2020届北京各区初三数学一模压轴题解析汇编1(海淀、房山、西城)
2020年北京市各区一模测试九年级数学选择压轴题及答案
2020一模选择压轴题1、（朝阳）8．生活垃圾分类回收是实现垃圾减量化和资源化的重要途径和手段．为了解2019年某市第二季度日均可回收物回收量情况，随机抽取该市2019年第二季度的m 天数据，整理后绘制成统计表进行分析．表中3≤x ＜4组的频率a 满足0.20≤a ≤0.30．下面有四个推断： ① 中m 的值为20； ②表中b 的值可以为7；③这m 天的日均可回收物回收量的中位数在4≤x ＜5组；④这m 天的日均可回收物回收量的平均数不低于3． 所有合理推断的序号是（A ）①② （B ）①③ （C ）②③④ （D ）①③④2、（房山）8. 在关于n 的函数bn an S +=2中，n 为自然数. 当n=9时，S < 0；当n=10时，S > 0. 则当S 的值最小时，n 的值为（ ）A ．3 B ．4 C ．5 D ．63、（丰台）8. 图书馆将某一本书和某一个关键词建立联系，规定：当关键词A i 出现在书B j 中时，元素ij a =1，否则ij a =0（i ,j 为正整数）.例如：当关键词A 1出现在书B 4中时，a 14=1，否则a 14=0.根据上述规定，某读者去图书馆寻找书中同时．．有关键词“A 2，A 5，A 6”的书，则下列相关表述错误的是 （A ）当a 21+a 51+a 61=3时，选择B 1这本书（B ）当a 22+a 52+a 62<3时，不选择B 2这本书（C ）当a 2j ，a 5j ，a 6j 全是1时，选择B j 这本书（D ）只有当a 2j +a 5j +a 6j =0时，才不能选择B j 这本书 4、（海淀）8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，AB ，CD ，EF ，GH 是正方形OPQR边上的线段，点M 在其中某条线段上，若射线OM 与x 轴正半轴的夹角为α，且sin cos αα>，则点M 所在的线段可以是A ．AB 和CD B ．AB 和EFC ．CD 和GH D ．EF 和GH5、（密云）8. 据统计表明，2019年中国电影总票房高达642.7亿元，其中动画电影发展优势逐渐显现出来．下面的统计表反映了六年来中国上映的动画电影的相关数据：（以上数据摘自《中国电影产业市场前瞻与投资战略规划分析报告》）根据上表数据得出以下推断，其中结论不正确．．．的是（）A．2017年至2019年，国产动画影片数量均低于进口动画影片数量B．2019年与2018年相比，中国动画电影的数量增加了50%以上C．2014年至2019年，中国动画电影的总票房逐年增加D．2019年，中国动画电影的总票房占中国电影总票房的比例不足20%6、（平谷）8.某校在“爱护地球，绿化祖国”的活动中，组织同学开展植树造林活动，为了了解同学的植树情况，学校抽查了初一年级所有同学的植树情况（初一年级共有两个班），并将调查数据整理绘制成如下所示的部分数据尚不完整的统计图表．下面有四个推断：初一年级植树情况统计表棵树/棵12345人数733a123① a的值为20；① 初一年级共有80人；① 一班植树棵树的众数是3；①二班植树棵树的是中位数2．其中合理的是（A）①①（B）①① （C）①①（D）①①①7、(顺义)8．小明、小聪参加了100m跑的5期集训，每期集训结束时进行测试，根据他们的集训时间、测试成绩绘制成如下两个统计图．图1 图2根据图中信息，有下面四个推断：①这5期的集训共有56天；②小明5次测试的平均成绩是11.68秒；③从集训时间看，集训时间不是越多越好，集训时间过长，可能造成劳累，导致成绩下滑；④从测试成绩看，两人的最好成绩都是在第4期出现，建议集训时间定为14天．所有合理推断的序号是（A）①③（B）②④（C）②③（D）①④8、（西城）8．设m 是非零实数，给出下列四个命题：① 若10m -<<， 则21m m m <<； ② 若1m >，则21m m m<<； ③ 若21m m m <<，则0m <； ④若21m m m<<，则01m <<． 其中命题成立的序号是（A ）①③（B ）①④ （C ）②③（D ）③④9、(延庆) 8.如图，在①O 中，点C 在优弧AB 上，将弧BC 沿直线BC 折叠后刚好经过弦AB 的 中点D ．若①O 的半径为5，AB ＝4，则BC 的长是 A ．32B ．23C ．235 D ．265 10、（燕山）8．为了解高校学生对5G 移动通信网络的消费意愿，从在校大学生中随机抽取了1000人进行调查，下面是大学生用户分类情况统计表和大学生愿意为5G 套餐多支付的费用情况统计图（例如，早期体验用户中愿意为5G 套餐多支付10元的人数占所有早期体验用户的50%）．用户分类人数A ：早期体验用户（目前已升级为5G 用户）260人B ：中期跟随用户（一年内将升级为5G 用户）540人C ：后期用户（一年后才升级为5G 用户）200人下列推断中，不合理的是A ．早期体验用户中，愿意为5G 套餐多支付10元，20元，30元的人数依次递减B ．后期用户中，愿意为5G 套餐多支付20元的人数最多C ．愿意为5G 套餐多支付10元的用户中，中期跟随用户人数最多D ．愿意为5G 套餐多支付20元的用户中，后期用户人数最多11、（通州）8.改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变，近年来，移动支付已成为主要的支付方式之一，为了解某校学生上个月A,B 两种移动支付方式的使用情况，从全校1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A,B 两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A 种支付方式和仅使用B 种支付方式的学生的支付金额a (元)的分布情况如下:支付金额a （元） 支付方式0<a ≤10001000<a ≤2000a >2000仅使用A 18人 9人 3人 仅使用B10人14人1人下面有四个推断:①从样本中使用移动支付的学生中随机抽取一名学生，该生使用A 支付方式的概率大于他使用B 支付方式的概CB 15%5%4%35%56%40%40%55%50%30%A 人数占比O10%率;②根据样本数据估计，全校1000名学生中。
2020年北京市海淀区中考数学一模试题(解析版)
2020年北京市海淀区中考数学一模试卷一．选择题1. 2的相反数是（）A. 2B. －2C. 12D. 12-【答案】B【解析】【详解】2的相反数是-2.故选：B.2. 下列几何体中，主视图为矩形的是（ ）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据主视图是从物体正面看，所得到的图形，分别得出四个几何体的主视图，即可解答．【详解】解：A、圆锥的主视图是等腰三角形，不符合题意；B、长方体的主视图是矩形，符合题意；C、球的主视图是圆形，不合题意；D、该几何体的主视图是梯形，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，解题的关键是能够理解主视图的概念以及对常见的几何体的主视图有一定的空间想象能力．3. 北京故宫有着近六百年的历史，是最受中外游客喜爱的景点之一，其年接待量在2019年首次突破19000000人次大关．将19000000用科学记数法可表示为（ ）A. 0.19×108B. 0.19×107C. 1.9×107D. 19×106【答案】C【解析】【分析】直接利用科学记数法的定义结合科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数，进而得出答案．【详解】解：将19000000用科学记数法表示为：1.9×107．故选：C．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4. 如图是北京大兴国际机场俯视图的示意图.下列说法正确的是（）A. 这个图形是轴对称图形，但不是中心对称图形B. 这个图形是中心对称图形，但不是轴对称图形C. 这个图形既是轴对称图形，又是中心对称图形D. 这个图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形【答案】A【解析】【分析】根据轴对称图形定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就是轴对称图形，根据中心对称图形的定义：绕对称中心旋转180°后得到的图形与原图形重合，那么这个图形就是中心对称图形，即可判断得出答案．【详解】由图可知，图形关于中间轴折叠能完全重合，\此图形是轴对称图形，但绕中心旋转180°后，图形不能完全重合，\此图形不是中心对称图形．故选：A．【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，解题关键是熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．5. 将抛物线2y x=向下平移3个单位长度所得到的抛物线是（）2A. 22(3)=- D.=- C. 2y x2323y x=+ B. 2y x22(3)y x =+【答案】B【解析】【分析】根据“上加下减”即可求出平移后抛物线解析式．【详解】解：根据“上加下减”即可求出向下平移3个单位长后的抛物线解析式为：2=23y x -．故选：B ．【点睛】本题考查了抛物线平移问题，熟练掌握左加右减，上加下减是解题的关键．6. 如图，AB 与⊙O 相切于点B ，AO 的延长线交⊙O 于点C ，连结BC ，若OC =12OA ，则∠C 等于（ ）A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°【答案】B【解析】【分析】连接OB ，构造直角△，结合已知条件推知直角△ABO 的直角边OB 等于斜边OA 的一半，则∠A=30°．【详解】如图，连接OB ．∵AB 与⊙O 相切于点B ，∴∠ABO=90°．∵OB=OC ，12OC OA =，∴∠C=∠OBC ，OB=12OA ，∴∠A=30°，∴∠AOB=60°，则∠C+∠OBC=60°，∴∠C=30°．故选：B．【点睛】本题考查了切线的性质，圆的切线垂直于过切点的半径；在直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半．7. 若实数m，n，p，q在数轴上的对应点的位置如图所示，且n与q互为相反数，则绝对值最大的数对应的点是（ ）A. 点MB. 点NC. 点PD. 点Q 【答案】C【解析】【分析】根据数轴可以得到实数m，n，p，q的大小关系，再根据n与q互为相反数，可以得到原点所在的位置，从而可以得到绝对值最大的数对应的点是哪个点．【详解】解：由数轴可得，p＜n＜m＜q，∵n与q互为相反数，∴原点在线段NQ的中点处，∴绝对值最大的数对应的点是点P，故选：C．【点睛】考查实数与数轴、相反数，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想．8. 如图，在平面直角坐标系xOy中，AB，CD，EF，GH是正方形OPQR边上的线段，点M在其中某条线段上，若射线OM与x轴正半轴的夹角为a，且sin cosa a>，则点M所在的线段可以是( )A. AB和CDB. AB和EFC. CD和GHD. EF和GH【答案】D【解析】【分析】分情况考虑：先考虑点M 分别在边PQ 上的线段AB 和CD 上的情况，根据正弦、余弦函数的定义判断即可；再考虑点M 分别在边QR 上的线段EF 和GH 上的情况，根据正弦、余弦函数的定义判断即可．【详解】如图，当点M 在线段AB 上时，连接OM ．sin PM OM a =Q ，cos OP OMa =，OP PM >，sin cos a a \<，同法可证，点M 在CD 上时，sin cos a a <，如图，当点M 在EF 上时，作MJ OP ^于J ．sin MJ OM a =Q ，cos OJ OMa =，OJ MJ <，sin cos a a \>，同法可证，点M 在GH 上时，sin cos a a >，故选：D ．【点睛】本题考查了正方形的性质，三角函数中正弦和余弦的定义，涉及到分类讨论，关键是构造直角三角形，从而可在直角三角形中利用正余弦的定义进行．二．填空题9. 若代数式1x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是_______．【答案】1x ³【解析】【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x 的不等式，求出x 的取值范围即可．【详解】解：范围内有意义，∴x -1≥0，解得x ≥1．故答案为：x ≥1．【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．10. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =2，且tan A =13，则AC =_____．【答案】6【解析】【分析】根据正切的定义列式计算，得到答案．【详解】解：∵ tan A =13，∴13BC AC =，即213AC =，解得，AC =6，故答案为：6．【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A 的对边a 与邻边b 的比叫做∠A 的正切是解题的关键．11. 分解因式：22ab ac -=_________________________．【答案】()()a b c b c +-．【解析】【详解】试题分析：原式=22()a b c -=()()a b c b c +-，故答案为()()a b c b c +-．考点：提公因式法与公式法的综合运用．12. 若一个多边形的每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是_____．【答案】9【解析】【详解】解：360÷40=9，即这个多边形的边数是9．故答案为：9．13. 某校初三年级在“停课不停学”期间，积极开展网上答疑活动，在某时间段共开放7个网络教室，其中4个是数学答疑教室，3个是语文答疑教室．为了解初三年级学生的答疑情况，学校教学管理人员随机进入一个网络教室，则该教室是数学答疑教室的概率为_____．【答案】47【解析】【分析】根据概率公式即可求出该教室是数学答疑教室的概率．【详解】根据题意可知：共开放7网络教室，其中4个是数学答疑教室，3个是语文答疑教室，管理人员随机进入一个网络教室，则该教室是数学答疑教室的概率为47．故答案为：47．【点睛】考查了列表法与树状图法求概率，解题关键是会列列表或树状图和掌握概率公式．14. 如图，在▱ABCD 中，延长CD 至点E ，使DE =DC ，连接BE 与AC 于点F ，则BF FE的值是_____．【答案】12【解析】【分析】在▱ABCD 中，AB ∥CD ，AB =CD ，根据DE =DC ，可得AB =CD =DE =12CE ，再由AB ∥CD ，可得△ABF ∽△CEF ，对应边成比例即可求得结论．【详解】解：在▱ABCD 中，AB ∥CD ，AB =CD ，∵DE =DC ，∴AB =CD =DE =12CE ，∵AB ∥CD ，∴△ABF ∽△CEF ，∴12BFAB FE CE ==．故答案为：12．【点睛】考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，解题关键是掌握并运用了相似三角形的判定与性质．15. 为了丰富同学们的课余生活，某年级买了3个篮球和2个足球，共花费了474元，其中篮球的单价比足球的单价多8元，求篮球和足球的单价，如果设篮球的单价为x 元，足球的单价为y 元，依题意可列方程组为_____．【答案】324748x y x y +=ìí-=î【解析】【分析】根据“3个篮球的价钱+2个足球的价钱=474和篮球单价﹣足球的单价=8元”可列方程组．【详解】设篮球的单价为x 元，足球的单价为y 元，根据题意可列方程组为324748x y x y +=ìí-=î，故答案为：324748x y x y +=ìí-=î．【点睛】考查了实际问题抽象出二元一次方程组，解题关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，再设未知数，列出方程组．16. 如果四边形有一组对边平行，且另一组对边不平行，那么称这样的四边形为梯形，若梯形中有一个角是直角，则称其为直角梯形．下面四个结论中：①存在无数个直角梯形，其四个顶点分别在同一个正方形的四条边上；②存在无数个直角梯形，其四个顶点在同一条抛物线上；③存在无数个直角梯形，其四个顶点在同一个反比例函数的图象上；④至少存在一个直角梯形，其四个顶点在同一个圆上．所有正确结论的序号是_____．【答案】①②③【解析】【分析】根据直角梯形的性质，画出图形利用图象法一一判断即可．【详解】①如图1中，点P 是正方形ABCD 的边AD 上的任意一点，则四边形ABCP 是直角梯形，这样的直角梯形有无数个，故①正确．②如图2中，四边形ABCO 样的直角梯形有无数个，故②正确．③如图3中，四边形ABCD 是直角梯形，这样的直角梯形有无数个，故③正确．④直角梯形的四个顶点，不可能在同一个圆上，故④错误，故答案为：①②③．【点睛】考查了直角梯形的定义，二次函数的性质，反比例函数的性质，四点共圆等知识，解题关键是理解题意，学会利用图象法解决问题．三．解答题17. 计算：()02122sin 30-+-°+．【答案】【解析】【分析】利用二次根式的性质和特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简，再相加减即可．【详解】原式2×12﹣【点睛】考查了实数的运算，解题关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．18. 解不等式组：()3121212x x x x ì-<ïí-+>ïî．【答案】﹣1＜x ＜3【解析】【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．【详解】()3121212x x x x ì-<ïí-+>ïî①②，由①得：x ＜3，由②得：x ＞﹣1，所以不等式组的解集为﹣1＜x ＜3．【点睛】考查了求不等式组的解集，解题关键是熟练掌握求公共部分的方法：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．19. 如图，已知等边三角形ABC ，延长BA 至点D ，延长AC 至点E ，使AD =CE ，连接CD ，BE ．求证：△ACD ≌△CBE ．【答案】见解析【解析】【分析】根据等边三角形的性质求得AC =BC ，∠DAC =∠BCE ，再根据SAS 证明△ACD ≌△CBE ．【详解】证明：∵△ABC 是等边三角形，∴AC =BC ，∠CAB =∠ACB =60°，∴∠DAC =∠BCE =120°，在△ACD 和△CBE 中AC BC DAC BCEAD CE =ìïÐ=Ðíï=î，∵AD =CE ，∴△ACD ≌△CBE （SAS ）．角形的判定定理．20. 已知关于x 的一元二次方程x 22﹣x +2m 1=0﹣．（1）当m =1﹣时，求此方程的根；（2）若此方程有两个实数根，求m 的取值范围．【答案】（1）x =﹣1或x =3；（2）m ≤1【解析】【分析】（1）将m =1﹣代入方程，再利用因式分解法求解可得；（2）根据方程有两个实数根得出△=b 24﹣ac ≥0，据此列出关于m 的不等式求解可得．【详解】解：（1）将m =1﹣代入方程，得：x 22﹣x 3=0﹣，∵（x +1）（x 3﹣）=0，∴x +1=0或x 3=0﹣，解得x =1﹣或x =3；（2）∵方程有两个实数根，∴△=（﹣2）24×1×﹣（2m 1﹣）≥0，解得m ≤1．【点睛】本题考查了解一元二次方程和根的判别式，熟悉相关性质是解题的关键．21. 如图，在▱ABCD 中，∠ABC =60°，∠BAD 的平分线交CD 于点E ，交BC 的延长线于点F ，连接DF ．（1）求证：△ABF 是等边三角形；（2）若∠CDF =45°，CF =2，求AB 的长度．【答案】（1）见解析；（2）31【解析】【分析】（1）根据在▱ABCD 中，∠ABC =60°，可以得到∠DAB 的度数，然后根据AF 平分∠DAB ，可以得到∠F AB 的度数，然后等边三角形的判定方法即可得到△ABF 是等边三角形；（2）作FG ⊥DC 于点G ，然后根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可以得到CG 、FG 的长，然后即可得到DG 的长，从而可以得到DC 的长，然后即可得到AB 的长．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠DAB +∠ABC =180°，∵∠ABC=60°，∴∠DAB=120°，∵AF平分∠DAB，∴∠F AB=60°，∴∠F AB=∠ABF=60°，∴∠F AB=∠ABF=∠AFB=60°，∴△ABF是等边三角形；（2）作FG⊥DC于点G，∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=60°，∴DC∥AB，DC=AB，∴∠FCG=∠ABC=60°，∴∠GFC=30°，∵CF=2，∠FGC=90°，，∴CG=1，FG=3∵∠FDG=45°，∠FGD=90°，∴∠FDG=∠DFG=45°，，∴DG=FG∴DC=DG+CG+，1∴AB+，1即AB+．1【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、角平分线的性质、平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．22. 致敬，最美逆行者!病毒虽无情，人间有大爱，2020年，在湖北省抗击新冠病毒的战“疫”中，全国（除湖北省外）共有30个省（区、市）及军队的医务人员在党中央全面部署下，白衣执甲，前赴后继支援湖北省抗击疫情，据国家卫健委的统计数据，截至3月1日，这30个省（区、市）累计派出医务人员总数多达38478人，其中派往湖北省除武汉外的其他地区的医务人员总数为7381人．a．全国30个省（区、市）各派出支援武汉的医务人员频数分布直方图（数据分成6组：100≤x＜500，500≤x＜900，900≤x＜1300，1300≤x＜1700，1700≤x＜2100，2100≤x＜2500）：b．全国30个省（区、市）各派出支援武汉的医务人员人数在900≤x＜1300这一组的是：919，997，1045，1068，1101，1159，1179，1194，1195，1262．根据以上信息回答问题：（1）这次支援湖北省抗疫中，全国30个省（区、市）派往武汉的医务人员总数 A．不到3万人，B．在3万人到3.5万人之间，C．超过3.5万人（2）全国30个省（区、市）各派出支援武汉的医务人员人数的中位数是 ，其中医务人员人数超过1000人的省共有 个．（3）据新华网报道，在支援湖北省的医务人员大军中，有“90后”也有“00后”，他们是青春的力量，时代的脊梁．习近平总书记回信勉励北京大学援鄂医疗队全体“90后”党员中指出：“在新冠肺炎疫情防控斗争中，你们青年人同在一线英勇奋战的广大疫情防控人员一道，不畏艰险、冲锋在前、舍生忘死，澎显了青春的蓬勃力量，交出了合格答卷．”小华在收集支援湖北省抗疫宣传资料时得到这样一组有关“90后”医务人员的数据：C市派出的1614名医护人员中有404人是“90后”；H市派出的338名医护人员中有103人是“90后”；B市某医院派出的148名医护人员中有83人是“90后”．小华还了解到除全国30个省（区、市）派出38478名医务人员外，军队派出了近四千名医务人员，合计约4.2万人．请你根据小华得到的这些数据估计在支援湖北省的全体医务人员（按4.2万人计）中，“90后”大约有多少万人？（写出计算过程，结果精确到0.1）．【答案】（1）B；（2）1021人，15；（3）90后”大约有1.2万人【解析】【分析】（1）根据题意列式计算即可得到正确的选项；（2）根据频数（率）分布直方图中的信息和中位数的定义即可得到结论；（3）根据样本估计总体，可得到“90后”大约有1.2万人．【详解】解：（1）这次支援湖北省抗疫中，全国30个省（区、市）派往武汉的医务人员总数为384787381=31097﹣（人），故选B ；（2）全国30个省（区、市）各派出支援武汉的医务人员人数的中位数是997104522101+=（人）；其中医务人员人数超过1000人的省（区、市）共有15（个）；故答案为：1021人，15；（3）4041038342000118001614338148++´»++（人），答：“90后”大约有1.2万人．【点睛】本题考查了频数（率）分布直方图，样本估计总体，熟悉相关性质是解题的关键．23. 在平面直角坐标系xOy 中，直线x =3与直线y =12x +1交于点A ，函数y =k x（k ＞0，x ＞0）的图象与直线x =3，直线y =12x +1分别交于点B ，C ．（1）求点A 的坐标．（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记函数y =k x（k ＞0，x ＞0）的图象在点B ，C 之间的部分与线段AB ，AC 围成的区域（不含边界）为W ．①当k =1时，结合函数图象，求区域W 内整点的个数；②若区域W 内恰有1个整点，直接写出k 的取值范围．【答案】（1）A（3，52）；（2）①在W区域内有1个整数点；②当区域W内恰有1个整点时，1≤k＜2或16＜k≤20【解析】【分析】（1）根据题意列方程即可得到结论；（2）①当k=1时，求得B、C的坐标，根据图象得到结论；②分两种情况根据图象即可得到结论．【详解】解：（1）直线x=3与直线y=12x+1交于点A，∴3112xy xìïïïí==+ïïïî，解得352xy=ìïí=ïî，∴A（3，52）；（2）①当k=1时，根据题意B（3，13），C（1-+，12+），由图像可得，在W区域内有1个整数点：（2，1）；②若区域W内恰有1个整点，当C点在直线x=3的左边时，如图1，在W区域内有1个整数点：（2，1），∴1≤k＜2；当C点在直线x=3的右边时，如图2，在W区域内有1个整数点：（4，4），∴16＜k≤20；综上，当区域W内恰有1个整点时，1≤k＜2或16＜k≤20【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合思想解决问题是本题的关键．24. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D为BC边的中点，以AD为直径作⊙O，分别与AB，AC交于点E，F，过点E作EG⊥BC于G．（1）求证：EG是⊙O的切线；（2）若AF=6，⊙O的半径为5，求BE的长．【答案】（1）见解析；（2）8【解析】【分析】（1）先判断出EF是⊙O的直径，进而判断出OE∥BC，即可得出结论；（2）先根据勾股定理求出AE，再判断出BE=AE，即可得出结论．【详解】（1）证明：如图，连接EF，∵∠BAC=90°，∴EF是⊙O的直径，∴OA=OE，∴∠BAD=∠AEO，∵点D是Rt△ABC的斜边BC的中点，∴AD=BD，∴∠B=∠BAD，∴∠AEO=∠B，∴OE∥BC，∵EG⊥BC，∴OE⊥EG，∵点E在⊙O上，∴EG是⊙O的切线；（2）∵⊙O的半径为5，∴EF=2OE=10，在Rt△AEF中，AF=6，，根据勾股定理得，AE EF AF=-由（1）知OE∥BC，∵OA=OD，∴BE=AE=8．