最速降线问题数学模型概述文稿演示
最速降线最简单证明
最速降线最简单证明最速降线问题是数学中一个经典的优化问题。
在这个问题中，我们需要找到一个点，使得从该点触底后，到目标点的时间最短。
为了解决这个问题，我们可以设定一个二维坐标系，其中起始点为原点O (0, 0)，目标点为P (x, y)。
同时，我们假设点P的横坐标x大于0，即目标点在原点的右侧。
我们需要找到这样一个点Q，使得从原点O出发经过Q点最短时间。
设点Q的横坐标为α，根据问题的对称性，我们可以假设点Q的纵坐标为0。
因此，点Q的坐标为(α, 0)。
我们假设点Q点处的切线，与横坐标轴的夹角为θ。
则根据三角函数的性质，我们可以得到：tanθ = y/α这表示切线的斜率为y/α。
我们知道，从点Q到点P所需的时间为t = √(α^2 + y^2) / V，其中V为垂直速度。
点Q处的切线斜率与速度向量的斜率相等。
假设速度向量的斜率为k，则有：k = tanθ = y/α由此可得：α = y/k将α的值代入到时间的表达式中，我们可以得到一个只涉及到k 和y的时间表达式：t = √(y^2+(y/k)^2) / V = √(y^2+k^2y^2)/Vk = y√(1+k^2) / Vk我们需要最小化时间t，即求极小值。
为了方便计算，我们可以对时间t取平方，即t^2。
由于t^2关于y的函数形式简单，我们可以通过求导数将其转化为极值的问题。
计算t^2的导数，我们可以得到：2t * dt/dy = 2y * √(1+k^2) / Vk + y * (1+k^2)^(-1/2) * 2k * dk/dy / Vk化简上式，我们可以得到：√(1+k^2) / k - k * (1+k^2)^(-1/2) * dk/dy = 0将上式中的k代入到之前的k = y/α中，我们可以得到：√(1+(y/α)^2) / y - (y/α) * (1+(y/α)^2)^(-1/2) * (1/α) * dy/dα = 0化简上式，我们可以得到：√(α^2+y^2)/α = 1/α * dy/dα移项并化简，我们可以得到：(α^2+y^2) / α^2 = dy/dα由于α = y/k，我们可以进一步化简上式，得到：(k^2y^2+y^2) / (y^2/k^2) = dy/dα化简上式，我们可以得到：(k^2+1) / k^2 = dy/dα上式左边是常数，因此dy/dα也是常数。
第4章4.2最速降线
T=1.91284 T3 1.91606
p3 p4
p5 B(10,10)
27
2013-5-9
南通大学理学院计算科学与统计学系
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从A经过P到B的抛物线段： y mx nx
2
用Mathematic编程求出m,n的值分别为-3/25，11/5
输入程序：
通过比较上述结果发现A，B间插入一个节点时，时间明显减少 了，所以可以猜测增加N个节点后，效果会更好，并且曲线越 接近最速降线 。
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Mathematica编程如下
2013-5-9
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25
运行后结果如下：
坐标：
A（0，0） B（10，10）
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实验结果分析
通过比较可以很清楚地发现 虽然直线段AB是最短路径但 不是最速降线，三条曲线中 圆弧相对较好点，为了得出 近似的最速降线，我们继续 下面的实验
T lim T
n
2013-5-9
a
0
1 yx ' dx 2 gy
2
5
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如果曲线C由参数方程
x x(u), y y(u), u u0 , v
给出，且 x u 是区间 u0 , v 上的单调递增
可微函数，则
1
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本次理论课安排如下
第一部分、教材分析 第二部分、实验指导书解读 第三部分、制订实验计划 第四部分、实验过程演示
2013-5-9
南通大学理学院计算科学与统计学系
2
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第一部分
教材分析
2013-5-9
最速降线问题总结(合集3篇)
