离散数学部分概念和公式总结(精简版)
离散知识点公式总结
离散知识点公式总结1. 集合论集合是离散数学中的基本概念，它是由一些确定的对象所组成的一个整体。
集合之间的运算包括并集、交集、差集、补集等。
其相关公式如下：- 并集：对于集合A和B，它们的并集定义为包含A和B中所有元素的集合，记作A∪B。
公式：A∪B={x|x∈A或x∈B}- 交集：对于集合A和B，它们的交集定义为同时属于A和B的所有元素的集合，记作A∩B。
公式：A∩B={x|x∈A且x∈B}- 差集：对于集合A和B，A与B的差集定义为属于A但不属于B的元素所组成的集合，记作A-B。
公式：A-B={x|x∈A且x∉B}- 补集：对于集合A，相对于全集合U而言，A的补集定义为全集合中不属于A的元素所组成的集合，记作A'。
公式：A'={x|x∈U且x∉A}2. 关系和函数关系是一种描述元素之间的对应关系的数学工具，而函数则是一种特殊的关系。
在离散数学中，关系和函数的定义和性质是非常重要的内容。
其相关公式如下：- 关系R：对于集合A和B，关系R定义为A和B的笛卡尔积中的元素对所组成的集合。
公式：R={(a,b)|a∈A且b∈B}- 函数f：对于集合A和B，如果f是从A到B的一个映射，那么对于任意元素a∈A，都有唯一的元素b∈B与之对应。
公式：f:A→B3. 图论图论是离散数学中的一个重要分支，它研究的是由顶点和边组成的数学结构。
图论的基本概念包括图的类型、路径和回路、连通性、树等。
其相关公式如下：- 有向图：对于图G=(V,E)，如果E中的边是有方向的，则称G为有向图。
公式：G=(V,E)，E={(u,v)|u,v∈V，u→v}- 无向图：对于图G=(V,E)，如果E中的边是无方向的，则称G为无向图。
公式：G=(V,E)，E={{u,v}|u,v∈V，u≠v}- 路径：在图G中，顶点v1,v2,...,vn的一个路径是图G中的一个顶点序列，其中相邻的顶点用一条边连接。
公式：v1,v2, (v)- 回路：在图G中，如果一条路径的起点和终点是同一个顶点，则称其为回路。
离散数学重要公式定理汇总分解
离散数学重要公式定理汇总分解离散数学是计算机科学领域中的一门基础课程，它主要研究离散结构和离散对象之间的关系。
离散数学中有许多重要的公式和定理，这些公式和定理在计算机科学和其他领域中有广泛的应用。
下面是对离散数学中一些重要的公式和定理的汇总。
1.集合：-幂集公式：一个集合的幂集是所有它子集的集合。
一个集合有n个元素，那么它的幂集有2^n个元素。
-集合的并、交、差运算规则：并集运算满足交换律、结合律和分配律；交集运算也满足交换律、结合律和分配律；差集运算不满足交换律和结合律。
2.逻辑：-代数运算规则：多个逻辑表达式的与、或、非运算满足交换律、结合律和分配律。
-归结原理：对于一个给定的只包含“合取”和“析取”的合式公式集合，如果假设集合中的每个合式公式都为真，以及从这些前提出发，不能推导出这个集合中的一个假命题，则称这个假设集合是不一致的。
3.图论：-图的欧拉路径和欧拉回路：对于一个连通的图，如果它存在欧拉路径，那么这个图中最多只有两个度数为奇数的节点；如果一个连通的图存在欧拉回路，那么所有节点的度数都是偶数。
-图的哈密顿路径和哈密顿回路：对于一个图，如果它存在哈密顿路径，那么这个图中任意两个不相邻的节点u和v之间必然存在一条边；如果一个图存在哈密顿回路，那么从任意一个节点开始，可以经过图中的所有节点且最后回到起点。
4.代数结构：-子群定理：如果G是群H的一个子集，并且G是关于群H的运算封闭的，那么G是H的一个子群。
- 同态定理：如果f是从群G到群H的一个满射同态，那么G的核ker(f)是G的一个正规子群，而H是G/ker(f)的同构像。
5.排列组合：-排列公式：从n个元素中取出m个元素进行排列，有P(n,m)=n!/(n-m)!-组合公式：从n个元素中取出m个元素进行组合，有C(n,m)=n!/(m!*(n-m)!)以上只是离散数学中一小部分重要的公式和定理，这些公式和定理在计算机科学、密码学、图形学等领域中有广泛的应用。
