C A R T 分 类 与 回 归 树

决策树(ID3 C4.5 CART)原理+推导+代码文章目录简介初识决策树特征选择信息增益信息增益比ID3C4.5决策树剪枝CART 分类与回归树简述：回归树的生成分类树的生成CART剪枝优缺点决策树ID3、C4.5算法CART分类与回归树适用场景代码决策树模型，自己总结了很久，也认为比较全面了。

现在分享一下自己总结的东西。

这里面我只捡精炼的说，基本上都是干货，然后能用人话说的，我也不会疯狂排列数学公式。

初识决策树决策树其实是用于分类的方法，尤其是二分类就是是非题，不过当然不限于二分，然后CART可以应用于分类和回归。

其中对于回归的处理让我很是佩服。

树形结构模型，可以理解为if-else集合。

三个步骤特征选择生成决策树节点和有向边组成。

结点包括内节点（一个特征和属性）叶子节点（一个类）先看一下模型图每个有向边都是一条规则，节点出度规则是完备的。

算法基本流程根据训练集生成决策树。

根据测试集剪枝。

特征选择特征选择我们有一个潜意识里的认识，就是希望选取对于分类有帮助的特征。

那么这里采用信息增益的指标来判断。

什么是信息增益？信息增益什么是熵用来度量随机变量的不确定性的，熵越大，不确定性越高。

所以我们得到了信息增益的算法：根据上述方法我们可以得到一个属性的排序。

信息增益比根据上面的公式其实是更有益于选择那些属性值多的属性，这是需要改进的，所以我们增加一个分母。

得到信息增益比的定义：知道了我们如何选择特征了，接下来就是生成决策树的算法了，一共有两种，先介绍一下ID3。

简单来说就是根据信息增益从大到小进行排序来选择结点。

算法简述：从根节点开始，选择信息增益最大的属性来划分children结点。

然后选择每个孩子结点来作为根节点，再根据信息增益选择下一个属性来划分。

当信息增益小于阈值，或者没有剩余属性的时候停止。

这里其实思想完全和ID3一样，唯一不同的就是使用的是信息增益比。

决策树剪枝当我们把所有的属性或者过多的属性来生成决策树的时候，很可能过拟合，也就是说对于训练集有很好的表现，但是在真正的预测阶段不尽如人意。

所以我们进行剪枝操作：极小化决策树整体损失函数。

首先来看一下损失函数的定义：抱歉这里我写的有点乱，解释一下。

Nt表示的是叶子节点t有多少个样本点。

Ht(T)表示叶子节点t上的熵，然后求解方法和上面说到的熵的求解是一样的。

然后第二项是一个正则项，也就是把对模型的复杂度的要求加入进来。

用|T|，叶子节点的个数来表示模型复杂度。

那么第一项就是整个模型的误差了，肯定是越小越好的。

然后α控制模型的复杂度，具体的在上述图片的下面。

剪枝的过程描述：计算每个节点的经验熵递归：从每个叶子结点回缩，也就是向上递归，如果去掉子树的随时函数小于不去掉之前的随时函数，就要剪枝。

CART 分类与回归树CART是二叉树，左是右否剪枝的时候使用测试集交叉验证，然后随时函数作为标准。

生成：回归树使用平方误差最小化，分裂树使用基尼指数。

回归树的生成遵循最小二乘生成法这里很难理解。

首先我们想要对于连续的数据使用树的结构来分解，最终就是得到的每个叶子节点一定是一个空间。

然后在这个空间里面对应着预测值y。

那么其中的关键就是如何将输入空间进行划分。

这里使用的是自启发的方法，来找到最优的分割点。

（也叫决策点）上面是统计学习一书中的解释，可能会有些晦涩，简单来说，大家可以联想最小二乘法，如果你对于最小二乘法的思想不理解的话，真的不可能看懂这个方法的精髓。

给大家推荐一个最小二乘法的blog，我认为写的非常好。

然后最终得到的x(j) = s，就是最优的决策点。

然后用这个点来划分空间。

一个决策点就划分了两个空间，然后在对这两个空间使用同样的方法。

将连续的数据使用离散的模型表示出来了。

由此决策树的生成就完成了。

分类树的生成分类树的生成使用的是基尼系数。

其实基尼系数和信息增益所表达的是一样的。

定义：基尼指数（基尼不纯度）：表示在样本集合中一个随机选中的样本被分错的概率。

Gini指数越小表示集合中被选中的样本被分错的概率越小，也就是说集合的纯度越高，反之，集合越不纯。

基尼指数（基尼不纯度）= 样本被选中的概率 * 样本被分错的概率所以这里树的生成和ID3同样是一样的。

不在多赘述。

CART剪枝CART的剪枝有些复杂，目的是生成一个子树序列，然后通过交叉验证来选择最优子树。

决策树易于理解和解释，可以可视化分析，容易提取出规则；可以同时处理标称型和数值型数据；比较适合处理有缺失属性的样本；能够处理不相关的特征；测试数据集时，运行速度比较快；在相对短的时间内能够对大型数据源做出可行且效果良好的结果。

