(完整版)技能高考数学总复习集合不等式

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高考数学一轮总复习第一章集合与常用逻辑用语不等式 3等式性质与不等式性质课件

ABC.
2
0时，

= 0,D错误.故选
【点拨】已知 < < ， < < ，求 , （如 + ，3
2
− 4，，，

等）的取值范围时，通常利用不等式的同向可加和同向同正可乘的性质求解.
变式3（1）若1 < < 3，−4 < < 2，则 − 的取值范围是(
通分、分母（分子）有理化等.③判断符号（判断商和“1”的大小关系）. ④给出结论.
变式2（1）已知 = + 1 + + 4, = + 2 + + 3，则与的大小关系是
(
)
A. >
解：2 = 2 + 5 + 2
B. >
√
C. =
+ 1 + 4 ， 2 = 2 + 5 + 2
性质1：如果 = ，那么 = ；
性质2：如果 = , = ，那么 = ；
性质3：如果 = ,那么 ± = ± ；
性质4：如果 = ,那么 = ;
性质5：如果 = , ≠

0,那么

=

.

3.不等式的基本性质
序号
性质1
性质2
性质3
性质4
性质5
性质
，
2
所以3 < 2 − 3 < 8，即2 − 3 ∈ 3,8 .
+
=
,
= + ,
2
（方法二）令ቊ
则൞
−
= − ,
=
,
2

(完整版)数学高职高考专题复习__不等式问题(可编辑修改word版)

<2222高职高考不等式问题专题复习一、不等式基础题1、不等式 x 2+1＞2x 的解集是 ()A.{x|x ≠1,x ∈R}B.{x|x ＞1,x ∈R}C.{x|x ≠-1 ,x ∈R }D. {x|x ≠0,x ∈R} 2、不等式|x+3|＞5 的解集为 ( ) A.{x|x ＞2|} B.｛x|x ＜-8 或 x ＞2｝ C.{x|x ＞0} D.{x|x ＞3} 3、二次不等式 x 2 -3x+2<0 的解集为 ()A.{x ︱x ≠0}B.{x ︱1<x<2}C.{x ︱-1<x<2}D. {x ︱x>0}1 14. 已知 a>b ，那么 > a b的充要条件是()A.a 2+b 2≠0B.a>0C.b<0D.ab<05、若 a ≥b ，c ∈R ，则 () A.a 2≥b 2 B.∣ac ∣≥∣bc ∣ C.ac 2≥bc 2 D. a - 3≥b - 36、下列命题中，正确的是 ()A.若 a >b，则 ac 2>bc 2B. 若a> b ，则 a>b1 1C.若 a>b ，则 a bc 2 c 2D.若 a>b ，c>d ，则 ac>bd7、如果 a>0，b>0,那么必有()A. b > 2b - a aB. b ≥ 2b - a aC. b < 2b - a aD. b ≤ 2b - a a8、对任意 a ，b ，c∈R +，都有 ()A. b + c + a> 3 a b c B. b + c + a< 3a b c C. b + c + a ≥ 3a b c D. b + c + a≤ 3a b c9、对任意 x∈R，都有 ( )A.(x-3)2>(x-2)(x-4)B.x 2>2(X+1)C.( x - 3)2 x - 4 > x - 2D. x 2 + 1 > 1 x 2 + 110、已知 0<x<1，都有 ( )A.2x>x 2>xB.2x>x>x 2C. x 2>2x>xD.x > x 2 >2x11 、若不等式 2x 2-bx+a<0 的解集为 {x ︱ 1<x<5}，则 a= ( ) A.5 B.6 C.10 D.12x - 3 12、不等式x + 2> 1的解集是()A.{x∣x<-2}B.{x∣x<-2 或 x>3}C.{x∣x>-2}D.{x∣-2<x<3}13、不等式 lgx+lg(2x-1)<1 的解集是 ()A.{x - 2 < x < 5}2 B.{x 0 < x < 5}2C. {x< x < 5 }2D. {x x > 1}214、不等式︱x+2︱+︱x-1︱<4 的解集是()1 2A. { x - 2 < x < 1 }B.{x x < 3}2C. {x - 5 2 < x < 3}2 D. {x x > - 5}215、已知 a 是实数，不等式 2x 2-12x+a≤0 的解集是区间[1，5]，那么不等式 a x 2-12x+2≤0 的解集是 () A. [1, 1]5B.[-5，-1]C.[-5，5]D.[-1，1]16、不等式（1+x ）（1-︱x ︱）>0 的解集是 ( )A.{x∣-1<x<1}B.{x∣x<1}C.{x∣x <-1 或 x<1}D.{x∣x<1 且 x≠-1} 17、若不等式 x 2 + m (x - 6) < 0 的解集为{x - 3 < x < 2}，则 m=（）A ．２B ．－２C ．－１D ．１2x18、函数 y =x 2+ 1的值域为区间（）A ．［－２,２］B ．（－２,２）C ．［－１,１］D ．（－１,１）a 2 +b 2 19、如果 a>b ，ab=1，则的取值范围为区间（）a - bA ．[2 2,+ ∞)B ．[17 , 6+ ∞)C ． (3,+ ∞)D ． (2 , + ∞)17、不等式︱3x －5︱<8 的解集是 . 18、不等式|5x+3|＞2 的解集是 .19、不等式|3-2x|-7≤0 的解集是 . 1 3 20 、不等式|6x - |≤ 的解集是.221、不等式4-x -3 2(1 ) x-4>0 的解集是 . 222、不等式log 2 x < log 4 (3x + 4) 的解集是.二、不等式的简单应用23、已知关于 x 的不等式 x 2-ax+a ＞0 的解集为实数集 R ，则 a 的取值范围是 ( )A.(0,4)B.[2,+∞）C.[0,2）D.(-∞,0)∪(4,+∞) (98 年成人)x 24、函数 y =1 + x 2(x > 0) 的值域是区间.25、已知方程（ k+1） x=3k -2 的解大于 1，那么常数 k 的取值范围是数集{kx 2 - x - 2 3 ∣}.26、解下列不等式：(x - 6)(3x + 15) （1） > 04 + x三、不等式解答题（2） 23x -1 >2（3） ( 1 )2 x 2+5 x +5 > 1（4） lg(x + 2) - lg(x - 3) > 12 4（5）∣5x -x 2∣>6(6) x + 4≥ 3x 2(7)4x -6x -2×9x <0(8) log 1 (x + 2) > log 1 (3x + 4)24(9) <x 2 x - 1(10) < 22+ 2(11) log 2 (4 + 3x - x 2) > log (4x - 2)5x - 4 （12）≤ 2x + 427、k 取什么值时，关于 x 的方程（k -2）x 2-2x+1=0 有：（1）两个不相等的实数根；（2）两个相等的实数根；（3）没有实数根.28、设实数 a 使得方程 x 2+（a -1）x+1=0 有两个实根 x 1，x 2. (1) 求 a 的取值范围；(2) 当 a 取何值时， 1 1 1 x 2取得最小值，并求出这个最小值.附：参考答案(四)1-16 ABBDC BBCAB CACCAD 17.{x - 1 < x <13318.{x x < -1或x > -1} 519.{x ︱-2≤x ≤5} 20.{x ︱ - 1 6 ≤ x ≤ 1} 21.{x ︱x<-2} 22.{x ︱0<x<4} 23.A324. (0 , 1 ] 2 25.{x ︱ k < -1或k > 3 1} 26.(1){x ︱-5<x<4 或 x>6} (2) {x ︱x> } 2 6x2 2 }(3) {x︱-32<x <-1 } (4) {x︱3<x<32} (5) {x︱x<-1 或2<x<3 或x>6}9(6) {x︱x≥-1} (7) {x︱x> log 2 2 } (8) {x︱-1<x< 0} (9) {x︱x<0 或1<x<3}3(10) {x︱-2<x≤-1 或2≤x<3} 27. (1)k<3 且k≠2 (2)k=3 (3)k>328.(1) a≤-1 或a≥3 (2) a= -1 或3，最小值为2.。

