2021在职研究生全国联考数学模拟及参考答案

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2021年考研数学模拟卷二共三套试卷及答案解析

1 sin x ，
(e x2
t2
1)dt
，
1 x4 3 1 3x4 ，按后一个
0
无穷小比前一个高阶的次序排列，正确的次序是（）
（ A ）,, . （ B ） ,, . （ C ） ,, . （ D ）, , .
（2）设函数
F
(x)
f (x) x2
,
f (0),
x
0,
其中
f
(x)
在
x0
处二阶可导，
题型分值得分
选择题 50 分
填空题 30 分
解答题 70 分
版权所有翻版必究
一、选择题：1～10 小题，每小题 5 分，共 50 分，下列每小题给出的四个选项中，只有
一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上.
（1）当 x 0 时，下列 3 个无穷小
1 tan x
及圆柱面 (x 1)2 y2 1 围成的立体的体积最小，并求出最小体积.
（21）（本题满分 14 分）设 A 为 3 阶矩阵， 1, 2 , 3 为 A 的三个不同特征值，对应的特征向量为1,2 ,3 ，令 1 2 3 . （1）证明：向量组 A(1 2 ), A(2 3 ), A(1 3 ) 线性无关的充要条件是 A 为可
.
（13）设 x
>0 时，可微函数
f (x) 及其反函数 g(x) 满足关系式
f 0
(x)
g (t )dt
1 3
3
(x2
8)
，
2
版权所有翻版必究
则 f (x)
.
（14）计算不定积分
a2
sin 2
tan x x b2

2021年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)真题完整版(含答案及解析)

dt
dt
dt dt
dt
dt
当 r = 10, h = 5 时， dV = −100 , dS = −40 ，故选 D.
dt
dt
（4）设函数 f (x) = ax − b ln x(a 0) 有两个零点，则 b 的取值范围是（） a
A.(0, + )
B.(0,0)
C.(0, 1 ) e
【答案】A.
.
x (0,2)
【答案】1.
【解析】方程两边对 x 求导可得 z + (x +1) z x
+
y1 z
z x
−
1
+
2y 4x2
y
2
=0.
将 x = 0, y = 2 代入可得 z = 1 ，再将 x = 0, y = 2, z = 1代入可得 z = 1. x
（14）已知函数 f (t) =
t
dx
dt
有因为 x et2 dt = x (1+ t2 + (t2 ))dt = x + 1 x3 + (x3 ) ，故
0
0
3
原式
=
lim
x→0
x
−
1 x3 3!
+
(
x3
)
1
+
x
+
1 x3 3!
x2
+
(
x3
)
−
x
−
1 2
x2
+ (x2 )
=
lim
x→0
1 2
x2
+ (x2 ) x2
=
1 2

专业科目考试：2021数学3真题模拟及答案(1)

专业科目考试：2021数学3真题模拟及答案(1)共690道题1、若函数u＝xy·f[（x＋y）/xy]，f（t）为可微函数，且满足x2∂u/∂x－y2∂u/∂y＝G （x，y）u，则G（x，y）必等于（）。

（单选题）A. x＋yB. x－yC. x2－y2D. （x＋y）2试题答案：B2、设曲线则曲线（）。

（单选题）A. 只有垂直渐近线B. 只有水平渐近线C. 无渐近线D. 有一条水平渐近线和一条垂直渐近线试题答案：D3、设函数f（x）在（－∞，＋∞）内单调有界，{x n}为数列，下列命题正确的是（）。

（单选题）A. 若{x n}收敛，则{f（x n）}收敛B. 若{x n}单调，则{f（x n）}收敛C. 若{f（x n）}收敛，则{x n}收敛D. 若{f（x n）}单调，则{x n}收敛试题答案：B4、向量组α→1，α→2，…，α→s 线性相关的充要条件是（）。

（单选题） A. α→1，α→2，…，α→s 均为零向量 B. 其中有一个部分组线性相关C. α→1，α→2，…，α→s 中任意一个向量都能由其余向量线性表示 D. 其中至少有一个向量可以表为其余向量的线性组合试题答案：D5、（）。

（单选题） A. 10/3 B. 20/3 C. 40/3 D. 50/3 试题答案：B6、曲线与r 2＝cos2θ所围成图形的公共部分面积S ＝（）。

（单选题） A. 1 B. e C. D. 试题答案：C7、曲面z ＝x ＋f （y －z ）的任一点处的切平面（）。

（单选题） A. 垂直于一定直线 B. 平行于一定平面 C. 与一定坐标面成定角D. 平行于一定直线试题答案：D8、若g （0）＝g ′（0）＝0。

则f ′（0）＝（）。

（单选题） A. 0 B. 1 C. 2 D. e 试题答案：A9、设f （x ）为连续函数，，则F ′（2）等于（）。

（单选题） A. 2f （2） B. f （2） C. －f （2） D. 0 试题答案：B10、d ∫lnxdx ＝（）。

考研管理类联考综合能力数学真题答案以及解析

2021考研管理类联考综合能力数学真题答案以及解析2021考研管理类联考数学真题答案如下：1—5 BABAE 6—10 BCCEC11—15 ECADD 16—20 BDAAD21—25ADCED2021考研管理类联考数学真题答案以及解析一、问题求解：第1~15小题，每题3分，共45分，以下每题给出的A 、C 、C 、D 、E 五个选项中，只有一项为哪一项符合试题要求的。