【点睛】此题主要考查了圆的有关性质，切线的判定，直角三角形斜边的中线是斜边的一∥是解本题的关键．半，勾股定理，能判断出EF BC25. 某校举办球赛，分为若干组，其中第一组有A，B，C，D，E五个队．这五个队要进行单循环赛，即每两个队之间要进行一场比赛，每场比赛采用三局两胜制，即三局中胜两局就获胜．每场比赛胜负双方根据比分会获得相应的积分，积分均为正整数．这五个队完成所有比赛后得到如下的积分表．根据上表回答下列问题：（1）第一组一共进行了 场比赛，A队的获胜场数x为 ；（2）当B队的总积分y=6时，上表中m处应填 ，n处应填 ；（3）写出C队总积分p的所有可能值为： ．【答案】（1）10，3；（2）0：2， 2：0；（3）9或10【解析】【分析】（1）按照5个队中每个队都要和另外4个队进行一场比赛，而A与B和B与A属于同一场比赛，列式计算或直接从表中数一下即可得比赛场数；根据表中比赛结果可直接得出A队的获胜场数x的值；（2）每场比赛的结果有四种：0：2，1：2，2：1，2：0，设以上四种得分为a，b，c，d，且a＜b＜c＜d，根据E和A的总分可得关于a，b，c，d的等式，化简即可得出a，b，c，d的值，设m对应的积分为x，根据题意得关于x的方程，解得x的值，则可得答案；（3）C队胜2场，分两种情况：当C、B的结果为2：0时；当C、B的结果为2：1时，分别计算出p的值即可．【详解】解：（1）∵()55110´-=（场），∴第一组一共进行了10场比赛；∵每场比赛采用三局两胜制，A、B的结果为2：1，A、C的结果为2：0，A、E的结果为2：0，∴A队的获胜场数x为3；故答案为：10，3；（2）由题可知：每场比赛的结果有四种：0：2，1：2，2：1，2：0，根据题意可知每种结果都会得到一个正整数积分，设以上四种得分为a，b，c，d，且a＜b ＜c＜d，根据E的总分可得：a+c+b+c=9，∴a=1，b=2，c=3，根据A的总分可得：c+d+b+d=13，∴d=4，设m对应的积分为x，当y=6时，b+x+a+b=6，即2+x+1+2=6，∴x=1，∴m处应填0：2；∴B：C=0：2，∴C：B=2：0，∴n处应填2：0；（3）∵C队胜2场，∴分两种情况：当C、B的结果为2：0时，p=1+4+3+2=10；当C、B的结果为2：1时，p=1+3+3+2=9；∴C队总积分p的所有可能值为9或10．故答案为：9或10．【点睛】本题考查了统计表在比赛积分问题中的应用，读懂表格中的数据，理清题中的数量关系是解题的关键．26. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线222y x mx m m =-+-+的顶点为A（1）求抛物线的顶点坐标（用m 表示）；（2）若点A 在第一象限，且2OA =，求抛物线的解析式；（3）已知点(1,2)B m m --，(2,2)C ，若抛物线与线段BC 有公共点，结合函数图象，直接写出m 的取值范围【答案】（1）(,)m m ；（2）22y x x =-+或写为：2(1)1y x =--+；（3）2m £，或3m ³.【解析】【分析】（1）化抛物线为顶点式，即可写出顶点坐标；（2）求出点AO ，列方程求解即可；（3）考虑点C 在抛物线上时m 的值，再结合图形，分情况进行讨论．【详解】（1）∵2222()y x mx m m x m m =-+-+=--+，∴抛物线的顶点A 坐标为(,)m m .（2）点A 在第一象限，∴OA =，∵OA =∴1m =抛物线的表达式为22y x x =-+，或写为：2(1)1y x =--+（3）把22C （，）代入222y x mx m m =-+-+，得22224m m m =-+-+，解得2m =或3，结合图象可得：当2m £时，抛物线与线段BC 有公共点，当23m ＜＜时，抛物线与线段BC 无公共点，当3m ³时，抛物线与线段BC 有公共点；综上，当2m £或3m ³时，抛物线与线段BC 有公共点．【点睛】本题考查了二次函数的综合，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质．27. 已知∠MON =α，A 为射线OM 上一定点，OA =5，B 为射线ON 上一动点，连接AB ，满足∠OAB ，∠OBA 均为锐角．点C 在线段OB 上（与点O ，B 不重合），满足AC =AB ，点C 关于直线OM 的对称点为D ，连接AD ，OD ．（1）依题意补全图1；（2）求∠BAD 的度数（用含α的代数式表示）；（3）若tanα=34，点P 在OA 的延长线上，满足AP =OC ，连接BP ，写出一个AB 的值，使得BP ∥OD ，并证明．【答案】（1）补全图见解析；（2）180°2α﹣；（3，理由见解析【解析】【分析】（1）根据要求画出图形即可．（2）首先证明∠D+∠ABO=180°，再利用四边形内角和定理解决问题即可．（3）假设PB∥OD，求出AB的值即可．【详解】解：（1）图形，如图所示．（2）CQ，D关于AO对称，\D@D，AOD AOCÐ=Ð=，D ACO\Ð=Ð，AOD AOC a=Q，AC AB\Ð=Ð，ACB ABCÐ+Ð=°Q，ACO ACB180\Ð+Ð=°，D ABC180\Ð+Ð=°，180DAB DOBÐ=Q，DOB a2DAB a\Ð=°-．1802（3）如图2中，不妨设//^于J．OD PB．作AH BC^于H，BJ OA在Rt AOH D 中，5OA =Q ，3tan 4AOH Ð=，3AH \=，4OH =，设CH BH x ==，则2BC x =，//OD BP Q ，DOA OPB \Ð=Ð，DOA AOB Ð=ÐQ ，AOB OPB \Ð=Ð，4PB OB x \==+，BJ OP ^Q ，549OP OA AP x x =+=+-=-，1(9)2OJ JP x \==-，cos OH OJ AOH OA OB Ð==Q ，\1(9)4254x x-=+，解得1x =，1BH \=，AB \【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了轴对称，等腰三角形的判定和性质，四边形内角和定理，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题．28. ,A B 是圆上的两个点，点P 在⊙C 的内部．若APB Ð为直角，则称APB Ð为AB 关于⊙C 的内直角，特别地，当圆心C 在APB Ð边（含顶点）上时，称APB Ð为AB 关于⊙C 的最佳内直角．如图1，AMB Ð是AB 关于⊙C 的内直角，ANB Ð是AB 关于⊙C 的最佳内直角．在平面直角坐标系xOy 中．（1）如图2，⊙O 的半径为5，()0,5,(4,3)A B -是⊙O 上两点．①已知()()()1231,003-21P P P ，，，，，在123,,,APB AP B AP B ÐÐÐ中，是AB 关于⊙O 的内直角的是______；②若在直线2y x b =+上存在一点P ，使得APB Ð是AB 关于⊙O 的内直角，求b 的取值范围．（2）点E 是以(),0T t 圆心，4为半径的圆上一个动点，⊙T 与x 轴交于点D （点D 在点T 的右边）．现有点()()1,0,0,M N n ，对于线段MN 上每一点H ，都存在点T ，使DHE Ð是DE 关于⊙T 的最佳内请直接写出n 的最大值，以及n 取得最大值时t 的取值范围．【答案】（1）①23,AP B AP B ÐÐ，②55b -<£；（2）2，515t -+£<【解析】【分析】（1）判断点123,,P P P 是否在以AB 为直径的圆弧上即可得出答案；（2）求得直线AB 的解析式，当直线2y x b =+与弧AB 相切时为临界情况，证明OAH BAD D D :，可求出此时5b =，则答案可求出；（3）可知线段MN 上任意一点（不包含点M ）都必须在以TD 为直径的圆上，该圆的半径为2，则当点N 在该圆的最高点时，n 有最大值2，再分点H 不与点M 重合，点M 与点H 重合两种情况求出临界位置时的t 值即可得解．【详解】解：（1）如图1，点23,P P 在以AB 为直径的圆上，所以23,AP B AP B ÐÐ是AB 关于O e 的内直角。
2020年北京市房山区中考数学一模试卷含答案解析
2020年北京市房山区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共30分，每小题3分）：1．为了减少燃煤对大气的污染，北京实施煤改电工程．每年冬季采暖季期间可压减燃煤约608000吨，将608000用科学记数法表示应为（）A．60.8×104 B．6.08×104 C．0.608×106D．6.08×1052．如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中表示2的相反数的点是（）A．点A B．点B C．点C D．点D3．有五张形状、大小、质地都相同的卡片，这些卡片上面分别画有下列图形：①正方形；②等边三角形；③平行四边形；④等腰三角形；⑤圆．将卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，抽出的纸片正面图形是轴对称图形，但不是中心对称图形的概率是（）A．B．C．D．4．如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在AC边上，DE∥AB，如果∠ADE=46°，那么∠B 等于（）A．34°B．54°C．46°D．44°5．象棋在中国有着三千多年的历史，属于二人对抗性游戏的一种．由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的棋艺活动．如图是一方的棋盘，如果“帅”的坐标是（0，1），“卒”的坐标是（2，2），那么“马”的坐标是（）A．（﹣2，1）B．（2，﹣2）C．（﹣2，2）D．（2，2）6．为了估算河的宽度，我们可以在河对岸的岸边选定一个目标记为点A，再在河的这一边选点B和点C，使得AB⊥BC，然后再在河岸上选点E，使得EC⊥BC，设BC与AE交于点D，如图所示，测得BD=120米，DC=60米，EC=50米，那么这条河的大致宽度是（）A．75米B．25米C．100米D．120米7．在“我的中国梦”演讲比赛中，有5名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同．其中的一名学生想要知道自己能否进入前3名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这5名学生成绩的（）A．中位数B．众数 C．平均数D．方差8．下列几何体中，主视图相同的是（）A．①②B．①④C．①③D．②④9．如图，将△ABC绕点C按顺时针旋转60°得到△A′B′C，已知AC=6，BC=4，则线段AB 扫过的图形的面积为（）A．πB．πC．6πD．π10．如图，在正方形ABCD中，AB=3cm，动点M自A点出发沿AB方向以每秒1cm的速度向B点运动，同时动点N自A点出发沿折线AD﹣DC﹣CB以每秒3cm的速度运动，到达B点时运动同时停止．设△AMN的面积为y（cm2），运动时间为x（秒），则下列图象中能大致反映y与x之间的函数关系的是（）A． B．C．D．三、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）11．分解因式：a3﹣a=______．12．已知反比例函数的图象经过A（2，﹣3），那么此反比例函数的关系式为______．13．2020年3月12日“植树节”前夕，某小区为绿化环境，购进200棵柏树苗和120棵枣树苗，且两种树苗所需费用相同．每棵枣树苗的进价比每棵柏树苗的进价的2倍少5元，求这两种树苗的进价分别是多少元．如果设每棵柏树苗的进价是x元，那么可列方程为______．14．关于x的一元二次方程mx2+4x+1=0有两个实数根，那么m的取值范围是______．15．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象经过A（﹣1，m），B（2，m）．写出一组满足条件的a、b的值：a=______，b=______．16．如图，已知∠AOB．小明按如下步骤作图：①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA于点D，交OB于点E．②分别以D，E为圆心，大于DE长为半径画弧，在∠AOB的内部两弧交于点C．③画射线OC．所以射线OC为所求∠AOB的平分线．根据上述作图步骤，回答下列问题：（1）写出一个正确的结论：______．（2）如果在OC上任取一点M，那么点M到OA、OB的距离相等．依据是：______．三、解答题（本大题共72分，其中第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）：17．计算：3tan30°+0+|1﹣|+（）﹣1．18．已知3a2﹣4a﹣7=0，求代数式（2a﹣1）2﹣（a+b）（a﹣b）﹣b2的值．19．解分式方程：．20．已知：如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC边的中线，过点C作CE∥AB与BD延长线交于点E．求证：∠A=∠E．21．列方程（组）解应用题：为提高饮用水质量，越来越多的居民选购家用净水器．一商场抓住商机，从厂家购进了A、B两种型号家用净水器共160台，A型号家用净水器进价为每台150元，B型号家用净水器进价为每台350元，购进两种型号的家用净水器共用去36000元．求A、B两种型号家用净水器各购进了多少台．22．如图，在▱ABCD中，E为BC中点，过点E作EG⊥AB于G，连结DG，延长DC，交GE的延长线于点H．已知BC=10，∠GDH=45°，DG=8．求CD的长．23．在平面直角坐标系中，有点A（2，0），B（0，3），C（0，2），点D在第二象限，且△AOB≌△OCD．（1）请在图中画出△OCD，并直接写出点D的坐标：D______；（2）点P在直线AC上，且△PCD是等腰直角三角形，求点P的坐标．24．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=30°，点D为弧AB的中点，AC=4．求CD的长．25．“PM2.5”是指大气中危害健康的直径小于2.5微米的颗粒物，也称可入肺颗粒物．公众对于大气环境质量越来越关注，某市为了了解市民对于“PM 2.5浓度升高时，对于户外活动的影响”的态度，随机抽取了部分市民进行调查．根据调查的相关数据，绘制的统计图表如下：PM2.5浓度升高时，对于户外活动是否有影百分比响，您的态度是A．没有影响2%B．影响不大，还可以进行户外活动30%C．有影响，减少户外活动42%D．影响很大，尽可能不去户外活动mE．不关心这个问题6%根据以上信息解答下列问题：（1）直接写出统计表中M的值；（2）根据以上信息，请补全条形统计图；（3）如果该市约有市民400万人，根据上述信息，请你估计一下持有“影响很大，尽可能不去户外活动”这种态度的约有多少万人．26．如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y1=（1）当x______时，y1＞0；（2）直线y2=﹣x+b，当b=2时，直线与双曲线有唯一公共点，问：b______时，直线与双曲线有两个公共点；（3）如果直线y2=﹣x+b与双曲线y1=交于A、B两点，且点A的坐标为（1，2），点B的纵坐标为1．设E为线段AB的中点，过点E作x轴的垂线EF，交双曲线于点F．求线段EF的长．27．如图，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象（抛物线）与x轴交于A（1，0），且当x=0和x=﹣2时所对应的函数值相等．（1）求此二次函数的表达式；（2）设抛物线与x轴的另一交点为点B，与y轴交于点C，在这条抛物线的对称轴上是否存在点D，使得△DAC的周长最小？如果存在，求出D点的坐标；如果不存在，请说明理由．（3）设点M在第二象限，且在抛物线上，如果△MBC的面积最大，求此时点M的坐标及△MBC的面积．28．如图1，在四边形ABCD中，BA=BC，∠ABC=60°，∠ADC=30°，连接对角线BD．（1）将线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CE，连接AE．①依题意补全图1；②试判断AE与BD的数量关系，并证明你的结论；（2）在（1）的条件下，直接写出线段DA、DB和DC之间的数量关系；（3）如图2，F是对角线BD上一点，且满足∠AFC=150°，连接FA和FC，探究线段FA、FB和FC之间的数量关系，并证明．29．在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C给出如下定义：如果正方形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在正方形的内部或边界上，那么称该正方形为点A，B，C的外延正方形，在点A，B，C所有的外延正方形中，面积最小的正方形称为点A，B，C的最佳外延正方形．例如，图1中的正方形A1B1C1D1，A2B2C2D2，A3B3CD3都是点A，B，C的外延正方形，正方形A3B3CD3是点A，B，C的最佳外延正方形．（1）如图1，点A（﹣1，0），B（2，4），C（0，t）（t为整数）．①如果t=3，则点A，B，C的最佳外延正方形的面积是______；②如果点A，B，C的最佳外延正方形的面积是25，且使点C在最佳外延正方形的一边上，请写出一个符合题意的t值______；（2）如图3，已知点M（3，0），N（0，4），P（x，y）是抛物线y=x2﹣2x﹣3上一点，求点M，N，P的最佳外延正方形的面积的最小值以及点P的横坐标x的取值范围；（3）如图4，已知点E（m，n）在函数y=（x＞0）的图象上，且点D的坐标为（1，1），设点O，D，E的最佳外延正方形的边长为a，请直接写出a的取值范围．2020年北京市房山区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共30分，每小题3分）：1．为了减少燃煤对大气的污染，北京实施煤改电工程．每年冬季采暖季期间可压减燃煤约608000吨，将608000用科学记数法表示应为（）A．60.8×104 B．6.08×104 C．0.608×106D．6.08×105【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】根据科学记数法的表示方法：a×10n，可得答案．【解答】解：将608000用科学记数法表示应为6.08×105，故选：D．2．如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中表示2的相反数的点是（）A．点A B．点B C．点C D．点D【考点】相反数；数轴．【分析】相反数的定义：符号不同，绝对值相等的两个数叫互为相反数．根据定义，结合数轴进行分析．【解答】解：∵表示2的相反数的点，到原点的距离与2这点到原点的距离相等，并且与2分别位于原点的左右两侧，∴在A，B，C，D这四个点中满足以上条件的是A．故选A．3．有五张形状、大小、质地都相同的卡片，这些卡片上面分别画有下列图形：①正方形；②等边三角形；③平行四边形；④等腰三角形；⑤圆．将卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，抽出的纸片正面图形是轴对称图形，但不是中心对称图形的概率是（）A．B．C．D．【考点】概率公式；轴对称图形；中心对称图形．【分析】由①正方形；②等边三角形；③平行四边形；④等腰三角形；⑤圆，其中是轴对称图形，但不是中心对称图形的有：②等边三角形，④等腰三角形；直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵有五张形状、大小、质地都相同的卡片，这些卡片上面分别画有下列图形：①正方形；②等边三角形；③平行四边形；④等腰三角形；⑤圆，其中是轴对称图形，但不是中心对称图形的有：②等边三角形，④等腰三角形；∴从中随机抽取一张，抽出的纸片正面图形是轴对称图形，但不是中心对称图形的概率是：．故选B．4．如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在AC边上，DE∥AB，如果∠ADE=46°，那么∠B 等于（）A．34°B．54°C．46°D．44°【考点】平行线的性质．【分析】由DE与AB平行，利用两直线平行内错角相等得到∠ADE=∠A，由∠C为直角，利用直角三角形两锐角互余即可求出∠B的度数．【解答】解：∵DE∥AB，∴∠A=∠ADE=46°，在Rt△ABC中，∠A=46°，∴∠B=44°．故选D．5．象棋在中国有着三千多年的历史，属于二人对抗性游戏的一种．由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的棋艺活动．如图是一方的棋盘，如果“帅”的坐标是（0，1），“卒”的坐标是（2，2），那么“马”的坐标是（）A．（﹣2，1）B．（2，﹣2）C．（﹣2，2）D．（2，2）【考点】坐标确定位置．【分析】根据“帅”的坐标得出原点的位置，进而得出答案．【解答】解：如图所示：“马”的坐标是：（﹣2，2）．故选：C．6．为了估算河的宽度，我们可以在河对岸的岸边选定一个目标记为点A，再在河的这一边选点B和点C，使得AB⊥BC，然后再在河岸上选点E，使得EC⊥BC，设BC与AE交于点D，如图所示，测得BD=120米，DC=60米，EC=50米，那么这条河的大致宽度是（）A．75米B．25米C．100米D．120米【考点】相似三角形的应用．【分析】先可证明△ADB∽△EDC，然后依据相似三角形的性质求解即可．【解答】解：∵AB⊥BC，EC⊥BC，∴∠B=∠C=90°．又∵∠ADB=∠EDC，∴△ADB∽△EDC．∴，即．解得：AB=100米．故选：C．7．在“我的中国梦”演讲比赛中，有5名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同．其中的一名学生想要知道自己能否进入前3名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这5名学生成绩的（）A．中位数B．众数 C．平均数D．方差【考点】统计量的选择．【分析】由于比赛取前3名进入决赛，共有5名选手参加，故应根据中位数的意义分析．【解答】解：因为5位进入决赛者的分数肯定是5名参赛选手中最高的，而且5个不同的分数按从小到大排序后，中位数及中位数之前的共有3个数，故只要知道自己的分数和中位数就可以知道是否进入决赛了，故选：A．8．下列几何体中，主视图相同的是（）A．①②B．①④C．①③D．②④【考点】简单几何体的三视图．【分析】分别找出四个几何体从正面看所得到的视图即可．【解答】解：①此几何体的主视图是矩形；②此几何体的主视图是等腰三角形；③此几何体的主视图是矩形；④此几何体的主视图是圆形；主视图相同的是①③，故选：C．9．如图，将△ABC绕点C按顺时针旋转60°得到△A′B′C，已知AC=6，BC=4，则线段AB 扫过的图形的面积为（）A．πB．πC．6πD．π【考点】扇形面积的计算．【分析】根据图形可以得出AB扫过的图形的面积=S扇形ACA′+S△ABC﹣S扇形BCB′﹣S△A′B′C，由旋转的性质就可以得出S△ABC=S△A′B′C就可以得出AB扫过的图形的面积=S扇形ACA′﹣S扇形BCB′求出其值即可．【解答】解：∵△ABC绕点C旋转60°得到△A′B′C，∴△ABC≌△A′B′C，∴S△ABC=S△A′B′C，∠BCB′=∠ACA′=60°．∵AB扫过的图形的面积=S扇形ACA′+S△ABC﹣S扇形BCB′﹣S△A′B′C，∴AB扫过的图形的面积=S扇形ACA′﹣S扇形BCB′，∴AB扫过的图形的面积=×π×36﹣×π×16=π．故选D．10．如图，在正方形ABCD中，AB=3cm，动点M自A点出发沿AB方向以每秒1cm的速度向B点运动，同时动点N自A点出发沿折线AD﹣DC﹣CB以每秒3cm的速度运动，到达B点时运动同时停止．设△AMN的面积为y（cm2），运动时间为x（秒），则下列图象中能大致反映y与x之间的函数关系的是（）A． B．C．D．【考点】动点问题的函数图象．【分析】当点N在AD上时，易得S△AMN的关系式；当点N在CD上时，高不变，但底边在增大，所以S△AMN的面积关系式为一个一次函数；当N在BC上时，表示出S△AMN的关系式，根据开口方向判断出相应的图象即可．【解答】解：当点N在AD上时，即0≤x≤1，S△AMN=×x×3x=x2，点N在CD上时，即1≤x≤2，S△AMN=×x×3=x，y随x的增大而增大，所以排除A、D；当N在BC上时，即2≤x≤3，S△AMN=×x×（9﹣3x）=﹣x2+x，开口方向向下．故选：B三、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）11．分解因式：a3﹣a=a（a+1）（a﹣1）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：a3﹣a，=a（a2﹣1），=a（a+1）（a﹣1）．故答案为：a（a+1）（a﹣1）．12．已知反比例函数的图象经过A（2，﹣3），那么此反比例函数的关系式为y=﹣（x≠0）．【考点】待定系数法求反比例函数解析式．【分析】设反比例函数的关系式为y=．将点A的坐标代入到y=中解出k值，即可得出结论．【解答】解：设反比例函数的关系式为y=．将点A（2，﹣3）代入到反比例函数的关系式为y=中得：﹣3=，解得：k=﹣6．故反比例函数的关系式为y=﹣．故答案为：y=﹣（x≠0）．13．2020年3月12日“植树节”前夕，某小区为绿化环境，购进200棵柏树苗和120棵枣树苗，且两种树苗所需费用相同．每棵枣树苗的进价比每棵柏树苗的进价的2倍少5元，求这两种树苗的进价分别是多少元．如果设每棵柏树苗的进价是x元，那么可列方程为200x=120（2x﹣5）．【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．【分析】根据题意可以列出相应的一元一次方程，本题得以解决．【解答】解：由题意可得，200x=120（2x﹣5），故答案为：200x=120（2x﹣5）．14．关于x的一元二次方程mx2+4x+1=0有两个实数根，那么m的取值范围是m≤4且m ≠0．【考点】根的判别式．【分析】根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义可得△=16﹣4m≥0且m≠0，求出m的取值范围即可．【解答】解：∵一元二次方程mx2+4x+1=0有两个实数根，∴△≥0且m≠0，∴16﹣4m≥0且m≠0，∴m≤4且m≠0，故答案为：m≤4且m≠0．15．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象经过A（﹣1，m），B（2，m）．写出一组满足条件的a、b的值：a=1，b=﹣1．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（﹣1，m），B（2，m）两点，把经过A （﹣1，m），B（2，m）两点代入解析式得到：a﹣b+c=m，4a+2b+c=m，所以a=﹣b，可以选定满足条件的a，b任意一组值．本题答案不唯一．【解答】解：把A（﹣1，m），B（2，m）两点代入y=ax2+bx+c中，得a﹣b+c=m，4a+2b+c=m，所以b=﹣a，由此可设a=1，b=﹣1，故答案为1，﹣1．