高考数学一轮总复习第一章集合与常用逻辑用语不等式 2常用逻辑用语课件

− + 1 ≤ 0,
是− + 1 < < + 1的一个充分条件，则满足ቊ
解得 ≥ 1.故选D.
+ 1 ≥ 1,
考点三全称量词命题与存在量词命题
命题角度1 全称、存在量词命题及其否定
例3 【多选题】设命题: ∃ ∈ 0,4 , 2 > 4且 3 < 6，命题：每个三角形都有内切圆，
)
3.（教材题改编）若 ∈ ，则“3 > 1”是“2 > 1”的(
A.充分不必要条件
√
C.充要条件
)
B.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
解：解不等式3 > 1可得 > 1，解不等式2 > 1可得 < −1或 > 1.
因为{ > 1} ⫋ { < −1或 > 1}，
A.充分不必要条件
√
)
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
π
2
π
2
解：（方法一）{ sin = 1} = { = + 2π ， ∈ } ⫋ {| = + π ，
∈ } = {|cos = 0}，故是充分不必要条件.
（方法二）当sin = 1时，由同角关系，得cos = 0，充分性成立；当cos = 0时，
≤ sin ，故B正确.素数2不是奇数，所以是真命题，故C正确.的否定：所有的素
数都是奇数，故D错误.故选BC.
命题角度2
根据命题的真假求参数
例4 已知“命题：∃ ∈ ， 2 + 2 + 1 < 0”为真命题，则实数的取值范围是 (