离散数学部分概念和公式总结
离散数学部分概念和公式总结命题：称能判断真假的陈述句为命题。
命题公式：若在复合命题中，p、q、r等不仅可以代表命题常项，还可以代表命题变项，这样的复合命题形式称为命题公式。
命题的赋值：设A为一命题公式，p ,p ,…,p 为出现在A中的所有命题变项。
给p ,p ,…,p 指定一组真值，称为对A的一个赋值或解释。
若指定的一组值使A的值为真，则称成真赋值。
真值表：含n（n≥1）个命题变项的命题公式，共有2^n组赋值。
将命题公式A在所有赋值下的取值情况列成表，称为A的真值表。
命题公式的类型：（1）若A在它的各种赋值下均取值为真，则称A为重言式或永真式。
（2）若A在它的赋值下取值均为假，则称A为矛盾式或永假式。
（3）若A至少存在一组赋值是成真赋值，则A是可满足式。
主析取范式：设命题公式A中含n个命题变项，如果A得析取范式中的简单合取式全是极小项，则称该析取范式为A的主析取范式。
主合取范式：设命题公式A中含n个命题变项，如果A得析取范式中的简单合析式全是极大项，则称该析取范式为A的主析取范式。
命题的等值式：设A、B为两命题公式，若等价式A?B是重言式，则称A与B 是等值的，记作A<=>B。
约束变元和自由变元：在合式公式xA和 xA中，称x为指导变项，称A为相应量词的辖域，x称为约束变元，x的出现称为约束出现，A中其他出现称为自由出现（自由变元）。
一阶逻辑等值式：设A，B是一阶逻辑中任意的两公式，若A?B为逻辑有效式，则称A与B是等值的，记作A<=>B，称A<=>B为等值式。
前束范式：设A为一谓词公式，若A具有如下形式Q1x1Q2x2Qk…xkB，称A为前束范式。
集合的基本运算：并、交、差、相对补和对称差运算。
笛卡尔积：设A和B为集合，用A中元素为第一元素，用B中元素为第二元素构成有序对组成的集合称为A和B的笛卡尔积，记为A×B。
二元关系：如果一个集合R为空集或者它的元素都是有序对，则称集合R是一个二元关系。
离散数学知识点整理
离散数学一、逻辑和证明1.1命题逻辑命题：是一个可以判断真假的陈述句。
联接词：∧、∨、→、↔、¬。
记住“p仅当q”意思是“如果p，则q”，即p→。
记住“q除非p”意思是“¬p→q”。
会考察条件语句翻译成汉语。
系统规范说明的一致性是指系统没有可能会导致矛盾的需求，即若pq无论取何值都无法让复合语句为真，则该系统规范说明是不一致的。
1.3命题等价式逻辑等价：在所有可能情况下都有相同的真值的两个复合命题，可以用真值表或者构造新的逻辑等价式。
谓词+量词变成一个更详细的命题，量词要说明论域，否则没有意义，如果有约束条件就直接放在量词后面，如∀x>0P(x)。
当论域中的元素可以一一列举，那么∀xP(x)就等价于P(x1)∧P(x2)...∧P(xn)。
同理，∃xP(x)就等价于P(x1)∨P(x2)...∨P(xn)。
两个语句是逻辑等价的，如果不论他们谓词是什么，也不论他们的论域是什么，他们总有相同的真值，如∀x（P(x)∧Q(x))和(∀xP(x))∧(∀xQ(x))。
量词表达式的否定：¬∀xP(x) ⇔∃x¬P(x)，¬∃xP(x) ⇔∀x¬P(x)。
1.5量词嵌套我们采用循环的思考方法。
量词顺序的不同会影响结果。
语句到嵌套量词语句的翻译，注意论域。
嵌套量词的否定就是连续使用德摩根定律，将否定词移入所有量词里。
1.6推理规则一个论证是有效的，如果它的所有前提为真且蕴含着结论为真。
但有效论证二、集合、函数、序列、与矩阵2.1集合∈说的是元素与集合的关系，⊆说的是集合与集合的关系。
常见数集有N={0,1,2,3...}，Z整数集，Z+正整数集，Q有理数集，R实数集，R+正实数集，C复数集。