最速降线问题总结第1篇显然，质点沿光滑的轨道从 A 运动到 B , 有\mathbb{d}t=\frac{\mathbb{d}l}{\upsilon}=\frac{\sqrt{\mathbb{d}x^{2}+\mathbb{d}y^{2}}}{\upsilon}=\frac{\sqrt{1+y'^{2}}}{\upsilon}\mathbb{d}x=\frac{\sqrt{1+y'^{2}}}{\sqrt{2gy}}\mathbb {d}x\int_{t_{A}}^{t_{B}}\mathbb{d}t=\int_{x_{A}}^{x_{B}}\frac{\sqrt{1+y'^{2}}}{\sqrt{2g y}}\mathbb{d}x我们要求该式取最小值，则L=\frac{\sqrt{1+y'^{2}}}{\sqrt{2gy}}\frac{\mathbb{d}}{\mathbb{d}x}\frac{\delta L}{\delta y'}-\frac{\delta L}{\deltay}=0\\\Longrightarrow\frac{\mathbb{d}}{\mathbb{d}x}\frac{y'}{\sqrt{2gy(1+y'^{2})}}+\frac{1}{2}\frac{\sqrt{1 +y'^{2}}}{\sqrt{2gy}y}=\frac{\mathbb{d}}{\mathbb{d}x}\frac{y'}{\sqrt{2gy(1+y'^{2})}}+\frac{1}{2}\frac{\sqrt{ 1+y'^{2}}}{\sqrt{2gy}y}\\ =\frac{1}{\sqrt{2gy(1+y'^{2})}}(y''-\frac{y'^{2}}{2y}-\frac{y'^{2}y''}{1+y'^{2}})+\frac{1}{2}\frac{\sqrt{1+y'^{2}}}{\sqrt{2gy}y}\\=\frac{2y''y+y'^{2}+1}{2y(1+y'^{2})\sqrt{2gy(1+y'^{2})}}=0\\\Longrightarrow2y''y+y'^{2}+1=0最速降线问题总结第2篇本人曾经根据光的传播时间最短即光程最短原理证明光的折射定定律，感兴趣的读者可以阅读此篇文章证明光的折射定律采用了两种方法：一种是非常简单的几何方法，用微三角开相似直接证明的，其实也和求导没有本质区别；另一种方法是采用普通的求导方法证明的。
最速下降法
2.迭代原理
P(k)
f ( X (k) )
梯度的性质：函数f (X)在X(k)处P(的k) 负梯度X (方k) 向 f ( X (k) )
是X(k)处函数值下降最快的方向。
证明：
P(k)
一元函数泰勒公式：
P(k)
X p p (k)
(k)
(k)
f ( x(k) h) f ( x(k)) f ( x(k) )h (h)
线性规划3-4
最速下降法迭代原理：
min
XRn
f ( X )
x14
x22
2
f ( X ) (4 x13 , 2 x2 )T
p0
0
X1
X0
X 0 , p0 f ( X 0 ), min f ( X 0 p0 ) f ( X 0 0 p0 ), X 1 X 0 0 p0 0
X 0 (1,1)T , p0 f ( X 0 ) (4, 2)T
min f ( X )
XRn
当X (k ) X 时, f ( X (k) ) f ( X ) 0 (一阶必要条件)
f ( X (k) ) f ( X ) 0
f ( X (k) )
p(k)
线性规划3-4
3.迭代步骤
f ( X (k1) )
10 取初始点X (0) , 容许误差(精度) 0, 令k : 0k
p0 f ( X 0 ), p1 f ( X 1 ), pk f ( X k ),
min f ( X 0 p0 )
0
min f ( X 1 p1)
0
min f ( X k pk )
0
f ( X 0 0 p0 ), X 1 X 0 0 p0 f ( X 1 1 p1 ), X 2 X 1 1 p1 f ( X k k pk ), X k1 X k k pk
使用拉格朗日乘数法计算最速降线
使用拉格朗日乘数法计算最速降线
最速降线问题可以使用拉格朗日乘数法求解。
假设最速降线为曲线 y = f(x)，我们的目标是最小化降线路径的长度。
为了解决最速降线问题，我们需要引入一个约束条件，即降线路径的斜率。
设 f'(x) 为曲线的斜率，在每个点 (x, f(x)) 处的斜
率可以表示为：
f'(x) = dy/dx // 斜率
为了最小化降线路径的长度，我们将路径长度表示为积分形式：
L = ∫√(1 + (f'(x))^2) dx //路径长度
我们需要最小化这个路径长度，并且还要满足斜率方程 f'(x) = dy/dx。
