D . -37. （2分）设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点，与圆（x﹣5）2+y2=r2（r＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（）A . （1，3）B . （1，4）C . （2，3）D . （2，4）8. （2分）已知ABCD是空间四边形形，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，如果对角线AC=4，BD=2，那么EG2+HF2的值等于（）A . 10B . 15C . 20D . 259. （2分） (2016高一下·黄陵开学考) 已知双曲线c： =1（a＞b＞0），以右焦点F为圆心，|OF|为半径的圆交双曲线两渐近线于点M、N（异于原点O），若|MN|=2 a，则双曲线C的离心率是（）A .B .C . 2D .10. （2分）“如果一条直线与一个平面垂直，则称这条直线与这个平面构成一组正交线面对；如果两个平面互相垂直，则称这两个平面构成一组正交平面对．”在正方体的12条棱和6个表面中，能构成正交线面对和正交平面对的组数分别是（）A . 12和12B . 24和24C . 24和12D . 48和2411. （2分）(2016·韶关模拟) 已知点A是双曲线（a，b＞0）右支上一点，F是右焦点，若△AOF （O是坐标原点）是等边三角形，则该双曲线离心率e为（）A .B .C . 1+D . 1+12. （2分） (2017高二上·四川期中) 点到点，及到直线的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么实数的值是（）A .B .C . 或D . 或二、填空题． (共4题；共4分)13. （1分） (2018高二下·阿拉善左旗期末) “三角形的外角至少有两个钝角”的否定是________.14. （1分） (2015高三上·邢台期末) 已知点A是抛物线y2=2px上的一点，F为其焦点，若以F为圆心，以|FA|为半径的圆交准线于B，C两点，且△FBC为正三角形，当△ABC的面积是时，则抛物线的方程为________ ．15. （1分）(2019·南平模拟) 已知点在离心率为的椭圆上，则该椭圆的内接八边形面积的最大值为________．16. （1分）(2018·全国Ⅱ卷理) 已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为45°。
山东省泰安一中、宁阳一中2019-2020学年高三上学期段考(三)数学试题(解析版)
2017级高三上学期段考三考试数学试题一、单项选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}22|1|log 0A x x B x x =<=<,，则AB =（ ）A. (),1-∞B. (0,1)C. (1,0)-D. ()1,1-【答案】D 【解析】 【分析】分别解一元二次不等式和对数不等式可得集合A ，B ，再根据并集的定义运算即可. 【详解】集合{}()2|11,1A x x =<=-，{}()2|log 00,1B x x =<=，则()1,1A B ⋃=-， 故选：D .【点睛】本题主要考查集合的并集的求法，考查一元二次不等式和对数不等式的解法，属于基础题. 2.若实数x y >，则（ ） A. 0.50.5log log x y > B. ||||x y C. 2x xy >D. 22x y >【答案】D 【解析】 【分析】由函数0.5log y x =的单调性可判断A ；举出反例1x =-，2y =-可判断BC ；直接根据不等式的性质即可判断D .【详解】由于函数0.5log y x =在定义域内单调递减，故0.50.5log log x y <，故A 错误； 当1x =-，2y =-时，满足x y >成立，但||||x y 不成立，故B 错误；当1x =-，2y =-时，满足x y >成立，但2x xy >不成立，故C 错误；直接根据不等式的性质可得D 正确， 故选：D.【点睛】本题主要考查了通过不等式的性质判断命题的真假，属于基础题.3.设x ∈R ，则“12x +<”是“lg 0x <”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】解出不等式根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可.【详解】由题解12x +<，解得：31x -<<，解lg 0x <可得：01x <<； 则31x -<<不能推出01x <<成立，01x <<能推出31x -<<成立， 所以“12x +<”是“lg 0x <”的必要不充分条件， 故选：B .【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，属于基础题.4.已知,αβ是不重合的平面，,m n 是不重合的直线，则m α⊥的一个充分条件是( ) A. m n ⊥，n ⊂αB. //m β，αβ⊥C. n α⊥，n β⊥，m β⊥D. n αβ=，αβ⊥，m n ⊥【答案】C 【解析】 【分析】由题意，分别分析每个答案，容易得出当n α⊥，n β⊥，得出//αβ，再m β⊥得出m α⊥，得出答案. 【详解】对于答案A ：m n ⊥，n α⊂，得出m 与α是相交的或是垂直的，故A 错； 答案B ：//m β，αβ⊥，得出m 与α是相交的、平行的都可以，故B 错； 答案C ：n α⊥，n β⊥，得出//αβ，再m β⊥得出m α⊥，故C 正确； 答案D: n αβ⋂=，αβ⊥，m n ⊥，得出m 与α是相交的或是垂直的，故D 错 故选C【点睛】本题主要考查了线面位置关系的知识点，熟悉平行以及垂直的判定定理和性质定理是我们解题的关键所在，属于较为基础题.5.已知正实数a ，b ，c 满足236log a log b log c ==，则（ ） A. a bc = B. 2b ac =C. c ab =D. 2c ab =【答案】C 【解析】 【分析】设236log log log a b c k ===，则2k a =，3k b =，6k c =，由此能推导出c ab =． 【详解】解：∵ 正实数a ，b ，c 满足236log log log a b c ==， ∴ 设236log log log a b c k ===， 则2k a =，3k b =，6k c =， ∴ c ab =． 故选C ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查对数性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 6.如图Rt ABC ∆中，2ABC π∠=，2AC AB =，BAC ∠平分线交△ABC 的外接圆于点D ，设AB a =，AC b =，则向量AD =（ ）A. a b +B.12a b + C. 12a b +D. 23a b +【答案】C 【解析】 【分析】根据Rt ABC ∆中，的边角关系，结合圆的性质，得到四边形ABDO 为菱形，所以12AD AB AO a b =+=+．【详解】解：设圆的半径为r ，在Rt ABC ∆中，2ABC π∠=，2AC AB =，所以3BAC π∠=，6ACB π∠=，BAC ∠平分线交ABC ∆的外接圆于点D ，所以6ACB BAD CAD π∠=∠=∠=，则根据圆的性质BD CD AB ==，又因为在Rt ABC ∆中，12AB AC r OD ===， 所以四边形ABDO 为菱形，所以12AD AB AO a b =+=+．故选C ．【点睛】本题考查了向量的平行四边形法则，共线向量基本定理，圆的性质等知识，考查分析解决问题的能力和计算能力．属于中档题．7.设函数11xf x a e （）=+-，若f x （）为奇函数，则不等式()1f x >的解集为（ ） A. 01（，） B. 13n -∞（，）C. 03ln （，）D. 02（，）【答案】C 【解析】 【分析】由f x （）为奇函数得到12a =，再分析得到函数1112x f x e +-（）＝在()0,+∞上为减函数且()()0f x f x >，在0∞（﹣，）上减函数且0f x （）＜，又由ln31131,12f ln e （）＝+=-则1f 3f x x f ln （）＞得到（）＞（），则有03x ln ＜＜，即不等式的解集为0 3.ln ，【详解】根据题意，函数()11xf x a e =+-，其定义域为{}0x x ≠， 若()f x 为奇函数，则()()0,f x f x -+=即11120,11xx a a a e e -⎛⎫⎛⎫+++=-+=⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭解可得1,2a =则()1112x f x e =+-. 又由1xy e ＝﹣在0（，）+∞为增函数，其0y ＞， 则1112x f x e +-（）＝在()0,+∞上为减函数且()0.f x > 则()f x 在0∞（﹣，）上减函数且0f x （）＜，又由ln31131,12f ln e （）＝+=-则13f x f x f ln ⇒（）＞（）＞（），则有03x ln ＜＜，即不等式的解集为0 3.ln ，故选 C【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的应用，考查函数的单调性及其应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.8.已知0,0,,a b a b >>的等比中项为2，则11a b b a+++的最小值为（ ） A. 3B. 4C. 5【答案】C 【解析】 【分析】由等比中项得：4ab =，目标式子变形为5()4a b +，再利用基本不等式求最小值. 【详解】11155()()(1)()2544a b a b a b a b a b ab b a ab ab ++++=++=++=+≥⋅=， 等号成立当且仅当2a b ==，∴原式的最小值为5.【点睛】利用基本不等式求最小值时，注意验证等号成立的条件. 9.已知函数()cos()f x A x ωϕ=+（0A >，0>ω，||2ϕπ<）的图象如图所示，令()()()g x f x f x '=+，则下列关于函数()g x 的说法中正确的是（ ）A. 函数()g x 图象的对称轴方程为512x k π=π+()k ∈Z B. 函数()g x 的最大值为2C. 函数()g x 的图象上存在点P ，使得在P 点处的切线与直线31y x =-+平行D. 若函数()()2h x g x =+的两个不同零点分别为1x ，2x ，则12x x -最小值为2π【答案】D 【解析】 【分析】根据函数f （x ）的图象求出A 、T 、ω和φ的值，写出f （x ）的解析式，求出f ′（x ），写出g （x ）＝f （x ）+f ′（x ）的解析式，再判断题目中的选项是否正确． 