1.学科竞赛设一、二、三等奖，比例1：3：8获奖率30%，10人已获一等奖，那么参赛人数〔〕.A.300B.400C.500D.550E.600 解析：比例问题应用题。

由总量=分量÷分量百分比可得参赛总人数为：10÷〔30%÷12〕=400人，选B 。

2.为了解某公司员工年龄构造，按男女人数比例进展随机抽样，结果如下：男员工年龄〔岁〕 23 26 28 30 32 34 36 38 41女员工年龄〔岁〕 23 25 27 27 29 31据表中数据统计，该公司男员工的平均年龄与全体员工平均年龄分别是〔〕.A.32，30B.32，29.5C.32，27D.30，27E.29.5，27解析：平均值问题。

由表可知，男员工的平均年龄=32，女员工的平均年龄=27，男女员工人数之比=9:6=3:2，总平均年龄为305227332=⨯+⨯，选A 。

3.某单位分段收费收流量〔单位：GB 〕费：每日20〔含〕GB 以免，20到30〔含〕每GB 收1元，30到40〔含〕每GB 3元，40以上每GB 5元，小本月用45GB 该交费〔〕元.A.45B.65C.75D.85E.解析：分段计费，可知应该缴费"10+10×3+5×5=65〞，选B 。

4.圆O 是△ABC 切圆△ABC 面积与长比1:2，那么图O 面积〔〕.A.πB.2πC.3πD.4πE.5π解析：平面几求面积问题。

设切圆的半径为r ，△的三边为c b a ,,，那么2:1)(:2)(=++⨯++c b a r c b a ，化简可得,1=r 圆的面积为π，选A 。

2021在职研究生全国联考数学模拟及参考答案

2021在职研究生全国联考数学模拟及参考答案202*在职研究生全国联考数学模拟及参考答案1. 有一正的既约分数，若在其分子加上24，分母加上54，则其分数值不变，此既约分数的分子与分母的乘积等于( )(A)24(B) 30(C)32(D)36参考答案：(D)2. 在一个101人参加的聚会上，下列结论正确的是( )(A) 每个人必须和奇数个人握手(B) 每个人必须和偶数个人握手(C ) 所有人和别人握手的次数的和必为偶数(D) 所人有和别人握手的次数的和必为奇数参考答案：(C)3.曱、乙、丙三人分奖金，三人所得之比为，曱分得900元，则奖金总数为 ( )(A) 2850元(B)2580元(C) 2770元(D) 3050元参考答案：(C)4.一个圆柱底面直径和高都为8，一个圆锥底面直径和高都为4，则圆锥和圆柱的体积比为( )(A)1:2(B)1:24(C)1:2(D)1:4参考答案：(B)5由A地至B地，曱需走14小时，乙需走12小时，曱、乙同时从A地出发，5小时后乙因故要与曱见面，乙此时返行会曱约需走( )(A) 0.3小时(B )0.4小时(C)0.5小时(D)0.6小时 (取最接近的选项)参考答案：(B)6.将一根绳子折5折从正中剪断，这根绳子断成了( )截。

(A)6(B)10(C)5(D)8参考答案：(A)7.一艘小艇在江上顺水开100公里用4小时，在同样水流速度下，逆水开90公里用了6小时，这艘小艇在静水上开120公里要用时间是( )(A)4小时(B)5小时(C)4.5 小时(D)6小时参考答案：(D)8.用边长为1的小正方体堆成的几何体，每一层摆的都是正方形。

从下向上第一层16块，第二层9块，第三层4块，第一层1块。

这个几何体的表面积是( )(A) 56(B) 180(C) 72(D) 120参考答案：(B)9.一个充气的救生圈的大部分水平放在一张桌子上，一只蚂蚁沿半径33厘米的救生圈上的圆周爬行，另一个蚂蚁沿垂直桌子的半径9厘米的圆周爬行。

2021年考研数学模拟测试题及参考答案(一)

的右导数存在=x 0在点f x )(存在当且仅当-→h f h lim 1cosh 102)(，可知-≥1cosh 0由于）正确。

B （可导的充要条件。

可知=x 0在点f x )(存在为-→h f e h h lim 110)(存在。

可知，--=→→-=e t f e f t h t h h e t h 1lim 1lim 1001)()(存在等价于-→h f e h hlim 110)(：】【解析）B （：答案【、4⎰⎰⎰==---=--+f x dx x d x xC 231111112222213)()()()(可知=f x )(，因此==xf x x arcsin ')()(可得⎰=+xf x dx x C arcsin )(由：】【解析）D （：、答案3）C 条渐近线，故选（3有=++x y e x ln 11)(可知。

=y x 有斜渐近线=++x y e x ln 11)(，故++-=→+∞x e x x x lim ln 101)(，=++→+∞xx e x x lim 1ln 11)(。

=y 0有水平渐近线=++x y e x ln 11)(，故++=→-∞xe x x lim ln 101)(。

=x 0有垂直渐近线=++x y e x ln 11)(，故++=∞→x e x x lim ln 110)(：】【解析）C （：．答案2。

）C 是同阶无穷小。

故选（x 3与Fx ')(时，→x 0可知当⎰===≠→→→x x x f f x F x f t dt x x x x 2lim lim lim (0)02()2()000320'')(则⎰=Fx x f t dt x 2()0')(：】【解析）C （：答案1.选择题一、考研数学测试卷（一）参考答案因此（A）错误。

令()f x x =，此时有()2200sinh 1lim sinh lim 0h h h f h h h →→--==，可知()201lim sinh h f h h →-，但()f x 在点0x =不可导，可知（C）错误。