2022版高考数学总复习第一章集合与常用逻辑用语不等式第二节命题及其关系充分条件与必要条件练习含解析

高考数学总复习：第二节命题及其关系、充分条件与必要条件学习要求:1.理解命题的概念.2.了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题间的相互关系.3.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.1.命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的,可以①判断真假的陈述句叫做命题,其中②判断为真的语句叫做真命题,③判断为假的语句叫做假命题.2.四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系:(2)四种命题的真假关系:(i)两个命题互为逆否命题,它们有⑦相同的真假性;(ii)两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性⑧没有关系.▶提醒在判断命题之间的关系时,要先分清命题的条件与结论,再比较每个命题的条件与结论之间的关系.要注意四种命题关系的相对性.3.充分条件与必要条件(1)若p⇒q,则p是q的⑨充分条件,q是p的⑩必要条件.(2)若p⇒q,且q⇒/p,则p是q的充分不必要条件.(3)若p⇒/q,且q⇒p,则p是q的必要不充分条件.(4)若p⇔q,则p是q的充要条件.(5)若p⇒/q,且q⇒/p,则p是q的既不充分也不必要条件.▶提醒不能将“若p,则q”与“p⇒q”混为一谈,只有“若p,则q”为真命题时,才有“p⇒q”.知识拓展从集合的角度理解充分条件与必要条件若p以集合A的形式出现,q以集合B的形式出现,即A={x|p(x)},B={x|q(x)},则关于充分条件、必要条件又可以叙述为:(1)若A⊆B,则p是q的充分条件;(2)若A⊇B,则p是q的必要条件;(3)若A=B,则p是q的充要条件;(4)若A⫋B,则p是q的充分不必要条件;(5)若A⫌B,则p是q的必要不充分条件;(6)若A⊈B且A⊉B,则p是q的既不充分也不必要条件.1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).(1)“x2-3x+2=0”是命题.()(2)一个命题的逆命题与否命题,它们的真假没有关系. ()(3)命题“若p不成立,则q不成立”等价于“若q成立,则p成立”.()(4)若p是q成立的充分条件,则q是p成立的必要条件.()(5)命题“若p,则q”的否命题是“若p,则¬q”.()(6)一个命题非真即假.()答案(1)✕(2)✕(3)√(4)√(5)✕(6)√2.“若x>1,则x>0”的否命题是()A.若x>1,则x≥0B.若x≤1,则x>0C.若x≤1,则x≤0D.若x<1,则x<0答案 C3.当命题“若p,则q”为真时,下列命题中一定为真的是()A.若q,则pB.若¬p,则¬qC.若¬q,则¬pD.若p,则¬q答案 C4.(新教材人教A版必修第一册P34复习参考题1T5改编)已知a>0,b>0,则“ab>1”是“a+b>2”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A已知a>0,b>0,充分性:若ab>1,因为a2+b2≥2ab,所以(a+b)2≥4ab,所以(a+b)2>4,所以a+b>2;必要性:时,ab=1,所以必要性不成立.若a+b>2,则当a=3,b=13因此“ab>1”是“a+b>2”的充分不必要条件.5.(易错题)“ln x<0”是“x<1”的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案B因为ln x<0,所以0<x<1,又集合(0,1)为集合(-∞,1)的真子集,所以“ln x<0”为“x<1”的充分不必要条件.故选B.易错分析本题容易忽视x的取值范围.命题及其相互关系典例1 (多选题)下列命题为真命题的是( )A.“若xy=1,则lg x+lg y=0”的逆命题;B.“若a·b=a·c,则a⊥(b-c)”的逆否命题;C.“若b≤0,则方程x2-2bx+b2+b=0有实根”的否命题;D.“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题.答案ACD名师点评1.写一个命题的其他三种命题时,需注意:(1)对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写;(2)若命题有大前提,则写其他三种命题时需保留大前提.2.(1)判断一个命题为真命题,要给出推理证明;判断一个命题是假命题,只需举出反例.(2)根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易时,可间接判断.1.[2021年1月“八省(市)联考”]关于x的方程x2+ax+b=0,有下列四个命题:甲:x=1是该方程的根; 乙:x=3是该方程的根;丙:该方程两根之和为2; 丁:该方程两根异号.如果只有一个假命题,则该命题是()A.甲B.乙C.丙D.丁答案A若甲是假命题,则乙、丙、丁是真命题,则x1=3,x2=-1,符合.若乙是假命题,则甲、丙、丁是真命题,则x1=1,x2=1,两根不异号,不符合.若丙是假命题,则甲、乙、丁是真命题,x1=1,x2=3,两根不异号,不符合.若丁是假命题,则甲、乙、丙是真命题,则x1=1,x2=3,两根和不为2,不符合.综上可知,选A.2.(多选题)下列命题为真命题的是()A.“若log2a>0,则函数f(x)=log a x(a>0,a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题;B.命题“若a=0,则ab=0”的否命题是“若a≠0,则ab≠0”;C.命题“若x,y都是偶数,则x+y也是偶数”的逆命题为真命题;D.命题“若a∈M,则b∉M”与命题“若b∈M,则a∉M”等价.答案BD充分条件、必要条件的判断1.(2020四川达州高三第三次诊断性测试)已知条件p:a>b,条件q:a2>b2,则p是q的()A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件答案D当a=1,b=-2时,a2<b2,故充分性不成立;当a2>b2时,a2-b2>0,即(a-b)(a+b)>0,所以a>b且a+b>0或a<b且a+b<0,故必要性不成立.故选D.2.(2020北京,9,4分)已知α,β∈R,则“存在k∈Z使得α=kπ+(-1)kβ”是“sinα=sinβ”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案C(1)充分性:已知存在k∈Z使得α=kπ+(-1)kβ,(i)若k为奇数,则k=2n+1,n∈Z,此时α=(2n+1)π-β,n∈Z,sinα=sin(2nπ+π-β)=sin(π-β)=sinβ;(ii)若k为偶数,则k=2n,n∈Z,此时α=2nπ+β,n∈Z,sinα=sin(2nπ+β)=sinβ.由(i)(ii)知,充分性成立.(2)必要性:若sinα=sinβ成立,则角α与β的终边重合或角α与β的终边关于y轴对称,即α=β+2mπ或α+β=2mπ+π,m∈Z,即存在k∈Z使得α=kπ+(-1)kβ,必要性也成立,故选C.≥a成立”的()3.(2020山东潍坊高三模拟)“a=2”是“∀x>0,x+1xA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件≥2,答案A∵∀x>0时,x+1x≥a”等价于a≤2,∴“∀x>0,x+1x而a=2可以推出a≤2,但a≤2不能推出a=2,≥a成立”的充分不必要条件,故选A.∴“a=2”是“∀x>0,x+1x4.集合A={x|x>1},B={x|x<2},则“x∈A或x∈B”是“x∈(A∩B)”的条件.答案必要不充分名师点评充要条件的三种判断方法(1)定义法:根据p⇒q,q⇒p进行判断.(2)集合法:根据p,q成立对应的集合之间的包含关系进行判断.(3)等价转化法:根据一个命题与其逆否命题的等价性,判断原命题的逆否命题的真假.这个方法特别适合以否定形式给出的问题.充分、必要条件的应用典例2(1)设α:1≤x≤3,β:m+1≤x≤2m+4,m∈R,若α是β的充分条件,则m的取值范围是.(2)已知条件p :2x 2-3x +1≤0,条件q :x 2-(2a +1)x +a (a +1)≤0.若¬p 是¬q 的必要不充分条件,则实数a 的取值范围是 .