【详解】根据函数()()cos f x A x ωϕ=+）的图象知，A ＝2，24362T πππ=-=， ∴T ＝2π，ω2Tπ==1； 根据五点法画图知，当x 6π=时，ωx +φ6π=+φ0=∴φ6π=-，∴f （x ）＝2cos 6x π⎛⎫-⎪⎝⎭∴f ′（x ）＝2sin 6x π⎛⎫--⎪⎝⎭， ∴g （x ）＝f （x ）+f ′（x ） ＝2cos 6x π⎛⎫-⎪⎝⎭2sin 6x π⎛⎫--⎪⎝⎭＝cos 12x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭令12x k ππ+=，k ∈Z ，解得-12x k ππ= k ∈Z ，∴函数g （x ）的对称轴方程为12x k ππ=-,k ∈Z ，A 错误当+12x π=2k π，即212x k ππ=-时，函数g （x ）取得最大值，B 错误；g ′（x ）＝+12x π⎛⎫- ⎪⎝⎭， 假设函数g （x ）的图象上存在点P （x 0，y 0），使得在P 点处的切线与直线l ：y ＝-3x+1平行则k ＝g ′（0x ）＝0+12x π⎛⎫- ⎪⎝⎭=-3 得0sin +112x π⎛⎫=> ⎪⎝⎭,显然不成立，所以假设错误，即C 错误；方程g （x ）＝-2，则 cos +12x π⎛⎫⎪⎝⎭＝2，∴cos +12x π⎛⎫⎪⎝⎭=∴+12x π=4π+2k π或+12x π= 24k ππ-+ ,k ∈Z ；即x 2k π=+ 6π或x 23k ππ=-, k ∈Z故方程的两个不同的解分别为1x ，2x ，则12x x -最小值为2π12x x -的最小值为2π，D 正确． 故选D ．【点睛】本题考查了由()()cos f x A x ωϕ=+的部分图象确定解析式，三角函数的性质，也考查了导数的应用以及命题真假的判断问题，是中档题．10.已知函数22ln ,0()3,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨--≤⎪⎩，若方程()1f x kx =+有四个不相等的实根，则实数k 的取值范围是（ ）A. 1(,1)3B. 1(,2)3C. 14(,)25D. 1(,1)2【答案】D 【解析】 【分析】原题等价于函数()f x 的图象与直线1y kx =+有四个交点，当直线1y kx =+与函数()232f x x x =--相切时，12k =，当直线1y kx =+与函数()2ln f x x x x =-相切时，利用导数的几何意义可得1k =，再结合图象即可得结果.【详解】作出22ln ,0()3,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨--≤⎪⎩的图象如图所示，方程()1f x kx =+有四个不相等的实根，等价于函数()f x 的图象与直线1y kx =+有四个交点， 其临界位置为1y kx =+和两段曲线相切时， 当直线1y kx =+与函数()232f x x x =--相切时， 联立2321y x x y kx ⎧=--⎪⎨⎪=+⎩得()222320x k x +++=，由241270k k =+-=，解得12k =或72k =-（由图可得舍负） 当直线1y kx =+与函数()2ln f x x x x =-相切时， 设切点坐标为()0000,2ln x x x x -，()1ln f x x '=-，切线的斜率为：01ln k x =-，切线方程为()()000002ln 1ln y x x x x x x -+=--，由于切线1y kx =+恒过()0,1，代入可得01x =，可得：1k =， 即由图知函数()f x 的图象与直线1y kx =+有四个交点时， 实数k 的取值范围是112k <<， 故选：D .【点睛】本题主要考查了方程的根的个数与函数图象交点个数的关系及利用导数求函数图象的切线方程，有一定难度.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题4分，共12分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得4分，有选错的得0分，部分选对的得2分.11.在给出的下列命题中，正确的是（ ）A. 设O A B C 、、、是同一平面上的四个点，若(1)()OA m OB m OC m R =⋅+-⋅∈，则点、、A B C 必共线B. 若向量,a b 是平面α上的两个向量，则平面α上的任一向量c 都可以表示为()c a b R λμμλ=+∈、，且表示方法是唯一的C. 已知平面向量OA OB OC 、、满足,||||AB AC OA OB OA OC AO AB AC λ⎛⎫⋅=⋅=+ ⎪⎝⎭则ABC ∆为等腰三角形D. 已知平面向量OA OB OC 、、满足||||(0)OA OB OC r r ==>|=|，且0OA OB OC ++=，则ABC ∆是等边三角形 【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ，根据共线定理判断A 、B 、C 三点共线即可；对于B ，根据平面向量的基本定理，判断命题错误；对于C ，根据向量的运算性质可得OA 为BC 的垂线且OA 在 BAC ∠的角平分线上，从而可判断C ；对于D ，根据平面向量的线性表示与数量积运算得出命题正确； 【详解】对于A ，()1()m OB m OC m R OA =⋅+-⋅∈， ∴()OA OC m OB OC -=-，∴ C A mCB =，且有公共点C ， ∴则点A 、B 、C 共线，命题A 正确；对于B ，根据平面向量的基本定理缺少条件,a b 不共线，故B 错误；对于C ，由于 O A OB OA OC ⋅=⋅，即()0OA OB OC ⋅-=， 0OA CB ⋅=，得 O A CB ⊥，即OA 为BC 的垂线，又由于||||AB AC AO AB AC λ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，可得OA 在 BAC ∠的角平分线上， 综合得ABC ∆为等腰三角形，故C 正确；对于D ，平面向量OA 、OB 、OC 满足()0OA OB OC r r ===>，且0OA OB OC ++=， ∴ O OA B OC +=-，∴2222OA OA OB OB OC +⋅+=， 即22222cos ,r r OA OB r r +⋅+=，∴1cos ,2OA OB =-， ∴OA 、OB 的夹角为120︒，同理OA 、OC 的夹角也为120︒， ∴ABC 是等边三角形，故D 正确； 故选ACD .【点睛】本题主要考查利用命题真假的判断考查了平面向量的综合应用问题，属于中档题. 12.已知函数()f x 的定义域为[]1,5-，部分对应值如下表：()f x 的导函数()y f x '=的图象如图所示，关于()f x 的命题正确的是（ ）A. 函数()f x 是周期函数B. 函数()f x 在[]0,2上是减函数C. 函数()y f x a =-的零点个数可能为0，1，2，3，4 D .当12a <<时，函数()y f x a =-有 4个零点 【答案】BC 【解析】 【分析】先由导函数的图象和原函数的关系画出原函数的大致图象，再借助与图象和导函数的图象，对五个命题，一一进行验证即可得到答案.【详解】由导函数的图象和原函数的关系得，原函数的大致图象可由以下两种代表形式，如图：由图得：A 为假命题，函数()f x 不能断定为是周期函数；B 为真命题，因为在[0]2，上导函数为负，故原函数递减； C 为真命题，动直线y a =与()y f x =图象交点个数可以为0、1、2、3、4个，故函数()y f x a =-的零点个数可能为0、1、2、3、4个；D 为假命题，当a 离1非常接近时，对于第二个图，()y f x =有2个零点，也可以是3个零点，故选：BC .【点睛】本题主要考查导函数和原函数的单调性之间的关系,二者之间的关系是：导函数为正，原函数递增；导函数为负，原函数递减，考查了通过函数图象研究零点的个数，属于中档题.13.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点F 是线段1BC 上的动点，则下列说法正确的是（ ）A. 无论点F 在1BC 上怎么移动，都有11A F B D ⊥B. 当点F 移动至1BC 中点时，才有1A F 与1B D 相交于一点，记为点E ，且12A EEF= C. 无论点F 在1BC 上怎么移动，异面直线1A F 与CD 所成角都不可能是30 D. 当点F 移动至1BC 中点时，直线1A F 与平面1BDC 所成角最大且为60︒ 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A ，直接证明1B D ⊥面11A BC 即可判断A ；对于B ，设A 1F 和B 1D 相交于点E ，则11A DEFB E ，所以111 A E DA EF B F =，即可判断B ；对于C ，F 为BC 1中点时，最小角的正切值为2323>，最小角大于30，即可判断C ；对于D ，当F 为BC 1中点时，最大角的余弦值为161163262OF A F ==<，最大角大于60︒，可判断D .【详解】对于A 选项，在正方体中，易知1111AC B D ⊥，由1DD ⊥面1111D C B A 得111AC DD ⊥，而1111B D DD D =，故11A C ⊥面11DD B ，所以111AC B D ⊥，同理可得：11BC B D ⊥，又因为1111BC AC C ⋂=，所以1B D ⊥面11A BC ，又1A F ⊂面11A BC ，∴11A F B D ⊥，即A 正确；对于B 选项，当点F 为BC 1中点时，也是B 1C 的中点，它们共面于平面11A B CD ，且必相交，设交点为E ，连接A 1D 和B 1F ，如图所示：因为11A DEFB E ，所以111 2A EDA EF B F==，故B 正确； 对于C 选项，当F 从B 移至C 1时，异面直线A 1F 与CD 所成角由大变小再变大，且F 为BC 1中点时，最小角的正切值为2232123=>，最小角大于30，即C 正确；对于D 选项，当点F 在BC 1上移动时，直线A 1F 与平面BDC 1所成角由小变大再变小，如图所示，其中点O 为A 1在平面BDC 1上的投影，当F 为BC 1中点时，最大角的余弦值为16116326OF A F ==<，最大角大于60︒，故D 错误， 故选：ABC .【点睛】本题考查空间立体几何中的综合问题，涉及线面夹角、异面直线夹角、线线垂直等问题，考查学生的空间立体感和推理运算能力，属于中档题.三.填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）14.等比数列{}n a 的各项均为正数，且463718a a a a +=，则31323339log log log log a a a a ++++=__________【答案】9 【解析】 【分析】由等比数列通项公式得53a =，再由931323935log log log log a a a a ++⋯+=，能求出结果.【详解】∵等比数列{}n a 的各项均为正数，且463718a a a a +=， ∴由等比数列通项公式得53a =，∴31323339log log log log a a a a +++⋯+()3129log a a a =⨯⨯⋯⨯9353log 9log 39a ===，故答案为：9.【点睛】本题主要考查对数式求值，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题. 15.已知向量()()4,2,,1a b λ==，若a 与b 的夹角是锐角，则实数λ的取值范围为______. 