2021年全国硕士研究生招生考试数学一试题及答案

2021年全国硕士研究生招生考试数学一试题及答案一、选择题:110小题,每小题5分,共50分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 函数1,0()1,0x e x f x x x ⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩，在0x =处 ( )(A) 连续且取得极大值. (B) 连续且取得极小值.(C) 可导且导数等于零. (D) 可导且导数不为零. 【答案】(D)【解析】因为()20000111110lim lim lim =lim 222x x x x x x x e e x e x x f x x x x →→→→-----'====，所以函数()f x 在0x =可导且导数不等于0，故选(D).(2) 设函数(,)f x y 可微，且2(1,)(1)x f x e x x +=+，22(,)2ln f x x x x =，则(1,1)df = ( )(A) dx dy +. (B) .dx dy - (C) dy .(D) dy -.【答案】(C)【解析】方程()()21,1xf x ex x +=+两边对x 求导得：()()()()2121,1,121x x x f x e f x e e x x x ''+++=+++. ①将0x =代入①得 ()()121,11,11f f ''+=. ② 方程()22,2ln f x x x x =两边对x 求导得：()()222121,,24ln 2f x x f x x x x x x x''+⋅=+⋅. ③将1x =代入③得 ()()121,11,122f f ''+⋅=. ④ 联立②④解得：()11,10f '=,()21,11f '=，故选(C).(3) 设函数2sin ()1x f x x=+在0x =处的3次泰勒多项式为23ax bx cx ++，则 ( )(A) 71,0,6a b c ===-. (B) 71,0,6a b c ===.(C) 71,1,6a b c =-=-=-. (D) 71,1,6a b c =-=-=.【答案】(A) 【解析】由()331sin 6x x x x ο=-+，()2442111x x x xο=-+++，则()332sin 716x x x x xο=-++，所以71,0,6a b c ===-.故选(A).(4) 设函数()f x 在区间[0,1]上连续，则1()f x dx =⎰( )(A) 1211lim()22nn k k f n n →∞=-∑. (B) 1211lim ()2nn k k f n n →∞=-∑. (C) 2111lim()2nn k k f n n →∞=-∑. (D) 212lim ()2nn k k f n n →∞=∑.【答案】(B)【解析】由定积分定义()1011lim nn k k f x dx f n n →∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑⎰，这里将区间[]0,1分为n 等份，即10,n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦…1,k k n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦…1,1n n-⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 特殊点依次取区间中点1212,(1,,)2k k k n n n --==⋅⋅⋅，故()101211lim 2nn k k f x dx f n n →∞=-⎛⎫= ⎪⎝⎭∑⎰. (5) 二次型222123122331(,,)()()()f x x x x x x x x x =+++--的正惯性指数与负惯性指数依次为( )(A) 2,0.(B) 1,1.(C) 2.1.(D) 1,2.【答案】（B ）【解析】二次型矩阵为011121110A ⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭,11101||1211211111A E λλλλλλλλ---+-=-=---101(1)121(1)(3)011λλλλλλ-=+-=-+-=-. 所以A 的特征值为：0,1,3-，所以正负惯性指数为1,1.答案为（B ）.(6) 已知1231130,2,1112ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，记11βα=,221k βαβ=-,331122l l βαββ=--，若123,,βββ两两正交，则12,l l 依次为 ( )(A)51,22. (B) 51,22-. (C)51,22-. (D) 51,22--. 【答案】（A ）【解析】由施密特正交法：11βα=，21221110(,)2(,)0αββαβββ⎛⎫⎪=-= ⎪ ⎪⎝⎭，313233121122(,)(,)(,)(,)αβαββαββββββ=--所以31111(,)5(,)2l αβββ==，32222(,)1(,)2l αβββ==.所以选（A ） (7) 设,A B 为n 阶实矩阵，下列结论不成立的是（）(A) ()2TA O r r A O A A ⎛⎫=⎪⎝⎭(B) ()2T A AB r r A O A ⎛⎫=⎪⎝⎭(C) ()2T A BA r r A OAA ⎛⎫=⎪⎝⎭(D) ()2T A O r r A BAA ⎛⎫=⎪⎝⎭【答案】（C ）【解析】（C ）选项，因为()(),(),()TT A BA r r A BA r AA r A BA r A O AA ⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，且(),(,)A BA E B A =,所以(),()r A BA r A ≥.所以2()T ABA r r A O AA ⎛⎫≥⎪⎝⎭. (8) 设,A B 为随机事件，且()01,P B << 下列命题中为假命题的是（）(A) 若()(),P A B P A = 则()()P A B P A = (B) 若()(),P A B P A > 则()()P A B P A > (C) 若()(),P A B P A B > 则()()P A B P A > (D) 若()(),P A A B P A AB > 则()()P A P B >【答案】(D)【解析】()(),P A B P A A B =⇒相互独立，所以()()P A B P A =，故（A ）正确；()()P A B P A >中对任意满足题设条件的随机事件均成立，而,A B 也满足条件，所以()()P A B P A >，故（B ）正确； ()()()()()()()()()()1()()P AB P AB P A P AB P A B P A B P AB P A P B P B P B P B ->⇒>=⇒>- ()()()()()P AB P A P A B P A P B ⇒>⇒>，故（C ）正确；(())(())()()()()()()P A A B P A A B P A A B P A A B P A P AB P A B P A B >⇒>⇒>，故（D ）不正确，选（D ）. (9) 设()()()1122,,,,,,n n X Y X Y X Y 为来自总体()221212,;,;N μμσσρ的简单随机样本.令121111,,,,n ni i i i X X Y Y X Y n n θμμθ===-===-∑∑ 则（）(A) θ是θ的无偏估计，()2212D nσσθ+=(B) θ不是θ的无偏估计，()2212D nσσθ+=(C) θ是θ的无偏估计，()2212122D nσσρσσθ+-=(D) θ不是θ的无偏估计，()2212122D nσσρσσθ+-=【答案】(C)【解析】12ˆ()()()E E X E Y θμμθ=-=-=，所以ˆθ是θ的无偏估计； 2212212ˆ()()()2cov(,)cov(,)niii D D X D Y X Y X Y n n σσθ=+=+-=-∑2222121212122122ni nnnσσσσρσσρσσ=++-=-=∑，故选（C ）.