16．如图，已知∠AOB．小明按如下步骤作图：①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA于点D，交OB于点E．②分别以D，E为圆心，大于DE长为半径画弧，在∠AOB的内部两弧交于点C．③画射线OC．所以射线OC为所求∠AOB的平分线．根据上述作图步骤，回答下列问题：（1）写出一个正确的结论：OD=OE．（2）如果在OC上任取一点M，那么点M到OA、OB的距离相等．依据是：角平分线上的点到角两边距离相等．【考点】作图—基本作图；角平分线的性质．【分析】（1）利用作法易得OD=OE或DC=EC或OC平分∠AOB等等；（2）根据角平分线的性质定理求解．【解答】解：（1）OD=OE或DC=EC或OC平分∠AOB等等均可；（2）角平分线上的点到角两边距离相等．故答案为OD=OE，角平分线上的点到角两边距离相等．三、解答题（本大题共72分，其中第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）：17．计算：3tan30°+0+|1﹣|+（）﹣1．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】原式第一项利用特殊角的三角函数值计算，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果．【解答】解：原式=3×+1+﹣1+2=2+2．18．已知3a2﹣4a﹣7=0，求代数式（2a﹣1）2﹣（a+b）（a﹣b）﹣b2的值．【考点】整式的混合运算—化简求值．【分析】原式利用完全平方公式，平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．【解答】解：原式=4a2﹣4a+1﹣a2+b2﹣b2=3a2﹣4a+1，由3a2﹣4a﹣7=0，得到3a2﹣4a=7，则原式=7+1=8．19．解分式方程：．【考点】解分式方程．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：x2﹣4﹣x2﹣2x=2x，解得：x=﹣1，经检验x=﹣1是分式方程的解．20．已知：如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC边的中线，过点C作CE∥AB与BD延长线交于点E．求证：∠A=∠E．【考点】直角三角形斜边上的中线．【分析】根据直角三角形的性质可得BD=AD=AC，根据等边对等角可得∠A=∠ABD，再根据平行线的性质可得∠ABD=∠E，再利用等量代换可得结论．【解答】证明：∵在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC边的中线，∴BD=AD=AC，∴∠A=∠ABD，∵CE∥AB，∴∠ABD=∠E，∴∠A=∠E．21．列方程（组）解应用题：为提高饮用水质量，越来越多的居民选购家用净水器．一商场抓住商机，从厂家购进了A、B两种型号家用净水器共160台，A型号家用净水器进价为每台150元，B型号家用净水器进价为每台350元，购进两种型号的家用净水器共用去36000元．求A、B两种型号家用净水器各购进了多少台．【考点】二元一次方程组的应用．【分析】直接设两个未知数x、y，由购进了A、B两种型号家用净水器共160台得方程为：x+y=160；由购进两种型号的家用净水器共用去36000元得方程为：150x+350y=36000；组成方程组解出即可．【解答】解：设购进A种型号家用净水器x台，购进B种型号家用净水器y台，根据题意得：，解得：，答：A种型号家用净水器购进100台，B种型号家用净水器购进60台．22．如图，在▱ABCD中，E为BC中点，过点E作EG⊥AB于G，连结DG，延长DC，交GE的延长线于点H．已知BC=10，∠GDH=45°，DG=8．求CD的长．【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】先在RT△DHG中求出GH，再证明GE=EH=GH，在RT△EHC求出CH即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∵EG⊥AB，∴∠BGE=∠EHC=90°，在RT△DHG中，∠GHD=90°，∠GDH=45°，DG=8，∴DH=GH=8，∵E为BC中点，BC=10，∴BE=EC=5，在△BEG和△CEH中，，∴△BEG≌△CEH，∴GE=HE=GH=4，在RT△EHC中，∵∠H=90°，CE=5，EH=4，∴CH=3，CD=5．23．在平面直角坐标系中，有点A（2，0），B（0，3），C（0，2），点D在第二象限，且△AOB≌△OCD．（1）请在图中画出△OCD，并直接写出点D的坐标：D（﹣3，2）；（2）点P在直线AC上，且△PCD是等腰直角三角形，求点P的坐标．【考点】全等三角形的判定与性质；坐标与图形性质；等腰直角三角形．【分析】（1）根据△AOB≌△OCD可得DC=BO，再根据B（0，3），C（0，2）可得D点坐标；（2）①当CD为直角边时过点D作P1D⊥CD，交AC于P1，DC∥OA可得△P1DC为等腰直角三角形，进而得到CD=DP1=3，可得P1点坐标；②当CD为斜边时，过点D作DP2⊥AC于P2，易得△CP2D为等腰直角三角形，作P2E⊥CD于E，再根据等腰三角形的性质可得CD=DP1=3，进而得到P2点坐标．【解答】解：（1）正确画出△COD，∵△AOB≌△OCD，∴DC=BO，∵B（0，3），C（0，2），∴D（﹣3，2）；（2）由OC=OA=2，∠AOC=90°，∴∠OAC=45°．①当CD为直角边时，如图，过点D作P1D⊥CD，交AC于P1，∵DC∥OA，∴∠P2CD=∠CAO，∴△P1DC为等腰直角三角形，∵CD=DP1=3，∴P1（﹣3，5）．②当CD为斜边时，如图，过点D作DP2⊥AC于P2，易得△CP2D为等腰直角三角形，作P2E⊥CD于E，易得CE=P2E=CD=1.5，∴P2（﹣1.5，3.5）．综上，在直线AC上，使△PCD是等腰直角三角形的点P坐标为：P1（﹣3，5），P2（﹣1.5，3.5）．24．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=30°，点D为弧AB的中点，AC=4．求CD的长．【考点】圆周角定理．【分析】作AE⊥CD于E，连接BD，根据圆周角定理得到∠ACD=45°，∠ADB=90°，∠CDB=∠CAB=30°，根据正弦和正切的定义计算即可．【解答】解：作AE⊥CD于E，连接BD，∵点D为弧AB的中点，∴∠ACD=45°，∴AE=CE=AC×=2，由圆周角定理得，∠ADB=90°，∠CDB=∠CAB=30°，∴∠ADC=60°，∴DE==2，∴CD=DE+CE=2+2．25．“PM2.5”是指大气中危害健康的直径小于2.5微米的颗粒物，也称可入肺颗粒物．公众对于大气环境质量越来越关注，某市为了了解市民对于“PM 2.5浓度升高时，对于户外活动的影响”的态度，随机抽取了部分市民进行调查．根据调查的相关数据，绘制的统计图表如下：PM2.5浓度升高时，对于户外活动是否有影百分比响，您的态度是A．没有影响2%B．影响不大，还可以进行户外活动30%C．有影响，减少户外活动42%D．影响很大，尽可能不去户外活动mE．不关心这个问题6%根据以上信息解答下列问题：（1）直接写出统计表中M的值；（2）根据以上信息，请补全条形统计图；（3）如果该市约有市民400万人，根据上述信息，请你估计一下持有“影响很大，尽可能不去户外活动”这种态度的约有多少万人．【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．【分析】（1）根据各种态度所占百分比和为1，解答可得；（2）根据A种态度人数和百分比计算出参与调查总人数，再根据B、D两种态度人数占调查人数的百分比分别求得，补全图形；（3）根据样本中持D种态度的人数比例可估计总体中相应人数．【解答】解：（1）m=1﹣（2%+30%+42%+6%）=20%；（2）参与调查的总人数为：40÷2%=2000（人），持B态度的人数为：2000×30%=600（人），持D态度的人数为：2000×20%=400（人），补全统计图如下：（3）400×20%=80（万人），答：估计持有“影响很大，尽可能不去户外活动”这种态度的约有80万人．26．如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y1=（1）当x＞0时，y1＞0；（2）直线y2=﹣x+b，当b=2时，直线与双曲线有唯一公共点，问：b b＞2或b＜﹣2时，直线与双曲线有两个公共点；（3）如果直线y2=﹣x+b与双曲线y1=交于A、B两点，且点A的坐标为（1，2），点B的纵坐标为1．设E为线段AB的中点，过点E作x轴的垂线EF，交双曲线于点F．求线段EF的长．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）双曲线的图象落在x轴上方时，函数值大于0，根据图象可知此时x＞0；（2）将y=﹣x+b代入y=，整理得出x2﹣bx+2=0，当△=b2﹣8＞0时，直线与双曲线有两个公共点，解不等式即可；（3）将y=1代入y1=，求出x的值，得到点B的坐标，再根据中点坐标公式求出点E的坐标，将点E横坐标的值代入y1=，求出点F纵坐标的值，进而求得线段EF的长．【解答】解：（1）根据图象可得x＞0时，y1＞0；（2）将y=﹣x+b代入y=，得=﹣x+b，整理得，x2﹣bx+2=0，当△=b2﹣8＞0时，直线与双曲线有两个公共点，解得b＞2或b＜﹣2；（3）将y=1代入y1=，得x=2，则点B的坐标为（2，1），∵点A的坐标为（1，2），E为线段AB的中点，∴点E的坐标为（，），当x=时，y1==，∴EF=﹣=．故答案为＞0；b＞2或b＜﹣2．27．如图，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象（抛物线）与x轴交于A（1，0），且当x=0和x=﹣2时所对应的函数值相等．（1）求此二次函数的表达式；（2）设抛物线与x轴的另一交点为点B，与y轴交于点C，在这条抛物线的对称轴上是否存在点D，使得△DAC的周长最小？如果存在，求出D点的坐标；如果不存在，请说明理由．（3）设点M在第二象限，且在抛物线上，如果△MBC的面积最大，求此时点M的坐标及△MBC的面积．【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；轴对称-最短路线问题．【分析】（1）先利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=﹣1，则抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0），然后利用交点式求抛物线解析式；（2）连结BC交直线x=﹣1于点D，则DB=DA，根据两点之间线段最短可判断此时DA+DC 最小，△ADC的周长最小，接着利用待定系数法求出直线BC的解析式，然后计算自变量为﹣1所对应的函数值即可得到D点坐标；（3）作MN∥y轴交BC于N，如图，设M（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜x＜0），则N（t，t+3），利用S△BCM=S△MNB+S△NMC可得到△MBC的面积=﹣t2﹣t，然后利用二次函数的性质求解．【解答】解：（1）∵当x=0和x=﹣2时所对应的函数值相等，∴抛物线的对称轴为直线x=﹣1，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0），∴抛物线解析式为y=﹣（x+3）（x﹣1），即y=﹣x2﹣2x+3；（2存在．连结BC交直线x=﹣1于点D，则DB=DA，∴DC+DA=DC+DB=BC，∴此时DA+DC最小，△ADC的周长最小，当x=0时，y=﹣x2﹣2x+3=3，则C（0，3），设直线BC的解析式为y=kx+m，把B（﹣3，0），C（0，3）代入得，解得，∴直线BC的解析式为y=x+3，当x=﹣1时，y=x+3=2，∴D点坐标为（﹣1，2）；（3）作MN∥y轴交BC于N，如图，设M（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜x＜0），则N（t，t+3），S△BCM=S△MNB+S△NMC=•3•MN=（﹣t2﹣2t+3﹣t﹣3）=﹣t2﹣t=﹣（t+）2+，∴当t=﹣时，△MBC的面积的最大值为，此时M点坐标为（﹣，）．28．如图1，在四边形ABCD中，BA=BC，∠ABC=60°，∠ADC=30°，连接对角线BD．（1）将线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CE，连接AE．①依题意补全图1；②试判断AE与BD的数量关系，并证明你的结论；（2）在（1）的条件下，直接写出线段DA、DB和DC之间的数量关系；（3）如图2，F是对角线BD上一点，且满足∠AFC=150°，连接FA和FC，探究线段FA、FB和FC之间的数量关系，并证明．【考点】几何变换综合题．【分析】（1）①根据题意画图即可；②连接AC，证明△BCD≌△ACE即可；（2）连接DE，可证三角形ADE为直角三角形，由勾股定理即可得出结论；（3）将线段CF绕点C顺时针旋转60°得到线段CE，连接EF，EA，证明△BCF≌△ACE 和直角三角形AEF，结合勾股定理即可证明．【解答】解：（1）①补全图形如图1，②判断AE=BD，证明：如图2连接AC，∵BA=BC，∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，CA=CB，∵将线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CE，∴CD=CE，∠DCE=60°，∴∠BCD=∠ACE，在△BCD和△ACE中，，∴△BCD≌△ACE，∴BD=AE；（2）判断：DA2+DC2=DB2；（3）判断：FA2+FC2=FB2，证明：如图3，连接AC，∵BA=BC，∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，CA=CB，将线段CF绕点C顺时针旋转60°得到线段CE，连接EF，EA，∴CE=CF，∠FCE=60°，∴△CEF是等边三角形，∴∠CFE=60°，FE=FC，∴∠BCF=∠ACE，在△BCF和△ACE中，，∴△BCF≌△ACE，∴FB=AE，∵∠AFC=150°，∠CFE=60°，∴∠AFE=90°，在Rt△AEF中，FA2+FE2=AE2，∴FA2+FC2=FB2．29．在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C给出如下定义：如果正方形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在正方形的内部或边界上，那么称该正方形为点A，B，C的外延正方形，在点A，B，C所有的外延正方形中，面积最小的正方形称为点A，B，C的最佳外延正方形．例如，图1中的正方形A1B1C1D1，A2B2C2D2，A3B3CD3都是点A，B，C的外延正方形，正方形A3B3CD3是点A，B，C的最佳外延正方形．（1）如图1，点A（﹣1，0），B（2，4），C（0，t）（t为整数）．①如果t=3，则点A，B，C的最佳外延正方形的面积是16；②如果点A，B，C的最佳外延正方形的面积是25，且使点C在最佳外延正方形的一边上，请写出一个符合题意的t值﹣1（答案不唯一）；（2）如图3，已知点M（3，0），N（0，4），P（x，y）是抛物线y=x2﹣2x﹣3上一点，求点M，N，P的最佳外延正方形的面积的最小值以及点P的横坐标x的取值范围；（3）如图4，已知点E（m，n）在函数y=（x＞0）的图象上，且点D的坐标为（1，1），设点O，D，E的最佳外延正方形的边长为a，请直接写出a的取值范围．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）①由点B到x轴的距离为4，依据最佳外延正方形的定义可知点A，B，C的最佳外延正方形的边长为4，从而可求得它的面积；②由题意可知点A，B，C的最佳外延正方形的边长为5，从而可确定出点C的纵坐标；（2）由点M、N的坐标可确定出点M（3，0），N（0，4），P（x，y）的最佳外延正方形的边长的最小值，从而可得到点M，N，P的最佳外延正方形的面积的最小值依据取值范围，由外延正方形的定义可知点M，N，P中任意两点不能够重合，故此可确定出点P的横坐标的取值范围；。
2020北京中考数学一模分类汇编《代数综合》含答案解析
2020年北京中考数学一模分类汇编——代数综合1．（2020•海淀区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m的顶点为A．（1）当m＝1时，直接写出抛物线的对称轴；（2）若点A在第一象限，且OA＝，求抛物线的解析式；（3）已知点B（m﹣，m+1），C（2，2）．若抛物线与线段BC有公共点，结合函数图象，直接写出m的取值范围．2．（2020•西城区一模）已知抛物线y＝ax2+bx+a+2（a≠0）与x轴交于点A（x1，0），点B （x2，0）（点A在点B的左侧），抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．（1）若点A的坐标为（﹣3，0），求抛物线的表达式及点B的坐标；（2）C是第三象限的点，且点C的横坐标为﹣2，若抛物线恰好经过点C，直接写出x2的取值范围；（3）抛物线的对称轴与x轴交于点D，点P在抛物线上，且∠DOP＝45°，若抛物线上满足条件的点P恰有4个，结合图象，求a的取值范围．3．（2020•东城区一模）在平面直角坐标系xOy中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．直线y＝ax与抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1（a≠0）围成的封闭区域（不包含边界）为W．（1）求抛物线顶点坐标（用含a的式子表示）；（2）当a＝时，写出区域W内的所有整点坐标；（3）若区域W内有3个整点，求a的取值范围．4．（2020•朝阳区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣3ax+a+1与y轴交于点A．（1）求点A的坐标（用含a的式子表示）；（2）求抛物线的对称轴；（3）已知点M（﹣2，﹣a﹣2），N（0，a）．若抛物线与线段MN恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．5．（2020•丰台区一模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax．（1）二次函数图象的对称轴是直线x＝；（2）当0≤x≤3时，y的最大值与最小值的差为4，求该二次函数的表达式；（3）若a＜0，对于二次函数图象上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当t≤x1≤t+1，x2≥3时，均满足y1≥y2，请结合函数图象，直接写出t的取值范围．6．（2020•石景山区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+4ax+b（a＞0）的顶点A在x轴上，与y轴交于点B．（1）用含a的代数式表示b；（2）若∠BAO＝45°，求a的值；（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域（不含边界）内恰好没有整点，结合函数的图象，直接写出a的取值范围．7．（2020•通州区一模）在平面直角坐标系xOy中，存在抛物线y＝x2+2x+m+1以及两点A （m，m+1）和B（m，m+3）．（1）求该抛物线的顶点坐标；（用含m的代数式表示）（2）若该抛物线经过点A（m，m+1），求此抛物线的表达式；（3）若该抛物线与线段AB有公共点，结合图象，求m的取值范围．8．（2020•平谷区一模）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2﹣2mx+1图象与y轴的交点为A，将点A向右平移4个单位长度得到点B．（1）直接写出点A与点B的坐标；（2）求出抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；（3）若函数y＝x2﹣2mx+1的图象与线段AB恰有一个公共点，求m的取值范围．9．（2020•顺义区一模）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A （0，﹣4）和B（﹣2，2）．（1）求c的值，并用含a的式子表示b；（2）当﹣2＜x＜0时，若二次函数满足y随x的增大而减小，求a的取值范围；（3）直线AB上有一点C（m，5），将点C向右平移4个单位长度，得到点D，若抛物线与线段CD只有一个公共点，求a的取值范围．10．（2020•密云区一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣4ax+1（a＞0）．（1）抛物线的对称轴为；（2）若当1≤x≤5时，y的最小值是﹣1，求当1≤x≤5时，y的最大值；（3）已知直线y＝﹣x+3与抛物线y＝ax2﹣4ax+1（a＞0）存在两个交点，设左侧的交点为点P（x1，y1），当﹣2≤x1＜﹣1时，求a的取值范围．11．（2020•延庆区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3a（a≠0）过点A （1，0）．（1）求抛物线的对称轴；（2）直线y＝﹣x+4与y轴交于点B，与该抛物线的对称轴交于点C，现将点B向左平移一个单位到点D，如果该抛物线与线段CD有交点，结合函数的图象，求a的取值范围．12．（2020•房山区一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣1交y轴于点P．（1）过点P作与x轴平行的直线，交抛物线于点Q，PQ＝4，求的值；（2）横纵坐标都是整数的点叫做整点．在（1）的条件下，记抛物线与x轴所围成的封闭区域（不含边界）为W．若区域W内恰有4个整点，结合函数图象，求a的取值范围．13．（2020•门头沟区一模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+m（m≠0）的图象与y轴交于点A，过点B（0，2m）且平行于x轴的直线与一次函数y＝x+m（m≠0）的图象，反比例函数y＝的图象分别交于点C，D．（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；（2）当m＝1时，用等式表示线段BD与CD长度之间的数量关系，并说明理由；（3）当BD≤CD时，直接写出m的取值范围．14．（2020•大兴区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2mx+m﹣4与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求m的值；（2）若一次函数y＝kx+5（k≠0）的图象经过点A，求k的值；（3）将二次函数的图象在点B，C间的部分（含点B和点C）向左平移n（n＞0）个单位后得到的图象记为G，同时将（2）中得到的直线y＝kx+5（k≠0）向上平移n个单位，当平移后的直线与图象G有公共点时，请结合图象直接写出n的取值范围．2020年北京中考数学一模分类汇编——代数综合参考答案与试题解析1．（2020•海淀区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m的顶点为A．（1）当m＝1时，直接写出抛物线的对称轴；（2）若点A在第一象限，且OA＝，求抛物线的解析式；（3）已知点B（m﹣，m+1），C（2，2）．若抛物线与线段BC有公共点，结合函数图象，直接写出m的取值范围．【分析】（1）将m＝1代入抛物线解析式即可求出抛物线的对称轴；（2）根据抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m的顶点A的坐标为（m，m）．点A在第一象限，且OA＝，即可求抛物线的解析式；（3）将点B（m﹣，m+1），C（2，2）．分别代入抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m，根据二次函数的性质即可求出m的取值范围．【解答】解：（1）当m＝1时，抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m＝x2﹣2x+2．∴抛物线的对称轴为直线x＝1；（2）∵y＝x2﹣2mx+m2+m＝（x﹣m）2+m，∴抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m的顶点A的坐标为（m，m）．∵点A在第一象限，且点A的坐标为（m，m），∴过点A作AM垂直于x轴于点M，连接OA，∵m＞0，∴OM＝AM＝m，∴OA＝m，∵OA＝，∴m＝1，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x+2．（3）∵点B（m﹣，m+1），C（2，2）．∴把点B（m﹣，m+1），代入抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m时，方程无解；把点C（2，2）代入抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m，得m2﹣3m+2＝0，解得m＝1或m＝2，根据函数图象性质：当m≤1或m≥2时，抛物线与线段BC有公共点，∴m的取值范围是：m≤1或m≥2．【点评】本题考查了二次函数的综合，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质．2．（2020•西城区一模）已知抛物线y＝ax2+bx+a+2（a≠0）与x轴交于点A（x1，0），点B （x2，0）（点A在点B的左侧），抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．（1）若点A的坐标为（﹣3，0），求抛物线的表达式及点B的坐标；（2）C是第三象限的点，且点C的横坐标为﹣2，若抛物线恰好经过点C，直接写出x2的取值范围；（3）抛物线的对称轴与x轴交于点D，点P在抛物线上，且∠DOP＝45°，若抛物线上满足条件的点P恰有4个，结合图象，求a的取值范围．【分析】（1）抛物线的对称轴为x＝﹣1＝﹣，求出b＝2a，将点A的坐标代入抛物线的表达式，即可求解；（2）点C在第三象限，即点A在点C和函数对称轴之间，故﹣2＜x1＜﹣1，即可求解；（3）满足条件的P在x轴的上方有2个，在x轴的下方也有2个，则抛物线与y轴的交点在x轴的下方，即可求解．【解答】解：（1）抛物线的对称轴为x＝﹣1＝﹣，解得：b＝2a，故y＝ax2+bx+a+2＝a（x+1）2+2，将点A的坐标代入上式并解得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝﹣（x+1）2+2＝﹣x2﹣x+；令y＝0，即﹣x2﹣x+＝0，解得：x＝﹣3或1，故点B的坐标为：（1，0）；（2）由（1）知：y＝a（x+1）2+2，点C在第三象限，即点C在点A的下方，即点A在点C和函数对称轴之间，故﹣2＜x1＜﹣1，而（x1+x2）＝﹣1，即x2＝﹣2﹣x1，故﹣1＜x2＜0；（3）∵抛物线的顶点为（﹣1，2），∴点D（﹣1，0），∵∠DOP＝45°，若抛物线上满足条件的点P恰有4个，∴抛物线与x轴的交点在原点的左侧，如下图，∴满足条件的P在x轴的上方有2个，在x轴的下方也有2个，则抛物线与y轴的交点在x轴的下方，当x＝0时，y＝ax2+bx+a+2＝a+2＜0，解得：a＜﹣2，故a的取值范围为：a＜﹣2．