【答案】()1,22,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】由a 与b 的夹角为锐角，则0a b ⋅>，列出不等式解出λ，要去掉使a 与b 同向（a 与b 的夹角为0）的λ的取值.【详解】∵a 与b 的夹角为锐角 ∴0a b ⋅>，即420λ+>，解得12λ>-， 当2λ=时，a 与b 同向， ∴实数λ的取值范围是()1,22,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭故答案为：()1,22,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查的知识点是向量数量积的性质及运算律，将夹角转化为数量积与0的关系是解题的关键，属于中档题.16.已知数列{}n a 中，()*112,1,n n n a n a a a n N +=-=+∈，若对于任意的[]2,2a ∈-，不等式21211n a t at n +<+-+恒成立，则t 的取值范围为__________． 【答案】(][),22,-∞-+∞【解析】由题设可得111n n n a a a n n +-=+，即111n n n a a n n++=+，也即111(1)n n a a n n n n +=+++，所以11111n n a a n n n n +=+-++，令1,2,3,n n =⋅⋅⋅可得331212*********,,,,21123223433411n n a a a a a a a a n n n n +=+-=+-=+-⋅⋅⋅=+-++，将以上n 等式两边相加可得11111331111n a a n n n +=+-=-<+++，所以2213t at +-≥，即2240t at +-≥，令2()24,[2,2]F a t at a =+-∈-，则22(2)020{{(2)020F t t F t t -≥--≥⇒≥+-≥，解之得2t ≥或2t ≤-，应填答案(,2][2,)-∞-+∞．点睛：本题将数列的列项求和与不等式恒成立问题有机地加以整合，旨在考查数列通项递推关系，列项法求和，不等式恒成立等有关知识和方法．解答本题的关键是建立不等式组，求解时借助一次函数的图像建立不等式组22(2)020{{(2)020F t t F t t -≥--≥⇒≥+-≥，最后通过解不等式组使得问题巧妙获解．17.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，b =ABC ∆面积为222)S b a c =--，则角B = _______ ，ABC ∆面积S 的最大值为_____.【答案】 (1). 56π(2). 4- 【解析】 【分析】用余弦定理代入三角形面积公式化简可得tan B =，同时注意角的取值范围，即可求出B ，利用余弦定理得228a c =++，结合基本不等式可得(82ac ≤，代入三角形面积公式即可得结果.【详解】22231)2cos )sin 2S b a c ac B ac B =--=-=（sin tan cos 3B B B ∴==-(0,)B π∈，56B π∴=，1cos ,sin 22B B ∴=-=. 由余弦定理得，2222cos b a c ac B =+-，228a c =++（当且仅当a c =时取等号）8(2ac ∴≤=11sin 424S ac B ac ∴==≤-【点睛】本题主要考查通过余弦定理解三角形，三角形面积公式以及基本不等式的应用，考查了学生的计算能力，属于中档题．四.解答题（本大题共6小题，第18题10分，第19-21题14分，第22-23题15分，共82分）18.已知数列{}n a 中，3265,14a a a =+=，且122,2,2n n n a a a++成等比数列，（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足1(1)n n n b a n +=+-，求数列{}n b 的前2n 项和为2n T .【答案】（1）21n a n =-；（2）24n n - 【解析】 【分析】 （1）由122,2,2n n n aa a ++成等比数列，化简可得122n n n a a a ++=+，利用等差数列的通项公式可得n a ；（2）根据{}n b 通项公式的特征，采用分组求和、并项求和与等差数列前n 项和公式相结合的形式求和即可. 【详解】（1）∵122,2,2n n n aa a ++成等比数列，∴112(2)22n n n a a a ++=⋅，∴122n n n a a a ++=+，∴数列{}n a 成等差数列， 由3265,14a a a =+=得1a 1,d 2，∴21n a n =-（2）∵1(1)n n n b a n +=+-，∴21221234212342n n n T b b b a a a a a n =+++=++-+++-++-=122()[1234(21)2]n a a a n n ++++-+-++--=[135(41)][(12)(34)(212)]n n n ++++-+-+-++--2(141)(1)2n n n +-+-⨯=24n n -【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、分组求和、并项求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题. 19.设函数()sin()cos()32f x x x ππωω=-+-，其中03ω<<.已知()03f π=. （1）求ω和()y f x =的周期.（2）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标缩短为原来的14倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最值.【答案】（1）12ω=，4T π=；（2）最小值32-【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化函数()f x 为正弦型函数，根据()03f π=求出ω的值，进而可得周期；（2）写出()f x 解析式，利用平移法则写出()g x 的解析式，由,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦得22,333x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，结合正弦函数可得结果.【详解】（1）因为1()sin()cos()sin sin 322f x x x x x x ππωωωωω=-+-=+3sin )26x x x πωωω=-=- 由题设知()03f π=，所以,36k k Z ωππ-=π∈，故132k k Z ω=+∈，， 又03ω<<，所以12ω= 周期24T ππω==（2）由（1）得1()3sin()26f x x π=-将函数()y f x =的图象上各点的横坐标缩短为原来的14倍（纵坐标不变）， 得π3sin 26y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭再将得到的图象向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象， 则()3sin(2)3g x x π=+，当,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，22,333x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦所以当233x ππ+=-，即3x π=-时，()g x 取得最小值32-， 当232x ππ+=，即12x π=时，()g x 取得最大值3.【点睛】本题主要考查了三角恒等变换与正弦型函数在闭区间上的最值问题，将函数式化为()sin y A ωx φ=+的形式是解题的关键，属于中档题.20.如图，某公园有三条观光大道,,AB BC AC 围成直角三角形，其中直角边200BC m =，斜边400AB m =.现有甲、乙、丙三位小朋友分别在,,AB BC AC 大道上嬉戏，（1）若甲、乙都以每分钟100m 的速度从点B 出发在各自的大道上奔走，乙比甲迟2分钟出发，当乙出发1分钟后到达E ，甲到达D ，求此时甲、乙两人之间的距离；（2）甲、乙、丙所在位置分别记为点,,D E F .设CEF θ∠=，乙、丙之间的距离是甲、乙之间距离的2倍，且3DEF π∠=，请将甲、乙之间的距离y 表示为θ的函数，并求甲、乙之间的最小距离.【答案】（1）（2）2sin()3y πθθ=≤≤+；【解析】 【分析】（1）由题意300BD =，100BE =，BDE 中，由余弦定理可得甲乙两人之间的距离； （2）BDE 中，由正弦定理可得2002cos si si 0n n 6y yθθ-=︒，可将甲乙之间的距离y 表示为θ的函数，并求甲乙之间的最小距离.【详解】（1）依题意得300,100BD BE == 在△ABC 中，1cos 2BC B AB ==，所以3B π= 在△BDE 中，由余弦定理得2222cos DE BD BE BD BE B =+-⋅ =2213001002300100700002+-⨯⨯⨯=，所以DE =答：甲、乙两人之间的距离为（2）由题意得22,EF DE y BDE CEF θ==∠=∠= 在Rt CEF ∆中，cos 2cos CE EF CEF y θ=⋅∠= 在△BDE 中，由正弦定理得sin sin BE DEBDE DBE=∠∠即2002cos si si 0n n 6y yθθ-=︒所以,02sin()3y πθπθ==≤≤+，所以当6πθ=时，y有最小值答：甲、乙之间的最小距离为.【点睛】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查正弦、余弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.21.如图，在四棱锥P ABCD -中，ABCD 为矩形，APB ∆是以P ∠为直角的等腰直角三角形，平面PAB ⊥平面ABCD ．(1)证明：平面PAD ⊥平面PBC ；(2) M 为直线PC 的中点，且2AP AD ==，求二面角A MD B --的余弦值. 【答案】（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）310. 【解析】 【分析】（Ⅰ）由ABCD 为矩形，得AD AB ⊥，再由面面垂直的性质可得AD ⊥平面PAB ，则AD PB ⊥，结合PA PB ⊥，由线面垂直的判定可得PB ⊥平面PAD ，进一步得到平面PAD ⊥平面PBC ；（Ⅱ）取AB 中点O ，分别以,OP OB 所在直线为,x y 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面MAD 与平面MBD 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A MD B --的余弦值，再由平方关系求得二面角A MD B --的正弦值． 