这可以通过拉格朗日乘数法实现。
设L(x, f(x), λ) = √(1 + (f'(x))^2) + λ(f'(x) - dy/dx) 为拉格朗日函数，其中λ 是拉格朗日乘数。
我们需要求解的问题可以转化为求解以下方程组：
∂L/∂x = d/∂x(√(1 + (f'(x))^2) + λ(f'(x) - dy/dx)) = 0
∂L/∂f = ∂/∂f(√(1 + (f'(x))^2) + λ(f'(x) - dy/dx)) = 0
∂L/∂λ = ∂/∂λ(√(1 + (f'(x))^2) + λ(f'(x) - dy/dx)) = 0
求解该方程组可以得到最速降线的解。
请注意，这是一种求解最速降线问题的方法，具体的求解步骤可能略有不同。
用欧拉方程求解最速降线
用欧拉方程求解最速降线最速降线是一种经典的物理问题，可以通过欧拉方程来求解。
在这个问题中，我们考虑一个质点在重力作用下沿着一条曲线从一个点滑到另一个点，使得滑动时间最短。
这条曲线被称为最速降线。
为了解决这个问题，我们首先需要找到描述曲线的方程。
假设曲线的方程为y=f(x)，其中x是曲线上一点的横坐标，y是对应的纵坐标。
根据最速降线的特性，我们知道质点在滑动过程中的动能和势能之和应该最小。
动能和势能可以分别表示为：动能：K = m(v^2)/2势能：U = mgh其中m是质点的质量，v是质点的速度，g是重力加速度，h是质点在曲线上的高度。
根据能量守恒定律，动能和势能之和保持不变。
因此，我们可以得到如下的方程：m(v^2)/2 + mgh = E其中E是一个常数。
为了进一步求解最速降线的方程，我们需要使用欧拉方程。
欧拉方程描述了质点在曲线上滑动过程中的力学特性。
根据欧拉方程，我们可以得到如下的方程：d/dx(∂L/∂y') - ∂L/∂y = 0其中L是质点滑动过程中的拉格朗日函数，y'表示dy/dx的导数。
根据最速降线的问题，我们可以将拉格朗日函数定义为：L = √(1 + (y')^2)将拉格朗日函数代入欧拉方程，我们可以得到如下的方程：d/dx(y' / √(1 + (y')^2)) - 1 / √(1 + (y')^2) = 0这是一个二阶微分方程，可以通过适当的变量代换和求解技巧来求解。
通过解这个微分方程，我们可以得到最速降线的方程y=f(x)，进而确定质点从一个点滑到另一个点所需的最短时间。
最速降线问题是一个非常有趣的物理问题，通过欧拉方程的求解，我们可以找到质点滑动过程中的最优轨迹。
这个问题不仅涉及到物理学的知识，还需要具备一定的数学解题能力。
通过解决这个问题，我们可以更好地理解质点在重力作用下的运动规律，同时也能够培养我们的物理思维和数学建模能力。
完整word版最速下降法求解线性代数方程组
最速下降法求解线性代数方程组要求：对于给定的系数矩阵、右端项和初值，可以求解线性代数方程组一、最速下降法数学理论PP?tX?Xf(X)的负梯中，在基本迭代公式每次迭代搜索方向取为目标函数kk1kkk?t)X??f(P?取为最优步长，由此确定的算法称为最速度方向，即，而每次迭代的步长kkk下降法。
X)Xminf(kk。
现在次，获得了第，假定我们已经迭代了为了求解问题个迭代点k X出发，可选择的下降方法很多，一个非常自然的想法是沿最速下降方向（即负梯度方从k X邻近的范围内是这样。
因此，去搜索方向为 )进行搜索应该是有利的，至少在向k P???f(X).kk P k?1进行一维搜索，由此得到第为了使目标函数在搜索方向上获得最多的下降，沿k个跌带点，即X?X?t?f(X)，kk1k?k t按下式确定其中步长因子k f(X?t?f(X))?minf(X?t?f(X))，kkkkkk X?ls(X,??f(X)). （ 1）k1k?k X X,XX,, ,,?k0,12是初始点，由计算就可以得到一个点列,显然，令其中0210{X}f)X(X)(f 的满足一定的条件时，由式（）所产生的点列必收敛于者任意选定。
当1k极小点。
二、最速下降法的基本思想和迭代步骤???,)(Xf(X)g. ，终止限已知目标函数及其梯度和321Xf?f(X),g?g(X)k?0.