青岛版数学七年级下册《积的乘方与幂的乘方》3
积的乘方与幂的乘方课件青岛版数学七年级下册
11.2 积的乘方与幂的乘方 (3) 观察算式 (ab)2，(ab)3 和 (ab)4的计算结果，你发现 了什么规律?你猜测积的乘方运算有什么性质?能说明你 的猜测是正确的吗?与同学交流.
11.2 积的乘方与幂的乘方 一般地，设 m 是正整数，
习题 11.2
拓展与延伸
5. 计算： (1) (－a3)4－ (－a4)3； ＝ a12－ (－a12) ＝ a12 ＋ a12 ＝ 2a12 ；
(2) (－x3)·(－x2)2； ＝－x3·x4 ＝－x7；
习题 11.2
(3) (0.25)2012 × 42013； ＝ (0.25)2012 × 42012×4 ＝(0.25×4)2012 ×4 ＝12012×4 ＝4；
＝(xm)3·(xn)2 ＝a3b2
11.2 积的乘方与幂的乘方
习题 11.2
(4) (－a2)2n＋1·(－a3)2n－1 (n是大于1的整数) ＝－a2(2n＋1)·[－a3(2n－1) ] ＝a2(2n＋1)＋3(2n－1) ＝a4n＋2＋6n－3 ＝a10n－1
习题 11.2
习题 11.2 7. 海王星的半径约为地球半径的 4倍，地球的体积为 V立方千米，海王星的体积约为多少立方千米?
(ab)2＝ (ab)·(ab) ＝(a·a)·(b·b) ＝a2b2；
11.2 积的乘方与幂的乘方 (2) 你会计算(ab)2，(ab)3和(ab)4吗?
(ab)3＝ (ab)·(ab)·(ab) ＝(a·a·a)·(b·b·b) ＝a3b3；
11.2 积的乘方与幂的乘方 (2) 你会计算(ab)2，(ab)3和(ab)4吗?
青岛版七年级数学下册11.2 积的乘方与幂的乘方教案
11.2 积的乘方与幂的乘方教学目标【知识与能力】理解积的乘方的运算法则。
【过程与方法】在探究积的乘方的运算法则的过程中，提高解决问题的能力。
【情感态度价值观】发展推理能力和有条理的表达能力。
教学重难点【教学重点】积的乘方的运算推理和应用。
【教学难点】积的乘方的运算推理和应用。
课前准备无教学过程一、自学指导及对应训练（一）探索练习：1、计算：3 33___)(____________________________52⨯==⨯=⨯2、计算：8 88___)(____________________________52⨯==⨯=⨯3、计算：12 1212___)(____________________________52⨯==⨯=⨯从上面的计算中，你发现了什么规律？_________________________4、猜一猜填空：（1）(___)(__)453)53(⋅=⨯（2）(___)(__)53)53(⋅=⨯m6、想一想，当n为正整数时，（abc）n = （n是正整数）二、典型例题：1、 2、 3、4、3(2)a5、3(5)b -6、 _______)(3=ab_______)(5=-xy 对应训练：计算：(1) (- 3n)3 ; (2) (5xy)3 ; (3) –a3 +(–4a)2 a . 思考： (-a)n= -an(n 为正整数）对吗？