(10) 设1216,,,X X X 是来自总体(),4N μ的简单随机样本，考虑假设检验问题：01:10,:10.H H μμ≤> ()x Φ表示标准正态分布函数.若该检验问题的拒绝域为{}11,W X => 其中161116i i X X ==∑，则11.5μ= 时，该检验犯第二类错误的概率为（）(A) ()10.5-Φ (B) ()11-Φ (C) ()1 1.5-Φ(D) ()12-Φ【答案】(B)【解析】检验犯第二类错误的概率为{11}P X ≤.由题可知1~(,)4X N μ，所以11.5{11}{1}1(1)1/2X P X P -≤=≤-=-Φ，选（B ）.二、填空题：1116小题,每小题5分,共30分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (11)222dxx x +∞=++⎰__________. 【答案】4π【解析】2022dxx x +∞=++⎰()211dxx +∞=++⎰()0arctan 1x +∞+24ππ=-4π=.(12) 设函数()y y x =由参数方程()22141tt x e t y t e t⎧=++⎪⎨=-+⎪⎩确定，则22t d y dx ==______.【答案】23【解析】dy dy dt dx dt dx =⋅()441221t t t e t e t e +-+=+422,21t t te t t e +==+ ()22212,2121t t dy d d t d y dt dx dx dt dx dt e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭=⋅==++ 222.3t d y dx ==(13) 欧拉方程2x y xy y "+'-4=0满足条件()1=1y ，()1=2y '的解为y =_______.【答案】2y x =【解析】作变换tx e =,故()()()ty t y x e xy x '='=',()()()()()y t x t y x xy x x t "=''+"'()()2xy x x y x ='+"()()2y t x y x ='+"则原方程可化为：()()()()40y t y t y t y t "-'+'-=,即()()40y t y t "-=.其特征方程为240λ-=，特征根为12λ=,22λ=-,则该方程的通解222121221tty C e C eC x C x -=+=+,又()1=1y ，()1=2y ', 故11C =,20C =.于是2y x =.(14) 设∑为空间区域{}22(,,)44,02x y z x y z +≤≤≤表面的外侧，则曲面积分22x dydz y dzdx zdxdy ∑++=⎰⎰__________【答案】π4【解析】利用高斯公式可得：22(221).x dydz y dzdx zdxdy x y dv ∑Ω++=++⎰⎰⎰⎰⎰（其中Ω为Σ围成的封闭区域）由于图形关于xoz 平面对称，所以20.ydv Ω=⎰⎰⎰同理：图形关于yoz 平面对称，则.02=⎰⎰⎰Ωxdv则2222222444424.x y x y x dydz y dzdx zdxdy dv dxdy dz dxdy πΩ+≤+≤++====∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(15) 设()ij A a =为3阶矩阵，ij A 为元素ij a 的代数余子式，若A 的每行元素之和均为2，且3A =，则112131A A A ++=__________ 【答案】32. 【解析】因为A 的每行元素之和为2，所以1112111A ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1112111A A A **⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 111||311122111A A *⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,故A *的每行元素之和为32.(16) 甲乙两个盒子中各装有2个红球和2个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙盒中，再从乙盒中任取一球，令,X Y 分别表示从甲盒和从乙盒中取到的红球个数，则X 与Y 的相关系数为______________. 【答案】15. 【解析】由题可知，X 与Y 的联合概率分布与边缘概率分布如下表所示YX0 1i p ⋅0 0.3 0.2 0.5 10.2 0.3 0.5j p ⋅0.50.51所以()0.3E XY =，()()0.5E X E Y ==，()()0.25D X D Y ==.故X 与Y 的相关系数为0.30.2510.255ρ-==.三、解答题：1722小题,共70分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17) (本题满分10分)求极限20011lim 1sin x t x x e dt e x →⎛⎫+ ⎪- ⎪- ⎪⎝⎭⎰ 【解析】原式2220sin (1)(1)sin (1)(1)limlimsin (1)xxt x t x xx x x e dt e x e dt e x e x→→+--+--==⋅-⎰⎰2222cos (1)sin cos 1cos sin 1limlim22xx t x xt x xx x x e dt x e ex x e dt x e e x x→→++⋅--++⋅+-==⎰⎰2200000cos cos 1sin 11111lim lim lim lim 022222222xt x x x x x x x e dtx x ee xxxx →→→→-⋅-=+++=++-=⎰. (18) (本题满分12分)设()()()11,2,1n nxn x u x en n n +-=+=+，求级数()1n n u x ∞=∑的收敛域及和函数.【解析】设112111()()()()(1)n nxnn n n x S x ux eS x S x n n +∞∞∞-=====+=++∑∑∑，当1xe-<时，则0x >，此时1()S x 收敛，且11()1xnxxn e S x ee-∞--===-∑，0x >. 121()(1)n n x S x n n +∞==+∑，由21(1)(2)lim 1(1)n n n x n n x x n n ++→∞++=<+，得收敛区间为(1,1)-，在1x =±时，当n →∞时，()1211(1)n n n n +±+，且211n n ∞=∑收敛，故()111(1)n n n n +∞=±+∑收敛，故2()S x 的收敛域为[]1,1-，故原级数的收敛域为(]0,1.21()=n n xS x n∞='∑，1211()=1n n S x x x ∞-=''=-∑， 222001()()(0)ln(1)1xxS x S t dt S dt x t ''''=+==---⎰⎰，2220()()(0)ln(1)(1)ln(1)xxS x S t dt S t dt x x x '=+=--=--+⎰⎰，()0,1x ∈，当1x =时，211111(1)[]1(1)(1)n n S n n nn ∞∞====-=++∑∑，故12()()()(1)ln(1)1xxe S x S x S x x x x e--=+=+--+-，()0,1x ∈， 11211(1)(1)(1)1111nn e eS S S ee e -∞--==+=+=+=--∑，综上所述：(1)ln(1),(0,1)1(),11xxe x x x x e S x e x e --⎧+--+∈⎪⎪-=⎨⎪=⎪-⎩(19) (本题满分12分)已知曲线2226,:4230,x y z C x y z ⎧+-=⎨++=⎩求C 上的点到xoy 坐标面距离的最大值.