【详解】（Ⅰ）证明：ABCD 为矩形，AD AB ∴⊥，平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，AD ∴⊥平面PAB ，则AD PB ⊥，又PA PB ⊥，PA AD A ⋂=，PB ∴⊥平面PAD ，而PB ⊂平面PBC ，平面PAD ⊥平面PBC ；（Ⅱ）取AB 中点O ，分别以,OP OB 所在直线为,x y 轴建立空间直角坐标系，由2AP AD ==，APB ∆是以P ∠为直角的等腰直角三角形，得：()()()220,2,0,0,2,2,0,2,0,,,122A D B M ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，23223222,,1,,,1,,,1222222MA MD MB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．设平面MAD 的一个法向量为(),,m x y z =，由232022232022m MA x y z m MD x y z ⎧⋅=---=⎪⎪⎨⎪⋅=--+=⎪⎩，取1y =，得()3,1,0m =-；设平面MBD 的一个法向量为(),,n x y z =，由23202222022n MD x y z n MB x y z ⎧⋅=--+=⎪⎪⎨⎪⋅=-+-=⎪⎩，取1z =，得(),,n x y z =.210cos ,10102m n m n m n ⋅-∴===-⋅⨯．∴二面角A MD B --的正弦值为31010． 【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解二面角，是中档题．22.已知函数1()ln f x a x x=-，a R ∈． （1）若曲线()y f x =在点处的切线与直线20x y +=垂直，求a 的值；（2）求函数()f x 的单调区间；（3）当1a =，且2x ≥时，证明：(1)25f x x -≤-． 【答案】（1）1（2）见解析（3）见解析 【解析】【详解】（1）函数()f x 的定义域为{}0x x ，21()a f x x x '=+． 又曲线()y f x =在点处的切线与直线20x y +=垂直，所以(1)12f a '=+=，即1a =．（2）由于21()ax f x x ='+． 当0a ≥时，对于，有()0f x '>在定义域上恒成立， 即()f x 在上是增函数．当0a <时，由()0f x '=，得． 当时，()0f x '>，()f x 单调递增；、 当时，()0f x '<，()f x 单调递减．(3)当1a =时，1(1)ln(1)1f x x x -=---，．、 令1()ln(1)251g x x x x =---+-． 2211(21)(2)()21(1)(1)x x g x x x x --=+-=----'． 当2x >时，()0g x '<，()g x 单调递减．又(2)0=g ，所以()g x 在恒为负． 所以当时，()0g x ≤． 即1ln(1)2501x x x ---+≤-． 故当1a =，且2x ≥时，(1)25f x x -≤-成立．23.设函数()3()x f x mx e m R =-+∈.（1）讨论函数()f x 的极值；（2）若a 为整数，0m =，且(0,)x ∀∈+∞，不等式()[()2]2x a f x x --<+成立，求整数a 的最大值.【答案】（1）见解析；（2）2【解析】【分析】（1）求出函数()f x 的导数，分为0m ≤和0m >两种情形，结合极值的定义即可得结论；（2）原不等式等价于2,01x x a x x e +<+>-，令()2,01x x g x x x e +=+>-，根据导数和函数的最值的关系即可求出a 的最值.【详解】（1）由题意可得()f x 的定义域为R ，()'=-x f x m e当0m ≤时，()0f x '<恒成立，∴()f x 在R 上单调递减，()f x 无极值，当0m >时，令()0f x '=，解得ln x m =，当(ln ,)x m ∈+∞时， ()0,()f x f x '<单调递减，当(ln )x m ∈-∞，时，()0,()f x f x '>，单调递增， ∴()f x 在ln x m =处取得极大值，且极大值为(ln )ln 3=-+f m m m m ，无极小值，综上所述，当0m ≤时，无极值，当0m >时，()f x 极大值为ln 3m m m -+，无极小值.（2）把0()3x m f x mx e =⎧⎨=-+⎩代入()[()2]2x a f x x --<+可得()(1)2x a x e x --<+， ∵0x >，则10x e -> ∴21x x a x e +-<-， ∴2,01x x a x x e +<+>-(*) 令2()1x x g x x e +=+-， ∴2(3)()(1)x x x e e x g x e --'=-， 由（1）可知，当1m =时，()3xf x e x =-++在()0,∞+上单调递减， 故函数()3x h x e x =--在(0,)+∞上单调递增，而(1)0(2)0h h <⎧⎨>⎩∴()h x 在(0,)+∞上存在唯一的零点0x 且0(1,2)x ∈故()g x '在(0,)+∞上也存在唯一的零点且为0x当0)(0x x ∈，时，()0g x '<，当0(,)x x ∈+∞时，()0g x '>，∴min 0()()g x g x =由0()0g x '=，可得003x e x =+，∴00()1g x x =+，∴0()(2,3)g x ∈，由(*)式等价于0()a g x ，∴整数a 的最大值为2.【点睛】本题考查了导数和函数的单调性极值最值得关系，考查了运算求解能力和转化与化归能力，属于难题.。
山东省泰安市宁阳一中2019_2020学年高二数学上学期第一次月考试题理
山东省泰安市宁阳一中2019-2020学年高二数学上学期第一次月考试题 理第I 卷（选择题）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1．设命题000:0,cos sin 1p x x x ∃>+>，则p ⌝为（ ）A ．0,cos sin 1x x x ∀>+>B ．0000,cos sin 1x x x ∃≤+≤C ．0,cos sin 1x x x ∀>+≤D ．0000,cos sin 1x x x ∃>+≤2．命题：“若42<x ，则22<<-x ”的逆否命题是（ ）A ．若42≥x ，则≥x 2，若2-≤xB ．若22<<-x ，则42<x C ．若2>x ，或2-<x ，则42>x D ．若2≥x ，或2-≤x ，则42≥x3.已知平面α与平面β相交于直线l ，1l 在平面α内，2l 在平面β内，若直线1l 和2l 是异面直线，则下列说法正确的是（ ）A.l 与21,l l 都相交B.l 至少与21,l l 中的一条相交C.l 至多与21,l l 中的一条相交D.l 与21,l l 都不相交4.若“:p x a >”是“:13q x x ><-或”的充分不必要条件，则a 的取值范围是（ ）A ．1a ≥B ．1a ≤C ．3a ≥-D ．3a ≤-5．设命题:p 函数1y x=在定义域上是减函数；01,:2>++∈∀x x R x q 都有命题，以下说法正确的是（ ）A ．p q ∨为真B ．p q ∧为真C ．p 真q 假D ．,p q 均为假6．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）A ．若m∥n，m∥α，则n∥αB ．若α⊥β，m∥α，则m⊥βC ．若α⊥β，m⊥β，则m∥αD ．若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β7.如图，AB 为圆O 的直径，点C 在圆周上（异于点A ，B ），直线PA 垂直于圆O 所在的平面，点M ，N 分别为线段PB ，BC 的中点，有以下三个命题： ①OC ⊥平面PAC ；②MO∥平面PAC ；③平面PAC ∥平面MON ， 其中正确的命题是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③第7题图第8题图8.右图是某个三棱锥的三视图，其中主视图是等边三角形，左视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的体积是（）A．612 B ．33 C ．64 D．369.若圆锥的侧面展开图的圆心角为90°，半径为r，则该圆锥的全面积为（）A．B．C．D．10．如图所示，正方体的棱长为1，OCBCB=''I，则AO与CA''所成角的度数为（）A．30° B．45° C．60° D．90°第10题图第11题图11．如图，设AB为圆锥PO的底面直径，PA为母线，点C在底面圆周上，若2PA AB==，AC BC=，则二面角P AC B--大小的正切值是（）A.667712．三棱锥P ABC -的四个顶点都在球D 的表面积上，PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，3PA =，2AB BC ==，则球O 的表面积为（ ）A ．13πB ．17πC ．52πD ．68π第II 卷（非选择题）二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13．已知)3,1,2(-=a ρ，),2,4(x b -=ρ，)2,,1(x c -=ρ，若c b a ρρρ⊥+)(，则实数x 的值为 .14．若命题：“∃ x ∈R ，kx 2－kx －1≥0”是假．命题，则实数k 的取值范围是________． 15.已知ABC ∆为等腰直角三角形，斜边BC 上的中线2AD =，将ABC ∆沿AD 折成60o 的二面角，连结BC ，则三棱锥C ABD -的体积为__________.16．如下图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：①BM 与ED 平行 ②CN 与BE 是异面直线 ③CN 与BM 成60o角 ④DM 与BN 是异面直线以上四个命题中，正确命题的序号是_________．三、解答题（本题共6小题，17题10分，18-22题12分，共70分）17．已知命题}0|{)1,0(,1:<≠>>x x a a a x p x的解集是的不等式关于，命题)lg(:2a x x y q +-=函数的定义域为R ，若为假为真q ，p q p ∧∨，求实数a 的取值范围。
2019-2020年高二上学期期中考试数学试卷 含答案