当n 为奇数时， (-a)n= -an(n 为正整数）当n 为偶数时， (-a)n=an(n 为正整数）公 式 的 反 向 使 用：an ·bn = (ab)n （n 是正整数）试用简便方法计算:(1) 23×53(2) 28×58(3) (-5)16× (-2)15(4) 24 × 44 ×(-0.125)4例题：1、20082008)20091()2009(⨯ 2、 （－0.25）2008 ×42008对应训练 ： 555)31()32()9(⨯-⨯- 20052004)125.0()8(-- 124()8m m m ⨯⨯例题：已知32=a ，43=a ，求a 6三、当堂检测1、（1）666(__)(__))(⋅=ab （2）_______(__)(__))2(333=⋅=m （3）_____(___)(__)(__))52(2222=⋅⋅=-pq2、计算（1）（ax ）5= （2）（－2xy ）3= （3）（7ab ）2=3、计算：（1）31()2ab = （2）(－ab)3= （3）31()2x -=4、(1) a3y3=( )3; (2)81x2y2=( )2()23x ()52b -()42xy -20092009)542()145(⨯-。
11.2(2)积的乘方与幂的乘方课件2023-2024学年青岛版七年级数学下册
[(－ 3)2]3 ＝(－3)2×(－3)2×(－3)2 =（-3)6
(3) 观察这三个算式思考下列问题
(103)3 =109 =103×3
①左边幂的底数与结果的底数相同吗？
②结果的指数与左边的两个指数
( 53)4 =512 =53×4
之间有什么关系？
=53×32 =125×9 =1125
(1）求代数式的值的常用 方法： 把所求的代数式用含已知 条件的式子表示出来，然 后再代入求值 （2）当一个幂的指数能写 成两个数相乘的形式时， 则我们可考虑逆用幂的乘 方的运算法则进行变形.
(1)若a4n=2,求a8n
解：a8n =(a4n)2
=22 =4
（2）若am=2 , a2n=7, 求a3m+4n
性质表达
运算性质
使用条件
幂
的
注意问题
乘
方
直接应用
性质应用
综合应用
性质逆用
1.下列计算正确的是（ D ）
A.(ax)3 ＝ ax3 B.x2·x3=x6 C.(x2)3=x8 D.(-x2)2n+1=-x4n+2(n为正整数）
2.已知(xmyn)3=x3y12,则m= 1 n= 4 3.比较大小：2100 ＜ 375（填＞或＜） 4.计算
amm m a mn
你的猜想是正确的
积的乘方的运算性质
(am)n＝amn (m，n为正整数).
幂的乘方，底数不变，指数相乘
幂的乘方运算可以转化为指数的乘法运算
（1)（-x5)3
（x5）3
x15
(2) (bn-1)2 =b2n-2
思考： （1）这个式子是幂的乘方的形式吗？ （2)这个式子可以看作什么形式？
青岛版数学七年级下册课件-11.2积的乘方与幂的乘方
例3:已知3 =9,3 =10,求3 的值
m
n
Hale Waihona Puke m+n解： 3
m+n
= 3 3 = 9 10 90
m n
x y x+y
练习五:
1已知2 =8,2 =11,求2
n+3
的值
n
若 3 =a，请用含 a 的式子表示 3 的值． （ 2）
探索 & 交流
(1) 根据乘方的意义，(ab)3表示什么? (2) 为了计算(化简)算式ab· ab· ab，可以应 用乘法的交换律和结合律.
( 乘方的意义
乘法交换律、 =(a· a·……·a) (b· b·……·b) ( 结合律 ) =an· bn． ( 乘方的意义 )
积的乘方法则
（n是正整数） (ab)n = an· bn 积的乘方 乘方的积
• 上式显示:
每个因式分别乘方后的积
. • 积的乘方等于各因数乘方的积.
三个或三个以上的积的乘方，是否也 具有上面的性质? 怎样用公式表示?