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解不等式、函数作图，解题的关键是通过画出抛物线的位置，确定点的位置关系，进而求解．3．（2020•东城区一模）在平面直角坐标系xOy中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．直线y＝ax与抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1（a≠0）围成的封闭区域（不包含边界）为W．（1）求抛物线顶点坐标（用含a的式子表示）；（2）当a＝时，写出区域W内的所有整点坐标；（3）若区域W内有3个整点，求a的取值范围．【分析】（1）将抛物线化成顶点式表达式即可求解；（2）概略画出直线y＝x和抛物线y＝x2﹣x﹣1的图象，通过观察图象即可求解；（3）分a＞0、a＜0两种情况，结合（2）的结论，逐次探究即可求解．【解答】解：（1）y＝ax2﹣2ax﹣1＝a（x﹣1）2﹣a﹣1，故顶点的坐标为：（1，﹣a﹣1）；（2）a＝时，概略画出直线y＝x和抛物线y＝x2﹣x﹣1的图象如下：从图中看，W区域整点为如图所示4个黑点的位置，其坐标为：（1，0）、（2，0）、（3，1）、（1，﹣1）；（3）①当a＞0时，由（2）知，当a＝时，区域W内的所有整点数有4个；参考（2）可得：当a＞时，区域W内的所有整点数多于3个；当a时，区域W内的所有整点数有4个；同理当a＝时，区域W内的所有整点数有3个；当0＜a＜时，区域W内的所有整点数多于3个；②当a＜0时，当﹣1≤a＜0时，区域W内的所有整点数为0个；当a＜﹣时，区域W内的所有整点数多于3个；∴区域W内有3个整点时，a的取值范围为：﹣≤a＜﹣1，综上，区域W内有3个整点，a的取值范围为：a＝或﹣≤a＜﹣1．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的基本性质等，这种探究性题目，通常按照题设的顺序逐次求解，一般较为容易得出正确的结论．4．（2020•朝阳区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣3ax+a+1与y轴交于点A．（1）求点A的坐标（用含a的式子表示）；（2）求抛物线的对称轴；（3）已知点M（﹣2，﹣a﹣2），N（0，a）．若抛物线与线段MN恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法求解即可．（2）根据抛物线的对称轴：x＝﹣求解即可．（3）对于任意实数a，都有a+1＞a，可知点A在点N的上方，令抛物线上的点C（﹣2，y），可得y c＝11a+1，分a＞0，a＜0两种情形分别求解即可解决问题．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣3ax+a+1与y轴交于A，令x＝0，得到y＝a+1，∴A（0，a+1）．（2）由抛物线y＝ax2﹣3ax+a+1，可知x＝﹣＝，∴抛物线的对称轴x＝．（3）对于任意实数a，都有a+1＞a，可知点A在点N的上方，令抛物线上的点C（﹣2，y），∴y c＝11a+1，①如图1中，当a＞0时，y c＞﹣a﹣2，∴点C在点M的上方，结合图象可知抛物线与线段MN没有公共点．②当a＜0时，（a）如图2中，当抛物线经过点M时，y c＝﹣a﹣2，∴a＝﹣，结合图象可知抛物线与线段MN巧有一个公共点M．（b）当﹣＜a＜0时，观察图象可知抛物线与线段MN没有公共点．（c）如图3中，当a＜﹣时，y c＜﹣a﹣2，∴点C在点M的下方，结合图象可知抛物线与线段MN恰好有一个公共点，综上所述，满足条件的a的取值范围是a≤﹣．【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数，构建不等式解决问题，属于中考压轴题．5．（2020•丰台区一模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax．（1）二次函数图象的对称轴是直线x＝1；（2）当0≤x≤3时，y的最大值与最小值的差为4，求该二次函数的表达式；（3）若a＜0，对于二次函数图象上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当t≤x1≤t+1，x2≥3时，均满足y1≥y2，请结合函数图象，直接写出t的取值范围．【分析】（1）由对称轴是直线x＝﹣，可求解；（2）分a＞0或a＜0两种情况讨论，求出y的最大值和最小值，即可求解；（3）利用函数图象的性质可求解．【解答】解：（1）由题意可得：对称轴是直线x＝＝1，故答案为：1；（2）当a＞0时，∵对称轴为x＝1，当x＝1时，y有最小值为﹣a，当x＝3时，y有最大值为3a，∴3a﹣（﹣a）＝4．∴a＝1，∴二次函数的表达式为：y＝x2﹣2x；当a＜0时，同理可得y有最大值为﹣a；y有最小值为3a，∴﹣a﹣3a＝4，∴a＝﹣1，∴二次函数的表达式为：y＝﹣x2+2x；综上所述，二次函数的表达式为y＝x2﹣2x或y＝﹣x2+2x；（3）∵a＜0，对称轴为x＝1，∴x≤1时，y随x的增大而增大，x＞1时，y随x的增大而减小，x＝﹣1和x＝3时的函数值相等，∵t≤x1≤t+1，x2≥3时，均满足y1≥y2，∴t≥﹣1，t+1≤3，∴﹣1≤t≤2．【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识，利用分类思想解决问题是本题的关键．6．（2020•石景山区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+4ax+b（a＞0）的顶点A在x轴上，与y轴交于点B．（1）用含a的代数式表示b；（2）若∠BAO＝45°，求a的值；（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域（不含边界）内恰好没有整点，结合函数的图象，直接写出a的取值范围．【分析】（1）先将抛物线解析式化为顶点式，然后根据抛物线y＝ax2+4ax+b（a＞0）的顶点A在x轴上，可以得到该抛物线的顶点纵坐标为0，从而可以得到a和b的关系；（2）根据抛物线解析式，可以得到点B的坐标为（0，4a），然后∠BAO＝45°，可知4a＝2，从而可以求得a的值；（3）根据函数图象，可以写出a的取值范围．【解答】解：（1）∵y＝ax2+4ax+b＝a（x+2）2+（b﹣4a），∴该抛物线顶点A的坐标为（﹣2，b﹣4a），∵顶点A在x轴上，∴b﹣4a＝0，即b＝4a；（2）∵b＝4a，∴抛物线为y＝ax2+4ax+4a（a＞0），∵抛物线顶点为A（﹣2，0），与y轴的交点B（0，4a）在y轴的正半轴，∠BAO＝45°，∴OB＝OA＝2，∴4a＝2，∴；（3）或a＝1．理由：∵点A（﹣2，0），点B（0，4a），设直线AB的函数解析式为y＝mx+n，，得，即直线AB的解析式为y＝2ax+4a，∵抛物线解析式为y＝ax2+4ax+4a（a＞0），抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域（不含边界）内恰好没有整点，∴或，解得，a＝1或0＜a≤，即a的取值范围是0＜a≤或a＝1．【点评】本题是一道二次函数综合题，主要考查二次函数的性质，一次函数的性质、解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，画出相应的图形，利用数形结合的思想解答．7．（2020•通州区一模）在平面直角坐标系xOy中，存在抛物线y＝x2+2x+m+1以及两点A （m，m+1）和B（m，m+3）．（1）求该抛物线的顶点坐标；（用含m的代数式表示）（2）若该抛物线经过点A（m，m+1），求此抛物线的表达式；（3）若该抛物线与线段AB有公共点，结合图象，求m的取值范围．【分析】（1）利用配方法求出抛物线的顶点坐标即可．（2）利用待定系数法把问题转化为一元二次方程即可解决问题．（3）分m≥0，m＜0两种情形，分别构建不等式解决问题即可．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+2x+m+1＝（x+1）2+m，∴抛物线的顶点（﹣1，m），（2）∵抛物线经过点A（m，m+1），∴m+1＝m2+2m+m+1，解得m＝0或﹣2，∴抛物线的解析式为y＝x2+2x+1或y＝x2+2x﹣1．（3）当m≥0时，如图1中，观察图象可知：m+1≤m2+2m+m+1≤m+3，∴m2+2m≥0且m2+2m﹣2≤0，解得0≤m≤﹣1+．当m＜0时，如图2中，观察图象可知：m+1≤m2+2m+m+1≤m+3，∴m2+2m≥0且m2+2m﹣2≤0，解得﹣1﹣≤m≤﹣2，综上所述，满足条件的m的值为：0≤m≤﹣1+或﹣1﹣≤m≤﹣2．【点评】本题考查二次函数的图形与系数的关系，待定系数法等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．8．（2020•平谷区一模）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2﹣2mx+1图象与y轴的交点为A，将点A向右平移4个单位长度得到点B．（1）直接写出点A与点B的坐标；（2）求出抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；（3）若函数y＝x2﹣2mx+1的图象与线段AB恰有一个公共点，求m的取值范围．【分析】（1）计算自变量为0的函数值得到A点坐标，然后利用点平移的规律确定B点坐标；（2）利用抛物线的对称轴方程求解；（3）当对称轴为y轴时，满足条件，此时m＝0；当m＜0时满足条件；若m＞0时，利用当x＝4，y＜1时抛物线与线段AB恰有一个公共点，然后求出此时m的范围．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝x2﹣2mx+1＝1，则A点坐标为（0，1），把A（0，1）右平移4个单位长度得到点B，则B点坐标为（4，1），（2）抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝m；（3）当m＝0时，抛物线解析式为y＝x2+1，此抛物线与线段AB恰有一个公共点；当m＜0时，抛物线与线段AB恰有一个公共点；当m＞0时，当x＝4，y＜1，即16﹣8m+1＜1，解得m＞2，所以m的范围为m≤0或m＞2．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．9．（2020•顺义区一模）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A （0，﹣4）和B（﹣2，2）．（1）求c的值，并用含a的式子表示b；（2）当﹣2＜x＜0时，若二次函数满足y随x的增大而减小，求a的取值范围；（3）直线AB上有一点C（m，5），将点C向右平移4个单位长度，得到点D，若抛物线与线段CD只有一个公共点，求a的取值范围．【分析】（1）把点A（0，﹣4）和B（﹣2，2）分别代入y＝ax2+bx+c，即可求解；（2）当a＜0时，依题意抛物线的对称轴需满足≤﹣2；当a＞0时，依题意抛物线的对称轴需满足≥0，即可求解；（3）①当a＞0时，若抛物线与线段CD只有一个公共点，则抛物线上的点（1，3a﹣7）在D点的下方，即可求解；②当a＜0时，若抛物线的顶点在线段CD上，则抛物线与线段只有一个公共点，即可求解．【解答】解：（1）把点A（0，﹣4）和B（﹣2，2）分别代入y＝ax2+bx+c中，得c＝﹣4，4a﹣2b+c＝2．∴b＝2a﹣3；（2）当a＜0时，依题意抛物线的对称轴需满足≤﹣2，解得≤a＜0．当a＞0时，依题意抛物线的对称轴需满足≥0，解得0＜a≤．∴a的取值范围是≤a＜0或0＜a≤；（3）设直线AB的表达式为：y＝mx+n，则，解得：，故直线AB表达式为y＝﹣3x﹣4，把C（m，5）代入得m＝﹣3．∴C（﹣3，5），由平移得D（1，5）．①当a＞0时，若抛物线与线段CD只有一个公共点（如图1），y＝ax2+bx+c＝ax2+（2a﹣3）x﹣4，当x＝1时，y＝3a﹣7，则抛物线上的点（1，3a﹣7）在D点的下方，∴a+2a﹣3﹣4＜5．解得a＜4．∴0＜a＜4；②当a＜0时，若抛物线的顶点在线段CD上，则抛物线与线段只有一个公共点（如图2），∴．即．解得（舍去）或（舍）．综上，a的取值范围是0＜a＜4或a＝﹣3﹣．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、解不等式等，解题的关键是通过画图确定抛物线图象与直线之间的位置关系，进而求解．10．（2020•密云区一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣4ax+1（a＞0）．（1）抛物线的对称轴为x＝2；（2）若当1≤x≤5时，y的最小值是﹣1，求当1≤x≤5时，y的最大值；（3）已知直线y＝﹣x+3与抛物线y＝ax2﹣4ax+1（a＞0）存在两个交点，设左侧的交点为点P（x1，y1），当﹣2≤x1＜﹣1时，求a的取值范围．【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式即可得结论；（2）根据抛物线的对称轴为直线x＝2，可得顶点在1≤x≤5范围内，和y的最小值是﹣1，得顶点坐标为（2，﹣1），把顶点（2，﹣1）代入y＝ax2﹣4ax+1，可得a的值，进而可得y的最大值；（3）当x＝﹣2时，P（﹣2，5），把P（﹣2，5）代入y＝ax2﹣4ax+1，当x1＝﹣1时，P（﹣1，4），把P（﹣1，4）代入y＝ax2﹣4ax+1，分别求出a的值，再根据函数的性质即可得a的取值范围．【解答】解：（1）抛物线的对称轴为：x＝2，故答案为：x＝2；（2）解：∵抛物线的对称轴直线为x＝2，∴顶点在1≤x≤5范围内，∵y的最小值是﹣1，∴顶点坐标为（2，﹣1）．∵a＞0，开口向上，∴当x＞2时，y随x的增大而增大，即x＝5时，y有最大值，∴把顶点（2，﹣1）代入y＝ax2﹣4ax+1，∴4a﹣8a+1＝﹣1，解得a＝，∴y＝x2﹣2x+1，∴当x＝5时，y＝，即y的最大值是；（3）当x＝﹣2时，P（﹣2，5），把P（﹣2，5）代入y＝ax2﹣4ax+1，∴4a+8a+1＝5，解得a＝，当x1＝﹣1时，P（﹣1，4），把P（﹣1，4）代入y＝ax2﹣4ax+1，∴a+4a+1＝4，解得a＝，∴≤a＜．【点评】本题考查了二次函数的图象和性质、一次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质．11．（2020•延庆区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3a（a≠0）过点A （1，0）．（1）求抛物线的对称轴；（2）直线y＝﹣x+4与y轴交于点B，与该抛物线的对称轴交于点C，现将点B向左平移一个单位到点D，如果该抛物线与线段CD有交点，结合函数的图象，求a的取值范围．【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征代入点A的坐标，得出b＝﹣4a，则解析式为y ＝ax2﹣4ax+3a，进一步求得抛物线的对称轴；（2）结合图形，分两种情况：①a＞0；②a＜0，进行讨论即可求解．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3a（a≠0）过点A（1，0），∴a+b+3a＝0，∴b＝﹣4a，∴y＝ax2﹣4ax+3a∴对称轴为x＝2；（2）∵直线y＝﹣x+4与y轴交于点B，∴B（0，4），则点D（﹣1，4），∵直线y＝﹣x+4与x＝2交于点C，∴C（2，2），①当a＞0时，如图1，过点D作y轴的平行线交抛物线于点H，当x＝﹣1时，y＝ax2﹣4ax+3a＝a+4a+3a＝8a，故点H（﹣1，8a），如果该抛物线与线段CD有交点，则y H≥y D，即8a≥4，解得：a；②当a＜0时，如图2，设抛物线的顶点为H（2，﹣a），如果该抛物线与线段CD有交点，则y H≥y，C，即﹣a≥2，解得：a≤﹣2；综上，a的取值范围为：a≥或a≤﹣2．【点评】本题考查了二次函数的性质以及解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式，待定系数法求抛物线解析式．本题属于中档题，难度不大，但涉及知识点较多，需要对二次函数足够了解才能快捷的解决问题．12．（2020•房山区一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣1交y轴于点P．（1）过点P作与x轴平行的直线，交抛物线于点Q，PQ＝4，求的值；（2）横纵坐标都是整数的点叫做整点．在（1）的条件下，记抛物线与x轴所围成的封闭区域（不含边界）为W．若区域W内恰有4个整点，结合函数图象，求a的取值范围．【分析】（1）先求出点Q坐标，代入解析式可求解；（2）分两种情况讨论，利用特殊点可求解．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣1交y轴于点P，∴点P（0，﹣1），∵PQ＝4，PQ∥x轴，∴点Q（4，﹣1）或（﹣4，﹣1）当点Q为（4，﹣1），∴﹣1＝16a+4b﹣1，∴，当点Q（﹣4，﹣1）∴﹣1＝16a﹣4b﹣1，∴＝4；（2）当a＜0时，当抛物线过点（﹣2，2）时，a＝﹣，当抛物线过点（2，3）时，a＝﹣1，∴﹣1≤a＜﹣，当a＞0时，当抛物线过点（2，﹣2）时，a＝，当抛物线过点（﹣1，﹣2）时，a＝，∴＜a≤；综上所述：＜a≤或﹣1≤a＜﹣．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，理解整点定义，并能运用是本题关键．13．（2020•门头沟区一模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+m（m≠0）的图象与y轴交于点A，过点B（0，2m）且平行于x轴的直线与一次函数y＝x+m（m≠0）的图象，反比例函数y＝的图象分别交于点C，D．（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；（2）当m＝1时，用等式表示线段BD与CD长度之间的数量关系，并说明理由；（3）当BD≤CD时，直接写出m的取值范围．【分析】（1）直接将点B的坐标代入反比例函数y＝中可得点D的坐标；（2）把m＝1代入可得B和D的坐标，从而得C的坐标，根据两点的距离公式可得BD ＝2CD；（3）根据两点的距离公式，由BD≤CD列不等式，解出即可，因为y＝中m≠0，可得结论．【解答】解：（1）∵过点B（0，2m）且平行于x轴的直线与反比例函数y＝的图象交于点D，∴点D的纵坐标为2m，∴2m＝，x＝2，∴D（2，2m）；（2）当m＝1时，B（0，2），D（2，2），∵过点B（0，2m）且平行于x轴的直线与一次函数y＝x+m（m≠0）的图象交于点C，∴2m＝x+m，x＝m，∴C（m，2m），∴C（1，2），∴BD＝＝2，CD＝＝1，∴BD＝2CD；（3）∵B（0，2m），C（m，2m），D（2，2m），∴BD＝2，CD＝|m﹣2|，∵BD≤CD，∴|m﹣2|≥2，∴m≥4或m＜0．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，学会利用参数解决问题，并熟练掌握两点的距离公式．14．（2020•大兴区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2mx+m﹣4与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求m的值；（2）若一次函数y＝kx+5（k≠0）的图象经过点A，求k的值；（3）将二次函数的图象在点B，C间的部分（含点B和点C）向左平移n（n＞0）个单位后得到的图象记为G，同时将（2）中得到的直线y＝kx+5（k≠0）向上平移n个单位，当平移后的直线与图象G有公共点时，请结合图象直接写出n的取值范围．【分析】（1）把点C的坐标代入抛物线的解析式即可求出m．（2）求出点A的坐标，利用待定系数法解决问题即可．（3）如图，设平移后的直线的解析式为y＝5x+5+n，点C平移后的坐标为（﹣n，﹣3），点B平移后的坐标为（3﹣n，0），求出点C或B直线y＝5x+5+n上时n的值，即可解决问题．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣2mx+m﹣4与y轴交于点C（0，﹣3），∴m﹣4＝﹣3，∴m＝1．（2）∵抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，得到x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝﹣1或3，∵抛物线y＝x2﹣2mx+m﹣4与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），∴A（﹣1，0），B（3，0），∵一次函数y＝kx+5（k≠0）的图象经过点A，∴﹣k+5＝0，∴k＝5．，（3）如图，设平移后的直线的解析式为y＝5x+5+n点C平移后的坐标为（﹣n，﹣3），点B平移后的坐标为（3﹣n，0），当点C落在直线y＝5x+5+n上时，﹣3＝﹣5n+5+n，解得n＝2，当点B落在直线y＝5x+5+n上时，0＝5（3﹣n）+5+n解得n＝5，观察图象可知，满足条件的n的取值范围为2≤n≤5．【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．第23页（共23页）。
2020年北京市西城区九年级一模数学试题及答案解析
2020年北京市西城区九年级一模数学试题一、选择题1.北京大兴国际机场目前是全球建设规模最大的机场，2019年，9月25日正式通航，预计到2022年机场旅客吞吐量将达到45 000 000人次，将45 000 000用科学记数法表示为（）A. 45×61010 C. 4.5×810 B. 4.5×710 D. 0.45×9【答案】B【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．【详解】解：将数据45000000用科学记数法可表示为：4.5×107．故答案选：B．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2.如图是某个几个几何体的三视图，该几何体是（）A. 圆锥B. 圆柱C. 长方体D. 正三棱柱【答案】B【解析】【分析】由主视图和俯视图确定是柱体，由左视图确定具体形状.【详解】解：从主视图和俯视图可以确定是柱体，然后由左视图可以确定此物体为一个横放着的圆柱.故答案为：B.【点睛】考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．3.下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐一进行判断即可.【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故选项错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故选项错误；C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故选项正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故选项错误，故选：C.【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．4.在数轴上，点A，B表示的数互为相反数，若点A在点B的左侧，且2，则点A，点B表示的数分别是（）A. 222，2 C. 0，2 D. 2，2【答案】A【解析】【分析】根据相反数的定义即可求解．【详解】解：由A、B表示的数互为相反数，且2，点A在点B的左侧，得点A，点B表示的数分别是22．故选：A．【点睛】本题考查了相反数的知识，属于基础题，注意熟练掌握相反数的概念是解题的关键．5.如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点．若∠CAB=65 ，则∠ADC的度数为（）A. 65︒B. 35︒C. 32.5︒D. 25︒【答案】D【解析】【分析】首先利用直径所对的圆周角是直角得到∠ACB=90°，然后根据∠CAB=65°求得∠ABC的度数，利用同弧所对的圆周角相等即可得到答案．【详解】解：∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=65°，∴∠ABC=∠ACB -∠CAB=90°-65°=25°，∵∠ADC和∠ABC所对的弧相同∴∠ADC=∠ABC=25°，故选：D．【点睛】本题考查了圆周角的知识，解题的关键是掌握直径所对的圆周角为直角．6.甲、乙两名运动员10次射击成绩(单位，环)如图所示．甲、乙两名运动员射击成绩平均数记为x甲，x乙，则下列关系中完全正确的是（）A. x甲=x乙，2S甲>2乙S B. x甲= x乙，2S甲<2乙SC. x甲>x乙，2S甲>2乙S D. x甲<x乙，2S甲<2乙S【答案】A 【解析】【分析】分别求出甲、乙两名运动员10次射击成绩的平均数和方差即可． 【详解】解：8492104910x ⨯+⨯+⨯==甲 8394103910x ⨯+⨯+⨯==乙 ∴x x =乙甲()()()222289499210944105S -⨯+-⨯+-⨯==甲 ()()()222289399410933105S -⨯+-⨯+-⨯==乙 ∴22S S >甲乙故选：A ．【点睛】此题考查了平均数和方差，掌握平均数和方差公式是解题的关键．7.如图，在数学实践活动课上，小明同学打算通过测量树的影长计算树的高度，阳光下他测得长1m 的竹竿落在地面上的影长为0.9m ，在同一时刻测量树的影长时，他发现树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在墙面上，他测得这棵树落在地面上的影长BD 为2.7m ，落在墙面上的影长CD 为1.0m ，则这棵树的高度是（ ）A. 6.0mB. 5.0mC. 4.0mD. 3.0m【答案】C【解析】【分析】 根据在同一时刻物高和影长比值相同，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似进而解答即可．【详解】解：延长AC 交BD 延长线于点E ，根据物高与影长成正比得：109 CDDE.=，∵CD=1，∴1109 DE.=解得：DE=0.9，则BE=2.7+0.9=3.6米，∵AB∥CD，∴△ABE∽△CDE，∴AB BE CD DE=，即36 109 AB..=，解得：AB=4，即树AB的高度为4米，故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解决本题的关键是作出辅助线得到AB的影长．