【解析】取C 上点(),,x y z ，到xOy 坐标面距离为z ，目标函数为()2,,f x y z z =,构造拉格朗日函数()222,,,,(26)(4230)F x y z z x y z x y z λμλμ=++--+++-.22240(1)420(2)20(3)260(4)42300(5)xy z F x F y F z F x y z F x y z λμλμλμλμ⎧'=+=⎪⎪'=+=⎪⎪'=-+=⎨⎪'=+--=⎪⎪'=++-=⎪⎩ 1(1)(2):(4)02x y λ⨯--=. 若0λ=，则0μ=，代入（3）可得0z =，代入（4）（5）2226042300F x y F x y λμ⎧'=+-=⎪⎨'=+-=⎪⎩，此方程无解.若0λ≠，则4x y =，代入（4）（5）2216260162300F y y z F y y z λμ⎧'=+--=⎪⎨'=++-=⎪⎩.可解得4112x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩或8266x y z =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩.()()224,1,1212,8,2,6666f f =--=.故曲线上的点到xOy 坐标面最大距离为66. (20) (本题满分12分)设2D R ⊂是有界单连通闭区域，22()(4)DI D x y dxdy =--⎰⎰取得最大值的积分区域记为1D .(I) 求1()I D 的值； (II) 计算222214422()(4)4xy xy D xe y dx ye x dyx y ++∂++-+⎰，其中D ∂是1D 的正向边界.【解析】(I)要使22()(4)DI D x y dxxdy =--⎰⎰最大，则D 应该包含所有使得被积函数22(,)40f x y x y =--≥并且D 中不能包含使得22(,)40f x y x y =--<的区域，故221{(,)|4}D x y x y =+≤，从而11122221()(4)41()D D D I D x y dxdy dxdy x y dxdy =--=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 2230161688d r dr ππθπππ=-=-=⎰⎰.(II) 由于22224224222(81)(4)(4)2(4)xy xy Q P xye x y ye x xx yx y ++∂∂-+---=∂∂+22224224222(81)(4)()8(4)xy xy xye x y xe y yx y ++++-+-+0=.且(,),(,)Q x y P x y 在1D ∂围成的区域上1D 上有奇点，所以要补线222:4,0L x y εε+=>足够小，取顺时针方向，且L 围成的区域为D ''，则(,),(,)Q x y P x y 在1D ∂与L 围成的区域D '上满足格林公式的条件，于是11(,)(,)(,)(,)(,)(,)D D LLP x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy ∂∂++=+-+⎰⎰⎰()(,)(,)D L Q Pdxdy P x y dx Q x y dy x y -'∂∂=-++∂∂⎰⎰⎰ 22210()(4)D L dxdy xey dx ye x dy εεε-'=+++-⎰⎰⎰2211(11)2D D dxdy dxdy πεε''''=--=-=-⎰⎰⎰⎰.(21) (本题满分12分)设矩阵111111a A a a -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭， (I) 求正交矩阵P ，使TP AP 为对角矩阵；(II) 求正定矩阵C ，使2(3)C a E A =+-，其中E 为3阶单位矩阵.【解析】(I) 因为11||=11(1)(2)(1)011a A E a a a a a λλλλλλλ-----=--+---=---，所以A 的特征值为121a λλ==-，32a λ=+，当121a λλ==-时，[(1)]0A a E x --=，111111(1)=111000111000A a E --⎛⎫⎛⎫⎪⎪---→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭121a λλ==-所对应的两个无关特征向量为：1110α-⎫⎛⎪ =⎪⎪⎝⎭，2101α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.当32a λ=+时，[(2)]0A a E x -+=，211101(2)=121011112000A a E --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-+--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭32a λ=+所对应的两个无关特征向量为：3111α-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭.对12,αα正交化，11110βα-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，21221111(,)11(,)22αββαβββ⎛⎫⎪=-= ⎪ ⎪⎝⎭. 对123,,ββα单位化111110e ββ-⎛⎫⎪==⎪⎪⎭，222112e ββ⎛⎫⎪==⎪⎪⎭，333111e αα-⎫⎛⎪==-⎪⎪⎭则123(,,)0P e e e ⎛--==-⎪⎪⎝⎭，112a a a -⎛⎫⎪Λ=- ⎪ ⎪+⎝⎭.T P AP =Λ(II) 因为()2(3)(3)(3)TTTC a E A a PP P P P a E P =+-=+-Λ=+-Λ422422111T T TP P P P P P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪==⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以251112=15131115T C P P -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (22) (本题满分12分)在区间(0,2)上随机取一点，将该区间分成两段，较短一段的长度记为X ，较长一段的长度记为Y ，令Y Z X=. (I) 求X 的概率密度； (II) 求Z 的概率密度； (III) 求X E Y ⎛⎫⎪⎝⎭. 【解析】(I)2+=X Y ,且<X Y ，由题意：~(0,1)X U . 所以X 的概率密度：1,01()0,<<⎧=⎨⎩x x f x 其他.(II)2X Y +=，则2Y X =-,于是2Y X Z X X-==. {}2()-⎧⎫=≤=≤⎨⎬⎩⎭Z X F z P Z z P z X ,①1<z ，()0=Z F z ; ②1z ≥，222()111Z X F z P z P X X z z -⎧⎫⎧⎫=≤=≥=-⎨⎬⎨⎬++⎩⎭⎩⎭;综上所述01()2111Z z F z z z <⎧⎪=⎨-≥⎪⎩+，，,所以221(1)()()01Z Z z z f z F z z ⎧>⎪'+==⎨⎪≤⎩，，. (III)法1：令2==-X X U Y X ,同理可得：22,01(1)()0,⎧<<⎪+=⎨⎪⎩U u u f u 其他, 所以()12022ln 21(1)X E E U u du Y u ⎛⎫==⋅=- ⎪+⎝⎭⎰. 法2：10()2ln 21222+∞-∞⎛⎫⎛⎫==⋅==- ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎰⎰X X X x x E E f x dx dx Y X x x .。