答案 (1)[-12,0] (2)[0,12]解析 (1)若α是β的充分条件,则α对应的集合是β对应集合的子集,则{x +1≤1,2x +4≥3,解得-12≤m ≤0.(2)由2x 2-3x +1≤0,得12≤x ≤1,设条件p 对应的集合为P ,则P ={x |12≤x ≤1}.由x 2-(2a +1)x +a (a +1)≤0,得a ≤x ≤a +1,设条件q 对应的集合为Q ,则Q ={x |a ≤x ≤a +1}. ∵¬p 是¬q 的必要不充分条件,∴q 是p 的必要不充分条件, ∴P ⫋Q ,∴0≤a ≤12,∴实数a 的取值范围是[0,12].名师点评1.解题“2关键”:(1)把充分、必要条件转化为集合之间的关系.(2)根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解.2.解题“1注意”:求参数的取值范围时,一定要注意区间端点值的检验,尤其是利用两个集合之间的关系求参数的取值范围时,不等式能否取等号决定端点值的取舍,处理不当容易出现漏解或增解的现象.1.(2020陕西山阳中学高三月考)已知集合A ={x |2xx -2<1},集合B ={x |x 2-(2m +1)x +m 2+m <0},p :x ∈A ,q :x ∈B ,若p 是q 的必要不充分条件,则实数m 的取值范围是 . 答案 [-2,1] 解析集合A ={x |2xx -2<1}={x |x +2x -2<0}={x |-2<x <2},集合B ={x |x 2-(2m +1)x +m 2+m <0} ={x |m <x <m +1},因为p 是q 的必要不充分条件, 所以B ⫋A ,得{x ≥-2,x +1≤2,解得-2≤m ≤1,所以m 的取值范围为[-2,1].2.(2020河南高三月考)已知p :|x -1|≤2,q :x 2-2x +1-a 2≥0(a >0),若p 是¬q 的必要不充分条件,则实数a 的取值范围是 . 答案 (0,2]解析 ∵|x -1|≤2,∴-1≤x ≤3,即p :-1≤x ≤3; ∵x 2-2x +1-a 2≥0(a >0),∴x ≤1-a 或x ≥1+a , ∴¬q :1-a <x <1+a ,∵p 是¬q 的必要不充分条件,∴{x >0,1-x ≥-1,1+x ≤3,解得0<a ≤2, ∴实数a 的取值范围是(0,2].A 组基础达标1.命题“若x ≥a 2+b 2,则x ≥2ab ”的逆命题是 ( ) A.若x <a 2+b 2,则x <2ab B.若x ≥a 2+b 2,则x <2ab C.若x <2ab ,则x <a 2+b 2D.若x ≥2ab ,则x ≥a 2+b 2答案 D2.(2020河北邯郸鸡泽第一中学高三月考)下列命题是真命题的为 ( )A.若1x =1x ,则x =y B.若x 2=1,则x =1C.若x=y,则√x=√xD.若x<y,则x2<y2答案 A3.(2020浙江高三开学考)“x=1”是“lg2x-lg x=0”成立的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案A因为lg2x-lg x=0,所以lg x=0或lg x=1,解得x=1或x=10,所以由“x=1”可以推出“lg2x-lg x=0”成立;但由“lg2x-lg x=0”不能推出“x=1”,所以“x=1”是“lg2x-lg x=0”成立的充分不必要条件.故选A.4.(2019河北承德第一中学高三月考)命题“若两个整数a,b都是奇数,则它们的和a+b是偶数”的逆否命题是()A.若两个整数a与b的和a+b是偶数,则a,b都是奇数B.若两个整数a,b不都是奇数,则a+b不是偶数C.若两个整数a与b的和a+b不是偶数,则a,b都不是奇数D.若两个整数a与b的和a+b不是偶数,则a,b不都是奇数答案 D5.(多选题)下列命题中是真命题的是()A.∀x∈R,2x-1>0B.∀x∈N+,(x-1)2>0C.∃x∈R,lg x<1D.∃x∈R,tan x=2答案ACD6.(2020浙江高三模拟)已知a,b为正实数,则“a+1x >b+2x”是“a>b”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 A 若0<a ≤b ,则1x ≥1x ,所以2x ≥1x ,所以a +1x ≤b +2x , 所以由a +1x >b +2x能够推出a >b.当a =19,b =110时,满足a >b ,但此时a +1x b 推不出a +1x>b +2x ,综上,“a +1x>b +2x”是“a >b ”的充分不必要条件.故选A .7.(多选题)已知a ,b ,c 是实数,则下列结论正确的是 ( ) A.“a 2>b 2”是“a >b ”的充分条件 B.“a 2>b 2”是“a >b ”的必要条件 C.“ac 2>bc 2”是“a >b ”的充分条件D.“|a |>|b |”是“a >b ”的既不充分也不必要条件答案 CD8.(多选题)下列命题错误的是 ( ) A.∃x ∈R,e x≤0 B.∀x ∈R,2x >x 2C.a +b =0的充要条件是xx =-1D.若x ,y ∈R,且x +y >2,则x ,y 中至少有一个大于1答案 ABC 根据指数函数的性质可得e x >0,故A 错误;当x =2时,2x >x 2不成立,故B 错误;当a =b =0时,xx 没有意义,故C 错误;因为“若x ,y ∈R,且x +y >2,则x ,y 中至少有一个大于1”的逆否命题为“若x ,y ∈R,且x ,y 都小于等于1,则x +y ≤2”,是真命题,所以原命题为真命题,故选ABC.B 组能力拔高 9.圆x 2+y 2=1与直线y =kx -3有公共点的充分不必要条件是 ( )A.k ≤-2√2或k ≥2√2B.k ≤-2√2C.k ≥2D.k ≤-2√2或k >2答案 B 若直线与圆有公共点,则圆心(0,0)到直线kx -y -3=0的距离d =√≤1,即√x 2+1≥3,∴k 2+1≥9,即k 2≥8,∴k ≥2√2或k ≤-2√2,∴由选项知圆x 2+y 2=1与直线y =kx -3有公共点的充分不必要条件是k ≤-2√2,故选B .10.已知条件p :|x -4|≤6;条件q :(x -1)2-m 2≤0(m >0),若p 是q 的充分不必要条件,则m 的取值范围是 ( )A.[21,+∞)B.[9,+∞)C.[19,+∞)D.(0,+∞)答案 B 由题意知,条件p :-2≤x ≤10,条件q :1-m ≤x ≤m +1,又p 是q 的充分不必要条件,故有{1-x ≤-2,1+x ≥10,x >0,解得m ≥9.11.(2020江苏扬州中学高三月考)“a >b ”是“3a >3b ”的条件(填“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”或“充要”).答案充要解析因为y =3x 在R 上是增函数,所以当a >b 时,3a >3b ,故充分性成立;当3a >3b 时,a >b ,故必要性成立.故“a >b ”是“3a >3b”的充要条件.12.(2020黑龙江鹤岗一中期末)下列命题中为真命题的是 .(填序号)①命题“若x >y ,则x >|y |”的逆命题;②命题“若x >1,则x 2>1”的否命题;③命题“若x =1,则x 2+x -2=0”的否命题;④“若x 2<4,则-2<x <2”的逆否命题.答案 ①④解析对于①,命题的逆命题为“若x >|y |,则x >y ”,为真命题,对于②,命题的否命题为“若x ≤1,则x 2≤1”,为假命题,对于③,命题的否命题为“若x ≠1,则x 2+x -2≠0”,为假命题,对于④,命题“若x2<4,则-2<x<2”为真命题,故其逆否命题为真命题,综上,①④为真命题.C组思维拓展13.(2020河南高三模拟)若关于x的不等式(x-a)(x-3)<0成立的充要条件是2<x<3,则a=.答案 2解析因为2<x<3是不等式(x-a)(x-3)<0成立的充分条件,所以a≤2,因为2<x<3是不等式(x-a)(x-3)<0成立的必要条件,所以2≤a<3,故a=2.14.设集合A={x|x(x-1)<0},B={x|0<x<3},那么“m∈A”是“m∈B”的条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”).答案充分不必要解析由m∈B不能推出m∈A,如x=2,故必要性不成立.由x∈A能推出x∈B,所以“m∈A”是“m∈B”的充分不必要条件.15.在熟语“水滴石穿”中,“石穿”是“水滴”的条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”).答案必要不充分解析“水滴”可以推出“石穿”,但“石穿”推不出“水滴”,有可能是“化学腐蚀”,故“石穿”是“水滴”的必要不充分条件.。