容易发生过拟合（随机森林可以很大程度上减少过拟合）；容易忽略数据集中属性的相互关联；对于那些各类别样本数量不一致的数据，在决策树中，进行属性划分时，不同的判定准则会带来不同的属性选择倾向；信息增益准则对可取数目较多的属性有所偏好（典型代表ID3算法），而增益率准则（CART）则对可取数目较少的属性有所偏好，但CART进行属性划分时候不再简单地直接利用增益率尽心划分，而是采用一种启发式规则）（只要是使用了信息增益，都有这个缺点，如RF）。

ID3算法计算信息增益时结果偏向数值比较多的特征。

改进措施对决策树进行剪枝。

可以采用交叉验证法和加入正则化的方法；使用基于决策树的combination算法，如bagging算法，randomforest 算法，可以解决过拟合的问题。

ID3、C4.5算法产生的分类规则易于理解，准确率较高。

在构造树的过程中，需要对数据集进行多次的顺序扫描和排序，因而导致算法的低效；C4.5只适合于能够驻留于内存的数据集，当训练集大得无法在内存容纳时程序无法运行。

CART分类与回归树非常灵活，可以允许有部分错分成本，还可指定先验概率分布，可使用自动的成本复杂性剪枝来得到归纳性更强的树；在面对诸如存在缺失值、变量数多等问题时CART 显得非常稳健。

适用场景企业管理实践，企业投资决策，由于决策树很好的分析能力，在决策过程应用较多。

import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltimport matplotlib as mplfrom sklearn.tree import DecisionTreeClassifierdef iris_type(s):it = {b'Iris-setosa': 0, b'Iris-versicolor': 1, b'Iris-virginica': 2}return it[s]iris_feature = u'花萼长度', u'花萼宽度', u'花瓣长度', u'花瓣宽度'if __name__ == "__main__":mpl.rcParams['font.sans-serif'] = [u'SimHei']mpl.rcParams['axes.unicode_minus'] = Falsepath = '.-dataSet-iris.data' # 数据文件路径data = np.loadtxt(path, dtype=float, delimiter=',', converters={4: iris_type})x_prime, y = np.split(data, (4,), axis=1)feature_pairs = [[0, 1], [0, 2], [0, 3], [1, 2], [1, 3], [2, 3]]plt.figure(figsize=(10, 9), facecolor='#FFFFFF')for i, pair in enumerate(feature_pairs):# 准备数据x = x_prime[:, pair]# 决策树学习clf = DecisionTreeClassifier(criterion='entropy', min_samples_leaf=3)dt_clf = clf.fit(x, y)N, M = 500, 500x1_min, x1_max = x[:, 0].min(), x[:, 0].max()x2_min, x2_max = x[:, 1].min(), x[:, 1].max()t1 = np.linspace(x1_min, x1_max, N)t2 = np.linspace(x2_min, x2_max, M)x1, x2 = np.meshgrid(t1, t2)x_test = np.stack((x1.flat, x2.flat), axis=1)y_hat = dt_clf.predict(x)y = y.reshape(-1)c = np.count_nonzero(y_hat == y) # 统计预测正确的个数print('特征：', iris_feature[pair[0]], ' + ', iris_feature[pair[1]])print('t预测正确数目：', c)print('t准确率: %.2f%%' % (100 * float(c) - float(len(y)))) cm_light = mpl.colors.ListedColormap(['#A0FFA0', '#FFA0A0', '#A0A0FF'])cm_dark = mpl.colors.ListedColormap(['g', 'r', 'b'])y_hat = dt_clf.predict(x_test) # 预测值y_hat = y_hat.reshape(x1.shape)plt.subplot(2, 3, i+1)plt.pcolormesh(x1, x2, y_hat, cmap=cm_light)plt.scatter(x[:, 0], x[:, 1], c=y, edgecolors='k', cmap=cm_dark)plt.xlabel(iris_feature[pair[0]], fontsize=14)plt.ylabel(iris_feature[pair[1]], fontsize=14)plt.xlim(x1_min, x1_max)plt.ylim(x2_min, x2_max)plt.grid()plt.suptitle(u'决策树对鸢尾花数据的两特征组合的分类结果', fontsize=18)plt.tight_layout(2)plt.subplots_adjust(top=0.92)plt.show()大家共勉~欢迎指正Gini(p) = sum_{k=1}^{K}p_k (1 - p_k) = 1 - sum_{k=1}^{K} {p_k}^2 容易求得在R1R1,R2R2内部使得平方损失误差达到最小值的c1c1,c2c2为：bestIndex = featIndex# 对于每一个可能的二分结果计算gini增益list1.append(row){married} | {single,divorced}{single} | {married,divorced}{divorced} | {single,married}（2）两个特征取值之间的中点作为可能的分裂点，将数据集分成两部分，计算每个可能的分裂点的GiniGain。