A和B相等当仅当∀x(x∈A↔x∈B)；A是B的子集当仅当∀x(x∈A→x∈B)；A是B的真子集当仅当∀x(x∈A→x∈B)∧∃x(x∉A∧x∈B)。
幂集：集合元素的所有可能组合，肯定有∅何它自身。
离散数学知识点整理
离散数学知识点整理离散数学是现代数学的一个重要分支，它在计算机科学、信息科学、数理逻辑等领域都有着广泛的应用。
下面我们来对离散数学中的一些重要知识点进行整理。
一、集合论集合是离散数学中最基本的概念之一。
集合是由一些确定的、互不相同的对象所组成的整体。
比如，｛1, 2, 3}就是一个集合。
集合的运算包括并集、交集、差集和补集。
并集是将两个集合中的所有元素合并在一起组成的新集合；交集是两个集合中共同拥有的元素组成的集合；差集是从一个集合中去掉另一个集合中的元素所得到的集合；补集是在给定的全集范围内，某个集合的补集就是全集中不属于该集合的元素组成的集合。
集合的关系有包含、相等、真包含等。
二、数理逻辑数理逻辑是用数学方法来研究逻辑问题。
命题是具有真假值的陈述句。
比如，“今天是晴天”就是一个命题。
命题逻辑中的连接词有“非”“与”“或”“蕴含”“等价”等。
通过这些连接词，可以将简单命题组合成复合命题，并研究其真假性。
谓词逻辑则是对命题逻辑的扩展，它引入了量词“存在”和“任意”，能够更精确地表达命题。
三、关系关系是集合中元素之间的某种联系。
比如，在整数集合中，“大于”就是一种关系。
关系可以用矩阵和关系图来表示。
关系的性质包括自反性、反自反性、对称性、反对称性和传递性。
等价关系是一种特殊的关系，满足自反性、对称性和传递性。
比如，在整数集合中，“模 n 同余”就是一种等价关系。
偏序关系则是满足自反性、反对称性和传递性的关系。
四、函数函数是一种特殊的关系，对于定义域中的每个元素，在值域中都有唯一的元素与之对应。
函数的类型有单射、满射和双射。
单射是指不同的自变量对应不同的函数值；满射是指函数的值域等于整个目标集合；双射则是既单射又满射。
五、图论图由顶点和边组成。
可以分为无向图和有向图。
图的遍历算法有深度优先搜索和广度优先搜索。
最短路径问题是图论中的一个重要问题，比如迪杰斯特拉算法可以用来求解单源最短路径。
六、树树是一种特殊的图，没有回路且连通。
离散数学部分概念和公式总结(精简版)
第一章命题逻辑一、等价公式(真值表)1)常用联结词：┐否定∨析取∧合取→：条件∆：双条件当且仅当Q 取值为F 时P →Q 为F ，否则为T ★等价公式表(等值公式表)常用的其它真值表┐┐P<=>P 双重否定P ∨P<=>P P ∧P<=>P幂等律(P ∧Q)∧R<=>P ∧(Q ∧R)(P ∨Q)∨R<=>P ∨(Q ∨R)结合律P ∧Q<=>Q ∧P P ∨Q<=>Q ∨P交换律P ∧(Q ∨R)<=>(P ∧Q)∨(P ∧R)P ∨(Q ∧R)<=>(P ∨Q)∧(P ∨R)分配律P ∨(P ∧Q)<=>P P ∧(P ∨Q)<=>P 吸收┐(P ∧Q)<=>┐P ∨┐Q ┐(P ∨Q)<=>┐P ∧┐Q 德摩根P ∨F<=>P P ∧T<=>P 同一律P ∨T<=>T P ∧F<=>F 零律P ∨┐P<=>T P ∧┐P<=>F否定律常用的其它真值表P ┐P T F FTP Q P ∨Q T T T T F T F T T FFFP Q P ∧Q T T T T F F F T F F FFP Q P →Q (┐P ∨Q)T T T T F F F T T FFTP→Q<=>┐P ∨Q P ∆Q<=>(P→Q)∧(Q→P)P ∆Q<=>Q ∆PP ∆Q<=>(P ∧Q)∨(┐P ∧┐Q)┐(P ∆Q)<=>P ∆┐Q R ∨(P ∨┐P)<=>T R ∧(P ∧┐P)<=>F P→Q<=>┐Q→┐P ┐(P→Q)<=>P ∧┐Q (P→Q)∧(P→┐Q)<=>┐P P→(Q→R)<=>(P ∧Q)→R (P ∆Q)∆R<=>P ∆(Q ∆R)命题公式的类型：(1)若A在它的各种赋值下均取值为真，则称A为重言式或永真式。
