平面与平面垂直 PPT

[证明] ∵平面 VAB⊥底面 ABCD，且 BC⊥AB，平面 VAB∩平面 ABCD＝AB.
∴BC⊥平面 VAB，∴BC⊥VA， 又 VB⊥平面 VAD，∴VB⊥VA，又 VB∩BC＝B， ∴VA⊥平面 VBC，∵VA⊂平面 VAC. ∴平面 VBC⊥平面 VAC.
类型二、平面与平面垂直的判定
1．平面与平面垂直的定义 ①定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个 平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互 相垂直．
②画法：Байду номын сангаас
记作：_α_⊥__β__.
2.平面与平面垂直的性质定理
文字语言 如果两个平面互相垂直，那么在一__个__平__面__内__垂直于它 们交线的直线_垂_直__于另一个平面
符号语言
α⊥β
α_a∩_⊂_βα_＝__l ⇒a⊥β
_a_⊥__l__
图形语言
3.平面与平面垂直的判定定理
文字语言
图形语言
如果一个平面过另一
个平面的一条_垂__线_，
则这两个平面垂直
符号语言
l_⊥l_⊂_βα___⇒α⊥β
1．△ABC 所在的平面为 α，直线 l⊥AB，l⊥AC，直线 m⊥BC， m⊥AC，则直线 l，m 的位置关系是( )
4．平面 α⊥平面 β，α∩β＝l，n⊂β，n⊥l，直线 m⊥α，则直线 m 与 n 的位置关系是________．
平行 [因为 α⊥β，α∩β＝l，n⊂β，n⊥l， 所以 n⊥α.又 m⊥α，所以 m∥n.]
合作探究 提素养
类型一：面面垂直性质定理的应用
【例 1】如图所示，P 是四边形 ABCD 所在平面外的一点，四边 形 ABCD 是边长为 a 的菱形且∠DAB＝60°，侧面 PAD 为正三角形， 其所在平面垂直于底面 ABCD.
平面与平面垂直
学习目标
核心素养
1.了解面面垂直的定义．(重点) 1.通过平面与平面垂直的定义学
2.掌握面面垂直的性质定理和 习，培养直观想象的核心素养.
判定定理.(重点) 2.借助线面垂直的判定定理与性
3.灵活运用线面、面面垂直的判 质定理，培养逻辑推理、数学抽象
定定理和性质定理解决空间中 的核心素养.
[证明] （1）如图，在菱形 ABCD 中，连接 BD，由已知∠DAB＝60°，
∴△ABD 为正三角形，∵G 是 AD 的中点， ∴BG⊥AD. ∵平面 PAD⊥平面 ABCD， 且平面 PAD∩平面 ABCD＝AD，∴BG⊥平面 PAD.
（2）如图，连接 PG. ∵△PAD 是正三角形，G 是 AD 的中点， ∴PG⊥AD，由(1)知 BG⊥AD.又∵PG∩BG＝G. ∴AD⊥平面 PBG. 而 PB⊂平面 PBG，∴AD⊥PB.
1．面面垂直的性质定理，为线面垂直的判定提供了依据和方 法．所以当已知两个平面垂直的时候，经常找交线的垂线，这样就可 利用面面垂直证明线面垂直．
2．两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂 直，方法是在其中一个面内作(找)与交线垂直的直线．
2.如图所示，四棱锥 V-ABCD 的底面是矩形，侧面 VAB⊥底面 ABCD，又 VB⊥平面 VAD.求证：平面 VBC⊥平面 VAC.
证明面面垂直的方法 1．判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面 垂直，即把问题转化为“线面垂直”； 2．性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一 个也垂直于此平面．
1．如图，四棱锥 P-ABCD 的底面是正方形，PD⊥底面 ABCD， 点 E 在棱 PB 上．
求证：平面 AEC⊥平面 PDB.
A．相交 B．异面 C．平行 D．不确定 C [因为 l⊥AB，l⊥AC 且 AB∩AC＝A， 所以 l⊥平面 ABC. 同理可证 m⊥平面 ABC， 所以 l∥m，故选 C.]
2．设平面 α⊥平面 β，在平面 α 内的一条直线 a 垂直于平面 β 内的一条直线 b，则( )
A．直线 a 必垂直于平面 β B．直线 b 必垂直于平面 α C．直线 a 不一定垂直于平面 β D．过 a 的平面与过 b 的平面垂直 C [当 α⊥β，在平面 α 内垂直交线的直线才垂直于平面 β，因 此，垂直于平面 β 内的一条直线 b 的直线不一定垂直于 β，故选 C.]
【例 2】 如图，AB 是⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面， C 是圆周上异于 A、B 的任意一点，求证：平面 PAC⊥平面 PBC.
[证明] 连接 AC，BC， 则 BC⊥AC，又 PA⊥平面 ABC，BC⊂平面 ABC，
∴PA⊥BC，而 PA∩AC＝A， ∴BC⊥平面 PAC， 又 BC⊂平面 PBC， ∴平面 PAC⊥平面 PBC.
3．空间四边形 ABCD 中，若 AD⊥BC，BD⊥AD，那么有( ) A．平面 ABC⊥平面 ADC B．平面 ABC⊥平面 ADB C．平面 ABC⊥平面 DBC D．平面 ADC⊥平面 DBC
D [∵AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，∴AD⊥平面 BCD.又 ∵AD⊂平面 ADC，∴平面 ADC⊥平面 DBC.]
的位置关系问题．(难点)
自主预习 探新知
基础铺垫知识：二面角
如图所示，在二面角α-1-β的棱上任取一点O， 以O为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱的射 线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角 的平面角.二面角的大小用它的平面角的大小来度 量，即二面角大小等于它的平面角大小.
特别地，平面角是直角的二面角称为直二面角.
（1）若 G 为 AD 的中点，求证：BG⊥平面 PAD； （2）求证：AD⊥PB.
[思路探究] （1） 菱形ABCD，∠DAB＝60°―→ △ABD为正三角形 ―→ BG⊥AD ―面―P―AD―⊥―底―面―A―BC―D→ BG⊥平面PAD （2）要证 AD⊥PB，只需证 AD⊥平面 PBG 即可．
[证明] ∵AC⊥BD，AC⊥PD，PD，BD 为平面 PDB 内两条相 交直线，
∴AC⊥平面 PDB.又∵AC⊂平面 AEC， ∴平面 AEC⊥平面 PDB.
类型三：垂直关系的综合应用 [探究问题] 1.如图所示，在四棱锥 P-ABCD 中，底面是边长为 a 的正方形， 侧棱 PD＝a，PA＝PC＝ 2a，你能证明 PD⊥平面 ABCD 吗？