8.设m是非零实数，给出下列四个命题：①若-1<m<0，则1m<m<2m；②若m>1，则1m<2m<m；③若m<1m<2m，则m<0；④2m<m<1m，则0<m<1．其中命题成立的序号是（）A. ①③B. ①④C. ②③D. ③④【答案】B【解析】【分析】逐个进行一次判断即可，判断一个命题是假命题，只需举出一个反例．【详解】解：①若-1＜m＜0，则1m<m<2m，成立，是真命题；②若m＞1，取m=2时，m2＝4，m＜m2，原命题不成立；③若m<1m<2m，取m=-12时，1m=-2，m＞1m，原命题不成立；④2m<m<1m，则0<m<1，成立，是真命题；成立的有①④，故选：B．【点睛】此题考查了命题和不等式，解题的关键是理解不等式的性质．二、填空题9.x的取值范围是_______．x≥【答案】1【解析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．解：∴x-1≥0，解得x≥1．故答案x≥1．本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．10.一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为________．【答案】6．【解析】【分析】由多边形的外角和等于360°，可得多边形的内角和为720°，根据多边形的内角和公式，即可求解．【详解】∵多边形的外角和是360度，多边形的内角和是外角和的2倍，∴内角和是720度，∵720÷180+2=6，∴这个多边形是六边形．故答案为：6．【点睛】本题主要考查多边形的内角和与外角和，掌握多边形的外角和等于360°以及多边形的内角和公式，是解题的关键．11.已知y是以x为自变量的二次函数，且当x=0时，y的最小值为-1，写出一个满足上述条件的二次函数表达式_______．【答案】y=x2-1．【解析】【分析】直接利用二次函数的性质得出其顶点坐标为（0，-1），然后写出一个满足题意的二次函数即可．【详解】解：∵y 是以x 为自变量的二次函数，且当x=0时，y 的最小值为-1，∴二次函数对称轴是y 轴，且顶点坐标为：（0，-1），抛物线开口向上，故满足上述条件的二次函数表达式可以为：y=x 2-1．故答案为：y=x 2-1．【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，正确得出其顶点坐标是解题关键．12.如果21a a +=，那么代数式2111a a a ---的值是______． 【答案】1【解析】【分析】 先根据分式的运算法则将2111a a a ---进行化简，再将21a a +=的值代入即可． 【详解】解：2111a a a --- ()()1111a a a a -=-+- ()()111a a a a a a +=-++ ()11a a =+ 21a a=+ ∵21a a += ∴原式211a a==+ 故答案为：1．【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．13.如图，在正方形ABCD 中，BE 平分∠CBD ，EF ⊥BD 于点F ，若，则BC 的长为_________．21【解析】【分析】根据正方形的性质，角平分线的性质可得到△DEF 为等腰直角三角形，然后设BC=CD=x ，利用勾股定理解答即可．【详解】解：∵四边形ABCD 为正方形，∴∠C=90°，∠CDB=45°，BC=CD ．∴EC ⊥CB ．又∵BE 平分∠CBD ，EF ⊥BD ，∴EC=EF ．∵∠CDB=45°，EF ⊥BD ，∴△DEF 为等腰直角三角形，∴DF=EF ，设BC=CD=x ，∵2，∴2，即2，在Rt △DEF 中，222DE DF EF =+， ∴((222222x x += 解得21∴21故答案为：21+．【点睛】本题考查了正方形的性质，角平分线的性质，勾股定理，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键．14.如图，△ABC的顶点A，B，C都在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则AC的长为________，BD的长为_________．【答案】(1). 5 (2). 3【解析】【分析】根据图形和三角形的面积公式求出△ABC的面积，根据勾股定理求出AC，根据三角形的面积公式计算即可．【详解】如图所示：由勾股定理得：AC＝2234+＝5，S△ABC＝12BC×AE＝12×BD×AC，∵AE＝3，BC＝5，即12×3×5＝12×5BD，解得：BD＝3．故答案为：5；3．【点睛】本题主要考查了勾股定理的知识，解题的关键是利用勾股定理求出AC的长，此题难度一般．15.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的坐标分别是（0，4），（4，0），（8，0），⊙M是△ABC 的外接圆，则点M的坐标为___________．【答案】（6，6）【解析】【分析】如图：由题意可得M在AB、BC的垂直平分线上，则BN=CN；证得ON=OB+BN=6，即△OMN是等腰直角三角形，得出MN=ON=6，即可得出答案.【详解】解：如图∵圆M是△ABC的外接圆∴点M在AB、BC的垂直平分线上，∴BN=CN，∵点A，B，C的坐标分别是（0，4），（4，0），（8，0）∴OA=OB=4，OC=8，∴BC=4，∴BN=2，∴ON=OB+BN=6，∵∠AOB=90°，∴△AOB是等腰直角三角形，∵OM⊥AB，∴∠MON=45°，∴△OMN是等腰直角三角形，∴MN=ON=6，点M的坐标为（6，6）．故答案为（6，6）．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心、坐标与图形性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，其中判定△OMN 为等腰直角三角形是解答本题的关键．16.某景区为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了某月（30天）接待游客人数（单位：万人）的数据，绘制了下面的统计图和统计表：根据以上信息，以下四个判断中，正确的是_________．(填写所有正确结论的序号) ①该景区这个月游玩环境评价为“拥挤或严重拥挤”的天数仅有4天； ②该景区这个月每日接待游客人数的中位数在5~10广域网人之间； ③该景区这个月平均每日接待游客人数低于5万人；④这个月1日至5日的五天中，如果某人曾经随机选择其中的两天到该景区游玩，那么他“这两天游玩环境评价均为好”的可能性为310． 【答案】①④ 【解析】 【分析】利用统计图与统计表获取的信息逐项判定即可．【详解】解：①根据统计表可得日接待游客人数10≤x< 15为拥挤，15≤x< 20为严重拥挤，由统计图可知，游玩环境评价为“拥挤或严重拥挤”，1日至5日有2天，25日-30日有2天，共4天，故①正确；②本题中位数是指将30天的游客人数从小到大排列，第15与第16位的和除以2，根据统计图可知0≤x < 5的有16天，从而中位数位于0≤x< 5范围内，故②错误；③从统计图可以看出，接近10的有6天，大于10而小于15的有2天，15以上的有2天，10上下的估算为10，则（10×8+15×2-5×10）÷16=3.25，可以考虑为给每个0至5的补上3.25，则大部分大于5，而0至5范围内有6天接近5，故平均数一定大于5，故③错误； ④由题意可知“这两天游玩环境评价均为好”的可能性为3235410⨯=，故④正确． 故答案为①④．【点睛】本题考查了中位数、平均数及可能性等知识，利用统计图与统计表获取的有效信息是解答本题的关键．三、解答题17.计算：101()(1|2sin 602-++-°． 【答案】3 【解析】 【分析】先运用负整数次幂、零次幂、取绝对值和特殊角的三角函数对原式化简，然后进行计算即可．【详解】解：101()(1|2sin 602-++-°=3【点睛】本题主要考查了负整数次幂、零次幂、取绝对值和特殊角的三角函数等知识点，灵活应用相关运算法则是解答本题的关键．18.解不等式组3(2)22254x x x x -<-⎧⎪⎨+<⎪⎩．【答案】52＜x ＜4 【解析】 【分析】先分别求出各不等式的解析，然后各不等式解集的公共部分即为不等式组的解集．【详解】解：3(2)22254x x x x -<-⎧⎪⎨+<⎪⎩①②由①得x ＜4 由②得x ＞52所以不等式组的解集为：52＜x ＜4 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，根据不等式的解集确定不等式组的解集是解答本题的关键． 19.关于x 的一元二次方程22(21)0x m x m -++=有两个实数根 （1）求m 的取值范围；（2）写出一个满足条件的m 的值，求此时方程的根． 【答案】（1）m≥14-；(2) 当m=0时，方程的根为x 1=1，x 2=0． 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式列出不等式并求解即可；（2）确定一个满足条件且方便计算的m ，然后解一元二次方程即可． 【详解】解：（1）由题意得:△=(2m+1)2-4m 2≥0,解得：m≥14-； （2）当m=0时，原方程为：20x x -=，解得x 1=1，x 2=0．【点睛】本题主要考查了根的判别式，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与△=b 2-4ac 有如下关系：①当△> 0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△< 0时，方程无实数根．20.如图，在Y ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，OA=OB ，过点B 作BE ⊥AC 于点E ． （1）求证：Y ABCD 是矩形；（2）若AD=cos ∠，求AC 的长．【答案】（1）见解析；（2）5．【解析】【分析】（1）先说明.OA=OC，OB=OD，再证得AC=BD，即可证明Y ABCD是矩形；（2）先说明∠BAD=∠ADC=90°，再求得∠CAD=∠ABE，最后解直角三角形即可．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴OA=OC，OB=OD又∵OA=OB，∴OA=OB=OC=OD，∴AC=BD，∴Y OABCD是矩形；（2）解∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠ADC=90°，∴∠BAC+∠CAD=90°，∵BE⊥AC，∴∠BAC+∠ABE=90°，∴∠CAD=∠ABE，在Rt△ACD中，AD=5cos∠CAD=ADAC=cos∠25∴AC=5．【点睛】本题考查了矩形的判定和性质、平行四边形的性质、解直角三角形等知识点，掌握矩形的判定和性质定理是解题答本题的关键．21.先阅读下列材料，再解答问题．尺规作图已知:△ABC，D是边AB上一点，如图1，求作:四边形DBCF，使得四边形DBCF是平行四边形．小明的做法如下：请你参考小明的做法，再设计一一种尺规作图的方法(与小明的方法不同)，使得画出的四边形DBCF是平行四边形，并证明．【答案】见解析【解析】【分析】利用平行四边形的判定方法作图证明即可．【详解】解：（1）设计方案先画一个符合题意的草图，再根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（2）设计作图步骤完成作图作法：如图：①以点C为圆心，BC长为半径画弧；②以点D为圆心，BC长为半径画弧，；③两弧交于点F，四边形DBCF即为所求.（3）推理论证证明：∵CF=BD，DF=BC∴四边形DBCF是平行四边形．【点睛】本题考查了尺规作图、平行四边形的判定等知识点，灵活应用平行四边形的判定方法是解答本题的关键．22.运用语音识别输入统计可以提高文字输入的速度，为了解A，B两种语音识别输入软件的可读性，小秦同学随机选择了20段话，其中每段话都含有100个字(不计标点符号)，在保持相同条件下，标准普通话来测试两种语音识别输入软件的准确性，整个测试分析过程如下，请补充完整．(1)收集数据：两种软件每次识别正确的字数记录如下：(2)整理，描述数据：根据上面得到的两组样本数据，绘制了分布直方图(3)分析数据：两组样本数据的平均数，众数，中位数，方差如下表所示平均数众数中位数方差A 84.7 84.5 88.91B 83.7 96 184.01(4)得出结论：根据以上信息．判断____种语音识别输入软件的准确性较好，理由如下．_______________(至少从两个不同的角度说明判断的合理性) ． 【答案】（2）见解析；（3）92，88.5；（4）见解析． 【解析】 【分析】（2）先统计数据，再补全频数分布直方图即可； （3）根据众数和中位数的定义计算即可； （4）从平均数、方差两个角度分析即可．【详解】解：（2）统计B 组数据得到：60-70的频数为2,70-80的频数为4,则补全频数分布直方图如图所示：（3）在A 组数据中92出现的次数最多,故A 组的众数为92；B 组的中位数为第10个和第11个数分别为88和89，则中位数为（88+89）÷2=88.5．故答案如图：（4）A 种语音识别输入软件的准确性较好，理由如下： ∵A 种语音的平均数=84.7，B 种语音的平均数=83.7， ∴84.7> 83.7，故A 种语音识别输入软件的准确性较好， ∵A 种语音的方差=88.91，B 种语音的方差=184.01， ∴88.91< 184.01，故A 种语音识别输入软件的准确性较好．【点睛】本题考查频数分布直方图、频数分布表、方差等知识，明确题意、灵活应用所学知识是解答本题的关键．23.如图，四边形OABC 中，90OAB ︒∠=．OA=OC ， BA=BC ．以O 为圆心，以OA 为半径作☉O(1)求证：BC是☉O的切线:(2)连接BO并延长交⊙O于点D，延长AO交⊙O于点E，与此的延长线交于点F若»»．AD AC①补全图形；②求证：OF=OB．【答案】(1)证明见解析（2）①图见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）连接AC，根据等腰三角形的性质得到∠OAC＝∠OCA，∠BAC＝∠BCA，得到∠OCB＝∠OAB＝90°，根据切线的判定定理证明；（2）①根据题意画出图形；②根据切线长定理得到BA＝BC，得到BD是AC的垂直平分线，根据垂径定理、圆心角和弧的关系定理得到∠AOC＝120°，根据等腰三角形的判定定理证明结论．【详解】（1）证明：如图1，连接AC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵BA＝BC，∴∠BAC＝∠BCA，∴∠OAC＋∠BCA＝∠OCA＋∠BCA，即∠OCB＝∠OAB＝90°，∴OC⊥BC，∴BC是⊙O的切线；（2）①解：补全图形如图2；②证明：∵∠OAB＝90°，∴BA是⊙O的切线，又BC是⊙O的切线，∴BA＝BC，∵BA＝BC，OA＝OC，∴BD是AC的垂直平分线，∴»»AD CD=，∵»»=，AD AC∴»»==»AC,AD CD∴∠AOC＝120°，∴∠AOB＝∠COB＝∠COE＝60°，∴∠OBF＝∠F＝30°，∴OF＝OB．【点睛】本题考查的是切线的判定、垂径定理、切线长定理的应用，掌握切线的判定定理、圆心角和弧之间的关系定理是解题的关键．24.如图，在△ABC中，AB=4cm．BC=5cm，P是»AB上的动点．设A，P两点间的距离为xcm，B，P两点间的距离为1y cm，C，P两点间的距离为2y cm．小腾根据学习函数的经验，分别对函数1y，2y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：(1)按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了1y ，2y 的几组对应值: x/cm0 1 2 3 4 1y /cm 4.003.692.132y /cm3.00 3.914.715.23 5(2)在同一平面直角坐标系xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点(x ，1y )，(x ，2y )，并画出函数1y ，2y 的图象:(3)结合函数图象．①当△PBC 为等腰三角形时，AP 的长度约为____cm ．②记»AB所在圆的圆心为点O ，当直线PC 恰好经过点O 时，PC 的长度约为_____cm ． 【答案】（1）3.09（答案不唯一）；（2）见解析；（3）①0.83或2.49（答案不唯一）．②5.32（答案不唯一）． 【解析】 【分析】（1）利用图象法解决问题即可； （2）描点绘图即可；（3）①分PB=PB 、PC=BC 、PB=BC 三种情况，分别求解即可；②当直线PC 恰好经过点O 时，PC 的长度取得最大值，观察图象即可求解． 【详解】解：（1）由画图可得，x=4时，y 1≈3.09cm （答案不唯一）． 故答案为：3.09（答案不唯一）．（2）描点绘图如下：（3）①由y1与y2的交点的横坐标可知，x≈0.83cm时，PC=PB，当x≈2.49cm时，y2=5cm，即PC=BC，观察图象可知，PB不可能等于BC，故答案为：0.83或2.49（答案不唯一）．②当直线PC恰好经过点O时，PC的长度取得最大值，从图象看，PC=y2≈5.32cm，故答案为5.32（答案不唯一）．【点睛】本题考查函数的图象，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．25.在平面直角坐标系xOy中，直线L：y=kx+2k(k>0)与x轴交于点A，与y轴交于点B，与函数myx(x>0)的图象的交点P位于第一象限．(1)若点P的坐标为(1，6)，①求m的值及点A的坐标；②PBPA=_________；(2)直线h：y=2kx-2与y轴交于点C，与直线L1交于点Q，若点P的横坐标为1，①写出点P的坐标(用含k的式子表示)；②当PQ≤PA时，求m的取值范围．【答案】（1）①6；（−2，0）②13；（2）①P（1，3k）②m≥3【解析】【分析】（1）①把P （1，6）代入函数m y x=（x ＞0）即可求得m 的值，直线l1：y ＝kx ＋2k （k ＞0）中，令y ＝0，即可求得x 的值，从而求得A 的坐标；②把P 的坐标代入y ＝kx ＋2k 即可求得k 的值，进而求得B 的坐标，然后根据勾股定理求得PB 和PA ，即可求得PB PA的值； （2）①把x ＝1代入y ＝kx ＋2k ，求得y ＝3k ，即可求得P （1，3k ）；②分别过点P 、Q 作PM ⊥x 轴于M ，QN ⊥x 轴于N ，则点M 、点N 的横坐标1，2＋2k，若PQ ＝PA ，则PQ PA ＝1，根据平行线分线段成比例定理则PQ PA ＝MN MA ＝1，得出MN ＝MA ＝3，即可得到2＋2k−1＝3，解得k ＝1，根据题意即可得到当PQ PA ＝MN MA≤1时，k ≥1，则m ＝3k ≥3． 【详解】（1）①令y ＝0，则kx ＋2k ＝0，∵k ＞0，解得x ＝−2，∴点A 的坐标为（−2，0），∵点P 的坐标为（1，6），∴m ＝1×6＝6；②∵直线l 1：y ＝kx ＋2k （k ＞0）函数m y x =（x ＞0）的图象的交点P ，且P （1，6）， ∴6＝k ＋2k ，解得k ＝2，∴y ＝2x ＋4，令x ＝0，则y ＝4，∴B （0，4），∵点A 的坐标为（−2，0），∴PA =PB =∴PBPA 13=， 故答案为13； （2）①把x ＝1代入y ＝kx ＋2k 得y ＝3k ，∴P （1，3k ）；②由题意得，kx ＋2k ＝2kx−2，解得x＝2＋2k，∴点Q的横坐标为2＋2k，∵2＋2k＞1（k＞0），∴点Q在点P的右侧，如图，分别过点P、Q作PM⊥x轴于M，QN⊥x轴于N，则点M、点N的横坐标为1，2＋2k，若PQ＝PA，则PQPA＝1，∴PQPA＝MNMA＝1，∴MN＝MA，∴2＋2k−1＝3，解得k＝1，∵MA＝3，∴当PQPA＝MNMA≤1时，k≥1，∴m＝3k≥3，∴当PQ≤PA时，m≥3．【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式，勾股定理的应用，利用函数图象解决问题是本题的关键．26.已知抛物线y=ax2+bx+a+2(a≠0)与x轴交于点A(x1，0)，点B(x2，0)，(点A在点B的左侧)，抛物线的对称轴为直线x=-1．(1)若点A 的坐标为(-3，0)，求抛物线的表达式及点B 的坐标；(2)C 是第三象限的点，且点C 的横坐标为-2，若抛物线恰好经过点C ，直接写出x 2的取值范围；(3)抛物线的对称轴与x 轴交于点D ，点P 在抛物线上，且∠DOP=45°，若抛物线上满足条件的点P 恰有4个，结合图象，求a 的取值范围．【答案】（1）21322y x x =--+，（1，0）；（2）-1＜x 2＜0；（3）a ＜-2． 【解析】【分析】（1）由题意可知抛物线的对称轴为12b x a =-=-，求出b=2a ，将点A 的坐标代入抛物线的表达式，即可求解；（2）根据题意可得点C 在第三象限，即点A 在点C 和函数对称轴之间，故-2＜x 1＜-1，继而进行分析即可求解；（3）根据题意可得满足条件的P 在x 轴的上方有2个，在x 轴的下方也有2个，则抛物线与y 轴的交点在x 轴的下方，即可求解．【详解】解：（1）抛物线的对称轴为12b x a =-=-，解得：b=2a ， 故y=ax 2+bx+a+2=a （x+1）2+2，将点A 的坐标代入上式并解得：12a =-， 故抛物线的表达式为：2221)2113(22y x x x =-++=--+； 令y=0，即213220x x --+=，解得：x=-3或1， 故点B 坐标为：（1，0）.（2）由（1）知：2(1)2y a x =++，点C 在第三象限，即点C 在点A 的下方，即点A 在点C 和函数对称轴之间，故-2＜x 1＜-1， 而121(1)2x x +=-，即x 2=-2-x 1， 故-1＜x 2＜0.（3）∵抛物线的顶点为（-1，2），∴点D （-1，0），∵∠DOP=45°，若抛物线上满足条件的点P 恰有4个，∴抛物线与x 轴的交点在原点的左侧，如下图，∴满足条件的P 在x 轴的上方有2个，在x 轴的下方也有2个，则抛物线与y 轴的交点在x 轴的下方，当x=0时，2220y ax bx a a =+++=+＜，解得：a ＜-2，故a 的取值范围为：a ＜-2．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解不等式、函数作图，解题的关键是通过画出抛物线的位置，确定点的位置关系，进而分析求解即可．27.如图，在等腰直角△ABC 中，∠ACB=90 点P 在线段BC 上，延长BC 至点Q ，使得CQ=CP ，连接AP ，AQ ．过点B 作BD ⊥AQ 于点D ，交AP 于点E ，交AC 于点F ．K 是线段AD 上的一个动点(与点A ，D 不重合)，过点K 作GN ⊥AP 于点H ，交AB 于点G ，交AC 于点M ，交FD 的延长线于点N ．(1)依题意补全图1；(2)求证：NM=NF ；(3)若AM=CP ，用等式表示线段AE ，GN 与BN 之间的数量关系，并证明．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）BN=AE+GN ，见解析.【解析】【分析】（1）根据题意补全图1即可；（2）根据等腰三角形的性质得到AP=AQ，求得∠APQ=∠Q，求得∠MFN=∠Q，同理，∠NMF=∠APQ，等量代换得到∠MFN=∠FMN，于是得到结论；（3）连接CE，根据线段垂直平分线的性质得到AP=AQ，求得∠PAC=∠QAC，得到∠CAQ=∠QBD，根据全等三角形的性质得到CP=CF，求得AM=CF，得到AE=BE，推出直线CE垂直平分AB，得到∠ECB=∠ECA=45°，根据全等三角形的性质即可得到结论．【详解】（1）依题意补全图1如图所示；（2）∵CQ=CP，∠ACB=90°，∴AP=AQ，∴∠APQ=∠Q，∵BD⊥AQ，∴∠QBD+∠Q=∠QBD+∠BFC=90°，∴∠Q=∠BFC，∵∠MFN=∠BFC，∴∠MFN=∠Q，同理，∠NMF=∠APQ，∴∠MFN=∠FMN，∴NM=NF；（3）连接CE，∵AC⊥PQ，PC=CQ，∴AP=AQ，∴∠PAC=∠QAC，∵BD⊥AQ，∴∠DBQ+∠Q=90°，∵∠Q+∠CAQ=90°，∴∠CAQ=∠QBD，∴∠PAC=∠FBC，∵AC=BC，∠ACP=∠BCF，∴△APC≌△BFC（AAS），∴CP=CF，∵AM=CP，∴AM=CF，∵∠CAB=∠CBA=45°，∴∠EAB=∠EBA，∴AE=BE，∵AC=BC，∴直线CE垂直平分AB，∴∠ECB=∠ECA=45°，∴∠GAM=∠ECF=45°，∵∠AMG=∠CFE，∴△AGM≌△CEF（ASA），∴GM=EF，∵BN=BE+EF+FN=AE+GM+MN，∴BN=AE+GN．【点睛】本题考查了三角形的综合题，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．28.对于平面直角坐标系xOy中的图形W1和图形W2．给出如下定义：在图形W1上存在两点A，B（点A，B可以重合），在图形W2上存在两点M，N，（点M于点N可以重合）使得AM=2BN，则称图形W1和图形W2满足限距关系(1)如图1，点C(1，0)，D(-1，0)，E(0，3)，点P 在线段DE 上运动(点P 可以与点D ，E 重合)，连接OP ，CP ．①线段OP 的最小值为_______，最大值为_______；线段CP 的取值范直范围是_____；②在点O ，点C 中，点____________与线段DE 满足限距关系；(2)如图2，⊙O 的半径为1，直线3y x b =+(b>0)与x 轴、y 轴分别交于点F ，G ．若线段FG 与⊙O 满足限距关系，求b 的取值范围； (3)⊙O 的半径为r(r>0)，点H ，K 是⊙O 上的两个点，分别以H ，K 为圆心，1为半径作圆得到⊙H 和 K ，若对于任意点H ，K ，⊙H 和⊙K 都满足限距关系，直接写出r 的取值范围．【答案】（13332CP ≤≤，②O；（2）13b ≥；（3）0＜r≤3． 【解析】【分析】（1）①根据垂线段最短以及已知条件，确定OP ，CP 的最大值，最小值即可解决问题．②根据限距关系的定义判断即可．（2）直线3y x b =+与x 轴、y 轴分别交于点F ，G （0，b ），分三种情形：①线段FG 在⊙O 内部，②线段FG 与⊙O 有交点，③线段FG 与⊙O 没有交点，分别构建不等式求解即可．（3）如图3中，不妨设⊙K ，⊙H 的圆心在x 轴上位于y 轴的两侧，根据⊙H 和⊙K 都满足限距关系，构建不等式求解即可．【详解】（1）①如图1中，∵D （-1，0），E(03，∴OD=1，3OE = ∴3OE tan EDO OD∠== ∴∠EDO=60°，当OP ⊥DE 时，3•60OP OD sin =︒=，此时OP 的值最小， 当点P 与E 重合时，OP 3当CP ⊥DE 时，CP 的值最小，最小值•603CD cos =︒=当点P 与D 或E 重合时，PC 的值最大，最大值为2， 3332CP ≤≤. ②根据限距关系的定义可知，线段DE 上存在两点M ，N ，满足OM=2ON ，故点O 与线段DE 满足限距关系．故答案为O ．（2）直线3y x b =+与x 轴、y 轴分别交于点F ，G （0，b ）， 当0＜b ＜1时，线段FG 在⊙O 内部，与⊙O 无公共点，此时⊙O 上的点到线段FG 的最小距离为1-b ，最大距离为1+b ，∵线段FG 与⊙O 满足限距关系，∴1+b ≥2（1-b ）， 解得13b ≥， ∴b 的取值范围为131b ≤＜． 当1≤b ≤2时，线段FG 与⊙O 有公共点，线段FG 与⊙O 满足限距关系，当b ＞2时，线段FG 在⊙O 的外部，与⊙O 没有公共点，此时⊙O上的点到线段FG的最小距离为121b-，最大距离为b+1，∵线段FG与⊙O满足限距关系，∴11212b b⎛⎫+≥-⎪⎝⎭，而11212b b⎛⎫+≥-⎪⎝⎭总成立，∴b＞2时，线段FG 与⊙O满足限距关系，综上所述，b的取值范围为13 b≥．（3）如图3中，不妨设⊙K，⊙H的圆心在x轴上位于y轴的两侧，两圆的距离的最小值为2r-2，最大值为2r+2，∵⊙H和⊙K都满足限距关系，∴2r+2≥2（2r-2），解得r≤3，故r的取值范围为0＜r≤3．【点睛】本题属于圆综合题，考查了解直角三角形，垂线段最短，直线与圆的位置关系，限距关系的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建不等式解决问题，属于中考创新题型．。