高考数学总复习第七章不等式第1节不等式的性质与一元二次不等式教案文(含解析)

第1节不等式的性质与一元二次不等式最新考纲 1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景；2.会从实际问题的情境中抽象出一二次不等式模型；3.通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的算法框图.知识梳理1.实数的大小顺序与运算性质的关系(1)a>b⇔a－b>0；(2)a＝b⇔a－b＝0；(3)a<b⇔a－b<0.2.不等式的性质(1)对称性：a＞b⇔b＜a；(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a>b，c<0⇒ac<bc；a＞b＞0，c ＞d＞0⇒ac＞bd；(5)可乘方：a＞b＞0⇒a n＞b n(n∈N，n≥1)；(6)可开方：a＞b＞0⇒n∈N，n≥2).3.三个“二次”间的关系二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图像一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0 (a ＞0)的根有两相异实根x 1，x 2(x 1＜x 2)有两相等实根x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)的解集{x |x ＞x 2或x ＜x 1}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－b 2aRax 2＋bx ＋c ＜0(a ＞0)的解集{x |x 1＜x ＜x 2}∅∅[微点提醒]1.有关分数的性质(1)若a >b >0，m >0，则b a b －ma －m(b －m >0).(2)若ab >0，且a >b ⇔1a <1b.2.对于不等式ax 2＋bx ＋c >0，求解时不要忘记a ＝0时的情形. 3.当Δ<0时，不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集为R 还是∅，要注意区别.基础自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)a ＞b ⇔ac 2＞bc 2.( )(2)若不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为(x 1，x 2)，则必有a ＞0.( ) (3)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＜0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a <0)的解集为R .( )(4)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a ＜0且Δ＝b 2－4ac ≤0.( )解析 (1)由不等式的性质，ac 2＞bc 2⇒a ＞b ；反之，c ＝0时，a ＞b ac 2＞bc 2.(3)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a <0)没有实根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0(a <0)的解集为∅.(4)当a ＝b ＝0，c ≤0时，不等式ax 2＋bx ＋c ≤0也在R 上恒成立. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×2.(必修5P72思考交流改编)若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( )A.a d ＞b cB.a d ＜b cC.a c ＞b dD.a c ＜b d 解析因为c ＜d ＜0，所以0＞1c ＞1d，两边同乘－1，得－1d＞－1c＞0，又a ＞b ＞0，故由不等式的性质可知－a d ＞－bc ＞0.两边同乘－1，得a d ＜bc. 答案 B 3.(必修5P113A1改编)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12x －1≤0，B ＝{x |x 2－x －6<0}，则A ∩B ＝( ) A.(－2，3) B.(－2，2) C.(－2，2]D.[－2，2]解析因为A ＝{x |x ≤2}，B ＝{x |－2<x <3}，所以A ∩B ＝{x |－2<x ≤2}＝(－2，2]. 答案 C4.(2018·抚州联考)若a ，b ，c 为实数，且a a bD.a 2>ab >b 2解析 c ＝0时，A 项不成立； 1a －1b ＝b －a ab>0，选项B 错；b a －a b ＝b 2－a 2ab ＝（b ＋a ）（b －a ）ab<0，选项C 错. 由a ab >b 2.D 正确. 答案 D5.(2019·河北重点八所中学模拟)不等式2x 2－x －3>0的解集为________.解析由2x 2－x －3>0，得(x ＋1)(2x －3)>0，解得x >32或x <－1.∴不等式2x 2－x －3>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >32或x <－1.答案⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >32或x <－16.(2018·汉中调研)已知函数f (x )＝ax 2＋ax －1，若对任意实数x ，恒有f (x )≤0，则实数a 的取值范围是______.解析若a ＝0，则f (x )＝－1≤0恒成立，若a ≠0，则由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝a 2＋4a ≤0，解得－4≤a <0，综上，得a ∈[－4，0]. 答案 [－4，0]考点一不等式的性质多维探究角度1 比较大小及不等式性质的简单应用【例1－1】 (1)已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.c ≥b >a B.a >c ≥b C.c >b >aD.a >c >b(2)(一题多解)若1a ＜1b ＜0，给出下列不等式：①1a ＋b ＜1ab ；②|a |＋b ＞0；③a －1a ＞b －1b；④ln a 2＞ln b 2.其中正确的不等式是( )A.①④B.②③C.①③D.②④解析 (1)∵c －b ＝4－4a ＋a 2＝(a －2)2≥0，∴c ≥b . 又b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，∴2b ＝2＋2a 2，∴b ＝a 2＋1，∴b －a ＝a 2－a ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫a －122＋34>0， ∴b >a ，∴c ≥b >a .(2)法一因为1a ＜1b＜0，故可取a ＝－1，b ＝－2.显然|a |＋b ＝1－2＝－1＜0，所以②错误；因为ln a 2＝ln(－1)2＝0，ln b 2＝ln(－2)2＝ln 4＞0，所以④错误.综上所述，可排除A ，B ，D.法二由1a ＜1b＜0，可知b ＜a ＜0.①中，因为a ＋b ＜0，ab ＞0，所以1a ＋b ＜0，1ab ＞0.故有1a ＋b ＜1ab，即①正确； ②中，因为b ＜a ＜0，所以－b ＞－a ＞0.故－b ＞|a |，即|a |＋b ＜0，故②错误；③中，因为b ＜a ＜0，又1a ＜1b ＜0，则－1a ＞－1b＞0，所以a －1a ＞b －1b，故③正确；④中，因为b ＜a ＜0，根据y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数，可得b 2＞a 2＞0，而y ＝ln x 在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b 2＞ln a 2，故④错误.由以上分析，知①③正确. 答案 (1)A (2)C角度2 利用不等式变形求范围【例1－2】 (一题多解)设f (x )＝ax 2＋bx ，若1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4，则f (－2)的取值范围是________.解析法一设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)(m ，n 为待定系数)，则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )，即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b .于是得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1).又∵1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4. ∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10. 法二由⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＝a －b ，f （1）＝a ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12[f （－1）＋f （1）]，b ＝12[f （1）－f （－1）]，∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1). 又∵1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10. 法三由⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2，2≤a ＋b ≤4确定的平面区域如图阴影部分所示，当f (－2)＝4a －2b 过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12时，取得最小值4×32－2×12＝5，当f (－2)＝4a －2b 过点B (3，1)时，取得最大值4×3－2×1＝10， ∴5≤f (－2)≤10. 答案 [5，10]规律方法 1.比较两个数(式)大小的两种方法2.与充要条件相结合问题，用不等式的性质分别判断p ⇒q 和q ⇒p 是否正确，要注意特殊值法的应用.3.与命题真假判断相结合问题.解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法.4.在求式子的范围时，如果多次使用不等式的可加性，式子中的等号不能同时取到，会导致范围扩大.【训练1】 (1)(2019·东北三省四市模拟)设a ，b 均为实数，则“a >|b |”是“a 3>b 3”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)(2018·天一测试)已知实数a ∈(1，3)，b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫18，14，则ab 的取值范围是________.解析 (1)a >|b |能推出a >b ，进而得a 3>b 3；当a 3>b 3时，有a >b ，但若b <a <0，则a >|b |不成立，所以“a >|b |”是“a 3>b 3”的充分不必要条件.(2)依题意可得4<1b <8，又1<a <3，所以4<ab<24.答案 (1)A (2)(4，24)考点二一元二次不等式的解法【例2－1】 (1)(2019·河南中原名校联考)已知f (x )是定义在R 上的奇函数.当x >0时，f (x )＝x 2－2x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________.(2)已知不等式ax 2－bx －1>0的解集是{x |－12<x <－13}，则不等式x 2－bx －a ≥0的解集是________.解析 (1)设x <0，则－x >0，因为f (x )是奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－(x 2＋2x ). 又f (0)＝0. 于是不等式f (x )>x等价于⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x 2－2x >x 或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，－x 2－2x >x ，解得x >3或－3<x <0.故不等式的解集为(－3，0)∪(3，＋∞).(2)由题意，知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的两个根，且a <0，所以⎩⎪⎨⎪⎧－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝ba，－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5.故不等式x 2－bx －a ≥0为x 2－5x ＋6≥0，解得x ≥3或x ≤2.答案 (1)(－3，0)∪(3，＋∞) (2){x |x ≥3或x ≤2} 【例2－2】解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R ). 解原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0.①当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0，解得x ≤－1. ②当a ＞0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0，解得x ≥2a或x ≤－1.③当a ＜0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0.当2a ＞－1，即a ＜－2时，解得－1≤x ≤2a；当2a ＝－1，即a ＝－2时，解得x ＝－1满足题意；当2a＜－1，即－2<a <0时，解得2a≤x ≤－1.综上所述，当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤－1}；当a ＞0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥2a 或x ≤－1；当－2＜a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2a ≤x ≤－1；当a ＝－2时，不等式的解集为{－1}；当a ＜－2时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1≤x ≤2a .规律方法 1.解一元二次不等式的一般方法和步骤 (1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式.(2)判：计算对应方程的判别式，根据判别式判断方程有没有实根(无实根时，不等式解集为R 或∅). (3)求：求出对应的一元二次方程的根.(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集. 2.含有参数的不等式的求解，首先需要对二次项系数讨论，再比较(相应方程)根的大小，注意分类讨论思想的应用.【训练2】 (1)不等式x ＋5（x －1）2≥2的解集是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，3C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪(1，3]D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1∪(1，3](2)(2019·铜川一模)关于x 的不等式ax －b <0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是( ) A.(－∞，－1)∪(3，＋∞) B.(1，3) C.(－1，3)D.(－∞，1)∪(3，＋∞)解析 (1)不等式可化为2x 2－5x －3（x －1）2≤0，即（2x ＋1）（x －3）（x －1）2≤0，解得－12≤x <1或1<x ≤3.(2)关于x 的不等式ax －b <0即ax 0可化为(x ＋1)(x －3)<0，解得－1<x <3， ∴所求不等式的解集是(－1，3). 