2021年全国硕士研究生入学统一考试参考答案

2021年全国硕士研究生入学统一考试参考答案数学（二）一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，把所选选项前的字母填在答题卡制定的位置上.）（1）当0→x 时，dt e x t ⎰-23)1(是7x 的（）（A ）低阶无穷小（B ）等价无穷小（C ）高阶无穷小（D ）同阶但非等价无穷小【答案】C【解析】因为当0→x 时，7'02~)1(2)1(623x e x dt e x x t -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎰，所以dt e x t ⎰-230)1(是7x 的阶无穷小，正确答案为C.（2）函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0,10,1)(x x x e x f x ，在0=x 处（）（A ）连续且取得极大值（B ）连续且取得极小值（C ）可导且导数为0 （D ）可导且导数不为0 【答案】D【解析】因为)0(11lim)(lim 00f xe xf x x x ==-=→→，故)(x f 在0=x 处连续；因为211lim 011lim 0)0()(lim 2000=--=---=--→→→x x e x x e x f x f x x x x x ，故正确答案为D.（3）有一圆柱底面半径与高随时间变化的速率分别为s cm /2，s cm /3-，当底面半径为cm 10，高为cm 5时，圆柱体的体积与表面积随时间的变化率分别为（）（A ）s cm /1253π，s cm /403π （B ）s cm /1253π，s cm /403π- （C ）s cm /1003π-，s cm /403π （D ）s cm /1003π-，s cm /403π- 【答案】C【解析】由题意知，2=dt dr ，3-=dtdh ，又h r V 2π=，222r rh S ππ+=，则dt dh r dt dr rh dt dV 22ππ+=，dtdrr dt dh r dt dr h dt dS πππ422++=，当5,10==h r 时，π100-=dt dV ，π40=dtdS，故正确答案为C. （4）设函数x b ax x f ln )(-=（0>a ）有两个零点，则ab的取值范围是（）（A ）),(+∞e （B ）),0(e （C ）)1,0(e （D ）),1(+∞e【答案】A【解析】令0ln )(=-=x b ax x f ，xba x f -=)('，令0)('=x f ，有驻点a b x =，0ln <⋅-⋅=⎪⎭⎫⎝⎛a b b a b a a b f ，从而1ln >a b ，可得e a b >，正确答案为A.（5）设函数x x f sec )(=在0=x 处的2次泰勒多项式为21bx ax ++，则（）（A ） 21,1-==b a （B ）21,1==b a （C ）21,0-==b a （D ）21,0==b a【答案】D【解析】由)(2)0('')0(')0()(22x o x f x f f x f +++=，知当x x f sec )(=时，10sec )0(==f ，00tan 0sec )0('=⋅=f ，1)sec tan (sec )0(''032=+==x x x x f ，则)(211sec )(22x o x x x f ++==，故正确答案为D. （6）设函数),(y x f 可微，且2)1(),1(+=+x x e x f x，x x x x f ln 2),(22=，则=)1,1(df （）（A ）dy dx + （B ）dy dx - （C ）dy （D ）dy - 【答案】C【解析】)1(2)1(),1('),1('221+++=+++x x x e x f e e x f xxx①x x x x x xf x x f 2ln 4),('2),('2221+=+ ①分别将⎩⎨⎧==00y x ，⎩⎨⎧==11y x 代入①①式有 1)1,1(')1,1('21=+f f ， 2)1,1('2)1,1('21=+f f ，联立可得1)1,1('0)1,1('21==f f ，，于是dy dy f dx f df =+=)1,1(')1,1(')1,1(21，故正确答案为C.（7）设函数)(x f 在区间]1,0[上连续，则=⎰dx x f 1)(（）（A ）∑=∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛-nk n n n k f 121212lim（B ）∑=∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛-nk n nn k f 11212lim（C ）∑=∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛-nk n n n k f 212121lim（D ）∑=∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛nk n nn k f 2122lim 【答案】B【解析】由定积分的定义知，将)1,0(分成n 份，取中间点的函数值，则=⎰dx x f 1)(∑=∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛-nk n n n k f 11212lim ，故正确答案为B.（8）二次型2132********)()()(),,(x x x x x x x x x f --+++=的正惯性指数与负惯性指数依次为（）（A ）0,2 （B ）1,1 （C ）1,2 （D ）2,1 【答案】B【解析】313221222132322213212222)()()(),,(x x x x x x x x x x x x x x x x f +++=--+++=所以二次型矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011121110A ，故特征多项式为λλλλλλλ)3)(1(1112111-+=-------=-A E ，令上式等于零，故特征值为0,3,1-，故该二次型的正惯性指数为1，负惯性指数为1，故答案应选B.（9）设3阶矩阵),,(321ααα=A ，),,(321βββ=B ，若向量组321,,ααα可以由向量组321,,βββ线性表示，则（）（A ）0=Ax 的解均是0=Bx 的解（B ）0=x A T的解均是0=x B T的解（C ）0=Bx 的解均是0=Ax 的解（D ）0=x B T的解均是0=x A T的解【答案】D【解析】令),,(321ααα=A ，),,(321βββ=B ，由题向量组321,,ααα可以由向量组321,,βββ线性表示，即⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⇒=T T TA B r B r A B r B r )(),()(,所以0=x B T与0=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x A B T T 同解，即0=x B T 的解均是0=x A T的解，故选项D 正确. （10）已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=521112101A ，若下三角可逆矩阵P 和上三角可逆矩阵Q ，使得PAQ 为对角矩阵，则Q P ,可以分别取（）（A ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010001 ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100310101 （B ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--123012001 ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100010001（C ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--123012001，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100310101 （D ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛131010001，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--100210321 【答案】C【解析】()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=101620012310001101100523010112001101,E A),(123000012310001101P F =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→，则=P ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--123012001； ⎪⎪⎭⎫⎝⎛Λ=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Q E F 100310101000010001100010001000310101，则=Q ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100310101.故正确答案为C. 