考试必备离散数学概念总结
考试必备离散数学概念总结1.1、单个命题变项和命题常项是合式公式, 称作原子命题公式2.1、若等价式A?B是重言式，则称A与B等值，记作A?B，并称A?B是等值式2.2、(1) 文字——命题变项及其否定的总称2.3、设C1=l∨C1', C2=lc∨C2', C1'和C2'不含l和lc, 称C1∨'C2'为C1和C2(以l和lc为消解文字)的消解式或消解结果, 记作Res(C1,C2)2.4、设S是一个合取范式, C1,C2,?,Cn是一个简单析取式序列. 如果对每一个i(1≤i≤n), Ci是S的一个简单析取式或者是Res(Cj,Ck)(1≤j<k<=""></k3.1、设A1, A2, …, Ak, B为命题公式. 若对于每组赋值，A1∧A2∧…∧Ak为假，或当A1∧A2∧…∧Ak为真时，B也为真，则称由前提A1, A2, …, Ak推出结论B的推理是有效的或正确的, 并称B是有效结论.4.1、个体词——所研究对象中可以独立存在的具体或抽象的客体个体常项：具体的事物，用a, b, c表示个体变项：抽象的事物，用x, y, z表示个体域(论域)——个体变项的取值范围4.2、谓词——表示个体词性质或相互之间关系的词谓词常项：如, F(a)：a是人谓词变项：如, F(x)：x具有性质F一元谓词(n=1)——表示性质多元谓词(n≥2)——表示事物之间的关系0元谓词——不含个体变项的谓词, 即命题常项或命题变项4.3、设L是一个非逻辑符集合, 由L生成的一阶语言L 的字母表包括下述符号：非逻辑符号（个体常项符号、函数符号、谓词符号）和逻辑符号（个体变项符号、量词符号、联结词符号、括号与逗号）4.4、设R(x1, x2, …, xn)是L的任意n元谓词，t1, t2, …, tn 是L 的任意n个项，则称R(t1,t2, …, tn)是L的原子公式.4.5、在公式?xA 和?xA 中，称x为指导变元，A为相应量词的辖域. 在?x和?x的辖域中，x的所有出现都称为约束出现，A中不是约束出现的其他变项均称为是自由出现.4.6、若公式A中不含自由出现的个体变项，则称A为封闭的公式，简称闭式.6.1、A?B??x ( x∈A →x∈B )6.2、A = B?A?B∧B?A6.3、A?B?A?B∧A≠BA?B??x ( x∈A ∧x?B )6.4、幂集：P(A)={ x | x ?A } （一定包含空集）6.5、并A?B = {x | x∈A∨x∈B}交A?B = {x | x∈A∧x∈B}相对补A-B = {x | x∈A∧x?B}对称差A⊕B = (A-B)?(B-A)绝对补~A = E-A6.6、广义并?A = { x | ?z ( z∈A∧x∈z )}广义交?A= { x | ?z ( z∈A →x∈z )}7.1、设A,B为集合，A与B的笛卡儿积记作A?B，且A?B = {| x∈A∧y∈B}.7.2、设A,B为集合, A×B的任何子集所定义的二元关系叫做从A 到B的二元关系, 当A=B时则叫做A上的二元关系.（计数：|A|=n, |A×A|=n^2, 所以A上有2^(n^2)个不同的二元关系。
离散数学第一章知识点总结
离散数学第一章知识点总结离散数学是现代数学的一个重要分支，它在计算机科学、信息科学、物理学等领域都有着广泛的应用。
第一章通常是对离散数学的基础概念和预备知识进行介绍，为后续的学习打下坚实的基础。
以下是对离散数学第一章知识点的详细总结。
一、集合的基本概念集合是由一些确定的、不同的对象所组成的整体。
集合中的对象称为元素。
我们通常用大写字母来表示集合，用小写字母表示元素。
如果一个元素 a 属于集合 A，记作 a ∈ A；如果一个元素 b 不属于集合 A，记作 b ∉ A。
集合有两种常见的表示方法：列举法和描述法。
列举法是将集合中的元素一一列举出来，例如 A ＝｛1, 2, 3, 4, 5}。
描述法是通过描述元素的共同特征来表示集合，例如 B ＝｛x ｜ x 是大于 0 小于 10 的整数}。