2019-2020年高二上学期期中考试数学试卷 含答案注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上..2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂选其它答案标号，写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷将答案写在答题卡上，在试题卷上作答，答案无效.4.考试结束，只交答题卡.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．直线x －y ＝0的倾斜角为( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．135°2．若三点A (0，8)，B (－4，0)，C (m ，－4)共线，则实数m 的值是( )A ．6B ．－2C ．－6D ．23．圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2－6x＋8y－24＝0的位置关系是( ) A ．相交 B ．相离 C ．内切D ．外切4．如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，棱锥A 1-ABCD 的体积与长方体AC 1的体积的比值为( )A.12 B ．16 C.13D ．155．如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H ，K ，L 分别为AB ，BB 1，B 1C 1，C 1D 1，D 1D ，DA 的中点，则六边形EFGHKL 在正方体面上的射影可能是( )6．已知直线l与过点M(－3，2)，N(2，－3)的直线垂直，则直线l的倾斜角是()A.π3 B.π4 C.2π3D.3π47．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．2π＋12B ．π＋12C ．2π＋24D ．π＋248．若坐标原点在圆x 2＋y 2－2mx ＋2my ＋2m 2－4＝0的内部，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1，1)B ．⎝⎛⎭⎫－22，22 C ．(－3，3)D ．(－2，2)9．点P(7，－4)关于直线l：6x－5y－1＝0的对称点Q的坐标是( )A ．(5,6)B ．(2,3)C ．(－5,6)D ．(－2,3)10.过(2，0)点作圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，所得切线方程为( )A ．y ＝0B ．x ＝1和y ＝0C ．x ＝2和y ＝0D ．不存在 11．两圆x2＋y2＋4x －4y ＝0与x2＋y2＋2x －12＝0的公共弦长等于( ) A ．4 B ．2 3 C ．3 2 D ．4 212．已知直线y ＝kx ＋2k ＋1与直线y ＝12x ＋2的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是( )A ．－6＜k ＜2B ．－16＜k ＜0C ．－16＜k ＜12D ．k ＞12第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2023-2024学年山东省泰安市高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省泰安市高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知圆的一般方程为x 2+y 2+4x ﹣2y ﹣4＝0，其圆心坐标是（ ） A ．（1，2）B ．（﹣1，2）C ．（﹣2，1）D ．（﹣1，﹣2）2．已知直线l 1：4x +my +2＝0和l 2：mx +y +1＝0平行，则实数m ＝（ ） A ．﹣2B ．0C ．2D ．±23．如图：在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →=a →，AD →=b →，AA 1→=c →，则下列向量中与BM →相等的向量是（ ）A ．−12a →+12b →+c →B ．12a →+12b →+c →C ．−12a →−12b →+c →D ．12a →−12b →+c →4．已知向量a →=（2，1，3），b →=（﹣1，2，﹣2），c →=（7，6，λ），若向量a →，b →，c →共面，则实数λ等于（ ） A ．10B ．8C ．5D ．35．已知A （﹣2，0），B （4，a ）两点到直线l ：3x ﹣4y +1＝0的距离相等，则a ＝（ ） A ．2B ．92C ．2或﹣8D ．2或926．如图所示，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 是棱AB 的中点，则点E 到平面ACD 1的距离为（ ）A ．12B ．√22C ．13D ．167．若圆O 1：x 2+y 2−2x =0和圆O 1：x 2+y 2+2x −4y =0的交点为A ，B ，则下列结论正确的是（ ）A ．公共弦AB 所在直线的方程为x +y ＝0 B ．线段AB 的垂直平分线的方程为x +y +1＝0C ．公共弦AB 的长为√22D ．P 为圆O 1上一动点，则点P 到直线AB 的距离的最大值为√22+1 8．已知曲线x −1=√4−y 2，则√x 2+(y −4)2的最大值，最小值分别为（ ） A ．√17+2，√17−2B ．√17+2，√5C ．√37，√17−2D ．√37，√5二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．给出下列命题，其中是真命题的是（ ）A ．若a →=(−1，1，−2)是直线l 的方向向量，b →=(−2，−1，12)是直线m 的方向向量，则l 与m 垂直B ．若a →=(1，1，−1)）是直线l 的方向向量，n →=(0，−1，−1)是平面α的法向量，则l ⊥α C ．若n 1→=(1，0，3)，n 2→=(0，1，2)分别为平面α，β的法向量，则α⊥βD ．若存在实数x ，y ，使MP →=xMA →+yMB →，则P ，M ，A ，B 共面 10．下列说法错误的是（ ）A ．任意一条直线都有倾斜角和斜率B ．直线y ＝x +1与直线y ＝x +2的距离为1C ．直线x ﹣y ﹣2＝0与两坐标轴围成的三角形的面积为2D ．经过（1，1）且在x 轴，y 轴上截距相等的直线方程为x +y ﹣2＝011．已知圆C ：x 2+y 3﹣4x ﹣4y +7＝0，一条光线从点P （4，1）射出经x 轴反射，则下列结论正确的是（ ） A ．若反射光线平分圆C 的周长，则反射光线所在直线的方程为3x +2y ﹣10＝0 B ．圆C 关于直线y ＝x +1对称的圆的方程为x 2+y 2+2x ﹣6y +9＝0C ．若反射光线与圆C 相切于点A ，与x 轴相交于点B ，则|PB|+|BA|=2√3D ．若反射光线与圆C 交于M ，N 两点，则△CMN 的面积的最大值为1212．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，M 为侧面AA 1D 1D 上的动点，N 为侧面CC 1D 1D 上的动点，则下列结论正确的是（ ） A ．若BM =√52，则M 的轨迹长度为π4B ．若BM =√52，则M 到直线A 1D 的距离的最小值为√24C ．若B 1N ⊥AC 1，则N ∈CD 1，且直线B 1N ∥平面A 1BD D ．若M ∈A 1D ，则B 1M 与平面A 1BD 所成角正弦的最小值为√33三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知a →=(2，−1，3)，b →=(−4，2，x)，且a →⊥b →，则x ＝ ．14．经过两条直线2x +y ﹣8＝0和x ﹣2y +1＝0的交点，且垂直于直线3x ﹣2y +4＝0的直线的方程是 ．15．已知点A （4，6），点B 在圆x 2+y 2＝4上运动，则线段AB 的中点M 的轨迹方程为 ． 16．已知O 为坐标原点，A ，B 均在直线x ﹣y ﹣6＝0上，|AB |＝2，动点P 满足|P A |=√2|PB |，则|OP |的最小值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知空间三点A （1，2，2），B （2，1，2），C （3，2，1）． （1）若向量m →分别与AB →，AC →垂直，且|m →|=2√6，求向量m →的坐标； （2）求点C 到直线AB 的距离．18．（12分）已知△ABC 三个顶点分别为A （1，1），B （﹣1，﹣3），C （3，﹣1）． （1）求△ABC 的面积；（2）过△ABC 内一点P （1，0）有一条直线l 与边AB ，AC 分别交于点M ，N ，且点P 平分线段MN ，求直线l 的方程．19．（12分）如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧棱AA 1的长为3，且∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝120°，E ，F 分别在侧棱BB 1和DD 1上，且BE =13BB 1，DF =23DD 1．（1）若EF →=xAB →+yAD →+zAA 1→，求x +y +z ； （2）求直线EF 与AB 所成角的余弦值．20．（12分）已知圆C 与y 轴相切，圆心在直线x +y ﹣1＝0上，且被x 轴截得的弦长为2√3．（1）求圆C的方程；（2）已知直线l过点（1，﹣3），圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1，求直线l的方程．21．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为线段CD中点，现将△ADE沿AE折起，使得点D到点P位置，且AP⊥BE．（1）求证：平面AEP⊥平面ABCE；（2）已知点M是线段CP上的动点（不与点P，C重合），若使平面MAE与平面APE的夹角为π4，试确定点M的位置．22．（12分）如图，已知圆C：x2+y2﹣4y+3＝0，动点P（m，﹣1）（m∈R），过点P引圆的两条切线，切点分别为A，B．（1）求证：直线AB过定点；（2）若两条切线P A，PB与x轴分别交于E，F两点，求△PEF的面积的最小值．2023-2024学年山东省泰安市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知圆的一般方程为x 2+y 2+4x ﹣2y ﹣4＝0，其圆心坐标是（ ） A ．（1，2）B ．（﹣1，2）C ．（﹣2，1）D ．（﹣1，﹣2）解：根据题意，圆的一般方程为x 2+y 2+4x ﹣2y ﹣4＝0，即（x +2）2+（y ﹣1）2＝9，其圆心为（﹣2，1）， 故选：C ．2．已知直线l 1：4x +my +2＝0和l 2：mx +y +1＝0平行，则实数m ＝（ ） A ．﹣2B ．0C ．2D ．±2解：因为直线l 1：4x +my +2＝0和l 2：mx +y +1＝0平行，所以4﹣m 2＝0，解得m ＝±2，当m ＝2时，直线l 1：4x +2y +2＝0即为2x +y +1＝0，直线l 2：2x +y +1＝0，两直线重合，不符合题意， 当m ＝﹣2时，直线l 1：4x ﹣2y +2＝0即为2x ﹣y +1＝0，直线l 2：﹣2x +y +1＝0即为2x ﹣y ﹣1＝0，两直线平行，符合题意，故m ＝﹣2． 故选：A ．3．如图：在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →=a →，AD →=b →，AA 1→=c →，则下列向量中与BM →相等的向量是（ ）A ．−12a →+12b →+c →B ．12a →+12b →+c →C ．−12a →−12b →+c →D ．12a →−12b →+c →解：∵BM →=BB 1→+B 1M →=c →+12BD → =c →+12(BA →+BC →) =c →+12(−a →+b →) =−12a →+12b →+c →故选：A ．4．已知向量a →=（2，1，3），b →=（﹣1，2，﹣2），c →=（7，6，λ），若向量a →，b →，c →共面，则实数λ等于（ ） A ．10B ．