或者：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=+-62031010152131010152111210113122r r r r A⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−−→−+++00001000100031000100031010123132332c c c c r r⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−→−-0000100012r ，取⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=123012001100012001101010001120010001100010001P⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100310101100310001100010101Q二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案写在答题纸指定位置上）（11）.__________32=⎰+∞∞--dx x x【答案】3ln 1 【解析】3ln 133ln 1)(332322222=⋅-=--==∞+-+∞-+∞-+∞∞--⎰⎰⎰x x x x x d dx x dx x .（12）设函数)(x y y =由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧+-=++=2)1(412te t y t e x t t确定，则._________022==t dx y d【答案】32【解析】由1224++=tt e tte dx dy ，得222)12()24()12)(244(++++++=t t t t t t e e t te e te e dx y d ，将0=t 代入得.32022==t dxyd（13）设函数),(y x z z =由方程1)2arctan(ln )1(=-++xy z y z x 确定，则.__________)2,0(=∂∂xz【答案】1【解析】方程两边对x 求导，得04121)1(22=+-∂∂+∂∂++yx yx z z y x z x z ，将0=x ，2=y 代入原方程，得1=z ，再将0=x ，2=y ，1=z 代入，得.1)2,0(=∂∂xz（14）已知函数dy yx dx t f x t⎰⎰=11sin )(，则.__________2'=⎪⎭⎫⎝⎛πf 【答案】2cos 222coscos 223ππππππ--⎰du uu.【解析】交换积分次序，有dx yxdy t f t y t⎰⎰-=2sin )(1，从而⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=t ty tdy y y ty dx y x dy t f 11cos cos sin )(2 ⎰⎰⎰⎰-=-=t t t t t ydy y dy uut ydy y dy y t y 13211cos cos cos cos ， t t t t t t t t dy u u t t f t t cos 21cos cos cos 2)('23323-⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅--=⎰，故 2cos 222coscos )2('223πππππππ--=⎰du u u f .（15）微分方程0'''=-y y 的通解为._________=y【答案】⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=-x C x C ee C y x x23sin 23cos 32211，R C C C ∈321,, 【解析】由特征方程013=-λ，解得11=λ，i 23213,2±=λ，故方程的通解为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=-x C x C ee C y x x23sin 23cos 32211，R C C C ∈321,,.（16）多项式xxx x x xx f 11211212121)(--=中3x 项的系数为.__________【答案】5-【解析】112122121311211121212111111211211212121)(---------=--=x x x xx xx x xxx x xxx x x x x f ，所以展开式中含3x 项的有3x -，34x -，即3x 项得系数为5-.三、解答题（本题共6小题，共70分.请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程.）（17）（本题满分10分）求极限⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+⎰→x e dt e x x t x sin 111lim 002. 【答案】21 【解析】⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+→→→⎰⎰x e e dt e x e dt e x x x x t x x x t x sin 111lim 1lim sin 111lim 0000022， xe x x e x x e e x e xx x x x x x x x 2cos lim 11sin lim 1sin )1(1sin lim 1lim 020002-+=+-+=-+-+=→→→→ .212112sin lim 10=-=--+=→x x e x（18）（本题满分12分）已知xx x x f +=1)(，求)(x f 的凹凸性及渐近线.【答案】凹区间),0(),1,(+∞--∞，凸区间)0,1(-，斜渐近线是1-=x y ，1--=x y .【解析】因为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+->+=0,10,1)(22x xx x xx x f ，故0>x 时，22)1(2)('x x x x f ++=，3)1(2)(''x x f +=， 0<x 时，22)1(2)(''x x x x f +--=，3)1(2)(''x x f +-=，所以故x x x x f +=1)(凹区间),0(),1,(+∞--∞，凸区间)0,1(-.因为∞=+-→xxx x 1lim1，所以1-=x 是垂直渐近线；因为1)1(lim=++∞→x x x x x ，11lim -=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++∞→x x x x x ，所以1-=x y 为斜渐近线；因为1)1(lim -=+-∞→x x xx x ，11lim =⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-∞→x x x x x ，所以1+-=x y 为斜渐近线.（19）（本题满分12分）已知函数)(x f 满足C x x dx xx f +-=⎰261)(，L 为曲线)(x f y =（94≤≤x ），L 的弧长为s ，L 绕x 轴旋转一周所形成的面积为A ，求s 和A . 【答案】322=s ，9425π=A . 【解析】C x x dx x x f +-=⎰261)(两边求导，得131)(-=x xx f ，所以212331)(x x x f -=，曲线的弧长32241421'194942=++=+=⎰⎰dx x x dx y s ；曲面的侧面积为942521)31(2'12942123942πππ=++-=+=⎰⎰dx x x x x dx y y A .（20）（本题满分12分）函数)(x y y =的微分方程66'-=-y xy ，满足10)3(=y ，（1）求)(x y 的表达式；（2）P 为曲线)(x y y =上的一点，曲线)(x y y =在点P 的法线在y 轴上的就截距为y I ，为使y I 最小，求P 的坐标.【答案】（1）31)(6x x y +=；（2）⎪⎭⎫ ⎝⎛±34,1P 时，y I 有最小值.611【解析】（1）由66'-=-y xy ，得xy x y 66'-=-，所以 6666611)6(Cx C x x C dx e x e y dx x dx x +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰-⎰=⎰-，将10)3(=y 代入，得31=C ，所以31)(6x x y +=.（2）设),(y x P ，则过P 点的切线方程为)(25x X x y Y -=-，法线方程为)(215x X xy Y --=-，令0=X ，得462131xx I Y y ++==，为偶函数，故只需要考虑),0(+∞即可. 令022'55=-=x x I y ，解得1=x ，所以当)1,0(∈x 时，0'<y I ；当),1(+∞∈x 时，0'>y I ；故当1=x 时462131xx I Y y ++==取得极小值，也是最小值，且最小值为611)1(=±y I ，且P 点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛±34,1P .（21）（本题满分12分）曲线22222)(y x y x -=+（0,0≥≥y x ）与x 轴围成的区域为D ，求.dxdy xy D⎰⎰【答案】481【解析】使用极坐标计算⎰⎰⎰⎰⎰==4022cos 0340cos sin 2cos 41cos sin πθπθθθθθθθd dr r d dxdy xy D.4812cos 4812cos 2cos 161403402=-=-=⎰ππθθθd（22）（本题满分12分）设矩阵仅有两个不同的特征值. 若相似于对角矩阵，求的值，并求可逆矩阵为对角矩阵.【解】由，故或.（1）当时，由于相似于对角矩阵，二重特征根有两个线性无关的特征向量，从而，故.此时，的两个线性无关的特征向量为，,的一个特征向量为.令为对角矩阵.（2）当时，类似的讨论可知. 此时，的两个线性无关的特征向量为，，的一个特征向量为.令为对角矩阵.。