集合之间的关系包括子集、真子集和相等。
如果集合 A 中的所有元素都属于集合 B，那么 A 是 B 的子集，记作 A ⊆ B。
如果 A 是 B 的子集，且 B 中存在元素不属于 A，那么 A 是 B 的真子集，记作 A ⊂ B。
如果 A 和 B 包含相同的元素，那么 A 和 B 相等，记作 A ＝ B。
二、集合的运算集合的基本运算有并集、交集和差集。
集合 A 和集合 B 的并集，记作 A ∪ B，是由属于 A 或者属于 B 的所有元素组成的集合。
集合 A 和集合 B 的交集，记作A ∩ B，是由同时属于 A 和 B 的所有元素组成的集合。
集合 A 与集合 B 的差集，记作 A B，是由属于 A 但不属于 B 的所有元素组成的集合。
此外，还有补集的概念。
如果给定一个全集 U，集合 A 的补集记作A，是由属于 U 但不属于 A 的所有元素组成的集合。
集合运算满足一些重要的定律，如交换律、结合律、分配律等。
例如，A ∪ B ＝ B ∪ A（并集的交换律），A ∩ B ＝B ∩ A（交集的交换律），（A ∪ B) ∪ C ＝ A ∪（B ∪ C)（并集的结合律），（A ∩B) ∩ C ＝A ∩ （B ∩ C)（交集的结合律）等。
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第一章 命题逻辑
一、等价公式(真值表)
1)常用联结词：
┐否定
∨析取
P ┐P TF FT
PQ TT TF FT FF
P∨Q T T T F
∧合取
P Q P ∧Q TT T TF F FT F FF F
→：条件
：双条件
当且仅当 Q 取值为 F 时 P →Q 为 F，否则为 T
P Q P →Q(┐P∨ Q) T TT T FF F TT F FT
★蕴含公式表：此表可以理解为子集=>全集)
1
P∧Q=>P
2
P∧Q=>Q
3
P=>P∨Q
4
┐P=>P→Q
5
Q=>P→Q
6
┐(P→Q)=>P
7
┐(P→Q)=>┐Q
8
P∧(P→Q)=>Q
9
┐Q∧(P→Q)=>┐P
10
┐P∧(P∨Q)=>Q
11
(P→Q) ∧(Q→R)=>P→R
12
(PQ) ∧(QR)=>PR
001 000
0 1 0 0 0 0 111
<=> (┐P∧┐Q∧┐R) ∨(┐P∧┐Q∧R) ∨(┐P∧Q∧┐R) ∨(P∧Q∧R) 主析取范式
000
0 0 1 0 1 0 111
求主合取范式过程按照上面的取值取反应该是(011,100,101,110)的编号次序，但是大项
小项的编码是相反的，然后吧∧互换∨，因而住合取范式为：
a) 划归为析取范式； b) 去除范式中的永假析取值项(例如 P∧┐P)； c) 重复合取项和相同的变元合并； d) 对合取补没有出现的命题变元，即添加(P∨┐P)式，应用分配律展开公式。 主合取范式：设命题公式 A 中含 n 个命题变项，如果 A 得析取范式中的简单合析 式全是大项，则称该析取范式为 A 的主析取范式。 例如：P,Q 的大项是 P∨ Q, ┐P∨Q, P ∨┐Q, ┐P∨ ┐Q(不能同时出现┐Q 和 Q) 大项性质： a) 每个大项当指派真值与编码相同时，其值为 F，否则全为 T (共 2n-1 个) (例如当 P，Q，R 全部为 F 的时候大项 P∨Q∨R 才为 F，否则全部为 T)
主合取范式与主析取范式关系及整理技巧(以 3 个变元为例)
小项
┐P∧┐Q∧┐R ┐P∧┐Q∧R ┐P∧Q∧┐R ┐P∧Q∧R P∧┐Q∧┐R P∧┐Q∧R P∧Q∧┐R P∧Q∧R
解释
000 001 010 011 100 101 110 111
记法
m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7
大项
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离散数学复习材料