8C ．5D ．3解：∵向量a →，b →，c →共面，∴存在实数m ，n 使得c →=m a →+n b →．∴{7=2m−n6=m+2nλ=3m−2n⇒{m=4n=1λ=10，∴λ＝10．故选：A．5．已知A（﹣2，0），B（4，a）两点到直线l：3x﹣4y+1＝0的距离相等，则a＝（）A．2B．92C．2或﹣8D．2或92解：∵A（﹣2，0），B（4，a）两点到直线l：3x﹣4y+1＝0的距离相等，∴22=22，解得a＝2或92．故选：D．6．如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为（）A．12B．√22C．13D．16解：如图，连接BD1，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，由AD＝AA1＝1，AB＝2，得AD1=√2，AC=CD1=√5，则S△ACD1=12×√2×√5−12=32，设点E到平面ACD1的距离为h，则B到平面ACD1的距离为2h，由V D1−ABC =V B−ACD1，得13×12×1×2×1=13×32×2ℎ，解得h=13．故选：C．7．若圆O1：x2+y2−2x=0和圆O1：x2+y2+2x−4y=0的交点为A，B，则下列结论正确的是（）A．公共弦AB所在直线的方程为x+y＝0 B．线段AB的垂直平分线的方程为x+y+1＝0C．公共弦AB的长为√2 2D．P为圆O1上一动点，则点P到直线AB的距离的最大值为√22+1解：对于A，依题意知，两圆相交于AB，故两圆方程作差可得4x﹣4y＝0，即x﹣y＝0，即为两圆公共弦AB所在直线方程，故A错误；对于B，圆O1：x2+y2−2x=0，则其圆心为（1，0），k AB＝1，则线段AB的垂直平分线的斜率为﹣1，故线段AB的垂直平分线方程为y﹣0＝﹣（x﹣1），即x+y﹣1＝0，故B错误；对于C，圆心O1到直线AB的距离d=|1−0|√1+(−1)2=√22，圆O1半径r＝1，所以|AB|=2√1−(22)2=√2，故C错误；对于D，圆心O1到直线AB的距离d=|1−0|√1+(−1)2=√22，圆O1半径r＝1，则点P到直线AB的距离的最大值为√22+1，故D正确．故选：D．8．已知曲线x−1=√4−y2，则√x2+(y−4)2的最大值，最小值分别为（）A．√17+2，√17−2B．√17+2，√5C．√37，√17−2D．√37，√5解：由x−1=√4−y2，可知x≥1，﹣2≤y≤2，且有（x﹣1）2+y2＝4，表示的图形为以A（1，0）为圆心，2为半径的半圆，如图所示：又因为√x2+(y−4)2表示半圆上的动点与点P（0，4）的距离，又因为|P A|=√12+42=√17，所以√x2+(y−4)2的最大值为|P A|+2=√17+2，当动点与图中B （1，2）点重合时，√x 2+(y −4)2取最小值， 此时|PB |=√(1−0)2+(4−2)2=√5． 故选：B ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．给出下列命题，其中是真命题的是（ ）A ．若a →=(−1，1，−2)是直线l 的方向向量，b →=(−2，−1，12)是直线m 的方向向量，则l 与m 垂直B ．若a →=(1，1，−1)）是直线l 的方向向量，n →=(0，−1，−1)是平面α的法向量，则l ⊥α C ．若n 1→=(1，0，3)，n 2→=(0，1，2)分别为平面α，β的法向量，则α⊥βD ．若存在实数x ，y ，使MP →=xMA →+yMB →，则P ，M ，A ，B 共面 解：对于A ，因为a →⋅b →=(−1)×(−2)+1×(−1)+(−2)×12=0， 可知a →⊥b →，所以l 与m 垂直，故A 正确；对于B ，因为a →⋅n →=1×0+1×(−1)+(−1)×(−1)=0， 可知a →⊥n →，所以l ⊂α或l ∥α，故B 错误；对于C ，因为n 1→⋅n 2→=1×0+0×1+3×2=6≠0， 所以平面α，β不相互垂直，故C 错误；对于D ，若存在实数x ，y ，使MP →=xMA →+yMB →，则MP →，MA →，MB →为共面向量，所以P ，M ，A ，B 共面，故D 正确． 故选：AD ．10．下列说法错误的是（ ）A ．任意一条直线都有倾斜角和斜率B ．直线y ＝x +1与直线y ＝x +2的距离为1C ．直线x ﹣y ﹣2＝0与两坐标轴围成的三角形的面积为2D ．经过（1，1）且在x 轴，y 轴上截距相等的直线方程为x +y ﹣2＝0 解：选项A ：当直线倾斜角为π2时，该直线斜率不存在．判断错误；选项B：直线y＝x+1与直线y＝x+2的距离为√1+1=√22．判断错误；选项C：直线x﹣y﹣2＝0与两坐标轴的交点分别为（2，0）和（0，﹣2），则此直线与两坐标轴围成的三角形的面积为12×2×2=2．判断正确；选项D：经过（1，1）且在x轴，y轴上截距相等的直线方程为x+y﹣2＝0和x﹣y＝0．判断错误．故选：ABD．11．已知圆C：x2+y3﹣4x﹣4y+7＝0，一条光线从点P（4，1）射出经x轴反射，则下列结论正确的是（）A．若反射光线平分圆C的周长，则反射光线所在直线的方程为3x+2y﹣10＝0B．圆C关于直线y＝x+1对称的圆的方程为x2+y2+2x﹣6y+9＝0C．若反射光线与圆C相切于点A，与x轴相交于点B，则|PB|+|BA|=2√3D．若反射光线与圆C交于M，N两点，则△CMN的面积的最大值为1 2解：圆C：x2+y2﹣4x﹣4y+7＝0，即（x﹣2）2+（y﹣2）2＝1，故圆心为C（2，2），半径为1，点P（4，1）关于x轴的对称点为Q（4，﹣1），对于A：由题意知，反射光线过圆心C，则k QC=2−(−1)2−4=−32，反射光线所在直线的方程为y﹣2=−32（x﹣2），即3x+2y﹣10＝0，A正确；对于B：将x＝2代入y＝x+1得y＝3，将y＝2代入y＝x+1得x＝1，圆C关于直线y＝x+1对称的圆心为：（1，3），对称圆的半径r＝1，所以对称圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣3）2＝1，即x2+y2﹣2x﹣6y+9＝0，B错误；对于C：如图，P关于x轴的对称点Q，B，切点A三点共线，|PB|+|BA|＝|QB|+|BA|＝|QA|，而|QC|2＝（4﹣2）2+（﹣1﹣2）2＝13，|CA|＝1，所以|QA|=√|QC|2−|CA|2=2√3，C正确；对于D：如图S△CMN=12|CM||CN|sin∠MCN=12×12•sin∠MCN≤12，（当∠MCN＝90°时取等号），D正确．故选：ACD ．12．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，M 为侧面AA 1D 1D 上的动点，N 为侧面CC 1D 1D 上的动点，则下列结论正确的是（ ） A ．若BM =√52，则M 的轨迹长度为π4B ．若BM =√52，则M 到直线A 1D 的距离的最小值为√24C ．若B 1N ⊥AC 1，则N ∈CD 1，且直线B 1N ∥平面A 1BD D ．若M ∈A 1D ，则B 1M 与平面A 1BD 所成角正弦的最小值为√33解：对于A ，因为BM =√52，所以M 在以B 为球心，√52为半径的球上． 又M 为侧面AA 1D 1D 上的点，所以M 在球被平面AA 1D 1D 截得的交线上． 因为AB ⊥平面AA 1D 1D ，AM ⊂平面AA 1D 1D ，可得AB ⊥AM ，由AB ＝1，BM =√52，所以AM =√BM 2−AB 2=12，所以，M 为以A 点为圆心，12为半径的圆上，如图，则M 的轨迹长度为14⋅2π⋅12=π4，故A 正确；对于B ，如上图，取A 1D 中点M 1，由正方形AA 1D 1D 的边长为1，可得AM 1=12√1+1=√22，由M 在以A 为圆心，12为半径的14圆弧上运动，可得M 到直线A 1D 的距离的最小值为√22−12，故B 错误；对于C ，如图，连结AC ，AD 1．因为CC 1⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以CC 1⊥BD ．又BD ⊥AC ，AC ⊂平面ACC 1，CC 1⊂平面ACC 1，AC ∩CC 1＝C ， 所以BD ⊥平面ACC 1．又AC 1⊂平面ACC 1，所以BD ⊥AC 1．因为D 1C 1⊥平面ADD 1A 1，A 1D ⊂平面ADD 1A 1，所以D 1C 1⊥A 1D ， 又A 1D ⊥AD 1，AD 1⊂平面AD 1C 1，D 1C 1⊂平面AD 1C 1，AD 1∩D 1C 1＝D 1， 所以A 1D ⊥平面AD 1C 1．又AC 1⊂平面AD 1C 1，则A 1D ⊥AC 1．又BD ⊂平面A 1BD ，A 1D ⊂平面A 1BD ，A 1D ∩BD ＝D ， 所以AC 1⊥平面A 1BD ．又B 1N ⊥AC 1，B 1∉平面A 1BD ，所以直线B 1N ∥平面A 1BD ，故C 正确； 对于D ，以点D 为坐标原点，分别以DA →，DC →，DD 1→为x ，y ，z 轴的正方向，如上图建立空间直角坐标系，则D （0，0，0），A 1（1，0，1），B （1，1，0），B 1（1，1，1）， DA 1→=(1，0，1)，DB →=(1，1，0)，DB 1→=(1，1，1)．因为M ∈A 1D ，设DM →=λDA 1→=(λ，0，λ)，（0≤λ≤1），B 1M →=DM →−DB 1→=(λ−1，−1，λ−1)． 设m →=（a ，b ，c ）是平面A 1BD 的一个法向量， 则{m →⋅DA 1→=a +c =0m →⋅DB →=a +b =0， 取a ＝1，则b ＝c ＝﹣1，m →=（1，﹣1，﹣1）是平面A 1BD 的一个法向量． 则cos ＜B 1M →，m →＞=m →⋅B 1M→|m →|⋅|B 1M →|=1√3×√(λ−1)2+1+(λ−1)2=1√3×√2λ−4λ+3，又2λ2﹣4λ+3＝2（λ﹣1）2+1≥1，当λ＝1时，有最小值1， 所以，√3√2λ2−4λ+3≤√3=√33，即cos ＜B 1M →，m →＞≤√33，所以，B 1M 与平面A 1BD 所成角正弦的最大值为√33，故D 错误． 故选：AC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知a →=(2，−1，3)，b →=(−4，2，x)，且a →⊥b →，则x ＝ 103． 解：因为a →=(2，−1，3)，b →=(−4，2，x)，且a →⊥b →， 则2×（﹣4）+（﹣1）×2+3x ＝0，则x =103， 故答案为：103． 14．经过两条直线2x +y ﹣8＝0和x ﹣2y +1＝0的交点，且垂直于直线3x ﹣2y +4＝0的直线的方程是 2x +3y ﹣12＝0 ．解：设两直线2x +y ﹣8＝0和x ﹣2y +1＝0的交点为P ， 联立方程组{2x +y −8=0x −2y +1=0，解得x ＝3，y ＝2，可得两直线的交点为P （3，2）．由直线3x ﹣2y +4＝0的斜率为32，可得所求直线的斜率为k =−23，所以所求直线的方程为y −2=−23(x −3)，即2x +3y ﹣12＝0．故答案为：2x +3y ﹣12＝0．15．已知点A （4，6），点B 在圆x 2+y 2＝4上运动，则线段AB 的中点M 的轨迹方程为 （x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝1 ．