2020年北京市海淀区中考数学一模试卷-含详细解析
2020年北京市海淀区中考数学一模试卷-含详细解析一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.−2的相反数是()A.2B.−2C.2.下列几何体中，主视图为矩形的是()12D.−12A. B. C. D.3.北京故宫有着近六百年的历史，是最受中外游客喜爱的景点之一，其年接待量在2019年首次突破19000000人次大关．将19000000用科学记数法可表示为()A.0.19×108B.0.19×107C.1.9×107D.19×1064.北京大兴国际机场于2019年6月30日完美竣工，如图是世界著名建筑设计大师扎哈设计的机场成体俯视图的示意图．下列说法正确的是()A.这个图形是轴对称图形，但不是中心对称图形B.这个图形是中心对称图形，但不是轴对称图形C.这个图形既是轴对称图形，又是中心对称图形D.这个图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形5.将抛物线y=2x2向下平移3个单位长度所得到的抛物线是()A.y=2x2+3B.y=2x2−3C.y=2(x−3)2D.y=2(x+3)26.如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连结BC，若OC=1OA，则∠C等于()2A.15°B.30°C.45°D.60°7.若实数m，n，p，q在数轴上的对应点的位置如图所示，且n与q互为相反数，则绝对值最大的数对应的点是()A.点MB.点NC.点PD.点Q8.如图，在平面直角坐标系xOy中，AB，CD，EF，GH是正方形OPQR边上的线段，点M在其中某条线段上，若射线OM与x轴正半轴的夹角为α，且s i nα>c o sα，则点M所在的线段可以是()A.AB和CDB.AB和EFC.CD和GHD.EF和GH二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9.代数式√x−1在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．10.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，且t a nA=1，则AC=______．311.分解因式：ab2−ac2=______．12.若一个多边形的每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是______．13.某校初三年级在“停课不停学”期间，积极开展网上答疑活动，在某时间段共开放7个网络教室，其中4个是数学答疑教室，3个是语文答疑教室．为了解初三年级学生的答疑情况，学校教学管理人员随机进入一个网络教室，则该教室是数学答疑教室的概率为______．14.如图，在ABCD中，延长CD至点E，使DE=DC，连接BE与AC于点F，则BFFE 的值是______．15.为了丰富同学们的课余生活，某年级买了3个篮球和2个足球，共花费了474元，其中篮球的单价比足球的单价多8元，求篮球和足球的单价，如果设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，依题意可列方程组为______．16.如果四边形有一组对边平行，且另一组对边不平行，那么称这样的四边形为梯形，若梯形中有一个角是直角，则称其为直角梯形．下面四个结论中：①存在无数个直角梯形，其四个顶点分别在同一个正方形的四条边上；②存在无数个直角梯形，其四个顶点在同一条抛物线上；③存在无数个直角梯形，其四个顶点在同一个反比例函数的图象上；④至少存在一个直角梯形，其四个顶点在同一个圆上．所有正确结论的序号是______．三、解答题（本大题共12小题，共68.0分）17.计算：(−2)0+√12−2si n30°+|−√3|．18.解不等式组：{3(x−1)<2x2x+1>x−1．219.如图，已知等边三角形ABC，延长BA至点D，延长AC至点E，使AD=CE，连接CD，BE.求证：△ACD≌△CBE．20.已知关于x的一元二次方程x2−2x+2m−1=0．(1)当m=−1时，求此方程的根；(2)若此方程有两个实数根，求m的取值范围．21.如图，在ABCD中，∠ABC=60°，∠BAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，连接DF．(1)求证：△ABF是等边三角形；(2)若∠CDF=45°，CF=2，求AB的长度．22.致敬，最美逆行者!病毒虽无情，人间有大爱，2020年，在湖北省抗击新冠病毒的战“疫”中，全国(除湖北省外)共有30个省(区、市)及军队的医务人员在党中央全面部署下，白衣执甲，前赴后继支援湖北省抗击疫情，据国家卫健委的统计数据，截至3月1日，这30个省(区、市)累计派出医务人员总数多达38478人，其中派往湖北省除武汉外的其他地区的医务人员总数为7381人．a.全国30个省(区、市)各派出支援武汉的医务人员频数分布直方图(数据分成6组：100≤x<500，500≤x<900，900≤x<1300，1300≤x< 1700，1700≤x<2100，2100≤x<2500)：b.全国30个省(区、市)各派出支援武汉的医务人员人数在900≤x<1300这一组的是：919，997，1045，1068，1101，1159，1179，1194，1195，1262．根据以上信息回答问题：(1)这次支援湖北省抗疫中，全国30个省(区、市)派往武汉的医务人员总数______A.不到3万人，B.在3万人到3.5万人之间，C.超过3.5万人(2)全国30个省(区、市)各派出支援武汉的医务人员人数的中位数是______，其中医务人员人数超过1000人的省(区、市)共有______个．(3)据新华网报道，在支援湖北省的医务人员大军中，有“90后”也有“00后”，他们是青春的力量，时代的脊梁．习近平总书记回信勉励北京大学援鄂医疗队全体“90后”党员中指出：“在新冠肺炎疫情防控斗争中，你们青年人同在一线英勇奋战的广大疫情防控人员一道，不畏艰险、冲锋在前、舍生忘死，澎显了青春的蓬勃力量，交出了合格答卷．”小华在收集支援湖北省抗疫宣传资料时得到这样一组有关“90后”医务人员的数据：C市派出的1614名医护人员中有404人是“90后”；H市派出的338名医护人员中有103人是“90后”；B市某医院派出的148名医护人员中有83人是“90后”．小华还了解到除全国30个省(区、市)派出38478名医务人员外，军队派出了近四千名医务人员，合计约4.2万人．请你根据小华得到的这些数据估计在支援湖北省的全体医务人员(按4.2万人计)中，“90后”大约有多少万人？(写出计算过程，23.在平面直角坐标系xOy中，直线x=3与直线y=1x+1交于点A，函数y=k(k>2x 0,x>0)的图象与直线x=3，直线y=1x+1分别交于点B，C．2(1)求点A的坐标．(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记函数y=k(k>0,x>0)的图象在点xB，C之间的部分与线段AB，AC围成的区域(不含边界)为W．①当k=1时，结合函数图象，求区域W内整点的个数；②若区域W内恰有1个整点，直接写出k的取值范围．24.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D为BC边的中点，以AD为直径作⊙O，分别与AB，AC交于点E，F，过点E作EG⊥BC于G．(1)求证：EG是⊙O的切线；(2)若AF=6，⊙O的半径为5，求BE的长．25.某校举办球赛，分为若干组，其中第一组有A，B，C，D，E五个队．这五个队要进行单循环赛，即每两个队之间要进行一场比赛，每场比赛采用三局两胜制，即三局中胜两局就获胜．每场比赛胜负双方根据比分会获得相应的积分，积分均为正整数．这五个队完成所有比赛后得到如下的积分表．根据上表回答下列问题：(1)第一组一共进行了______场比赛，A队的获胜场数x为______；(2)当B队的总积分y=6时，上表中m处应填______，n处应填______；(3)写出C队总积分p的所有可能值为：______．26.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2−2mx+m2+m的顶点为A．(1)当m=1时，直接写出抛物线的对称轴；(2)若点A在第一象限，且OA=√2，求抛物线的解析式；(3)已知点B(m−1,m+1)，C(2,2).若抛物线与线段BC有公共点，结合函数图2象，直接写出m的取值范围．27. 已知∠MON = α，A 为射线 OM 上一定点，OA = 5，B 为射线 ON 上一动点，连接AB ，满足∠OAB ，∠OBA 均为锐角．点 C 在线段 OB 上(与点 O ，B 不重合)，满足AC = AB ，点 C 关于直线 OM 的对称点为 D ，连接 AD ，OD ．(1)依题意补全图 1；(2)求∠BAD 的度数(用含α的代数式表示)；(3)若t a nα = 3，点 P 在 OA 的延长线上，满足AP = OC ，连接 BP ，写出一个 AB4 的值，使得BP//OD ，并证明．28. A ，B 是⊙ C 上的两个点，点 P 在⊙ C 的内部．若∠APB 为直角，则称∠APB 为 AB关于⊙ C 的内直角，特别地，当圆心 C 在∠APB 边(含顶点)上时，称∠APB 为 AB 关于⊙ C 的最佳内直角．如图 1，∠AMB 是 AB 关于⊙ C 的内直角，∠ANB 是 AB 关于⊙ C 的最佳内直角．在平面直角坐标系 xOy 中．(1)如图 2，⊙ O 的半径为 5，A(0, −5)，B(4,3)是⊙ O 上两点．①已知P 1(1,0)，P 2(0,3)，P 3(−2,1)，在∠AP 1B ，∠AP 2B ，∠AP 3B ，中，是 AB 关于⊙ O 的内直角的是______；②若在直线y = 2x + b 上存在一点 P ，使得∠APB 是 AB 关于⊙ O 的内直角，求 b的取值范围．(2)点 E 是以T(t , 0)为圆心，4 为半径的圆上一个动点，⊙ T 与 x 轴交于点D(点 D在点 T 的右边).现有点M(1,0)，N(0, n)，对于线段 MN 上每一点 H ，都存在点 T ， 使∠DHE 是 DE 关于⊙ T 的最佳内直角，请直接写出 n 的最大值，以及 n 取得最大 值时 t 的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：根据相反数的定义，−2的相反数是2．故选：A．根据相反数的意义，只有符号不同的数为相反数．本题考查了相反数的意义．注意掌握只有符号不同的数为相反数，0的相反数是0．2.【答案】B【解析】解：A、圆锥的主视图是等腰三角形，不符合题意；B、长方体的主视图是矩形，符合题意；C、球的主视图是圆形，不合题意；D、该几何体的主视图是等腰梯形，不符合题意．故选：B．根据主视图是从物体正面看，所得到的图形，分别得出四个几何体的主视图，即可解答．本题考查了简单几何体的主视图，注意主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．3.【答案】C【解析】解：将19000000用科学记数法表示为：1.9×107．故选：C．直接利用科学记数法的定义结合科学记数法形式：a×10n，其中1≤a<10，n为正整数，进而得出答案．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4.【答案】A【解析】解：这个图形是轴对称图形，但不是中心对称图形．故选：A．根据轴对称图形和中心对称图形的概念求解．此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，正确把握相关定义是解题关键．5.【答案】B【解析】解：依题意，得平移后抛物线顶点坐标为(0,−3)，由平移不改变二次项系数，故得到的抛物线解析式为：y=2x2−3．故选：B．原抛物线顶点坐标为(0,0)，平移后抛物线顶点坐标为(0,−3)，平移不改变二次项系数，可根据顶点式求出平移后抛物线解析式．本题考查了二次函数图象与几何变换，抛物线平移问题，实际上就是两条抛物线顶点之间的问题，找到了顶点的变化就知道了抛物线的变化．6.【答案】BOM ，OP>PM，【解析】【分析】本题考查了切线的性质、含30度角的直角三角形．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．连接OB，构造直角△ABO，结合已知条件推知直角△ABO的直角边OB等于斜边OA的一半，则∠A=30°．【解答】解：如图，连接OB．∵AB与⊙O相切于点B，∴∠ABO=90°．∵OB=OC，OC=1OA，2∴∠C=∠OBC，OB=1OA，2∴∠A=30°，∴∠AOB=60°，则∠C+∠OBC=60°，∴∠C=30°．故选B．7.【答案】C【解析】解：由数轴可得，p<n<m<q，∵n与q互为相反数，∴原点在线段NQ的中点处，∴绝对值最大的数对应的点是点P，故选：C．根据数轴可以得到实数m，n，p，q的大小关系，再根据n与q互为相反数，可以得到原点所在的位置，从而可以得到绝对值最大的数对应的点是哪个点．本题考查实数与数轴、相反数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．8.【答案】D【解析】解：如图，当点M在线段AB上时，连接OM．∵s i nα=PM，c o sα=OMOP∴x i nα<c o sα，同法可证，点M在CD上时，s i nα<c o sα，如图，当点M在EF上时，作MJ⊥OP于J．OM ，c o sα=OM，OJ<MJ，∵s i nα=MJ OJ∴s i nα>c o sα，同法可证，点M在GH上时，s i nα>c o sα，故选：D．如图，当点M在线段AB上时，连接OM.根据正弦函数，余弦函数的定义判断s i nα，c o sα的大小．当点M在EF上时，作MJ⊥OP于J.判断s i nα，c o sα的大小即可解决问题．本题考查正方形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．9.【答案】x≥1【解析】解：∵√x−1在实数范围内有意义，∴x−1≥0，解得x≥1．故答案为：x≥1．先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．10.【答案】6【解析】解：∵t a nA=1，3∴BC=1，即2=1，AC3AC3解得，AC=6，故答案为：6．根据正切的定义列式计算，得到答案．本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切是解题的关键．11.【答案】a(b+c)(b−c)【解析】解：原式=a(b2−c2)=a(b+c)(b−c)，故答案为：a(b+c)(b−c)原式提取a，再利用平方差公式分解即可．此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．12.【答案】9【解析】解：360÷40=9，即这个多边形的边数是9．15.【答案】{x − y = 8 根据题意可列方程组为{x − y = 8 故答案为：{x − y = 8 外角的个数，即多边形的边数．根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题 目，需要熟练掌握．13.【答案】47【解析】解：根据题意可知：共开放 7 个网络教室，其中 4 个是数学答疑教室，3 个是语文答疑教室，管理人员随机进入一个网络教室，则该教室是数学答疑教室的概率为4．7故答案为：4．7根据概率公式即可求出该教室是数学答疑教室的概率．本题考查了列表法与树状图法，解决本题的关键是掌握概率公式．14.【答案】12【解析】解：在▱ABCD 中，AB//CD ，AB = CD ，∵ DE = DC ，∴ AB = CD = DE = 1 CE ，2∵ AB//CD ，∴△ ABF∽△ CEF ，∴ BF = AB = 1．FECE 2故答案为：1．2在▱ABCD 中，AB//CD ，AB = CD ，根据DE = DC ，可得AB = CD = DE = 1 CE ，再由 2AB//CD ，可得△ ABF∽△ CEF ，对应边成比例即可求得结论．本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握相 似三角形的判定与性质．3x + 2y = 474【解析】解：设篮球的单价为 x 元，足球的单价为 y 元，3x + 2y = 474 ，3x + 2y = 474 ．根据“3 个篮球的价钱+2个足球的价钱= 474和篮球单价−足球的单价= 8元”可列方 程组．本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是理解题意，找到题目 蕴含的相等关系．16.【答案】①②③18.【答案】解：{ 3(x − 1) < 2x ① 【解析】解：①如图 1 中，点 P 是正方形 ABCD 的边 AD 上的任意一点，则四边形ABCP 是直角梯形，这样的直角梯形有无数个，故①正确．②如图 2 中，四边形 ABCO 是直角梯形，这样的直角梯形有无数个，故②正确． ③如图 3 中，四边形 ABCD 是直角梯形，这样的直角梯形有无数个，故③正确． ④直角梯形的四个顶点，不可能在同一个圆上，故④错误，故答案为①②③．根据直角梯形的性质，画出图形利用图象法一一判断即可．本题考查直角梯形的定义，二次函数的性质，反比例函数的性质，四点共圆等知识， 解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．17.【答案】解：原式= 1 + 2√3 − 2 × 1 + √3 2 = 1 + 2√3 − 1 + √3= 3√3．【解析】直接利用二次根式的性质和特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、绝对值 的性质分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．2x + 1 > x−1 ② 2， 由①得：x < 3，由②得：x > −1，则不等式组的解集为−1 < x < 3．【解析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可． 此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键． 19.【答案】证明：∵△ ABC 是等边三角形，0 0 0 ∴ ∠DAC = ∠BCE = 120°，∵ AD = CE ，∴△ ACD≌△ CBE(SAS)．【解析】根据等边三角形的性质和全等三角形的判定定理即可得到结论．本题考查了全等三角形的判定定理，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定 定理是解题的关键．20.【答案】解：(1)将m = −1代入方程，得：x 2 − 2x − 3 = 0，∵ (x + 1)(x − 3) = 0，∴ x + 1 = 0或x − 3 = 0，解得x = −1或x = 3；(2) ∵方程有两个实数根，∴△= (−2)2 − 4 × 1 × (2m − 1) ≥ 0，解得m ≤ 1．【解析】(1)将m = −1代入方程，再利用因式分解法求解可得；(2)根据方程有两个实数根得出△= b 2 − 4ac ≥ 0，据此列出关于 m 的不等式求解可 得．本题主要考查根的判别式，利用一元二次方程根的判别式(△= b 2 − 4ac)判断方程的根 的情况．一元二次方程ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0)的根与△= b 2 − 4ac 有如下关系：①△当 > 时，方程有两个不相等的两个实数根；②△当 = 时，方程有两个相等的两个实数根；③△当 < 时，方程无实数根．21.【答案】(1)证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AB//CD ，∴ ∠DAB + ∠ABC = 180°，∵ ∠ABC = 60°，∴ ∠DAB = 120°，∵ AF 平分∠DAB ，∴ ∠FAB = 60°，∴ ∠FAB = ∠ABF = 60°，∴ ∠FAB = ∠ABF = ∠AFB = 60°，∴△ ABF 是等边三角形；(2)作FG ⊥ DC 于点 G ，∵四边形 ABCD 是平行四边形，∠ABC = 60°，∴ DC//AB ，DC = AB ，∴ ∠FCG = ∠ABC = 60°，∴ ∠GFC = 30°，∵ CF = 2，∠FGC = 90°，∴ CG = 1，FG = √3，∵ ∠FDG = 45°，∠FGD = 90°，∴ ∠FDG = ∠DFG = 45°，∴ DG = FG = √3，∴ DC = DG + CG = √3 + 1，∴ AB = √3 + 1，即 AB 的长度是√3 + 1．1614338148≈11800(人)，【解析】(1)根据在ABCD中，∠ABC=60°，可以得到∠DAB的度数，然后根据AF平分∠DAB，可以得到∠FAB的度数，然后等边三角形的判定方法即可得到△ABF是等边三角形；(2)作FG⊥DC于点G，然后根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可以得到CG、FG的长，然后即可得到DG的长，从而可以得到DC的长，然后即可得到AB的长．本题考查等边三角形的判定与性质、角平分线的性质、平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．22.【答案】B1021人15【解析】解：(1)这次支援湖北省抗疫中，全国30个省(区、市)派往武汉的医务人员总数为38478−7381=31097(人)，故选B；(2)全国30个省(区、市)各派出支援武汉的医务人员人数的中位数是9971045=1021(2人)；其中医务人员人数超过1000人的省(区、市)共有15(个)；故答案为：1021人，15；(3)42000×40410383答：90后”大约有1.2万人．(1)根据题意列式计算即可得到正确的选项；(2)根据频数(率)分布直方图中的信息和中位数的定义即可得到结论；(3)根据样本估计总体，可得到90后”大约有1.2万人．本题考查了频数(率)分布直方图：频率分布直方图是用小长方形面积的大小来表示在各个区间内取值的频率．各组频率的和等于1，即所有长方形面积的和等于1；频数分布直方图可以清楚地看出落在各组的频数，各组的频数和等于总数．也考查了样本估计总体．23.【答案】解：(1)直线x=3与直线y=1x1交于点A，2x=3x=3∴{y=1x1，解得{y=5，22∴A(3,5)；2(2)①当k=1时，根据题意B(3,1)，C(−1√3,√31)，32②若区域W内恰有1个整点，当C点在直线x=3的左边时，如图1，在W区域内有1个整数点：(2,1)，∴1≤k<2；当C点在直线x=3的右边时，如图2，在W区域内有1个整数点：(4,4)，∴16<k≤20；综上，当区域W内恰有1个整点时，1≤k<2或16<k≤20【解析】(1)根据题意列方程即可得到结论；(2)①当k=1时，求得B、C的坐标，根据图象得到结论；②分两种情况根据图象即可得到结论．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合思想解决问题是本题的关键．24.【答案】(1)证明：如图，连接EF，∵∠BAC=90°，∴EF是⊙O的直径，∴OA=OE，∴∠BAD=∠AEO，∵点D是Rt△ABC的斜边BC的中点，∴AD=BD，∴∠B=∠BAD，∴∠AEO=∠B，∴OE//BC，∵EG⊥BC，∴OE⊥EG，∵点E在⊙O上，∴EG是⊙O的切线；(2)∵⊙O的半径为5，∴EF=2OE=10，在Rt△AEF中，AF=6，根据勾股定理得，AE=√EF2−AF2=8，由(1)知OE//BC，∵OA=OD，∴BE=AE=8．【解析】(1)先判断出EF是⊙O的直径，进而判断出OE//BC，即可得出结论；(2)先根据勾股定理求出AE，再判断出BE=AE，即可得出结论．此题主要考查了圆的有关性质，切线的判定，直角三角形斜边的中线是斜边的一半，勾股定理，判断出EF//BC是解本题的关键．25.【答案】1030：22：09或10【解析】解：(1)∵5×(51)=10(场)，2∴第一组一共进行了10场比赛；∵每场比赛采用三局两胜制，A、B的结果为2：1，A、C的结果为2：0，A、E的结果为2：0，∴A队的获胜场数x为3；故答案为：10，3；(2)由题可知：每场比赛的结果有四种：0：2，1：2，2：1，2：0，根据题意可知每种结果都会得到一个正整数积分，设以上四种得分为a，b，c，d，且a<b<c<d，根据E的总分可得：a+c+b+c=9，∴a=1，b=2，c=3，根据A的总分可得：c+d+b+d=13，∴d=(13c b)÷2=(1332)÷2=4，设m对应的积分为x，当y=6时，b+x+a+b=6，即2+x+1+2=6，∴x=1，∴m处应填0：2；∴B：C=0：2，∴C：B=2：0，∴n处应填2：0；(3)∵C队胜2场，∴分两种情况：当C、B的结果为2：0时，p=1+4+3+2=10；当C、B的结果为2：1时，p=1+3+3+2=9；∴C队总积分p的所有可能值为9或10．故答案为：9或10．(1)按照5个队中每个队都要和另外4个队进行一场比赛，而A与B和B与A属于同一场比赛，列式计算或直接从表中数一下即可得比赛场数；根据表中比赛结果可直接得出A队的获胜场数x的值；(2)每场比赛的结果有四种：0：2，1：2，2：1，2：0，设以上四种得分为a，b，c，d，且a<b<c<d，根据E和A的总分可得关于a，b，c，d的等式，化简即可得出a，b，c，d的值，设m对应的积分为x，根据题意得关于x的方程，解得x的值，则可得答案；(3)C队胜2场，分两种情况：当C、B的结果为2：0时；当C、B的结果为2：1时，分别计算出p的值即可．本题考查了统计表在比赛积分问题中的应用，读懂表格中的数据、理清题中的数量关系是解题的关键．∴抛物线的对称轴为x=1；(2)∵y=x2−2mx+m2+m=(x−m)2+m，∴抛物线y=x2−2mx+m2+m的顶点A的坐标为(m,m)．