答案 (1)D (2)C考点三一元二次不等式恒成立问题多维探究角度1 在实数R 上恒成立【例3－1】 (2018·大庆实验中学期中)对于任意实数x ，不等式(a －2)x 2－2(a －2)x －4<0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，2) B.(－∞，2] C.(－2，2)D.(－2，2]解析当a －2＝0，即a ＝2时，－4<0恒成立；当a －2≠0，即a ≠2时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ＝[－2（a －2）]2－4×（a －2）×（－4）<0，解得－2<a <2.综上，实数a 的取值范围是(－2，2]. 答案 D角度2 在给定区间上恒成立【例3－2】 (一题多解)设函数f (x )＝mx 2－mx －1(m ≠0)，若对于x ∈[1，3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，则m 的取值范围是________.解析要使f (x )＜－m ＋5在[1，3]上恒成立，故mx 2－mx ＋m －6＜0，则m ⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6＜0在x ∈[1，3]上恒成立. 法一令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1，3]. 当m ＞0时，g (x )在[1，3]上是增函数，所以g (x )max ＝g (3)＝7m －6＜0. 所以m ＜67，则0＜m ＜67.当m ＜0时，g (x )在[1，3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)＝m －6＜0. 所以m ＜6，所以m ＜0. 综上所述，m的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪0＜m ＜67或m ＜0.法二因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34＞0，又因为m (x 2－x ＋1)－6＜0，所以m ＜6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1，3]上的最小值为67，所以只需m ＜67即可.因为m ≠0，所以m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪0＜m ＜67或m ＜0 . 答案⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪0＜m ＜67或m ＜0 角度3 给定参数范围的恒成立问题【例3－3】已知a ∈[－1，1]时不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＞0恒成立，则x 的取值范围为( ) A.(－∞，2)∪(3，＋∞) B.(－∞，1)∪(2，＋∞) C.(－∞，1)∪(3，＋∞)D.(1，3)解析把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记f (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，则由f (a )＞0对于任意的a ∈[－1，1]恒成立，得f (－1)＝x 2－5x ＋6＞0，且f (1)＝x 2－3x ＋2＞0即可，解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋6＞0，x 2－3x ＋2＞0，得x ＜1或x ＞3.答案 C规律方法 1.对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.2.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.【训练3】 (1)(2019·河南豫西南五校联考)已知关于x 的不等式kx 2－6kx ＋k ＋8≥0对任意x ∈R 恒成立，则k 的取值范围是( )A.[0，1]B.(0，1]C.(－∞，0)∪(1，＋∞)D.(－∞，0]∪[1，＋∞)(2)(2019·安庆模拟)若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，则a 的最小值是( ) A.0B.－2C.－52D.－3解析 (1)当k ＝0时，不等式kx 2－6kx ＋k ＋8≥0可化为8≥0，其恒成立，当k ≠0时，要满足关于x 的不等式kx 2－6kx ＋k ＋8≥0对任意x ∈R 恒成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧k >0，Δ＝36k 2－4k （k ＋8）≤0，解得0<k ≤1.综上，k 的取值范围是[0，1]. (2)由于x ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，12，若不等式x 2＋ax ＋1≥0恒成立，则a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ，x ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，12时恒成立，令g (x )＝x ＋1x ，x ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，12，易知g (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上是减函数，则y ＝－g (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上是增函数.∴y ＝－g (x )的最大值是－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2＝－52. 因此a ≥－52，则a 的最小值为－52.答案 (1)A (2)C [思维升华]1.比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，比较法之一作差法的主要步骤为作差——变形——判断正负.2.判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简单. [易错防范]1.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把a ＜0的情况转化为a ＞0时的情形.2.含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.若f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，则f (x )，g (x )的大小关系是( ) A.f (x )＝g (x ) B.f (x )＞g (x )C.f (x )＜g (x )D.随x 的值变化而变化解析 f (x )－g (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1＞0⇒f (x )＞g (x ). 答案 B2.(2019·北京东城区综合练习)已知x ，y ∈R ，那么“x >y ”的充要条件是( ) A.2x>2yB.lg x >lg yC.1x >1yD.x 2>y 2解析因为2x>2y⇔x >y ，所以“2x>2y ”是“x >y ”的充要条件，A 正确；lg x >lg y ⇔x >y >0，则“lg x >lg y ”是“x >y ”的充分不必要条件，B 错误；“1x >1y”和“x 2>y 2”都是“x >y ”的既不充分也不必要条件.答案 A3.不等式|x |(1－2x )>0的解集为( )A.(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞D.⎝⎛⎭⎪⎫0，12解析当x ≥0时，原不等式即为x (1－2x )>0，所以0<x <12；当x <0时，原不等式即为－x (1－2x )>0，所以x <0，综上，原不等式的解集为(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎪⎫0，12.答案 A4.(2018·延安质检)若实数m ，n 满足m >n >0，则( ) A.－1m<－1nB.m －n <m －nC.⎝ ⎛⎭⎪⎫12m>⎝ ⎛⎭⎪⎫12nD.m 2<mn解析取m ＝2，n ＝1，代入各选择项验证A ，C ，D 不成立.只有B 项成立(事实上2－1<2－1). 答案 B5.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤0，ln （x ＋1），x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是( )A.(－∞，－1)∪(2，＋∞)B.(－∞，－2)∪(1，＋∞)C.(－1，2)D.(－2，1)解析易知f (x )在R 上是增函数，∵f (2－x 2)>f (x )， ∴2－x 2>x ，解得－2<x <1，则实数x 的取值范围是(－2，1). 答案 D 二、填空题6.若0<a <1，则不等式(a －x )⎝⎛⎭⎪⎫x －1a >0的解集是________.解析原不等式可化为(x －a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a <0，由0<a <1得a <1a ，∴a <x <1a.答案⎝⎛⎭⎪⎫a ，1a7.规定记号“⊙”表示一种运算，定义a ⊙b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实数)，若1⊙k 2<3，则k 的取值范围是________. 解析由题意知k 2＋1＋k 2<3，化为(|k |＋2)(|k |－1)<0，所以|k |<1，所以－1<k <1. 答案 (－1，1)8.(2019·宜春质检)设a <0，若不等式－cos 2x ＋(a －1)cos x ＋a 2≥0对于任意的x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________.解析令t ＝cos x ，t ∈[－1，1]，则不等式f (t )＝t 2－(a －1)t －a 2≤0对t ∈[－1，1]恒成立，因此⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）≤0，f （1）≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a －a 2≤0，2－a －a 2≤0，∵a <0，∴a ≤－2. 答案 (－∞，－2] 三、解答题9.已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)＞0；(2)若不等式f (x )＞b 的解集为(－1，3)，求实数a ，b 的值. 解 (1)由题意知f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3＞0，即a 2－6a －3＜0，解得3－23＜a ＜3＋2 3.所以不等式的解集为{a |3－23＜a ＜3＋23}. (2)∵f (x )＞b 的解集为(－1，3)，∴方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1，3，∴⎩⎪⎨⎪⎧（－1）＋3＝a （6－a ）3，（－1）×3＝－6－b 3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3±3，b ＝－3.故a 的值为3±3，b 的值为－3.10.某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件.若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成.要求售价不能低于成本价.(1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域；(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围. 解(1)由题意得，y ＝100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10·100⎝⎛⎭⎪⎫1＋850x .因为售价不能低于成本价，所以100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10－80≥0，解得0≤x ≤2.所以y ＝f (x )＝40(10－x )(25＋4x )，定义域为{x |0≤x ≤2}.(2)由题意得40(10－x )(25＋4x )≥10 260，化简得8x 2－30x ＋13≤0，解得12≤x ≤134.所以x的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.已知0<a 0B.2a －b<12C.log 2a ＋log 2b <－2D.2a b ＋b a <12解析由题意知0<a <1，此时log 2a <0，A 错误；由已知得0<a <1，02a b ·b a ＝2，所以2a b ＋b a>22＝4，D 错误；由a ＋b ＝1>2ab ，得ab <14，因此log 2a ＋log 2b ＝log 2(ab )<log 214＝－2，C 正确.答案 C12.(2019·保定调研)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x ≥0时，f (x )＝x 3，若不等式f (－4t )>f (2m ＋mt 2)对任意实数t 恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A.(－∞，－2)B.(－2，0)C.(－∞，0)∪(2，＋∞)D.(－∞，－2)∪(2，＋∞) 解析因为f (x )在R 上为奇函数，且在[0，＋∞)上为增函数，所以f (x )在R 上是增函数，结合题意得－4t >2m ＋mt 2对任意实数t 恒成立⇒mt 2＋4t ＋2m <0对任意实数t 恒成立⇒⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝16－8m 2<0⇒m ∈(－∞，－2). 答案 A13.已知－1<x ＋y <4，2<x －y <3，则3x ＋2y 的取值范围是________.解析设3x ＋2y ＝m (x ＋y )＋n (x －y )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝3，m －n ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝52，n ＝12.即3x ＋2y ＝52(x ＋y )＋12(x －y )，又∵－1<x ＋y <4，2<x －y <3，∴－52<52(x ＋y )<10，1<12(x －y )<32， ∴－32<52(x ＋y )＋12(x －y )<232，即－32<3x ＋2y <232， ∴3x ＋2y 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，232. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，232 14.(2019·济南质检)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x.若对任意x ∈[a ，a ＋1]，恒有f (x ＋a )≥f (2x )成立，求实数a 的取值范围.解因为函数f (x )是偶函数，故函数图像关于y 轴对称，且在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增.所以由f (x ＋a )≥f (2x )可得|x ＋a |≥2|x |在[a ，a ＋1]上恒成立，从而(x ＋a )2≥4x 2在[a ，a ＋1]上恒成立，化简得3x 2－2ax －a 2≤0在[a ，a ＋1]上恒成立，设h (x )＝3x 2－2ax －a 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧h （a ）＝0≤0，h （a ＋1）＝4a ＋3≤0，解得a ≤－34. 故实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34.。