解：设M （x ，y ），B （x 1，y 1），由定点A （4，6），且M 是线段AB 的中点， 由中点坐标公式可得{x =4+x 12y =6+y 12，即{x 1=2x −4y 1=2y −6， 又点B 在圆上，故x 12+y 12=4，即（2x ﹣4）2+（2y ﹣6）2＝4，整理得（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝1，所以线段AB 中点M 的轨迹方程是（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝1． 故答案为：（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝1．16．已知O 为坐标原点，A ，B 均在直线x ﹣y ﹣6＝0上，|AB |＝2，动点P 满足|P A |=√2|PB |，则|OP |的最小值为 √2 ．解：设P （x ，y ），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由于|AB |＝2，所以|AB|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=2， 整理得(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=4， 由于|P A |=√2|PB |，所以|P A |2＝2|PB |2，整理得(x +x 1−2x 2)2+(y +y 1−2y 2)2=2(x 1−x 2)2+2(y 1−y 2)2=8， 故点P 是以（2x 2﹣x 1，2y 2﹣y 1）为圆心，2√2为半径的圆， 易得圆心在x ﹣y ﹣6＝0上， 由于点（0，0）到直线的距离d =√2=3√2， 所以|OP|min =3√2−2√2=√2． 故答案为：√2．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知空间三点A （1，2，2），B （2，1，2），C （3，2，1）． （1）若向量m →分别与AB →，AC →垂直，且|m →|=2√6，求向量m →的坐标； （2）求点C 到直线AB 的距离．解：（1）AB →=(1，−1，0)，AC →=(2，0，−1)， 设m →=(x ，y ，z)，∵m →⊥AB →，m →⊥AC →， ∴m →⋅AB →=0，m →⋅AC →=0． ∴{x −y =02x −z =0，整理得{y =x z =2x ，∵|m →|=√x 2+y 2+z 2=√6x 2=2√6，∴x ＝±2， ∴m →=(2，2，4)或m →=(−2，−2，−4)；（2）取u →=AB →|AB →|=(√22，−√22，0)，a →=AC →=(2，0，−1)，则a →⋅u →=√2，a →2=5． ∴C 到直线AB 的距离为√a →2−(a →⋅u →)2=√5−2=√3．18．（12分）已知△ABC 三个顶点分别为A （1，1），B （﹣1，﹣3），C （3，﹣1）． （1）求△ABC 的面积；（2）过△ABC 内一点P （1，0）有一条直线l 与边AB ，AC 分别交于点M ，N ，且点P 平分线段MN ，求直线l 的方程．解：（1）∵A （1，1），B （﹣1，﹣3），C （3，﹣1），∴直线AB 的斜率k AB ＝2，可得直线AB 的方程为2x ﹣y ﹣1＝0， 点C 到直线AB 的距离d =65=65√5， ∵|AB|=√(1+1)2+(1+3)2=2√5，∴S △ABC =12|AB|⋅d =12×65√5×2√5=6；（2）由题知，直线AC 的斜率k AC ＝﹣1，可得直线AC 的方程为x +y ﹣2＝0， 设M （x 0，y 0），则N （2﹣x 0，﹣y 0），∵点M ，N 分别在直线AB ，AC 上，∴{2x 0−y 0−1=02−x 0−y 0−2=0，解得{x 0=13y 0=−13， 因此，直线l 的斜率k l =0+131−13=12，l 的方程为y −0=12(x −1)，即x ﹣2y ﹣1＝0．19．（12分）如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧棱AA 1的长为3，且∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝120°，E ，F 分别在侧棱BB 1和DD 1上，且BE =13BB 1，DF =23DD 1．（1）若EF →=xAB →+yAD →+zAA 1→，求x +y +z ； （2）求直线EF 与AB 所成角的余弦值．解：（1）由题意有：EF →=AF →−AE →=AD →+DF →−(AB →+BE →)=AD →+23DD 1→−(AB →+13BB 1→)=AD →+23AA 1→−AB →−13AA 1→=−AB →+AD →+13AA 1→，故x +y +z =−1+1+13=13； （2）令AB →=a →，AD →=b →，AA 1→=c →，则由题意有：|a →|=|b →|=2，|c →|=3，＜a →，b →＞=90°，＜a →，c →＞=＜b →，c →＞=120°，由（1）知：EF →=−a →+b →+13c →，则|EF →|=√(−a →+b →+13c →)2=√4+4+1+2−2=3，所以cos ＜EF →，AB →＞=−a →2+a →⋅b →+13a →⋅c →3×2=−4−16=−56，故直线EF 与AB 所成角的余弦值为56．20．（12分）已知圆C 与y 轴相切，圆心在直线x +y ﹣1＝0上，且被x 轴截得的弦长为2√3． （1）求圆C 的方程；（2）已知直线l 过点（1，﹣3），圆C 上恰有三个点到直线l 的距离等于1，求直线l 的方程． 解：（1）设圆C 的标准方程为（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2＝r 2（r ＞0）， ∵圆心C 在直线x +y ﹣1＝0上， ∴a +b ﹣1＝0①， ∵圆C 与y 轴相切， ∴r ＝|a |②，又∵圆C 被x 轴截得的弦长为2√3， ∴b 2+3＝r 2③，联立①②③解得，a ＝2，b ＝﹣1，r ＝2， ∴圆C 的方程为（x ﹣2）2+（y +1）2＝4． （2）∵圆C 上恰有三个点到直线l 的距离等于1， ∴圆心C 到直线l 的距离d ＝r ﹣1＝1． 当直线l 斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝1， 圆心C （2，﹣1）到直线l 的距离为1，符合题意； 当直线l 斜率不存在时，设直线l 的方程为y +3＝k （x ﹣1）， 即kx ﹣y ﹣k ﹣3＝0， ∴圆心C 到直线l 的距离d =|2k+1−k−3|√k +1=|k−2|√k +1=1，解之得，k =34，∴直线l 的方程为3x ﹣4y ﹣15＝0．综上，所求直线l 的方程为x ＝1或3x ﹣4y ﹣15＝0．21．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，E 为线段CD 中点，现将△ADE 沿AE 折起，使得点D 到点P 位置，且AP ⊥BE ．（1）求证：平面AEP ⊥平面ABCE ；（2）已知点M 是线段CP 上的动点（不与点P ，C 重合），若使平面MAE 与平面APE 的夹角为π4，试确定点M 的位置．（1）证明：∵E 为CD 中点，AB ＝4，∴DE ＝CE ＝2， 又∵AD ＝2，四边形ABCD 为矩形， ∴AE 2=BE 2=2√2， ∴AE 2+BE 2＝AB 2，∴AE ⊥BE ，又∵AP ⊥BE ，AE ∩AP ＝A ，AP ，AE ⊂平面APE ， ∴BE ⊥平面APE ，又∵BE ⊂平面ABCE ， ∴平面AEP ⊥平面ABCE ；（2）解：过点E 作EQ ⊥平面ABCE ，以E 为坐标原点，以EA ，EB ，EQ 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2√2，0，0)，P(√2，0，√2)，C(−√2，√2，0)，E （0，0，0），B(0，2√2，0)， ∴CP →=(2√2，−√2，√2)，EC →=(−√2，√2，0)，EA →=(2√2，0，0)， 设CM →=λCP →，λ∈（0，1），则EM →=EC →+CM →=(2√2λ−√2，√2−√2λ，√2λ)， 设n →=(x ，y ，z)是平面AME 的一个法向量，则有{n →⋅EM →=0n →⋅EA →=0，即{2√2x =0(2√2λ−√2)x +(√2−√2λ)y +√2λz =0， 取y ＝λ，可得平面AME 的一个法向量为n →=(0，λ，λ−1)， 又EB →=(0，2√2，0)为平面APE 的一个法向量， ∴cos〈n →，EB →〉=√2λ2√2√λ+(λ−1)=√λ+(λ−1)，∵平面MAE 与平面APE 的夹角为π4，∴√λ2+(λ−1)2=√22，解得λ=12，∴当点M 为线段PC 的中点时，平面MAE 与平面APE 的夹角为π4．22．（12分）如图，已知圆C ：x 2+y 2﹣4y +3＝0，动点P （m ，﹣1）（m ∈R ），过点P 引圆的两条切线，切点分别为A ，B ．（1）求证：直线AB 过定点；（2）若两条切线P A ，PB 与x 轴分别交于E ，F 两点，求△PEF 的面积的最小值．解：（1）证明：由题意知，圆心C （0，2），半径r ＝1， ∵P A ⊥CA ，PB ⊥CB ，∴A ，B 在以PC 为直径的圆上， ∵|PC|=√m 2+9，PC 的中点M(m 2，12)，∴以PC 为直径的圆M 的方程为(x −m 2)2+(y −12)2=m 2+94，即x 2+y 2﹣mx ﹣y ﹣2＝0．∵AB 为圆C 与圆M 的公共弦， ∴直线AB 的方程为mx ﹣3y +5＝0． ∴直线AB 过定点(0，53)．（2）①当P A ，PB 斜率均存在，即m ≠±1时， 设P A ，PB 的方程为y +1＝k （x ﹣m ）， 即kx ﹣y ﹣km ﹣1＝0，∵P A ，PB 与圆C 相切，∴圆心C到直线的距离d=√k+1=1，∴（m2﹣1）k2+6mk+8＝0．设P A，PB的斜率分别为k1，k2，∴k1+k2=−6mm2−1，k1k2=8m2−1，∴|k1−k2|=√(−6mm2−1)2−48m2−1=√4m2+32(m2−1)2，x E=m+1k1，x F=m+1k2，∴|EF|=|x E−x F|=|m+1k1−m−1k2|=|1k1−1k2|=|k1−k2||k1k2|=|2√m2+8m2−1||8m2−1|=√m2+84．∵当m∈R且m≠±1，∴当m＝0时，|EF|min=√22，此时，S△PEF=12×√22×1=√24．②当P A，PB有一条斜率不存在，即m＝±1时，不妨设P A的斜率不存在，则直线P A的方程为x＝﹣1，P（﹣1，﹣1），E（﹣1，0），设直线PB的方程为y+1＝k（x+1），由圆心（0，2）到PB的距离d=√k+1=1，解得k=43，∴直线PB的方程为4x﹣3y+1＝0，∴F(−14，0)，此时|EF|=34，S△PEF=12×34×1=38．由38＞√24，可得△PEF面积的最小值为√24．。
山东省泰安市宁阳县第一中学2019-2020学年高二上学期阶段性测试(一)数学试题含答案
数学试题
考试内容：数列、不等式 满分 150 分 考试时间： 120 分钟
2019.10
一、单项选择题：本题共 目要求的 .