∵点A在第一象限，且点A的坐标为(m,m)，∴过点A作AM垂直于x轴于点M，连接OA，∵m>0，∴OM=AM=m，∴OA=√2m，∵OA=√2，∴m=1，∴抛物线的解析式为y=x2−2x+2．(3)∵点B(m−1,m+1)，C(2,2)．2∴把点B(m−1,m+1)，代入抛物线y=x2−2mx+m2+m时，2方程无解；把点C(2,2)代入抛物线y=x2−2mx+m2+m，得m2−3m+2=0，解得m=1或m=2，根据函数图象性质：当m≤1或m≥2时，抛物线与线段BC有公共点，∴m的取值范围是：m≤1或m≥2．【解析】(1)将m=1代入抛物线解析式即可求出抛物线的对称轴；(2)根据抛物线y=x2−2mx+m2+m的顶点A的坐标为(m,m).点A在第一象限，且OA=√2，即可求抛物线的解析式；(3)将点B(m−1,m+1)，C(2,2).分别代入抛物线y=x2−2mx+m2+m，根据二次2函数的性质即可求出m的取值范围．本题考查了二次函数的综合，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质．27.【答案】解：(1)图形，如图所示．OB ，∴ 4 = 2(9−x)，(2) ∵ C ，D 关于 AO 对称，∴△ AOD≌△ AOC ，∴ ∠D = ∠ACO ，∠AOD = ∠AOC = α，∵ AC = AB ，∴ ∠ACB = ∠ABC ，∵ ∠ACO + ∠ACB = 180°，∴ ∠D + ∠ABC = 180°，∴ ∠DAB + ∠DOB = 180°，∵ ∠DOB = 2α，∴ ∠DAB = 180° − 2α．(3)如图 2 中，不妨设OD//PB.作AH ⊥ BC 于 H ，BJ ⊥ OA 于 J ．在Rt △ AOH 中，∵ OA = 5，tan∠AOH = 3， 4∴ AH = 3，OH = 4，设CH = BH = x ，则BC = 2x ， ∵ OD//BP ，∴ ∠DOA = ∠OPB ，∵ ∠DOA = ∠AOB ，∴ ∠AOB = ∠OPB ，∴ PB = OB = 4 + x ，∵ BJ ⊥ OP ，OP = OA + AP = 5 + 4 − x = 9 − x ，∴ OJ = J P = 1 (9 − x)，2∵ cos∠AOH = OH =OA OJ 1 5 4+x 解得x = 1，∴ BH = 1，∴ AB = √AH 2 + BH 2 = √32 + 12 = √10．【解析】(1)根据要求画出图形即可．(2)首先证明∠D + ∠ABO = 180°，再利用四边形内角和定理解决问题即可．(3)假设PB//OD ，求出 AB 的值即可．本题属于几何变换综合题，考查了轴对称，等腰三角形的判定和性质，四边形内角和 定理，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问 题，属于中考常考题型．28.【答案】∠AP 2B ，∠AP 3B【解析】解：(1)如图 1，∵ P 1(1,0)，A(0, −5)，B(4,3)，∴ AB = √42 + 82 = 4√5，P 1A = √12 + 52 = √26，P 1B = √32 + 32 = 3√2，∴P 1不在以 AB 为直径的圆弧上，故∠AP1B 不是 AB关于⊙O 的内直角，∵ P 2(0,3)，A(0,−5)，B(4,3)，∴ P 2A = 8，AB = 4√5，P 2B = 4，∴ P 2A 2 + P 2B 2 =AB 2，∴ ∠AP 2B =90°，∴ ∠AP 2B 是 AB 关于⊙ O 的内直角，同理可得，P3B 2 + P 3A 2 = AB 2，∴ ∠AP 3B 是 AB 关于⊙ O 的内直角，故答案为：∠AP 2B ，∠AP 3B ；(2) ∵ ∠APB 是 AB 关于⊙ O 的内直角，∴ ∠APB = 90°，且点 P 在⊙ O 的内部，∴满足条件的点 P 形成的图形为如图 2 中的半圆H(点 A ，B 均不能取到)，过点B作BD⊥y轴于点D，∵A(0,−5)，B(4,3)，∴BD=4，AD=8，并可求出直线AB的解析式为y=2x−5，∴当直线y=2x+b过直径AB时，b=−5，连接OB，作直线OH交半圆于点E，过点E作直线EF//AB，交y轴于点F，∵OA=OB，AH=BH，∴EH⊥AB，∴EH⊥EF，∴EF是半圆H的切线．∵∠OAH=∠OAH，∠OHB=∠BDA=90°，∴△OAH∽△BAD，∴OH=BD=4=1，AH AD82∴OH=1AH=1EH，22∴OH=EO，∵∠EOF=∠AOH，∠FEO=∠AHO=90°，∴△EOF≌△HOA(ASA)，∴OF=OA=5，∵EF//AB，直线AB的解析式为y=2x−5，∴直线EF的解析式为y=2x+5，此时b=5，∴b的取值范围是−5<b≤5．(3)∵对于线段MN上每一个点H，都存在点T，使∠DHE是DE关于⊙T的最佳内直角，∴点T一定在∠DHE的边上，∵TD=4，∠DHT=90°，线段MN上任意一点(不包含点M)都必须在以TD为直径的圆上，该圆的半径为2，∴当点N在该圆的最高点时，n有最大值，即n的最大值为2．分两种情况：①若点H不与点M重合，那么点T必须在边HE上，此时∠DHT=90°，∴点 H 在以 DT 为直径的圆上，如图 3，当⊙ G 与 MN 相切时，GH ⊥ MN ，∵ OM = 1，ON = 2，∴ MN = √ON 2 + OM 2 = √5，∵ ∠GMH = ∠OMN ，∠GHM = ∠NOM ，ON = GH = 2，∴△ GHM≌△ NOM(ASA)，∴ MN = GM = √5，∴ OG = √5 − 1，∴ OT = √5 + 1，当 T 与 M 重合时，t = 1，∴此时 t 的取值范围是−√5 − 1 ≤ t < 1，②若点 H 与点 M 重合时，临界位置有两个，一个是当点 T 与 M 重合时，t = 1，另一 个是当TM = 4时，t = 5，∴此时 t 的取值范围是1 ≤ t < 5，综合以上可得，t 的取值范围是−√5 − 1 ≤ t < 5．(1)判断点P 1，P 2，P 3是否在以 AB 为直径的圆弧上即可得出答案；(2)求得直线 AB 的解析式，当直线y = 2x + b 与弧 AB 相切时为临界情况，证明△ OAH∽△ BAD ，可求出此时b = 5，则答案可求出；(3)可知线段 MN 上任意一点(不包含点M)都必须在以 TD 为直径的圆上，该圆的半径 为 2，则当点 N 在该圆的最高点时，n 有最大值 2，再分点 H 不与点 M 重合，点 M 与 点 H 重合两种情况求出临界位置时的 t 值即可得解．本题是圆的综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，直角三角形的性质，圆周 角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，利 用数形结合的思想，正确理解最佳内直角的意义是解本题的关键．。
2020年北京市各区数学中考一模试题分类汇编之-填选压轴
2020年北京市各区数学中考一模试题分类汇编之填选压轴汇编1、海淀8.如图，在平面直角坐标系xಐ中，AB，CD，EF，GH 是正方形Pุಐ边上的线段，点M 在其中某条线段上，若射线M与x轴正半轴的夹角为α，且sಐಐαΣಐಐsα,则点M所在的线段可以是A.AB 和CDB.AB 和EFC.CD 和GHD.EF 和GH2、丰台8.图书馆将某一本书和某一个关键词建立联系，规定：当关键词A i出现在书B j中时，元素a ij =1，否则a ij =0（i,j 为正整数）.例如：当关键词A1 出现在书B4 中时，a14=1，否则a14=0.根据上述规定，某读者去图书馆寻找书中同．时．有关键词“A2，A5，A6”的书，则下列相关表述错误的是（A）当a21+a51+a61=3 时，选择B1 这本书（B）当a22+a52+a62<3 时，不选择B2 这本书（C）当a2j，a5j，a6j 全是1 时，选择B j这本书（D）只有当a2j+a5j+a6j=0 时，才不能选择B j这本书3、西城8．生活垃圾分类回收是实现垃圾减量化和资源化的重要途径和手段．为了解2019 年某市第二季度日均可回收物回收量情况，随机抽取该市2019 年第二季度的m 天数据，整理后绘制成统计表进行分析．0.20≤a≤0.30．下面有四个推断：①表中m 的值为20；②表中b 的值可以为7；③这m 天的日均可回收物回收量的中位数在4≤x＜5 组；④这m 天的日均可回收物回收量的平均数不低于3．所有合理推断的序号是（A）①②（B）①③（C）②③④（D）①③④5、房山8. 在关于n 的函数S = an2 + bn 中，n为自然数. 当n=9 时，S< 0；当n=10 时，S> 0. 则当S 的值最小时，n 的值为（）A．3 B．4 C．5 D．68. 据统计表明，2019 年中国电影总票房高达642.7 亿元，其中动画电影发展优势逐渐显现出来．下面的统计表反映了六年来中国上映的动画电影的相关数据：2014—2019 年中国动画电影影片数量及票房统计表年份国产动画影片数量（单位：部）国产动画影片票房（单位：亿元）进口动画影片数量（单位：部）进口动画影片票房（单位：亿元）2014 21 11.4 18 19.52015 26 19.8 14 24.22016 24 13.8 24 57.02017 16 13.0 21 36.82018 21 15.8 22 25.02019 31 70.95 42 44.09根据上表数据得出以下推断，其中结论不．正．确．的是（）A．2017 年至2019 年，国产动画影片数量均低于进口动画影片数量B．2019 年与2018 年相比，中国动画电影的数量增加了50%以上C．2014 年至2019 年，中国动画电影的总票房逐年增加D．2019 年，中国动画电影的总票房占中国电影总票房的比例不足20%7、平谷8、顺义8．小明、小聪参加了100m 跑的5 期集训，每期集训结束时进行测试，根据他们的集训时间、测试成绩绘制成如下两个统计图．根据图中信息，有下面四个推断：①这5 期的集训共有56 天；②小明5 次测试的平均成绩是11.68 秒；③从集训时间看，集训时间不是越多越好，集训时间过长，可能会劳累，导致成绩下滑；④从测试成绩看，两人的最好成绩都是在第4 期出现，建议集训时间定为14天．所有合理推断的序号是（A）①③（B）②④（C）②③（D）①④53用户分类人数A：早期体验用户（目前已升级为5G用户）260 人B：中期跟随用户（一年内将升级为5G用户）540 人C：后期用户（一年后才升级为5G用户）200 人9、延庆8.如图，在⊙O 中，点C 在优弧AB 上，将弧BC 沿直线BC 折叠后刚好经过弦AB 的中点D．若⊙O 的半径为，AB＝4，则BC 的长是A．2 B．3C. 5 3 2D.65210、燕山8.为了解高校学生对5G移动通信网络的消费意愿，从在校大学生中随机抽取了1000人进行调查，下面是大学生用户分类情况统计表和大学生愿意为5G套餐多支付的费用情况统计图（例如，早期体验用户中愿意为5G套餐多支付10 元的人数占所有早期体验用户的50%）．下列推断中，不合理的是A.早期体验用户中，愿意为5G套餐多支付10 元，20 元，30 元的人数依次递减B.后期用户中，愿意为5G套餐多支付20 元的人数最多C.愿意为5G套餐多支付10 元的用户中，中期跟随用户人数最多D.愿意为5G套餐多支付20 元的用户中，后期用户人数最多211、通州填空1、海淀16.如果四边形有一组对边平行，且另一组对边不平行，那么称这样的四边形为梯形，若梯形中有一个角是直角，则称其为直角梯形.下面四个结论中，①存在无数个直角梯形，其四个顶点分别在同一个正方形的四条边上;②存在无数个直角梯形，其四个顶点在同一条抛物线上;③存在无数个直角梯形，其四个顶点在同一个反比例函数的图象上;④至少存在一个直角梯形，其四个顶点在同一个圆上.所有正确结论的序号是.2、丰台16. 某快递公司的快递件分为甲类件和乙类件，快递员送甲类件每件收入1 元，送乙类件每件收入2 元. 累计工作1 小时，只送甲类件，最多可送30 件，只送乙类件，最多可送10件；累计工作2小时，只送甲类件，最多可送55件，只送乙类件，最多可送20件；……，经整理形成统计表如下：（1）那么他一天的最大收入为元；（2）如果快递员一天累计送x 小时甲类件，y 小时乙类件，且x+y=8，x,y 均为正整数，那么他一天的最大收入为元．3、朝阳16．某兴趣小组外出登山，乘坐缆车的费用如下表所示：17 人乘坐缆车，他们乘坐缆车的总费用是2400 元，该小组共有人．4、西城5、房山、 ABCD 中，对角线AC、BD 相交于点O，E 是边AB 上的一个动点（不与A、B 重合），连接EO并延长，交CD于点F，连接AF，CE，下列四个结论中：①对于动点E，四边形AECF 始终是平行四边形；②若∠ABC＜90°，则至少存在一个点E，使得四边形AECF 是矩形；③若AB＞AD ，则至少存在一个点E，使得四边形AECF 是菱形；④若∠BAC = 45°，则至少存在一个点E，使得四边形AECF 是正方形.以上所有正确说法的序号是.6、密云16. 如图16-1，将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积为1．取△ABC 和△DEF 各边中点，连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图16-2 中阴影部分；取△A1B1C1 和△D1E1F1 各边中点，连接成正六角星形A2F2B2D2C2E2，如图16-3 中阴影部分......如此下去，则正六角星形A n F n B n D n C n E n的面积为.16-1 16-2 16-37、平谷8、顺义16．如图，在正方形ABCD 中，AB = 4 ，E 、F 是对角线AC 上的两个动点，且EF = 2 ，P 是正方形四边上的任意一点．若∆PEF 是等边三角形，符合条件的P 点共有个，此时AE 的长为．19、延庆16.小明的爸爸想给妈妈送张美容卡作为生日礼物，小明家附近有 3 家美容店，爸爸不知如何选择，于是让小明对 3 家店铺顾客的满意度做了调查：合计 美容店 A 53 28 19 100 美容店 B 50 40 10 100 美容店 C65269100小明选择将 （填“A ”、“ B ”或“C ”）美容店推荐给爸爸，能使妈妈获得满意体验可能性最大．10、燕山16. 已知⊙O ．如图，(1) 作⊙O 的直径 AB ；(2) 以点 A 为圆心，AO 长为半径画弧，交⊙O 于 C ，D 两点； (3) 连接 CD 交 AB 于点 E ，连接 AC ，BC ．根据以上作图过程及所作图形，有下面三个推断：CE ＝DE ；②BE ＝3AE ； ③BC ＝2CE ． 所有正确推断的序号是 ．11、通州。
2020西城一模数学试题答案逐题解析
2020年北京市西城区初三一模数学考试逐题解析数学试卷 2020.5一、选择题（本题共 16分，每小题 2 分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．北京大兴国际机场目前是全球建设规模最大的机场，2019 年9月25日正式通航预 计到 2022年机场旅客吞吐量将达到 45 000 000人次，将 45 000 000用科学记数法 表示为(A)64510⨯(B) 74510.⨯(C) 84510.⨯(D) 804510.⨯【答案】B【解析】将45000000用科学计数法表示为74.510⨯．故B 正确. 2．右图是某个几何体的三视图，该几何体是(A)圆锥(B)圆柱(C)长方体(D)正三棱柱【答案】B【解析】俯视图为圆的只有A 和B ，A 选项圆锥的主视图为三角形，B 选项圆柱的主视图为矩形．故B 正确.3．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(A)(B)(C)(D)【答案】C【解析】A选项与D选项是轴对称图形，选项B为中心对称图形，只有C选项满足中心对称图形以及轴对称图形的特征．故C正确.4．在数轴上，点A，B表示的数互为相反数，若点A在点B的左侧，且AB＝则点A，点B表示的数分别是(A)(C)0，(D)−【答案】A【解析】AB=且A，B互为相反数，故AO=，点A在点B的左侧A表示的数为A正确.5．如图，AB是☉O的直径，C，D是☉O上的两点．若∠CAB= 65︒，则∠ADC的度数为(A) 65︒(B)35︒(C) 32.5︒(D) 25︒【答案】D【解析】由题意知，AB为直径，故∠ACB=90°，∠ABC=∠ACB－∠ACB=25°．圆中同弧所对的圆周角相等，∠ADC=∠ABC=25°．故D正确.6．甲、乙两名运动员10 次射击成绩(单位，环)如图所示，甲、乙两名运动员射击成绩平均数记为x甲，x乙，射击成绩的方差依次记为2s甲，2s乙，则下列关系中完全正确的是B COA(A) x =x 甲乙，22s >s 甲乙 (B) x =x 甲乙，22s <s 甲乙(C) x x >甲乙，22s >s 甲乙(D) x x <甲乙，22s <s 甲乙【答案】A【解析】由图可知，甲的平均数为()84+92+10410=9⨯⨯⨯÷，乙的平均数为()83+94+10310=9⨯⨯⨯÷，故甲、乙的平均数相等．由图可知，乙比甲稳定，故乙的方差小于甲的方差．故A 正确.7．如图，在数学实践活动课上，小明同学打算通过测量树的影长计算树的高度，阳光 下他测得长 1m 的竹竿落在地面上的影长为0.9m ，在同一时刻测量树的影长时，他 发现树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在墙面上，他测得这棵树落在地面上的影长 BD 为 2.7m ，落在墙面上的影长 CD 为 1.0m ，则这棵树的高度是(A)6.0m(B)5.0m(C)4.0m(D)3.0m【答案】C【解析】利用相似性质得出，影长BD 对应的树高为12.7=30.9m ⨯，加上落在墙上的乙甲影长CD 对应的树高1m ，树高应为4m ．故C 正确.8．设 m 是非零实数， 给出下列四个命题： ①若10m −<<，则21m m m<<；②若m >1，则21m m m <<；③若21m m m <<，则m <0；④若21m m m <<，则0<m <1.其中命题成立的序号是(A)①③(B)①④(C)②③(D)③④【答案】B【解析】此题实际考察函数图象的应用．在同一个坐标系内作21,,y x y x y x=== 三个函数图象．①－1＜m ＜0时，根据函数图象可知21m m m＜＜ ，①正确． ②m ＞1时，21m m m＜＜，②错误．由1m m ＜得，m ＜-1或0＜m ＜1；由21m m ＜得，m ＜0或m ＞1；得出公共部分为m ＜－1，故③错误． 同理可得④正确．故B 正确.二、填空题（本题共 16分，每小题 2 分）9在实数范围内有意义，则实数 x 的取值范围_________. 【答案】x ≥1【解析】二次根式在实数范围内有意义，则被开方数≥0，即x －1≥0，解得x ≥1．故答案为x ≥1.10．若多边形的内角和是外角和的 2 倍，则该多边形是_____边形. 【答案】六【解析】多边形的外角和为360°，由题意可知，该多边形内角和为720°，根据多边形内角和公式，()2180=720n −⨯︒︒，n =6．故答案为六.11．已知 y 是以 x 为自变量的二次函数，且当 x =0 时，y 的最小值为1−，写出一个满足上述条件的二次函数表达式__________.【答案】答案不唯一，如:21y x =−.【解析】当x ＝0时，y 的最小值为－1，该二次函数表达式顶点为（0，－1）且二次项系数大于零．故答案可以为21y x =−.12．如果21a a +=，那么代数式2111a a a −−−的值是__________. 【答案】1【解析】由2+=1a a 得2-1=-a a ．所以原式=1-11-11a a aa a a a a −=+==− ．故答案为1.13．如图，在正方形 ABCD 中，BE 平分∠CBD ，EF ⊥BD 于点F ，若 DEBC 的长为_________.AE F DCB【解析】因为正方形ABCD ，所以BC =CD ，BC ⊥CD , ∠BDC =45°．因为BE 平分∠ CBD ，EF ⊥BD ，可证△BCE ≌△BFE （AAS ），所以CE =FE ．又△BDC 为等腰直 角三角形，DE，所以FE =1，所以EC =1，所以DC =DE +EC．故答案.14．如图，∆ABC 的顶点A ，B ，C 都在边长为 1 的正方形网格的格点上，BD ⊥AC于点 D ，则 AC 的长为________，BD 的长为_________.【答案】5；3.【解析】作AE ⊥BC 于E ．则AE =3，CE =4，在Rt △AEC 中，由勾股定理可得AC =5．利用等面积法可求BD ,11522ABC S BC AE ∆=⨯⨯=, 11522ABC S AC BD ∆=⨯⨯=,可得BD =3．故答案为5；3.15．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A ，B ，C 的坐标分别是（0，4），（4，0），（8，0），M 是 ∆ABC 的外接圆，则点 M 的坐标为___________.【答案】（6,6）DCBA【解析】三角形外接圆圆心为三边垂直平分线交点．分别作AB 、BC 的垂直平分线，可得交点为（6,6）．故答案为（6,6）.16．某景区为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了某月（30天）接待游客人数（单位：万人）的数据，绘制了下面的统计图和统计表.根据以上信息，以下四个判断中，正确的是_______(填写所有正确结论的序号)①该景区这个月游玩环境评价为“拥挤或严重拥挤” 的天数仅有 4 天； ②该景区这个月每日接待游客人数的中位数在 5~10 万人之间； ③该景区这个月平均每日接待游客人数低于 5 万人；④这个月 1 日至 5 日的五天中，如果某人曾经随机选择其中的两天到该景区游玩，那么他“这两天游玩环境评价均为好” 的可能性为310. 【答案】①④【解析】游玩环境评价为“拥挤或严重拥挤”对应的每日接待游客人数为≥10，由图一 可知仅有四天，①正确．总天数为30，中位数应按照从小到大排序后选取第15位 和16位取平均数．而每日接待游客人数在0（含）～5之间的天数为16，故中位 数应落在此区间，②错误．每日接待游客人数在5（含）～10之间的天数为10，每日接待游客人数≥10的天数为4，可以看成每日接待游客人数≥5的天数总和为游客人数/万人10+4×2=18＞16，因此平均数应大于5，③错误．游玩环境评价为“好”对应的每日 接待游客人数为0（含）～5之间，满足条件的日期为1、4、5日，首先在五天中取一天，概率为35，再在剩余的四天中再取一天，概率为24 ，二者相乘得310 ，④正确．也可以列出所有可能的结果，满足条件的结果共三种，分别为1+4、1+5、4+5，总结果为10，所以概率为310．故答案为①④. 三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-24题，每小题6分，第 25 题 5 分， 第 26 题 6 分，第27-28题，每小题7分）解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．计算：(10112602+sin −⎛⎫+−−︒ ⎪⎝⎭.【答案】3 【解析】101()(1|2sin602−+−+−o= 2122++−⨯=318．解不等式组：()3222254x x ,x x.−<−⎧⎪⎨+<⎪⎩【答案】542x ＜＜【解析】原不等式组为3(2)2 2 25 4x x x x −−⎧⎪⎨+⎪⎩＜①＜②解不等式①，得4x ＜解不等式②，得52x ＞∴原不等式组得解集为542x ＜＜19．关于 x 的一元二次方程 x 2 − (2m +1)x + m 2 = 0 有两个实数根. （1）求 m 的取值范围；（2）写出一个满足条件的 m 的值，求此时方程的根. 【答案】（1）14m −≥；（2）答案不唯一，见解析. 【解析】（1）依题意，得[]22(21)41m m −+−⨯⨯△=410m =+≥解得14m −≥ （2）答案不唯一，如：m =0， 此时方程为20x x −=解得10x =，21x =20．如图，在Y ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，OA =OB ，过点 B 作 BE ⊥AC 于点E . （1）求证：Y ABCD 是矩形;（2）若 AD =cos ∠ABE =5，求 AC 的长.【答案】 （1）见解析； （2）AC ＝5 【解析】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴ OA =OC ，OB =OD ． ∵ OA =OB ， ∴ OA =OC =OB =OD ． ∴ AC =BD ． ∴ ABCD 是矩形．（2）解： ∵ 四边形ABCD 是矩形， ∴ ∠BAD =∠ADC =90°． ∴ ∠BAC +∠CAD =90°． ∵ BE ⊥AC ，∴ ∠BAC +∠ABE =90°． ∴∠CAD =∠ABE ．在Rt △ACD 中，AD=cos ∠CAD =cos ∠ABE=5，∴ AC ＝5．CB ADOEEODABC21．先阅读下列材料，再解答问题.尺规作图已知：△ABC，D是边AB上一点，如图1，求作：四边形DBCF，使得四边形DBCF是平行四边形.小明的做法如下：请你参考小明的做法， 再设计一种尺规作图的方法(与小明的方法不同)，使得画出的四边形 DBCF 是平行四边形，并证明.【答案】答案不唯一，见解析. 【解析】（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形． （2）如图．（3）证明： ∵ CF =BD ，DF =BC ，∴ 四边形DBCF 是平行四边形.22．运用语音识别输入统计可以提高文字输入的速度，为了解 A ，B 两种语音识别输 入软件的可读性，小秦同学随机选择了 20 段话，其中每段话都含有 100 个字(不 计标点符号)，在保持相同语速条件下，他用标准普通话朗读每段话来测试这两种语音识别输入软件的准确性，整个测试分析过程如下，请补充完整.（1）收集数据 两种软件每次识别正确的字数记录如下：A 98 98 92 92 92 92 92 89 89 85 84 84 83 83 79 79 78 78 69 58B 99 96 96 96 96 96 96 94 92 8988858078727271655855B（2）整理、描述数据 根据上面得到的两组样本数据，绘制了分布直方图： （3）分析数据 两组样本数据的平均数，众数，中位数，方差如下表所示（4）得出结论 根据以上信息，判断____种语音识别输入软件的准确性较好，理由如下：_______________(至少从两个不同的角度说明判断的合理性).【答案】 见解析. 【解析】 （2）（3）（4）答案不唯一，理由须支撑推断的结论．970605010418090100字数B频数223．如图，四边形 OABC 中，∠OAB = 90︒，OA =OC ，BA =BC ．以 O 为圆心，以OA 为半径作☉O ．（1）求证：BC 是☉O 的切线；（2）连接 BO 并延长交☉O 于点 D ，延长 AO 交☉O 于点 E ，与BC 的延长线交 于点 F 若»»AD AC =. ①补全图形；②求证：OF =OB .【答案】 （1）见解析； （2）①②见解析.【解析】（1）证明：连接 AC ， ∵ OC = OA ， ∴点C 在⊙O 上． ∵ OA = OC ，BA = BC ，∴ ∠OAC =∠OCA ，∠BAC =∠BCA ． ∴ ∠OCB =∠OAB =90°．CAOBEDF∴ OC ⊥BC 于点 C ． ∴ BC 是⊙O 切线． （2） ① 补全图形.