(ab)n = an· bn （m,n都是正整数） 公式的逆用: an· bn = (ab)n
口诀：指数相同，底数乘 例2：(1) 23×53 (2) 28×58 (3) 24 × 44 ×(-0.125)4
解： (1) 原式 = (2×5)3 = 103
(2) 原式 = (2×5)8 = 108 4 = （-1）4 = 1 . (3) 原式 = [2×4×(-0.125)]2003 4 2003 练习： 1 0.75 3
2
3 2
5
5
例3： (1) 15 15 5 5 2
青岛版七年级数学下册 11.2 积的乘方和幂的乘方 课件 (19PPT)
3.已知3m=x 5m=y ，则9m和15m分别是多少？
x2
xy
x8 y12 1515
（4） (x3 ) (x2 )2 x7
amn (am )n = (an )m
例3：若ax 2,bx 3,则ab2x 的值是多少？
解：ab2x a2x • b2x
ax 2 •bx 2
口诀： 指数相乘，幂乘方
22 32
232
62 36
练习三：若am 4,bm 2,则ab2m 的值是多少？
③．x3·x2=x6
④．(-a3 )2a4 ＝ a９
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)以上答案都不对
2.计算题
（1） x9 8 （2） (a3)3·(a4)3
-x72
a21
1、必做题：课本82页 习题11.2 1、2
2、选做题：
习题11.2 5、6
你能比较277, 344, 533的大小吗？ 277 > 533 > 344
= -125a3b6
②a2 4 •a 3
解：原式 a8 • a3
(先确定符号， 再确定幂绝对值的乘方)
a11
③计算
23
2
52
3
an·bn = (ab)n
解：原式= 26 56
= 2 56
=106
练习二 计算
（1） (m3 )2
m6
（2） (x 2 y3 )4
（3） (35 )3 (53 )5
3
千米，你能求出它体积大约是多少立方千米吗？
解： V 4 r3
3
= 4 ×(6.37×103)3
3
=
4 3
×
6.373×（103)3
青岛版七年级数学下册 11.2.2《幂的乘方》课件(共31张PPT)
综合训练
例2、计算：
(1)(－0.125)2006·82006 (2)[(m+n)2·(a －b)3]2
(3)(－2a2b)3+(a3)2·b3，其中a=1， b= －2
(1)若2n=3，2m=2，求23n+2m的值；
((23))已已知知3| 2a3×21| 62(=b 2x1-1)，2 求0x,的求值；
3、计算：
（ (1） (1） 5 3 2 2
2 (a)2 (a2 )3 (a)
(3)[( x 2 )3 (x)3 ]2
(4)( x 2 )3 [(x)3 ]2
练习 (1)xn·xn -2·(－x)3 (2)[(－a2b)3]3 (3)(－x2y)3·(－xy)2 (4)(2x)2·x4 (5)(－2x)3·(－xy2)2
[2]下列计算中，正确的有（ ）。
(1)x3 x3 2x3
(2)x3 x3 x33 x6
(3)( x3 )3 x33 x6
(4)(x)3 2 (x)32 (x)9
A、0个 B、1个 C、2个 D、4个
[3]若 64 4 83 2n， 则n的值是（ ）。
A、11 B、18 C、30 D、33
(2)化简（x 2） 4 x ________ (4)若a n 3， 则a3n ________
(5)在255，344，433，522 这四个幂中 ， 数值最的一个是 ________
2、选择题
[1] 等式 an (a)n (a≠ 0)成立的条件是（
）。
A、n是奇数
B、n是偶数 C、n是正整数 D、n是整数
a2008b2008的值。
2
随堂练习
1．（-3/7) 105× (9/49) －52 =___－__3_/7__； 2．如果(x2y)a×（xybz）3×（y2z3）2
《幂的乘方与积的乘方》 讲义
《幂的乘方与积的乘方》讲义一、幂的乘方在数学中，幂的乘方是一个重要的运算规则。
首先，我们来了解一下什么是幂的乘方。