10 个小题，每小题 4 分，共 40 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
1.不等式
的解集是（
）
A.
B.
C.
D.
2.在等差数列 {an}中，若 a1 2a2 3a3 18 ，则 2a1 a5 （
（
）
A.数列 an 为等比数列
B.数列 an 为等差数列
C. m n 为定值
D.设数列 bn 的前 n 项和为 Tn ， bn
log 2 an ，则数列
Tn 为等差数列 n
13.给出下列语句，其中结论正确的是（
）
A.若 a, b 正实数，则
a2 b2 2
2 11 ab
B.若 a, m 为正实数， a b ，则 a m a bm b
an 是等差数列，并求数列 2n
{a n} 的通项公式；
（ 2）设 bn
2n
2
，数列 {bn}的前 n 项和 Bn，求证
(2 n 1)an
3
Bn 1 .
22.（ 14 分）
设数列 {an}的前 n 项和为 Sn，且 Sn n2 n 1 ，在正项等比数列 {bn}中 b2 a2 ， b4 a5 ．
（ 1）求 {an}和 {bn}的通项公式；
2
四、解答题：本题共 6 个小题共 82 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
.
18.（ 12 分）
已知函数 f (x) x2 2x 8
（ 1）解不等式 f ( x) 0 ；
山东省宁阳一中2019-2020学年高二上学期期中考试试题 数学【含答案】
山东省宁阳一中2019-2020学年高二上学期期中考试试题数学一、单项选这题：本题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的 1.命题“”的否定是（ ）A. B. C.D.2.．设x R ∈,则“2210x x +->”是“12x >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3．已知方程221221x y k k +=--表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1(,2)2B ．(1,)+∞C ．(1,2)D ．1(,1)24.已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎪⎫1x ＋a y≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．85、已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x E 右焦点为F （3, 0）过点F 的直线交E 于A,B 两点，若AB 的中点坐标为)21,1(，则E 的离心率是( )A.43B.413C.414D.4156.已知，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7．已知数列满足，那么使成立的n 的最大值为A ．4B ．5C ．6D ．78．已知正项等比数列{}()n a n N +∈满足5432a a a =+，若存在两项,m n a a 使得1,8m n a a a =，则19m n+的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49.已知0a >，则821a a ++的最小值为（ ） A.22 B.4 C.52 D.7210.已知数列{}n a 满足1160,2n n a a a n +=-=，则n an的最小值为（ ）A.292B. 1027C.102D. 29二、多项选择题：本大题共3小题，每小题4分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．11．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项之积为n T ，并且满足条件11>a ，120172016>⋅a a ，01120172016<--a a ，下面结论中错误的是（ ）(A) 20172016S S > (B) 0120182016>-⋅a a(C) 2017T 是数列{}n T 中的最大值 (D) 数列{}n T 无最小值12．若022<--x x 是a x <<-2的充分不必要条件，则实数a 的值可以是（ ） (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 413．已知数列{}n a 为等差数列，首项为1，公差为2，数列{}n b 为等比数列，首项为1，公比为2，设n b n a c =，n T 为数列{}n c 的前n 项和，则当2019<n T 时，n 的取值可以是下面选项中的（ ）(A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 11 三、填空题：本题共4个小题，每小题4分，共16分。
山东省泰安市2019-2020年度高二上学期期中数学试卷(理科)(I)卷
山东省泰安市2019-2020年度高二上学期期中数学试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）命题“存在使得”的否定是（）A . 存在，使得B . 存在，使得C . 对于任意的，使得D . 对于任意的，使得2. （2分） (2016高二上·临川期中) 与向量 =（12，5）平行的单位向量为（）A .B .C . 或D . 或3. （2分） (2016高一下·宜春期中) 下列各小题中，p是q的充要条件的是（1）p:;q:；（2）,q:y=f(x) 是奇函数；（3）；（4）P:m<2或m>6；q:y=x2+mx+m+3有两个不同的零点.A . (1)（3）B . （3）（4）C . （3）D . (4)4. （2分）设椭圆的两个焦点分别为，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若△ 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）A .B .C .D .5. （2分）中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点（2，0）的椭圆方程是（）A . +y2=1B . +y2=1或x2+ =1C . + =1D . +y2=1或 + =16. （2分）已知双曲线的一条渐近线过点,且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（）A .B .C .D .7. （2分）若p是真命题，q是假命题，则（）A . p且q是真命题B . p或q是假命题C . 非p是真命题D . 非q是真命题8. （2分）准线为x=﹣2的抛物线的标准方程为（）A . y2=﹣8xB . y2=8xC . x2=8yD . x2=﹣8y9. （2分）设向量的模为，则cos2a=（）A .B .C .D .10. （2分）已知双曲线 x2-=1的焦点为F1、F2 ，点M在双曲线上且•=0，则点M到x轴的距离为（）A .B .C .D .11. （2分） (2018高二上·淮北月考) 是抛物线上任意一点，，，则的最小值为（）A .B . 3C . 6D . 512. （2分）双曲线的右焦点的坐标为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是________14. （1分）(2017·黑龙江模拟) 设满足且（ + ）⊥ ，则（﹣）• 的值为________．15. （1分） (2018高二上·寿光月考) 下列命题正确的是________（写出正确的序号）．①已知，，，则动点的轨迹是双曲线左边一支；②已知椭圆的长轴在轴上，若焦距为，则实数的值是；③抛物线（）的焦点坐标是 .16. （1分）(2018·河北模拟) 已知焦点在轴上的椭圆的一个焦点在直线上，则椭圆的离心率为________．三、解答题 (共6题；共45分)17. （5分） (2015高二上·太和期末) 已知p：方程x2+mx+1=0有两个不等的负实根，q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根．若“p或q”为真，“p且q”为假．求实数m的取值范围．18. （10分） (2017高三上·赣州开学考) 综合题。
2019-2020学年山东省泰安市宁阳一中高一(上)期中数学试卷试题及答案(PDF版 含答案)
)
t
A． 4
B． 2
C．0
D．2
【解答】解：t 0 ，则函数 y t2 4t 1 t 1 4 2 t1 4 2 ，当且仅当 t 1 时取等
t
t
t
号．
-6-
函数 y t2 4t 1 的最小值为 2 ． t
故选： B ．
10．若函数 f (x)
2019-2020 学年山东省泰安市宁阳一中高一（上）期中数学试卷
一、选择题（每题 5 分，共 60 分）
1．不等式 ax2 5x c 0 的解集为{x | 1 x 1} ，则 a ， c 的值为 (
)
3
2
A． a 6 ， c 1
B． a 6 ， c 1 C． a 1 ， c 6
C．
D．
5
【解答】解：函数 y x 4 是幂函数，定义域为： x 0 ，排除 A 、 B ．函数的图象在 y x 的
上方，排除选项 D ，
故选： C ．
6．关于 x 的不等式 ax b 0 的解集为 (1, ) ，则关于 x 的不等式 ax b 0 的解集为 (
)
x2
A． (1, 2)
【解答】解：根据题意， x 2y 1 ，
则 1 1 (x 2 y)(1 1 ) 3 2 y x 3 2 2 y x 3 2 2 ，
x
为奇函数，则 a 等于 ( )
(2x 1)(x a)
A． 1 2
B． 2 3
C． 3 4
【解答】解：函数
f
(x)
(2x
x 1)( x
a)
为奇函数，