命题公式的类型：
(1)若 A 在它的各种赋值下均取值为真，则称 A 为重言式或永真式。 (2)若 A 在它的赋值下取值均为假，则称 A 为矛盾式或永假式。
(3)若 A 至少存在一组赋值是成真赋值，则 A 是可满足式。
当 P→Q 是一个重言式(永真式)称 P 蕴含 Q 记做 P=>Q
如：(P∨(Q∧R)) →(P∧Q∧R) 主析取范式和主合取范式
<=> ┐(P∨(Q∧R)) ∨(P∧Q∧R)
<=> (┐P∧┐(Q∧R)) ∨(P∧Q∧R)
<=> (┐P∧┐Q)∨(┐P∧┐R) ∨(P∧Q∧R)
<=> (┐P∧┐Q∧R) ∨(┐P∧┐Q∧┐R) ∨(┐P∧Q∧┐R) ∨(┐P∧┐Q∧┐R) ∨(P∧Q∧R)
P∨Q∨R P∨Q∨┐R P∨┐Q∨R P∨┐Q∨┐R ┐P∨Q∨R ┐P∨Q∨┐R ┐P∨┐Q∨R ┐P∨┐Q∨┐R 小项大项反过来
解释
000 001 010 011 100 101 110 111
记法
M0 M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7
合 取 范 式 ∑(m1,m3,m5,m6,m7)<==> 析 取 范 式 ∏(M0,M2,M4) 例
13
(P∨Q)∧(P→S)∧(Q→R)=>R
14
(P→Q)ห้องสมุดไป่ตู้(R→S) => (P∧R) →(Q∧S)
对偶式与范式：
性质：┐A(P1,P2…..Pn)<=>A*(┐P1, ┐P2……┐Pn) A (┐P1, ┐P2……┐Pn) <=>┐A*(P1,P2…..Pn)
主析取范式：设命题公式 A 中含 n 个命题变项，如果 A 得析取范式中的简单合取 式全是小项，则称该析取范式为 A 的主析取范式。(即 A1∨A2∨….. ∨An 形式)
例如：P,Q 的小项是 P∧Q, ┐P∧Q, P∧┐Q, ┐P∧┐Q(不能同时出现┐Q 和 Q) 小项性质：
a) 每个小项当指派真值与编码相同时，其值为 T，否则全为 F(共 2n-1 个) (例如当 P，Q，R 全部为 T 的时候小项 P∧Q∧R 才为 T，否则全部为 F)
b) 任意两个小项合取值为 F c) 全部小项析取值为 T 找主析取范式的方法步骤
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离散数学复习材料
b) 任意两个大项合取值为 T c) 全部大项合取值为 T 找主合取范式的方法步骤
e) 划归为合取范式； f) 去除范式中的永真合取值项(例如 P ∨┐P)； g) 重复析取项和相同的变元合并； h) 对析取补没有出现的命题变元，即添加(P∧┐P)式，应用分配律展开公式。
常用的其它真值表
双重否 定 幂等律 结合律 交换律 分配律 吸收 德摩根 同一律 零律 否定律
常用的其它真值表
P→Q<=>┐P∨Q PQ<=>(P→Q)∧(Q→P) PQ<=> Q P PQ<=>(P∧Q)∨(┐P∧┐Q) ┐(PQ) <=> P┐Q R∨(P∨┐P)<=>T R∧(P∧┐P)<=>F P→Q<=>┐Q→ ┐P ┐(P→Q)<=> P∧┐Q (P→Q)∧(P→ ┐Q) <=>┐P P→(Q→R)<=>(P∧Q)→R (PQ)R<=> P (QR)
P Q P Q TT T TF F FTF FF T
★等价公式表(等值公式表)
┐┐P<=>P
P∨P<=>P P∧P<=>P (P∧Q)∧R<=>P∧(Q∧R) (P∨Q)∨R<=>P∨(Q∨R) P∧Q<=>Q∧P P∨Q<=>Q∨P P∧(Q∨R)<=>(P∧Q)∨(P∧R) P∨(Q∧R)<=>(P∨Q)∧(P∨R) P∨(P∧Q)<=>P P∧(P∨Q)<=>P ┐(P∧Q)<=> ┐P∨┐Q ┐(P∨Q)<=> ┐P∧┐Q P∨F<=>P P∧T<=>P P∨T<=>T P∧F<=>F P∨┐P<=>T P∧┐P<=>F