②证明：∵BA ，BC 是⊙O 的两条切线，切点分别为A ,C ∴ BA =BC ，∠DBA =∠DBC ． ∴ BD 是AC 的垂直平分线． ∵ OA =OC ， ∴ ∠AOB =∠COB ．∵»»AD AC =，AE 为⊙O 的直径，∴»»CEDE =． ∴ ∠COE =∠DOE ． ∵ ∠AOB =∠DOE ，∴ ∠AOB =∠BOC =∠COE =60°． ∵ BC 是⊙O 的切线，切点为C ， ∴ ∠OCB =∠OCF =90°． ∴ ∠OBC =∠OFC =30°． ∴ OF = OB ．CAOBEDF24．如图，在△ABC中，AB=4cm，BC=5cm，P是AB上的动点．设A，P两点间的距离为xcm，B，P两点间的距离为y1cm，C，P两点间的距离为y2cm.小腾根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值：（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点(x，y1 )，(x，y2 )，并画出函数y1，y2的图象：（3）结合函数图象,①当△PBC为等腰三角形时，AP的长度约为____cm；②记»AB所在圆的圆心为点O，当直线PC恰好经过点O时，PC的长度约为_____cm.【答案】（1）（2）画出函数y1的图象；（3）① 0.83或2.49 ． ② 5.32．25．在平面直角坐标系 xOy 中，直线1l ：y =kx +2k (k >0)与 x 轴交于点 A ，与 y 轴交于点 B ，与函数my x=(x >0)的图象的交点 P 位于第一象限. （1）若点 P 的坐标为(1，6)， ①求 m 的值及点 A 的坐标; ②PBPA=_________； （2）直线2l ：y =2kx −2 与 y 轴交于点 C ，与直线1l 交于点 Q ，若点 P 的横坐标为1， ①写出点 P 的坐标(用含 k 的式子表示)； ②当 PQ ≤P A 时，求 m 的取值范围. 【答案】（1）① m = 6，点A 的坐标为(—2，0)；② 13； （2）① P (1，3k )；② m ≥3. 【解析】 （1）①令y =0，则kx +2k =0． ∵ k ＞0 ，解得 x = —2． ∴ 点A 的坐标为(—2，0) ． ∵ 点P 的坐标为(1，6)， ∴ m = 6． ②13． （2）① P (1，3k ) ．② 依题意，得kx +2k =2kx -2，解得 x =22k+．∴ 点Q 的横坐标为22k +，∵ 22k +＞1（ k ＞0 ），∴ 点Q 在点P 的右侧． 如图，分别过点P ，Q 作 PM ⊥x 轴于M ，QN ⊥x 轴于N ，则点M ，点N 的横坐标分别为 1，22k+．若 PQ =P A ，则1PQPA=．∴1PQ MNPA MA==． ∴ MN =MA ． ∴ 2213k+−=，解得 k =1．∵ MA = 3，∴ 当1PQ MNPA MA =≤时，k ≥1．∴ m =3k ≥3．∴ 当 PQ ≤P A 时，m ≥3．26．已知抛物线 y =ax 2+bx +a +2(a ≠0)与 x 轴交于点 A (x 1，0)，点 B (x 2，0)，(点 A 在点B 的左侧)，抛物线的对称轴为直线 x =−1.（1）若点 A 的坐标为(−3，0)，求抛物线的表达式及点B 的坐标；（2）C 是第三象限的点，且点 C 的横坐标为−2，若抛物线恰好经过点 C ，直接写出x 2的取值范围；（3）抛物线的对称轴与 x 轴交于点 D ，点 P 在抛物线上，且∠DOP =45°，若抛物线上满足条件的点 P 恰有 4 个，结合图象，求 a 的取值范围.【答案】（1）抛物线的表达式为21322y x x =−−+；点B 的坐标为（1，0）；（2）－1＜x 2＜0 （3）a ＜－2 【解析】（1）∵ 抛物线22y ax bx a =+++的对称轴为直线x = -1， ∴ 12ba−=−． ∴ b =2a ．∴ 222y ax ax a =+++化为2(1)2y a x =++．将点 A （-3，0）代入2(1)2y a x =++中， 得 a =12−．∴ 22113(1)2222y x x x =−++=−−+．∴ 抛物线的表达式为21322y x x =−−+．点B 的坐标为（1，0）．（2）－1＜x 2＜0 ．（3） ∵ 抛物线的顶点为（-1，2）， ∴ 点D 的坐标为（-1, 0）．∵ ∠DOP =45°，且抛物线上满足条件的点P 恰有4个， ∴ 抛物线与x 轴的交点都在原点的左侧．∴ 满足条件的点P 在x 轴上方有2个，在x 轴下方也有2个．∴ a +2＜0 ．解得a ＜－2．∴ a 的取值范围是a ＜－2．27．如图，在等腰直角△ABC 中，∠ACB =90．点 P 在线段 BC 上，延长 BC 至点 Q ，使得 CQ =CP ，连接 AP ，AQ ．过点 B 作 BD ⊥AQ 于点 D ，交 AP 于点 E ，交 AC于点 F ．K 是线段 AD 上的一个动点(与点 A ，D 不重合)，过点 K 作 GN ⊥AP 于 点H ，交 AB 于点 G ，交 AC 于点 M ，交 FD 的延长线于点 N .（1）依题意补全图1;（2）求证：NM =NF ；（3）若AM =CP ，用等式表示线段 AE ，GN 与 BN 之间的数量关系，并证明.【答案】（1）补全图形，如图 1.（2）见解析；（3）BN =AE + GN ，过程见解析.【解析】（1）补全图形，如图 1.（2）证明：∵ CQ =CP ，∠ACB = 90°，∴ AP =AQ ．NG H M K图1E P QD C A F NG H M K图1E P QD C AF∵ BD ⊥AQ ，∴ ∠QBD +∠Q =∠QBD +∠BFC = 90°．∴ ∠Q =∠BFC ．∵ ∠MFN =∠BFC ，∴ ∠MFN =∠Q ．同理，∠NMF =∠APQ ．∴ ∠MFN =∠FMN ．∴ NM =NF ．（3）BN =AE + GN ；证：连接CE ，如图 2．由（1）可得 ∠P AC =∠FBC ，∵ ∠ACB =90°，AC =BC ，∴ △APC ≌△BFC ．∴ CP =CF ．∵ AM =CP ，∴ AM =CF ．∵ ∠CAB =∠CBA =45°．NG H M K图2E P QD C AB F∴AE =BE．又∵AC =BC，∴CE所在直线是AB的垂直平分线．∴∠ECB =∠ECA =45°．∴∠GAM =∠ECF=45°．由（1）可得∠AMG =∠CFE，∴△AGM≌△CEF．∴GM=EF．∵BN=BE + EF + FN=AE +GM+ MN．∴BN=AE+ GN．28．对于平面直角坐标系xOy中的图形W1和图形W2．给出如下定义：在图形W1上存在两点A，B（点A，B可以重合），在图形W2上存在两点M，N（点M于点N可以重合）使得AM=2BN，则称图形W1和图形W2满足限距关系．（1）如图1，点C(1，0)，D(−1，0)，E(0，)，点P在线段DE上运动(点P可以与点D，E重合)，连接OP，CP.①线段OP的最小值为_______，最大值为_______；线段CP的取值范围_____;②在点O，点C中，点____________与线段DE满足限距关系；（2）如图2，e O的半径为1，直线y =+b (b>0)与x轴、y轴分别交于点F，G．若线段FG与e O满足限距关系，求b的取值范围；（3）e O的半径为r(r>0)，点H，K是e O上的两个点，分别以H，K为圆心，1 为半径作圆得到e H和e K，若对于任意点H，K，e H和e K都满足限距关系，直接写出r的取值范围.【答案】（1）①2CP≤2；②O；（2）b≥13；（3）0＜r≤3．【解析】（1）①2CP≤2；②O．（2）直线y b=+与x轴、y轴分别交于点F，G（0，b），当0＜b＜1时，线段FG在⊙O的内部，与⊙O无公共点，此时⊙O上的点到线段FG的最小距离为1-b，最大距离为1+b．∵线段FG与⊙O满足限距关系，∴1+ b≥ 2(1-b) ．解得b≥13．∴b的取值范围是13≤b＜1．当1≤b≤2时，线段FG与⊙O有公共点，线段FG与⊙O满足限距关系.当b＞2 时，线段FG在⊙O的外部，与⊙O无公共点，此时⊙O上的点到线段FG的最小距离为112b−，最大距离为b+1.∵线段FG与⊙O满足限距关系，∴b+1≥ 2(11 2b−)而b+1≥ 2(12b−)总成立．∴当b＞2时，线段FG与⊙O满足限距关系．综上，b的取值范围是b≥13．（3）0＜r≤3．。
房山区2020年初三一模数学试题及答案
2020房山初三第一次模拟考试数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1. 右图是某几何体的三视图，该几何体是A ．三棱柱B ．长方体C ．圆锥D ．圆柱2．实数a ，b ，c ，d 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是A ．b a >B ．0ad >C ．+0a c >D ．0c b -<3.2019年1月21日，国家统计局对外公布，经初步核算，2018年全年国内生产总值(GDP)为900309亿元，经济总量首次站上90万亿元的历史新台阶，稳居世界第二位.将900309用科学记数法表示为A ．0. 900309×106B ．9.00309×106C ．9.00309×105D ．90.0309×1044. 若正多边形的一个内角是150°，则该正多边形的边数是A .6B .10C .12D .165. 某地区有网购行为的居民约10万人. 为了解他们网上购物消费金额占日常消费总额的比例情况，现从中随机抽取168人进行调查，其数据如右表所示. 由此估计，该地区网购消费金额占日常消费总额的比例在20%及以下的人数大约是 A ．1.68万 B ．3.21万 C ．4.41万 D ．5.60万6. 如果230m m +-=，那么2211m m m m m++⎛⎫+÷ ⎪⎝⎭的值是A ．2B ．3C ．4D ．57. 加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率d c b a 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 6p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系2p at bt c =++（a ，b ，c 是常数）， 如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为A ．3. 50分钟B ．3. 75分钟C ．4. 00分钟D ．4. 25分钟8. 右图是利用平面直角坐标系画出的故宫博物院的主要建筑分布图，分别以正东、正北方向为x 轴、y 轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论： ①当表示保和殿的点的坐标为(0，0)，表示 养心殿的点的坐标为(-2，2)时，表示景仁 宫的点的坐标为(2，3)；②当表示保和殿的点的坐标为(0，0)，表示 养心殿的点的坐标为(-1，1)时，表示景仁 宫的点的坐标为(1，1. 5)；③当表示保和殿的点的坐标为(1，-1)，表 示养心殿的点的坐标为(0，0)时，表示 景仁宫的点的坐标为(2，0. 5)； ④当表示保和殿的点的坐标为(0，1)，表示养心殿的点的坐标为(-1，2)时，表示景仁宫的点的坐标为(1，3). 上述结论中，所有正确结论的序号是A ．①②③B ．②③④C ．①④D ．①②③④二、填空题(本题共16分，每小题2分)9. 如图所示的网格是正方形网格，点E 在线段BC 上，BABE ∠DEC ∠.(填“＞”，“＝”或“＜”)10. 若代数式1x有意义，则实数x 的取值范围是.11. 用一组,a b 的值说明式子“2()ab ab =”是错误的，这组值可以是a =，b =.12. 如图，点A B C ，，在⊙O 上，若40CBO =∠°，则∠A 的度数为.COA13. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中方程术是重要的数学成就. 书中有一个方程问题：今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十. 今将钱三十，得酒二斗. 问醇、行酒各得几何？意思是：今有美酒一斗的价格是50钱；普通酒一斗的价格是10钱. 现在买两种酒2斗共付30钱，问买美酒、普通酒各多少？设买美酒x 斗，买普通酒y 斗，则可列方程组为.14. 右图是计算机中“扫雷”游戏的画面．在一个有 9×9 个方格的正方形雷区中，随机埋藏着10颗地雷，每个方格内最 多只能藏1颗地雷．小王在游戏开始时随机地点击一个方 格，点击后出现了如图所示的情况．我们把与标号3的方 格相邻的方格记为A 区域（画线部分），A 区域外的部分记 为B 区域．数字3表示在A 区域有3颗地雷．为了最大限 度的避开地雷，下一步应该点击的区域是. (填“A ”或“B ”)15. 车型 大巴车（最多可坐55人）中巴车（最多可坐39人）小巴车（最多可坐26人）每车租金 （元∕天）900800550则租车一天的最低费用为元.16. 如图，在正方形ABCD和正方形GCEF中，顶点G在边CD上，连接DE交GF于点H，若FH＝1，GH＝2，则DE的长为．三、解答题（本题共68分，第17－22题，每小题5分，第23－26题，每小题6分，第27，第28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17. 下面是小明设计的“作三角形的高线”的尺规作图过程.已知：△ABC．求作：BC边上的高线．作法：如图，①以点C为圆心，CA为半径画弧；②以点B为圆心，BA为半径画弧，两弧相交于点D；③连接AD，交BC的延长线于点E．所以线段AE就是所求作的BC边上的高线．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面证明.证明：∵CA=CD，∴点C在线段AD的垂直平分线上（）（填推理的依据）．∵=，∴点B在线段AD的垂直平分线上．∴BC是线段AD的垂直平分线.∴AD⊥BC．∴AE就是BC边上的高线．18. ()2 013sin60+22-⎛⎫︒π---⎪⎝⎭BBA19. 解不等式组：322 1.52 1x x x x ⎧⎪⎨⎪⎩-++<≤， 20. 关于x 的一元二次方程2(23)(1)0mx m x m --+-=有两个实数根． （1）求m 的取值范围；（2）若m 为正整数，求此时方程的根．21. 如图，矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，以 AD ，OD 为邻边作平行四边形ADOE ，连接BE .(1) 求证：四边形AOBE 是菱形； (2) 若∠EAO +∠DCO =180°，DC =2，求四边形ADOE 的面积.22. 如图，在△ABC 中，AB = AC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC ，BC 于点 D ，E ，过点B 作⊙O 的切线，交 AC 的延长线于点F ．(1) 求证：∠CBF =12∠CAB ； (2) 若CD = 2，1tan 2CBF ∠=，求FC 的长．23. 已知一次函数2y x =的图象与反比例函数xky =(k ≠0)在第一象限内的图象交于点A （1，m ）.(1) 求反比例函数的表达式；(2) 点B 在反比例函数的图象上， 且点B 的横坐标为2. 若在x 轴上存在一点M ，使MA +MB 的值最小，求点M 的坐标. 24. 为引导学生广泛阅读文学名著，某校在七年级、八年级开展了读书知识竞赛.该校七、八年级各有学生400人， 各随机抽取20名学生进行了抽样调查，获得了他们知识竞赛成EB绩（分），并对数据进行整理、描述和分析. 下面给出了部分信息. 七年级：74 97 96 89 98 74 69 76 72 7899 72 97 76 99 74 99 73 98 74八年级：76 88 93 65 78 94 89 68 95 5089 88 89 89 77 94 87 88 92 91平均数、中位数、众数如下表所示：根据以上信息，回答下列问题： (1) a =，m =，n =；(2) 你认为哪个年级读书知识竞赛的总体成绩较好，说明理由（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）；(3) 该校对读书知识竞赛成绩不少于80分的学生授予“阅读小能手”称号，请你估计该校七、八年级所有．．学生中获得“阅读小能手”称号的大约有人. 25.如图，AB 为⊙O 直径，点C 是⊙O 上一动点，过点C 作⊙O 直径CD ，过点B 作BE ⊥CD 于点E ．已知AB =6cm ，设弦AC 的长为x cm ，B ，E 两点间的距离为y cm(当点C 与点A 或点B 重合时，y 的值为0)．小冬根据学习函数的经验，对函数y 随 自变量x 的变化而变化的规律进行了探 究．下面是小冬的探究过程，请补充完整：(1)通过取点、画图、测量，得到了x 与y 的几组值，如下表：BA经测量m 的值为_______；（保留两位小数）(2)建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当BE =2时，AC 的长度约为cm . 26. 在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2y x mx n =++的图象经过点 A (−1，a )，B (3，a )，且顶点的纵坐标为 -4． （1）求 m ，n 和 a 的值；（2）记二次函数图象在点 A ，B 间的部分为 G (含 点A 和点B )，若直 线 2y kx =+与 图象G 有公共点，结合 函数图象，求 k 的取值范围．27. 已知：Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC .(1) 如图1，点D 是BC 边上一点(不与点B ，C 重合)，连接AD ，过点B 作BE ⊥AD ，交AD 的延长线于点E ，连接CE . 若∠BAD =α，求∠DBE 的大小 (用含α的式子表示) ； (2) 如图2，点D 在线段BC 的延长线上时，连接AD ，过点B 作BE ⊥AD ，垂足E 在线段AD 上，连接CE . ①依题意补全图2；②用等式表示线段EA ，EB 和EC 之间的数量关系，并证明.A图1 图228. 在平面直角坐标系xOy 中，⊙C 的半径为r ，给出如下定义：若点P 的横、纵坐标均为整数，且到圆心C 的距离d ≤r ，则称P 为⊙C 的关联整点.（1）当⊙O 的半径r =2时，在点D （2，-2），E （-1，0），F （0，2）中，为⊙O 的关联整点的是；（2）若直线4y x =-+上存在⊙O 的关联整点，且不超过7个，求r 的取值范围； （3）⊙C 的圆心在x 轴上，半径为2，若直线4y x =-+上存在⊙C 的关联整点，求圆心C 的横坐标t 的取值范围.房山区2020年一模检测试卷答案九年级数学学科B A二、填空题(本题共16分，每小题2分)9. ＜ ； 10.0x ≠ ； 11. 答案不唯一 ；12.50 ； 13. 2,501030.x y x y +=⎧⎨+=⎩14. B ；15. 1450； 16.三、解答题（本题共68分，第17－22题，每小题5分，第23－26题，每小题6分，第27，第28题，每小题7分17. 补全图形 ………………………… 2分到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 ………………… 3分 BA =BD . …………………………… 5分18．解：原式=3+142⨯--………………………………… 4分=32--………………………………… 5分19. 解：解不等式①得x ≤1， ………………………………… 2分解不等式②得x ＞﹣3， ………………………………… 4分 ∴不等式组的解集是：﹣3＜x ≤1． ………………………………… 5分20. 解：（1）∵2=[(23)]4(1)m m m ∆----=89m -+．………………………………… 1分 依题意，得0,890,m m ≠∆=-+⎧⎨⎩≥解得98m ≤且0m ≠． ………………………………… 3分（2）∵m 为正整数， ∴1m =． ………………………………… 4分∴原方程为20x x +=．解得10x =，21x =-． ………………………………… 5分21. （1）证明：∵矩形ABCD ， ∴OA=OB=OC=OD . ∵平行四边形ADOE ， ∴OD ∥AE ，AE=OD . ∴AE=OB .∴四边形AOBE 为平行四边形. ………………………………… 2分 ∵OA=OB ，∴四边形AOBE 为菱形. ………………………………… 3分（2）解：∵菱形AOBE ， ∴∠EAB =∠BAO . ∵矩形ABCD ， ∴AB ∥CD .∴∠BAC =∠ACD ，∠ADC =90°. ∴∠EAB =∠BAO =∠DCA . ∵∠EAO+∠DCO =180°，∴∠DCA =60°. ∵DC =2，∴AD= ………………………………… 4分 ∴S ΔADC=122⨯⨯= ∴S 四边形ADOE= ………………………………… 5分22.（1）证明：∵AB 为⊙O 的直径，∴∠AEB =90°.∴∠BAE +∠ABC =90°， ∵AB = AC ， ∴∠BAE =∠EAC =12∠CAB .∵BF 为⊙O 的切线，∴∠ABC +∠CBF =90°.∴∠BAE =∠CBF .∴∠CBF =12∠CAB . ………………………………… 2分（2）解：连接BD ，F∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB =90°.∵∠DBC =∠DAE ， ∴∠DBC =∠CBF .∵tan ∠CBF =12. ∴tan ∠DBC =12.∵CD =2，∴BD =4. ………………………………… 3分 设AB =x ，则AD =2x - ，在Rt ΔABD 中，∠ADB =90°，由勾股定理得x=5.∴AB =5，AD =3. ……………………………… 4分 ∵∠ABF =∠ADB =90°，∠BAF =∠BAF . ∴ΔABD ∽ΔAFB .∴2AB AD AF =⋅.∴AF =253.∴FC =AF -AC =103. ……………………………… 5分23. 解：（1）∵A （1，m ）在一次函数y =2x 的图象上∴m =2， ………………………………… 1分 将A （1,2）代入反比例函数xky =得k =2 ∴反比例函数的表达式为xy 2=………………………………… 3分 （2）作点A 关于x 轴的对称点A '，连接B A '交x 轴于点M ，此时MA +MB 最小 ………………………………… 4分 A 关于x 轴的对称点A '（1，-2）， ∵B （2,1）∴直线B A '的表达式为53-=x y ，………………………………… 5分∴点M 的坐标为5(0)3，………………………………… 6分24. 解：（1）a =2，m =88.5，n =89. （2）答案不唯一. （3）460.25．解：（1）2.76.………………………………… 2分（2）如图 ………………………………… 4分x（3）2.14， 5.61………………………………… 6分26. （1）∵ 抛物线 2y x mx n =++过点 A (−1,a )， B (3,a )，∴ 抛物线的对称轴 x =1．∵ 抛物线最低点的纵坐标为 −4， ∴ 抛物线的顶点是 (1,−4)． ∴ 抛物线的表达式是2(1)4y x =--， 即 223y x x =--．m =−2，n =−3，………………………………… 2分 把 A (−1,a ) 代入抛物线表达式 223y x x =--， 求得a =0．………………………………… 3分 (2) 如图，当 y =kx +2 经过点B (3,0) 时， 0=3k +2， k =−23，……………………… 4分当y =kx +2 经过点A (−1,0) 时， 0=−k +2， k =2， ……………………… 5分 综上所述，当k ≤−23或k ≥2时，直线 y =kx +2 与 G 有公共点． …………… 6分 27.（1）解: 依题意，∠CAB =45°，∵∠BAD =α，∴∠CAD =45α︒-. ∵∠ACB =90°，BE ⊥AD ，∠ADC =∠BDE ，∴∠DBE =∠CAD =45α︒-. ………………………………… 2分 （2）解：①补全图形如图 ………………………………… 4分 ②猜想：当D 在BC 边的延长线上时，EB - EA EC .………………………………… 5分 证明：过点C 作CF ⊥CE ，交AD 的延长线于点F .∵∠ACB =90°， ∴∠ACF =∠BCE .∵CA =CB ，∠CAF =∠CBE ，∴△ACF ≌△BCE .………………………………… 6分 ∴AF =BE ，CF =CE . ∵∠ECF =90°，∴EF EC .即AF -EA EC.∴7分28.（1）E 、F ………………………………… 2分 （2）当⊙C 过点G （2,2）时，r =，⊙C 过点L （-2,6）时，r =，∴ r ＜ 4分（3）当⊙C 过点M （3,1）时，CM =2，MH =1，则CH C 的横坐标t =3，当⊙C 过点N （5,-1）时，点C 的横坐标t =5+∴3≤t ≤5 ………………………………… 7分。
2020年北京市海淀区中考一模数学试卷含答案解析
2020届北京市海淀区初三一模数学试卷一、单选题（共10小题）1．“中华人民共和国全国人民代表大会”和“中国人民政治协商会议”于2020年3月3日在北京胜利召开．截止到2020年3月14日，在百度上搜索关键词“两会”，显示的搜索结果约为96 500 000条．将96 500 000用科学记数法表示应为（）A．96.5×107B．9.65×107C．9.65×108 D．0.965×109考点：科学记数法和近似数、有效数字答案：B试题解析：科学记数法是一个数表示成a×10的n次幂的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，所以根据题意得96 500 000=9.65×107．故选B．2．如图是某个几何体的三视图，该几何体是（）A．长方体B．正方体C．圆柱D．三棱柱考点：立体图形的展开与折叠答案：D试题解析：由图可得此为三棱锥，故选D。
3．一个不透明的口袋中装有3个红球和12个黄球，这些球除了颜色外，无其他差别，从中随机摸出一个球，恰好是红球的概率为（）A．B．C．D．考点：概率及计算答案：C试题解析：共有15个球，3个红球，则摸出红球的概率为，故选C。
4．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．考点：中心对称与中心对称图形轴对称与轴对称图形答案：C试题解析：A既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；B既是轴对称图形，也是中心对称图形；C 是轴对称图形但不是中心对称图形；D部是轴对称图形但是中心对称图形。
故选C。
5．如图，在四边形ABCD中，AB=3，BC=5，∠ABC的平分线交AD于点E，则DE的长为（）A．5B．4C．3D．2考点：平行四边形的性质答案：D试题解析：由题意可得，AB=AE=3，则ED=2，故选D。
6．如图，等腰直角三角板的顶点A，C分别在直线，上．若∥，，则的度数为（）A．B．C．D．考点：平行线的判定及性质答案：C试题解析：根据平行线的性质可得：∠1+∠BAC+∠ACB+∠2=180，则∠2=10°。