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他们同时从同一点出发，爬行速度相同，问小圆上的蚂蚁爬几圈第一次碰上大圆的蚂蚁?( )(A)99(B)66(C)33(D)11参考答案：(D)2021在职研究生全国联考数学模拟及参考答案202*在职研究生全国联考数学模拟及参考答案1. 有一正的既约分数，若在其分子加上24，分母加上54，则其分数值不变，此既约分数的分子与分母的乘积等于( )(A)24(B) 30(C)32(D)36参考答案：(D)2. 在一个101人参加的聚会上，下列结论正确的是( )(A) 每个人必须和奇数个人握手(B) 每个人必须和偶数个人握手(C ) 所有人和别人握手的次数的和必为偶数(D) 所人有和别人握手的次数的和必为奇数参考答案：(C)3.曱、乙、丙三人分奖金，三人所得之比为，曱分得900元，则奖金总数为 ( )(A) 2850元(B)2580元(C) 2770元(D) 3050元参考答案：(C)4.一个圆柱底面直径和高都为8，一个圆锥底面直径和高都为4，则圆锥和圆柱的体积比为( )(A)1:2(B)1:24(C)1:2(D)1:4参考答案：(B)5由A地至B地，曱需走14小时，乙需走12小时，曱、乙同时从A地出发，5小时后乙因故要与曱见面，乙此时返行会曱约需走( )(A) 0.3小时(B )0.4小时(C)0.5小时(D)0.6小时 (取最接近的选项)参考答案：(B)6.将一根绳子折5折从正中剪断，这根绳子断成了( )截。

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