，计算；置（1）选定初始点00000X?ls(X,?g)f?f(X),g?g(X). （2）作直线搜索：；计算k?1kk1?k1k?kk?1?1(X,f(X))k?k?1，置，结束；用终止准则检验是否满足：若满足，则打印最优解否则，1k?1?k转（2）（3）最速下降法算法流程图如图所示.X结束三、最速下降法的matlab实现function [x,n]=twostep(A,b,x0,eps,varargin) %两步迭代法求线性方程组Ax=b的解if nargin==3eps= 1.0e-6;M = 200;elseif nargin<3errorreturnelseif nargin ==5M = varargin{1};endD=diag(diag(A)); %求A的对角矩阵L=-tril(A,-1); %求A的下三角阵U=-triu(A,1); %求A的上三角阵B1=(D-L)\U;B2=(D-U)\L;f1=(D-L)\b;f2=(D-U)\b;x12=B1*x0+f1;x =B2*x12+f2;n=1; %迭代次数while norm(x-x0)>=epsx0 =x;x12=B1*x0+f1;x =B2*x12+f2;n=n+1;if(n>=M)'); 迭代次数太多，可能不收敛！ disp('Warning: return;endend的解最速下降法求线性方程组Ax=bfunction [x,n]= fastdown(A,b,x0,eps) %if(nargin == 3)eps = 1.0e-6;endx=x0;n=0;tol=1;以下过程 % while(tol>eps)可参考算法流程 r = b-A*x0;d = dot(r,r)/dot(A*r,r);x = x0+d*r;tol = norm(x-x0);x0 = x;n = n + 1;end四、最速下降法的算例实现A=[5 2 0;6 4 1;1 2 5];b=[10 18 -14]';eps=1.0e-6;x =-0.87507.1875-5.5000 k =60。
最优化方法-最速下降法
计算步骤
设f (X )是可微函数，精度要求为
X f ( ) K 1
，
X 0 为初始点。
(1)计算梯度
f
(
X
)
k
，初始k=0；
(2)
Pk
f
(
X
)
k
(3)求解 k
min f ( X k Pk)
s.t. 0
设 k 是一维搜索的最优解；
(4)求下一个点
评价
由例题中可以发现两次迭代的搜索方向满足：
P P P P T 0, T 0,...,
01
12
即相邻两个搜索方向 PK 与 PK1 正交，这是最速下降
法的搜索方向的基本形质。因此，最速下降法的迭代
路线呈锯齿形，尤其是在极小点附近，锯齿现象尤为
严重，从而影响了迭代速度。
评价
锯齿现象
最优化技术
第三章 7节 最速下降法
主要内容
1原 理
2 计算步骤
3 例题分析 4评 价
原理
定义：用来求解无约束多元函数 min f（x）
极小化问题的一种迭代算法。
拓展：
最速下降法又称梯度法，是 1847 年由著名数学家
Cauchy 给出的，它是解析法中最古老的一种，其他解析 方法或是它的变形，或是受它的启发而得到的，因此它是 最优化方法的基础。
X
)
0
(1,1)T
3-最优步长
2
X P ( ) f 5
0
0 2
1
0
应用一维搜索技术，解得函数最小值点 0 =0.2
举例分析
4-下一搜索点
X1
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由（1）（2 ）（3） ，得：
y
1
(
y'
)2
c
y(0) 0
（4）
此为速降线的数学模型的DE.
3.4 模型求解 把（4）变为 ( y ' )2 c y
y
•
dy (cy） 12 cott dx y
则
sin2t
y
y(cy)2cy
（5）
y c sin2 t, dy2csintcostdt
所以d x ta n td y 2 c s in 2 td t c ( 1 2 c o s t)d t
另一个沿直线从A滑到B。（晚到达B）
Galilei认为速降线是圆弧线（错了）。
• 3.建模
3.1 模型准备
选取直角坐标系
参看下页图
3.2 模型假设
A
x
设想质点由A滑到B的路径，
使所需时间为最短（像光学一样）
依光学原理（史奈尔折射定律）得
s in c （常数）（1）
v
y
p(x, y)
B
3.3 模型建立。
1）模型准备：了解问题的实际背景，明确建模的目的。 2）模型假设：由实际对象的特性和建模的目的，在掌握
必要资料基础上对问题进行必要的简化，并用精确的语 言作出假设。(关键一步)
• 3）模型建立:据假设 ，用适当数学工具刻划变量间的关
系，建立数学结构（公式，图形，表格）
• 4）模型求解:对模型求解，包括解方程，图解，逻辑推
（1）由规律列方程：如数学定律、物理、力学、电学、 光学、生物学、药学、化学定律
（2）由微分法列方程：如微元法 dyf(x)dx （3）模拟近似法：有些象生物，经济学科的实际问题，
规律性不清楚，建模时在不同的假设下去近似模拟 实际现象，得到DE。求出解来与实际对比。看其能 否刻划某些实际现象。
本章研究DE模型的建模方法：
以利用此模型解决实际问题.
• 注 可以Newton万有引力模型为例，叙述建模的七个步
骤.