假设我们有一个幂 a^m，其中 a 是底数，m 是指数。
现在要对这个幂进行乘方运算，也就是将它的指数再次乘以一个整数 n，得到（a^m)＾n。
那么幂的乘方的运算规则是什么呢？很简单，就是底数不变，指数相乘。
即：（a^m)＾n ＝ a^（m×n)为了更好地理解这个规则，我们来看几个例子。
例 1：计算（2^3)＾2根据幂的乘方法则，底数 2 不变，指数 3×2 ＝ 6，所以（2^3)＾2 ＝ 2^6 ＝ 64例 2：计算（x^2)＾5底数 x 不变，指数 2×5 ＝ 10，所以（x^2)＾5 ＝ x^10接下来，我们思考一下为什么幂的乘方会有这样的运算规则。
我们可以通过实际的计算来验证。
比如，（2^3)＾2 ＝ 2^3 × 2^3 ＝2^（3 ＋ 3) ＝ 2^6，这就符合了我们的规则。
再深入一点，从指数的意义来理解。
指数表示的是相同因数的个数，当一个幂再次进行乘方时，实际上就是相同因数的个数再次乘以一个倍数，所以指数就要相乘。
在解决实际问题中，幂的乘方运算规则能给我们带来很大的便利。
比如，在计算一些较大数的幂时，如果能合理运用幂的乘方规则，就可以将复杂的计算简化。
二、积的乘方说完了幂的乘方，我们再来看看积的乘方。
如果我们有几个因数相乘的形式，比如（ab)＾n，这就是积的乘方。
积的乘方的运算规则是：先把积中的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘。
即：（ab)＾n ＝ a^n × b^n同样，我们通过例子来加深理解。
例 1：计算（2×3)＾2先分别计算 2^2 ＝ 4，3^2 ＝ 9，然后相乘 4×9 ＝ 36，所以（2×3)＾2 ＝ 36例 2：计算（2x)＾32^3 ＝ 8，x^3 ＝ x^3，所以（2x)＾3 ＝ 8x^3为什么会有这样的规则呢？我们还是通过实际的计算来看看。
青岛版七年级下册数学课件：11.2.1积的乘方与幂的乘方
(乘方的意义)
即
ab
m
a b
m
m
（m为正整数） 符号语言
积的乘方
乘方的积
这就是说， 积的乘方等于各因数乘方的积
文字语言
注：公式中的a、b可以表示数，单项式，多项式。
当m为正整数时 abc 怎样计算？与同学交流。
m
推广应用：
abc
a b
m
m
a b c（m为正整数）
m m m
性质逆用：
m
ab（m为正整数）
m
例1： 计算 ax
5
要对积中每一个 因数都乘方。
5
解： ax a x
5
5
例2： 计算
3
- 2 xy
-8 x y
3
3
当底数的系数是负数时， 正确判断结果符号。
3 3 3
解： - 2xy - 2 x y
3
计算：
① ②
ab
4
3
4
④
- xy
3
8a
3
4
16a
4
猜想
n (ab) =
n n a b
一般的，设m是正整数
ab ab ab ........ ab
m
(乘方的意义)
=
a a ...... a b b ...... b
m个 a m个 b
m m
m个（ab）
(乘法运算律)
a b
5 10 2 10
m m
3 10
m 2
m
3 10 2 5 3 m 2
2
1 、判断正误
2a 6 a （ 1 ）
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问题1：体育课上，同学们使用的篮球的半径大约是 乒乓球半径的10倍，请同学们思考一下，篮球的表 面积大约是乒乓球表面积的多少倍？
问题2：地球、木星、太阳可以近似地看作球体。木星 、太阳的半径约是地球半径的10倍和102倍，它们的体 积约是地球的多少倍？
利用幂的乘方计算
（62）4
（a2）3
（am）2
（am）n
幂的乘方法则：
幂的乘方，底数不变，指数相乘。
am n amn,其中m, n是正整数
学生练习：
1. （102）3 106
（b5）5 b25
（an）3 a3n
─（x2）m -x2m
2. （y2）3. y2.
解：原式= y6. y2 =y8
2（a2）6. a3 --（a3）4. a3
解：原式= 2a12. a3 –a12. a3 =a12. a3 = a15.