高考数学一轮总复习第一章集合与常用逻辑用语不等式 1集合课件

card ∪ = card + card − card ∩ .
1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.
（1）任何一个集合都至少有两个子集.
( ×)
（2）{ = 2 + 1} = { = 2 + 1} = { , | = 2 + 1}. ( × )
∈
∉
不属于
______;如果不是集合中的元素，就说________集合，记作______.
列举法
描述法
图示法
（3）集合的表示方法：________、________、________.
（4）常用数集及其记法：
数集非负整数集（或自然数集）
符号

___
正整数集整数集有理数集实数集
∗ 或( )

_________
+

___

___

___
复数
集

___
2.集合间的基本关系
分类
子集
真子集
文字语言
任意一个
不属于
记法
⊆
_______（或
⊇
_______）
⫋
_______（或
Ý
_______）
=
_______
相等
空集
符号语言
不含任何元素的集合
⌀
___
3.集合的基本运算
（2）（2023年全国乙卷）设集合 = ，集合 = {| < 1}， = {| − 1 < < 2}，
则{| ≥ 2} =(
A.∁
√
∪
)
B. ∪ ∁

四川省对口高考数学复习专题一：集合、不等式(含均值不等式与对勾函数)、充要条件(冉春)

镇（乡）学校班级考号姓名 ……○……题……○……不……○……得……○……超……○……过……○……此……○……密……○……封……○……总复习专题一：集合与不等式(含均值不等式与对勾函数、充要条件）编辑，整理：冉春第一部分：讲义部分：一、集合1、定义：把一些确定的研究对象，不考虑顺序、不重复地放在一起，就构成一个集合，集合里的每一个研究对象叫做元素。

集合中元素的三要素：确定性、互异性、无序性。

集合用{ }表示，用大写字母A,B,C 等表示，元素用小写字母a 、b 、c 表示。

例:中国古代四大名著就构成一个集合，记作集合A={西游记，红楼梦，三国演义，水浒传}。

集合里的研究对象必须是确定的，如长得很高的人、很帅的人、很接近1的数，都不能构成一个集合。

集合里的元素不能重复（即相同的元素只写一次），如{1,2,2}不能构成一个集合。

例题1：下列各组对象能组成集合的是( )①一切很大的书;②所有的等腰三角形;③函数y=2x-10的图象上的所有点. A. ①②B .②③C .①③D .①②③练习1：下列对象能组成集合的是( );A.最大的正数B.最小的整数C. 平方等于1的数D.最接近1的数 2、表示集合的方法：列举法和描述法（1）列举法如小于5的正整数构成一个集合，{1,2,3,4}，里面的元素用逗号隔开（2）描述法如{x|x ＜5}，如{x:1＜x ＜3},注意{x|x ＜3且x ∈R}中的x ∈R 一般省略不写，因为我们现在学的都是实数集。