Ch2建模的常用方法
（1）理论分析法（2）模拟方法（3）类比分析法 （4）数据分析法（5）人工假设法（6）物理系统建模法 请作习题二，2.5
MP
MO
MS
M准备
M假设
M建立
M应用
MAP
分析 检验
MAN，MT
M求解
积分得：
xc2t
2
sin2tc1
因为曲线过（0，0），所以当t=0时，有x=y=0.于是
c
1
=0.所以
x c2t sin2t
而
2
ycsin2tc(1cos2t)
MF
Ch3.初等模型
• 简单方法建立问题的数学模型：
• 1.代数法
• 此方法涉及到以下四个例题: • 1）例3.1.1 生小兔问题（Fabonacci问题） • 2）例3.1.2 椅子问题（战略核武器杀伤力问题） • 3）例3.1.3 雨中行走问题 • 4）例3.1.4 动物形体问题
• 2.图解法
涉及：几何；力学；电学；化学；热学；扩散；医学；人 口；体育；社会经济等。
§4-1几何问题
建立几何问题的数学模型方法：
1）找出反映该问题的几何关系
2）把几何量的表达式代入该关系式
3）得到DE即几何问题的数学模型
模型三、 最速降线问题
1.历史背景：1696年，瑞士数学家Johann Bernoulli在 《教师报》上发表了一封公开信。信的内容是：请世界 上的数学家解决一个难题- “最速降线问题” 此问题的 提出一时轰动了欧洲。引起了数学家的极大兴趣。之后
此问题由Newton，Lebeniz，Bernoulli兄弟所解决，从而 产生了一门新的学科-变分学。
• 2.问题：确定一条连接二定点A，B的曲线。使质点
在这曲线上用最短的时间由A滑向B点(介质的摩擦力 与空气阻力忽略不计）。
有人指出：连结A，B的直线段即为速度线。回答是 否定的。在1630年Newton实验：在铅垂平面内，取 两个球，其中一个沿圆弧从A滑到B。（先到达B）
• 5）例3.4.5供电问题
• 另外还有 递推法
人狗鸡米渡河问题
•
夫妻过河问题
•
图形法
市场平衡问题
奇偶校验法（铺方砖法)及优化决策问题-工厂选址问题
• 作业p37,2,3,9
• 习题3 3.1；3.4；3.12；3.16
• 第一次作业
• 1. 3.12 候车问题 公共汽车每隔五分钟有辆公共汽车
通过，乘客到车站的任一时刻是等可能的，试分别用几 何概型，均匀分布概型求乘客候车不超过三分钟的概率 （假设公共汽车一来，乘客就上车）
• 1）例3.1 实物交换问题 • 2）例3.2.2 导弹核武器危机
• 3.量纲分析法
• 1）单摆运动
• 2）开普勒第三定律
• 4.n问题（投针问题）
• 2）例3.4.2 下赌注问题
• 3）例3.4.3 Banach火柴盒问题
• 4）例3.4.4生男生女问题
• 2. 3.16 已知某项提案有48%的选民支持，并假设职工
代表确实 能解决选民的观点。试问由435名代表组成的 职代会会通过这项提案的可能性有多大。
Ch4. DE模型（ Ch5. 差分方程模型 Ch6. 工程系统中的模型）
在化工、仪表、通讯、交通、生物、经济、医学、 工程及社会等领域中，有大量的系统是DE模型。建 模的方法可归纳为：
据能量守恒定律，质点在一定高度处的速度，完全由其
到达该高度处所损失的势能确定，而与路径无关。该质
点质量为m，重力加速度为g，质点由A滑到点 p( x, y)的
速度为v.则
1mv2 mgy或v 2gy （2）
由几何关系，有 2
sin c o s1 1 1（3） se c 1 ta n 2 1 (y ')2
理，定理证明，特点性分析等（设计技术，计算技巧）
• 5）模型分析:对求解结果在数学上进行预测，分析各变
量关系或特点性态，或根据结果作预测或得出最优决策 与控制方案.
• 6）模型检验:用实际现象，根据检验模型的合理性，通
用性（正确性）若与结果不符，要重新假设建模.
• 7）模型应用:若拓展结果正确，满足问题的要求，便可
最速降线问题数学模型概述文稿演示
6）依数学模型所用方法分为： ①初等模型 ② DE模型 ③优化模型 ④统计模 ⑤控制论模型⑥逻辑模型⑦扩散模型
7）依数学模型的领域分为： ①人口模型②交通模型③生态模型④生理模型 ⑤经济模型⑥社会模型⑦工程系统模型以及电力模型 8）依数学模型对象的了解程度分为：
①白箱模型 ②灰箱模型 ③黑箱模型. §1-4建模步骤和原则