《积的乘方与幂的乘方》3
青岛版数学七年级下册
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• 人生感悟:头比脚高
• 小时候我长得很弱小，和人打架的时候总是吃亏。记得有一 次，和村里一个孩子王打架，他两脚就把我踹到了地上。他脚 很有力。我哭着回去告诉妈妈，让她送我去学武，说要学一身 绝技回来，好报仇。想不到妈妈却说：“除了学武，你就没有 别的办法赢他吗？他的脚虽然有力，可是，孩子，你还有一颗 聪明的头啊，再有力的脚也没有头高啊。”我记住了妈妈的话， 并深深地理解了它。期末考试的时候，我得了全校第一。当我 站在领奖台上，接受大家羡慕的掌声时，孩子王却因功课不及 格留级了。我觉得我打败了他。
同桌仿例1做编题游戏
• 三个或三个以上的积的乘方，是否也具有上面的性质? 怎样用公式表示?
公式的拓展
(abc)n=an·bn·cn
怎样证明 ?
试用第一 种方法证明:
(abc)n=[(ab)·c]n =(ab)n·cn = an·bn·cn.
方法提示 有两种思路______ 一种思路是利用乘法结合律，把三个 因式积的乘方转化成两个因式积的乘方、再用积的乘方法则;
（1）(am )n amn
（）
（2）a 2 • a5 a10
（）
（3）(a 2 )10 a 20
（4）
[( 3)2 ]3 4
(3)6 4
（） （）
（5）(b n1 ) 2 b 2n2
（）
（6）[( x y)2 ]5 (x y)10 （ ）
3．计算：
（1）(1)2m • (1)2
（2） a3 • (a)4 （3） [(m n)2 ]4
• 在下面的推导中，说明每一步(变形)的依据：
n个ab
(ab)n = ab·ab·……·ab
( 幂的意义
)
n个a
n个b
=(a·a·……·a) (b·b·……·b)
(
乘法交换律、 结合律
)
=an·bn．
( 幂的意义 )
积的乘方法则
(ab)n = an·bn（m,n都是正整数）
积的乘方 乘方的积 • 上式显示:
4．x3·x2=x6
3．(-a3 )2.a4 ＝ a９
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)以上答案都不对
思考：
1 若a2n=5,求a6n 2 若am=2 , a2n=7,
求a3m+4n
计算下列各式，并说明理由
（1）(62 )4 62 • 62 • 62 • 62 62222 68 624
(2) 为了计算(化简)算式ab·ab·ab，可以应用乘法的交 换律和结合律。 又可以把它写成什么形式?
(3)由特殊的 (ab)3=a3b3 出发, 你能想到一般的公式 吗?
猜想
(ab)3= ab·ab·ab =a·a·a ·b·b·b =a3·b3
(ab)n= anbn
♐
(ab)n = an·bn 的证明
• 积的乘方= 每个因式分别乘方后的积.
你能说出法则中“因式”这两个字的意义吗?
(a+b)n，可以用积的乘方法则计算吗? 即“(a+b)n= an·bn ” 成立吗？ 又“(a+b)n= an+an ” 成立吗？
例1：课本P14 计算
(1) 3x2 (2) (3) 2xy(44)
2b5
3a2 n
2、选择：
x
3m1
可以写成_____
A、 x3 m1 B、
xm
31
C、
x D• 、x3m
xm 2m1
xm yn 3 x3 y12
3、填空：如果
4、计算： 0.752003
4 3
，20那03 么
m _____,n _____
点评：要根据具体情况灵活利用积 的乘方运算性质（正用与逆用）。
• 从此，当我受到不公正的待遇或者遭到侮辱时，我都会想起 妈妈的这句话：“头比脚高。”它使我知道，人世间最有力的 武器是智慧，
回顾 &a
a·a·… ·a= an
同底数幂的乘法运算法则：
am ·an = am+n（m,n都是正整数）
幂的乘方运算法则:
(am)n= amn (m、n都是正整数)
智能训练：
1、 不用计算器，你能很快求出下列各式的结果吗？
25 3 5，5 49 0.2510
2、若n是正整数，且 x n 6, y n ， 5求 xy的2n值。
3、a bc d 等n于什么？写出推理过程。
另一种思路是仍用推导两个因式的积的乘方的方法：乘方的意 义、乘法的交换律与结合律.