即{x|x ＜3且x ∈R}={X|X ＜3}注意{x ∈Z|1＜x ＜3}与{x|1＜x ＜3且x ∈Z}均可，一般后者常见，注意都是有限集。

3、集合分类：集合根据元素个数是否有限，分为无限集和有限集 A={x|1＜x ＜6}是无限集，B={x|1＜x ＜6且x ∈Z}={2,3,4,5}是有限集3、只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。

高考数学复习考点知识讲解课件3 不等式性质一元二次函数方程和不等式

＋c(a>0)的
图象
ax2＋bx＋c ＝0(a>0)的
根
有两个不相等的实数根 x1，x2(x1<x2)
有两个相等的实数根 x1 ＝x2＝－2ba
没有实数根
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(新教材) 高三总复习•数学
判别式 ax2＋bx＋ c>0(a>0)的
解集 ax2＋bx＋ c<0(a>0)的
解集
Δ>0 {x_|x_<_x_1_或__x_>_x_2}
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基础知识夯实
01
(新教材) 高三总复习•数学
知识梳理 1．两个实数比较大小的方法
(1)作差法：aa－－bb>＝00⇔⇔aa_____>＝_____bb，， a－b<0⇔a___<__b.
aba>∈1Ra∈，Rb>，0b，>0⇔a___>___b (2)作商法ab＝1⇔a__＝____ba，b≠0，
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(新教材) 高三总复习•数学
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诊断自测 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若ab>1，则 a>b.( × ) (2)若 ab>0，则 a>b⇔1a<1b.( √ ) (3)若不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程 ax2＋bx＋c＝0 的两个根是 x1 和 x2.( √ ) (4) 一元二次不等式 ax2 ＋ bx ＋ c≤0 在 R 上恒成立的条件是 a<0 且 Δ ＝ b2 － 4ac≤0.( √ )

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例5、若存在集合�� = �� 2 ≤ �� ≤ 8 与集合�� = 2,4,6,8 ,则A B
同步训练
知识点精讲
第三节集合的运算
已知1、全定义集UA IBR,Ax x Ax且x2Bx 4 B x 3 x 3
（A I B）I C A I（B I C） A I B I C
(3)分配律：A U（B I C）（A U B）U（A UC）
A I（B UC）（A I B）U（A I C）
（4)反演律痧U ( A U B)
U AI
? U
B

痧U ( A I
B)
U
A
U
? U
B
知识点精讲
三、性质
1、A I A A？ A I ？ 2、A U A ？A A U ？A
例3、已知集合A = ��|��2 − 3�� + 2 = 0 , �� = ��|�� − 2 = 0 ，且�� ⊆ A，求实数��的值.
同步训练例4、能够满足关系 ��, �� ⊆ �� ⊆ ��, ��, ��, �� 的集合的个数。
3、集合的相等定义 ① 如果两个集合的元素相同，那么这两个集合相等，记作： A = B
定义 ② 如果 �� ⊆ �� , A ⊇ �� ，那么 A = B
结论：如果一个集合有n个元素，那么它的子集有2n个，真子集有2n-1个，非空真子集有2n-2个
2 0 2 0 知识点精讲技能高考数学总复习
General Review of Mathematics in Skills College Entrance Examination
讲课人：王三奇
宜都市职业教育中心
目录
DIRECTORY
集合与充要条件不等式函数指数函数和对数函数
三角函数数列平面向量直线和圆的方向程
典例剖析
例1、写出集合 ��, ��, �� 的所有子集，并指出那些是真子集。
结论：如果一个集合有n个元素，那么它的子集有2n个，真子集有2n-1个，非空真子集有2n-2个
例2、已知集合A = ��|�� > 3 ，�� = ��|�� > 2 则A⎽⎽��。
（2）描述法：
3、常见数集符号
N 表示自然数集， N *或 N +表示正整数集， Z 表示整数集， Q 表示有理数集，R表示实数集
4、集合的分类（ 1 ）有限集
（2）无限集（3）空集
典例剖析
例1、下列结论：①0 ∈ 0 ；②√2 ∉ Q ； ③ −4 ∉ N ∗ ④2 ∈ 1,2 ；⑤ 0 ∈ ∅.其中真命题是
2、真子集如果 �� ⊆ �� , ，且在集合 B 中至少存在一个元素不是集合 A 的元素，
那么集合 A 是集合 B 的真子集，记作： B 蒈A， A B
性质：1、空集是任何非空集合的真子集，即 Ü A 2、传递性：即A 苘B, B C A ? C
例3、已知集合A = −4, ��, ��2 , �� = �� + 4, −��, 4 ，求适合下列条件的实
数��的值.
3、A U 痧U A A？ 4、A I B ？ A 5、A ？ A U B
A I U A ？ A I B ？ B B ？ A U B
典例剖析
例1、已知集合A x 0 x 2、B x 1 x 3求A U B、A I B
例2、已知集合U x 1 x 3、A x 0 x 2,求ðU A
第一章集合与充要条件
第一节集合
∙知识点精讲
1、集合的概念
能够确定的对象组成的全体构成一个整体叫做集合，组成集合的每一个确定的对象叫做集合的元素（确定性）元素与集合的关系： �� ∈ �� ∉ A
2、集合的表示方法（ 1 ）列举法（无序性、互异性）
1
求痧AA,U BB x x A或x B U ðU AU x x U 或x A

2

求

痧A U

U

U B，?U A I
B
2、运算律（1)交换律：A I B B I A，A U B B U A
3 求（痧2U)A结合I 律： U B（A，U?BU）UACU BA U（B UC） A U B UC
变式训练
1、已知集合A = 1，3，��2 + �� , �� + 1 且�� ∈ A，求实数��的值。
2、已知集合A = 1，1 + 2��，�� + 1 , �� = 1，��，��2 , 若A = B，求实数��, ��的值。
同步训练
知识点精讲第二节子集和真子集
1、子集
如果集合A中的每一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合 B 的子集，记作： �� ⊆ �� , �� ⊇ A
规定：∅是任何集合的子集，即∅ ⊆ A
性质：①任何集合都是它本身的一个子集，即A⊆A ②传递性：即A⊆B, B⊆C⇒A⊆C
例2、已知集合A = �� − 2, ��2 − 2 , 5 且 − 1 ∈ A，求实数��的值。
例3、已知集合A = ��|��2 − 3�� + 2 = 0 (1)若A = ∅，求实数��的取值范围，(2)若A是单元素集求实数��的值及对应集合A。