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例题【例解2】析计算：
(1)(3x)2 ; (2)(-2b)5 ;
(3)(-2xy)4 ;
(4)(3a2)n .
解： (1)
(3x)2
=32x2
= 9x2 ;
(2) (-2b)5= (-2)5b5 = -32b5 ;
3. （-32）3.（-33）2 解:原式= -36 .36 = -312
（-x）2.(-x)3 解:原式= （-x）5
= -x5
4. ① (4·2n)·(4·2n)等于
4·2n B．42n+4
C．22n
（Ｄ ）A． D．22n+4
② 下列计算中正确命题的个数有（ Ｄ）个
1．am·a2=a2m
2．(a3)2=a5
（3）（an )3 an3 a3n
(4) (x2 )m x2m x2m
(5) ( y2 )3 y y23 y y6 y y7
(6) 2(a2 )6 (a3 )4
2a26 a34 2a12 a12 a12
随堂练习
进行幂的运算
１．课本 P16 ２．判断题：
1．计算时要注意什么?
(ab)n = an·bn（m,n都是正整数） 反向使用: an·bn = (ab)n
试用简便方法计算: (1) 23×53 ;= (2×5)3 = 103 (2) 28×58 ;= (2×5)8 = 108 (3) (-5)16 × (-2)15 ;= (-5)×[(-5)×(-2)]15 = -5×1015 ; (4) 24 × 44 ×(-0.125)4 ; = [2×4×(-0.125)]4 = 14 =1.
3
6×103 千米，它的体积大约是多少立方千米
解： V 4 r3
3
= 4 ×(6×103)3
3
= 4 × 63×109
3
注意 运算顺序 !
≈ 9.05×1011 (千米11)
随堂练习
1、计算： (1) (- 3n)3 ; (2) (5xy)3 ;
(3) –a3 +(–4a)2 a 。
公式的反向使用
（4）a 2 • (a)3 • (a 2 )3
（5）(a 2 )3 • (a3 )3
（6） [(x 2 )3 ]3
拓展与提高
1.计算：(x y)m ( y x)2m ( y x)3m
２．你能比较 355 , 444 , 533 的大小吗？
探索 & 交流 参与活动：
• (1) 根据乘方定义(幂的意义)，(ab)3表示什么?
ammm
amn
(a ) a m n
mn (m、n都是正整数）
幂的乘方，底数不变，指数相乘。
例1 计算：
(1) (102 )3；(2) (b5 )5；（3）（an )3；(4) (x2 )m；
(5) ( y2 )3 y； (6) 2(a2 )6 (a3 )4.
解 (1) (10 2 )3 (10)23 106 ： (2) (b5 )5 b55 b25
(3) (-2xy)4 = (-2x)4 y4 = (-2)4 x4 y4 =16x4 y4 ；
(4) (3a2)n = 3n (a2)n = 3n a2n 。
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例【题例解3】析地球可以近似地看做是球体，如果用V, r 分别
代表球的体积和半径，那么 V 4 r3。 地球的半径约为
幂的意义:
n个a
a·a·…
·a =
an
同底数幂的乘法运算法则：
am ·an=am+n
幂的乘方运算法则: (ab)n=ambn
积的乘方=每个因式分别乘方后的积.
反向使用am ·an =am+n、(am)n =amn 可使某些计算简捷。
拓展训练：
1、填空： 2a5 3 ______
x2 y7 2xy3 2 y _________
（2）(a 2 )3 22 • 22 • 22 2222 26 223
（3）(a m ) 2 am • am amm a2m a2m n个 am
（4）(a m )n (am • am • • am )